Содержание к диссертации
Введение
1 Дополнительные измерения и модели мира на бране 11
1.1 Сценарий Калуцы-Клейна 11
1.2 Модель Аркани-Хамеда-Димопулоса-Двали 13
1.3 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами 16
1.4 Стабилизированная модель Рэндалл-Сундрума 18
1.5 Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной 22
1.6 Модель Двали-Габададзе-Поррати 24
2 Гравитационное линзирование на бране 27
2.1 Введение 27
2.2 Конические дефекты в теории относительности 29
2.3 Конические линзы в модели RS2 32
2.3.1 Линеаризованная гравитация в КБ2-модели 32
2.3.2 Гравитационное ноле топологических дефектов в мире с одним дополнительным измерением 34
2.3.3 Решение уравнений геодезических в Г182-модели . 37
2.3.4 Эффект линзы 41
2.4 Линзирование в модели с двумя бранами 43
2.4.1 Линеаризованная гравитация в RSI-модели 43
2.4.2 Особенности гравитационного поля конических дефектов в RSI-модели 47
2.4.3 Отклонение частиц и лучей света в иоле локализованных на бране дефектов 52
2.5 Выводы 54
3 Эффекты самодействия в пространствах с дополнительными измерениями 56
3.1 Введение 56
3.2 Электростатическое самодействие: постановка задачи . 57
3.3 Особенность эффекта самодействия в Р182-модели 59
3.4 Функция Грина уравнения Пуассона в 1182-модели 64
3.5 RSI-модель 66
3.6 Модифицированная DGP-модель 72
3.7 Выводы 75
Приложение 77
Заключение 81
Благодарности 82
Список литературы 83
- Модель Аркани-Хамеда-Димопулоса-Двали
- Конические дефекты в теории относительности
- Линеаризованная гравитация в RSI-модели
- Электростатическое самодействие: постановка задачи
Введение к работе
Предположение о том, что наше пространство может иметь более трех пространственных измерений, возникло еще в начале XX века и до сих пор привлекает большое внимание. Идея использовать дополнительное пятое измерение для объединения гравитации и электромагнетизма впервые появилась независимо у Нордстрема |1] и Калуцы [2]. Еще до создания общей іеории относи'іельности Нордстрем рассматривал скалярную теорию гравитации как составную часть максвелловской электродинамики в пятимерном пространстве. В отличие от него, Калуца уже воспользовался эйнштейновской теорией гравитации и показал, что пятимерная гравитация в вакууме содержит в себе четырехмерную гравитацию в присутствии электромагнитного поля и уравнения Максвелла. Практически все последующие попытки объединения с помощью дополнительных измерений исходили из этого замечательного результата.
Общей проблемой всех многомерных теорий является ненаблюдаемость дополнительных измерений в низкоэнергетической области. Один из механизмов, который в неявном виде содержится в работе Калуцы, был выражен в явном виде и уточнен Клейном [3, 4]. Модель Калуцы-Клейна (КК) предполагает, что дополнительные измерения компактны и имеют очень малый размер порядка длины Планка Ipi = 1/Мр/. На таких масштабах практическое обнаружение скрытых размерностей выходит за рамки современных экспериментальных возможностей.
К сожалению, оригинальная идея Калуца-Клейна оказалась нежизнеспособной, а многочисленные модификации этого подхода, предложенные Эйнштейном, Йорданом, Бергманом и другими [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], использовали не более пяти измерений вплоть до появления теории слабых и сильных взаимодействий, которые требовали включения новых дополнительных измерений. Тем не менее исследования, направленные на разработку многомерных теорий, продолжались и привели к созданию скалярно-тензорной гравитации Бранса-Дикке [12, 13, 14, 15]. При определенных значениях параметров теория Бранса-Дикке (BD) и ее современные модификации [16, 17] вполне согласуются с экспериментальными данными и
широко используются в различных космологических моделях.
Сравнительно недавно появились многомерные теории, в которых дополнительные измерения могут быть макроскопическими и даже некомпактными. При этом эффективная четырехмерность достигается за счет локализации магерии в многомерном пространстве на его четырехмерных подмногообразиях, так называемых браная (тогда как гравитация может распространяться во всем объеме). Такие модели были предложены в работах [18, 19, 20J. Было также обнаружено, что подобные сценарии могут возникать и в теории струн [21, 22, 23, 24, 25]
Исследование таких сценариев с дополнительными измерениями было мотивировано в первую очередь проблемой иерархии взаимодействий. Эта проблема заключается в наличии огромного разрыва между масштабом электрослабого взаимодействия 1 ТэВ и планковским масштабом 1019 ГэВ. Данные модели могут быть грубо разделены на два типа. Первые из них берут начало от работ Аркани-Хамеда-Димопулоса-Двали (ADD) [26]. В них фундаментальный масштаб многомерного гравитационного взаимодействия может достигать 7!эВ-ных энергий за счет больших дополнительных измерений. Другой тип - это собственно модели Рэндалл-Сундрума (RS) [27], в которых метрика, в отличие от моделей КК и ADD, не факторизуется (не соответствует произведению пространства Минковского и дополнительного измерения), а ее структура ведет к экспоненциальной иерархии между электрослабым и планковским масштабами. Таким образом, обе модели предсказывают сильное гравитационное взаимодействие в многомерном пространстве уже не при планковских энергиях, а при энергиях несколько ТэВ и гравитационные эффекты можно будет наблюдать на ускорителях [28].
Кроме проблемы иерархии концепция многомерного пространства необходима и для теории суперструн, которая, но общему признанию, представляет из себя наиболее перспективную теорию высоких энергий, объединяющую квантовую гравитацию и теорию калибровочных полей. Это связано с тем, что низкоэнергетические следствия этой теории требуют 9 \ 1 или 10+1 мерного фундаментального пространства, в то время как другие размерности запрещены. Эффективная четырехмерность наблюдаемо-
го мира, как обычно, обеспечивается компактификацией дополнительных измерений. Отметим, что в работе Хоравы-Виттена [29] была предложена компактификация многомерного пространства на Sl/Z2 -орбифолде, и именно такая компактификация пятого измерения лежит в основе модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (RS1). Поэтому сценарии RS и их обобщения дают феноменологические модели, отражающие но крайней мере некоторые свойства М-теории. Кроме того, модель Рэндалл-Сундрума с одной браной RS2 может быть полезна для реализации голографического подхода, который заложен в М-теории [30].
Ранее уже говорилось, что дополнительные измерения могут быть большими, на самом деле они могут быть и бесконечными. Например, в модели RS2 [31] рассматривается одна брана с положительным натяжением в пространстве с бесконечным дополнительным измерением и отрицательной пятимерной космологической постоянной. Очевидно, что вэ'юй модели иерархия между планковским и электрослабым масштабами не объясняется с помощью дополнительного измерения. Тем не менее, сценарий мира на бране RS2 в силу своей простоты и привлекательной геометрии относительно других бранных моделей пользуется большой популярностью. Отметим еще тот факт, что благодаря локализации безмассового гравитона на бране в модели RS2 на больших расстояниях воспроизводится четырехмерная эйнштейновская гравитация.
Сценарии Рэндалл-Сундрума и их обобщения применялись и для описания бранных космологических моделей. Их можно рассматривать как высокоэнергетические модификации эйнштейновской теории, которые, судя по всему, не подходят для описания современной ускоряющейся Вселенной. Поэтому была предложена другая модель, претендующая на роль инфракрасной модификации теории Эйнштейна - модель Двали-Габадзэ-Поррати (DGP) [32]. Действие такой модели содержит эйнштейновский член с гравитационной постоянной G\ существенно отличный от пятимерной постоянной Gb- Считается, что такой член может быть индуцирован на фундаментальном уровне квантовыми эффектами в объеме, поэтому DGP-модель и ее модификации принято называть моделями индуцирован-ной на бране гравитации. DGP-модель характеризуется двумя энергети-
ческими масштабами - иланковским Мрі ~ 1019ГэВ и космологическим га ~ Ю~33эБ, при этом предполагается, что пятимерная гравитация становится сильной при (mMpi) ' ~ Ю~3эВ. К сожалению, из-за такого низкого масштаба сильной связи оригинальная DGP-модель находится в серьезном противоречии с гравитационными экспериментами. Тем не менее, еще продолжаются попытки получить непротиворечивую модель индуцированной на бране гравитации, которая воспроизводит закон Ньютона на больших расстояниях. Далее в диссертации мы рассмотрим модифицированную DGP-модель, в которой проблема сильной связи устранена.
Физика дополнительных измерений и модели мира на бране предлагают много новых интересных механизмов для решения проблемы иерархий и объяснения некоторых космологических проблем. Однако все вышеперечисленные модели все еще имеют ряд недостатков. Так, например, в модели RS1 гравитация на бране, соответствующей нашему миру, становится скалярной (как в теории Бранса-Дикке). Для решения этой проблемы был предложен ряд механизмов для стабилизации межбранного пространства, которое соответствует скалярному полю, известному как радион. Наиболее известные стабилизационные механизмы, делающие эту скалярную моду массивной, были предложены в работах [33, 34].
Кроме этих основных моделей изучаются и менее распространенные сценарии с дополнительными измерениями. В таких моделях рассматриваются как дополнительные временные измерения, так и случай, когда маїерия не обязательно бывает локализована на бране [35, 36, 37, 38, 39, 40].
В данной работе мы рассмотрим ряд гравитационных эффектов в поле топологических дефектов (космической струны и глобального мононоля) в мире на бране. Выбор таких, казалось бы, экзотических объектов нуждается в некотором обосновании. Прежде всего отметим, что эти космологические объекты с большой вероятностью могли возникать на ранних этапах развития Вселенной и в последующем определять ее эволюцию. Они могли послужить одной из причин образования тех начальных неоднородностей плотности материи в ранней Вселенной, вокруг которых в силу гравитационной неустойчивости образовались галактики и скопления галактик. Кроме того, если топологические дефекты сохранились до настоящего времени,
то их можно обнаружить с помощью астрономических наблюдений. Так, совсем недавно была найдена гравитационная линза, которую рассматривали в качестве возможного кандидата на звание космической струны [41]. К сожалению, дальнейшие наблюдения не подтвердили этот статус [42], но, тем не менее, поиск топологических дефектов во Вселенной интенсивно продолжается. Космическая струна и глобальный монополь представляют интерес и с теоретической точки зрения, поскольку позволяют исследовать квантовые и классические явления, совмещая нетривиальную структуру гравитационного поля и простоту аналитических расчетов.
Топологические дефекты уже ранее рассматривались в некоторых многомерных теориях. С использованием формализма [43] было исследовано гравитационное поле космической струны [44]. В работе [44[ и нашей ранней статье [45] были рассмотрен эффект линзирования для космической струны и глобального монополя в модели RS2 соответственно, но были допущены некоторые неточности, исправленные нами позднее в [46]. Работа [47J посвящена исследованию поляризации вакуума скалярного поля в окрестности топологических дефектов в этой модели. Эффект самодействия в поле космической струны в скалярно-тензорной гравитации был исследован в работе [48].
В настоящей работе изучаются порождаемые коническими дефектами гравитационные эффекты в моделях Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами, а также модифицированной модели Двали-Габададзе-Поррати (DGP-модель). На защиту выносятся следующие результаты:
В линейном приближении теории гравитации получены выражения для метрики локализованных на бране в модели RS1 конических дефектов - космической струны и глобального монополя. Исследован предельный переход к модели RS2.
Впервые проведено полное исследование эффекта гравитационного линзирования в случае модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.
Показано, что в Шэ2-модели, в отличие от модели RS1 и стандартной четырехмерной теории, угловое расстояние между изображениями при
линзировании на монополе может заметно превышать аналогичную величину для линзы, порождаемой космической струной.
Впервые рассмогрен эффект электростатического самодействия в моделях Рэндалл-Сундрума с коническим дефектом на бране.
Показано, что возможны ситуации, когда индуцируемый пятым измерением вклад в эффект самодействия становится доминирующим. Делается вывод, что более перспективным является поиск дополнительных измерений в явлениях с микроскопическими пространственно-временными масштабами.
Все перечисленные выше результаты были получены при непосредственном участии автора, либо самим автором. Результаты работы могут быть использованы для изучения гравитационных эффектов в других моделях с дополнительными измерениями пространства-времени, например, в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума или моделей с большим числом дополнительных измерений.
Научная достоверность работы определяется строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45, 49, 50, 4G] и докладывались на XVIII Международной конференции но квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2004, Санкт-Петербург; международной конференции «12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics»(Москва, МГУ, 2005); международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, по-свящ. 90 - летию К.П. Станюковича (Москва, РУДН, 2006) (часть результатов опубликована также в виде трудов и тезисов конференций [51, 52] и в препринтах [53, 54]).
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц. Список литературы содержит 137 ссылок.
В первой главе диссертации дан обзор основных моделей многомерной гравитации, обсуждаются их характерные особенности.
Во второй главе исследуется гравитационное поле конических дефектов в моделях Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами. Полученные результаты применяются для исследования процесса рассеяния массивных частиц и света локализованными на бране космической струной и глобальным монополем. Вычислены поправки к эффекту гравитационного линзи-рования, обусловленные наличием дополнительного измерения.
В третьей главе изучается эффект электростатического самодействия неподвижного точечного заряда в гравитационном поле помещенных на брану космической струны и глобального монополя. Рассматриваются модели Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами, а также модифицированная DGP-модель. В случае модели RS1 рассматриваются различные варианты расположения на бранах наблюдателя и топологического дефекта.
В заключении сформулированы основные полученные в работе результаты.
Модель Аркани-Хамеда-Димопулоса-Двали
В моделях мира на бране эффективная четрехмерность при низких энергиях объясняется тем, что вещество локализовано на бране. Гравитационное же взаимодействие учитывается по-разному. В сценарии, предложенным Н.Аркани-Хамедом, С.Димопулосом и Дж.Двали [26](ADD) пренебрегают натяжением браны (плотностью энергии на единицу пространственного объема браны) и рассматривают компактные дополнительные измерения. Но размер дополнительных измерений не обязательно должен быть микроскопическим как в теории Калуцы-Клейна.
В модели ADD четырехмерная гравитационная постоянная (?4 = 1/М2Р1 (1.8) не является фундаментальной. Наоборот, фундаментальным является D -мерное гравитационное действие S = -L-( dDXGl 2RM , (1.9) 1O7TGD J где Г = Х - 1 и yiD-г - frfd+2 есть фундаментальная D -мерная гравитационная посгоянная, выраженная чераз фундаментальный энергетический масштаб теории М, существенно отличный от Mpi, d = D — 4 - число дополнительных измерений, dDX = d xddy, и характерный размер дополнительных измерений конечен и равен L . Если ограничиться низкоэнергетическим приближением, основной вклад в который дают нулевые моды гравитационного поля, не зависящих от дополнительных координат у, то в формуле (1.9) интеграл но у факторизу-ется в виде объема внутреннего пространства. fdDX = fddyfd4x. (1.10) При этом эффективное действие для четырехмерной гравитации имеет вид fd4xgl/2R (1.11) LdMd+2 Seff = Ібтг с гравитационной постоянной ( и соответствующей планковской массой G4 = 2f, MPl = M(MLf2 . (1.12) Таким образом, наблюдаемый планковский масштаб зависит только от фундаментального D -мерного масштаба и размера дополнительных измерений. Этот механизм позволяет решить проблему иерархий, если, скажем, предположить, что фундаментальный масштаб гравитационного взаимодействия того же порядка, что и масштаб электрослабых взаимодействий М ХТэВ. Тогда разница между Mpi и MEW будет обусловлена только большим размером дополнительных измерений. Заметим, что это было бы невозможно в рамках стандартной модели Калуцы-Клейна, поскольку потребовало бы введения достаточно легких КК -партнеров частиц материи, запрещенных современными коллайдерными экспериментами. Но так как в бранных моделях КК-партнеры отсутствуют в принципе, такого экспериментального ограничения не существует. Возможные ограничения на размер дополнительного измерения следуют из экспериментов но проверке ньютоновского закона притяжения пробных масс. Этот закон хорошо проверен в масштабах небесной механики, однако в миллиметровом масштабе может иметь и отклонения.
В настоящее время закон притяжения хорошо проверен до расстояний 0.2мм [56, что дает нам оценку на размер дополнительных измерений L 0.2 мм . (1.13) Оценку (1.13) можно применить для установления ограничений на число дополнительных измерений. Используя (1.12) и характерное значение М 1 ТэВ, получаем следующие оценки для масштаба компактификации L: d = 1, L 1015 см , d = 2, L ИГ1 см , (1.14) d = 3, L 10 6 см . Как мы видим, случай одного дополнительного измерений исключается экспериментальными данными по небесной механике. Более реалистичный случай d = 2 как раз находится в области современных экспериментов по поиску отклонений от закона Ньютона. Ну а последний случай и случаи пространств с большой размерностью вообще находятся за гранью современных экспериментальных возможностей проверки отклонений от закона притяжения. Хотя если размеры дополнительных измерений разные - для некоторых больше, для некоторых меньше, то - может сложиться ситуация, когда при d 2 L 1 — 10 мкм [57].
Главным достоинством модели является ее простота, а недостатком -пренебрежение гравитационным полем, которое порождается браной. Более подробно ADD-сценарий можно посмотреть, например, в [26, 57, 58], а флуктуации на фоне плоской пятимерной метрики и возникающие из них физические поля достаточно подробно изучены в работе [59]. Отметим, что механизм локализации полей на бране не учитывается в этой модели, как и в других моделях, которые будут рассмотрены ниже. 1.3 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами
В работе [27] был предложен новый механизм для решения проблемы иерархии взаимодействий. Первоначально была рассмотрена система из двух бран, взаимодействующих с гравитацией в пяти мерном пространстве-времени. Эта модель известна как модель Рэндалл-Сундрума (обычно используется сокращение RSI-модель), и она широко обсуждается в литературе (см. [25, 57, 60] для обзоров и ссылок).
Считается, что наш мир расположен на бране с отрицательным натяжением. Гравитация же является сильной на скрытой бране с положительным натяжением. Геометрия анти-де-Ситера (AdS), введение которой было мотивировано феноменологией модели Хоравы-Виттена [29], обеспечивает экспоненциальное уменьшение гравитационного взаимодействия с планков-ского масштаба до ТэВ иых значений. Таким образом и решается проблема иерархии. Модель Рэндалл-Сундрума с одной (RS2) и двумя бранами (RS1) с материей на бранах была рассмотрена в работе [61]. Однако в эюй работе использовались гауссовы нормальные координаты и формализм "изогнутой браны". В работе [43] была показана непоследовательность этого подхода для Ри32-модели. Кроме того, использование гауссовых нормальных координат "перемешивает" вклады нолей радиона и гравитона в четырехмерное гравитационное поле, что мешает нам использовать специальную удобную подстановку из работы [62], которая расцепляет уравнения для полей гравитона и радиона во всем пространстве. В следующей главе мы получим линеаризованные уравнения движения для RSI-модели с материей на бранах из действия модели и воспроизведем выражение для метрического тензора из работы [63], которое и будет использовано для расчета гравитационных эффектов.
Конические дефекты в теории относительности
Даже если никаких скалярных частиц не будет обнаружено, роль скалярного поля в современных нолевых моделях чрезвычайно важна, так как эти ноля обеспечивают механизм спонтанного нарушения симметрии.
Нарушение симметрии может быть получено с использованием следу ю-щего потенциала скалярного поля У(Ф) = \(\Ф? - ПГ , (2.1) где ф = (ф1,..., фп) - мультинлет скалярных полей и т) - энергетический масштаб спонтанного нарушения симметрии. Объединение этих скалярных полей с калибровочными полями приводит к возникновению различных типов топологических дефектов (моноиоли, струны и доменные стенки). Тин дефекта зависит от топологии вакуумного многообразия [104, 105]. Было показано, что большинство типов дефектов несовместимо со стандартной космологией, за исключением космических струн и глобальных монополей. В самом деле, масштабное поведение, полученное Кибблом [106] в случае космической струны, и большая сила притяжения между монополем и ан-тимононолем [107, 108] свидетельствуют о том, что проблемы перепроизводства космических струн и глобальных монополей не существует.
Простейшая модель, в ко юрой локальные струны могут быть образованы, - это абелева модель Хиггса с двухкомпонентным скалярным полем и спонтанно нарушенной калибровочной [/(1) симметрией. В этом случае вакуум имеет топологию S1, и замкнутый контур не может быть стянут в точку, не покидая вакуумное многообразие. Это ведет к существованию линии в физическом пространстве, где ф = 0 и которая ассоциирована с очень большой линейной плотностью удерживаемой энергии благодаря локальному максимуму потенциала (2.1). Ширина этого линейного дефекта порядка г) 1, тогда как линейная плотность энергии ц приблизительно равняется rf. Для GUT струн т] 1016Л?5, и ширина струны порядка 10"28см. Таким образом, для космологических целей поперечным размером можно пренебречь и рассматривать объект как струну Намбу-Гото.
Если струна расположена вдоль оси z, цилиндрически симметричным решением уравнений Эйнштейна в этом случае является прямое произведение двумерного пространства Мипковского и конуса с дефицитом угла, равным A(ief = 8ттСф [109]: ds2 = -dt2 + dz2 -f dp2 + 01 p2dtp2 , /З = 1 - 4 24/І . (2.2) В некоторых приложениях полезно использовать координаты, которые являются конформно декартовыми на иоверхносги, перпендикулярной струне. Соответствующие координатные преобразования записываются в виде Pp = fo\ — J j х1 = г cos tp, х2 = г sin (р , (2.3) где го произвольный масштаб. После этих координатных преобразований метрический тензор (2.2) принимает вид ds2 = -dt2 + dz2 + e-2(l-Vln 6abdxadxb, г2 = 8аЬхахь, а, 6 =1,2. (2.4) Идея использовать конформные координаты была предложена в работе по гравитации малых размерностей [НО]. С использованием конформных координат тензор энергии-импульса струны может быть записан в виде (без потери общности положим го равным единице) Можно рассмотреть обобщение метрики (2.2) и (2.4) на сферически симметричный случай, когда любая плоскость, содержащая центр симметрии и делящая пространство на две равные части, является конусом с дефицитом угла Adef = 2я-(1 - /?): ds2 = -dt2 + dR2 + /32R2(d92 + sin2 9dtp2) (2.6)
Эта метрика описывает ультрастатическое сферически-симметричное пространство с дефицитом телесного угла, равным 47г(1 — /3 ). Как и в случае струны появляется возможность ввести конформно декартовы координаты на сечениях t = const . После переопределения радиальной координаты {3R = (г/го) 3 метрика пространственного сечения вышеуказанного линейного элемента принимает конформно евклидов вид. Таким образом, мы можем ввести набор декартовых координат {хг} , і = 1,2,3, с обычным соотношением между {х1} и сферическими координатами г, 0, (р.
Выражение (2.8) приблизительно равняется тензору энергии импульса глобального монополя с энергетическим масштабом фазовых переходов і] (2.9), который был введен в уравнении (2.1). Этот точечный дефект может возникнуть, если вакуум рассматриваемой нолевой модели имеет несжимаемые сферы. Простейшая модель, которая приводит к возникновению глобальных монополей реализуется в случае триплета скалярных полей при спонтанном нарушении 0(3) симметрии до /(1) [107,108]. Строго говоря, метрика самосогласованного сферически-симметричного решения уравнения Эйнштейна и уравнения движения триплета скалярных полей содержит массовый член, но он слишком мал по сравнению с астрофизическими масштабами, чтобы его учитывать. Выражение для тензора энергии-импульса (2.8) отличаеіся от общепринятого в литературе, но оно может быть получено из стандартного выражения обычным преобразованием координат.
Также ранее в литературе обсуждался вопрос о том, возможно ли обнаружить монополь но его линзирующим свойствам, которые основывались на неких аппроксимирующих предположениях [111]. Оказалось, что эти предположения на самом деле не являются необходимыми. Метрика (2.6) обладает тем замечательным свойством, что уравнения геодезических могут быть записаны явно в терминах элементарных функций. Это позволяет записать в явном виде выражения для положений изображения и наблюдателей, такие как угловой размер, яркость, смещение изображение и т.д. [112]
Мы видим, что оба конических дефекта не имеют гравитационного потенциала и не оказывают гравитационного воздействия на окружающую материю. Для обоих гравитационных дефектов их гравитационные свойства определяются только дефицитом угла. Основное различие между случаем глобального монополя и случаем космической струны состоит в том, что пространство монополя не является локально плоским, и его гравитационное поле обеспечивает приливное ускорение, которое пропорционально 1/г2 (1/Д2).
Прежде чем приступить к изучению эффекта линзирования в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной, рассмотрим более подробно основные положения этой модели, необходимые для более последовательного изложения материала. В своем изложении мы будем следовать работе [43]
Линеаризованная гравитация в RSI-модели
Следуя работе [62], воспроизведем основные результаты для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами. При отсутствии материи действие модели имеет вид (1.17) f {R-A)y/=gd xdy+ Я" 5 JE SRSI 167ГС?5 JE +Va [ \П&{У - ya) xdy . (2.59) brane где дмы метрика всего нятимерного пространства-времени с сигнатурой (-, +, +, +, +) и координатами {х», у) (д, г/,... = 0,1,2,3), gMN - индуцированная метрика на бранах, Va - натяжение а -ой браны. Считается, что браны расположены в неподвижных точках орбифолда у\ — О и у% — 0 . Модель предполагает жесткою связь между пятимерной космологической постоянной Л и натяжением бран У\$ ЗА; A = -12fc2, Vi =-у2 =-_-, (2.60) где к 0 - параметр модели, который обеспечивает существование решения, являющегося Пуанкаре-инвариантным на бранах Решение Рэндалл-Сундрума записывается в виде ds2 = llludx4xv + dy2 ,1{lv = Ve2ff, a (y) = -k \y\ . (2.61) Как было показано в работах [62, 63], при наличии материи на бранах решение существенно упрощается при наложении на линеаризованную пятимерную метрику калибровочных условий h/i4 — 0 , /I44 = / 44 (#) = Ф(х) . (2.62) При этом метрика записывается следующим образом ds2 = (v + К») dx»dxv + (1 + Й ЛУ2 і (2-63) и, несмотря на наличие материи, положение бран по-прежнему соответствует фиксированным значениям пятой координаты у = 0,L . В результате линеаризованные уравнения Эйнштейна принимают вид: 1) // -компонента ljiV (-Цаа - фа") - v (а% - \а к + \дМ 1,ш-с Ы + l-UKve-2 + h" + 2huva4 + 27 (дЛк 0 - d»dahvp - дудаку) = (2.64) = E пг «% Уа)ф+G ane y ) 6 2) уравнение для //4-компоненты играет роль уравнения связи -\ Ф + J Ь fahap - dahtffl = 0 , (2.65) 3) уравнение для 44-компоненты \е 2 ( 2a ti - 2а" + Пф + /і") - 2а ф = = E W(!/-rf- (2.66) Q - - ) + 0(4 + 4 ) , где tavЬгапе (х) - тензор энергии-импульса локализованной на а - ой бране материи, и где штрих обозначает производную по у.
Скажем несколько слов о калибровочной инвариантности модели. Нетрудно проверить, что уравнения движения инвариантны относительно калибровочных преобразований [63] MAIN = hMN - (VM лг + VJVM) (2-67) если функции fм удовлетворяют условию симметрии орбифолда ?(х,-у) = -?(х,у) . (2.68) Для метрики Рэндалл-Сундрума эти калибровочные преобразования могут быть найдены явно и имеют вид h ,w (х У) = V (ж У) - [д и + Лц + 27 ) , hU (х У) = V (ж, у) - (д 4 + д&ц - 2д4а ) , (2.69) ft44 0е, У) = 44 (ж, У) - 2044 где 4 = д/ду. Эти калибровочные преобразования в другой параметризации обсуждались в работе [43]. Используя расщепляющие подстановки можно решить уравнения движения (2.64) - (2.66). Мы будем использовать для поля h на бране калибровку Де-Дондера, которая соответствует выбору гармонических координат. Тогда в данной калибровке возмущение метрики на бранах 1,2 удобно записывать в следующем виде V = V + s« ре2а%„кЬф + 28а.р(Р кЬ- ф , (2.70) где первый а и второй /3 индексы соответствуют номерам бран, на которых локализованы материя и наблюдатель соответственно, и принято соглашение, что функции Sn.f) определяются следующим образом «1.1 = 1» «1.2 = «2.1 = 0» «2.2 = "І і т\ = сг (yi) = 0, а2 = а (у2) - -kL . (2.71) При этом след возмущения можно записать как к = 6за0(у)е2 кЬф, (2.72) где поле радиона при наличии материи на бране удовлетворяет уравнению 00 = . (2.73) Поперечно-бесследовая [6 = 0, Л = 0) часть возмущения метрики при наличии материи на /9 -ой бране в импульсном пространстве имеет вид V (? Ур) = -WV -да.р (у0, q/k) . (2.74) где функции да р (ур, q/k) определяются выражениями К2 (д/кек\У \) h (q/kekL) + I2 (q/kek ) Kx (q/kekL) 9i.fi [УР, Q/k) - h {ф) Ki {q/kekL) _ h {q/kehL) Ri {g/k) (2.75) , /м -кьЪ (д/кекШ) h (g/k) + h {д/кекШ) К, (g/k) M = e ШкЖЛфе -Шке Мф) (2J6) Несложно показать, что в случае когда наблюдатель и материя находятся на первой бране, то в интервале \/к С г «С e kL/k все получаемые результаты для гравитационного линзирования будут полностью воспроизводить результаты І182-модели. В самом деле, получаем возмущение метрики (2.77) V (д) = 87Г ?5 ЛЙ -Л +з qK q/k) ЗегЧ"1" V, что соответствует решению 1182-модели в калибровке Де-Дондера, поэтому данный случай исключим из дальнейшего рассмотрения.
Обсудим, какой диапазон необходимо брать для эффекта линзирования. В модели RS1 характерное значение параметра к ХТэВ и считается, что величина kL « 30-f35. Для этих значений параметров величина ekL/k много меньше типичных для эффекта линзирования прицельных параметров, которые имеют порядок килопарсека. Поскольку вычислить h u(q,yp) с подынтегральными функциями (2.75), (2.76) аналитически не представляется возможным, воспользуемся асимптотическими разложениями функций (2.75) и (2.76), которые адекватны рассматриваемой задаче. Нетрудно заметить, что в интересующем нас интервале эти функции ведут себя как \/q. Это поможет существенно упростить вычисления, для удобства введем новые функции Qap — ga p/q, зависящие только от параметров A:, L. Qhl = -2 + (1- coth(fcL)) , Q1.2 = Q2.1 = 1 - coth(fcL) , (2.78) где у функции Qa р индексы соответствуют расположению дефекта и наблюдателя на бранах (по аналогии с (2.71)). Так как в рассматриваемой модели материя локализована на бранах, то при нахождении индуцированной метрики в линейном приближении мы должны, как и в случае RS2, использовать выражения для тензора энергии-импульса материи, которые имеют место в четырехмерном пространстве Минковского.
Электростатическое самодействие: постановка задачи
Как нетрудно заметить, выражение для энергии, формально записанное через функцию Грина Uem(x) = 2ке2С(х,х) расходится при х - х\ поэтому необходимо произвести процедуру регуляризации, чтобы отделить конечную часть от соответствующей бесконечной собственной энергии точечного заряда расходящейся части Go. Оставляя в выражении для оператора V только линейные возмущения метрики, несложно получить первую поправку GQVGQ к функции Грина. Кроме того, используя некоторые свойства гравитационного поля космической струны и глобального монополя, выражение для оператора V удается существенно упростить.
Вообще говоря, для расчета силы и энергии самодействия нам достаточно знать функцию Грина в совпадающих точках, однако как показано в приложении, при некоторых ограничениях можно найти функцию Грина и в раздвинутых точках, что дает возможность найти потенциал в окрестности точечного заряда в рассматриваемой модели.
Рассмотрим сначала модель Рэндалл-Сундрума с одной браной. Как следует из второй главы метрический тензор модели можно представить в виде = e-2 l(V + /vh (3-12) где возмущение метрики в выбранной калибровке (2.12) допускает следующее разложение V = V + (V4)V 5 (3-13) здесь h = ffvh v - след h , a h - иоперечно-бесследовая часть возмущения метрики. Запишем для удобства компоненты поперечно-бесследовой части в импульсном пространстве и выделим вклад от дополнительного измерения м ?) = Км+ЦМ » hl(q) = 16 4 , (3.14) Км = .f&w«). К, (д/к) іде поперечнс-бесследовый тензор Wfiu{q) определен обычным образом через соответствующие четырехмерные цензоры энергии-импульса и (?) = W«) -1 (v - 9-f) «(e) Фурье-образ следа h записывается в виде h(q) = Gbk . (3.15) Ш tfc) 3 q2 С учетом калибровки (2.12) перепишем оператор возмущения (3.7) в терминах h, hftu в импульсном пространстве V = WpiPj - 5l Pihq} - Sij {qihPj + hfipj) - hmSijplPj . (3.16)
Заметим, что в случае неподвижного заряда и электростатического поля OQG (Х, Х ) = 0 и dog = 0 наша задача сводится к вычислению первой поправки к функции Грина трехмерного оператора Пуассона. Представим оператор V в виде суммы У == VEms + Vbulk , где первое слагаемое соответствует обычной эйнштейновской гравитации VEm8 = h ijPtPj - - (qthPj + hPlPj) - h006lJptPj , (3.17) а второе соответствует вкладу от дополнительного измерения Vbulk = hl 11РгР1 - «ЛР, - (3.18) Вычислим сначала первую поправку к функции Грина для глобального монополя. Для этого подсіавим соответствующее возмущение метрики h IJ, h00 в оператор возмущения (3.17), получаем d4q e%qx f d?p e lp(x-x ) ,3 о /„ _\2 (2тг)4 J (2тг) V fa - ?) тот OB.M = « / &?/ (3.19) X \2W on{q)ptp для эйнштейновской части и СШк(х,х) - ЫСЪ I —A——-J J J —f х v 5J (2тг)4 q Кх(ф)і (2тг) x[ on(g)pV - 0m0onMJ] (3.20) для вклада от дополнительного измерения.
Очевидно, что первая поправка к функции Грина в пределе совпадающих точек должна быть перенормирована, так как интеграл расходится при х - х. Несложно показать, что такой интеграл можно вычислить с помощью меіода размерной регуляризации. Соответствующие формулы вынесены в приложении.
Окончательно мы получаем значение для первой поправки к функции Грина которая в точности совпадает с соответствующим выражением в обычной четырехмерной эйнштейновской гравитации. Поэтому произведенное разложение для оператора возмущения вполне оправданно. Первую поправку от дополнительного измерения необходимо рассчитывать с помощью асимптотического разложения для Ко (q/k) jK\ {q/k), поскольку в явном виде интеграл не берется. Получаем, если заряд далеко от монополя г Аг1 OSS ( . S) = - J сРд - (-7 + In 2 - In (,/ )) = - 5«G 5G4 (-7 + ln_2)j3(a;) _ (3.22) 48r3fc2 96fc -і для заряда вблизи от монополя г «С Аг .2 0Шк ( , ) - gg- J —- - 2 Ч (3-23) Таким образом, обіцая первая поправка к функции Грина для глобального монополя на больших расстояниях г к-1 и вблизи монополя г к -1 C-(fll)e!M. . (3.25)
Полученные выражения для потенциала были получены в приближении d С l/k , но совершенно аналогичные выражения можно получить в другой области d 1/к. Как следует из (3.45) и (3.46) вклад от дополнительного измерения для глобального монополя и космической струны имеют разный знак. Это означает, что наличие дополнительного измерения но разному деформирует линии силового ноля для казалось бы схожих топологических дефектов.
Рассмотрим теперь случай, когда наблюдатель расположен на второй бране, а дефект находится на первой (а = 1, (3 = 2 ). В этом случае мы имеем эффект "теневой" материи. Все вычисления в этом случае такие же, как и описанные выше, но для того, чтобы получить правильный результат нам необходим перейти к галилеевым координатам на бране и переопределить границы интервалов для асимптотических выражений.
В данной главе мы рассмотрели эффект электростатического самодействия в моделях Рэндалл-Сундрума с одной и двумя бранами, а также в модифицированной DGP-модели. С помощью теории возмущений была получена первая поправка к функции Грина в пространстве космической струны и глобального монополя локализованных на бранах. Используя полученные результаты, были найдены энергия и сила электростатического самодействия точечного заряда в рассматриваемой модели и были проанализированы различные варианты взаимного расположения материи и наблюдателя на бранах. Было показано, что из-за вклада радиона в случае локализации наблюдателя и материи на бране с отрицательным натяжением и в случае "теневой" материи сила электростатического самодействия является силой притяжения, что качественно отличает рассматриваемый случай от эффекта самодействия в модели с одной браной для больших г к"1 расстояний и от стандартной четырехмерной теории. Кроме того, показано, что в случае 1182-модели для малых расстояний г -С Аг1 вклад от дополнительного измерения в случае струны отсутствует, а в случае монополя является доминирующим, в этом случае сила самодействия меняет знак и становится силой притяжения. Как мы видим, относительный вклад обусловленных наличием дополнительного измерения поправок к эффекту самодействия на малых расстояниях существенно больше, чем аналогичный вклад в эффекте гравитационного линзирования.