Содержание к диссертации
Введение
1 Парафермионная теория поля Лиувилля и инстантоны на ALE пространствах 12
1.1 Инстантонные вычисления на С /Ър 13
1.2 Инстантонные вклады, соответствующие S и D модулям 5з па-рафермионной алгебры 17
1.3 Конформные блоки 5 з парафермионной алгебры
1.3.1 Расширенная алгебра симметрии р = 4 парафермионов 20
1.3.2 Конформные блоки
1.4 Сравнение конформных блоков в S и D модулях 5з парафермионной алгебры с инстантонной статсуммой на С /Z4 33
1.5 Завершающие замечания и открытые вопросы 34
2 Косетная конформная теория поля и инстантонные вычисления на C2/Zp 36
2.1 Пространство модулей инстантонов и действие группы тора 37
2.1.1 Стационарные точки действия тора на многообразии модулей U{2) инстантонов на С /Ър 37
2.1.2 Классы эквивалентности производящих функций стационарных точек 40
2.2 Л(2, р) как модель с р симметриями Вирасоро 44
2.2.1 Произведение р моделей 46
2.2.2 Характеры первой реализации и производящие функции стационарных точек 52
2.3 Л(2,р) как произведение Минимальных Моделей и косета 53
2.3.1 Косет si(2)p х st(2)n p/st(2)n
2.3.2 Последовательные Минимальные Модели 58
2.3.3 Сопоставление характеров представлений первой и второй реализаций алгебры А(2,р) 60
2.3.4 Трёхточечные функции косетной модели и их связь с трёхточечными функциями теории Лиувилля 62
2.4 Статсуммы Некрасова для различных построений пространства модулей инстантонов на C2/Zp 68
2.4.1 Инстантоны на ALE пространстве C2/Z p 68
2.4.2 Компактификация путём индуцирования действияЪр на пространстве модулей инстантонов на С 70
2.4.3 Базисы в конформной теории поля и равенство инстан-тонных статсумм 71
3 Спектр ILW иерархии в косетной конформной теории поля 74
3.1 Случай р = 1 и общего г: W-алгебры 76
3.2 Случай г = 1 и общего р: Qt(p)i алгебра 79
3.3 Случай г = р = 2: квантовая суперсимметричная система Кортевега-де-Фриза 81
Заключение
- Расширенная алгебра симметрии р = 4 парафермионов
- Сравнение конформных блоков в S и D модулях 5з парафермионной алгебры с инстантонной статсуммой на С /Z4
- Характеры первой реализации и производящие функции стационарных точек
- Компактификация путём индуцирования действияЪр на пространстве модулей инстантонов на С
Расширенная алгебра симметрии р = 4 парафермионов
Известно, что расширенная алгебра симметрии так называемых 5з парафермионов есть алгебра спина 4/3. Детальное обсуждение этой алгебры можно найти в [60, 48]. Здесь мы выделим лишь аспекты, необходимые для нашего дальнейшего обсуждения. Во-первых, мы выпишем операторные разложения (OPEs) тензора энергии-импульса T{z) и тока дробного спина 4/3 2" V 6 а многоточие обозначает несингулярные члены. Каждому полю в алгебре выше приписан так называемый Жз-заряд. Тензору энергии-импульса T{z) приписывается Жз-заряд q = О, а дробным токах G±(z) приписываются Z3-заряды q = ±1. Следующая важная вещь, которую необходимо выделить, - это разложение по модам дробных токов. Эти моды могут быть определены лишь действием на состояние Х9(0) с соответствующим Жз-зарядом q СІшХМ = f С ЫО), (1.24) где 7 - контур, окружающий начало координат и к Є Z. Из формулы (1-24) можно извлечь правило, в соответствии с которым моды G± могут действовать на состояние с Жз-зарядом q: G± lTq\q), fcGZ, q = 0,±l. (1.25) к- 3 Коммутационные соотношения для мод T(z) и G (z) могут быть легко получены из соответствующих операторных разложений (1.19) и (1.20) [Lm, Ln] = (т - n)Lm+n + — (m 3 - т) 6m+nfi, (1.26) [Lm,Gr\ = (— r)Gm+r, (1-27) где m,n Є 7 и г = к -\— с к Є Z и q - Жз-заряд состояния, на которое действует соответствующий Gf. Оказывается, что из-за того факта, что операторные разложения (1.21) и (1.22) алгебры дробного спина содержат дробные степени, невозможно получить обычные коммутационные соотношения, но возможно выписать так называемые обобщённые коммутационные соотношения Cf = (-1) I ") = {- f П (v - і + 1). (1.29) Структура состояний старшего веса в этой алгебре следующая. Существует три различных модуля, обозначаемых S,D и R. Состояния старшего веса в этих модулях уничтожаются генераторами Lm и Gf с г, т 0. Л-модуль несущественен для нашей дискуссии. Мы обозначаем примарные состояния как М , (1-30) где а - параметр Лиувилля состояния и q - Жз-заряд состояния. Сопряжённое состояние обозначено как (ct]q\. Тогда в этих обозначениях состоянием старшего веса в -модуле является ск;0). В D-модуле есть два состояния старшего веса, то есть состояние старшего веса двукратно вырождено, и они обозначены как ск;=Ы). Конформные размерности этих состояний старшего веса
Д = \а (Q - а), Д? = \a{Q-a) + і (1.31) Мы используем следующие соглашения для состояний старшего веса в D модуле С0±«;±1)=Л±«;Т1), Л± = ±У -А?). (1.32) Базис состояний в каждом модуле может быть выбран в следующей форме и V Пс-п11ь-» ;з . (L33) г=1 j=l Уровень состояния определяется как/ = /о+ с /о = Хл=і r +X =i nj и гДе (5 = 0 для б -модуля и (5 = у2 Для -D-модуля. Заметим, что в этих определениях уровень состояния старшего веса в D-модуле т и размерность A« = А« +то? что означает, что мы отсчитываем уровень состояния от уровня состояния старшего веса в -модуле. Беря во внимание правило (1.25) для действия на состояние, можно показать, что возможные значения уровней в -модуле
Чтобы посчитать коэффициенты парафермионных конформных блоков, мы вычисляем четырёхточечную корреляционную функцию состояний старшего веса в -модуле. Мы обозначаем вертексный оператор этого состояния старшего веса как Wa (z). Тогда объект нашего интереса (mi;0 (l) (z)m2;0) (= {W { )W {l)W {z)W )) ). (1.34) Здесь мы уже используем обозначения для параметров Лиувилля как в калибровочной теории для сравнения конформного блока со статсуммой. Связь параметров а, т\ и т с параметрами калибровочной теории следующая а = + Р, mi = + Pi, m2 = + P2. (1.35) Мы вычисляем эту корреляционную функцию путём вставки полного набора состояний на каждом уровне l J xiK- ijXiiJl (1.36) «J где 1)/, 2)/,...} - набор потомков примарных полей на уровне / и К (/) - обратная матрица Грама/Шаповалова на уровне / ((Ka(l))ij = i(i\j)i). За метим, что потомки на каждом уровне зависят от параметра Лиувилля а так же, как и матрица Грама/Шаповалова. Соответствующий конформный блок представляется как ряд по дробным степеням / Є Z o, І Є Z o + 75? / Є Z o + 3 и о + і переменной z. Но, как мы уже знаем из статсуммы (1.13) калибровочной теории, он не содержит степени параметра разложения / Є Z o + то и / Є Z o + q- Затем мы делаем вывод, что для совпадения с результатом калибровочной теории мы должны рассматривать только те вклады в корреляционную функцию (1.34), которые возникают в результате вставки полных наборов (1.36) состояний на уровнях / Є Z o и / Є Z o + Как мы увидим далее, есть два типа конформных блоков на уровнях/ Є Z o:
Сравнение конформных блоков в S и D модулях 5з парафермионной алгебры с инстантонной статсуммой на С /Z4
В случае, когда параметр п в А(2,р) = д1(п) 2 /$1(п — p)cz является положительным целым числом, косетьій[(2)і xs[(2)n_cr/s[(2)n_cr+i в (2.26) описывают минимальные модели А4(п — а + 1/п — а + 2) и стрелка 4 схемы (2.1) в точности повторяет соответствие между минимальными моделями, которое подробно изучалось в [65]. В этом разделе в духе [65] мы конструируем первую реализацию алгебры А(2,р).
Вспомним, что алгебра Вирасоро состоит из бесконечного числа генераторов Ln, п Є Z, удовлетворяющих следующим коммутационным соотношениям [J m J m\ = [ТІ — m)Ln+m + — [П — n)dn-\-mfi, (2.32) где с -центральный заряд, параметризованный как с = 1 + 6Q с Q = Ь + Ь . Мы обозначаем состояние старшего веса этой алгебры как V\, которое уничтожается Ln с п 0 и имеет следующую параметризацию конформной размерности Д(А) = - А2 . (2.33) Состояния старшего веса вырожденного представления алгебры Вирасоро обозначены как Vm n = V\mn, где и их размерность т,п = —. лтп. (2.35) Вдобавок к р тензорам энергии-импульса Т а\ мы определяем набор из р — 1 голоморфных токов jW(z) V$(z)v+1)(z), 7 = 1,...,р-1, (2.36) где Vm,n -вырожденное поле, примарное относительно Т а . По причине соотношения (2.30) для Ьа левая конформная размерность тока J a (z) даётся формулой 2 (2.37) Л , , — Л(а) -и Л(а+1) i\j(a) — i\l2 + i\2l — п, тогда как правая конформная размерность равна нулю. Можно проверить, что токи T a (z) и J(a (z) генерируют ассоциативную киральную алгебру [65, 72]. Мы будем называть эту алгебру первой реализацией Л(2,р).
Теперь обратимся к конструкции представлений Л(2,р). Первое требование для состояния старшего веса алгебры состоит в том, что оно является примарным по отношению к р тензорам энергии-импульса Т 7 . Если 1/д является примарным состоянием тензора энергии-импульса под номером т, тогда очевидно, что состояние является примарным относительно всех тензоров энергии-импульса. Рассмотрим операторное разложение токов J a (z) с примарным состоя (1) (Р) нием 1/д где C(a (ma,ma+i; Лі,... , Хр) являются структурными константами. Чтобы достичь локальности, мы должны сделать проекцию [65] и сохранить только два члена в сумме (2.39), скажем, ста = та+і = ±1 и также наложить условие ХаЬа + Асг+1& , 1 Є Z или Z + 1/2. Теперь моды J a\ которые действуют на состояния представления, соответственно являются целыми или полуцелыми
Второе требование состоит в том, что состояние (2.38) является примарным для токов J(a\ то есть оно аннигилируется модами всех токов J a (z) с положительными номерами Это условие приводит нас к следующему соотношению для лиувиллевских импульсов Ai, если эти моды целые. По аналогии с представлениями алгебры Невьё-Шварца-Рамона будем называть примарное состояние невьё-шварцевским по отношению к току под номером о", если (2.41) выполняется, и называть его рамонов-ским по отношению к току под номером о", если выполняется (2.42) со знаком плюс или минус. В дальнейшем мы будем заинтересованы в представлениях, которые являются невьё-шварцевскими по отношению ко всем токам J (z), и в представлениях, которые являются рамоновскими по отношению к одному из токов и невьё-шварцевским по отношению ко всем остальным р — 2 токам j(a\z). В начале, мы собираемся рассматривать представление, которое является невьё-шварцевским по отношению ко всемр — 1 токам J a (z). Будем использовать следующее обозначение примарного состояния в этом представлении где обозначение А означает, что эти лиувиллевские импульсы подчиняются условиям \% + \+iKli=0, г = 1,...,р-1. (2-44) Таким образом, мы имеем р — 1 уравнений на р переменных. Это означает, что только одна из этих переменных является независимой и представление может быть пронумеровано только одной переменной А, поэтому удобно па раметризовать А следующим образо
Рассмотрим представления, которые являются рамоновскими по отношению к току J(s (z) под номером s (s = 1,... ,р — 1) и невьё-шварцевским по отношению к остальным токам. Мы обозначаем представление под номером s этого типа как
Конечно, мы можем взять +2 вместо — 2, но это даст нам эквивалентное представление. Заметим, что существуют, таким образом, р — 1 представлений, которые являются рамоновскими по отношению только к одному из токов.
Для представления под номером s мы снова имеем р—1 уравнений (2.49) на р переменных А , и, таким образом, представления этого типа могут быть параметризованы только одной переменной. Можно удобно параметризовать А в терминах А из (2.45), при этом условие (2.49) будет автоматически удовлетворено. Вводя новые переменные ds
Характеры первой реализации и производящие функции стационарных точек
Следующая задача состоит в том, чтобы определить классы неэквивалентных производящих функций для каждого s с к{, равными 0 или 1.
Начнём со случая s = 0. Как мы помним, массив из к{ является рядом из р — 1 нулей и единиц. Мы можем смотреть на этот массив как на островки единиц в море нулей. Затем, мы можем легко видеть, что симметрии (Е.З) и (Е.4) запрещают островкам сливаться (по крайней мере один 0 должен быть между ними), но позволяют менять их размер. Таким образом, класс эквивалентности определяется числом островков п, которое принимает значения 0,1, 2,... , []. Удобно выбрать следующего представителя n-го класса 2п-1 Хо,о(1,0,1,0,...,1,0,1,0,...,(%). (Е.9) Тогда для s = 0 мощность n-го класса равна (? J (число способов распределить 2п границ островков между р позициями).
Теперь мы продолжим с тем же вычислением для случая s 0. Смотря снова на массив из к{, который состоит из 0 и 1, мы замечаем, что если имеется остров из единиц, содержащий позицию номер s, мы можем уничтожить этот островок, получая при этом производящую функцию, эквивалентную Xo,s- Тогда из-за симметрии (Е.6) и (Е.8) мы можем аннигилировать островки слева от позиции s с островками справа от позиции s. Это означает, что после этих преобразований мы останемся с некоторым числом островков только с одной стороны (справа или слева). Это приводит нас к выводу о том, что класс эквивалентности в этом случае определяется разностью между числом островков слева и справа от позиции s. Тогда, число классов эквивалентности равно
Обозначим через / разность числа островков слева и справа от s-той позиции. Тогда число производящих функций в соответствующем классе эквивалент 101 ности с ка = 0 даётся формулой
Число производящих функций в том же классе с ка = 1 (что эффективно приводит к добавлению одной границы островка с каждой стороны) даётся формулой 2Н У U + 2j + vU + V" (Е 12) Суммируя оба вклада, мы получаем, используя тождество Вандермонда p(»;»)(v)+Ui+.)(JVi) -(.- «)- » Удобный выбор представителя /-го класса является следующим S-2/+1 s ХоДО,...,0,1,0,1,0,...,1,0,1,0,0,...,0). (Е.14) Ситуация аналогична, когда у нас есть п островков с правой стороны, за исключением того, что мы должны заменить s на р — s, что даёт мощность ( -Р-о ) Удобным выбором представителя будет s s \ 2trn—1 Xo,s(0,...,0,0,l,0,l,...0,l,0,l,0,...,0). (Е.15) F Конформные теории поля, основанные на косете В данном приложении мы представим некоторую информацию о конформных теориях поля, основанных на косете si(r)h х sl(r)h В случае произвольного целого г 2 и произвольных комплексных 1\ И І2 косет (F.1) описывает конформную теорию поля с центральным зарядом Ф, /ь /2) = (rs - і) (-Ь + -ГГ - 4гтг) (R2 \r + /i r + /2 r + li + h) 102 В случае 1\ = 1 мы имеем конформную теорию поля с центральным зарядом ctr 1 h) - (г - 1) fe(2r + fe + D (F 3) которая имеет И -симметрию [47]. Тогда, если 1 - положительное целое число, центральный заряд даётся формулой (F.3) и косет описывает Минимальную Модель с И -симметрией. Теперь рассмотрим случай ранга г = 2, который изучается в данной работе. Косет (F.1) принимает вид Д(2 х si(2)h В случае произвольного комплексного 1\ и І2 косет (F.4) описывает конформную теорию поля с центральным зарядом c(2 i1 fe) = 3(Vj- + rJg--l кУ2 ). (F.5) V ; Mi+ 2 2 + 2 /i + /2 + 2y v ; В случае 1\ = 1 мы имеем конформную теорию поля с центральным зарядом C(2 M2)=№ + 2)(fe + 3)-1-(fe + 2)(/2 + 3) (R6) которая обладает симметрией Вирасоро. Тогда, если/2 - положительное целое число, центральный заряд даётся той же формулой (F.6) и косет описывает Минимальную Модель Л4(І2 + 1/ 2 + 2), как показано в [3, 4]. G Размерность состояний старшего веса представления В данном Приложении мы задаёмся целью определить правильные формулы для размерностей рассматриваемых представлений. Для этого нужно вычислить степень переменной q, с которой начинается ряд в формуле (2.70), 103 по модулю 5{j) в формуле г+1 ( ЩИ + гЛг+11+г р+і-)+іт +гт±і (-1Г( « 2 2 "v - " 2 2 г ,1=0 l V-i +rl(P+l)+p+l-m+l(p+l- )+r(P+l-m U (Q 1Л Сначала мы рассмотрим случай т s. Можно легко заметить, что в этом случае все коэффициенты перед г , / , г/, г и / неотрицательны. Таким образом, очевидно, что минимальная степень в первом члене равна 0 и минимальная степень во втором члене равна р + 1 — т, что реализуется, если г = 1 = 0.
А теперь рассмотрим случай т s. Чему равна минимальная степень во втором члене, очевидно, так как снова коэффициенты перед г2, /2, г/, г и / неотрицательны. Таким образом, второй член даёт минимальную степень, равную р + 1 — т. Ситуация с первым членом не столь проста. Наша цель состоит в том, чтобы минимизировать квадратичную форму ( — iy+l в (G.l). Мы уже взяли г = 0. Можно видеть, что ( — I) 1 = —( —I) 2 и коэффициент ряда, соответствующий минимальной степени, равен нулю. Тогда мы итерируем эту процедуру, беря 1\ = + 1 и 1 і = у — 2 и так далее, но мы снова получаем (—1) = —( —1) 2. Эта ситуация продолжается, пока мы не достигаем значения 1 = — 1. Это значение / 0 и находится вне разрешённого диапазона /. Тем не менее, 1\ по-прежнему необходимо принять во внимание
Общая стратегия доказательства формулы (Н.1) состоит в сдвиге переменной а в (Н.1) к a+pb и делении (Н.1) со смещённым а на то же тождество с несмещённым а. Для этих сдвигов мы получаем простые формулы которое позволяет нам определить Кр(сї) по модулю некоторой мультипликативной константы. Эту константу можно определить, беря а = pb в (Н.1) и извлекая Кр(рЬ) их полученного отношения. Это определяет интересующую нас мультипликативную константу.
В этом приложении мы не собираемся выводить (Н.1) для произвольного р. Вместо этого мы приведём детальный вывод соотношения (Н.1) для случаев р = Зир = Ай угадаем общую формулу для произвольного]?. Соотношение для р = 2 было выведено в [39].
Компактификация путём индуцирования действияЪр на пространстве модулей инстантонов на С
Следующая задача состоит в том, чтобы определить классы неэквивалентных производящих функций для каждого s с к{, равными 0 или 1.
Начнём со случая s = 0. Как мы помним, массив из к{ является рядом из р — 1 нулей и единиц. Мы можем смотреть на этот массив как на островки единиц в море нулей. Затем, мы можем легко видеть, что симметрии (Е.З) и (Е.4) запрещают островкам сливаться (по крайней мере один 0 должен быть между ними), но позволяют менять их размер. Таким образом, класс эквивалентности определяется числом островков п, которое принимает значения 0,1, 2,... , []. Удобно выбрать следующего представителя n-го класса
Теперь мы продолжим с тем же вычислением для случая s 0. Смотря снова на массив из к{, который состоит из 0 и 1, мы замечаем, что если имеется остров из единиц, содержащий позицию номер s, мы можем уничтожить этот островок, получая при этом производящую функцию, эквивалентную Xo,s- Тогда из-за симметрии (Е.6) и (Е.8) мы можем аннигилировать островки слева от позиции s с островками справа от позиции s. Это означает, что после этих преобразований мы останемся с некоторым числом островков только с одной стороны (справа или слева). Это приводит нас к выводу о том, что класс эквивалентности в этом случае определяется разностью между числом островков слева и справа от позиции s. Тогда, число классов эквивалентности равно
Обозначим через / разность числа островков слева и справа от s-той позиции. Тогда число производящих функций в соответствующем классе эквивалент 101 ности с ка = 0 даётся формулой
Число производящих функций в том же классе с ка = 1 (что эффективно приводит к добавлению одной границы островка с каждой стороны) даётся формулой
Ситуация аналогична, когда у нас есть п островков с правой стороны, за исключением того, что мы должны заменить s на р — s, что даёт мощность ( -Р-о ) Удобным выбором представителя будет В данном приложении мы представим некоторую информацию о конформных теориях поля, основанных на косете
В случае произвольного целого г 2 и произвольных комплексных 1\ И І2 косет (F.1) описывает конформную теорию поля с центральным зарядом В случае 1\ = 1 мы имеем конформную теорию поля с центральным зарядом ctr 1 h) - (г - 1) fe(2r + fe + D (F 3) которая имеет И -симметрию [47]. Тогда, если 1 - положительное целое число, центральный заряд даётся формулой (F.3) и косет описывает Минимальную Модель с И -симметрией. Теперь рассмотрим случай ранга г = 2, который изучается в данной работе. Косет (F.1) принимает вид
В данном Приложении мы задаёмся целью определить правильные формулы для размерностей рассматриваемых представлений. Для этого нужно вычислить степень переменной q, с которой начинается ряд в формуле (2.70),
Сначала мы рассмотрим случай т s. Можно легко заметить, что в этом случае все коэффициенты перед г , / , г/, г и / неотрицательны. Таким образом, очевидно, что минимальная степень в первом члене равна 0 и минимальная степень во втором члене равна р + 1 — т, что реализуется, если г = 1 = 0.
А теперь рассмотрим случай т s. Чему равна минимальная степень во втором члене, очевидно, так как снова коэффициенты перед г2, /2, г/, г и / неотрицательны. Таким образом, второй член даёт минимальную степень, равную р + 1 — т. Ситуация с первым членом не столь проста. Наша цель состоит в том, чтобы минимизировать квадратичную форму при условии, что г, / Є Z неотрицательны. Немного преобразуя квадратичную форму, мы получаем
Посмотрим на эту квадратичную форму как на функцию переменной г с параметром /. Так как {р + 1)/ 0 и m+2s+ 0, мы можем сделать вывод о том, что для произвольного / 0 минимум этой функции достигается при г = 0. Тогда, единственное, что остаётся, - это минимизировать
С первого взгляда можно подумать, что минимум этого выражения достигается при 1\ = и І2 = р —1. Но это не так просто. Вспомним коэффициент Можно видеть, что ( — I) 1 = —( —I) 2 и коэффициент ряда, соответствующий минимальной степени, равен нулю. Тогда мы итерируем эту процедуру, беря 1\ = + 1 и 1 і = у — 2 и так далее, но мы снова получаем (—1) = —( —1) 2. Эта ситуация продолжается, пока мы не достигаем значения 1 = — 1. Это значение / 0 и находится вне разрешённого диапазона /. Тем не менее, 1\ по-прежнему необходимо принять во внимание