Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Актуальность темы исследования 6
1.2 Цель работы 7
1.3 Научная новизна исследования 7
2 Вычисление интеграла по траекториям методом Монте-Карло (PIMC) 9
2.1 Метод Монте-Карло для интеграла по траекториям 9
2.2 Интеграл по траекториям при нулевой температуре 11
2.3 Метод существенной выборки. Термализация 12
3 Вычислительные алгоритмы 14
3.1 Алгоритмы генерации конфигураций 14
3.2 Многоуровневый алгоритм 16
3.3 Измерения. Среднее значение кинетической энергии 19
3.4 Периодические граничные условия 21
3.5 Расчетная технология: распараллеливание, CUDA, работа с памятью 25
4 Исследование W-потенциалаизадача агрегации 31
4.1 Постановка и физический смысл задачи, связь с описанием агрегации 31
4.2 Невозмущенный W-потенциал. Основное и первое возбужденное состояние 32
4.3 Исследование перекошенного W-потенциала 33
5 Водород при высоких температурахиплотностях 39
5.1 Конденсированный водород. Лабораторные и численные эксперименты 39
5.2 Конденсированный водород. Астрофизическое приложение 41
5.3 Модель 42
5.4 Вывод экранировки Дебая 43
5.5 Область применимости модели 46
5.6 Численное моделирование 47
6 Результаты 49
6.1 Энергия, давление, уравнение состояния 54
6.2 Уравнение состояния жидкой фазы металлического водорода
6.3 Фазовый переход 63
7 Релятивистский гармонический осциллятор 66
7.1 Введение. Физический смысл и постановка задачи 66
7.2 Марица плотности в вычислениях методом Монте-Карло 71
7.3 Алгоритм Метрополиса 73
7.4 Задача о релятивистском осцилляторе: теоретическое рассмотрение 74
7.5 Задача о релятивистском осцилляторе: результаты численных расчетов 76
7.6 Сравнение метода Монте-Карло и решения уравнения Шредингера 81
8 Заключение 88
- Научная новизна исследования
- Метод существенной выборки. Термализация
- Измерения. Среднее значение кинетической энергии
- Невозмущенный W-потенциал. Основное и первое возбужденное состояние
Научная новизна исследования
Легко проверить, что (34) удовлетворяет условию (33) для любого Т(х — х1). Смысл формулы (34) следующий: генерируется новая пробная конфигурация при помощи пробной вероятности Т(х — х ), затем с вероятностью принятия А(х — х1) эта конфигурация принимается (х добавляется в набор), с вероятностью 1 — А(х — х ) конфигурация отклоняется (в набор добавляется еще одна копия х).
Конкретный вид алгоритма типа Метрополиса-Гастингса определяется выбором пробной вероятности Т(х — х1). Теоретически оптимальным является алгоритм тепловой бани ("heat bath"), в котором конфигурации генерируются с вероятностью 1 [X — X ) = 7Г(Ж ). (36) При этом А{х — х ) = 1, (37) Г{Х — X ) = 7Г(Ж ), (38) то есть все конфигурации принимаются, что обеспечивает наименьшую корреляцию между конфигурациями и наибыстрейшую термализацию.
В реальности сгенерировать сразу всю конфигурацию с распределением (38) фактически невозможно, так оно будет иметь весьма сложный вид, а генерация случайных чисел с таким распределением - крайне долгая операция. Однако, если рассмотреть X = (Хі, . . . , Xre_i, Х„, Х„+1, . . . , Хдг) и Xі = (Xi, . . . , Xre_i, Х. п, Хга+1, . . . , Хдг), то можно все вышеизложенные рассуждения применить к хга, считая его конфигурацией с заданными граничными условиями; изменение при этом нормировки в (26) очевидно не отразится в (35). Тогда Р{х — х1) = Р(х — х1) = 7г(х ) е " , (39)
где Sn - часть действия, содержащая все слагаемые, содержащие хга и зависящая от остальных координат как от параметров. В таком случае процесс генерации состоит в последовательном проходе ("sweep") всех координат с правилом (39), после чего новая конфигурация добавляется в набор.
Метод тепловой бани хорошо работает тогда, когда можно эффективно генерировать распределение (39). Во многих случаях это невозможно и приходится пользоваться общей схемой. При этом по-прежнему конфигурацию разумно генерировать не полностью, а проходом по временным слоям. Алгоритм полностью определяется выбором Т(х — х ), от которого соответственно зависит производительность. Для большей эффективности пробное распределение должно отвечать двум требованиям: по математическим соображения оно должно быть близко к 7г(х ), а по вычислительным - допускать быструю генерацию соответствующих случайных чисел. Исторически первым было предложено использовать равномерное распределение; оно очевидно удовлетворяет второму требованию и очевидно не удовлетворяет первому.
Представляется разумным (и используется в данной работе) пробное распределение, состоящее из кинетической части 7г(ж ). Оно имеет вид (см. (39),(23)) {. о \ т \х. п — х"-! х"+! I 1 ah т хга — 2 Т(хга — х ) ехр , (40) an то есть является гауссовым. Для генерации гауссова распределения существует крайне эффективный алгоритм – преобразование Бокса-Мюллера позволяет из двух равномерно распределенных случайных чисел (генератор есть в стандартных библиотеках, но в данной работе используется и всем рекомендуется "вихрь Мерсенна"из GNU GSL) получить два независимых нормально распределенных случайных числа: Т Т / (Л 1 \ / Г\ 9І / Jr Є U Ш I) — Г — л/— Z 7Z Ш7г ЦІ = Г COS Р + Iі г/ Giv(/i,(J ). (41) Ту Є С/"[0,1)— (р = 2тг7 С2 = r sin Р + Iі Для пробного распределения (40) вероятность принятия конфигурации имеет вид [p—V(x. n)a/h \ 1, т . (42) f — У \x.n)a/h p—V(x. n)a/h f —V(xn)a/7i
Из сравнения (40) и (42) ясно, что при достаточно малом шаге наиболее изменчивая часть распределения учитывается при генерации нового значения при помощи (40), а вероятность принятия этого значения (42) близка к единице.
Так как в вероятность принятия изменения конфигурации в общем случае меньше единицы, последовательные конфигурации частично совпадают, что не позволяет считать из независимыми. Для уменьшения корреляции можно последовательное примененить правило (34) несколько раз. Рассматривая для простоты две попытки (далее возможно индуктивное рассуждение), несложно убедиться, что вероятность перехода Р{х — х") = \Т{х — х )А{х — х1) + 5{х — х1) 1 — jdyT{x — у)А{х — у)}) х х \Т{х — х")А{х — х") + 5{х — х") 1 — jdyT{x — у)А{х — у)}) , (43) то есть применение правила (34) фиксированное число раз, удовлетворяет условию детального баланса. Надо отметить, что этому условию не удовлетворяет вероятность перехода Р{х — х") = Т{х — х )А{х — х )5(х — х") + 5{х — х ) 1 — jdyT{x — у)А{х — у)\ х х \Т{х — х")А{х — х") + 5{х — х") 1 — jdyT{x — у)А{х —) у)}) , (44) то есть принятие первого "удачного"изменения конфигурации за окончательное, хотя и ускоряет вычисления, но не гарантирует правильной термализации. Также теоретически необоснованна генерация до первого удачного значения без ограничения количества попыток, то есть вероятность перехода . Т(х — х )А(х — х1) Р(х — х ) = -р— — , (45) J dyT(x — у)А(х — у) Впрочем, последние два алгоритма в численных экспериментах вели к правильной термализации (что не противоречит теории, так как условие баланса не является необходимым). Правильный результат вычислений, разумеется, получается при а — 0, кроме того, как уже говорилось, уменьшение шага увеличивает вероятность принятия новых конфигураций. Однако при этом время вычислений увеличивается за счет увеличения числа шагов (так как физическое время Na должно сохраняться), а последовательные конфигурации меньше отличаются, то есть скоррелированы. Далее будет изложен метод, позволяющий быстрее получать более качественные (с меньшим шагом и меньшей корреляцией) конфигурации.
Основная идеяданного метода состоит в том, что участок конфигурации изменяется не последовательным проходом его точек, а последовательным приближением с улучшением качества траектории на нем[3]. Более грубое приближение генерируется быстро, но позволяет достаточно хорошо оценить статистический вес и принять или отклонить траекторию еще до того, как она полностью сформирована. Будем рассматривать алгоритм в с выделением уровней методом деления пополам, так как он является одновременно наиболее эффективным и простым для понимания и реализации.
Выберем число уровней алгоритма Nievei log2 N (конкретное значение подбирается для каждой задачи эмпирически, с целью ускорения счета). Случайным образом выберем участок длиной 2N level шагов. В силу периодических граничных условий можно рассмотреть любой такой участок, например s = (х0,... , x2Jv;etJe;). Разобьем его на уровни: s0 = (x0,x2JviOTei) - граничные точки - 0-й уровень, s1 = (x2jviet;ei-i) - 1-й, s2 = (x2Jv;et,e;-2,x2Jv;et;e;-i+2Jv;et;e;-2) - 2-й, и так далее, sNlevael = (хьх3,... ,х2лг(еще(_1) - Nlevel-й; на k-m уровне 2fc_1 точек. В качестве примера на (Рис. 1) показано разбиение участка траектории на четыре уровня.
Метод существенной выборки. Термализация
Конструктивно камера с алмазными наковальнями состоит из следующих элементов. Два монокристалла алмаза – наковальни – используются для передачи давления на образец. Сдавливаемая ими металлическая прокладка удерживает образец и также передает на него давление. Вся эта конструкция находится между поршнем и цилиндром, к которым и прикладывается внешняя сила для сжатия образца.
Благодаря прозрачности алмаза в широком спектре волн подобные камеры позволяют также производить разнообразные измерения свойств образца. В частности, при помощи дифракции рентгеновских лучей на образце может быть определен тип его кристаллической решетки. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна позволяет измерить упругие свойства. Спектроскопия дает возможность также исследовать возбуждения решетки и отдельных узлов (фононы, виброны и ротоны), что также дает информацию о фазовом состоянии образца.
Конденсированный водород при повышении давления переходит в твердую фазу[6]. При этом молекулы не разрушаются и образуется молекулярный кристалл. Кристаллическая решетка в этом состоянии – гексагональная с наиболее плотной упаковкой. При дальнейшем повышении давления молекулы разрушаются и образуется атомарный кристалл. При давлении выше 250-300 ГПа, находящимся на грани экспериментальных возможностей предполагается существование металлической фазы с объемноцентрированной кристаллической решеткой.
При давлениях (и соответственно плотностях), достаточных для существования металлической фазы, увеличение температуры переводит водород в состояние атомарной жидкости (жидкого металла). Причем, если классическая теория предсказывает увеличение температуры плавления с ростом плотности, то согласно квантовой теории должно наблюдаться "квантовое плавление" – переход из твердой фазы в жидкую с увеличением плотности вещества. Это явление связано с ростом роли квантовой статистики: при уменьшении расстояния между ядрами увеличивается роль перестановок (отсутствующих в классической теории) в динамике системы.
Соответствующие области фазовой диаграммы исследуются при помощи численных методов, описываемых в данной работе. В работе ([5]) произведены численные эксперименты при плотности rs = 200 (в ядерной системе единиц, см. след. параграф). Измерения были произведены при небольшом количестве различных температур, что не помешало наблюдать фазовый переход. В данной работе при той же плотности более подробно изучена зависимость поведения системы от температуры. Это позволило более качественно изучить фазовый переход. Кроме того проведены численные эксперименты при меньших плотностях и давлениях.
Одним из самых ярких достижений астрофизики последних десяти лет несомненно является обнаружение большого количества экзо-планетных систем в нашей Галактике. На сегодняшний день обнаружено более пятисот планет, вращающихся вокруг звезд из окрестности нашей Солнечной системы [19]. Существенная часть из них — это планеты-гиганты с массой до десяти масс Юпитера. Это открытие снова привлекло внимание к моделям образования планет и их эволюции.
Согласно существующим на сегодняшний день представлениям, планеты-гиганты состоят преимущественно из легких элементов: водорода и гелия. Модели образования планет и их эволюции крайне чувствительны к уравнению состояния вещества из этих элементов. Огромный магнитный момент, экспериментально обнаруженный у планет-гигантов нашей Солнечной системы [20], подтвердил предположение, что ядро этих планет состоит из жидкого металлического водорода. Однако теперь мы знаем, что существуют планеты существенно более массивные и, возможно, более холодные, чем Юпитер. Из-за более низкой температуры и более высокого давления в недрах таких планет может существовать не только жидкая, но, возможно, и кристаллическая фаза металлического водорода. На физическую картину процессов, происходящих в планетах-гигантах, основное влияние оказывает баланс между силами гравитации и градиентом давления вещества, образующего планету [21]. Этот градиент давления определяется уравнением состояния вещества, от которого полностью зависит вся картина формирования планеты-гиганта и ее физические свойства. Этим обусловлена важность вопроса о термодинамических характеристиках водорода при высоком давлении и температуре для данной задачи. В планетах-гигантах, в большей части состоящих из водорода, формируются условия для образования удивительной физической системы металлического водорода. Водород в таком состоянии представляется достаточно сложной системой многих квантовых тел. Как будет показано, потенциальная энергия кулоновского взаимодействия ядер атома водорода прото нов, почти на порядок больше кинетической, и, с динамической точки зрения, эта система является жидкостью. Отсутствие явного малого параметра в системе затрудняет ее аналитическое исследование, и поэтому весьма актуальными становятся численные подходы к решению данной задачи. Таким образом, основная цель работы исследовать термодинамические характеристики водорода в этой фазе, интересные для астрофизических приложений. Исследовались различные термодинамические характеристики металлического водорода в области больших давлений и температур. Был применен метод Монте-Карло для моделирования квантовой задачи многих тел.
Особый интерес представляет вопрос о фазовом переходе из жидкой в кристаллическую фазу. Характеристики этого перехода слабо изучены и влияние этой фазы на эволюцию планет-гигантов не ясно окончательно. Стоит отметить, что задача о металлическом кристаллическом водороде весьма интересна и в контексте наземных экспериментов со сжатием водорода в алмазных тисках. В ноябре этого года был осуществлен прорыв в эксперименте в этой области [13] металлический кристаллический водород был впервые получен в лабораторных условиях. Такой прогресс в эксперименте, несомненно, привлечет огромное внимание к проблеме изучения металлического водорода, в том числе и численного.
Измерения. Среднее значение кинетической энергии
Заметим, что наблюдаемая для потенциальной энергии имеет интуитивно очевидный вид, а для кинетической энергии это не так. На Рис. 1 показана потенциальная энергия V как функция температуры при плотности 2085 х 103 кг/м3 (г, = 200). Мы наблюдаем небольшой рост с ростом температуры и резкий скачок при определенной температуре, указывающий на фазовый переход. На Рис. 2 изображена кинетическая энергия при данной плотности. Ее поведение отличается от поведения потенциальной энергии: она также растет с температурой, но при фазовом переходе имеет скачок вниз. При более низких плотностях этот скачок исчезает и остается только излом (скачок производной). Таким образом, зависимость выглядит как фазовый переход первого рода при плотностях 261 х 103 кг/м3 и меньше и как фазовый переход второго рода при плотностях 618 х 103 кг/м3 и больше.
На Рис. 3 изображена зависимость давления от температуры при плотности 2085 х 103 кг/м3(г5 = 200). Она имеет скачок при той же температуре, что и энергия, что подтверждает существование фазового перехода. Как и энергия, давление в основном зависит от плотности и незначительно меняется с температурой. Впрочем, именно этого следовало ожидать в конденсированной среде. Недостатком этого свойства является сложность численных термодинамических расчетов, так как частные производные по температуре и плотности, встречающиеся в уравнениях, различаются на порядки величин. Формально функция Р(р,Т) позволяет построить изобары, но разрешения численных данных для этого недостаточно, несмотря на большое количество точек на фазовой плоскости. Мы можем лишь понять, что изобары - линии, близкие к линиям постоянной плотности, но имеющие небольшой неизвестный наклон. Эта проблема может быть решена различными способами, но мы не будем их здесь обсуждать.
Для астрофизических приложений крайне важно знать уравнение состояния вещества для замыкания системы уравнений гидростатического равновесия [21]. Как правило для описания поведения вещества используют степенную зависимость давления от плотности: Р = кр (142) Как показано в [21] необходимым условием конечности атмосферы планеты-гиганта является условие 7 1. В нашем анализе мы проведем исследование уравнения состояния на -1068 ---618 - -389 261 —-183 1 10 20 Рис. 27: P(T) — PQK при различных плотностях основе полученных данных, используя в качестве фитирующей функции формулу (142). Для этого строим зависимости давления от плотности при разных фиксированных температурах и фитируем получившиеся графики зависимостью (142).
Были выбраны следующие фиксированные температуры: 5800K, 8700K, 17400K. Графики зависимости давления от плотности при этих температурах, а также фитинг этих зависимостей на степенной закон (142) представлен на рисунках (28), (29), (30). Отметим, что полученная зависимость Р(р) фитируется степенным законом с очень высоким коэффициентом корреляции Rcorr = 0.9999985. Используя данные фитирования можно построить графики зависимости параметров фитинга к(Т) и у(Т). Эти графики представлены на рисунках (31, 32). Из представленных графиков видно, что 7 для исследуемых температур больше 1, что соответствует условию конечности атмосферы планеты-гиганта, состоящего из плотного горячего водорода. Отметим также, что зависимость 7 от температуры довольно слабая: при изменении температуры приблизительно в 3 раза 7 изменилось менее, чем на 10% . При этом зависимость коэффициента к от температуры вполне значительна.
Отношение Лидеманна (97) - хорошая мера неупорядоченности кристаллической решетки, поэтому его естественно и разумно использовать для обнаружения фазового перехода, при котором упорядоченность полностью исчезает. На Рис. 4 показано отношение Лидеманна для всего исследованного диапазона плотностей и температур. Ясно виден фазовый переход.
Пологий участок этих зависимостей в твердой фазе (слева внизу) содержит некторую физическую информацию о неупорядоченности кристаллической решетки. Пологий участок в жидкой фазе (справа сверху) - артефакт конечного объема моделируемой системы, его уровень зависит только от размера ячейки моделирования.
Определив положение фазового перехода, мы можем построить фазовую диаграмму для металлического водорода. Она изображена на Рис. 6. Тут надо сказать про некоторые существенные подробности. Как известно, наблюдаемые в методе PIMC являются сред го о.
Зависимость давления от плотности в жидкой фазе при температуре Т = 8700Х ними по набору термализованных траекторий. Чтобы получить этот набор стартуют с некоторой траектории и запускают марковский процесс, называемый термализацией. С нкоторого момента начинают получаться равновесно распределенные конфигурации, но неизвестно, как скоро это произойдет. Также известно, что модели систем в окрестностях фазового перехода обычно плохо термализуются, особенно через этот переход. Например, мы начинаем с "идеального кристалла при абсолютном нуле"(твердая фаза). В течение счета он достаточно быстро термализуется в некоторое твердое состояние, которое кажется устойчивым. Получение истинных физических тректорий занимает много вычислительного времени. Пример показан на Рис. 5. Это является главным препятствием для точного определения точки фазового перехода. Кроме того, оказывается, что термализация из жидкого в твердое состояние происходит так медленно, что ее вряд ли можно получить за приемлемое вычислительное время. Таким образом, полученное положение фазового перехода формально является его верхним пределом. Нижний предел можно получить моделированием, начинаемым с "жидкой фазы но не стоит ожидать, что он будет сильно
Другой способ определеничя положения фазового перехода заключается в термодинамическом интегрировании свободной энергии ([18]). Это позволяет избежать долгой тер-мализации из жидкого состояния в твердое. Но этот подход основан на интегрировании данных моделирования, содержащих некоторую погрешность, на большом промежутке. В любом случае, оба метода - предмет для дальнейших исследований.
Наконец, надо пояснить, почему мы утверждаем, что фазовый переход происходит именно между фазами жидкости и кристалла с объемно-центрированной кубической решеткой. Это можно легко увидеть, просто нарисовав соответствующие траектории. Примеры траекторий в обеих фазах приведены на Рис. 7 и Рис. 8. Существование жидкого (не кристаллического) состояния над переходом также подтверждается отношением Линдеманна, которое в этой области много больше единицы (Рис.4). Объемно-центрированная кубическая кристаллическая структура под переходом видна по характерным траекториям, пример см. Рис.
В данном разделе описывается релятивистское обобщение метода Монте-Карло для вычисления интеграла по траекториям. В рамках данного подхода изучается задача о релятивистском гармоническом осцилляторе. Рассмвтриваются нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы. Также проводится сравнение с результатами расчетов на основании уравнения Шредингера (в импульсном представлении).
Вычисление интегралов по траекториям методом Монте-Карло широко используется для исследования свойств квантовых систем. В первую очередь этот метод применяется для моделирования систем многих тел, в которых число степеней свободы уже слишком велико, чтобы было возможно численное решение уравнения Шредингера, но еще слишком мало, чтобы были применимы методы квантовой статистики.
Невозмущенный W-потенциал. Основное и первое возбужденное состояние
Наиболее примечательное свойство графена состоит в том, что заряженные квазичастицы-возбуждения в нем имеют очень малую эффективную массу. В идеальном случае: если пренебречь влиянием дефектов и граничных эффектов - их масса точно равна нулю. С другой стороны, интенсивность взаимодействия между квазичастицами достаточно велика. В совокупности эти два факта означают, что возбуждения в графене могут быть описаны как релятивистский двухмерный газ с сильным мгновенным взаимодействием.
Корректная формулировка задачи многих тел в релятивистской квантовой механике связана с некоторыми известными сложностями. Во-первых, кинетическая и потенциальная части гамильтониана должны быть инвариантны относительно преобразования Лоренца. Записать кинетическую часть в Лоренц-инвариантной форме достаточно просто, а для потенциала взаимодействия это требует в общем случае теоретико-полевого подхода. Чтобы корректно рассматривать подобные задачи, оставаясь в рамках квантиовой механики, нужно сделать некоторые дополнительные предположения. Мы рассмотрим релятивистскую формулировку только для кинетической части гамильтнониана. Часть гамильтониана, отвечающая за потенциал взаимодействия, не может в общем случае быть рассмотрена в релятивистской формулировке методами квантовой механики. В качестве первого приближения будет рассмотрена система с мгновенным взаимодействием между частицами. Это приближение хорошо работает в релятивистской квантовой химии и в (псевдо)релятивистской физике конденсированного состояния, в частности в моделях гра-фена. В рассматириваемых ими системах поправки, связанные с релятивистским характером взаимодействия малы по сравнению с поправками, связанными с релятивистской природой частиц (их движения). В системах, рассматриваемых ядерной физикой и физикой высоких энергий, это не так и для их рассмотрения требуются некоторые специфические дополнительные предположения; подобные системы в данной работе рассматриваться не будут.
Разработка релятивистского обобщения интергалов по траекториям имеет давнюю историю. В настоящее время эта задача становится более важной в связи с приложением в физике высоких энергий.
Рассмотрим релятивистское обобщение формализма интеграла по траекториям на случай квантовой механики при конечной температуре. Более полной рассмотрение данного вопроса см. [?]. Среднее значение оператора А вычисляется по формуле tr(Ae PH) {А} = tr , где оператор е_/ЗЯ представляет собой матрицу плотности, а /3 = 1/9 - обратная температура рассматриваемой системы. Для вычисления интеграла по траекториям методом Монте-Карло рассмотрим предел при нулевой температуре. Матричный элемент матрицы плотности в координатном представлении записывается следующим образом: p(q,q ;/3) = {q\e \q ). Наконец, для среднего значения оператора А имеем Jdqdq/p(q,q/;fa{q\A\q/) (А) = р — . J dqp{q,q;f3) Для оператора матрицы плотности можно записать следующее выражение р-(/Зі+/З2)Я __ —PiH—f2H или то же самое в координатном представлении p(Qij Q i i fa + fa) = / dq2p(q\, 52; fa)p( l2, 9зі fa)-Применяя это свойство Nt раз, получаем ір т \ t где г = (З/Nf. То же выражение в координатном представлении имеет вид
Рассмотрим гамильтониан Н = Т(р) -\-V(q). Оператор кинетической энергии Т(р) диагонален в импульсном представлении, а оператор потенциальной энергии V(q) диагонален в координатном представлении. Мы можем разделить кинетическую и потенциальную энергию в гамильтониане в случае, когда г мало, тогда —rr(T-\-V)-\--2\TA/r\ —TT —TV о —— о о При г — 0 имеем р—т(Т-\-У) _, р—тТ—тУ Или то же самое в координатном представлении p(Qo, Q2] т) / dqi(qo\e T \qi)(qi\e T Іуг) Как мы помним, оператор потенциальной энергии диагонален в кординатном представлении, то есть ( 2іе"гУ 2) = e rV(qi4(q2 - q\). учетом равенства \Т )тг\Т \ = 1 получаем (yoe_r \q\) = I dpdp 5(p — p )(qo\p)(p \qi)e р т. Принимая во внимание равенство (q\p) = e tqp, получаем (qo\e T \q\) = / —е (p)rPWo- i)_ В релятивистком случае кинетическая энергия имеет следующую форму \/р2 + т2 Т(р) = \/р2 + гп2. Таким образом, чтобы вычислить матричный элемент, мы должны взять вышеуказанный интеграл по импульсу от данной формы. Рассмотрим его в общем случае или, другими словами, с общей формой релятивистского выражения для кинетической энергии. Мы можем вычислить интергал по импульсу с данным выражением для Т(р) и тогда получим
Зная матрицу плотности в координатном представлении, можно вывести выражения для средних значений всех наблюдаемых. При помощи (143) можно получить среднее значение кинетической энергии в общем релятивистском случае (см. [?]),
Релятивистский гармонический осциллятор описывается следующим гамильтонианом Н = \/р2 + га2 -\—тш q . (147) Чтобы проверить наш метод и сравнить результаты вычисления интегралов по траекториям методом Монте-Карло с результатами, получаемыми из аналитических выражений, рассмотрим нерелятивистский (га2 р2) и ульта-релятивистский (га2 «С р2) пределы. Фактически в задаче есть всего два размерных параметра: га и ш, и, как мы увидим в дальнейшем, условия нерелятивистского и ультра-релятивистского предела могут быть сформулированы в терминах те и ш.
Сначала рассмотрим нерелятивистский предел, описываемый условием т2 р2. Это условие следует понимать в смысле средних значений, то есть т2 (р2). Раскладывая выражение для кинетической энергии Т(р) = л/р2 + гп2, получаем р2 ґґ р \4\ р2 Т(р) = л/р2 + гп2 = га(1 Н + О ( ( — ) )) га Н 2m m 2га Тогда нерелятивистский предел гамильтониана (147) имеет следующий вид U і Р2 і 1 2 2 Н = гп -\ 1—тш q , (148) 2га 2 где га - масса покоя. таким образом мы, как и следовало ожидать, получаем обычный (нерелятивистский) гармонический осциллятор. Выражения для энергии и плотности вероятности основного состояния этого гамильтониана хорошо известны: ш Ь0 = га Н—, (149) 1 2 /тил 2 / о\ P\Qj = \ф\0_)\ =( ) expl — mujq ), (150) где t/j(q) - волновая функция основного состояния. Теорема вириала дает соотношение между кинетической и потенциальной энергией
Таким образом, у нас есть набор аналитических выражений для значений наблюдаемых (149), (150), (151), (152), которые можно сравнить с результатами численных расчетов интегралов по траекториям методом Монте-Карло.
Условие нерелятивистского предела формулируется в терминах т и ш, что необходимо для определения физической ситуации. Используя (151) моожно получить (р2) тш and т ш. Это значит, что в данном случае рассматриваются относительно тяжелые частицы с относительно слабым потенциалом взаимодействия.