Введение к работе
Актуальность исследования. Прогресо в изучении существенно нелинейных систем, достигнутый за последнюю четверть века, во многом обусловлен возникновением нового метода решения нелинейных уравнений - метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) (C.Gardner, J.Green, M.Kruskal, R.Miura, 1967 ). Современные тенденции в теории солитонных уравнений характеризуются постепенным перемещением акцентов в направлении алгебраизации проблемы интегрируемости. Во-первых, трансформируется взгляд на природу нелинейного уравнения. По словам А.Ньюэлла, "соли-тоннме уравнения являются магическими исключительно по алгебраическим причинам, которые должны проявляться в структуре уравнений в виде весьма специфического отношения между функцией и ее различными производными" (А.Ньгаэлл, 1989). Во-вторых, установление общих закономерностей, присущих нелинейным интегрируемым уравнениям, а также взаимосвязей между уравнениями этого класса наиболее эффективно выполняется с помощью алгебраических методов. Они отличаются ясностью и сравнительной простотой и адекватны рассматриваемым проблемам, поскольку основываются на различного рода оимметриях, характеризующих конкретную физическую систему (А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, 1905). Сочетание преимуществ алгебраического подхода с возможностью получения точных аналитических виражений для решений нелинейных солитонных уравнений открывает перспективы дальнейшего продвижения в тех областях, где применение более односторонних методов может вызвать затруднения.
Особая ценность солитонных решений заключается в их непер-турбативности. Отсюда следует, что при квантовании нелинейной физической системы в окрестности классических солитонных решений полевых уравнений возникающие квантовые эЦ.екти также непертурбативны. Тем самым несомненна актуальность развития методов нахохден:ія точных нетривиальных классических решений полевых уравнений, в том число в моделях калибровочных полей.
Далеко от завершения решение проблемы формулировки надетого критерия штегрируемости нелинейных уравнений. Существующие методи анализа уравнений на возгонную интегрируемость не доказаны как теоремы и в значительно,'; степени носят полуггмлиричес-
кий статус. Среди таких критериев выделяется подход, инициированный УолквИСТОМ И Эстебруком (H.Wahlquiat, F.Eatabrook, 1975) и представляющий собой симбиоз алгебраичеоких и геометрических идей, что предполагает существование далеко идущих обобщений. В этой связи необходимо более глубокое исследование указанного критерия.
Расширительное толкование понятия алгебраичности подхода, включающее в себя как использование аппарата теории групп и алгебр Ли, так и разработку методов, позволяющих ограничиться решением алгебраических .уравнений там, где стандартные подходы предполагают решение интегральных уравнений^ дает возможность существенно расширить класс изучаемых уравнений. С точки зрения приложений солигонной физики особый интерес представляют почти интегрируемые уравнения, описывающие возмущения в системе солитонов. Характерной особенностью традиционных схем теории возмущений для солитонов (D.J.Kaup , 1976; В.И.КарПман, Е.М.Маслов, 197?) является необходимость уже в первом приближении выполнять такие неудобные в практическом отношении действия, как решение интегральных уравнений или обращение линейных операторов. Поэтому представляется актуальным построение аппарата теории возмущений для солитонов, который позволил бы избежать трудоемких вычислений, а также продвинуться в область высших поправок.
Цель работы: Разработка в рамках метода обратной задачи рассеяния эффективных алгебраичеоких методов анализа нелинейных уравнений на интегрируемость, нахождения их решений, учеТа возмущений, действующих на солитоны, и применение развитого аппарата к проблемам нелинейной оптики.
На защиту выносятся следующие основные положения:
-
Построение преобразований Беклунда для уравнений самодуальности статических аксиально-симметричных калибровочных полей с калибровочной группой su (и ), генерирующих солитонные решения указанных уравнений.
-
Доказательство неэквивалентности уравнений Эйнштейна-Максвелла и уравнений самодуальности статических'аксиально-симметричных su (3) калибровочных полей для всех возможных инволюти-вных автоморфизмов алгебры su (3).
-
Разработка варианта теории возмущений для солитонов, ос-
новенного из матричной задаче Рішана и не требующего решения интегральных уравнений во всех порядках по калош параметру.
4, Получение представленні нулевое кривизны и солитенных решении ол',о?е;яі иелпнепчнх уравнений, обобщаюида известние кн— іегрируемне уравнения Мякояелла-Елойл л опйсцпаїтоїх взаимодействий слота с нвлтейюи р м.-оимкио-керровскоп средой. '
G> Форг.<улироі)ка '.'.сіода структур продолжения я терминах гес~ тігтргп расслоении* пространств и алгоритма замикання алгебраической структури на j:oitпчниг.'йрну^ алгебру Ли,
6. Описание НОВОЙ пб.ляетт» "Л""СГ?ГГ1';і!іПя СОЛИТ снов, относя-псі'о і >: ло!!ал];зоь::п!':*! пар."-'т. " -'ргнк Л;;, ;; построение ооліь-тс.чн;:/ !.:':фігурац:іЛ 2 прсс^раноівв вектор-параметров группы вращений.
ъоцккроиашюго с уравнениям! сагадуальности калибровочных полей, и идентификация в качестве подалгебр алгебр Каца-Муди а Бярасоро.
8. Исследование динаг.шкп н вычисление характеристик солито-иов в нелинейном одноі.гадовом световоде при наличии яозцущений различных типов.
Научнад новизна. Все результаты, телэтенгщс в полоярнии.
;.: .!:'.) ^щ::.::;зс цолшсЫш. уравнений в частных производных
На ВОЗМОЖНУЮ ІЩТегрИрУЄМООТЬ п noiiBOv ..г, ---, .,,.- .;-,,-.
!-' '- ' ' _'Г.::г.-' х .-;::j_jpuo..^. о&дач силитонной тематики,
где требуется учесть влияние эффектов, нарушающих интегрируемость.
"Теоретико-групповые методы в физике" (Звенигород 1979 и 1982; Юрмала 1985), II и ІУ Всесоюзных симпозиумах по световому эху и когерентной спектроскопии (Казань 1981, Куйбышев 1989), сессиях Отделения ядерной физики АН СССР (Москва 1984, 1985), П Всесоюзном коллоквиуме "Современный групповой анализ" (Баку 1988), Всесоюзной школе-семинаре "Представления групп в физике" (Тамбов 1989), II и III Всесоюзных семинарах "Теория нелинейных волн" (Калиниград 1989, 1991), ХУШ Международном коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в физике" (Москва 1990), УІ Международной школе-семинаре "Теоретико-групповые и компьютер-но-алгебраичеокие методы исследования нелинейных проблем физики (Рахов 1990), УIII Международном симпозиуме "Нелинейные эволюционные уравнения и динамические системы" (Дубна 1992).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 работах,
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех приложений, заключения и списка литературы, содержащего 236 наименований. Общий объем диссертации - 2Ю страниц машинописного текста, 4 рисунка.
