Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории Лань Чэнь

Содержание к диссертации

Введение

1 Геометродинамика и неэрмитова теория 10

1.1 Теория относительности как калибровочная теория 11

1.2 Геометродинамика, АДМ-формализм 12

1.3 Первичное квантование континуальной системы 13

1.4 Приближение минисуперпространства 14

1.5 РТ-симметричная квантовая механика 16

1.6 Псевдо-эрмитовая теория 20

1.7 Темная энергия, проблема сингулярности 21

2 Модель космологии с метрикой ФРУ и одним скалярным полем 23

2.1 Формулировки моделей 23

2.2 Калибровочные условии 25

2.3 Квинтэссенция

2.3.1 Классическая теория 28

2.3.2 Квантовая Теория 32

2.3.3 ВКБ предел, сравнение с классическим решением 34

2.3.4 ВКБ приближение, ВКБ пакет 36

2.4Фантом 39

2.4.1 Классическая Теория 40

2.4.2 Квантовая теория 42

2.4.3 Равномерное асимтотическое разложение функции Бесселя 43

2.4.4 Сравнение с классическим решением 44

2.4.5 ВКБ волновой пакет 45

2.5 PT-ом

2.5.1 Классическая теория с комплексным потенциалом Лиувилля 49

2.5.2 Наглядный классический РТ-ом 50

2.5.3 Квантовая теория 50

3 Интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями 53

3.1 Классическая модель 53

3.2 Квантовая теория 56

3.3 Квазиклассическое решение 57

4 Гибридная модель космологии с PT-симметричным ком плексным потенциалом 58

4.1 РТ-симметричные свойства динамических переменных 58

4.2 Классическое решение 60

4.3 Квантовая теория 62

4.4 Квазиклассическое приближение 62

4.5 Гауссовский пакет 64

Заключение 66

Приложение 67

Равномерное Асимптотическое Разложение Функции Бесселя 67

Классические Сингулярности 69

Благодарности

• Приближение минисуперпространства
• ВКБ предел, сравнение с классическим решением
• Квантовая теория
• Квазиклассическое приближение

Введение к работе

Актуальность темы исследования. С одной стороны, после наблюдения бозона Хиггса и первого прямого детектировании гравитационных волн коллаборациями LIGO и VIRGO приходит новая эпоха постстандартной модели, в которой квантование гравитации становится одним из наиболее важных вопросов в теоретической физике, а квантовая космология, представляющая собой одно из применений квантования гравитации, вызывает интересные концептуальные, математические и физические вопросы. Эта теория применяет квантовую физику к целой Вселенной, она возникла в результате понимания, что квантовая физика должна применяться ко всему в природе, в том числе и ко Вселенной.

Мы знаем, что на сегодняшний день инфляционная стадия развития Вселенной принята как ранний период во вселенной, но, чтобы возникла подходящая инфляция, Вселенная должна иметь некоторые необходимые доинфляционные начальные условия. Это и есть вопрос начальных условий, квантовая космология, как один из кандидатов, отвечает на него.

Кроме того, при исследовании темной энергии, появляются новые типы сингулярностей в развитии Вселенной, напр. большой разрыв, большое торможение, и т. д., которые отличаются от большого взрыва и большого сжатия. Это и есть новый вопрос сингулярностей. Квантовая космология предлагает инструмент, чтобы рассматривать квантовое состояние Вселенной при наличии сингулярностей, кроме того изучение квантового эффекта дает возможность дополнить классическое уравнение Фридмана, так что в итоге можно исключить классическую сингулярность.

В соответствии с настоящими данными, в уравнении состояния Вселенной, описывающем связь давления p с плотностью материи , его

индекс w = p/ возможно пересекает значение w = -1. Но одно скалярное поле материи не может реализовать такое явление, это запрещено "no-go" теоремой, таким образом, теории со многими полями вызывают большой интерес, особенно интегрируемые модели.

Вселенная как замкнутая система не только образуется квантовыми элементами, но и она сама в целом является квантовым объектом на ранних этапах. Таким образом, Вселенная является типичным объектом для изучения квантования замкнутой системы, особенно потерь когерентности.

С другой стороны, активно развиваются некоторые обобщения кван-

/

' \^

LQG Canonical approach ^^^"^

^4 Geometrodynamics 1^

\ 4

Рис. 1: Схема квантовой гравитации

товой механики. Бендер К. (C. Bender), Мустафазаде А. (A. Mostafazadeh) со своими соавторами исследовали возможность неэрмитовой квантовой теории, которая утверждает, что эрмитовость не является обязательным условием вещественности спектров энергий в квантовой механике. Эта теория одновременно дает возможность изменить точку зрения на проблему стабильности, например, гамильтониан с потенциалом V = -x⁴

в PT-симметричной теории имеет положительный дискретный спектр энергии, и, самое удивительное, авторы показывают, что неэрмитова квантовая механика может иметь вещественный спектр как эрмитова

теория, например, теория с потенциалом V = ix³. Такая идея может

пролить свет на решение проблемы фантомной материи с индексом уравнения состояния w < -1.

Степень разработанности темы исследования. Квантовая космология является применением квантовой теории ко Вселенной в целом (см. Рис. 1). Несмотря на то, что много исследователей сделали большие вклады в создание квантовой космологии, официальная история модели должна начинаться с определения главного динамического уравнения, т.е. уравнения Уилера-ДеВитта (УДВ), которое получено в 1967-1968 годах в пионерских работах ДеВитта и Уилера. В своей работе Б. ДеВитт применил каноническое квантование к замкнутой Вселенной Фридмана с веществом, которое не описывается фундаментальным полем. Это первая модель квантовой космологии в минисуперпространстве. Мини-суперпространтво (сокращенно МСП) - это общее название для космологической модели с конечным числом степеней свободы. Центральным объектом интереса в квантовой космологии является волновая функция

замкнутой Вселенной, которая инвариантна относительно трехмерных диффеоморфизмов и удовлетворяет уравнению Уилера-ДеВитта.

После начальных попыток нескольких авторов, в квантовой космологии некоторое время, в 1970-х годах, было затишье. Однако, она была снова активизирована в 1980-х годах вследствие работ Джеймса Харт-ля, Стивена Хокинга и Александра Виленкина. Как и любое функциональное дифференциальное уравнение, уравнение Уилера-ДеВитта имеет бесконечное число решений. Чтобы получить единственное решение, необходимо задать некоторые граничные условия в суперпространстве, поэтому вопрос о выборе соответствующих граничных условий на волновую функцию Вселенной стоит очень серьезно. Идея заключается в том, что такие граничные условия должны описать возникновение Вселенной из ничего, где ничего означает отсутствие пространства и времени. Двумя основными кандидатами являются предложение Хартля и Хокинга без границ и туннельное предложение Виленкина.

Происхождение неэрмитовых теорий имеет разные корни, но они становятся актуальными только при осуществлении в моделях PT-симметрии. Бендер со своими коллегами показали, что вещественность спектров связана с принципом симметрии относительно отражения пространства-времени, и они утверждали, что этот принцип симметрии может заменить обычное требование эрмитовости Дирака. Мустафазаде предложил другой подход, вводя понятие псевдо-эрмитовости. Он показал, что все РТ-симметричные теории являются Р-псевдо-эрмитовыми, т.е. PT-теория принадлежит к одному из классов псевдо-эрмитовой теории. Центральный вопрос псевдо-эрмитовой теории состоит не только в доказательстве вещественности спектра, но и в нахождении метрического оператора, с помощью которого можно построить норму и эквивалентную эрмитову теорию.

Цели и задачи диссертационной работы. В настоящей работе

мы рассматриваем космологию скалярных полей материи с потенциалами типа Лиувилля, и её квантование в подходе геометродинамики, в котором космологическое состояние описывается уравнениями Уилера-ДеВитта.

В приближении минисуперпространства квантуется метрика Фридмана - Робертсона - Уокера. Построена модель нескольких скалярных полей с потенциалами Лиувилля и кинетическими членами, в которые включено специальное смешивание такое, что в конечном итоге можно разделить переменные в уравнении Уилера-ДеВитта и найти его точные

решения в терминах специальных функций.

В рамках PT-симметричной теории также рассмотрена модель с двумя типами полей, в которой одно из полей имеет неэрмитово, но PT-симметричное действие. Мы называем такое поле PT-омом. Используя технику общей псевдоэрмитовой теории, показано, что космология двух скалярных полей с PT-омом имеет вещественный спектр энергии.

Научная новизна. В настоящей работе была впервые построена интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями, потенциалы которых являются экспоненцильными функциями. В работе предложен интеграл движения как калибровочное условие, получена траектория в минисуперпространстве, с которой можно прямо сравнить гауссовский пакет.

Впервые было проведено исследование PT-симметричной теории в квантовой космологии для решения проблемы фантома в рамках гео-метродинамики. Получено, что PT-симметричная космология имеет вещественный спектр энергии.

Теоретическая и практическая значимость. В первой части диссертации предлагается интеграл движения как калибровочное условие для модель Луивилля, решение которой неявно зависит от параметра времени, так что сравнение с квазиклассической теорией становится более прямым.

Точно решаемая модель с несколькими полями, изложенная в диссертации, может быть использована для построения модели темной энергии с индексом уравнения состояния, пересекающим линию w = -1

(phantom dividing line), а также для развития РТ-симметричной теории, применимой в космологии.

Методология и методы исследования. Исследования, составляющие диссертацию, проводились методами геометродинамики в приближении минисуперпространства (см. Рис. 1) и псевдо-эрмитовой квантовой механики. Первый метод позволяет интегрировать уравнение Уилера-ДеВитта, рассмотреть космологическую сингулярность и доинфляцион-ные условия; второй позволяет исследовать неэрмитовую квантовую космологию, получить вещественный спектр энергий Вселенной. Подробное изложение см. в главе 1.

Положения, выносимые на защиту:

Используя интегралы движения на связях как калибровочные условия, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувил-ля. Решения являются траекториями в МСП, которые неявно зависят от времени. Полученные решения сопоставлены с волновыми пакетами в квантовой теории.

Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы, которая обеспечивает возможность разделения переменных. Для этой модели получены решения уравнения Уилера-ДеВитта в терминах специальных функций.

Для описания периода эволюции Вселенной с индексом уравнения состояния меньше -1, применена идея PT-симметрии: рассмотрена квантовая геометродинамика с двумя типами скалярных полей, одно – типа квинтэссенции, другое – типа РТ-ома. Показано, что для периодических граничных условий спектр энергий вещественный.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты,

изложенные в диссертации, опубликованы в 2 печатных работах из списка ВАК, докладывались и обсуждались на 4 международных конференциях:

Публикации:

1. Andrianov A. A., Novikov O. O., Lan Chen. Quantum cosmology of multi field scalar matter: Some exact solutions[J]. Theoretical and Mathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.

2. Andrianov A. A., Lan Chen, Novikov O. O. PT-Symmetric Classical and Quantum Cosmology// In: Non-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics. Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.

Доклады на конференциях:

3. 2016. QUARKS-2016. 19th International Seminar on High Energy Physics.

4. 2015. 15th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics.

3. 2015. 5th International Conference ”Models in Quantum Field Theory”, dedicated to Alexander Nikolaevich Vasiliev.

4. 2014. International Conference dedicated to the Yu.V. Novozhilov’s 90-th anniversary. In Search of Fundamental Symmetries.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены авторам самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, 4 главы основного текста, заключение и приложение. Объем диссертации составляет 79 страниц, включая 23 рисунка. Список литературы содержит 51 источник.

Приближение минисуперпространства

Трудности мы уже встречаем при квантовании континуальнной системы [52]. Давайте рассмотрим такой пример, первичное квантование скаляр-13 ного поля. Гамильтонианом системы является Н = dx:i ( -7г2 Н—(V0)2 + У{ф) ) (1.16) затем превратим все переменные в операторы, которые образуют некоторую алгебраическую структуру, и эти операторы имеют дифференциальное представление

Однако, если используем эти операторы для построения уравнения Шре-дингера, получим бесконечномерное (функциональное) дифференциальное уравнение, потому что ф - функция, зависящая от координат, т.е. в каждой точке мы имеем одну динамическую переменную, и, вообще говоря, значения поля - разные в разных пространственных точках. Таким образом, конфигурационное пространство континуальной системы является бесконечномерным. Кроме того, с (V0)2 как потенциалом нелегко разбираться. Все это определяет вторичное квантование.

Это то, что случается, когда квантуем гравитационую систему по схеме канонического квантования, потому что метрики как динамические переменные являются континуальными относительно х. Однако наряду с вторичным квантованием, развивалась и другая, упрощенная схема, которая известна как приближение минисуперпространства. В соответствии с этим подходом, мы не квантуем на всем конфигурационном пространстве, но на его части при наложении некоторой симметрии. Для скалярного поля, мы реализуем приближение минисуперпространства, предполагая, что поле является пространственно однородным, тогда гамильтониан упрощается Ті =-7Г + У\ф) (1.18) Самое важное, что теперь размерность конфигурационного пространства оказывается конечной. Тогда уравнение Шредингера становится дф + У(ф) (ф)= А2 (0) (1.19)

В космологии подробную идею реализуют, налагая требование наибольшей симметричности метрики, однородности и изотропности распреде ления материи, т.е. метрика имеет вид ds2 = N2 dt2 - jijO2 dx% dx- (1.20) где jij - метрика 3-сферы, 3-плоскости или 3-гиперболоида. а = ехр(а) -масштабный фактор, а поле ф - лишь функция времени. Тогда действие Вселенной с одним скалярным полем можно записать так,

Для произвольного потенциала, это уравнение не всегда интегрируемо, поэтому, как пример, мы рассмотрим разложение потенциала в окрестности заданной классической конфигурации фо У(ф) Vo + У\(ф - фо)+ УЇ(Ф - Фо)2 + (1.26) так что уравнение сокращается до к 2 2 \ д2а дф + Voe6a (ск, ф)=0 (1.27) затем подставим следующий анзац (а,0)= е Рф/(а) (1.28) получим Y2 f"{a)+ — + Voe6a f(a)= (1.29) (1.30) (1.31) Для V0 0, мы имеем следующую комбинацию решений r! r! 2V 2V f() = c1Ki 0 e3 + c2Ii 0 e3 где Рф\ и = 3{ Учитывая граничное условие ограниченности волновой функции при ! ± 1, уберем одно из них, и построим полное решение, используя форму волнового пакета 3{ 3{ (а,ф) = / dps A(p(t )eh Кіу —\ —e3a v )Y F9 F9 av 3 (1.32)

РТ-симметричная квантовая механика является обобщением эрмитовой квантовой теории. Известно, что в эрмитовой теории все наблюдаемые величины соответствуют эрмитовым операторам. Такое предположение обеспечивает вещественность спектров, т.е. вещественность наблюдаемых величин. Однако существует такой класс систем, у которых гамильтонианы неэрмитовы, но спектры их - вещественные[ 32,36] . Например, H = p2 + x1 + їх (1.33) Этот гамильтониан неэрмитов, но при РТ-преобразовании (отражении пространства и времени) не меняется, т.е. PxP =-x, TtT =, TiT =-i, PTpPT =p (1.34) Для вещественной энергии E, классическое решение имеет вид Рис.(1.3). E=1 Рис. 1.3: Классическая траектория в комплексной плоскости для различных начальных условий x0 при E = 1

Легко проверить, что спектр остается вещественным на вещественной оси, т.е. En = 2n + 5/4, Рис.(1.4). Волновые функции имеют вид

Однако здесь появляется некоторая проблема– проблема ортогональности. Напомним, что ортогональность в эрмитовой теории опре деляется в следующем виде, Рис.(1.5) / (ІХ ФпФгп — $nrn — oo Таким образом, имеем / dx фоФо = / dx фіфі =1 но / dx фіфі = —/=, / do: 1 0 — т= л/3 V 3 Это значит, что ортогональность нарушается. (1.36) (1.37) (1.38) Рис. 1.5: Ортогональность. Слева – (1.36) , справа – (1.39). Чтобы восстановить ортогональность, необходимо переопределить соотношение ортогональности где т Можно проверить, что тут do: фш Сфп = 5пш = РТфтРТ, С = ( — 1)П (1.39) (1.40) г у 1 1 /от__й \2 IP О —— Є /о (2ж+і)2 х Н— (1.41) действительно образуют ортогональный базис, Рис.(1.5). Это представляет собой соотношение СРТ-ортогональности. Еще существует одна проблема – так называемая проблема соответствия. Построим ВКБ-анзац WKB \TS0 (ж) = A(x) exp — 5о(ж) (1.42) A – амплитуда , аS0/ обычно считается как фаза, они все вещественны в обыкновенной квантовой механике, но в РТ-теориях сразу возникает вопрос: является ли вещественная фаза S0 квазиклассическим действием системы( 1.33)? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте подставим ВКБ-анзац в уравнение Шредингера, h дх + (x + іж) = Е (1.43) получим SQ(X)2 + х1 — Е =0 (1.44) — 2ША/(ж)5 о(ж) — ihA(x)SQ{x) + іжЛ(ж) = 0 (1.45) и их решения при х1 Е 1 / 1 / х \ оо(ж)= ±—хуЕ — х1 ± - arctan 2 2 лЛЕ1 — xl л/Е1 — ж2 2 (1.46) А{х)= ехр і? — ж2 Как видно, S0 совпадает с действием вещественного гармонического осциллятора, поэтому @ES = 0, где S = S0 + Et, даст лишь траекторию осциллятора, и она -вещественная. Это значит, что вещественная фаза S0 не является квазиклассическим действием системы( 1.33).

Проблема в том, что в РТ-теориях мы должны допускать комплексный ВКБ-анзац, т.е. теперь "фаза"S0 - не вещественpная, а, вообще говоря, комплексная. А именно, показатель экспоненты E2- x2 из функции A(x) должен быть добавлен в действие (с мнимой единицей). Соответственно, экстремум действия находится в комплексной плоскости координаты. 1.6 Псевдо-эрмитовая теория

РТ-симметричная неэрмитовая теория в предыдущем разделе принадлежит к классу псевдо-эрмитовых теорий. По определению, гамильтониан является псевдо-эрмитовым, если существует линейный эрмитовый оператор ту, такой что г] 1Н г] = Н (1.47) кроме того, если г] еще и положительно определенный, тогда можно построить эквивалентный эрмитовый гамильтониан h = рНр , г] = р (1.48) здесь h) = h и р - положительный эрмитовый оператор. Cогласно этому определению, РТ-симметричный неэрмитовый гамильтониан является псевдо-эрмитовым оператором с ц = Р, т.е. Н = РТНРТ = РН Р = РН Р (1.49) Однако, c одной стороны, для псевдо-эрмитового гамильтониана, ц не единственный оператор; с другой стороны, Р - не положительно определенный оператор, это значит что у него не существует положительного эрмитового корня для построения эквивалентной эрмитовой теории. Поэтому нахождение подходящего оператора ц является главной задачей в псевдо-эрмитовой теории 33].

ВКБ предел, сравнение с классическим решением

Квинтэссенция является одним из типов темной энергии, у которой индекс уравнения состояния всегда больше отрицательной единицы w —1, в режиме медленного скатывания. Это значит, что в представлением одного скалярного поля у квинтэссенции имеется положительный кинетический член, т.е. р w = - — 1 (2.30) р где р - давление и р - плотность энергии поля, конкретно, в представлении скалярного поля, давление равно разности кинетического и потенциального члена, а плотность энергии равно их сумме, р= У(Ф), Р = Ь У(Ф) (2.31) 2N 2N 2.3.1 Классическая теория Сначала рассмотрим предельный случай, когда Л = 0. Для калибровки N = 1, уравнение Фридмана сокращается до [ 2 "1 Ае-&а(ч __ у (2.32) где рф - сохраняющаяся величина и t является точно космологическим временем. Решение этого уравнения будет 2 Т) е6а = — sinh 2V v3 cV(t + to) (2.33)

Как видно, а имеет три сингулярности, одна находится в нуле функции sinh, где h = a, h = а, /9 /г2ир /г + 3/г2/2 тоже расходятся, другие две - в точке бесконечности, где лишь а расходится. Эти точки можно рассматривать как большой взрыв и большое сжатие соответственно, Рис.(2.1). Эволюционное уравнение скалярного поля имеет вид еЛ/бя{ф+фо) _ tanh (І -\- iQ\ (2.34) Соединяем эти два уравнения 2.33) и (2.34) и получим траекторию в минисуперпрастранстве. (. РІ і2 \ЪК , , е = — cscn W—{ф + фо) (2.35) 2к V 2 С другой стороны, если используем калибровку N = е аф/рф, полу чим . 2 К (\ V 6 \ (а (ф)) = — —I е (2.36) 3 2 рф из которого сразу можно найти траекторию в минисуперпространстве, и результат совпадет с предыдущим 2.35). Это очевидно, потому что траектория в минисуперпространстве не должна зависеть от конкретных выборов калибровки.

Если префактор потенциала - отрицательный, тогда физика квинтэссенции существенно меняется. При калибровке N = 1, у нас получится Т) е6а = cos2 2\V I \/3 i\V\(t + to)\ (2.37) 1.0 -0.5 0.0 05 1-0 1.5 V V: Динамические переменные a, h, hи р, зависящие от времени. Слева - квинтэссенция с по ложите льными потенциалом, справа - квинтэссенция с отрицательным потенциалом

Очевидно, а теперь имеет бесконечные сингулярности в конечные моменты времени из-за периодичности функции cos ж, в нулях cos ж все физические величины расходятся, Рис.(2.1). Решение для поля - такое

Хотя космологический фактор имеет многократные сингулярные точки, траектория в минисуперпространстве в своей области хорошо определяется. Рф 2\V\ sech2 (2.39) 6a — (ф + фо) 3a ф/рф получается такое же Можно проверить, что в калибровке N уравнение. Как показывает Рис.( ), для положительного постоянного потенциала V 0 траектория имеет одну сингулярность, а в случае V 0, траектория имеет одну точку поворота. Теперь рассмотрим общий случай для разных значений А. Во первых, калибровку выберем такую (2.40) N е3« ГА 1(лл ф Шф к Quintessence with V Quintessence with V 0 4 V 2e- 0-2 \ / -4 / Рис. 2.2: Траектория квинтэссенции с постоянным потенциалом в минисуперпро-странстве тогда уравнение Фридмана становится (а (ф)) н е6а(ф)+Хф /д —— СУ, { б Al +1 (2.41) где 1/A2 = {V/(3!2). Для случая, когда 6{-2 и V имеют одинаковые знаки, решение будет таким Л 2 (2.42) \ —01+ \—Ф + Сі V 2ж V 2 r Q6a+ф _ csch Х —а + При ! 0, это уравнение действительно совпадает с( 2.35), если V 0. Из Рис.(2.3) видно, что такая траектория имеет одну сингулярность в точке нуля функции csch.

Для случая, когда 6{-2 и V имеют разные знаки, можно получить аналогичное уравнение І ,2Л /з /з / seen AW —а + W —Ф + сі V 2 V 2 г ба+Хф (2.43) sech -6{+2 2{ 2 Такая траектория имеет одну точку поворота, см. правую часть в Рис.(2.3). Как мы упоминали выше, калибровка N = e3 более удобна для гамильтонова формализма. Чтобы решить уравнения в каноническом Quintessence Type Quintessence Type 2

Траектория квинтэссенции с потенциалом Лиувилля в минисуперпростран стве формализме, сначала сделаем координатное преобразование в лагранжиане х =6а + Хф (2.44) и получим гамильтониан с новой переменной х Их = Ne За ( рІ — ЖРаРх Н Рх + ЄЖ ) 2 (2.45) здесь шж = — 6ж+\2. Тогда система канонических уравнений для квинтэссенции в калибровке N = е3а имеет вид & = {Ра + бРх) , Ра 0; (2.46) X = —КРа + VflxPxi Рх = — ЄЖ Соединение последних двух уравнений дает нам х = —mxVex (2.47) умножая это уравнение наж , получаем первичный интеграл движения (2.48) х + mxVex = Ех Ех — it + to) 2 где Ех - константа интегрирования. Если mxV 0 и Ех 0, тогда решение будет (2.49) Ех о е = seen тху Если mxV 0 и Ex 0 решение будет другим, Ех — U + to) (2.50) mxV 2 Для mxV 0 и Ex 0, решение выглядит так, Ex ех = mV V 2 sec ( + о) (2.51) Сравнив с вышеприведенным решением, устанавливаем, что последнее не является физическим. А а и ф имеют единый вид для трех вышеприведенных случаев. а = ао 1 ж, = —I 1 Н х (2.52) 6тх тх А тх тх из которого можно определить время t как функцию а и 0, затем после подстановки его в решение, получаем траекторию в минисуперпростран-стве. Сравнив с вышеприведенным решением, определяем л 2 п\ I \ЕХ\ = ра, \ра\ = —г— (2.53) 12 А 2.3.2 Квантовая Теория Для положительного префактора V 0, квантовое уравнение УДВ имеет вид, / т-9 т-9 \ о + на оаох cr + Ve (a,ж) = 0 (2.54) как видно, уравнение УДВ, выраженное через новую переменную ж, легче решается, чем уравнение в оригинальных переменных. Это происходит потому, что уравнение в новой форме допускает разделение по разным переменным.

Квантовая теория

Для большинства моделей в космологии, приближенные методы, такие, как условия медленного скатывания, метод фазового портрета, хорошо работают. Однако, для детального исследования моделей, стоит получить строгие решения. В теории одного скалярного поля уже известны некоторые точно решаемые модели, например, теория с потенциалом Лиувилля.

В этом разделе, мы построим интегрируемую модель с несколькими скалярными полями при введении нетривиальных кинетических членов, в которые включено специальное смешивание такое, что, в конечном итоге, можно разделить переменные в уравнении Уилера-ДеВитта и найти его точные решения в терминах специальных функций.

Чтобы решить модель в гамильтоновом формализме, мы можем сначала сделать координатное преобразование ха = 6а + Хафа (3.5) и затем построить гамильтониан, как раньше мы делали для одного поля и двух полей, но это несколько сложнее для многих полей, потому что нужно выразить все первые производные полей через импульсы. Фактически, это возможно реализовать, однако у нас есть еще способ попроще, т.е. мы сделаем каноническое преобразование для исходного гамильтониана. РІ) " 7 (М 1)аЪРаРЪ + Є6" / VaeXa a (3.6) 12 2 — — а. Ъ а и каноническое преобразование Жа =6а + Ла0а, ра = —, W=W-D ) — (3.7) а Тогда новый гамильтониан становится Н = Л е За си2 — CUJ ра-\— 12 2 —си2 — CUJ у ра-\— у dap2 + У VaeXa (3.8) а а а из которого можно получить канонические уравнения UJ = ЗТі 0, а = UJ — я} ра a б" Ра = — VaXa і %а = — СШ + daPa (3.9) Соединяя последние два уравнения, получим -x\ + daVaeXa = Ea (3.10) формально решение можно выписать в следующем виде -1 Еа — U + to) 2 Еа о Еа еа =—seen —( + о) (3.11) аауа но оно на самом деле содержит все типы полей, например когда da 0 и Va 0, чтобы сохранить вещественность x, Ea должны выбираться отрицательными, так что \Еа\ 2 Г ІЇЩ, Л = 17 SeC \ \t + 0) 0 (3.12) daVa 2 именно это - решение для фантома. Другие динамические переменные -1 Еа — U + to) 2 xu; л/2Еа Еа Ра = —; tann —it + to) (3.13) da da и Е2І?а X 2 / а \ аа, аа = а;/: + — In cosh \ —it + to) da da V 2 a или 2Ea УС (la = bjt — Xa (3.15) da da где XUj2 ( d a \ V" Ea = QK H h Cada , Ca =0 (3.16) 12 n a здесь константы Ea могут быть либо положительными, либо отрицательными. На самом деле, имеются еще два типа решений. Когда Еа 0, но da, Уа 0, это - фантом с отрицательным потенциалом. И для Еа, Va 0, но da 0, это - квинтэссенция с отрицательным потенциалом. Но они формально не различаются с двумя вышеприведенными решениями. 3.2 Квантовая теория

Уравнение УДВ этой модель д2 + яН2да у да у dad2 + у VaeXa (ск, ха)= 0 (3.17) а а а подстановка анзаца (СК, 0а)= Єй а ТТ а а) (3.18) а помогает нам разделить переменные Г ЯШ2 / 1 \ 2 09тгг1 —Ь 6а + \ягш)оа dad : + \/ае а a = О (3.19) _ 12 п 2 где 2 Са =0 (3.20) а тогда, для Дз 0, da, Va 0 и Еа 0, ia 0, Va 0, решение будет і Ь 2 21141 a 2 л/2 I І4 I = Qhda К- — Є 2 , Z/ = 1, , (3.21) / А Vd Xg \ \ / , , Є 2 у \da\ e 2 , = da da Для Ea 0, da 0,Va 0 и Ea 0, da 0,Va 0, решение будет a 214 ІМ 2л/2і?а \ / , , Є 2 y rfa T і , і С " , V — ,1,1 fr Ш Ша e Ma J — e2 , v = — (3.22) Остальные случаи - нефизические, т.е., Ea, da 0, Va 0; Ea, Va 0, da /214 ia\ 2 /214 їоЛ W , , , Є 2 +J-ш — \ , , , Є V кі V кі o b 2 214 ia T 2 214 їа 2 л/21 Ea I = Є M» Ji — Є 2 + Л_іг/ — e 2 , v /1 d h d h\da\ (3.23) и i4 0, ia, 14 0 4 ь« 2 214 г» 2 214 г» 2л/21i?aI = me M« Iw — , , , e 2 +Kw — , , e 2 , z/ = —_, , ,— Iа \da\ 1 (3.24) не являются физическими волновыми функциями, это уже видно в классической модели. Таким образом, волновой пакет устроен так / duo A(u)eh0ja І І фаФь (3.25) 3.3 Квазиклассическое решение Рассмотрим ВКБ приближение фа = Аа(х) exp —Sa{x) (3.26) До точки поворота х \n[Ea/(daVa)], получаем из 3.19) действие в главном порядке _ яхш 2\/2Еа ( л/Еа \ 2у/2\/Еа — daVaex Ьа = — ± arcCotn — = =р da da vEa — exdaVa da (3.27) где амплитуда С\ Аа = — (3.28) \/\Еа — daVaex\ и полное действие равно S = аси + 2, $а (3.29) а Чтобы сравнить с классическими решениями, нужно просто подставить классические решения в dS dS — =0, 7— =0 (3.30) оси дСа тогда получим тривиальные равенства. В качестве альтернативы, мы можем определить фазу из асимптотического поведения функции Бесселя, затем подставить ее во все решения, как мы делали для одного поля. Гл а в а4 Гибридная модель космологии с PT-симметричным комплексным потенциалом

Космология, управляемая РТ-омом с положительным префактором перед потенциалом, имеет решение с вещественным действием, но она страдает от проблемы сингулярности (т.е. проблемы стабильности). Однако ситуация с отрицательном префактором не имеет никаких физических решений. Одно исправление дается введением положительной космологической константы, которая доминирует над отрицательной энергией РТ-ома так, чтобы суммарная энергия полной системы была положительной. Более обдуманное исправление требует введения квинтэссенции, так что полная система образует квинтом-подобную модель. Мы рассмотрим последнюю ситуацию.

Квазиклассическое приближение

В настоящей диссертации проведено исследование геометродинамики со скалярными полями и ее расширение в РТ-симметричной теории в классической и квантовой теории. Исследования проводились в рамках приближения минисуперпространства.

Используя интегралы движения на связях как калибровочных условиях, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувил-ля. Решения являются траекториями в минисуперпространстве, которые неявно зависят от времени. Используя это упрощение проведены сопоставления с волновыми пакетами.

Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы. Такая кинетическая матрица обеспечивает возможность разделения переменных, так что, фактически, остается рассмотреть лишь модель с одним полем.

Применена идея РТ-симметрии: рассматривается квантовая гео-метродинамика с двумя скалярными полями, одно из них – квинтэссенция, другое – РТом. При периодических граничных условиях, получен вещественный спектр энергий. Приложение Равномерно асимптотическое разложение функции Бесселя В этом разделе приведен список асимптотических разложений функции Бесселя, которые использованы в данной диссертации. k3/2 ( )= in [1 + (1 z2)1/2j - (i - z 2fi2 Классические сингулярности Проблема космологической сингулярности является одной из трех проблем, наиболее важных для теоретической физики и долго ожидавших решения 39]. В этом обзоре рассматриваются классические сингулярности в космологии.

Мы сосредоточимся на плоской космологии Фридмана с метрикой ds2 = dt2 — a2dx2 (4.56) за исключением большого сжатия. Первое уравнение Фридмана с подходящей нормировкой Н = р} Н = — (4.57) а и второе уравнение Фридмана Н=—(р + р), Н -\—Н =—р (4.58) Уравнение непрерывности р + ЗН(р + р)=0 (4.59) безразмерный параметр уравнения состояния (УС) р(р) w = (4.60) р Все неисчезающие геометрические величины О А. А —— О —— 1J- 0 J- —— OJOJO IQ П П Щ0І = -6 - =(H + H2)S -, Щі0 = —81 = —{H + H2)5 -, Roo = —3- = —S(H + H ), Rij = (da +2d )5{j, R = —6 1 = ( —I—о ) = —6(7J +2H ), Щ-к = a (5j5ik — #jjj%) (4.61) 0-Класс: Большой Взрыв, Большое Сжатие Большой Взрыв УС предполагается линейным р = wp, w — 1 (4.62) тогда из динамических уравнений, находим космологический фактор 2 1 а ос (t + to) 3 1+ші , to const (4.63) для простоты выберем to = 0 как начальный момент, где а = О а 2 1 Я = - = - : оо, as t — 0 (4.64) а 3 1+ u\t тогда получится, что р — оо, as t — 0 (4.65) в соответствии с уравнением Фридмана. 21 .г/ = — — —оо, as t — 0 (4.66) 3 бо + lt2 и 2 о 2бо р = —Н — Н = тг — —со, as t — 0 (4.67) 3 3 (бо + I)2 В итоге, в точке Большого Взрыва t =0, а = а =0, р — оо, \р\ — оо, Я — оо, Я — оо (4.68) Большое Сжатие Большое сжатие возникает в закрытой модели. Подставим отношение плотность с космологическим фактором р = p0a-3(1+w) (4.69) в закрытую модель Фридмана 2 1 Я = р (4.70) а1 для простоты, считаем„ что в состав вселенной входит только излучение, т.е. параметр w = 1/3. Тогда получаем а2 +(t + to) = РО) U) = — л/р о (4.71) где мы уже использовали начальное условие a(t = 0) = 0. Заметим, что кроме t = 0, есть еще и другой момент, в котором а исчезает. а — 0, as t — 2у/ро (4.72) Эта точка известна как Большое Сжатие. В итоге, имеем t 2y/pQ, а — 0, Я — оо, Я — — оо, р — оо, р — — оо (4.73) 1-Класс: Большой Разрыв Мы предполагаем что УС имеет линейный вид ию -1 р = wp, w — 1 (4.74) тогда, из динамических уравнений находим космологический фактор а ос (/; + /; ) 31+ш, t const (4.75) Поскольку мы считаем, что Вселенная расширяется, если 1 + о; 0, то интервал времени лучше выбрать такой t Є (—оо,0), and t 0 (4.76) в этом случае, мы имеем і і \ 2 1 а ос (/; — \t\) 3і1+ші (4.77) и \t\ = t является точкой сингулярности, в которой космологический фактор расходится. Выше, производные а а ос ( — У" 1 3 1+ш\ь\) а ос (/; — ... о 2 1 У 1 3 1+ш 14/ (4.78) (4.79) тогда aиd оба также расходятся в точке \t\ = t . В итоге, мы имеем, для р + р О — а — оо, а — оо, Я — оо, Я-юо, IpHoo (480) точка /; известна как большой разрыв, вследствие нарушения условия энергодоминантности р + р 0. ІІ-Класс: Большое Торможение Как нелинейный пример, изучим здесь модель с анти-газом Чаплыгина, УС имеет вид А р = —, А 0 (4.81) Р Если А 0, то такая материя является газом Чаплыгина. Во-первых, мы можем найти плотность энергии из уравнения непрерывности В В р = \ — — А, із О, —х — Л 0 (4.82) V а аь космологический фактор имеет одно критическое значение 6 В ас = \ — (4.83) V А В этой точке, плотность энергии стремится к нулю. Тогда согласно динамическому уравнению, мы имеем Н — 0, р — оо, Н — оо (4.84) С другой стороны, интегрирование дает нам эволюцию космического фактора t + to = = —1= iF\ —,_;_; — (4.85) aJ P 3vB da 2а3/2 /115 а6А ал/Р 3\/В 4 4 4 В тогда в критической точке время конечно. В итоге, имеем 3 5 tc + to = — Г - Г - (4.86) 3vA 4 t — tC) a — aC) a — ac, Я — i/c, (4.87) Ш-Класс: Такая сингулярность получается, когда космологический радиус конечен, а его производная по времени, хаббловская переменная, плотность энергии и давление расходятся.