Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель зарождения КЭД каскадов 20
1.1. Введение в главу 1. Основные приближения 20
1.2. Зависимость () в произвольном поле электрического типа 23
1.3. Условие возникновения каскада 29
1.4. Каскады в одиночном фокусированном лазерном импульсе 30
1.5. Выводы к Главе 1 38
Глава 2. Оптимизация лазерного поля для наблюдения КЭД каскадов 39
2.1. Введение в главу 2 39
2.2. Моделирование каскадов методом Монте-Карло 40
2.3. Моделирование каскадов в одиночном лазерном импульсе 43
2.4. Оптимальная конфигурация поля для зарождения каскадов A-типа 44
2.5. Численное моделирование 51
2.6. Выводы к главе 2 56
Глава 3. Каскады при столкновении быстрых электронов с сильным лазерным полем 58
3.1. Введение в главу 3 58
3.2. Эффект коллапса и возрождения каскадов 60
3.3. Численное моделирование 62
3.4. Особенности конечных распределений частиц 71
3.5. Коллапс и возрождение каскадов в одиночном лазерном импульсе 76
3.6. Выводы к главе 3 81
Глава 4. Рождение пар при столкновении интенсивного лазерно 3 го импульса с пучком фотонов высокой частоты 83
4.1. Введение в главу 4 83
4.2. Схема, параметры и согласование известных подходов 85
4.3. Точное решение при столкновении с дельта-импульсом 92
4.4. Предельные случаи 102
4.5. Выводы к главе 4 105
Заключение 108
Литература
- Условие возникновения каскада
- Моделирование каскадов методом Монте-Карло
- Эффект коллапса и возрождения каскадов
- Точное решение при столкновении с дельта-импульсом
Условие возникновения каскада
Рассмотрим динамику частиц, участвующих в КЭД каскадах: электронов, позитронов и фотонов — во внешнем интенсивном лазерном импульсе. Пусть его поле характеризуется 4-потенциалом Лм, аw — это несущая частота лазерного излучения. Для простоты в данном разделе будем считать, что А11 — это плоская монохроматическая волна с амплитудой Е. Движение электрона в поле лазера можно характеризовать инвариантным безразмерным параметром нелинейности [3, 27]: С = е /-{А Аи)/тс —, (1.1) где е, т — абсолютная величина заряда и масса электрона, а под () подразумевается усреднение по периоду поля. Если представить параметр (1.1) в виде eElc/huj, где 1с = h/mc — комптоновская длина волны электрона, ему можно придать смысл работы, совершаемой полем над электроном на расстоянии Ic, отнесенной к энергии одного фотона из лазерного пучка. Если 1, при распространении на расстояние 1с электрон поглощает из поля больше одного фотона, поэтому такой режим взаимодействия электрона с лазерным полем называют многофотонным. Характерная величина поперечного к направлению распространения волны импульса, который электрон приобретает за период поля, составляет р± тс. Если 1, электрон быстро становится ультрарелятивистским, поэтому соответствующие интенсивности лазерного поля называют ультрарелятивистскими.
При описании КЭД каскадов будем пользоваться так называемым приближением локально постоянного и однородного поля, смысл которого заключается в следующем: будем считать, что частота лазерного поля си соответствует оптическому диапазону, для определенности примем hcu = 1 эВ, а пиковая напряженность поля Е такова, что 1. В таком случае характерная длина формирования процессов излучения фотона электроном или рождения элек-трон-позитронной пары фотоном [38] // А/ С А будет мала по сравнению с характерным масштабом неоднородности поля, поэтому при расчете вероятностей этих процессов поле можно локально считать постоянным и однородным [38, 41-44]. Более того, так как частицы в интенсивном поле быстро становятся ультрарелятивистскими, можно воспользоваться известным фактом [109], что локально в системе отсчета такой частицы электромагнитное поле близко к скрещенному, Е _L Н7, Е = Н , где Е и Н - электрическое и магнитное поля в системе отсчета частицы. По этой причине для расчета вероятностей квантовых процессов достаточно использовать соответствующие выражения в постоянном скрещенном поле [38]. Отметим, что при этом — оо, и зависимость от этого параметра исчезает.
Элементарные процессы с участием частиц во внешнем поле характеризуются безразмерным инвариантным квантовым динамическим параметром: -{F p-f = J(p0E + р х Н) 2 - (рЕ) 2 , (1.2) где F y — тензор электромагнитного поля, р1 — 4-импульс начальной частицы (р% = (єе/с, ре) для налетающего электрона или позитрона, и fe" = (є7,к7) для фотона), Е и Н отвечают локальным значениям электрического и магнитного полей (в лабораторной системе отсчета). Параметр х можно интерпретировать как напряженность поля в собственной системе отсчета частицы в единицах Eg. В случае X 1 элементарные процессы следует рассматривать в рамках КЭД. Если же X С 1, то излучение заряженными частицами можно описывать и в рамках классической электродинамики, при этом вероятность рождения пар подавлена (см. далее). Формирование каскадов возможно при таких параметрах лазерных импульсов, что для преобладающей доли е± и фотонов X 1, поэтому будем рассматривать все элементарные процессы в рамках КЭД.
Дифференциальная вероятность излучения фотона с энергией е7 электроном с энергией єе и определенным значением параметра Хе в постоянном скрещенном поле задается выражением [38, 63]: de1 Ul dW e Xe) ат2сА 2 Ai () +- + Х-yVx Аі (ж) } , (1.3) где х = (x-f/XeXe) , Хі и Хе — значения параметра (1.2) для фотона и электрона после акта излучения, причем в процессе выполняется закон сохранения Хе = Хе + Ал. Отметим, что закон сохранения энергии в аналогичной простой форме не представляется, так как в ходе процесса частицы взаимодействуют с полем. Полная вероятность излучения Wrad в единицу времени принимает простой вид в асимптотических случаях:
Мы будем рассматривать зарождение каскадов вблизи порогового значения интенсивности лазерного поля, которое соответствует / 1024-25 Вт/см2 Is или Е1, И С /5 С учетом того, что частицы в каскаде ультрарелятивистские, движение электронов и позитронов между актами излучения фотонов с высокой точностью можно рассматривать с помощью квазиклассического подхода [39]. Будем считать, что между актами излучения е± движутся по траекториям, определяемым из классического уравнения движения р = =ре(Е + v Н/с), при этом фотоны локализованы и движутся прямолинейно со скоростью света. Отметим, что в уравнениях движения не следует дополнительно учитывать силу радиационного трения, поскольку она учитывается автоматически отдачей при излучении фотонов [63].
Моделирование каскадов методом Монте-Карло
В разделе 1.4 мы показали, что самоподдерживающиеся каскады могут развиваться в одиночном лазерном импульсе. Для более аккуратного анализа было проведено численное моделирование методом Монте-Карло, описанным в предыдущем разделе. С помощью численных расчетов можно найти пороговую напряженность поля в фокусе Е ь, необходимую для инициирования самопод-держивающиегося каскада, при различных значениях параметра фокусировки . В расчетах для учета конечной длительности лазерного импульса в дополнение к модели, представленной в разделе 1.4, была введена гауссова огибающая по времени. Характерная длительность импульса составляет тх = 10 фс. Рассуждая строго, можно утверждать, что эффект возникновения каскадов не является пороговым, так как вероятности излучения фотонов заряженными частицами и фоторождения пар являются гладкими функциями \. При наличии некоторого распределения затравочных электронов число частиц, образующихся в каскаде, будет непрерывно расти с увеличением интенсивности. Тем не менее, эта зависимость может быть достаточно резкой при изменении интенсивности на один порядок от значения, когда квантовые процессы подавлены, до значений, когда их вероятность значительна. Определим порог возникновения каскадов как напряженность, при которой число начальных затравочных электронов удваивается за некоторый промежуток времени , например, = х/2. Зависимость ці от представлена на Рисунке 2.3. Каскады образуются, когда импульс достаточно фокусирован, что согласуется с оценкой (1.46). При Q = g каскады можно инициировать только при 0.034. Из рисунка видно, что оценка (1.56) необходимой напряженности поля для зарождения каскадов по порядку величины соответствует результатам численного моделирования в области жестко фокусированных лазерных импульсов. Отклонение от этой зависимости в области слабой фокусировки по всей видимости обусловлено условием (1.46) с точностью до численного коэффициента, опущенного при проведении оценок. При = 0.1, что соответствует фокусировке до дифракционного предела, для инициирования каскадов необходима интенсивность 1026 Вт/см2. Если в определении порога использовать меньший промежуток времени, например, = 1/, значения необходимой напряженности ці возрастут. Отметим, что ограничение расчетов величиной = 0.3 обусловлено особенностями используемой модели импульса, так как ее применимость обоснована при 0.3.
Предположим, что затравочная частица помещена в фокус лазерного импульса и первоначально находится в состоянии покоя, и поле удовлетворяет необходимым условиям для обеспечения зарождения каскада. Как осуждалось Рис. 2.3. Пороговая напряженность поля ЕЪ (), необходимая для инициирования каскада A-типа при помещении покоящегося электрона в точку г = 0. Порог Е определен как напряженность, при которой происходит удвоение числа начальных е за время 1) TL/2 (сплошная линия с точками) 2) 1/ш (сплошная линия с треугольными точками). Пунктирная линия — условие (1.56) (с дополнительным множителем 0.22), сплошная линия соответствует (1.46), образование каскадов возможно в зеленой области, ограниченной этими условиями. в главе 1, для запуска каскадного процесса электрон должен быть ускорен полем таким образом, чтобы соответствующий ему параметр (1.2) Хе быстро возрастал со временем. Так как %7 излучаемого фотона меньше Хе электрона, и рождение пар экспоненциально подавленно при %7 1, оптимальной будет такая конфигурацию поля, которая обеспечивает наиболее быстрый рост3 х — Хе. После этого можно численно рассчитать пороговую интенсивность, необходимую для развития КЭД каскада, в такой оптимальной конфигурации поля.
Поле стоячей волны, получаемое, например, при лобовом столкновении двух импульсов, является более эффективным с точки зрения образования каскадов, чем поле одного фокусированного лазерного импульса при одной и той же суммарной мощности [30, 60]. Кроме того, по всей видимости [59] каскад развивается максимально эффективно при помещении частицы в центр пучности поля, где суммарное электрическое поле максимально, а магнитное поле отсутствует. По этой причине будем рассматривать каскады в центральной пучности электрического поля стоячей волны, образованной двумя или более сталкивающимися импульсами.
Для того, чтобы оптимизировать заданную конфигурацию поля с точки зрения формирования каскада, необходимо в явном виде получить зависимость от времени параметра x(t) для затравочного электрона вблизи фокуса. Для этого можно воспользоваться формулой (1.31), полученной в главе 1. Однако вместо того, чтобы подставлять выражения для модели поля в соответствующую формулу для x(t), воспользуемся фактом отсутствия магнитного поля в фокусе и получим частный случай зависимости x(t) для произвольного поля такого типа в более простой форме. Для этого заметим, что параметр (1.2) можно X = —oF_\_, (2.1) где є — энергия частицы, а F_L — это поперечная к скорости частицы v компонента силы Лоренца, приходящейся на один заряд, F = Е + v х Н. Будем интересоваться движением электрона в интервале времени t С 1/w, где си есть частота поля. В этом случае электрическое и магнитное поля можно разложить в ряд Тейлора Е(ж) « Е0 + Е;М(0) , Н(ж) « Н Д0)ж" по координатам и времени х11 = (с,х). Напомним, что напряженность лазерного поля считается такой, что частицы быстро становятся ультрарелятивистскими, eEtacc/m 1, где tacc — время ускорения, но при этом поле остается слабым по сравнению с критическим полем КЭД Eg.
Эффект коллапса и возрождения каскадов
В рассуждениях и при моделировании выше предполагалось, что электроны в начальном пучке движутся вдоль оптической оси одного из импульсов. Такая схема удобна для анализа динамики каскадов, но кажется нереалистичной с точки зрения эксперимента, поэтому рассмотрим случай наклонного падения пучка электронов на область фокуса, как показано на Рисунке 3.1. Пусть — угол между пучком электронов и осью z. При малых значениях скорость роста числа пар в каскаде качественно не меняется по сравнению со случа -0.6 -0. Рис. 3.7. Зависимость числа электрон-позитронных пар Ne-e+ в каскаде, нормированного на число электронов в начальном пучке (сверху), и скорости его изменения dNe-e+ /dt (снизу) от времени при различных значениях угла столкновения. Тонкие пунктирные линии 1 -I- 4 обозначают амплитуду поперечного поля (в относительных единицах) на траектории пучка электронов при t 0 для случаев: 1) в = 7г/8, 2) в = 7г/4, 3) в = 37г/8, 4) в = 7г/2. ем в = 0. Так, при в = 7г/8 соответствующий график внизу на Рисунке 3.7 по-прежнему имеет характерную двугорбую структуру в которой первый пик соответствует каскаду S-типа, а второй - каскаду A-типа. Однако при дальнейшем росте угла G зависимость скорости образования пар в каскаде от времени несколько усложняется тем, что при t 0 (когда еще преобладает каскад S-типа) появляются новые пики. Так происходит потому, что при наклонном падении электронного пучка поперечная к нему компонента поля на его траектории Ej_(t,r(t)) /E%(t,r(t)) cos2 в + E (t, r(t)), определяющая величину динамического квантового параметра \ для электронов пучка (а значит, и вероятности генерации вторичных частиц), пульсирует со временем, как показано тонкими пунктирными кривыми 1 -і- 4 на Рисунке 3.7. Видно, что интервалы возрастания и убывания dNe-e+(t)/dt соответствуют возрастанию и убыванию амплитуды поперечного поля.
Эволюция распределения электронов вдоль координатных осей в относительных единицах. Сверху слева показана зависимость электрического поля (в относительных единицах) на оптической оси от координаты z в момент времени t = 0.
Зависимость среднего значения динамического квантового параметра х (сверху) и среднего значения энергии (снизу) электронов в каскаде от времени для случая = 7г/4. Несмотря на усложнение зависимости dNe-e+(t)/dt, качественно эффект коллапса и возрождения каскада остается прежним. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подробнее динамику каскада на примере случая = 7г/4. На Рисунке 3.8 представлена эволюция распределения электронов вдоль координатных осей. Видно, как на первом этапе электронный пучок движется прямолинейно, входя в область сильного поля, при этом средняя энергия электронов монотонно падает, параметр х колеблется, принимая достаточно большие значения (см. Рисунок 3.9), а число частиц растет (см. Рисунок 3.7), т.е. имеет место каскад S-типа. Затем, к моменту времени t — 0.1тх, пучок теряет практически всю первоначальную энергию и каскад S-типа начинает коллапсировать. При этом часть электронов начинает отклоняться от первоначальной прямолинейной траектории движения. Наконец, при t — 0.1тх вторичные частицы достигают области центральной пучности электрического поля, и через некоторый промежуток времени начинается новый всплеск рождения электрон-позитронных пар, причем большинство частиц начинает двигаться в плоскости поляризации ху, т.е. включается механизм ускорения. На протяжении этой стадии средние значения параметра \ и энергии частиц принимают значения, близкие к предсказываемым качественной теорией самоподдерживающихся каскадов [31, 63], Xest — М — 0.3, eest = m/i3 \/— 0.2GeV, (3.5) у со где /І = Eo/aEs 0.44. Таким образом, первые два пика скорости образования пар на Рис. 3.7 соответствуют каскаду S-типа, в то время как последний — каскаду A-типа. Этот каскад развивается до тех пор, пока лазерные импульсы не заканчиваются. Аналогичная картина наблюдается и при других значениях .
Зависимость полного числа Ne-e+ образующихся в каскаде пар от угла наклона представлена на Рис. 3.10. При , близких к 7г/2 число образующихся пар значительно возрастает. При таких углах наклона электроны попадают в область центральной пучности электрического поля раньше и потому прово 71 ЗО
Полное число пар, образовавшихся в каскаде, нормированное на число электронов в начальном пучке, в зависимости от угла падения налетающего пучка электронов G. дят в ней больше времени, что в силу экспоненциальной зависимости множественности каскада A-типа от времени [63] и приводит к росту полного числа пар при G = 7г/2. Хотя динамика эффекта коллапса и возрождения каскадов (превращения каскада S-типа в каскад A-типа) выглядит значительно проще в случае малого угла наклона электронного пучка к оптической оси лазерных импульсов, для повышения множественности самоподдерживающегося каскада предпочтительна геометрия с G = 7г/2.
Признаки разделения каскада на стадии S- и A- достаточно просто обнаружить при рассмотрении эволюции пространственного распределения частиц, как на Рисунках 3.3, 3.4, 3.6. Однако трудно предположить, что такие мгновенные распределения будет возможно измерить в реальном эксперименте. По этой причине необходимо исследовать конечные распределения фотонов и заряженных частиц, и искать проявления каскадов S- и A-типа в них. В случае каскада S-типа множественность зависит от энергии и интенсивности лазерного излучения, а его динамика определяется направлением движения начальных частиц. Особенности каскада A-типа зависят исключительно от структуры лазерного поля, и к тому же для их возникновения существует порог интенсивности. Учи 6.0 10d
Число образованных в каскаде е е+ пар, нормированное на начальное число электронов в пучке в зависимости от Е0 при є0 = 3 ГэВ (сверху) и в зависимости от энергии налетающего пучка Єо при Е0 = 3.2 10 3Е$. Сплошная линия соответствует углу столкновения = 0, пунктирная — = 0.487г. тывая все это, представим, что можно менять интенсивность от низкой, когда каскад A-типа не зарождается, до относительно высокой, когда он доминирует, и будем искать те изменения в распределениях конечных частиц, которые могут позволить идентифицировать каскад A-типа и отделить его от каскада S-типа.
Сначала рассмотрим полное число e-e+ образующихся + пар в каскаде. Согласно выражению (3.1), множественность каскада S-типа пропорциональна ос оо, в то время как в случае каскада A-типа она зависит экспоненциально от Q [63]. Это означает, что с увеличением интенсивности характер зависимости (Q) должен измениться при переходе через порог fa. По результатам нашего моделирования такой излом действительно имеет место, причем как в случае = 0, так и при /2, он происходит при ці 2.5 -т- 3.0 10-3д (или 4-1024 Вт/см2), как показано на Рисунке 3.11. Увеличение энергии налетающего пучка о при фиксированной интенсивности приводит к увеличению числа частиц, образующихся в каскаде S-типа, причем оно растет пропорционально о. Число пар в каскаде A-типа в свою очередь зависит линейно от числа затравочных частиц (во всяком случае, пока плотность образующихся частиц не слишком велика). Следовательно e-e+ во всем каскаде также пропорционально о, что согласуется с результатами моделирования (см. Рисунок 3.11).
Точное решение при столкновении с дельта-импульсом
Используя формулу -4 Ai (() = —13, мы, наконец, получим общее число пар Ne+e- (еЕь)(еЛ0)2 ґ = — , t« С 1, 4.52 S±T 6тг2лДт () что в точности совпадает с соответствующим предельным случаем (4.43). Другими словами, в пределе s С 1 точное решение (4.42) описывает рождение пар разреженным фотонным газом во внешнем постоянном скрещенном поле в соответствии с первым порядком теории возмущений по пучку фотонов. Число образованных пар пропорционально среднему числу фотонов в «жестком» импульсе Ne+e- ос 2 ос 7V7, что вполне понятно.
Перейдем теперь к пределу s = еЛ0/т = еЕ т/т 1. В этом случае применим приближение локально постоянного поля, то есть будем считать, что суммарное поле двух импульсов почти постоянно в окрестности каждой точки пространства. Тогда число скалярных пар можно вычислить следующим образом [35, 36, 38, 92]:
Удивительным образом функциональная зависимость от параметров поля совпадает с предельным случаем s 1 в (4.43). Тем не менее, остается некоторое различие в численном коэффициенте: в приближении локально постоянного поля он равен (27Г3)"1 « 1.61 х 10 2 вместо 5/(327гл/3) 2.87 х 10 2 в (4.43). Этот момент не следует считать значительной проблемой, так как приближение локально постоянного поля не может считаться точным для модели дельта-импульса.
Задача о рождении пар внешним электромагнитным в поле двух встречных плоско-волновых импульсов представляет большой интерес с точки зрения планирования и обсуждении экспериментов, но в целом не допускает точных аналитических решений. Если оба импульса являются оптическими и сильными (іо s 1), то количественные оценки числа образующихся пар можно получить с помощью приближения локально постоянного поля [90, 92, 114] с удовлетворительной точностью. Но еще более интересным является случай схемы, в которой сверхсильный оптический лазерный пучок сталкивается с ультракоротким импульсом. Второй из них состоит фотонов высокой частоты и, как и ожидалось [93], благодаря ему эффективность процесса рождения пар может возрасти. Если s С 1, ультракороткий импульс можно рассматривать как разреженный газ отдельных взаимно некогерентных жестких фотонов, и задачу можно решать пертурбативно по его полю. Тем не менее, существует проблема с переходной области (s 1), где единственный доступный в настоящее время подход — это метод мнимого времени, но он годится для аналитических количественных оценок, только если пространственная структура поля полностью игнорируется, однако такое допущение, по всей видимости, нельзя считать подходящим5.
В настоящей главе в первую очередь показано, как можно получить уже известную формулу (4.6), (4.7) для рождения пары фотоном в постоянном электрическом поле довольно простым способом с помощью квазиклассического метода. Оказывается, что структуру экспоненциального множителя в выражении для вероятности образования пары фотоном можно понять почти так же просто, как и экспоненциальный множитель в формуле для вероятности рождения пар из вакуума. Эти результаты можно легко обобщить на случай рождения
Например, очевидно, что в рамках такого подхода не удается объяснить хорошо известный факт, что одиночная плоская волна произвольной формы не рождает пар. пары фотоном в произвольном постоянном электромагнитном поле (хотя, для простоты, мы ограничились более простым случаем = 0). Также в духе подхода среднего поля обсуждена гипотеза о том, как можно расширить область применимости этих формул на более реалистичную схему с двумя встречными импульсами, по крайней мере, не задаваясь целью вычислить предэкспоненци-альный множитель. А именно, возможно имеет смысл учитывать изменение поля «жесткого» импульса, выделяя из него один репрезентативный жесткий фотон и рассматривая вероятность рождения пары этим фотоном в суммарном («среднем») поле двух импульсов, которое считается постоянным. Интуитивно, это должно соответствовать первому члену вириального разложения вероятности по степеням . Этот результат подтверждает предположение о том, что использование «жестких» импульсов (то есть, комбинации высокой мощности с высокой частотой излучения) может увеличить эффективность рождения пар. Далее, мы вводим новый тип точно решаемых моделей образования пар с одним из сталкивающихся импульсов, представленным дельта-импульсом. В этом случае рождение пар происходит исключительно внутри области перекрытия (то есть, внутри дельта-импульса), так что можно ввести in- и out-области и в явном виде получить преобразование Боголюбова, соединяющее in- и out-операторы рождения и уничтожения заряженного поля. В данном конкретном случае преобразование Боголюбова возникает как условие согласования на поверхности фронта волны дельта-импульса. Конечно, модели с дельта-импульсом вряд ли могут непосредственно применяться в оценках, имеющих отношение к реальным схемам экспериментов, так как они соответствуют бесконечным (надкритическим) напряженностям поля внутри «жесткого» импульса и, как следствие, наиболее важное свойство выражения для вероятности — наличие подавляющего экспоненциального множителя, соответствующего туннелирова-нию, — отсутствует. Тем не менее, в этом случае можно переопределить параметр и получить точную зависимость от него (в отличие от других известных подходов). Можно надеяться, что это (а также вся структура преобразования Боголюбова, которая оказывается весьма нетривиальной) даст некоторые дополнительные подсказки об особенностях непертурбативного режима рождения пар.