Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Хаотическая адвекция: обзор литературы 10
ГЛАВА II Инвариантные структуры фазового пространства в простой модели хаотической адвекции 25
2.1 Модельный поток 25
2.2 Периодическое возмущение и гомоклинный хаос 30
2.3 Описание численного эксперимента 32
2.4 Структура фазового пространства 34
2.5 КАМ-торы и кантор-торы 39
2.6 Хаотическое инвариантное множество и неустойчивые перио
дические орбиты 41
ГЛАВА III Геометрия и фрактальные свойства хаотического рассеяния 48
3.1 Динамические ловушки и фракталы 48
3.2 Структура хаотического рассеяния 55
3.3 Транспорт пассивных примесей 59
3.4 Транспорт и перемешивание в лабораторном эксперименте . G2
3.5 Расчёт размерности Хаусдорфа-Безиковича фрактала рассеяния 64
3.6 Модель фрактала рассеяния 68
ГЛАВА IV Влияние внешнего шума и его свойств на динамику адвектируемых частиц 74
4.1 Влияние малого шума на динамические системы 74
4.2 Цели и задачи настоящей главы 77
4.3 Модель стохастической компоненты гидродинамического потока 78
4.4 Структура фазового пространства при наличии шума 80
4.5 Топологические свойства шумоиндуцированного рассеяния 85
4.6 Шумоиндуцированная диффузия 93
Заключение 98
Список статей, опубликованных по теме диссертации 100
Библиография
- Периодическое возмущение и гомоклинный хаос
- КАМ-торы и кантор-торы
- Транспорт пассивных примесей
- Топологические свойства шумоиндуцированного рассеяния
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена теоретическому и численному исследованию хаотической адвекции пассивных примесей в ламинарных гидродинамических потоках, относящихся к классу неинтегрируемых гамильтоновых систем с полутора степенями свободы. В ней рассматривается, вероятно, простейшая двумерная модель такого рода — адвекция частиц стационарным точечным вихрем на фоне течения с периодической составляющей набегающего потока. Решение этой задачи стимулировано наличием интересных природных объектов — топографических вихрей в океане и атмосфере, возникающими над горами. Актуальным, в частности, является изучение влияния приливных течений и квазистационарных океанских топографических вихрей над подводными горами на циркуляцию вод, перенос загрязнений и биологическую продуктивность океана.
В последнее десятилетие методы теории динамических систем стали активно применяться в физической океанографии с целью качественного и количественного описания влияния когерентных структур на транспорт и перемешивание водных масс, солености, тепла и вещества (примесей). Существенно возросшие за это время возможности визуализации океанских потоков с помощью буев нейтральной плавучести, спутниковых и радарных измерений позволяют уверенно выявлять различные эйлеровы когерентные структуры в океане: от планетарных круговоротов, фронтов, основных струйных течений, мезомасштабных вихрей до более мелких вихрей, струй и филаментов. Под термином "когерентная структура", вслед за многими авторами, мы понимаем некое структурно устойчивое квазистационарное образование, существующее на временах, значительно превышающих все эйлеровы временные характери-
стики потока. Пример такой структуры приведен на Рис. 1. Это спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N. Отчетливо видна петля меандра на фоне основной (вообще говоря, нестационарной) струи Гольфстрима. Подобные структуры возникают и в другом пограничном западном потоке — Куросио.
Целью данной работы является выявление, описание и объяснение в рамках нелинейной динамики основных механизмов перемешивания пассивных примесей (загрязнений, тепла, солёности, фитопланктона и др.) в нестационарных гидродинамических потоках. Поскольку фазовое пространство двумерного несжимаемого гидродинамического потока совпадает с его конфигурационным пространством, то геофизические потоки и лабораторные эксперименты с красителями представляют уникальную возможность наблюдать невооруженным глазом в форме пространственных картин такие фундаментальные структуры и свойства хаотической динамики как инвариантные множества и их устойчивые и неустойчивые многообразия, фрактальные границы, полеты Леви, динамические ловушки и прочее.
Одним из важнейших открытий последних 30-40 лет в физике и математике динамических систем является обнаружение, исследование и понимание нового (в строгом смысле) вида движения — динамического хаоса, т. е. хаотического поведения детерминированных нелинейных динамических систем. Формализовать понятие динамического хаоса проще всего в терминах показателя Ляпунова. Пусть Axq есть расстояние между двумя начальными состояниями в фазовом пространстве. Определим величину
6(t)= lira ^-, (1)
характеризующую на сколько разошлись две бесконечно близкие друг к дру-
Рис. 1. Спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N.
гу точки к моменту времени t. Если время t достаточно мало, чтобы можно было считать изменение начального состояния равномерным, то S(t) есть решение дифференциального уравнения
d6 АЛ
(2)
г.
а именно
S(t) = VAf. (3)
Если показатель Ляпунова А положителен, то динамика, характеризуемая величиной 5(1), экспоненциально чувствительна к малым изменениям начальных условий и называется хаотической. В ограниченном фазовом пространстве экспоненциально быстро разбегающиеся траектории возвращаются в окрестность своего начального положения, образуя при этом сложнейший клубок непересекающихся (по теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения, определяемого начальными данными) траекторий, который дает наглядный образ хаоса в детерминированных системах.
Одним из первых, кто указал на существование сложных и практически непредсказуемых движений, описываемых уравнениями классической физики, был А. Пуанкаре. Решая задачу трёх тел в небесной механике, он обнаружил, что сложное поведение динамической системы связано с существованием гомоклинической структуры (трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий неустойчивой точки равновесия), содержащей бесконечное множество траекторий как периодических, так и непериодических (33]. Развитие идей А. Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Математическая теория, которая в настоящее время изучает подобные системы, — это так называемая теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Несмотря на огромные успехи этой теории, превратившейся по сути в самостоятельный раздел математики, она в большинстве нетривиальных случаев даёт лишь качественное описание движения. В этих условиях естественно использовать физические методы исследования, основанные на введении при-
ближенных моделей, разумных экстраполяции и правдоподобных допущений, направляемых и подкрепляемых экспериментом. При этом речь идёт не только о "настоящих" экспериментах с реальными системами, но и о так называемых численных экспериментах, т. е. численном интегрировании уравнений движения. С эрой высокопроизводительных компьютеров и появлением нового вида научной деятельности — численного экспериментирования, началась массированная атака на хаос (см., например, [1,14,36,38]).
В первой главе диссертации описывается явление адвекции пассивных примесей в двумерных потоках идеальной жидкости. В таких потоках скорость частиц можно выразить через скалярную функцию двух пространственных координат и времени — так называемую функцию тока. При этом уравнения движения частиц имеют гамильтонов вид, где гамильтонианом является функция тока, а координаты являются канонически сопряженными переменными. Для стационарного течения функция тока не зависит от времени, уравнения движения соответствуют консервативной гамильтоновой системе с одной степенью свободы и, следовательно, являются полностью интегрируемыми. В этом случае траектории частиц совпадают с линиями тока (линиями уровня функции тока). Для нестационарных двумерных течений функция тока и уравнения движения частиц явно зависят от времени, порождая неконсервативную гамильтонову систему с полутора степенями свободы (роль половинки степени свободы играет время). Такие системы, вообще говоря, не являются интегрируемыми и в них возможен динамический хаос, иногда называемый в двумерной гидродинамике лагранжевой турбулентностью. В этой же главе дан обзор современного состояния теоретических и экспериментальных исследований хаотической адвекции в жидкостях.
Во второй главе диссертации в рамках двумерной модели открытого несжи-
маемого периодического потока со стационарным точечным вихрем теоретически и численно выявлен типичный механизм хаотического перемешивания, описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей, предложен численный метод выявления неустойчивых периодических орбит с помощью карт изменения энергии частиц. Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое многообразие Ли которого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и греков большого числа пассивных примесей.
В третьей главе рассмотрена задача хаотического рассеяния и транспорта частиц. Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества Л с материальной линией частиц из набегающего потока. Установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик потока. Функции рассеяния являются сингулярными на канторовом множестве начальных условий, что должно проявляться в экспериментах в виде сильных флуктуации измеряемой величины. Предложена математическая модель формирования фрактала рассеяния. Показано, что пространственная диффузия трассеров является аномальной с алгебраическими "хвостами" функций распределения, что объясняется наличием динамических ловушек в системе.
Все реальные системы подвержены шуму в том или ином виде. В реальных системах не наблюдаются такие процессы, которые возможны только в от-
сутствие случайных возмущений (например, сепаратрисная траектория или монохроматический предельный цикл). Внешний шум вызывает случайные отклонения от того динамического процесса, который описывается соответствующими детерминированными уравнениями. В четвёртой главе изучается практически важный вопрос о влиянии внешнего шума, его амплитуды и спектра на структуру разбиения фазового пространства, на транспорт частиц в целом и на такие обнаруженные в детерминированной системе свойства хаотической адвекции как "прилипание" траекторий, фракталы и распределения времен захвата частиц в вихревой зоне. Показано, что несмотря на достаточно сильный внешний шум в фазовом пространстве системы могут сохраняться зоны устойчивости. В конфигурационном пространстве они проявляются в виде когерентных кластеров — устойчивых и локализованных (в течение достаточно большого времени) конгломератов частиц в виде струй и пятен.
Периодическое возмущение и гомоклинный хаос
Приведена оценка интеграла Пуанкаре-Мельникова возмущённой системы. Численно исследуется механизм хаотического перемешивания пассивной примеси. Функцию тока системы с возмущением удобно представить в виде суммы где Фо " стационарная функция тока, Фі — возмущение, — интенсивность возмущения. При включении внешнего периодического возмущения даже с очень малой амплитудой происходит расщепление невозмущённой сепаратрисы. Для системы (12) с полутора степенями свободы расщепление усов сепаратрисы можно установить анализируя интеграл Пуанкаре-Мельникова -оо где {Фо, Фі} — скобки Пуассона стационарной функции тока Фо и возмущения Фі из выражения (25), xs(r — а) и у8(г — а) — решение на сепаратрисе, параметризуемое вещественным числом а. Если функция 1(a) имеет простые нули, то при малых ф 0 устойчивые и неустойчивые многообразия седловой особой точки пересекаются трансверсально.
Прямое вычисление интеграла (2G) даёт периодическую функцию которая, очевидно, имеет нули, являющиеся простыми при х8(т) ф 0 (см. детали в [20]). Трансверсальное пересечение многообразий приводит к формированию гомоклинной структуры в окрестности седловой точки невозмущённой системы [34]. Представление о сложности этой структуры дает Рис. 4, на котором изображен фрагмент сечения Пуанкаре в моменты време-ни 2тгт(т = 0, 1, 2,...) при = 0,01. Это типичная гомоклинная структура для гамильтоновых систем (см., например, [25]), содержащая бесконечное множество траекторий как периодических, так и случайных и являющаяся зародышем формирования в детерминированном потоке стохастического слоя, имеющего место при любом сколь угодно малом возмущении. С увеличением возмущения происходит расширение этого слоя, заполняющего постепенно всё доступное фазовое пространство. 1
Трансверсальное пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седла — зародыш гомоклинного хаоса (є = 0,5 и f = 0, 01).
Для расчёта гомоклинической структуры, изображённой на Рис. 4, сначала интегрировалась траектория с начальной точкой, выбранной вблизи "седла", до момента времени г = 27г, т. е. на период нестационарной составляющей потока. Затем, на следующий период возмущения интегрировались 200 траекторий, с начальными условиями, равномерно распределёнными на отрезке между начальной точкой и её изображением в момент времени т = 2л\ Последующие итерации этого отрезка вперёд и назад во времени привели в результате к осциллирующим кривым Н и Н \ изображённым на Рис. 4. Именно трансверсальное пересечение устойчивого Н и неустойчивого Н( ) многообразий является механизмом, приводящим к многократному растягиванию и складыванию элемента фазовой жидкости, что в свою очередь, приводит к эффективному перемешиванию.
Для иллюстрации сходства динамики адвектируемых частиц с отображением типа подковы, которое характерно для многих систем с хаосом [14], была вычислена эволюция ансамбля этих частиц в областях ламинарного и турбулентного потока (в лагранжевом смысле). Эволюция малого пятна, состоящего из 104 трассеров, в окрестности седловой точки в последовательные моменты времени т = 0, 27г, 4тг, 67Г изображена на Рис. 5. Очевидная деформация растяжения пятна с последующими складываниями типична для отображения подковы. Периметр пятна экспоненциально растёт с течением времени, тогда как его площадь (инвариант гамильтоновой системы) остаётся неизменной. Это приводит к существенному ускорению скорости обычной турбулентной диффузии примеси (если она, вообще, существует), поскольку в результате хаотической адвекции значительно увеличивается граница раздела вещества примеси и жидкости.
КАМ-торы и кантор-торы
Хорошо известным проявлением хаотического рассеяния являются фрак-талоподобные функции рассеяния с бесконечным числом сингулярностей [101]. На Рис. 18 показана зависимость времени Т, за которое частицы вымываются из вихревой зоны в область свободного потока, от начальных положений частиц. На отрезок с уо = —6 и XQ = [—4,65; —4,35], находящийся справа от устойчивого "уса" невозмущённой сепаратрисы в области набегающего потока, помещалось N = 105 равномерно распределённых частиц. Функция T(XQ) имеет гладкие участки, на которых она непрерывна и аналитична, и участки, где она плохо разрешима. Сколько бы мы не увеличивали эти области, мы не сможем избавиться от сингулярностей функции. На Рис. 18(6) демонстрируется 15-кратное увеличенное изображение одной из областей неразрешённо-сти T{XQ). Отчётливо видно самоподобие функции рассеяния T(XQ), которая в принципе неразрешима в некоторых областях своего определения. Отметим, что карта пленения на Рис. 16 даёт двумерное изображение фрактальной структуры функции рассеяния. Дальнейшее увеличение разрешения подтверждает самоподобие, при этом время захвата Т увеличивается с увеличением разрешения, т. к. мы выявляем все более тонкую структуру хаотической адвекции. Кроме того, время пленения частиц, попадающих в вихревую зону из набегающего потока при сколь угодно большой скорости потока, может быть сколь угодно большим. Вопрос о том, является ли это время конечным, остаётся открытым. Во всяком случае, такие частицы с практической точки зрения можно считать навечно захваченными топографическим вихрем.
Подчеркнём, что обнаруженные в работе фракталы и динамические ловушки не являются следствием специфики нашей упрощённой модели — эти явления типичны для гамильтоновых систем со слабым перемешиванием [27, 108]. Они должны наблюдаться в реальных экспериментах по хаотической адвекции в кюветах и в более сложных моделях с топографическими вихрями различной конфигурации и граничными условиями [21,22]. У частиц, захваченных в динамические ловушки, увеличиваются возможности химической и биологической активности (если они способны на такую активность), что может привести к важным последствиям. Один пример таких последствий — уменьшение концентрации озона в полярном атмосферном вихре в результате усиления соответствующих химических реакций с участием озона вдоль фрактальных поверхностей [59]. Другой пример — возможность со 4,35
Фрактальная зависимость времени вымывания частиц из вихревой зоны Т от их начального положения XQ. Нижняя панель — 15-кратное увеличение одной из зон неразрешимости функции рассеяния T(XQ). существования разных видов фитопланктона в среде с неоднородным перемешиванием, где множество динамических ловушек обеспечивает множество экологических ниш для различных видов.
Для исследования геометрии транспорта пассивных примесей в зоне перемешивания выберем в области свободного набегающего потока на линии у = — 6 отрезок начальных условий, левый конец которого является точкой пересечения этой линии с нижним "усом" возмущенной сепаратрисной петли в моменты времени 37г/2 + 27Г771 (sin г = —1), а правый — точкой пе ресечения с "усом" возмущенной сепаратрисы в моменты времени 7г/2 + 2тгт (sinг = 1). Все нетривиальные процессы рассеяния происходят с частицами, начальные координаты которых находятся в области, ограниченной этими двумя амплитудными значениями мгновенных сепаратрисных линий тока. На Рис. 19 показаны фрагменты эволюции заданной материальной линии в моменты времени г = 8тг, Эх, Ют и 1І7Г. Точка А при т = 0 находилась на пересечении невозмущенной сепаратрисы (sin г — 0) и линии уо — 6, а именно XQ(A) = —4,6447002. Точка G — на пересечении сепаратрисы в моменты времени 7г/2 + 2ят и этой линии, XQ(G) = —4,3577522. Частицы с начальными координатами XQ —4,6447002 их$ —4, 3577522 не захватываются вихрем и сразу вымываются в зону свободного потока (см. сегменты, обозначенные пунктиром на Рис. 19). Частицы А и G вдоль устойчивого многообразия попадают в окрестность седловой периодической орбиты и задерживаются там на длительное время (теоретически бесконечное).
Вычислим полное число оборотов п вокруг вихря, совершённое большим количеством частиц, выбранных на отрезке AG до момента их попадания в зону выходящего свободного потока (часть плоскости выше линии у = 6). График зависимости п(хо) представляет собой сложную иерархию последовательностей отрезков материальной линии AG (Рис. 20) с фрактальными свойствами, которые порождаются бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого и неустойчивого многообразия с материальной линией начальных условий при её вращении вокруг вихря.
Транспорт пассивных примесей
Как было установлено выше, образование фрактала рассеяния на Рис. 20 обусловлено действием в системе ряда механизмов: 1. складывания и растяжения; 2. удержания концов сегментов строф и эпистроф в области невозмущённого седла; 3. механизма, действие которого приводит к образованию строф; 4- удержания адвектируемых частиц во внутренней области перемешивания (кантор-торы на границах резонансных островов и бесконечное множество неустойчивых периодических и непериодических траекторий). Рис. 23. Эволюция трека красителя а лабораторном эксперименте [55].
Первые два механизма определяются существованием гомоклинической структуры возмущённой сепаратрисы. Влияние каждого механизма на динамику адвектируемых частиц проявляется на разных масштабах времён и чисел a.
Паттерны красителя в лабораторном эксперименте [55]. (а) Инжекция в западном пограничном течении, (Ь) инжекция на границе южного круговорота, (с) инжекция во внутренней области южного круговорота. оборотов. На малых числах оборотов и малых временах (порядка нескольких периодов возмущения) поведение частиц определяется действием механизмов складывания и растяжения, удержанием концов сегментов строф и эпистроф в области невозмущённого седла, а также механизмом, приводящим к образованию строф. На высоких уровнях фрактала (большие времена) в динамике частиц значимую роль начинает играть механизм удержания адвектируемых частиц во внутренней области перемешивания. Следует отметить, что нам пока не известно в каком соотношении действуют механизмы образования строф и эпистроф на различных временных интервалах.
Результаты численного расчёта размерности Хаусдорфа-Безиковича фрак-тального множества [37], образованного концами сегментов эпистроф и строф, обнаруживают характерный рост (тренд) размерности фрактала с увеличением разрешения на выбранном отрезке начальных условий (см. Рис. 25). Эту закономерность можно объяснить следующим образом: увеличивая разрешение, мы обеспечиваем рост доли адвектируемых частиц, попадающих во внутреннюю область перемешивания, где велико влияние кантор-торов, а также бесконечного множества неустойчивых периодических и непериодических траекторий. Мы предполагаем, что для высоких уровней фрактальной структуры (большие числа оборотов и большие времена), механизм генерации сегментов иной, чем для нижних уровней. Т. е. фрактал рассеяния генерируется по нескольким правилам-законам, действие каждого из этих законов зависит от выбора временного масштаба наблюдения (счёта). Очевидно, что значения размерности Хаусдорфа-Безиковича фрактальных структур, полученных по этим правилам в отдельности, могут сильно отличаться 73,81]. 12 18 24
Перечислим некоторые открытые проблемы, заслуживающие дальнейшего изучения. Представленная здесь методология пригодна для решения широкого круга задач классического хаотического рассеяния с неоднородным фазовым пространством, закономерности которого определяются наличием и свойствами непритягивающего хаотического множества с гиперболической и негиперболической компонентами. Для гиперболического рассеяния можно вывести формулу d 1 — (А (Т))"1, связывающую фрактальную размерность d с максимальным показателем Ляпунова А и средним временем пленения частиц в зоне перемешивания (Т) [66,85]. При наличии негиперболической компоненты эта формула непригодна. Требуется более глубокое изучение взаимосвязи топологических, динамических и статистических характеристик хаотического рассеяния.
Топологические свойства шумоиндуцированного рассеяния
На Рис. 30 показаны траектории двух частиц с начальными условиями из области набегающего потока и очень большими временами захвата Т для случая сильного шума (а = 1, = 0,1): (а) — высокочастотного; (б) — низкочастотного. Рис. 30 следует сравнивать с Рис. 15, где изображено "прилипание" частицы в отсутствие шума. При а — 0 частицы "прилипают" к границам когерентных структур, а именно, к границам вихревого ядра и большого "острова". Эти границы абсолютно непроницаемы для частиц в отсутствие шума. Как уже отмечалось, шум вызывает "размывание" этих структур и их границ. При увеличении уровня шума а разрушается всё большее число КАМ-торов и диффузия осуществляется вглубь вихревого ядра. Мы считаем, что такой процесс уже нельзя называть "прилипанием".
Для количественной оценки степени влияния шума на структуру вихревого ядра введём понятие глубины проникновения г — максимального расстояния между невозмущенным седлом и точками пересечения траектории частицы левого луча оси Ох. Значение г = 0 соответствует невозмущённому седлу, а г = І/є — центру вихря. На Рис. 31 в логарифмическом масштабе представлены функции распределения частиц N(r) по глубинам проникновения, полученные при различных параметрах и типах возмущения. Для расчета выбиралось N = 300000 трассеров, первоначально равномерно размещённых в области набегающего потока на отрезке XQ Є [—4, 7;—4,3], Уо = —6. В случае периодического возмущения (жирная линия) функция распределения имеет резкий спад, соответствующий последнему нерезонансному тору вихревого ядра: rmax & 1) 25, где rmax — максимальная глубина проникновения для данного типа и параметров возмущения. Шумоиндуци-рованная диффузия приводит к смещению "хвоста" функции N(r) в область больших глубин Гсст-е 1,25, это особенно заметно для сильного высокоча стотного шума, когда Гсх-е = 1,75 (см. Рис. 31 правая колонка, а = 1). На распределениях видны зоны "запрещённых" значений глубин проникновения: г\ Є (0,015; 0,03), Г2 (0,32; 0,39), которые сохраняются и при больших значениях интенсивности шума (а 0, 5). Частицы, попавшие в одну из таких зон, заносятся затем в более глубокие области перемешивания и совершают, как минимум, ещё один оборот вокруг центра вихря перед выходом в свободный поток. Возникновение "запрещённых" зон, как мы считаем, связано со сложной пространственно-временной реализацией процесса хаотического рассеяния (внос частиц из набегающего потока, транспорт в области перемешивания) и требует дальнейшего исследования. Также, остаётся пока без ответа вопрос о причинах образования пика над большими глубинами проникновения на распределениях N(r).
На Рис. 32 и 33 (левые колонки) изображены фрактальные зависимости времени выноса частиц из зоны перемешивания от их начальных координат #о при разных типах и параметрах возмущения. При умеренных значениях относительной интенсивности а 0,1, шум слабо влияет на вид функции рассеяния (расположение гладких участков и пиков). С ростом а, наблюдается сужение области вноса и её смещение влево относительно нижнего уса невозмущённой сепаратрисы. Сильный высокочастотный шум приводит к уменьшению высоты пиков функции рассеяния, что связано с большой скоростью шумоиндуцированной диффузии.
Обнаруженная неоднородность шумоиндуцированной диффузии частиц должна найти отражение в статистических аномалиях. Представленные на Рис. 32 и 33 (правые колонки) функции распределения числа частиц по временам захвата (выноса) имеют ярко выраженные "тяжёлые хвосты" (Т 250), где зависимость N(T) имеет вид N Т у с некоторым показателем степени у. Для расчётов выбирались N = 300000 частиц, равномерно размещённых на отрезке XQ Є [-4,7; —4,3], уо — -6. Жирной линией показан "хвост" функции распределения N(T) в отсутствие шума, с параметром 7 — 2,46 (Т [250; 1000]). С ростом интенсивности низкочастотного шума функция распределения N(T) смещается вправо, в область больших времён захвата (Т 1000), при этом коэффициент наклона уменьшается от значения 7 = 2,25 при а = 0,05 до у = 1,67 при а = 0,5. Для больших значений а 0, 5 кривая распределения становится менее монотонной и определение коэффициента наклона не возможно. Для сверхслабого высокочастотного шума (а = 0,05) кривая распределения имеет наклон у = 1,94, т. е. меньший чем при низкочастотном такой же амплитуды. С ростом интенсивности высокочастотной компоненты, происходит подъём "хвоста" функции распределения над "средними" временами захвата: 300 Т 1000 (см. Рис. 33), коэффициент наклона у при этом увеличивается. Отметим сходство функций распределения над "средними" временами захвата для сильного высокочастотного шума и для периодического возмущения (см. Рис. 33, для а = 1).