Содержание к диссертации
Введение
2 Гипербраны с цилиндрическим внешним пространством 14
2.1 Общие определения 14
2.2 Уравнения движения 16
2.3 Общее решение 17
2.4 Особые точки решения 20
2.5 Гинербрапа с плоской асимптотикой в координатах типа Шварцшильда . 25
2.6. Критическое решение с асимптотикой линейного дилатоиа 29
2.7 Выводи 32
3 Д-Инстантоны 35
3.1 Общее решение 35
3.2 Асимптотически плоское решение 40
3.3 Пнстаптон с асимптотикой линейного дилатона 43
3.4 Действие 45
3.5 Выводы 48
4 Специальные дионпые решения 49
4.1 Действие 49
4.2 Уравнения Лиувиля 51
4.2.1 Асимптотически плоское, регулярное на горизонте решение . 55
4.3 Цепочка Тода 60
4.4 Связь с известными решениями с плоской асимптотикой 65
4.5 Решение с асимптотикой линейного дилатона
4.6. Масса, энтропия, температура и первый закон термодинамики 73
4.7 Выводы
5 Анизотропная S-брана и анизотропная космология 79
5.1 S-брана 79
5.1.1 Общее решение 79
5.1.2 Особые точки решения 83
5.1.3 Изотропные S-браны 85
5.1.4 Анизотропная S-брана. Параметризация решения тина КМР 86
5.2 Космологическая модель 89
5.2.1 Свойства космологических решений 89
5.2.2 Анализ полученных космологических моделей 92
5.2.3 Влияние параметров решения на инфляцию 93
5.3 Выводы 99
6 Система EYMD с квадратичными поправками к кривизне 101
6.1 Построение решения 101
6.2 Выводы 109
7 Заключение 110
А Численное интегрирование методом дополнительного параметра вдоль кривой 112
- Гинербрапа с плоской асимптотикой в координатах типа Шварцшильда
- Пнстаптон с асимптотикой линейного дилатона
- Связь с известными решениями с плоской асимптотикой
- Анизотропная S-брана. Параметризация решения тина КМР
Введение к работе
В последние годы наблюдается быстрый прогресс в теории суперструн, которая является основным кандидатом на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Основным направлением исследований является изучение динамики протяженных объектов - гипербран, движущихся в десятимерном и одиннадцатимерном пространствах. В рамках традиционной теории суперструн, гииербраны являются непертурбативными объектами, которые можно исследовать различными методами квантовой теории. Так, D-браны можно понимать как гиперповерхности на которых могут двигаться концы открытых струн. Взаимодействие таких струн порождает динамику самих D-бран. В рамках нолевой теории струн можно построить состояния, которые обладают подобными свойствами. С другой стороны, можно пытаться построить квантовую теорию мембраны в одиннадцатимерии. Определенная регуляризация этой модели оказывается жизнеспособной теорией, которая получила известность как матричная модель. Эта модель претендует на роль объединенной теории струн, называемой М-теорией.
Классическим пределом теории суперструн является супрегравитация, варианты супергравитационных моделей в точности соответствуют различным моделям суперструн. В супергравитации гипербраиы являются классическими решениями уравнений Эйнштейна, а также уравнений поля для антисимметричных форм и дилатона, входящих в действие. Классические решения аналогичны солитонам и калибровочных теориях, их существование открывает возможность изучения существенно ненертурбатпвных явлений, таких как AdS/CFT соответствие и его обобщения. Исследование классических решений для протяженных объектов в теории суперструн поэтому является весьма важной задачей. В настоящей диссертации сделан
некоторый шаг в этом направлении.
Классические решения уравнений суиергравитации, описывающие р-браиы, заряженные но отношению к р + 1 полю формы, ранее рассматривались во многих работах [1, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. В случае одного заряда, стандартная (черная) гипербрана зависит от двух параметров, (плотности) массы и заряда, эти решения асимптотически плоские и обладает регулярным горизонтом событий. Черная р-брана обладает ISO(p) х R симметрией объема гипербраны (R - соответствует направлению времени), которая расширяется до полной Пуанкаре инвариантности ISO(p, 1) в экстремальном (БПС) случае. В простейшем случае внешнее пространство к гииербране выбирается сферически симметричным, также известны обобщения к произведению сферы более низкой размерности на плоское пространство.
Как BPS, так и черное решение для гииербран было вначале получено решением соответствующих уравнений движения выбором специальных анзацев, поэтому общность таких решений ясна не до конца. Вопрос единственности таких решений задавался неоднократно [13], но только для случая р = 0, то есть многомерной черной дыры, в случае невырожденного горизонта это было строго доказано. При этом было получены некоторые решения [G, 12], обладающие большим двух числом параметров, для пшербран с ISO(p, 1) симметрией. Решение [14], полученное интегрированием системы Эйшптейн-дилатон-антисимметричная форма для одной гипербраны, обладает ISO(p) х R симметрией и зависит от четырех параметров. Описания одного дополнительного параметра было предпринято в [15](так же [1С]): подсемейство /0(р, 1) решений [14] интерпретируется, как описывающее систему гипербрана-антибрана в понимание Сена [17,18], соответствующая дополнительная степень свободы была сопоставлена тахиону. Решение [14] так же использовалось для получения стабильных БПС бран в струнной теории [19, 20, 21, 22]. Стоит заметить, что несмотря на большое количество выше рассмотренных работ, до сих пор детально не изучена структура сингулярностей решений типа р-бран с дополнительными параметрами.
Другое обобщение решений ISO(p, 1) рассматривалось в [23]. Кроме дополнительных параметров решение имеет более общую структуру внешнего пространства, а именно - SO(k) х Я7, q = D — р — к — 2 (цилиндр), Rq+k+l, и для случая геометрии гиперболоида SO(k — 1,1) х Л*7, . По-
следние два случая раньше изучались для р = 0 (топологические черные дыры) в присутствие отрицательной космологической постоянной, что вело к тому, что пространство-время обладало асимптотически AdS структурой [24, 25, 2G, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35).
Кроме выше описанного выше класса гииербраиных решений, существуют решения, полученные в пределе горизонта около экстремальных решений. Известно, что существует два альтернативных описания гипербран, классическое в рамках супергравитационных теорий и квантовое описание в струнной теории, что ведет к разным голографическим дуальностям между классическими супергравитационными и квантовыми нолевыми теориями, откуда AdS/CFT соответствие [36, 37, 38, 39] было изначально получено (другие виды дуальностей рассматривались в работах [40, 41, 42]). Это соотношение имеет отношение к недилатонным гииербранам, таким как М2 и М5 бранам М-теории и D3 бране струнной теории, которые имеют AdS структуры и окрестности горизонта. Асимптотическая граница пространства AdS конформна пространству-времени Минковского, где живет конформная теория поля.
Гипотеза AdS/CFT была позже расширена на общий случай дилатон-ных гипербран, в этом случае геометрия в окрестности будет так же AdS или Минковского с нетривиальным полем дилатона, зависящим линейно от соответствующей радиальной координаты. Такая конфигурация ток же суперсимметричная в контексте супергравитации (хотя не максимально су-нерсимметричио, как в случае недилатонных гипербран), но конформная симметрия нарушена дилатоном. Этот фон дуален к не-конформиой QFT (квантовой теории ноля) с 16-ю суперзарядами живущими на границе [43]. В случае NS5 бран [44, 45], соответствующая дуальная теория нелокальная теория поля, но так называемая маленькая теория струн [46,47] (LST- little string theory), живущая на плоском 6-мерном мировом объеме NSb-враны в струнной метрике (подробнее [48, 49]).
Исследование для произвольных размерностей было рассмотрено в [50, 51] (обобщающее предыдущую работу [52]). Там было получено, что хотя геометрия к окрестности горизонта экстремальной дилатонной бра-ны - сингулярна, перейдя к так называемому "дуальной"метрике (метрика Намбу-Гота), получим произведение пространства AdS на сферу. После редуцирования но сфере, получим решение доменной стены (DW), поэтому соответствующая дуальность названа DW/QFT соответствием [52]. Струк-
тура в окрестности горизонта дилатонной гипербраны в общем случае -произведение или AdS, или плоского пространства времени на сферу, с нетривиальным поведением дилатона. Поэтому данная структура полей получила название - фон с линейным дилатоном (LDB), независимо от особенностей поведения метрики или используемой системы координат.
Из стандартных соображений, термальная версия дуальной квантовой теории должна получатся, как голографическая дуализация фона линейного дилатона, обладающего горизонтом событий. Такая конфигурация была получена для случая NS5 (дуального к LST) Малдасеной и Стро-мингером в пределе около горизонта около экстремальной NS5 браны [53] и для дискретного семейства вращающихся дилатонных гипербран Хар-маком и Оберсом [54, 55, 56]. Похожую четырех-мерную "горизонт-плюс-горловина" геометрия была представлена раньше Гиддингом и Строминге-ром [57] (так же [58]), как некоторый предел в окрестности горизонта около экстремальной дилатонной черной дыры [59, GO, 61]. Связь между фоном линейного дилатона и горизонтом-плюс-горловина геометрией похожа на связь между пространством анти-де-Ситтера AdS и Шварцшильда-анти-де-Снттера черной дыры. Было показано, что такая структура вполне допустимое решение четырех мерной теории Эйнштейн-Максвелл-дилатон, таким образом расширяя семейство асимптотически плоского и асимптотически AdS/dS черных дыр до асимптотически LDB решений [62, 63, 64].
В дополнении, в работах [63, 64] были получены различные обобщения (включая вращение) черных дыр с асимптотикой линейного дилатона. Сходные решение существует в случае потенциала дилатона [63, 65].
В последних работах [66, 67] рассматривался вопрос дополнительных параметров для решений с горизонтом, но остается вопрос общности и геометрии пространства полученных решений.
Кроме решений уравнений Эйнштейна для системы с одним зарядом, когда пространство гипербраны связано с одним полем формы, нолем дилатона и метрикой, отвечающей SO(p, 1) х SO(D—p— 1), в четных измерениях существуют диоиные решения. Их можно получить методом интегрирования уравнений Лиувилля или Тода, но только при определенных значениях константы связи дилатона [6]. Сходная методика интегрирования применима и для случая пересекающихся гипербран [68,69, 70, 71, 72, 73, 74]. Структура внешнего пространства может быть обобщена до SO(D—p— 1) х Rq~k. [75] Интегрирование системы ведет к общему решению, содержащему неко-
торое число дополнительные константы интегрирования. В литературе высказывались гипотезы, что дополнительные параметры, отличные от заряда и радиуса горизонта событий, могут быть связаны с дополнительной физической структурой, такой как тахион на гипербране [15]. Тем не менее детальное изучение геометрической структуры решения в случае гипербраны с одним зарядом прояснило, что дополнительные параметры ведут к открытой сингулярности [66] , что делает физическую интерпретацию решений проблематичной. Гипербраны обладающие и электрическим, и магнитным зарядами могут существовать в любом пространстве, если электрические и магнитные гипербраны имеют разную размерность (браны в гипербранах [76]). Но только в четных размерностях и с антисимметричной формой соответсвующего ранга, магнитные и электрические гипербраны могут иметь одинаковую размерность. При этом остается открытым вопрос о возможности существование дионных решений отличных от стандартных черных и BPS решений, в работе [6] было получено неэкстремальное решение, для которого, в отличие от черного решение, пространство гипербраны обладает ISO(p, 1).
Специальными случаями гипербранных решений можно считать случаи, когда размерность гипербраны р принимает значение р = — 1, р = D — 2, где D - размерность объемлющего пространства, эти два решения известны, как D-инстантоны и доменная стенка (DW). При р = — 1 вырождается иростраство гипербраны, для DW имеем вырожденное внешнее пространство.
Инстантоны играют важную роль в квантовой теории ноля, отвечают за различные неиертурбативные явления. Так же они важны в струпной теории и были одними из первых объектов Дирихле, открытых в работе [77]. Инстантоны струнной теории проявляются в разном контексте, в частности, как евклидовые р-браны искажающие сунерсиммстричные р-\-1 кольца [78, 79], р = —1 решение некомпактифицированной ИВ теории [80], или как волны в двенадцати измерениях [81]. Аналогично (несмотря на некоторые отличия) решения существуют в 4-х мерной дилатон-аксиоиной гравитации (аксионные инстантоны и Евклидовые черные дыры) [82, 83, 84, 85, 86, 87].
Супергравитационные решения D-инстантона были получены с использованием разных методов [88, 89, 90, 91, 92] (обзор супергравитационных р-бран [93, 7]). Эти решения важны для разных ненертубативных явлений в струнных теориях [12, 94, 95, 96, 97, 98, 99]. Например они индуцируют
новые эффективные вершины в низкоэнергетическом эффективном действии, как результат интегрирования по соответствующим фермионным пулевым модам, изменяют свойства амплитуд струн в высокоэнергетическом режиме рассеивания.
В данной работе будет проведен анализ системы, включающей метрику, поле формы и взаимодействующей с ним нолем дилатона, и построено общее решение р-браны методом полного интегрирования уравнений Эйнштейна.
D-браны [77] - допредельные солитонные объекты, которые несут заряд RR, и поэтому мировой объем такой (статичной) гииербраны включает временное измерение. Естественным вопросом, изначально порожденный получением dS/CFT соответствия, существуют ли евклидовые гииербраны, которые имеют только пространственный мировой объем. Евклидовые гииербраны были впервые получены в работах [100, 101] в теориях типа И*, которые являются неунитариыми теориями, получаемыми времениподоб-ной Т-дуалыюстыо из стандартных теорий типа II.
В дальнейшем вопрос построения пространственно подобных гипербран исследовался в работах [102, 23, 103].
Начальную точку для построения евклидовых гипербран в теориях типа II можно получить рассмотрев открытые струны, которые отвечают граничном условию Дирихле в временном направление [102]. Такие пространствен! юиодобные гииербраны (S-браны) могут существовать только одно мгновенье во времени.
Другой довод для существования S-бран использует тахионы открытой струны в нестабильных D-бранах или О-брана-Б-антибрана парах (сходное построение возможно в теории поля [104]). Основной аргумент для существования S-бран, можно описать на основе специального примера. В струнной теории типа ПА существует "несогласованные" D-браны, такие как D3-6pana, которые нестабильны и содержат иоле тахиона. Рассмотрим D3-6pany. Потенциал ноля тахиона, U(T), имеет вид двойного колодца; обсуждалось, что стабильная D2-6pana - тахионный кинк решения нестабильного D3 мирового объема теории ноля [17]. Однако, можно представить такое же описание для случая решения, зависящего от времени. Положим, что в начальный момент времени (t = 0) для БЗ-браны ноле тахиона находится в нестабильном максимуме С(0), с маленькой положительной скоростью. Затем поле тахиона скатывается с вершины потенциала и доститет
положительного минимума в момент времени t = оо. За время эволюции испускается излучение и затем распространяется на бесконечность. Так же, как следствие симметрии отражения во времени поле тахиона достигает отрицательного минимума при t = —оо. Этот процесс мол-сет быть осуществлен, как поступающее излучение, которое возбуждает иоле тахиона на вершину потенциального барьера. Полная картина - временно подобный кинк в ноле тахиона , который представляет из себя S2-6paHy.
Используя связь нолей RR к мирововом объему тахиона открытой струны, было показано, что S2-6paHa несет заряд, определяемый как интеграл поля RR но окружающей сфере (включая временное измерение). Заряд такого же типа несет обычная Б2-брана. По аналогии с описанием Сена, такой времениподобный кинк может быть описан, как SD2-6paHa, то есть гииербрана Дирихле, которое получается из открытой струны с граничным условием Дирихле на временном направление.
Оба - граничное состояние и картина тахиона S-браны предполагают, что Sp-brane (с р + 1 размерностью евклидовою объема) в d измерениях должны иметь ISO(p + 1) х SO(d — р — 2,1) симметрию.
В работах [105,106] была установлена связь между s-браниыми решениями полученными разными методами. Кроме одиночных гипербран рассматривался вопрос условий для пересекающихся пространственных гипербран [107, 108, 109].
Возможность прямой экспериментальной проверки струнных теорий не доступна, но есть две области физики, где их приложение может дать новые результаты и идеи : черные дыры и космологические модели. Гинербраниые решения зависящие от времени нашли нриложение ко второму вопросу. С существующими тинами моделей, получаемые не только из S-бран, можно ознакомится в статье [ПО].
Первые космологические решения из комиактификации многомерных решений были изучены в работах [111, 112]. Такие решения получались за счет рассмотрения плоского пространства соответствующей размерности (p-f 1=3) с добавлением временной компоненты, как четырехмерного пространства, помещенное в пространство большой размерности с заданной структурой внешних измерений. После их комиактификация получается требуемая модель с возможностью существования инфляционной фазы расширения. Так же была найдена связь таких космологических моделей с S-бранами.
Последовательно было рассмотрены все случаи внешних пространств с постоянной кривизной [ИЗ], и добавлением поля формы [114], определенной на внешних измерениях и связанное с ним скалярное ноле [115]. В работе [11G] была рассмотрено объяснение условий возникновения инфляционного процесса из динамики скалярных нолей. В работе [117] исследовался вопрос влияния размера компактифицированных пространств и наличия темной материи на динамику решения. В статьях [118, 119] рассмотрено влияние структуры внешних пространств на получаемое решение, флуктуации скалярных полей и космологию на гиперболическом пространстве. Были получены космологические решения из моделей пересекающихся пространственных гипербран [120, 121, 122].
Первое решение кривой (анизотропной) пространственной гипербраны было получено в работе [103]. В данной работе будет построено более общее решение анизотропной с внешним цилиндрическим пространством. На основе построенного решения, компактифицированав ортогональное к гн-нербране пространство (кроме времениподобной компоненты) на тор, будет исследована анизотропная космологическая модель. Изучены влияние анизотропии пространства и вида компактифицируемых внешних пространств на поведение системы и инфляционную фазу.
Квадратичные поправки к гравитации, которые дают вклад в действие системы в виде члена Гаусса-Боппе, появляются при рассмотрение одно-петлнвых поправок в теории струн. В четырехмсрии член Гаусса-Бонне является чисто топологическим членом , если в системе отсутствует скалярное иоле, взаимодействующее с ним. В противном случае он дает нетривиальный вклад в действие. Рассмотрение такой системы, как влияние, в нервом приближение, общей теории не дает неожиданностей для решения вне горизонта, но иод горизонтом, где влияние члена Гаусса-Бонне становится существенным, структура решения существенно изменяется [123]. В данной работе исследует система EYMD (случай SU(2) симметрии калибровочного ноля) с квадратичными поправками по кривизне.
Целью настоящего диссертационного исследования является построение наиболее общих гипербранных решений многомерных супергравитаций, анализ условий их существования, единственности, а также исследование сингулярностей в решениях общего вида. В работе в основном используются аналитические методы, за исключением последней главы.
План диссертации следующий.
Во второй главе строится решение р-браны для системы с дилатоном, объединенным с полем формы с внешним цилиндрическим пространством. Рассматривается вопрос существования решения с регулярным горизонтом, удовлетворяющий условию космической цензуры. Полученное общее решение подвергается редукции для получения известного решения черной р-браны. Производится построения решения типа LDB (решение с асимптотикой линейного дилатона). Рассматривается вопрос единственности решения.
В третей главе исследуется особый случай гипербраного решения для случая размерности гипербраны р = — 1 - инстантона. В этом случае динамика системы отличается от общего решения р-бран и требует отдельного анализа. Сначала получается общее решения, рассматривается вопрос получения дуального решения для евкледизированного действия и производится анализ особых точек решения. Далее строится решение с плоской асимптотикой и с асимптотикой LDB. Для обоих типов решений вычисляется действие и исследуется вопрос его конечности.
В четвертой главе изучается диоиное решение для системы с самосопряженным нолем формы. Первое решение получается методом Лиувиля, аналогично случаю решения р-браны. В следующей части строится общее решение методом цепочек Тода. Для обоих типов решений исследуется вопрос получения асимптотически плоского и регулярного на горизонте решения. Рассматривается вопрос существования решений отличных от стандартного черного и БПС решений. Для решения получаемого методом Лиувиля строится решение LDB. Проводится анализ условий выполнения первого уравнения термодинамики для полученных решений.
В пятой главе, сначала получаем решение для кривой (анизотропной) S-браны и исследуем связь решения с ранее получепыми решениями. Затем компактифицировав внешние измерения и положив размерность гипербраны р+1 = 3, изучим получившуюся анизотропную космологическую модель.
Шестая глава посвящена изучению влиянию однонетлевой поправки теории струн (бозониый сектор) для решения типа черная дыра системы EYMD в области большой кривизны исходной системы и изучению расположения особых (сингулярных) точек системы.
В Приложении Л описан метод численного интегрирования, использо-
ванный в пятой главе.
В заключение кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Гинербрапа с плоской асимптотикой в координатах типа Шварцшильда
Возможность прямой экспериментальной проверки струнных теорий не доступна, но есть две области физики, где их приложение может дать новые результаты и идеи : черные дыры и космологические модели. Гинербраниые решения зависящие от времени нашли нриложение ко второму вопросу. С существующими тинами моделей, получаемые не только из S-бран, можно ознакомится в статье [ПО].
Первые космологические решения из комиактификации многомерных решений были изучены в работах [111, 112]. Такие решения получались за счет рассмотрения плоского пространства соответствующей размерности (p-f 1=3) с добавлением временной компоненты, как четырехмерного пространства, помещенное в пространство большой размерности с заданной структурой внешних измерений. После их комиактификация получается требуемая модель с возможностью существования инфляционной фазы расширения. Так же была найдена связь таких космологических моделей с S-бранами. Последовательно было рассмотрены все случаи внешних пространств с постоянной кривизной [ИЗ], и добавлением поля формы [114], определенной на внешних измерениях и связанное с ним скалярное ноле [115]. В работе [11G] была рассмотрено объяснение условий возникновения инфляционного процесса из динамики скалярных нолей. В работе [117] исследовался вопрос влияния размера компактифицированных пространств и наличия темной материи на динамику решения. В статьях [118, 119] рассмотрено влияние структуры внешних пространств на получаемое решение, флуктуации скалярных полей и космологию на гиперболическом пространстве. Были получены космологические решения из моделей пересекающихся пространственных гипербран [120, 121, 122].
Первое решение кривой (анизотропной) пространственной гипербраны было получено в работе [103]. В данной работе будет построено более общее решение анизотропной с внешним цилиндрическим пространством. На основе построенного решения, компактифицированав ортогональное к гн-нербране пространство (кроме времениподобной компоненты) на тор, будет исследована анизотропная космологическая модель. Изучены влияние анизотропии пространства и вида компактифицируемых внешних пространств на поведение системы и инфляционную фазу.
Квадратичные поправки к гравитации, которые дают вклад в действие системы в виде члена Гаусса-Боппе, появляются при рассмотрение одно-петлнвых поправок в теории струн. В четырехмсрии член Гаусса-Бонне является чисто топологическим членом , если в системе отсутствует скалярное иоле, взаимодействующее с ним. В противном случае он дает нетривиальный вклад в действие. Рассмотрение такой системы, как влияние, в нервом приближение, общей теории не дает неожиданностей для решения вне горизонта, но иод горизонтом, где влияние члена Гаусса-Бонне становится существенным, структура решения существенно изменяется [123]. В данной работе исследует система EYMD (случай SU(2) симметрии калибровочного ноля) с квадратичными поправками по кривизне.
Целью настоящего диссертационного исследования является построение наиболее общих гипербранных решений многомерных супергравитаций, анализ условий их существования, единственности, а также исследование сингулярностей в решениях общего вида. В работе в основном используются аналитические методы, за исключением последней главы. План диссертации следующий.
Во второй главе строится решение р-браны для системы с дилатоном, объединенным с полем формы с внешним цилиндрическим пространством. Рассматривается вопрос существования решения с регулярным горизонтом, удовлетворяющий условию космической цензуры. Полученное общее решение подвергается редукции для получения известного решения черной р-браны. Производится построения решения типа LDB (решение с асимптотикой линейного дилатона). Рассматривается вопрос единственности решения.
В третей главе исследуется особый случай гипербраного решения для случая размерности гипербраны р = — 1 - инстантона. В этом случае динамика системы отличается от общего решения р-бран и требует отдельного анализа. Сначала получается общее решения, рассматривается вопрос получения дуального решения для евкледизированного действия и производится анализ особых точек решения. Далее строится решение с плоской асимптотикой и с асимптотикой LDB. Для обоих типов решений вычисляется действие и исследуется вопрос его конечности.
В четвертой главе изучается диоиное решение для системы с самосопряженным нолем формы. Первое решение получается методом Лиувиля, аналогично случаю решения р-браны. В следующей части строится общее решение методом цепочек Тода. Для обоих типов решений исследуется вопрос получения асимптотически плоского и регулярного на горизонте решения. Рассматривается вопрос существования решений отличных от стандартного черного и БПС решений. Для решения получаемого методом Лиувиля строится решение LDB. Проводится анализ условий выполнения первого уравнения термодинамики для полученных решений.
В пятой главе, сначала получаем решение для кривой (анизотропной) S-браны и исследуем связь решения с ранее получепыми решениями. Затем компактифицировав внешние измерения и положив размерность гипербраны р+1 = 3, изучим получившуюся анизотропную космологическую модель.
Пнстаптон с асимптотикой линейного дилатона
В результате снова получили четырех параметрическое решение, характеризующиеся значением зарядов b\,b2, дилатона на бесконечности фо и а. В отличие от решений для случая констант связи а = О, а2 = п — 1, его нельзя рассматривать в экстремальном пределе - для диоииого решения с константой связи а2 = 3(п — 1) нельзя получить случая с вырожденным горизонтом.
Было получено общее решение для частично делокализированных асимптотически плоских дионных гииербран с регулярным невырожденным горизонтом, для трех случаев констант связи а = 0, а2 = п — 1, а2 = 3(п — 1). Для первых двух случаев система разделяется в терминах уравнений Ли-увиля, в третем случае можно построить открытую трехмерную цепочку Тода, которая производит решение. Для всех случаев решение характеризуется четырьмя параметрами и обладает двумя сингулярными точками (в отличие от бран с одним зарядом, решение для которых имело одну сингулярную точку). Все решение удовлетворяют условию космической цензуры, то есть не содержат открытых сингулярностей. Решение Лиувнля существует в случае невырожденного горизонта и для экстремального случая. В экстремальном случае мировой объем гипербраны отвечает ISO(p, 1) симметрии и решение локализуется (остается только внешнее сферическое пространство). Для решения Тода нельзя получить регулярного экстремального предела.
Но отличный результат был получен в работе [G], в связи с этим стоит рассмотреть этот вопрос. В той работе были рассмотрены только локализованные изотропные дионные гипербраны (В = D, Е = О для нашей записи), и решения получались без требования экстремальности решения (БПС). Решение работы [С] может быть получено из нашего более общего общего, если наложить следующие условия на параметры решения нашего решения (обозначим параметры [6] с помощью тильды):
Было проверено в [6], что это решение удовлетворяет уравнению связи (4.39) и скаляр кривизны конечен на горизонте. Но как легко проверить скаляр Кречмана (4.42) расходится там (что не проверялось в [6]). Поэтому не-БПС дионные гинербраны с симметрией ISO(p, 1) найденные в [6] не регулярны на горизонте. В нашем анализе регулярность горизонта обеспечивалась наложением условия продолжения геодезических через горизонт (смотрите часть 4.2.1). В неэкстремальном случае (невырожденный горизонт), это дало дополнительное условие па горизонте для функции А работы [6] - Л = О (D = 0 в наших определениях). В случае выполнения последнего условия найдем, что Что в случае Лиувилля дает регулярную БПС гииербрану.
Для решения Тода, как было показано, анализ геодезических исключает возможность регулярного экстремального предела. В терминах работы [G], неэкстремальное решение с ISO(p, 1) симметрией должно удовлетворять условию к = 0, что так же ведет к решению с a = 0, что противоречит значению константы связи а для решения Тода. Поэтому мы делаем вывод, что в случае симметрии ISO(p, 1) решении регулярны, только для стандартных БПС решений, которые существуют, только в случае Лиувиля (а = 0, а2 = п — 1). В случае Тода (а2 = 3(п — 1)) регулярное решение существует только в неэкстремальном случае. Конечно, отказавшись от условия регулярности (допустив открытые сингулярности) найдем более широкий класс решений. Черное дионное решение работы [8] может быть получено из нашего решения (4.5G), если наложить следующие условия на параметры Заметим, что наше решение более общее - делокализованное, а так же возможностью размещения сингулярности между внутренним и внешним горизонтами. Так же заметим, что в экстремальном случае решение работы [8] вырождается: когда к — 0, получим _ = + = i = 2 = О- Это не выполняется для нашего решения, если сингулярности расположены иод внутренним горизонтом. Поэтому решение (4.96) описывает только частный случай нашего общего решения, даже если мы локализуем его. 4.5 Решение с асимптотикой линейного дилатона В предыдущих частях исследовались решения с плоской асимптотикой, и сингулярности располагали под горизонтом для соблюдения условия космической цензуры. Но как было замечено в части 4.2.1 особые точки ri,r2 могут быгпъ попарно расположены или в области г г_ U г r+, или в области г_ г г+. В предыдущих частях для решений с одним зарядом, в случае размещение особой точки 7 за горизонтом, получали решения с асимптотикой линейного дилатона. Для решения с двумя зарядами у нас две особые точки Ті,2- В этой части будет изучен вопрос возможных решений с регулярным горизонтом для всех случаев расположения особых точек. С учетом сохранения знака экспоненты дилатона и глобальной сигнатуры метрики получаем четыре случая расположения образов ті 2 преобразования (4.54): Заметим, что перестановка г\ и г2 ведет только к замене знака дилатона ф — —ф. Первые два случая отвечают описанным ранее асимптотически плоским решениям. Для анализа третьего и четвертого случая преобразуем общее решение (4.33-4.38) с учетом условий регулярного горизонта (4.49). Общее решение для диона с регулярным горизонтом, после масштабирования X, Z (do = со = 0), запишется в виде.
Связь с известными решениями с плоской асимптотикой
Полученные решения имеют больше параметров и ряд существенных отличий от ранее известных. В ранее рассмотренных моделях число параметров не превышало трех - а,/?, то, два из них были связаны уравнением связи, соответственно динамика решения зависела только от двух параметров. При этом во временном факторе мы имели величину с заведомо хорошим поведением на г = —со. Увеличение числа свободных параметров не изменило положение точек начала времени и временной бесконечности, - начало времени выбрано г = —со (і = 0), временная бесконечность для а = —1 (гиперболическое пространство) является г = 0, а для а = 0,1 - г = +оо. По при этом требуется наложить условие на временной фактор на г = —со. В общем случае (полная анизотропия) масштабный фактор будет иметь порядок: Вначале времени и на временной бесконечности получаем поведение величипы стоящей в экспоненте Откуда для обращения масштабного фактора в ноль в начальный момент времени, потребуется выполнение неравенства: что накладывает дополнительное условие на параметры решения. Вторым важным моментом, вытекающим из асимптотического поведения функций, - это динамика масштабного фактора на временной бесконечности. Для случая гиперболического пространства получаем бесконечное расширения вселенной (масштабный фактор стремится к бесконечности при т — 0). Для изотропного пространства, получаем модель вселенной проходящей через фазу расширения, а затем сжатия для сферического случая и бесконечно расширяющуюся для плоского случая. В случае анизотропной вселенной, при выполнении условия: в сферическом случае имеем бесконечно расширяющуюся вселенную. В гиперболическом случае внешнего пространства на временной бесконечности получили стремление к изотропному пространству. Для остальных случаев внешних пространств имеем переход от особенности типа блин к тип цилиндр (пли наоборот в зависимости от знаков параметров). В случае изотропного пространства параметр а в решение стоит коэффициентом при временной координате, изменяя его мы можем менять лишь пределы инфляционной стадии, но на значение масштабного фактора в начале процесса и в конце, а так же на их отношение, он не оказывает влияния. Аналогично ведет параметр /?, связанный с ним уравнением связи. II единственный параметр влияющий на характер инфляции остается TQ (например [114]). Но при увеличение числа параметров можно надеяться на существенное изменение длительности и интенсивности фазы ускоренного расширения вселенной, что и будет рассмотрено ниже.
В наиболее общем случае в решение (анизотропный случай) есть четыре дополнительных параметра 0i,ei,d},df, влияющих на поведение системы. Их вклад суммируется с различными весовыми коэффициентами в параметре С\. На С\ накладываются ограничения, связанные с граничными условиями поведения решения - в начале времени (t = 0) и на временной бесконечности.
Как видно из условий ускоренного расширения (5.77), малое увеличение параметра Сі ведет к увеличению скорости расширения, но уменьшает время инфляционной фазы. Параметр /3 снова можно выразить через остальные из уравнения связи, поэтому умножение всех параметров решения (а,фі,е\,(1\) на одинаковый коэффициент не влияет на отношение масштабных факторов в начале и конце инфляционной фазы. Поэтому фиксировав параметр а, мы не потеряем общность анализа рассмотрения инфляционной фазы. Комплексный анализ - включение всех параметров (их суммарное влияние на инфляцию, максимализация степени расширения в инфляционную фазу) в данной работе не производится, рассматривается влияние каждого из факторов: анизотропный случай, дополнительные параметры скалярного ноля, вид внешнего пространства. Зафиксируем размерность пространства d = 10, тогда величина Л4 примет вид: Дальнейший анализ проводился численными методами на основе полученных ранее формул. Обозначим степень инфляционной стадии: соответственно Перед проведением расчетов стоит рассмотреть особенности существования инфляционных стадий для каждого из трех случаев компактифицированных пространств. Если для плоского и гиперболического пространств ускоренная фаза расширения вселенной существует в общем случае, то для сферического пространства, как было рассмотрено во многих работах, необходимо ненулевое отрицательное значение параметра TQ. При этом максимальная величина е/, достигает при ть тошл:, с другой стороны свойства инфляционной фазы при этом будут совпадать с свойствами ускоренного расширения плоского пространства (что видно из исключения функции G в соответствующей области), поэтому случаи о = 0,1 будут рассматриваться вместе.Динамика условия расширения (толстая кривая) и ускоренного расширения/сжатия (тонкая кривая) для сг = —1 при пулевых параметрах (слева) и значениях параметров 1\ и TQ максимализирующих е/ (справа). гиперболическое пространство а = — 1 В случае равенству нуля дополнительных параметров степень инфляции будет е/ & 0.7838, что можно увеличить за счет увеличения 7 до 1.0535G. При возникновение анизотропии (d\ = erf = di) максимальной степени инфляции соответствует d\ « —0.755 се/й 1.01С83. Увеличение параметра то приводит ке/й 1.14839270. Рассмотрение скалярного ноля ф (а = — , ф\ = 0) приводит к уменьшению числа е/ до 0.718735, достигает максимума ej и 0.74907 (или с увеличением то до 1.051942) при ф\ « 0.09218.
Анизотропная S-брана. Параметризация решения тина КМР
Из полученных результатов следует, что только только анизотропия пространства позволяет заметно изменить число е/, остальные параметры или незначительно улучшают динамику системы или даже ухудшают ее. Не смотря на то что получено увеличение е/, оно все равно далеко до заветных 60.
Уравнение состояния полученное в прошлой подсекции тесно связано с условиями на инфляцию рассмотренную ранее. В случае равенства нулю всех параметров получаем зависимость отношения давления к плотности энергии совпадающую с описанной в 117]. Отношение ш становится отрицательная {ш = — ) и система переходит в состояние доминирования потенциальной энергии над кинетической, что дает эффективную космологическую постоянную и порождает отрицательное давление - ускоренное расширение, дойдя до ш = — 1 начинает возрастать и пройдя — инфляция прекращается.
Так же процесс можно интерпретировать с точки зрения динамики скалярных полей и потенциалов образующихся в результате комиактифика нулевые (u;mi-n = — 1) (левый рисунок), (/i=-0.1 (u}min — 1) (правый рисунок). дни внешних измерении [116]. Движение скалярных полей в них приводит так же к стадии доминирования потенциальной энергии. Скалярное ноле "тормозит"в потенциале, уменьшая свою кинетическую энергию, при этом важным моментом является положительность потенциальной энергии в точке остановки скалярного поля (для а = 1 при TQ = 0 это условие не выполняется), тогда в окрестности точки поворота наблюдается ускоренное расширение. Включение дополнительных параметров, связанных со скалярными нолями приводит к увеличению ш и уменьшению степени инфляции. Но при рассмотрение анизотропной модели ш становится меньше -1, что можно интерпретировать как наличие фантомной материи, что приводит к росту величины инфляции. В начале времени динамика системы для любого из внешних пространств начинается cw=l. Для гиперболического случая на временной бесконечности и стремится к —у. Для двух других предел определяется параметрами решения. Получено решение анизотропной пространственной гипербраны с внешним цилиндрическим пространством. Рассмотрены свойства полученного решения и его связь с уже существующими решениями, в том числе преобразованием и фиксацией параметров можно привести его к решению получаемой из одиннадцатимерной теории струн. На основе полученного s-бранного решения методом комнактификации внешних, но отношению к поверхности гипербраны, измерений построена анизотропная космологическая модель. Хотя дополнительные параметры решения позволили улучшить степень инфляции, нужного уровня ( eG0) получить так и не удалось.
Делокализация нередуцированной пространственной гииербраня ухудшает степень инфляционного процесса космологической модели и степень инфляции максимальна при рассмотрение простого внешнего пространства (q = к). Наиболее интересным случаем для анизотропной модели является вариант внутреннего гиперболического пространства. В этом случае до инфляционного процесса пространство имеет анизотропию, и, как было замечено раньше, длительности инфляционной фазы недостаточно для перехода к полностью изотропному пространству, но на временной бесконечности анизотропия исчезает, в отличие от случаев плоского и сферических пространств, когда она опять начинает нарастать. Поэтому система, получаемая редуцированием системы анизотропной гипербраны с внешним гиперболическим пространство, представляет наиболее реалистичную модель, согласующуюся с данными наблюдения.