Содержание к диссертации
Введение
Применение уравнения Абеля для анализа космологической инфляции 15
Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого рода 15
1.1.1 Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциала 16
1.1.2 Сведение уравнений движения поля к уравнению Абеля первого рода 18
1.1.3 Анализ уравнения Абеля 21
1.1.4 Примеры решений уравнения Абеля 28
1.1.5 Анализ инфляционной динамики с использованием решения уравнения Абеля 33
Практическое применение численных решений уравнения Абеля для анализа инфляции 34
1.2.1 Уравнения Абеля для полиномиальных потенциалов 35
1.2.2 Эволюция вселенной, заполненной скалярным полем с потенциалами mV/2, А(//4 и mV2/2 +V/4 41
1.2.3 Подготовка к численному анализу «сильной» инфляции для трех полиномиальных потенциалов 45
1.2.4 Начальные условия, достаточные для существования «сильной» инфляции 47
1.2.5 Влияние начального значения скалярного поля и начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами его энергии на число е-расширений и время инфляции
1.2.6 Начальные условия для скалярного поля и условие медленного скатывания 52
1.2.7 Влияние медленного скатывания на время инфляции и число е-расширений 55
1.3 2.1
1.2.8 Сравнение моделей mV/2, А//4 и m2f2/2 + А(//4 55
Итоги главы 61
Метод U{(f), суперпотенциал и уравнение Абеля первого рода для скалярного поля с экспоненциальным потенциалом 63
Метод U{(f) и уравнение Абеля первого рода 63
2.1.1 Метод U(if) 63
2.1.2 Сведение уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля первого рода 65
2.2 Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненци альным потенциалом 69
2.2.1 Уравнение Абеля для скалярного поля с экспоненциальным потенциалом 69
2.2.2 Случай С = 0 72
2.2.3 Случай С 0 79
2.2.4 Случай С 0 91
2.2.5 Сшивка решений уравнений Эйнштейна-Фридмана в случае экспоненциального потенциала скалярного поля и положительной постоянной интегрирования в решениях уравнения
2.3 Итоги главы 109
3 Уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Шрёдингера и спектральный индекс в приближении медленного скатывания 112
3.1 Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза и уравнение для спектрального индекса 112
3.1.1 Истоки идеи 112
3.1.2 Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза 115
3.1.3 Преобразование Дарбу для решений иерархии уравнений Кортевега-де Фриза 116
3.2 Применение преобразования Дарбу для построения инфляционных потенциалов и спектральных индексов 120
3.2.1 Сведение уравнения для спектрального индекса к уравнению Шредингера 121
3.2.2 Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс 123
3.2.3 Преобразование Дарбу и новый потенциал: модель Харрисона-Зельдовича 129
3.2.4 Преобразование Дарбу и новый потенциал: возмущенная модель Харрисона-Зельдовича 132
3.2.5 Решение Лидси 135
3.3 Итоги главы 136
Заключение 137
Литература
- Анализ инфляционной динамики с использованием решения уравнения Абеля
- Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненци альным потенциалом
- Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза
- Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс
Введение к работе
Актуальность темы. Первые модели, описывающие экспоненциально быстрое расширение вселенной, заполненной сверхплотной материей, были предложены еще в шестидесятых годах прошлого столетия, однако и сейчас ранняя космологическая инфляция является активно развиваемой идей в современной космологии, поскольку предположение о протекании инфляции в ранней вселенной позволяет разрешить многие затруднения, возникающие в теории горячей вселенной, такие как проблемы сингулярности, плоскостности, горизонта и другие. Изобилие исследований по данной теме привело в конечном итоге к созданию различных инфляционных сценариев [2, 22, 27, 17, 23, 10, 4, 6, 18, 24], в частности, нового инфляционного сценария [20, 28] и сценария хаотической инфляции [21], который на сегодняшний день разработан наиболее глубоко и полно.
Одна из простейших моделей хаотической инфляции - это инфляция во вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем ір, минимально связанным с гравитацией, которое, в принципе, не должно быть однородным на больших масштабах. Достаточно лишь, чтобы оно было практически однородным в некоторой малой области порядка планковской длины /Р - 1(Г33 см. Тогда эту область можно рассматривать как локально однородную и изотропную, с метрикой Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРУ)
ds2 = dt2 - a2(t) \y^2 + r4d02 + sin2 0 dip2) ] ,
где t — временная координата, г, в и ip — пространственные координаты, a(t)
— масштабный фактор, к = 0, 4-1, —1 для плоского, замкнутого или открытого
пространства соответственно. Тогда выражающее закон сохранения энергии урав
нение
/) + ЗЯ(р + р) = 0,
следующее из уравнений Эйнштейна-Фридмана
а2 _ 8тг к
Р (1)
Ь"4^(Р + ЗР)' в этой области может быть записано в виде
ф + ЗНф + У(<р) = 0, (2)
где точка обозначает производную d/dt, штрих — производную d/d(p, Н = а/а
— параметр Хаббла, р = 1/2ф2 + V(tp) — плотность энергии поля, р = 1/2ф2 —
V((p) — давление поля, а V(tp) — его потенциал. Здесь и далее везде полагаем
с = h = 1. Таким образом, первое из уравнений (1) и уравнение (2) составляют
систему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями
a = a(t) и ip = ip(t).
Сложность решения такой системы, очевидно, зависит от выбора потенциала V(f), который, как правило, берется из какой-либо теории элементарных частиц. Для большей части даже самых простых полиномиальных потенциалов найти аналитические решения невозможно. Помимо этого, часть из потенциалов, для которых аналитические решения существуют, являются нереалистичными. Ситуация усложняется еще и нелинейностью уравнений и наличием в них вторых производных от неизвестных функций. Таким образом, анализ поведения инфляционной вселенной оказывается нетривиальной задачей, вследствие чего становится особенно важным развитие методов анализа и численной оценки ее поведения.
Существует несколько распространенных подходов к исследованию системы. Первый их них заключается в поиске решения для поля с заданным потенциалом V(f). Второй — в определении так называемого суперпотенциала как функции поля, зачастую приравниваемого к плотности энергии поля [16, 5, 7, 25]. Еще один подход состоит в том, что скорость изменения поля ф вводят как заданную функцию самого поля ф = U(f) («метод U(f)») [25, 14, 13]. Каждый подход позволяет отыскать (хотя бы численно) функции зависимости масштабного фактора и скалярного поля от времени.
К счастью, существует весьма удобный инструмент для работы, значительно упрощающий изучение динамики вселенной по сравнению с непосредственным интегрированием исходных уравнений. Это - уравнение Абеля первого рода вида
у'(х) = -- ( y(x) - 1 ) (а - ^^ у(х) ) , (J = ±1,
где независимая безразмерная переменная х прямо пропорциональна скалярному полю. Несмотря на то что изредка оно используется для некоторых частных задач, например, в работах [24, 29], оказывается, что возможности его применения гораздо шире. Хотя оно также нелинейно и имеет аналитические решения для весьма ограниченного числа случаев [12], анализ одного дифференциального уравнения первого порядка выполнить проще, чем анализ системы (1) из двух уравнений. Свести уравнения Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля можно как с использованием суперпотенциала (см. [29]), так и комбинируя метод суперпотенциала и метод U((f), причем оба метода дают абсолютно идентичные уравнения.
В различных инфляционных моделях одной из главных проблем остается проблема естественного выхода из инфляции без «тонкой настройки» для реалистичных потенциалов. Как показано, в частности, в работе [1], естественное завершение инфляции без «тонкой настройки» возможно, однако не ясно, следуют ли потенциалы, соответствующие этим решениям, из некоторой теории элементарных частиц, например, какой-либо теории поля или теории струн.
Часто предполагается, что инфляция завершается, после того как перестает выполнятся условие медленного скатывания (потенциальный член плотности энергии поля перестает намного превышать кинетический). Однако имеется множество примеров инфляции, протекающей без медленного скатывания [3, 11, 1]. В целом, значение медленного скатывания для инфляции оказывается не совсем прозрачным. В то же время даже численные или приближенные решения соответствующих
уравнений Абеля предоставляют ценную информацию о существовании инфляции и ее протекании, а также позволяют выяснить связь между инфляцией и медленным скатыванием и определить, происходит ли выход из инфляции для заданного потенциала. Таким образом, изучение и развитие предлагаемой методики анализа динамики вселенной с помощью уравнения Абеля является весьма актуальным.
Помимо оценки поведения вселенной для уже известных потенциалов скалярных полей также стоит задача конструирования новых потенциалов, которые бы определяли эволюции вселенной в соответствии с данными наблюдений. Одним из мощных инструментов для этих целей оказывается преобразование Дарбу [8, 9].
Некоторые уравнения космологии вполне естественно приводятся к линейному стационарному уравнению Шредингера, например, одно из уравнений Эйнштейна-Фридмана в форме
или уравнение, связывающее спектральный индекс спектра возмущений плотности с параметром Хаббла и его производными в приближении медленного скатывания:
В частности, уравнение (3) заменой H{tp) = 1/-ф{ір) приводится к виду
Uif IVlp IVlp
где роль потенциала уравнения Шредингера играет член — 27rns/Mp, а спектральные параметр задан как -2тт/М1. Применение преобразования Дарбу к решениям уравнения Шредингера позволяет генерировать новые решения космологических уравнений, и, в случае уравнения (3), получать также инфляционные потенциалы и соответствующие им спектральные индексы. При должном выборе начальных решений в преобразовании Дарбу может оказаться возможным получать вселенные с желаемыми характеристиками.
Итак, как развитие методик анализа уже имеющихся решений космологических уравнений, так и поиска новых решений является достаточно серьезной и важной задачей.
Основные задачи. Диссертационная работа направлена на развитие метода изучения динамики вселенной, заполненной скалярным полем, с помощью сведения системы уравнения движения поля и уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Аблея первого рода. Помимо этого предлагается и используется новый способ построения инфляционных потенциалов с помощью преобразования Дарбу. Основные задачи состоят в следующем:
- изучение инфляционной динамики пространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с потенциалами вида mV/2, А//4 и m2ip2/2 + А//4 посредством сведения уравнений
Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля первого рода, а именно, определение начальных условий, необходимых для реализации режима медленного скатывания, оценка значения условия медленного скатывания для протекания инфляции, определение условий, при которых происходит естественный выход из инфляции и переход к фазе осцилляций поля;
– применение аналитических решений уравнения Абеля для анализа динамики вселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом; проверка полученных решений на устойчивость скалярных возмущений метрики и поля в окрестности точек, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии;
– исследование соответствия между уравнением, связывающем спектральный индекс спектра возмущений плотности энергии и параметр Хаббла в приближении медленного скатывания, с уравнение Кортевега–де Фриза, раскрытого в [19], и развитие этого соответствия на всю иерархию уравнений Кортевега– де Фриза;
– построение новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов путем сведения уравнения для спектрального индекса к линейному стационарному уравнению Шредингера.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:
– в случае рассмотренных полиномиальных потенциалов установлено, что условие медленного скатывания неизменно возникает в ходе динамики вселенной, если в ней протекает так называемая «сильная» инфляция, и большая часть числа е-расширений и времени инфляции приходится на период действия режима медленного скатывания, однако ускоренное расширение начинается до входа в указанный режим, и заканчивается после выхода из него;
– аналитически показано, что естественный выход из инфляции обязателен для полиномиальных потенциалов, и что за ним следует режим осцилляций поля;
– с помощью уравнения Абеля получены аналитические общие решения уравнений Эйнштейна–Фридманад для вселенной, заполненной скалярным полем как с положительным, так и отрицательным экспоненциальным потенциалом; доказана устойчивость скалярных возмущений метрики и поля для полученных решений в окрестности точек, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии;
– изучено соответствие между уравнением Кортевега–де Фриза и уравнением, связывающем спектральный индекс спектра возмущений плотности энергии скалярного поля в приближении медленного скатывания; соответствие расширено на всю иерархию уравнений Кортевега–де Фриза;
– представлен метод сведения уравнения для спектрального индекса в приближении медленного скатывания к линейному стационарному уравнению Шре-
дингера; посредством преобразования Дарбу построены новые потенциалы скалярного поля и соответствующие им спектральные индексы, а также выражения для масштабного фактора и скалярного поля, в том числе, обеспечивающие естественный выход из инфляции.
Научная новизна. Впервые выполнен подробный анализ эволюции вселенной, заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом, при помощи уравнения Абеля первого рода. Выявлена тонкая структура инфляции, а именно, инфляция начинается до того как вселенная входит в режим медленного скатывания, и заканчивается уже после выхода из него. Доказано, что условие медленного скатывания реализуется в ходе динамики поля естественным образом, если начальное отношение потенциального члена плотности энергии поля к кинетическому не слишком мало. Установлено, что большая часть е-расширений и времени инфляции приходится на фазу медленного скатывания. Аналитически показан переход от режима инфляции к режиму осцилляции поля. Впервые общее решение уравнений Эйнштейна-Фридмана в плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с положительным и отрицательным экспоненциальными потенциалами, найдено с помощью уравнения Абеля. Выявлены точки, в которых расходится отношение давления к плотности (и;-сингулярность) и/или производная давления по плотности. Показано, что решение устойчиво относительно малых возмущений метрики и самого поля в этих точках.
Продемонстрировано, что получение решений космологических уравнений методом преобразования Дарбу может существенно упростить решение проблемы естественного выхода из инфляционной стадии эволюции Вселенной. Найдены новые инфляционные потенциалы, обладающие упомянутым свойством. Анализ решений показал, что значение спектрального индекса в период выполнения условия медленного скатывания может приближаться к наблюдаемым значениям.
Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь значение для изучения космологических моделей, описывающих инфляцию (глава 1). Основное достоинство метода сведения уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля 1-го рода, состоит в том, что он облегчает исследование инфляционных моделей с единственным скалярным полем и позволяет достаточно просто определить, в частности, будет ли в некоторой модели реализовываться инфляция, при каких условиях, происходит ли выход из инфляции. Комбинация метода суперпотенциала и метода U(tp) (глава 2) может быть полезной при поиске аналитических решений космологических уравнений. Наконец, изученная связь между уравнением для спектрального индекса спектра возмущений плотности с иерархией уравнений Кортевега-де Фриза и линейным стационарным уравнением Шредингера (глава 3) может быть использована для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, 2013), II Российско-Испанском конгрессе по физике ядра и элементарных частиц на любых расстояниях и космологии (Санкт-Петербург, 2013), Российской школе «Математи-
ческое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» и Международном семинаре «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» (Казань, 2013).
Публикации. Основное содержание работы изложено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (127 наименований) и приложения, содержит 23 рисунка и 16 таблиц. Общий объем диссертации — 152 страницы.
Анализ инфляционной динамики с использованием решения уравнения Абеля
Обратимся теперь к ключевой идее данной главы и покажем связь между уравнениями движения скалярного поля (1.2), (1.3), являющимися прямым следствием уравнений Фридмана (1.10) и выражений (1.12), (1.13), и уравнением Абеля первого рода (ограничимся здесь и далее случаем W 0). Для этого мы воспользуемся теоремой, приведенной ниже [126].
Теорема 1 Пусть х = ькр, v = 4 /Зтг/МР, х = V (x)/V(x), а = ±1. Тогда для заданного потенциала V{cp) ф 0 соответствующий суперпотенциал W = W(x; С) определяется как W(x; С) = V(x) U + V (1.14) 1 У2 1 где у = у(х; С) ф ±1 является общим решением уравнения Абеля первого рода У = -- (У2 - 1 ) ( - Х У) (1.15) Здесь штрих означает d/dx. Особый случай V(cp) = 0 возможен тогда и только тогда, когда у(х) = ±1 и суперпотенциал W(x; С) имеет вид W = Ceax. (1.16) Стоит отметить, что при сведении уравнений (1.2), (1.3) к уравнению Абеля мы полагаем при всех преобразованиях ф ф 0, так что у +оо, что означает, что при ф = О (V ф 0, у — +оо), строго говоря, теорема 1 перестает выполняться.
Также обратим внимание на следующий момент: плотность энергии, совпадающая по форме с суперпотенциалом, должна быть неотрицательна. Отсюда следует, что если потенциал V(tp) 0, то функция у(х) должна удовлетворять условию у{х) 1. Если же потенциал V(ip) 0, значения функции у{х), напротив, должны лежать в диапазоне (-1; 1).
Рассмотрим случай отрицательного потенциала более подробно. Если решение у(х) может принадлежать интервалу (-1;1), то у(х), в принципе, может обращаться в ноль при некотором значении х. При этом также обращается в ноль и суперпотенциал W, а значит и параметр Хаббла. Легко показать, что знак производной параметра Хаббла по времени остается неизменным (по крайней мере, если ф в этот момент отлична от нуля): а а2 4тг 2тг Н=а- = -Щ{р + Р) = -ЩФ а Это означает, что если в некоторый момент времени параметр Хаббла обратился в ноль, далее он непременно должен изменить знак. Следовательно, при V 0 знак параметра Хаббла должен зависеть от знака у(х), поэтому
Доказать приведенную выше теорему можно с помощью прстых вычислений. Действительно, воспользуемся заменой переменной х = 4\/Зтг/МР f. Тогда уравнение (1.7) примет вид Г) V(x) = W(x) 1 fd M\ (1.22) W[x) ах Рассмотрим сначала случай V{x) ф 0, а значит у2 - 1 ф 0. Найдем произ 21 водную dW/dx: / У У2 (У2 -1) - жуу W = (г -1)2 где штрих обозначает d/dx. Подставляя ее и (1.14) в (1.22), получаем ГУу (у2 - 1) - 2Уу \2 У {у2 -1) Отсюда У/?/(?/2-1)-21/1// = О". У (у2 - 1) Выражая у , приходим к уравнению (1.15). Рассмотрим теперь особый случай (1.16). Положим W О, а У = 0. Тогда из (1.22) имеем И - dlf = 0, а значит, Ж = Сеах. Выражая W из (1.22) и подставляя в (1.14), получим V(x) = W(x)(y2-l). Так как И 0, то для того, чтобы выполнялось условие V = 0, необходимо, чтобы у = ±1. И наоборот, из у = ±1 следует, что V = 0, что приводит суперпотенциал к виду (1.16). 1.1.3. Анализ уравнения Абеля Рассмотрим уравнение (1.15), полученное в предыдущем подразделе. В общем виде уравнение Абеля первого рода можно записать как [20] у\х) = f? {x)y\x) + f2(x)y2(x) + fi(x)y(x) + /о(ж). (1.23) В нашем случае переменные коэффициенты уравнения /о, /і, /2 и /з имеют вид /о = -, h = -—, h = --, /з = —, (1.24) то есть /2 = -/0, /3 = -j1.
Если наложить на коэффициенты уравнения некоторые ограничения, то оно может быть упрощено или сведено к уравнению другого типа. Приведем здесь некоторые возможные случаи [20].
1. Пусть функция /1 непрерывна, функции /2 и /3 непрерывно дифференцируемы, /0 7 0. Тогда подстановка У w(x)q() h w(x) = ехр f2 V1 f dxV t(x) = hw2dx (1.25) приводит уравнение (1.23) к нормальной форме q = q3 + I(x), dx Sf3 З/3 27/32 где /(ж) d h hh 2/23 /0 + — г - 4 + (1.26) 2. Пусть м(ж) - решение уравнения (1.23). Тогда подстановка у = и(х) +Щ, Е{х) = ехр [ / (3/3м2 + 2f2u + /1)rfJ (1.27) приводит его к виду (1.28) г + — + Ф2 = 0, z где ф1(х) = f3E2, Ф2(х) = (3/3и + f2)E. Если Ф2 = 0, то есть «( ) = -А, то это уравнение может быть проинтегрировано, а следовательно, будет решено и уравнение (1.23). 3. Пусть л = x f2 + f2 л " i2 (1.29) d ( h \ h ( 2/2 Тогда решение уравнения (1.23) можно найти как -1/2 C-2 / hF2dx f2 З/3 где F(:r) = exp f1- dx З/3 а С — постоянная интегрирования. 4. Пусть ф(х) = f0f32 + і (/273 - /2/3 - /1/2/3) + /23 при соответствующем выборе постоянной ( удовлетворяет уравнению /3Ф + (/23 - З/1/3 - З/3 ) Ф = 3( Ф5/3. Тогда решение уравнения (1.23) записывается в виде ЗФ1 h У З/3 где и = и(х) определяется равенством dv С Ф2/3 + С = / ——dx. и2 - Си + 1 + С и2-(и + 1 /3 Если Ф = 0, то " = -& является частным решением уравнения. Подстановка У = Ф) - Ц приводит исходное уравнение к уравнению Бернулли (2 f1+ f u 2 2 З/3 Примеры для некоторых случаев приведены в следующем разделе. Рассмотрим теперь поведение решений (1.15) при различных начальных усло 24 виях у(хо) = 2/0. Пусть функция Ь(х,у) = -1/2(у2 - 1)(к - х у) непрерывна в некоторой области G плоскости ху, и в этой области для нее выполняется условие Липшица [20] по у \b(x,y2)-b(x,yl)\ L\y2-yi\, (1.30) где L — некоторая постоянная. Тогда из теоремы Пеано о существовании и единственности решения задачи Коши [20] следует, что через каждую точку (х; у) области G проходит интегральная кривая у = у(х;хо,уо), и притом только одна. При нарушении же условия Липшица через каждую точку области G может проходить сколь угодно много интегральных кривых.
Вначале положим \ " const. В этом случае уравнение (1.15) имеет две стационарные точки у = ±1, которые являются его решениями. Это означает, что для любого начального условия у(х0) =у0 ±1, (х0;у0) Є G, график решения у = у(х;хо,уо) не может пересекать прямые у = 1 и у = - 1, за исключением двух случаев: 1. функция х (х) -+ ±оо при х -+ хс; 2. решение уравнения у(х) — ±оо при х — xs; то есть при нарушении условия Липшица или условия непрерывности в теореме Пеано [20, 7, 1]. Опишем теперь, что происходит с функцией у{х), если потенциал V{х) меняет знак. Вопрос достоин внимания, поскольку плотность энергии поля р остается положительной, а скорость изменения поля ф действительной, только если \у(х)\ 1, V(x) 0 или \у(х)\ 1, V(x) 0.
Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненци альным потенциалом
Обратимся к численному исследованию «сильной инфляции» для потенциалов (1.39), (1.40), (1.41). Положим, что начальное значение поля (р0 0, начальная скорость изменения поля ф0 0, время t 0 и отсчитывается от t0 = 0, и будем рассматривать только положительные решения уравнений (1.42), (1.43), (1.44). Тогда в этих уравнениях необходимо считать а = 1.
Поскольку далее мы будем иметь дело исключительно с численными решениями, то ограничимся случаем решений, конечных при х 0. Таким решениям соответствует вполне определенный класс начальных условий. К сожалению, точно определить зависимость у0(х0), начиная с которых у(х) будет расходиться в области х 0, не представляется возможным. В подразделе 1.2.1 для каждого потенциала приведены ограничения на начальные условия, однозначно обеспечивающие решение с особенностью, однако более точную оценку можно получить, решая уравнения численно. С этой целью использовалась стандартная процедура «dsolve» системы компьютерной алгебры Maple 15. В качестве метода решения был выбран метод рядов Тейлора («taylorseries») [38]. Кривые зависимости максимально возможного у0, при котором решение еще конечно, от X0 приведены на рисунке 1.6.
Как уже упоминалось в подразделе 1.1.5, когда вселенная расширяется ускоренно, решение уравнения Абеля (1.15) должно превышать л/3. Максимальные начальные значения у 0 для заданных X0, при котором решения уравнений Абеля для потенциалов т2 р2/2 (синяя кривая), А(//2 (зеленая кривая), mV/2 + А(//4 (красная кривая), еще конечны лярное поле (р убывает, то убывает и х, следовательно, решение у{х) должно удовлетворять условию у л/3 где-либо на отрезке х X0 . Такое возможно не при всяких начальных условиях (ж0; у0). Точно получить зависимость у0(х0), для которых функция у(х) конечна и превышает л/Ъ левее точки х = Х0, опять же, нельзя, однако можно получить ее график с помощью численных методов. При построении графиков был выбран шаг hx = 0,1 по х0 и hy = 0,001 по у0. Эти графики для всех трех потенциалов приведены на рисунке 1.7.
Легко заметить, что минимальное у0, необходимое для выполнения условия у \/3 при х х0, быстро убывает. Однако у лД не обязательно означает, что имеет место «сильная» инфляция. Поэтому необходимо определить, какие начальные условия (ж0; 2/0) являются достаточными для ее возникновения. Заметим, что при х 2,7 для потенциала mV/2 + A(//4 (х 2,6 для mV/2 и х 5,9 для А(//4) не существует конечных решений соответствующих уравнений Абеля, которые превышали бы л/Ъ, следовательно, эти области нужно исключить при поиске требуемых начальных условий.
Минимальные начальные значения у о для заданных хо, при котором решения уравнений Абеля для потенциалов т2 р2/2 (синяя кривая), А(//2 (зеленая кривая), т2 р2/2 + А(//4 (красная кривая), конечны и превышают у/3 при Ж Хо 1.2.4. Начальные условия, достаточные для существования «сильной» инфляции Вначале напомним, что подразумевается под «сильной» инфляцией. Будем определять ее как ускоренное расширение вселенной, при котором за время tinf = tf-U 1,9-10 М- Ю-35 число е-расширений w/ окажется не менее 100: с (1.53) Einf = In CLf Q-i 100, (1.54) где аг = a(ti) - значение масштабного фактора в момент времени t{; af = a(tf) - значение масштабного фактора в момент времени tf; U = t0 = 0, если у0 л/3 и U = t(xi) t0, если у(хі) = у/З, хг х0; tf = t(xf), y(xf) = у/З, Xf ХІ. Для нахождения числа е-расширений и времени инфляции воспользуемся формулами (1.18) и (1.19), выполняя интегрирование численно. При поиске начальных значений (хо ,Уо), достаточных для существования ю-7 Щ. В случае потенциа «сильной» инфляции, был выбран шаг hx = 0,1 по х0 и hy = 0,001 по у0. Результаты расчетов показывают, что «сильная» инфляция не возникает естественным образом в ходе эфолюции поля с потенциалом (1.41) до значения XQ = 65,2 и соответствующего ему уо = 16,573, что отвечает начальным условиям для поля if о = 5,3 Мр и скорости его изменения фо = -1,2 ла (1.39) эти величины имееют значения if о = 4,0 Мр и фо = -1,8 10 8 Мр, а при потенциале (1.40) - f0 = 5,6 МР и ф0 = -1,3 10-7 М.
Исследование начальных условий выявляет следующий факт: с увеличением XQ достаточное для существования инфляции уо быстро убывает, что отражено на рисунке 1.8.
Минимальные начальные значения уо для заданных хо, достаточные для возникновения «сильной» инфляции 1.2.5. Влияние начального значения скалярного поля и начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами его энергии на число е-расширений и время инфляции
Рассмотрим теперь связь числа е-расширений и времени инфляции с начальными условиями (ж0; У0), задаваемыми для решения уравнения Абеля (1.15). На рисунках (1.9), (1.10) и (1.11) изображены зависимости числа е-расширений Einf и времени инфляции tinf от у0 при различных X0 для полей с потенциалами (1.39), (1.40) и (1.41) соответственно.
Зависимость а) числа е-расширений Emf и б) времени инфляции tmf от у 0 при различных значениях X0 для поля с потенциалом т2(р2/2
Согласно графикам, при у0 1 зависимость и Emf, и w/ от у0 выражена слабо, в то время как зависимость от X0 проявляется значительно сильнее.
В таблице 1.2 приведены отношения числа е-расширений и времени инфляции при увеличении X0 в два или в три раза при неизменных у 0, а в таблице 1.3 их же отношения при увеличении у0 в два и в три раза при неизменных X0 (модель mV/2 + A(//4). Таблица 1.2 показывает, что при увеличении х0 в 2 и 3 раза при фиксированном у0 число е-расширений возрастает быстрее, чем время инфляции. По данным в таблице 1.3 можно заметить, что с ростом у0 при фиксированном X0
Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза
Поведение скорости изменения скалярного поля, параметра Хаббла, масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергии поля, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при (р и за конечное время убывает, замедляясь, от +оодо р0 (возрастает от -оо до р0), а затем продолжает убывать (расти), достигая -оо (+оо) за бесконечное время. Масштабный фактор возрастает замедленно от нуля до 20 за конечное время и продолжает расти, достигая +оо за бесконечное время. При этом плотность и давление скалярного поля, оставаясь все время положительными, убывают от +оо до нуля. Соответственно, и слабое энергетическое условие р + р 0, и сильное энергетическое условие р + Зр 0 выполняются на протяжении всего времени эволюции вселенной.
Случай нф 0 полностью повторяет предыдущий, за исключением того, что теперь функция зависимости скалярного поля от времени имеет область определения t Є (-oo;ts) и ts t0. Масштабный фактор убывает +оо до нуля, ускоряясь со временем, и скалярное поле также меняется ускоренно. Таким образом, подобные решения описывают такую же эволюцию, как и в предыдущем случае, но обращенную во времени.
Отметим, что знак х определяет поведение скалярного поля и масштабного фактора во времени, и случаи, соответствующие одному и тому же знаку х, аналогичны при обращении времени в одном из них. Кроме того, случаи для различных знаков х отличаются только видом функции ip(t), описывающей скалярное поле: при х = - 1 эта функция выпукла вниз, а при х = +1 — вверх. Графики зависимости от времени для скалярного поля ра приведены на рисунке где ш0 = (p(t0), фо = Ш/dt) \, , ,и t0 - некоторый момент времени. Таким образом, знак фо определяется выбором параметра /3 и знака х в модельном потенциале.
Приведем выражения для скалярного поля, скорости его изменения, второй производной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой, второй и третьей производных масштабного фактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий: Ч = о - v J 1п 1 " Я Г\1 «)
Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависит исключительно от знаков к и фо . Если яфо 0, то а 0, а 0, следовательно, решения описывают вселенную, которая расширяется, ускоряясь с течением времени, и имеет сингулярность в прошлом. Действительно, функция зависимости скалярного поля от времени имеет особую точку Мр ts = t0 + х—j= t0. 2л/37Г(Д) Тогда ее область определения - t Є (ts; +оо). Для первой и второй производных по времени от скалярного поля на всей области определения выполняется условие фф 0, то есть скалярное поле изменяется замедленно, возрастая при фо 0 и убывая при фо 0. В таблице 2.4 приведены значения некоторых параметров, характеризующих эволюцию вселенной, при (/? -оо и +оо. Скалярное поле
Поведение скорости изменения скалярного поля, параметра Хаббла, масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергии поля, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при if — оо и за конечное время убывает, замедляясь, от +оодо р0 (возрастает от -оо до р0), а затем продолжает убывать (расти), достигая -оо (+оо) за бесконечное время. Масштабный фактор возрастает ускоренно от нуля до 20 за конечное время и продолжает расти, достигая +оо за бесконечное время. При этом плотность скалярного поля остается все время положительной и убывает от +оо до нуля, а давление — отрицательным, и изменяется от - оо до нуля. Соответственно, на протяжении всего времени эволюции вселенной слабое энергетическое условие р + р 0 выполняется, а сильное энергетическое условие р + Зр 0 нарушается.
Случай нф0 0 полностью повторяет предыдущий, за исключением того, что теперь функция зависимости скалярного поля от времени имеет область определения t Є (-oo;ts) и ts t0. Масштабный фактор убывает +оо до нуля, замедляяся со временем, а скалярное поле меняется ускоренно. Таким образом, подобные решения описывают такую же эволюцию, как и в предыдущем случае, но обращенную во времени.
Отметим, что знак х определяет поведение скалярного поля и масштабного фактора во времени, и случаи, соответствующие одному и тому же знаку х аналогичны при обращении времени в одном из них. Кроме того, случаи для различных знаков х отличаются только видом функции ip(t), описывающей скалярное поле: при х = +1 эта функция выпукла вниз, а при х = - 1 — вверх.
Графики зависимости от времени для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.3.
Итак, решения уравнения Абеля (2.19) с нулевой постоянной интегрирования приводят к двум возможностям: хс = - 1 и хс = +1. Поведение величин, описывающих эволюцию вселенной и скалярного поля, связано с выбором постоянных Vc и к, задающих вид потенциала (2.17).
При Vc = 0 решения уравнений Эйнштейна-Фридмана определяют, в зависимости от знака начальной скорости изменения скалярного поля, замедленно расширяющуюся или ускоренно сжимающуюся вселенную, имеющую сингулярность типа «Большой взрыв».
При ф0 из выражения (2.21) решения уравнений Эйнштейна-Фридмана определяют, в зависимости от знака начальной скорости изменения скалярного поля, ускоренно расширяющуюся или замедленно сжимающуюся вселенную с сингулярностью типа «Большой взрыв».
Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс
Настоящая глава посвящена исследованию связи уравнения для спектрального индекса спектра возмущений плотности энергии во вселенной, заполненной действительным скалярным полем, в приближении медленного скатывания с уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ) и линейным стационарным уравнением Шре-дингера (ЛСУШ). Идея этой связи обобщается на всю иерархию уравнений КдФ.
Также здесь предлагается простой способ, который позволяет строить классы инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов, сводя уравнение для спектрального индекса к ЛСУШ и применяя преобразование Дарбу (ПД) к решениям уравнения Шредингера (УШ).
В данном разделе рассматривается иерархия уравнений КдФ и связь между уравнением для спектрального индекса в приближении медленного скатывания и уравнением КдФ расширяется на всю иерархию. В первом подразделе описываются истоки идеи. Второй подраздел посвящен описанию иерархии КдФ, а третий — применению преобразованию Дарбу к иерархии.
В работе [87] Дж. Лидси указывает, что одномерное уравнение КдФ [81] Щ + Щх + — иих = 0, (3.1) где и = u(x,t), х и t — пространственная и временная координаты соответственно, щ — произвольная постоянная, а нижние индексы х и t означают д/дх и d/dt, возникает во множестве физических задач (пример в космологии [109], обзор см. в [114]).
Мы особенно заинтересованы в рассмотрении класса космологических моделей инфляции, в которых роль инфлатона играет единственное действительное скалярное поле ip, минимально связанное с гравитацией. Также важно, чтобы для этого поля существовала возможность реализации условия медленного скатывания. Такое поле генерирует масштабно-инвариантный спектральный индекс ns спектра возмущений плотности [84, 97]. Следуя Лидси, запишем уравнение для параметра Хаббла и спектрального индекса в низшем порядке приближения медленного скатывания
Отметим, что оператор производной Шварца инвариантен относительно полной группы дробно-линейного преобразования, так что, если для уравнения (3.4) возможно найти частное решение F, то можно записать и его общее решение aF + Ъ Ftp) = = , (3.5) cF + d где a, b, с, d — произвольные постоянные. Когда F удовлетворяет уравнению F =)J-F (3.6) где А — постоянная величина, то Я2 из выражения (3.3) в свою очередь является решением уравнения -А2(Я2)Ч(яТ + 4#2(#2) = 0, -"О которое в точности совпадает с уравнением КдФ (3.1) для u(xpt) = Н2(р), если р = х — \Н: -АУ + г/" + -гш = 0. Щ 114 2 Также как и Лидси в [87], примем А2 0, поскольку такой выбор отвечает данным наблюдений ns Є (0,939; 0,987) [115]. Уравнение (3.4) имеет частное решение F((p) = еА . Его общее решение определяется формулой (3.5). Для того чтобы (3.5) было также решением уравнения (3.6), постоянные а, Ь, с, d должны удовлетворять условиям
Здесь подразумевается с = \d\. Заметим, что (3.7) в точности совпадает с функцией, описывающей несингулярный солитон КдФ. При этом скалярное поле (р играет роль волновой координаты в двумерном пространстве {ж, t}, скорость со-литона определяется отклонением спектрально индекса от его значения в спектре Харрисона-Зельдовича ns = 1. Амплитуда солитона оказывается связана с плотностью энергии во вселенной.
Зная теперь выражение для параметра Хаббла H(ip), можно восстановить потенциал инфлатона, пользуясь уравнениями Эйнштейна-Фридмана в форме Га-мильтона-Якоби Приведенные выше соображения можно использовать для исследования простейшей модели циклической вселенной [87]. В самом деле, существует дуальность между быстрым ускоренным расширением вселенной и ее замедленным сжатием, вызываемым скалярным полем с отрицательным потенциалом [79]. В этом случае масштабный фактор а{ф) и параметр Хаббла Н{ф) дуальной сжимающейся вселенной связаны с масштабным фактором а{ф) и параметром Хаббла Н(ф) расширяющейся вселенной как а{ р) = Н{ р), Н{(р) = а{(р).
Для циклической модели, дуальной решению (3.7), скорость солитона определяется спектральным индексом, однако его амплитуда будет пропорциональна масштабному фактору Рассмотрим иерархию уравнений КдФ [15, 24] vt - TJW [v] = 0, (3.9) где Ln+1[v] - оператор Ленарда, который определяется как [55] —Ln+1 [v] = ( --7Г3 - 2vjf vx Ln [v] , L0 [v] = 2. Для n = 0 имеем L1 [v] = — v, а для n = 1 — L2 [v] = —vxx + 3v2, что соответствует первому уравнению в иерархии КдФ vt - 6vvx + v3x = 0. (3.10) и V Подстановка , щ = const (3.11) приводит (3.10) к виду (3.1). Уравнения иерархии (3.9) можно представить в виде условия совместности пары Лакса [22, 24, 27] фхх = (v- Ш) (3.12) фг = афх - Ъф} где v = v(x, t), а = а(х, t), Ъ = b(x, t), & = const. Действительно, учитывая, что 116 фххл = фьхх, система (3.12) разрешима относительно ф(х, і), если , 1 о = - ат 2 и v удовлетворяет уравнению vt + a3x - 2axv + 2їїах- avx = 0. (3.13) Пусть a(x,t) имеет форму N aN = 2 &isi(x,t), sN = const. Все уравнения (3.9) можно вывести из (3.13), используя подходящие N и S{, где st в общем случае і ф N - это нелинейная комбинация функции v и ее частных производных по пространственной координате х. Например, N = 1, s0 = 2v, s1 = 4 задают первое уравнение (3.10) в иерархии, а N = 2, S0 = 3v2
Как упоминалось в подразделе 3.1.2, уравнения из иерархии КдФ можно записать в виде условия совместности пары Лакса (3.12). Первое уравнение в этой паре имеет вид ЛСУШ по переменной х. Это означает, что к нему можно применить ПД [26]. Рассмотрим две системы уравнений
Условие совместности у этих систем одно и то же: функция v(x,t) должна быть решением уравнения из иерархии КдФ [27], причем положение уравнения в иерархии зависит от а(х; #). ПД решения ip{x)t) первого уравнения имеет вид