Содержание к диссертации
Введение
Квантовая электродинамика в радиационно-доминированной Вселенной 18
1 Пространства Робертсона-Уокера 18
2 Формализм S - матрицы в скалярной электродинамике с внешним гравитационным полем 23
3 Матрица рассеяния в спинорной электродинамике с внешним гравитационным полем 31
4 Корпускулярная интерпретация поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера 35
4.1 WKB-решения уравнения Клей на-Гордона 35
4.2 WKB-решения уравнения Дирака 37
5 Точные решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака в ради ационно-доминированной Вселенной 40
5.1 Точные решения уравнения Клейна-Гордона 40
5.2 Точные решения уравнения Дирака 43
Рождение пар в процессе излучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной 45
1 Суммарная вероятность процесса в пространстве Робертсона-Уокера . 45
2 Излучение фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной 50
2.1 Суммармая вероятность процесса 50
2.2 Излучение мягкого фотона из вакуума 52
2.3 Излучение жесткого фотона из вакуума 54
3 Область формирования процесса 57
3.1 Время излучения мягкого фотона 57
3.2 Время излучения жесткого фотона 58
4 Среднее число скалярных пар, рожденных в процессе излуче ния фотона из вакуума 60
4.1 Среднее число пар в конечном состоянии скалярного поля 60
4.2 Рождение пар в процессе излучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной 65
Рождение бозонных пар фотоном 69
1 Суммарная вероятность процесса в пространстве Робертсона-Уокера 69
2 Рождение, фотоном скалярных бозонов в радиационно-доминированной Вселенной 71
2.1 Суммармая вероятность процесса 71
2.2 Рождение бозонов мягким фотоном 73
2.3 Рождение бозонов жёстким фотоном 74
3 Область формирования процесса 76
4 Среднее число скалярных пар, рожденных фотоном 77
4.1 Среднее число пар в конечном состоянии скалярного поля 77
4.2 Среднее число пар рождённых фотоном в радиационно-доминированной Вселенной 80
Излучение фотона заряженной частицей с учётом рождения произвольного числа пар 84
1 Спектр излучения классического электрона, движущегося в радиационно-доминированной Вселенной 84
2 Суммарная вероятность процесса в пространстве Робертсона- Уокера 85
2.1 Излучение фотона заряженным скалярным бозоном . 85
2.2 Излучения фотона электроном 88
3 Излучение фотона заряженной частицей в радиационно-доминировашюй Вселенной 90
3.1 Вероятность процесса излучения фотона скалярным бозоном 90
3.2 Вероятность процесса излучения фотона электроном 92
4 Среднее число пар, рождённых в процессе рассеяния заряженной частицы 96
4.1 Среднее число пар в конечном состоянии скалярного поля 96
4.2 Среднее число пар в конечном состоянии электрон-по-зитронного поля 102
5 Вероятность спонтанного поглощения фотона электроном с рождением произвольного числа пар из вакуума 105
Заключение 111
Литература 114
- Формализм S - матрицы в скалярной электродинамике с внешним гравитационным полем
- Рождение пар в процессе излучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной
- Среднее число пар рождённых фотоном в радиационно-доминированной Вселенной
- Вероятность спонтанного поглощения фотона электроном с рождением произвольного числа пар из вакуума
Введение к работе
Исследование эффектов взаимодействия квантованных полей в искрив ленном пространстве-времени представляет большой общетеоретический ин терес по нескольким причинам. Во-первых, изучение квантовых процессов взаимодействия полей дает возможность оценить в какой мере это взаимо действие стимулирует или подавляет рождение частиц гравитационным по лем по сравнению со случаем свободных полей [1-3]. Во-вторых, неинвари антность теории относительно преобразований группы Пуанкаре приводит к появлению эффектов взаимодействия, запрещенных в пространстве Мин ковского законами сохранения [4-8]. Наконец, в-третьих, сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражения для сечений и вероятностей процессов, разрешенных в плоском пространстве, в них возникают дополни тельные члены, обусловленные влиянием внешнего гравитационного поля, ц вклад которых при определённых условиях становится доминирующим [1-3]. Результаты исследований эффектов взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени имеют важное значение для космологии и астрофизики [9].
Для исследования эффектов взаимодействия используется квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени [10,11]. В рамках этой теории материальные поля рассматриваются как квантованные, а гравитационное поле описывается классической метрикой искривленного пространства-времени. Расчет вероятностей различных переходов системы квантованных полей, происходящих в результате взаимодействия между квантованными полями, проводится по теории возмущений с помощью точных решений релятивистских волновых уравнений во внешнем гравитационном поле. При таком подходе взаимодействие материальных полей с внешним гравитационным полем учитывается точно.
Одним из основных результатов квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени является вывод о том, что определение одночастично-го состояния квантованного массивного поля существенным образом зависит от выбора системы отсчета. Неоднозначность в определении одночастичных состояний в искривленном пространстве-времени приводит к неоднозначности в определении начального и конечного вакуумных состояний квантованного массивного поля. Указанная неоднозначность присуща не только квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, но имеет место и в плоском пространстве-времени Минковского. Однако, в плоском пространстве существуют предпочтительные, инерциальные системы отсчета, связанные с естественной ортогональной системой координат (, x,y,z). В этих системах отсчета определение понятия частицы опирается на инвариантность теории относительно группы Пуанкаре [10]. Времениподобный вектор d/dt, определяющий инерциальную систему отсчета, ортогонален пространствен-ноподобным гиперповерхностям t = const и является генератором группы движений пространства (вектором Киллинга [12]). В плоском пространстве, в качестве одночастичных волновых функций выбираются решения волновых уравнений, являющиеся собственными для вектора Киллинга d/dt с собственным значением —іи (ш 0). При таком определении понятие частицы не зависит от времени и инвариантно, как относительно точечных преобразований пространственных координат, так и относительно преобразований Лоренца. Однако, уже в пространстве Минковского определение понятия частицы не инвариантно относительно произвольных точечных преобразований координат. Например, для взаимно неинерциальных наблюдателей определение понятия частицы будет существенно различным. Впервые это явление было продемонстрировано в работах [13,14] при квантовании скалярного поля в пространстве Минковского в риндлеровских координатах (эффект Фуллинга-Унру)
В произвольном искривленном пространстве-времени группа Пуанкаре уже не является группой изометрий. В общем случае векторы Киллинга, с помощью которых можно было бы определить положительно-частотные ре шения, могут не существовать. В таком пространстве вообще невозможно & определить понятие частицы естественным образом. Однако, если в искрив ленном пространстве существует группа движений, то в нем выбор координат, ассоциируемых с векторами Киллинга, становится предпочтительным. Но даже в том случае, когда естественные координаты существуют, они не имеют в квантовой теории поля того решающего значения, какое имеют в пространстве Минковского галилеевы координаты [11].
. Примером пространств, в которых существуют предпочтительные систе мы отсчета, служат пространства Робертсона-Уокера, описывающие однородные и изотропные модели Вселенной [15]. Изучение квантовых эффектов в пространствах Робертсона-Уокера является одним из наиболее важных приложений квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Как правило, при исследовании квантовых процессов в пространствах Робертсона-Уокера используются синхронные системы координат, сопутствующие движению космологической жидкости, моделирующей крупномасштабную структуру Вселенной [16]. Времениподобное векторное поле, определяющее в пространстве Робертсона-Уокера сопутствующую систему координат, является лишь конформным полем Киллинга [10], что приводит к зависимости понятия частицы от времени.
В виду того, что инвариантная корпускулярная интерпретация квантовой теории с внешним гравитационным полем, зависящим от времени, оказалась невозможной, в литературе, посвященной квантованию полей в ис-. кривленном пространстве-времени, был предложен ряд методов и критериев для определения положительно-частотных состояний. В частности, в работах Л. Паркера [17-19,21] было предложено определять начальные и конечные одночастичные состояния с помощью WKB-решений соответствующих уравнений движения. Определённые таким образом начальное и конечное вакуумные состояния квантованного поля называют адиабатическими [11, гл. 3.5]. В пределе бесконечно медленного изменения масштабного фактора адиабатический вакуум совпадает с вакуумом статического пространства времени. Понятие адиабатического вакуума получило развитие в работах [22-30]. Иная корпускулярная интерпретация квантованного поля во внешнем гравитационном поле, основанная на методе диагонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Боголюбова, была предложена в работах А. А. Гриба, С. Г. Мамаева, В. М. Мостепаненко и некоторых других авторов [31-37]. В рамках этой интерпретации операторами рождения-уничтожения частиц (квазичастиц) в момент времени г]о называются операторы, которые диагонализируют мгновенный гамильтониан квантованного поля в момент т/о [10, гл. 9.3]. В работах [38-43] вакуумное состояние квантованного поля в искривленном пространстве-времени определялось как состояние, минимизирующее полную энергию поля. Как было отмечено в [38], данный метод эквивалентен методу диагонализации мгновенного гамильтониана.
Общие принципы построения теории возмущений по взаимодействию между квантованными полями изложены, например, в [11]. Формализм 5-мат-рицы в квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем, рождающим пары, был подробно исследован в работах И. Л. Бухбиндера, Д. М. Гитмана и Е. С. Фрадкина [44-47] и монографии [48]. Он основан на обобщении обычной техники 5-матрицы на случай искривленного пространства-времени и имеет ряд сходных моментов с методами расчётов квантовых процессов в КЭД с внешним электромагнитным полем [49-52]. Изучение квантовых эффектов в КЭД с внешним гравитационным полем являются естественным продолжением исследований квантовых процессов в КЭД с внешним электромагнитным полем (см., например, [53-57]).
Исследование квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени было начато в работах Л. Паркера, А. А. Гриба и С. Г. Мамаева [17-20, 31, 32], в которых был рассмотрен эффект рождения пар из вакуума свободного квантованного поля зависящими от времени гравитационными полями. В настоящее время детально исследованы процессы рождения пар из вакуума в различных космологических моделях, описываемых метрикой пространства Робертсона-Уокера. Современные достижения в изучении эф М- фектов нулевого порядка по взаимодействию квантованных полей в искрив ленном пространстве-времени отражены в монографиях [10,11].
Результаты, полученные при исследовании эффекта рождения пар из вакуума и вычислении вакуумных средних тензора энергии-импульса свободного квантованного поля, инициировали, исследования квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени в первом порядке по взаимодей ствию [1-8,58-60].
Вакуумные эффекты взаимодействия квантованных полей в искривленном пространстве-времени впервые были рассмотрены в [4,5] (см. также [6]). В [4] исследовался эффект рождения частиц из вакуума в теории скалярного поля с самодействием / = — Хер4, а также процесс рождения фотонов из вакуума в теории электромагнитного поля с самодействием / = hiFuvF11") +b2{ FtlvFtlu) . В [5] был изучен процесс рождения частиц из вакуума в скалярной теории с взаимодействием -С/ = Аі?(Ф ЛФ + Ф Л Ф). Ав-торы работ [4,5] пришли к заключению, что в ряде случаев рождение частиц за счет взаимодействия полей может давать заметный вклад в полное число частиц, рожденных из вакуума. Процесс рождения 7г-мезона и двух фотонов из вакуума в рамках (7г — 27)-модели с взаимодействием / = F F Q рассматривался в [7], где был сделан вывод о том, что при определенных условиях рождение частиц вследствие взаимодействия полей может доминировать над их рождением из вакуума свободного квантованного поля. В [8] " и [2] изучался процесс рождения частиц в скалярной теории с взаимодей ствием i = Хф2ф и / = Хф2ф соответственно (фиф- два различных скалярных поля). Во всех этих работах искривленное пространство-время описывалось конформно-плоской метрикой Робертсона-Уокера с заданным масштабным фактором.
Процесс распада частиц в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера впервые был рассмотрен Фордом [58] на примере распада массивной скалярной частицы в п безмассовых скалярных частиц. Форд показал, что процесс распада частиц в искривленном пространстве-времени в общем случае не инвариантен относительно СРТ - преобразований. Распад массивной частицы (ф) в две безмассовые (ф) нейтральные скалярные частицы вследствие взаимодействия L\ = Хфф2 изучался также в [1,3,59]. Этот процесс разрешен в пространстве Минковского. В [1,3] было установлено, что сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражение для сечения процесса, (в нём появляются дополнительные члены, обусловленные влиянием внешнего гравитационного поля, вклад которых при определённых условиях становится доминирующим). Распад массивной скалярной частицы на два фотона в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера рассматривался в [60] на примере модели 7г — 2 . Общей чертой всех перечисленных работ является то, что рассмотренные в них теории носят исключительно модельный характер.
Изучение эффектов взаимодействия первого порядка в рамках квантовой электродинамики в искривленном пространстве-времени было начато в работах Д. В. Гальцова с сотрудниками [61], К. X. Лоце [62-67], И. Л. Бух-биндера и Л. И. Царегородцева [68-74]. Именно, в [61] был исследован процесс поглощения фотона электроном в поле классической плоской гравитационной волны, в остальных работах рассматривались квантовые эффекты в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера, метрика которого отвечает квазиевклидовой модели радиациошю-доминированной Вселенной.
Рассматривая квантовые эффекты в радиационно-доминированной модели Вселенной, следует отметить, что, вследствие нестабильности вакуума квантованного массивного поля, квантовые процессы в этом искривленном пространстве-времени сопровождаются рождением пар из вакуума. В квантовой электродинамике с нестабильным вакуумом можно, с одной стороны, рассчитывать вероятности переходов системы полей в состояния с фиксированным числом частиц, а с другой - исследовать переходы, сопровождающиеся рождением произвольного числа пар из вакуума. К процессам первого типа относятся, например, эффект рождения фотона и одной электрон-по зитронной пары из вакуума и эффект излучения фотона электроном, вероятности которых были рассчитаны и исследованы в [69-72].
Процесс излучения фотона из вакуума с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар рассматривался в [62,63,73], где было, в частности, показано, что среднее число электрон-позитронных пар, рожденных в указанном процессе, составляет около одного процента от среднего числа пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной из вакуума свободного квантованного поля. Там же были получены оценки для числа рожденных фотонов.
Другим эффектом, детально исследованным в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной, является процесс рождения произвольного числа электрон-позитронных пар фотоном [65,74,75]. Из результатов работ [65, 74, 75] следует, что что данный процесс является СРТ -инвариантным, а также то, что в ранней Вселенной эффект рождения пар вследствие распада фотонов доминировал над эффектом рождения пар из вакуума свободного квантованного поля.
Процесс излучения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения пар из вакуума впервые рассматривался в [64]. В этой работе была вычислена суммарная вероятности процесса, учитывающая, как спонтанное излучение фотонов в процессе рассеяния электрона, так и их рождение из вакуума, индуцированное начальным электроном. Там же была дана оценка полной суммарной вероятности в предположении, что начальный электрон имеет нерелятивистский импульс, а главный вклад в полную вероятность дают мягкие фотоны.
Следует отметить, что эффекты взаимодействия заряженных скалярных частиц с фотонами в искривленном пространстве-времени радиационно-доминированной модели Вселенной остались за рамками цитированных выше работ. В то же время, как было показано в [2,3], спин квантованных полей, взаимодействующих во внешнем гравитационном поле, оказывает существенное влияние на процессы рождения пар в этом поле. Гравитационное поле усиливает рождение бозонных пар и подавляет рождение фермионных пар в процессах взаимодействия.
Научная цель данной диссертационной работы заключается в систематическом изучении квантовых эффектов электромагнитного взаимодействия полей в радиационно-доминированной Вселенной. Задачи научного исследования определены в соответствии с целью работы и заключаются в следующем:
изучить процессы излучения и поглощения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума; рассчитать и детально исследовать суммарные вероятности этих процессов, а также найти точные выражения и получить численные оценки для среднего числа пар, рождающихся из вакуума в указанных процессах;
рассчитать и исследовать спектр излучения классической заряженной частицы, движущейся в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной с целью сравнения результатов классического и кван-товомеханического расчетов;
изучить основные квантовые эффекты первого порядка в скалярной электродинамике в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной; рассчитать и исследовать суммарные вероятности процесса рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума, процесса рождения произвольного числа бозонных пар фотоном и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей с учетом рождения пар из вакуума;
рассчитать среднее число бозонных пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона, а также в процессе излучения фотона скалярной частицей в искривленном пространстве-времени радиационно-доминированной Вселенной; исследовать найденные вы ражения и получить численные оценки для числа рожденных частиц.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Изучен процесс тормозного излучения классической заряженной частицы во внешнем гравитационном поле, отвечающем квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной, найдены и исследованы спектр излучения и интервал когерентности.
2. Развита скалярная теория радиационных процессов первого порядка в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом. Получены общие выражения для суммарных вероятностей трех радиационных процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа пар из вакуума: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей.
3. В рамках скалярной электродинамики в радиационно-доминированной Вселенной исследован процесс излучения фотона из вакуума, сопровождающийся рождением произвольного числа пар; вычислена суммарная вероятность рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума, а также среднее число пар, рождающихся в данном процессе; получено интегральное представление для полной вероятности процесса.
4. В рамках скалярной теории исследован процесс распада фотона в произвольное число пар в радиационно-доминированной Вселенной; вычислена суммарная вероятность процесса и найдены асимптотические представления суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотона; получены точные выражения для среднего числа бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона.
5. Исследован процесс излучения фотона заряженным бозоном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума; вычислена суммарная вероятность спонтанного излучения фотона заряженной скалярной частицей и изучена зависимость вероятности от импульса начального бозона; найдено среднее число пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния скалярной частицы; изучен классический предел суммарной вероятности спонтанного излучения фотона бозоном.
6. В рамках спинорной электродинамики в радиационно-доминированной Вселенной исследованы процессы излучения и поглощения фотона электроном с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума; вычислены точные выражения для суммарных вероятностей спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начальной частицы; получены оценки для среднего числа фотонов, излучаемых из одноэлектронного состояния; найдено среднее число электрон-позитронных пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния электрона.
Научная новизна основных результатов исследования заключается в том, что в работе впервые:
в рамках скалярной КЭД получены общие выражения для суммарных вероятностей трех процессов первого порядка в произвольном конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом, а именно: процесса рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума, процесса рождения произвольного числа массивных пар фотоном и процесса излучения фотона заряженным бозоном учетом рождения пар из вакуума;
в рамках скалярной КЭД рассчитаны и исследованы суммарные вероятности трех процессов первого порядка в радиационно-доминированной Вселенной, а именно: процесса рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума, процесса рождения произвольного числа массивных пар фотоном и процесса излучения фотона заряженным бозоном с учетом рождения пар из вакуума;
в рамках скалярной теории получены и исследованы точные выражения для среднего числа пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессах излучения фотона из вакуума, распада фотона и неупругого рассеяния заряженного бозона во внешнем гравитационном поле;
в рамках спинорной КЭД в радиационно-доминированной Вселенной рассчитана и исследована суммарная вероятность процесса поглощения фотона электроном с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума; вычислено среднее число электрон-позит-ронных пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессе неупругого рассеяния электрона;
вычислен спектр излучения классической заряженной частицы в радиационно-доминированной Вселенной и исследован классический предел процесса излучения фотона электроном в квантовой электродинамике в радиационно-доминированной Вселенной.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 105 наименований. Общий объем составляет 120 страниц, включая 7 рисунков.
Сведения о геометрии пространства, краткое изложение метода 5-мат-рицы в скалярной и спинорной КЭД в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера приводятся в первой главе. Там же рассматриваются WKB-решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака, с помощью которых проводится классификация одночастичных состояний; обсуждается структура WKB-решений в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера; приводятся точные решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака в радиационно-доминированной Вселенной.
Во второй главе рассмотрен процесс рождения фотона и произвольного числа скалярных массивных пар из вакуума. В 1 и 2 получены выражения суммарной вероятности процесса в пространстве Робертсона-Уокера и в ра-диациошю-доминированной Вселенной соответственно. В 2 проведён также анализ зависимости вероятности процесса от энергии излученного фотона и осуществлена оценка среднего числа фотонов, рождённых из вакуума в процессе взаимодействия заряженного скалярного и электромагнитного полей.
В 3 главы определён промежуток времени в течении которого формировался рассматриваемый процесс в радиационно-доминированной Вселенной. В 4 найдены выражения для расчёта полного числа бозонов рождённых в результате излучения фотона из вакуума и осуществлено вычисление этого числа.
Глава 3 посвящена эффекту рождения бозонных пар в результате распада фотона. Вывод выражения вероятности процесса в пространстве Робертсона-Уокера приведён в 1. В 2 эффект рассматривался в радиационно-доминированной Вселенной. Были получены - точное выражение суммарной вероятности процесса, а также приближённые формулы для вычисления вероятности для случаев рождения бозонных пар мягким и жёстким фотонами. В 3 найдены интервалы времени ту, в течение которых происходило формирование процесса рождения бозонных пар мягким и жёстким фотонами в радиационно-доминированной Вселенной.
В 4 определено точное выражение для среднего числа пар бозонов, рожденных при распаде фотона; вычислены приближённые формулы для расчёта числа бозонов рождённых при распаде мягкого и жёсткого фотонов; осуществлена оценка вклада эффекта рождения пар фотоном в полное число частиц, рожденных в процессе взаимодействия полей в ранней Вселенной.
В четвёртой главе исследуются - эффект излучения фотона скалярным бозоном и эффект излучения фотона электроном. Получены выражения вероятностей процессов в пространстве Робертсона-Уокера ( 2) и выражения вероятностей в радиационно-доминированной Вселенной, точные и прибли жённые в зависимости от импульса начальной частицы (3). Вывод формул для вычисления числа пар рождённых в результате излучения фотона заряженным бозоном (электроном) приводится в 4. В 5 рассматривается процесс поглощения фотона электроном.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на на научных семинарах кафедры общей физики Бийского государственного педагогического университета; на научных семинарах кафедры математики Бийского технологического института Алтайского государственного технического университета; на П-ой международной конференции "Quantum Field Theory and Gravity" (Томск, 1997); на 11-ой международной конференции Российского гравитационного общества "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation" (Томск, 2002); на 4-ой международной научно-практической конференции "Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (СибРесурс-4-98)" (Барнаул, 1998); на Ш-ей юбилейной научно-практической конференции Алтайского государственного технического университета (Бийск, 1994).
Основные материалы диссертации опубликованы в работах [77-85]
Формализм S - матрицы в скалярной электродинамике с внешним гравитационным полем
В этой главе приводятся необходимые сведения, касающиеся геометрии пространств Робертсона-Уокера и дается краткая формулировка 5-матрич-ного формализма в скалярной и спинорной КЭД в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. В ней также рассматриваются WKB-решения уравнений Дирака и Клейна-Гордона, с помощью которых проводится классификация одночастичных состояний, обсуждается структура WК -решений в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. В конце главы рассматриваются точные решения уравнений Дирака и Клейна-Гордона в радиационно-доминированной Вселенной.
Радиационно-доминированная модель Вселенной, рассматриваемая в данной работе, является частным случаем пространства Робертсона-Уокера общего вида. Эти пространства имеют фундаментальное значение в релятивистской космологии, поскольку описывают пространственно однородные и изотропные модели Вселенной [15]. Рассмотрим геометрию пространства Робертсона-Уокера.
Как известно [12, 5.3], пространство-время (Ж,д), где М-связное четы рехмерное гладкое многообразие, -метрика сигнатуры (+ — ), назы вается пространством Робертсона-Уокера (или Фридмана), если оно допус кает 6-параметрическую группу движений с поверхностями транзитивности (однородности) в виде пространственноподобных 3-поверхностей постоянной кривизны. В пространственно-временном многообразии Ж Робертсона-Уо кера можно ввести полугеодезические координаты, базой которых служит одна из гиперповерхностей однородности, при этом гиперповерхности одно родности, отличные от базовой, будут эквидистантными по отношению к ней. Если выбрать эти поверхности в качестве координатных гиперповерхностей времени х = t = const и определить временную координату t как длину s геодезической линии (ортогональной к гиперповерхностям однородности), отсчитываемую от базовой гиперповерхности, то полученная система отсчета будет синхронной, а время -собственным временем в каждой точке 3-пространства [86, 97]. Физический смысл построенной синхронной системы отсчета заключается в том, что в однородной и изотропной Вселенной эта система является системой отсчета, сопутствующей движению "космологической жидкости", которая моделирует крупномасштабную структуру Вселенной [16, 27.2]. В сопутствующей системе отсчета метрика пространства Робертсона-Уо-кера в общем случае имеет вид [И, 5.1], [10, 9.1] В (1.1)-(1.3) координаты x? 9, « -безразмерные, а функция a(t), называемая масштабным фактором или коэффициентом расширения, имеет размерность длины. При К = 1 и К = — 1 метрика (1.1)-(1.3) описывает пространство Роберт-сона-Уокера с замкнутыми и гиперболическими пространственными сечениями (гиперповерхностями однородности) соответственно. Подробное описание свойств метрики Робертсона-Уокера при К = 1 и К = — 1 и ее приложения в релятивистской космологии см., например, в [86, 111-113] и [16, 27].При К = 0 гиперповерхности t = const являются гиперплоскостями. В этом случае 3-пространство плоское, и метрика (1.1)-(1.3) представляет собой метрику трехмерного евклидова пространства, записанную в сферических координатах: В декартовых координатах метрика плоского пространства имеет вид Метрику (1.1), где dl2 описывается формулой (1.4), называют квазиевклидовой. Вместо синхронного времени t часто используется безразмерная переменная времени г}, которую называют конформным временем При использовании конформного времени ту метрика (1.1)-(1.3) имеет конформно-статический вид то есть отличается от статической метрики ds2 лишь конформным множителем а2(г)). Пространство Робертсона-Уокера с плоскими пространственными сечениями (К = 0) является не только конформно-статическим, но и конформно--плоским. Это означает, что метрический тензор пространства Робертсона-Уокера удовлетворяет соотношению
Рождение пар в процессе излучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной
Процесс излучения фотона из вакуума является простейшим процессом взаимодействия квантованных полей в скалярной электродинамике в искривленном пространстве-времени. Его исследование позволит изучить влияние взаимодействия между квантованными полями на эффект рождения пар из вакуума внешним гравитационным полем. В спинорной КЭД процесс излучения фотона из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной исследовался в [62,63,70-72].
Суммарная вероятность процесса в пространстве Робертсона-Уокера Рассмотрим процесс рождения фотона и произвольного числа скалярных массивных пар из вакуума в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера общего вида. Пусть начальное состояние системы квантованных полей является вакуумным, где кет-векторы 0 ;гп) и 0 ) обозначают бозонный и фотонный вакуум соответственно. В результате взаимодействия система переходит в конечное состояние, которое характеризуется наличием п скалярных массивных пар и одного фотона с импульсом к и поляризацией j. Конечное состояние описывается вектором Здесь a,p{(out) - операторы рождения скалярных частиц с импульсами р,- в out- состоянии скалярного поля, b+.(out) - операторы рождения античастиц с импульсами q в out- состоянии, с - оператор рождения фотона с импульсом к и поляризацией j (для фотонов in- и out- состояния совпадают). Вероятность перехода системы из начального состояния (2.1) во все конечные состояния вида (2.2), в которых электромагнитное поле описывается вектором (2.4), а состояние массивного поля может быть произвольным, запишется в виде где S - матрица рассеяния. Начальные и конечные состояния системы квантованных полей удовлетворяют условию полнотыf f n.{n + m). (2.6) где Pn, d ; t) - вектор in- или out- состояния скалярного поля, которое содержит п парных частиц с набором квантовых чисел Рп и т не парных частиц с зарядом и набором квантовых чисел du /)-вектор состояния электромагнитного поля. Учитывая соотношения полноты (2.6) и используя нормированные векторы состояния, вероятность (2.5) можно переписать в виде где \Рп; in) обозначает гп-состояние системы квантованных полей, содержащее п бозонных пар, Pn; in) = о+ (m)6+ (in)... а+(tn)b+(tn)0W; in) (2.8) В квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем выражение (2.7) впервые было рассмотрено в [1-3]. Следуя терминологии работы [1], мы будем называть вероятность (2.7) "суммарной" (added-up probability). Из (2.7)-(2.8) следует, что в низшем (первом) порядке теории возмущений по радиационному взаимодействию суммарная вероятность излучения неполяризованного фотона из вакуума запишется в виде где оператор рассеяния первого порядка S 1) имеет вид Здесь (х) - 4-вектор плотности тока заряженного скалярного поля, взаимодействующего с электромагнитным полем, в представлении взаимодействия с внешним гравитационным полем. Подставим в (2.9) выражение (2.10). Отличные от нуля спаривания бозон-ных операторов рождения и уничтожения частиц с полевыми операторами скалярного поля записываются в виде где +(fp{x) - одночастичные решения уравнения Клейна-Гордона вида (1.101). Вычисляя вакуумные средние в (2.9) по теореме Вика и используя соотношения (2.11)-(2.14), найдем, что в сумме по п только одно слагаемое при п = 1 будет отлично от нуля. Принимая во внимание, что вакуумные средние, содержащие нечетное число операторов электромагнитного поля равны нулю, мы получим [80] 3=0 P,q Здесь +(fp(x) и -(рч(х) - точные решения уравнения Клейна-Гордона вида (1.101), р и q - импульсы рожденных частиц. Заметим, что при вычислении суммарной вероятности (2.15) нами используется нормировка векторов состояния на одну частицу в ящике с объемом V. Диаграмма процесса представлена рис. 2.1.
Среднее число пар рождённых фотоном в радиационно-доминированной Вселенной
В данной главе параллельно рассматриваются два процесса - процесс излучения фотона заряженным скалярным бозоном и процесс излучения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной. Впервые излучение фотона частицей в рамках КЭД, конформно-связной с внешним гравитационным полем было рассмотрено для спинорного случая в работах [64,69,77]. 1 Спектр излучения классического электрона, движущегося в радиационно-доминированной Вселенной Получим выражение спектра излучения классического электрона, движущегося в радиационно-доминированной Вселенной [83], которое потребуется нам в дальнейшем. Спектральное распределение энергии, излучаемое частицей, которая движется по заданной траектории в конформно-плоском прстранстве Робертсона Уокера, определяется выражением (см. задачу к 66 в [86]) а интегрирование в (4.2) проводится вдоль мировой линии частицы. Подставим закон движения частицы [101] в выражения (4.2) для 4 - вектора плотности тока, затем сделаем в них замену переменной интегрирования 85 и перейдём к безразмерным величинам к и р , разделив импульсы к и р на параметр ро = V2mb. Используя определение функций Макдональда %iV(z), а также соотношение (7.11.(25)) из [93], найдём, что фурье-компоненты вектора тока имеют вид (штрих опускаем) Вычисляя квадрат модуля 4 - вектора j fo), окончательно будем иметь 2 Суммарная вероятность процесса в пространстве Робертсона-Уокера Рассмотрим сначала процесс излучения фотона заряженным скалярным бозоном в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. 2.1 излучение фотона заряженным скалярным бозоном Начальное состояние системы квантованных полей содержит в себе бозон с импульсом р, В результате взаимодействия система переходит в конечное состояние, которое характеризуется наличием одного бозона с импульсом q, п скалярных массивных пар и одного фотона с импульсом к и поляризацией j. Конечное состояние описывается вектором вектор k, j) описывается выражением (2.4). Исходное выражение для суммарной вероятности излучения неполяризо-ванного фотона заряженной скалярной частицей в низшем порядке теории возмущений по радиационному взаимодействию в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера имеет вид Подставляя явный вид оператора S - выражение (2.10) в (4.11) и вычисляя вакуумные средние, найдём, что в низшем порядке теории возмущений суммарная вероятность излученного фотона заряженной скалярной частицей запишется в виде Легко видеть, что выражение (4.13) совпадает с суммарной вероятностью процесса рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума (3.5) Второе слагаемое, Me7(k р) - вероятность спонтанного излучения фотона заряженным бозоном, с учётом рождения пар из вакуума, Таким образом, результаты расчётов показывают, что в терминах гп-час-тиц процесс излучения фотона из однобозонного состояния представляет собой сумму двух процессов, диаграммы которых представлены на рис. 4.1. In-in -диаграммы, определяющие суммарную вероятность излучения фотона из одно-бозонного состояния в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. а)рождение фотона и бозонной пары из вакуума, сопровождающееся рассеянием вперёд начального бозона; Ь)спонтанное излучение фотона бозоном во внешнем гравитационном поле. Один из них (рис. 4.1а) - состоит в том, что начальный бозон переходит в сш-состояние системы без излучения фотона (упруго рассеивается вперёд), при этом из вакуума рождается фотон и бозонная пара. Другой процесс (рис. 4.lb) это собственно процесс спонтанного излучения фотона бозоном, или тормозное излучение бозона во внешнем гравитационном поле. Фотоны излученные в этих двух процессах, протекающих одновременно, физически неразличимы, поэтому вероятность We7(k р) должна учитывать вклад каждого из них. Так как вероятность излучения фотона из вакуума W7(k0), была подробно изучена ранее во второй главе, обратимся к вычислению вероятности излучения фотона бозоном Me7(k р). Выполнив суммирование по поляризациям излученного фотона и используя свойства решений ±(рр(х) уравнения Клейна-Гордона в ранней Вселенной, выражение (4.15) можно представить в виде.
Вероятность спонтанного поглощения фотона электроном с рождением произвольного числа пар из вакуума
В заключении сравним вероятность излучения с вероятностью поглощения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной. Пусть р - импульс начального электрона, к - импульс фотона, qi и qi - импульс электрона отдачи в процессе излучения и процессе поглощения, соответственно. Из (4.48) и (4.120) следует, что отношение дифференциальной вероятности процесса излучения к вероятности процесса поглощения фотона электроном будет равно
Соотношения (4.127) и (4.128) показывают, что процессы излучения и процессы поглощения фотонов электронами в радиационно-доминированной Вселенной конкурируют друг с другом в различных кинематических областях. Если импулс начального электрона р ф 0, то вероятность излучения фотона с энергией ко р во много раз больше, чем вероятность его поглощения. В то же время процессы поглощения жёстких фотонов электронами доминирует над процессами их излучения.
В диссертации, в рамках скалярной электродинамики с внешним гравитационным полем, рассмотрены некоторые эффекты взаимодействия квантованных полей в радиационно-доминированной Вселенной. В ней так же подробно изучен процесс излучения (и поглощения) фотона дираковским электроном, движущимся в радиационно-доминированной Вселенной.
Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем. 1. Изучен процесс тормозного излучения классической заряженной частицы, свободно движущейся в радиационно-доминированной Вселенной, найдены и исследованы спектр излучения и интервал когерентности классического электрона. В частности, показано, что величина интервала когерентности определяется значением параметра рко, где р - импульс частицы, ко - частота излучения. Если рко «С 1, то время излучения пропорционально длине излучаемой волны, при рко 1 интервал когерентности пропорционален р. 2. На примере произвольного пространства Робертсона-Уокера с плоскими пространственными сечениями найдены общие выражения для суммарных вероятностей трех радиационных процессов первого порядка, сопровождающихся рождением произвольного числа скалярных массивных пар из вакуума. Рассчитаны вероятности процесса излучения фотона и произвольного числа скалярных пар из вакуума, процесса рождения произвольного числа скалярных пар фотоном и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей. 3. Изучен процесс излучения фотона и произвольного числа скалярных пар из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной; вычислены и исследованы выражения для суммарной вероятности процесса и среднего числа пар, рождающихся в данном процессе. Получены численные оценки для среднего числа фотонов и среднего числа скалярных пар, рождающихся из вакуума в процессе взаимодействия. Число фотонов, рождающихся из вакуума, составляет приблизительно 0.2% от полного числа пар, рождающихся из вакуума свободного скалярного поля, а среднее число пар, рождающихся в процессе, примерно на 20% превышает число рожденных фотонов. 4. Исследован процесс распада фотона в произвольное число скалярных массивных пар в радиационно-доминированной Вселенной; вычислена суммарная вероятность процесса и найдены асимптотические представления суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотона; получены точные выражения для среднего числа бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона. 5. Исследован процесс излучения фотона заряженным бозоном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума. Вычислена суммарная вероятность спонтанного излучения фотона заряженной скалярной частицей и изучена зависимость вероятности от импульса начального бозона. Показано, что в квазиклассическом пределе спектр излучения частицы совпадает со спектром излучения классического электрона, движущегося в радиационно-доминированной Вселенной. Найдено и исследовано выражение для среднего числа пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния скалярной частицы. 6. В рамках спинорной электродинамики в радиационно-доминированной Вселенной исследованы процессы излучения и поглощения фотона электроном с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума. Показано, что процесс излучения (поглощения) фотона из одноэлектронного состояния складывается из спонтанного процесса излучения (поглощения) фотона электроном и процесса излучения фотона из вакуума (процесса распада фотона), индуцированного начальной частицей. Вычислены точные выражения для суммарных вероятностей спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начальной частицы; найдено среднее число электрон-позитронных пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния электрона. Полученные результаты и оценки эффектов взаимодействия частиц в искривленном пространстве-времени могут найти применение в космологии и астрофизике. В заключении мне хотелось бы исполнить приятный долг и выразить глубокую признательность своему научному руководителю Царегородцеву Леониду Иллириковичу за большую помощь, оказанную мне при написании работы.
