Эффекты скалярных полей в обобщенных моделях гравитации и космологии Скворцова Милена Васильевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Условия существования кротовых нор в скалярно-тензорной и (Д)-теории гравитации 15

1.1 Кротовые норы в скалярно-тензорной теории гравитации 22

1.1.1 Определение кротовой норы 22

1.1.2 Вакуумные решения обобщенной СТТ 23

1.1.3 Теория Бранса-Дикке, ш —3/2, є = +1 25

1.1.4 Обобщенная СТТ, є = -1 1.2 Кротовые норы в і (Л)-теории гравитации 31

1.3 Обсуждение 34

2 Магнитные черные вселенные и кротовые норы с фантомным скалярным полем 36

2.1 Основные уравнения 39

2.2 Пространственно-временные модели с электромагнитным полем

2.2.1 Решения 44

2.2.2 Симметричные конфигурации 47

2.2.3 Асимметричные конфигурации 49

2.3 Обсуждение

3 Вариация фундаментальных физических констант а и G в многомерной нелинейной теории гравитации 60

3.1 Основные уравнения 65

3.2 Изотропные космологические модели

3.2.1 Уравнения для малых значений поля ф 70

3.2.2 Модель 1: F(R) = -2A + R2 73

3.2.3 Модель 1 в картине Иордана 76

3.2.4 Модель 2: F(R) = R2 77

3.2.5 Модель 2 в картине Иордана 79

3.3 Возмущения, зависящие от х, и вариации а 80

3.3.1 Основные соотношения 80

3.3.2 Модели 1 и 2 в картине Эйнштейна 83

3.3.3 Модель 2 в картине Иордана 85

3.4 Выводы 86

Заключение

• Определение кротовой норы
• Теория Бранса-Дикке, ш —3/2, є = +1
• Симметричные конфигурации
• Уравнения для малых значений поля ф

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Необходимость изучения эффектов скалярных полей в различных моделях гравитации и космологии мотивирована несколькими причинами. С одной стороны, одной из центральных задач теоретической физики является построение объединенной теории всех известных фундаментальных физических взаимодействий (электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного). Скалярные поля входят как неотъемлемая составная часть в большинство моделей, реализующих попытки такого объединения, прежде всего - в многомерные модели. При редукции многомерной теории к четырем наблюдаемым измерениям пространства-времени компоненты метрического тензора, отвечающие дополнительным измерениям, проявляются как скалярные поля с различными свойствами. Недавнее открытие бозона Хиггса подтверждает реальность существования скалярных полей в природе.

С другой стороны, скалярные поля используются в большинстве моделей, направленных на решение известной проблемы тёмной энергии в космологии (так называемые квинтэссенция, k-эссенция, фантомные скалярные поля и т.д.). Важной задачей является исследование влияния тёмной энергии на свойства астрофизических систем с сильными гравитационными полями, таких как нейтронные звёзды, чёрные дыры и (гипотетические) кротовые норы, изучение свойств которых может привести к новым наблюдательным тестам современных теорий. Условия существования и свойства кротовых нор, в том числе в присутствии магнитных полей, рассматриваются в данной диссертации. Одним из важных предсказаний большинства моделей объединения взаимодействий является переменность ряда фундаментальных физических констант (ФФК) - прежде всего, гравитационной постоянной (7, скорости света с, постоянной Планка /г, фундаментального заряда е, постоянной тонкой структуры а, масс основных стабильных частиц — протона

(їПр) и электрона (т_е) и их отношения /і = т_р/т_е - в космологических масштабах времени и расстояний. Однако до настоящего времени с помощью экспериментов и наблюдений не выявлена переменность каких-либо ФФК, за одним исключением: проведенный в последние годы анализ спектров поглощения удаленных квазаров привел к выводу о временных и пространственных вариациях а. Объяснению этого явления посвящен ряд теоретических работ последних трех лет. В данной диссертации вариации а объясняются поведением эффективного скалярного поля многомерного происхождения.

Одна из принципиальных проблем физики черных дыр (ЧД) - существование сингулярности кривизны под горизонтом событий в известных решениях Шварцшильда, Райснера-Нордстрёма, Керра и других решениях ОТО и их аналогах в других метрических теориях гравитации. Для полного понимания геометрии и физики ЧД весьма желательно устранение сингулярностей, которое обычно связывается с надеждами на квантование гравитации. Однако большой интерес представляют и попытки построения моделей несингулярных ЧД в рамках классической теории гравитации, и в литературе описаны различные классы таких объектов. Один из таких классов сферически-симметричных, конфигураций, названный «черными вселенными», представляет, по-видимому, особый интерес, так как объединяет свойства кротовых нор (отсутствие центра и регулярный минимум площади координатных сфер), ЧД (горизонт Киллинга, разделяющий статическую и нестатическую области пространства-времени) и несингулярных космологических моделей (в нестатической области при больших временах достигается деситтеров-ский режим изотропного расширения). Материальным источником гравитации в ранее описанных моделях было фантомное скалярное поле. Возможность существования подобных полей в природе совместима с результатами современных космологических наблюдений, согласно которым ускоренное расширение нашей Вселенной может быть обусловлено доминирующей плотностью «темной энергии» с отношением давления к плотности меньше —1. В диссертации получены соответствующие модели с включением глобального магнитного поля.

Степень разработанности темы

Условия существования кротовых нор в ОТО достаточно хорошо известны [1], тогда как в важнейших обобщениях ОТО - скалярно-тензорных теориях (СТТ) и f(R) -теориях — подобная ясность пока не достигнута, и появляются статьи с взаимно противоречивыми высказываниями по этому поводу. Например, в работе [2] утверждалось существование кротовых нор в СТТ Бранса-Дикке в интервале значений константы связи uj между 0 и -3/2, что противоречит некоторым известным результатам. Подобные вопросы требуют дополнительных исследований.

Возможная переменность некоторых ФФК в космологических масштабах времени и расстояний обсуждается начиная с 30-х годов прошлого века, с работ Эддингтона и Дирака. Астрофизические наблюдения последнего времени свидетельствуют о временных и пространственных вариациях а. Появились и теоретические работы, объясняющие такие вариации с помощью представлений об объединении взаимодействий, однако, в основном в таких работах вводятся скалярные поля с потенциалами, задаваемыми ad hoc. Более естественным подходом представляется получение подобных моделей из динамики дополнительных измерений пространства-времени. Достоинством таких моделей является единый подход к вариациям различных ФФК и естественное происхождение соответствующих потенциалов.

Среди различных видов несингулярных космологических моделей, обсуждаемых в литературе, представляют значительный интерес модели с так называемым световым большим взрывом, в которых расширение вселенной начинается не с сингулярности, а с горизонта Киллинга [3]. Во многих таких моделях По другую сторону от горизонта находится статическая область, аналогичная внешней области черной дыры. Условия возникновения "черных вселенных "и их свойства исследованы пока недостаточно, в частности, должны быть рассмотрены вопросы, связанные с их возможной глобальной причинной структурой и проявлениям в них крупномасштабных магнитных полей.

Цель и задачи диссертации

Целью настоящей работы является теоретическое исследование ряда эффектов скалярных полей, включая возможные локальные проявления темной энергии и переменность фундаментальных физических констант в скалярно-тензорных и многомерной теориях гравитации. Соответствующие конкретные задачи:

1. Анализ противоречий в выводах работ различных авторов о существовании кротовонорных вакуумных решений в заведомо нефантомном интервале параметров теории Бранса-Дикке, в других СТТ, а также соответствующих решений F(R)-теории.

2. Поиск наиболее общих критериев существования глобальных кротовонорных вакуумных конфигураций в теории Бранса-Дикке, в обобщенной скалярно-тензорной теории гравитации и в F(R) -теориях с помощью сопоставления картин Эйнштейна и Иордана.

3. Обобщение известных регулярных решений ОТО в виде кротовых нор и черных вселенных с фантомными скалярными полями на возможное присутствие электрического или магнитного поля. Получение и анализ точных решений. Классификация получаемых геометрий по числу горизонтов Киллинга и характеру асимтотического поведения, исследование глобальной причинной структуры конфигураций с помощью диаграмм Картера-Пенроуза, построение карты решений в параметрическом пространстве "шварцшильдовская масса - заряд".

4. Построение космологических моделей в рамках многомерной теории гравитации, нелинейной по кривизне, для объяснения наблюдаемой переменности постоянной тонкой структуры. Анализ пространственных возмущений эффективного скалярного поля и метрики на временном интервале, близком к современной эпохе.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

5. Впервые установлено, что в скалярно-тензорных и f(R)-теориях гравитации вакуумные статические сферически-симметричные решения могут описывать кротовые норы либо если скалярное поле носит фантомный характер, либо если в некоторой части пространства-времени эффективная гравитационная постоянная отрицательна.

6. Доказано существование горловин в вакуумных статических сферически-симметричных решениях теории Бранса-Дикке при всех значениях константы связи ш > —3/2, при которых не существует кротовых нор как глобальных конфигураций.

7. Получены точные статические сферически-симметричные решения ОТО с источниками гравитации в виде фантомного скалярного и электромагнитного полей. Дана классификация решений по числу и характеру горизонтов Киллинга и по виду асимптотического поведения. Все полученные решения регулярны и делятся на 10 классов, из которых шесть описывают кротовые норы и черные дыры с различными пространственным асимптотическим поведением. Другие четыре класса описывают так называемые чёрные вселенные, которые сочетают в себе свойства несингулярных космологических моделей, черных дыр и кротовых нор и в принципе пригодны для описания нашей Вселенной. Построены диаграммы Картера-Пенроуза для полученных решений с числом горизонтов от одного до четырех, а также карта решений в плоскости параметров т (масса) и q (электрический или магнитный заряд). Дана численная оценка минимального размера черной Вселенной, описываемой метрикой Кантовского-Сакса, при котором еще может быть справедливым максвелловское описание электромагнитного поля.

8. В рамках нелинейной по кривизне многомерной теории гравитации построены два варианта изотропных космологических моделей, приближенно описывающих современную ускоренно расширяю-

щуюся вселенную. Показано, что длинноволновые возмущения эффективного скалярного поля и метрического тензора изотропных моделей в состоянии объяснить наблюдаемые крупномасштабные пространственно-временные вариации постоянной тонкой структуры а (так называемый "австралийский диполь") в согласии с остальными данными космологических наблюдений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Выяснение условий появления горловин и кротовых нор как глобальных объектов в скалярно-тензорных и f(R)-теориях гравитации полезны для общего понимания и оценки возможной реалистичности этих весьма интересных конфигураций искривленного пространства-времени. Построение новых решений типа регулярных чёрных дыр и черных вселенных существенно пополняет наши знания о разнообразии геометрических и причинных структур объектов, возможных в теории гравитации, и о типах космологических моделей, претендующих на описание нашей Вселенной. Полученные модели могут использоваться в качестве фона для анализа, с одной стороны, устойчивости статических областей этих сложных конфигураций и, с другой стороны, космологических возмущений их эволюционирующих областей для последующего сравнения с наблюдениями. Полученные космологические модели с переменностью постоянной тонкой структуры а выявляют новые возможности объяснения космологических наблюдательных данных в рамках многомерных теорий гравитации.

Практическая значимость работы состоит в возможном включении некоторых ее результатов в университетские специальные курсы по теории гравитации и космологии.

Методология и методы исследования

В процессе работы использованы современные методы аналитического и численного решения и исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, методы дифференциальной геометрии, компьютерные методы аналитических и численных расчетов. В частности, исполь-

зован метод обратной задачи при получении новых решений в виде кротовых нор и черных вселенных с магнитным полем. Наряду с редукцией дополнительных измерений, для получения космологических моделей нелинейной многомерной теории гравитации использовано предложенное Бронниковым и Рубиным весьма реалистичное приближение медленных (по сравнению с планковскими масштабами) изменений, существенно облегчающее решение поставленной задачи. Для объяснения пространственных вариаций а применен метод возмущений на фоне однородной изотропной космологической модели.

Положения, выносимые на защиту

9. Сформулированы необходимые условия существования кротовых нор как глобальных регулярных конфигураций с двумя плоскими асимтотиками, применимые к скалярно-тензорным и f(R)-теориям.

10. Доказана ошибочность заключений некоторых исследователей о существовании решений в виде кротовых нор в нефантомном интервале скалярных полей в теориях Бранса-Дикке, обобщенной скалярно-тензорной теории (СТТ) и f(R)-теории, в силу появления голых сингулярностей или неплоских асимптотических областей.

11. Доказано существование горловин в вакуумных статических сферически-симметричных решениях теории Бранса-Дикке при всех значениях константы связи ш > —3/2 (в нефантомном интервале). Этот результат представляет собой качественное отличие теории Бранса-Дикке от ОТО, в которую эта теория переходит в пределе UJ —> оо.

12. В рамках ОТО с источниками гравитации в виде фантомного скалярного и электромагнитного полей, получены 10 классов регулярных статических сферически симметричных решений. Шесть из них представляют собой кротовые норы и черные дыры с различными пространственным асимптотическим поведением. Другие четыре класса — так называемые чёрные вселенные с различным числом горизонтов, которые сочетают в себе свойства несингулярных космологических моделей, черных дыр и кротовых нор и в принципе

пригодны для описания нашей Вселенной. Построены соответствующие диаграммы Картера-Пенроуза и карта решений в плоскости параметров т (масса) и q (электрический или магнитный заряд). Дана численная оценка минимального размера черной Вселенной, совместимого с максвелловским описанием электромагнитного поля.

5. В рамках нелинейной по кривизне многомерной теории гравитации построены два варианта изотропных космологических моделей, приближенно описывающих современную ускоренно расширяющуюся вселенную. Рассмотрены длинноволновые возмущения изотропных моделей, и с их помощью дано объяснение наблюдаемых крупномасштабных пространственных вариаций постоянной тонкой структуры (так называемый "австралийский диполь").

Достоверность и апробация полученных результатов

Обоснованность и достоверность полученных результатов следует из надежности использованных методов исследования, многократно испытанных в работах большого числа известных авторов. Кроме того, полученные решения и выводы проверены совпадениями с ранее известными решениями и выводами в предельных и частных случаях.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Учебно-научного института гравитации и космологии РУДН и следующих конференциях: международная конференция "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики RUDN-10, Москва, 28 июня - 3 июля 2010 г.; международная сессия-конференция Секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий», Москва, МИФИ, 12-16 ноября 2012 г.; международный научный семинар «Нелинейные поля и релятивистские статистические системы в теории гравитации и космологии», Казань, КФУ, 21-26 октября 2013 г.; 15-я Российская гравитационная конференция - между народная конференция по гравитации, космологии и астрофизике, Казань, 30 июня -5 июля 2014 г.; XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники посвященная 100-летию профессора Терлецкого Я. П., Москва, РУДН,

-11—

15-18 мая 2012 г.; IL Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, Москва, РУДН, 14-17 мая 2013 г.; L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 13-16 мая 2014 г.

Личный вклад автора

Автором самостоятельно проделаны все необходимые расчеты в процессе работы над темой диссертации, построены все диаграммы и карта решений уравнений гравитации, скалярного и электромагнитного полей на плоскости параметров задачи. Необходимо также отметить активное участие автора в обсуждении постановки каждой из решаемых задач и полученных результатов.

Публикации

По материалам диссертационной работы имеется 11 публикаций, в том числе 4 в журналах из списка рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Определение кротовой норы

Заметим, что требование, восстанавливающее СвЭУ, является частью требования так называемого слабого энергетического условия (СлЭУ), физический смысл которого заключается в требовании неотрицательности плотности энергии для наблюдателя, находящегося в произвольной системе отсчёта.

Предположим, что негравитационная материя в ME удовлетворяет СвЭУ, а обе функции /(Ф) и /(Ф) гладкие, положительные и конечные во всей интересующей нас области. Следовательно, преобразование (1.3) переводит плоскую пространственную асимптотику в одной картине в плоскую пространственную асимптотику в другой. Поскольку многообразие ME обладает гладкой структурой, предположение о наличии (дважды) асимптотически плоской КН в Mj приводит к выводу о том, что у каждой пространственной бесконечности имеется аналог в МЕ- А это, в свою очередь означает, что в ME существует КН, а это невозможно, если источник гравитационного поля не нарушает СвЭУ. Таким образом, воз - 19 никает противоречие с изначально выдвинутым предположением, и необходимо заключить, что статические асимптотически плоские КН отсутствуют и в картине Иордана [6, 7]. В частности, теорема 1 справедлива и для моделей КН с материей, сконцентрированной на бесконечно тонкой оболочке, являющейся источником гравитационного поля. Как показано в [8], в любой СТТ с нормальным скалярным полем, для любой КН с источником в виде тонкой оболочки, сконструированной из двух идентичных областей статического сферически-симметричного пространства-времени, оболочка имеет отрицательную поверхностную плотность энергии, что, очевидно, означает нарушение светового и слабого энергетических условий. Возможность существования кротовонорных статических сферически-симметричных конфигураций в СТТ была рассмотрена в [6] и в случае ослабления требований на функцию неминимальной связи /(Ф): ей было позволено достигать нуля или принимать отрицательные значения. Было показано, что при достижении нуля функцией / в картине Иордана только в следующих исключительных случаях могут существовать дважды асимптотически плоские крото-вонорные решения: (1) соответствующее решение в картине Эйнштейна содержит экстремальную черную дыру, двойной горизонт которой соответствует второй пространственной бесконечности в Mj; последнее в принципе невозможно в случае вакуумных решений, но может происходить в решениях с ненулевыми электрическим и магнитными полями (пример такого решения был получен в [9]. Однако в более общем контексте включение электрического или магнитного ПОЛЯ хотя и дает большее многообразие классов решений, но, как и в вакуумном случае, КН могут существовать либо при наличии фантомного скалярного поля с є = — 1, либо когда эффективная гравитационная постоянная Geff принимает бесконечное или отрицательное значение в некоторой области. Кроме того, (2) чтобы избежать избытка или дефицита угла на второй бесконечности, требуется дополнительная тонкая настройка параметров модели, и (3) сама теория должна быть специальным образом модифицирована (см. подробнее в [9]). Довольно широкий (но все же специальный) класс кротовонорных решений получается в теориях, допускающих функцию неминимальной связи / 0, в которых многообразие ME С ПОМОЩЬЮ преобразования (1.3) переводится лишь в часть многообразия Mj картины Иордана (так называемое конформное продолжение [11,12]). Однако предыдущие исследования показали, что в общем случае такие решения неустойчивы относительно сферически-симметричных возмущений [13]. Нестабильность связана с поведением полей вблизи поверхности перехода, а, точнее, с возникновением отрицательного полюса у эффективного потенциала для возмущений вблизи поверхности / = 0. Само существование полюса не приводит к однозначному выводу о нестабильности решений, и требуются исследования их нелинейной динамической эволюции. Но даже в случае существования таких КН, их удаленные устья должны быть расположены в областях антигравитации / 0. А это обстоятельство свидетельствует о том, что такого рода КН могут быть мостами лишь в другие вселенные с совершенно иной физикой (если такое возможно), но никак не могут соединять различные области нашей Вселенной. Существует трудность и другого рода, связанная с решением проблемы возникновения динамических сингулярностей кривизны в анизотропной области, где

В некоторых публикациях декларируются результаты, противоречащие приведенным здесь выводам об условиях существования статических сферически-симметричных кротовых нор. Например: 1. Было заявлено, что существуют вакуумные решения с кротовыми норами в теории Бранса-Дикке с константой теории а;, соответствующей заведомо - 21— нефантомному интервалу си Є (—3/2,-4/3) [15]. 2. Подобное заявление было сделано опять же для нефантомного интервала скалярного поля в теории Бранса-Дикке с константой ш = 0 [16]. 3. Сделано также (очевидно, верное) утверждение о существовании вакуумных решений с КН в теории БД для значений константы ш —2, но ничего не сказано о выпадающем из рассмотрения интервала —2 ш —3/2 [15]. 4. Найдено несколько примеров решений в рамках .Р(Д)-теории гравитации, которая эквивалентна теории Бранса-Дикке с константой ш = 0 и ненулевым потенциалом [17], с утверждением, что эти решения носят КН-характер.

Для выяснения реальной ситуации во всех перечисленных случаях со "странными" выводами о существовании статических сферически-симметричных КН в скалярно-тензорных и і (Л)-теориях гравитации будет проведен анализ с помощью удобной параметризации решений, делающей критерии существования КН очевидными и однозначными, и будет сделан вывод об ошибочности перечисленных выше утверждений.

В следующем разделе будут сформулированы условия, при которых сферически-симметричная метрика представляет собой КН. Далее, в явном виде будет представлено вакуумное решение обобщенной скалярно-тензорной теории с безмассовым скалярным полем и детализированы его свойства в рамках теории Бранса-Дикке. Раздел 1.2 посвящен свойствам решений в і (Л)-теории. В разделе 1.3 изложены некоторые замечания методического характера.

Теория Бранса-Дикке, ш —3/2, є = +1

В R-области (А 0) условие минимума г" 0 означает, что Т/ — Т 0; в привычных обозначениях Т\ = р (плотность энергии) и — Т = рг (радиальное давление), это неравенство имеет вид р + рг 0, что, по сути, и есть нарушение СлЭУ и СвЭУ. Это простейшее доказательство хорошо известного факта нарушения этих энергетических условий вблизи горловины сферически-симметричной КН ( [5]; см. также [42]). Минимум функции г (и) может оказаться и в Т-области А{и) 0, в этом случае он не будет означать горловину, а представляет собой "отскок" в эволюции одного из двух космологических масштабных факторов метрики Кантовского-Сакса (второй масштабный фактор есть [—А{и)]1 2). Поскольку в Т-области t является пространственной координатой, а и - временной, компонента —ТІ = pt имеет смысл давления в -направлении, а Т = р — плотности энергии, тем не менее, условие г" 0, применяемое к выражению (2.4), вновь приводит к нарушению обоих энергетических условий: р + pt 0. В пограничном случае, когда минимум г (и) совпадает с горизонтом (А = 0), условие г" 0 выполняется в его окрестности. Таким образом, энергетические условия нарушаются вблизи минимума г" 0 в любом случае. Мы будем исходить из предположения, что на одном конце конфигурации при и — существует асимптотически плоская область, и рассматривать различные варианты поведения метрики прим о. Тензор энергии-импульса скалярного поля(и), фигурирующего в действии (2.1) в пространстве-времени с метрикой (2.2) имеет вид

Нас будут интересовать решения с фантомным скалярным полем є = — 1 (однако мы сохранили оба знака є в уравнениях для общности). Электромагнитное поле, совместимое со сферически-симметричной метрикой (2.2), может иметь следующие ненулевые компоненты: Foi = —F\o (электрическая) и F23, = — F%2 (магнитная), (2-6) и, таким образом, F01F01 = -Цт\и), F23F23 = q2Jr\u), (2.7) где константы qe и qm имеют смысл электрического и магнитного зарядов, соответственно. Следовательно, ТЭИ электромагнитного поля имеет вид 7i;H = - diag(l,

Таким образом, мы уже имеем решения уравнений электромагнитного поля в общем виде, и остается решить систему, состоящую из уравнения скалярного

Уравнение скалярного поля (2.9) следует из уравнений (2.10)-(2.12), которые при заданном виде потенциала скалярного поля У(ф) определяют искомые функций г (и), А(и), ф(и). Уравнение (2.13) — (J-компонента уравнений Эйнштейна) свободно от вторых производных и является первым интегралом уравнений (2.9)-(2.12), оно получается из (2.10)-(2.12) исключением членов со вторыми производными. Более того, уравнение (2.12) может быть проинтегрировано, что в итоге дает соотношение

Следует напомнить, что решения для случая безмассового скалярного поля ф были получены давно, в [53] для є = +1 и в [11] для є = —1. Все эти решения для нормального скалярного поля имеют центральную сингулярность; с фантомным скалярным полем решения допускают как сингулярные конфигурации, так и кро-товонорные с двумя плоскими асимптотиками [11], но ничего подобного черным вселенным в решениях не появляется.

Мы же будем искать решения с ненулевым потенциалом У{ф). В [54] было показано, что уравнения (2.9)-(2.13) приводят к крайне ограниченному набору пространственно-временных структур в случаях нулевого электрического или магнитного заряда q = 0. И действительно, из соотношения (2.12) при q = 0 следует, что функция В (и) не может иметь регулярного минимума, поэтому имеется самое большее два нуля этой функции, которые совпадают с нулями функции А(и) и соответствуют горизонтам Киллинга. Следовательно, если рассматривается асимптотически плоская модель, скажем, при больших значениях радиальной координаты и, возможен лишь один простой горизонт. Мы убедимся, что появление ненулевого заряда существенно меняет эту ситуацию.

Если постулировать конкретный вид потенциала У(ф), то в общем случае уравнения поля решить чрезвычайно сложно. Альтернативой может стать применение метода обратной задачи с целью нахождения примеров решений с определенными свойствами, т.е. задание одной из функций г (и), А{и) или ф(и) и восстановление вида потенциала решения V(ф) и всех других неизвестных с помощью уравнений поля. Мы выбираем последний вариант и задаем зависимость радиуса координатных сфер от радиальной координаты, допускающую существование решений с КН и черными вселенными. Если задана зависимость г (и) и (допустим) магнитный заряд q, функция А(и) находится из уравнения (2.14), а потенциал V{u) из (2.10) Далее, выражение для скалярного поля ф(и) находится из уравнения (2.11), и, поскольку отношение г"/г отлично от нуля, получаем монотонную функцию ф{и), которая приводит к однозначному виду потенциала У{ф).

Простой пример функции г (и), отвечающей сформулированным выше тре -45 бованиям 1-4, есть [18] где х = u/b, и b 0 — произвольная постоянная, задающая масштаб длины. Очевидно, вторая производная г"{х) 0, таким образом мы выбираем зависимость радиальной координаты, совместимую с фантомным характером поля, как следует из [?]; при больших по модулю значениях новой безразмерной радиальной координаты х будем иметь г Ь\х\.

Положим 6=1, что фактически фиксирует произвольный масштаб длины. Величины г, q, т (последняя величина соответствует шварцшильдовской массе, выраженной в геометрических единицах) будут выражены в единицах?), величины В, V и другие с размерностью (длина) — в единицах b , и так далее; величины А и ф безразмерны.

Симметричные конфигурации

Наблюдаемое пространственно-временное распределение значений а иллюстрируется на рис.3.1: на Земле, по крайней мере со времен Окло, а постоянна с точностью до 10 в год, тогда как согласно проведенному анализу спектров квазаров, за 10 миллиардов лет вариация этой величины должна быть порядка 10 в год. Тем не менее, не стоит исключать того, что вариации а могут иметь исключительно пространственный характер, а временная зависимость объясняется конечностью скорости света: будучи привязанными в фиксированный момент времени к фиксированной точке, мы наблюдаем сигналы из удаленных областей Вселенной, испущенные в более ранние космологические эпохи, что ведет к невозможности разделения пространственной и временной зависимости параметров.

Целый ряд теоретических моделей был разработан с целью объяснить переменность а [73-79]. В этих работах вариации а объясняются в рамках ОТО со скалярным полем, наличие которого, самодействие и взаимодействие с электромагнитным полем постулируется ad hoc. В работе [76], было показано, что в рамках і (Л)-теории можно получить статическую эффективную (гравитационную) доменную стенку с пространственными вариациями а, постулируя конкретное неминимальное взаимодействие электромагнетизма и гравитации. В работе [80] была продемонстрирована естественная возможность вариаций а, появляющихся вследствие взаимодействия скалярного и электромагнитного полей в рамках нелинейной по кривизне многомерной теории гравитации. Преимуществом многомерных моделей является единый подход к вариациям ФФК и естественное происхождение соответствующих потенциалов из пространственных и временных вариаций размера дополнительных измерений [81,82]. Модель [80] была построена с использованием метода, разработанного в [83], который включает редукцию выбранной многомерной теории из достаточно широкого класса нелинейных по кривизне теорий гравитации к четырехмерной теории со скалярными полями. Далее возможно построение космологических моделей, включая модели с ускоренным расширением, а их возмущения приводят, вообще говоря, к моделям с малой неоднородностью и анизотропией, позволяющими описать наблюдаемые пространственно-временные вариации а. Построенная конкретная модель получена в конформной картине Эйнштейна, в которой по условию гравитационная постоянная неизменна. В данной работе мы продолжаем исследование подобных моделей. В частности, мы показываем, что та же модель [80], рассматриваемая в картине Иордана (если предполагать, что именно эта картина описывает наблюдения [85,90]), предсказывает слишком сильно ускоренное космологическое расширение и противоречит наблюдениям. Поэтому мы предложили другую простую модель, которая также довольно хорошо описывает современную стадию ускоренного расширения и вариации постоянной а, но одинаково жизнеспособна в обеих конформных картинах Эйнштейна и Иордана. В последней обе ФФК а и G эволюционируют по одному и тому же закону, обратно пропорционально объему дополнительных измерений. В отличие от вариаций а, вариации G на данный момент не обнаружены, определен лишь их верхний предел, но не со столь высокой точностью, как данные в отношении а.

Как отмечается, в частности, в статье [86], некоторые из ограничений на вариации G относятся к современной скорости изменений G (получены по результатам лазерной локации Луны, радиолокации планет и космических аппаратов, тайминга пульсаров), другие — к возможным различиям между значениями G в настоящий момент и в прошлом (из исследований эволюции Земли, Солнца и звезд, данных о древних затмениях и нуклеосинтезе в ранней Вселенной).

Наиболее жесткое ограничение, как выясняется, вытекает из анализа планетных эфемерид, полученных с использованием локационных и допплеровских данных от космических аппаратов Mars Global Surveyor (1998-2006), Mars Odyssey (2002-2008), Mars Reconnaissance Orbiter (2006-2008) и других, вместе с новейшими данными по возмущениям от небесных тел из пояса астероидов и пояса Кой-пера [87-89].

Так как все ограничения по существу относятся к произведению GM, где М — масса тяготеющего тела, то при получении ограничений на вариации G учитывались потери массы Солнца М0 на электромагнитное излучение и нейтрино ( 0, 7-10 13 год 1) и на солнечный ветер ( 0, 2-10 13 год 1). В результате наиболее жесткое ограничение, полученное в результате анализа совокупности эфемерид, можно записать в виде [87,88]

Следует отметить, что, поскольку вариации а не превышают 10 в год, аналогичные вариации (7, если они существуют, заведомо согласуются с ограничением (3.4).

Вернемся к проблеме объяснения вариаций а. Развитая в [83] методика перехода от широкого класса многомерных теорий гравитации с высшими производными к эйнштейновской теории с эффективными скалярными полями успешно применялась для единого описания фазы ранней инфляции и современного ускоренного расширения Вселенной [91], а также дает одно из возможное объяснений происхождению поля Хиггса и подходы к решению других физических и космологических проблем [92-94]. В настоящей работе кратко излагается общий формализм используемой методики. С ее помощью в разделе 3.2 рассматривается два варианта изотропных космологических моделей, одна из которых была получена ранее в [80], но применима только для рассмотрения в картине Эйнштейна, тогда как другая в равной степени жизнеспособна в обеих конформных картинах Эйнштейна и Иордана. В разделе 3.3 рассматриваются малые крупномасштабные неоднородные возмущения этих моделей и показано, что каждая из них пригодна для описания наблюдаемых пространственных вариаций а. Раздел 3.4 содержит краткое обсуждение результатов.

Уравнения для малых значений поля ф

Что изменится в картине Иордана, если мы воспользуемся полученным фоновым решением /3(/:, ж)? Конформное преобразование Вагонера не меняет выражение для а(х, /), так же как и световой конус, изменения затрагивают лишь масштабы вдоль осей координат, несколько изменяя соотношения в членах уравнения

При используемом нами ограничении на рассматриваемый временной интервал т — То С т и условии длинноволнового возмущения фоновой модели, b С 1, мы опять приходим к тем же соотношениям (3.70) или (3.75) для чисто пространственных вариаций а. И, поскольку, модель рассматривается в конформной картине Иордана, следует ожидать вариаций гравитационной постоянной G того же порядка, что и вариации а.

В продолжение исследования [80] рассмотрены космологические модели, возникающие в приближении медленных (на планковских масштабах) изменений в нелинейной по кривизне многомерной теории гравитации, которая после редукции к 4 измерениям превращается в мультискалярно-тензорную теорию гравитации. Показано, что недавно обнаруженные вариации постоянной тонкой структуры в пространстве и времени [66, 67] могут быть объяснены в рамках таких моделей, а именно — слабо возмущенных изотропных моделей: и ускоренное расширение, и вариации а следуют из поведения скалярного поля многомерного происхождения. Согласие с наблюдениями достигается выбором начальных данных, которые можно интерпретировать как случайные неоднородности в значениях метрики дополнительных измерений на инфляционной стадии эволюции Вселенной. Таким образом, пространственные и временные вариации а могут быть проявлениями многомерной геометрии пространства-времени. Описанные здесь модели просты, построены в довольно грубом приближении, но всё же достаточно хорошо работают при временах, близких к современной эпохе. Они не учитывают иную материю, кроме тёмной энергии; её включение, возможно, могло бы привести к лучшему описанию на бОлыпем временном интервале. Возможность существования более чем одного дополнительного измерения, приводящих к возникновению не единственного эффективного поля в 4-х измерениях, как можно надеяться, может послужить построению более жизнеспособной модели, включающей всю классическую эволюцию Вселенной со времени первичной инфляции. Показано, что модель, рассмотренная в [80], состоятельна только в эйнштейновской конформной картине, и предложена другая модель, пригодная и в эйнштейновской, и в йордановской картинах. В последнем случае вариации гравитационной постоянной G сравнимы по порядку величины с вариациями а, что согласуется с наблюдательными ограничениями, (см. 3.4). Существенно, что предсказание одновременного изменения разных констант, вызванного общей причиной, а именно, изменением размера дополнительных измерений, — это общая черта многомерных теорий. Таким образом, например, возможное в будущем обнаружение измененияG, качественно отличающегося от изменения а, может поставить под сомнение не только модели, рассмотренные здесь, но и всю парадигму многомерной гравитации. И наоборот, открытие схожей эволюции разных констант было бы сильным аргументом в пользу существования дополнительных измерений.

Проведенные исследования, по-видимому, заслуживают продолжения, которое представляется возможным и желательным по всем перечисленным направлениям. Так, весьма интересен, по нашему мнению, вопрос о свойствах и условиях существования кротовых нор с симметриями, отличными от сферической, а именно — с аксиальной и цилиндрической симметриями. В этом направлении имеется достаточно большое количество выполненных работ, начиная с известной статьи Зипоя 1966 года [95] — см., напр., недавние публикации [96,97] и приведенные там ссылки, однако остается и много нерешенных проблем, таких как проблема необходимости нарушения стандартных энергетических условий. При использовании конфигураций с вращением есть определенная надежда получить в рамках ОТО модель кротовой норы без экзотической материи, так как, согласно [97], при построении кротовых нор роль такой материи в принципе способно играть вихревое гравитационное поле.

Для оценки реалистичности тех или иных теоретически построенных кон -89 фигураций важную роль играет исследование их устойчивости относительно различных видов возмущений. Такие исследования проводились для частных случаев решений уравнений поля, описанных в главе 2 — при отсутствии электрических и магнитных полей, см., напр., [63-65] и приведенные там ссылки. Представляется необходимым распространение таких исследований на модели кротовых нор и регулярных черных дыр с электрическими и магнитными полями.

Что касается космологических моделей с описанием вариаций постоянной тонкой структуры и других фундаментальных констант, то, с одной стороны, они нуждаются в уточнении путем включения, помимо тёмной энергии многомерного происхождения, и других наблюдаемых видов материи. Это позволит не только добиться лучшего соответствия моделей с наблюдательными данными, но и охватить описанием более длительный период космологической эволюции, в перспективе — от первичной инфляции до современной эпохи. С другой стороны, модели нуждаются в усовершенствовании за счет более последовательного подхода к включению электромагнетизма в многомерную теоретическую схему в духе Калуцы-Клейиа, согласно которому компоненты электромагнитного 4-потенциала связаны с недиагональными компонентами многомерной метрики.