Канонический формализм для описания гравитации в виде теории вложения и для теории поля на световом фронте Пастон Сергей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 О каноническом формализме 18

1.1 Механические системы со связями 18

1.2 Значение для квантования 23

1.3 Системы с симметрией относительно перепараметризации времени 27

1.4 Случай теории поля 31

2 Формализм теории вложения 38

2.1 Описание поверхности в плоском пространстве 38

2.2 Связность и ковариантное дифференцирование 41

2.3 Проекторы и вторая основная форма поверхности 43

2.4 Кривизна 45

2.5 Форма объема 47

2.6 Описание подмногообразий 49

2.7 Случай гиперповерхности 51

2.8 Связь вторых основных форм 52

2.9 Использование формализма для доказательства некоторых формул 53

3 Описание гравитации в виде теории вложения 59

3.1 Проблемы стандартного подхода к описанию гравитации 59

3.2 Использование вложения для описания гравитации 61

3.3 Уравнения движения теории вложения 67

3.4 Эйнштейновские связи 71

3.5 Сравнение уравнений теории вложения с уравнениями Эйнштейна 73

3.6 "Лишние" решения в теории вложения 77

Канонический формализм для теории вложения 85

4.1 Возможные варианты 85

4.2 Случай дополнительного наложения эйнштейновских связей 87

4.3 Алгебра связей 91

4.4 Действие теории 96

4.5 Обсуждение существования дополнительных связей первого рода 100

4.6 Переход к внешнему времени 102

5 Теория разбиения 106

5.1 Гравитация как теория поля 106

5.2 Переменные теории 108

5.3 Действие теории 112

5.4 Уравнения движения 116

5.5 Канонический формализм и дальнейшее развитие 122

6 Построение явных вложений 125

6.1 Цели и история 125

6.2 Метод построения поверхностей с заданной симметрией 129

6.3 Вложения метрик моделей Фридмана

6.3.1 Закрытая модель 133

6.3.2 Открытая модель 135

6.3.3 Пространственно-плоская модель

6.4 Классификация поверхностей с симметрией (3)

6.5 Вложения в шестимерное пространство 151

6.6 Глобальные вложения метрик невращающихся черных дыр

6.6.1 Невращающиеся черные дыры с горизонтами 157

6.6.2 Гиперболические вложения 160

6.6.3 Спиральные вложения 162

6.6.4 Экспоненциальные вложения 164

6.6.5 Кубические вложения 166

6.6.6 Результаты 167

7 Соответствие между эффектами Хокинга и Унру в теории вложения 169

7.1 Соответствия квантовых эффектов 169

7.2 Эффекты Хокинга и Унру 171

7.3 Тривиальное соответствие между эффектами Хокинга и Унру 175

7.4 Соответствие между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений 176

7.5 Примеры отсутствия соответствия 179

7.6 Общий вид гиперболического вложения метрики с горизонтом 182

7.7 Доказательство существования соответствия 184

7.8 Анализ контрпримеров 188

7.9 Поверхности, на которых двухточечные функции определяются объемлющим пространством 191

8 "Исправленный" канонический формализм на световом фронте в квантовой теории поля 196

8.1 Каноническое квантование в координатах светового фронта 196

8.2 "Исправление" квантового канонического гамильтониана на с. ф. 201

8.3 Случай неабелевой калибровочной теории 207

8.4 Действие теории на поперечной решетке 209

8.5 Фейнмановская теория возмущений при наличии поперечной решетки 215

8.6 Продольные ультрафиолетовые расходимости 220

8.7 Анализ нерасходящихся диаграмм 222

8.8 Схема процедуры перенормировки 229

9 Непертурбативный расчет спектра масс двумерной КЭД 232

9.1 Массивная модель Швингера 232

9.2 Отсутствие УФ расходимости

2 9.2.1 Анализ общей расходимости в порядках выше второго 235

9.2.2 Анализ расходимости во втором порядке 239

9.2.3 Отсутствие расходимости поддиаграмм

2 9.3 Идея проведения "исправления" гамильтониана на с. ф. 241

9.4 Отличия при конечных - 244

9.5 Сравнение светоподобной и лоренцевой теорий возмущений 246

9.6 Снятие промежуточной УФ регуляризации 249

9.7 Возврат к фермионным переменным 251

9.8 Вычисление спектра масс связанных состояний 254

9.9 Результаты вычислений 2 9.9.1 Случай в = в = 0 258

9.9.2 Случай в = в = 7г 263

9.9.3 Случай промежуточных значений в 264

9.10 Обсуждение 267

Заключение 269

Литература

• Системы с симметрией относительно перепараметризации времени
• Проекторы и вторая основная форма поверхности
• Уравнения движения теории вложения
• Действие теории

Введение к работе

Актуальность темы исследования.

Одной из фундаментальных проблем современной теоретической физики, к настоящему времени остающихся нерешенными, является проблема построения квантовой теории гравитации. Прежде всего она необходима для создания единой картины, описывающей все известные взаимодействия. Хотя встречается и точка зрения, что гравитация, тесно связанная с геометрией, занимает настолько особое место, что ее квантовать не обязательно, попытки построения картины мира, включающей проквантованную материю и остающуюся классической гравитацию наталкиваются на серьезные противоречия, см., например, обзор []. Будучи построена, квантовая гравитация должна позволить описывать процессы, происходящие при большой плотности материи, а значит, в том числе, и происходившие на ранних этапах развития вселенной, что необходимо для понимания природы ее возникновения. С оптимистической точки зрения можно даже надеяться, что появление квантовой гравитации может устранить те внутренние трудности, которые присутствуют как в теории гравитации (сингулярности), так и в квантовой теории поля (ультрафиолетовые расходимости) [].

Поскольку попытки квантования гравитации в форме ОТО в стандартных переменных (метрика или тетрада) до настоящего времени не привели к построению общепризнанной квантовой теории гравитации (на данный момент, наверное, все же нельзя считать таковыми известных главных претендентов на это звание – петлевую теорию гравитации и теорию суперструн, см. []), представляет интерес исследование альтернативных формулировок теории гравитации, возможно, более пригодных для квантования. Рассмотрение альтернативных формулировок могло бы обладать дополнительным преимуществом, если бы в их рамках удалось объяснить эффекты, приписываемые в настоящее время существованию темной материи, природа которой все еще остается неясной.

Одной из таких альтернативных формулировок является упомянутая выше теория вложения. Плоский фон, естественно появляющийся при таком подходе, может облегчить квантование теории, а решения возникающей теории, отличающиеся от решений уравнений Эйнштейна, необходимо протестировать на возможность их интерпретации как соответствующих наличию темной материи. На пути к квантованию гравитации в форме теории вложения (прямое исследование самого квантования выходит за рамки темы данной диссертации) необходимо исследовать канонический формализм для этой теории. Для лучшего понимания перспектив квантования теории вложения полезно также исследовать возможные случаи связи между квантовыми эффектами на поверхности вложения и в плоском объемлющем пространстве. Поскольку положительный опыт квантования всех взаимодействий кроме гравитационного

имеется при формулировке теории в виде некоторой теории поля в плоском пространстве, является также полезным записать именно в такой форме и теорию вложения.

Еще одной из важнейших нерешенных проблем теоретической физики является описание квантовой теории поля при большой константе связи, где неприменима теория возмущений (т. в.), что актуально для КХД при низких энергиях. Существующие непертурбативные методы расчета все еще не могут обеспечить достаточно высокой точности и (в особенности это касается вычислений с использованием решеток) являются весьма трудоемкими. Поэтому представляет интерес исследование непертурбативных методов, при использовании которых есть основания надеяться на достаточно быстрое получение хороших результатов. Одним из таких методов является вышеупомянутое каноническое квантование на с. ф. (см. обзоры [, ]), аргументом в пользу которого является простота описания физического вакуума.

До какого-то времени в рамках такого подхода не проводилось какой-либо проверки соответствия возникающей теории на с. ф. и исходной лоренц-ковариантной теории, хотя примеры показывают, что между этими теориями могут возникать отличия, заметные даже в низших порядках т. в. [,]. Метод проведения указанной проверки был предложен в [,] и представляет интерес изучить, к каким результатам приводит его применение при проведении непертурбативного расчета спектра масс, в особенности при больших константах взаимодействия, при которых т. в. заведомо неверна. Это особенно интересно, поскольку указанный метод использует т. в. и возможность с его помощью выйти из области ее применимости будет говорить о хороших перспективах при его дальнейшем применении.

Разработанность темы исследования.

После работы Т. Редже и К. Тейтельбойма [26] (1975), в которой было предложено описание гравитации в виде теории вложения, и вышедшей вскоре после нее, критически ее осмысливающей, статьи С. Дезера с соавторами [35] (1976), различные варианты теории вложения использовались для описания гравитации М. Павшичем [] (1985), В. Тапиа [] (1989), М. Майа [] (1989), И. Бандосом [] (1997) и другими авторами. Ссылки на большое количество работ по этой тематике можно найти в обзоре []. Многие вопросы теории вложения, в том числе и ее квантование, а также возможные следствия для космологии, обсуждались в серии работ А. Дэвидсона с соавторами (1996-2005, [–] и др.). Сравнительно недавно новый вариант описания гравитации на основе теории вложения был предложен Л.Д. Фадде-евым [] (2011), где в качестве независимых переменных было предложено использовать не саму функцию вложения, а ее производные. В диссертации исследование уравнений теории вложения проводится в главе 3 с использо-5

ванием формализма, изложенного в главе 2. В главе 5 предлагается новый вариант теории вложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве.

Исследовались различные подходы к каноническому описанию теории вложения [, , , ], дополнительной сложностью для развития которых является наличие высших производных по времени в исходном действии теории. В исходной работе [26] была сделана попытка записать канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением связей, приводящих к отсутствию лишних решений. Однако корректно это не было сделано из-за ошибки, допущенной при записи одной из связей. В диссертации правильный вид связей найден в главе 4, посвященной каноническому формализму теории.

При исследовании теории вложения среди прочих возникает задача поиска явного вида вложений для физически интересных решений теории гравитации, например для решений Фридмана и метрик черных дыр. Эту проблему начали изучать еще задолго до появления теории вложения, рассматривая ее как математическую задачу, решение которой может помочь классифицировать римановы пространства и помочь исследовать их структуру. Для решений Фридмана явный вид вложений в плоское 5-мерное пространство был найден Робертсоном [] (1933), для метрики Шварцшильда вложения в плоское 6-мерное пространство были предложены Казнером [] (1921), Фрон-сдалом [] (1959) и др., однако какого-либо регулярного метода построения вложений известно не было. Также не было известно ни одного вложения для метрики заряженной черной дыры, гладкого при всех значениях радиуса. Решению этих проблем посвящена глава 6 диссертации.

В работах С. Дезера и О. Левина [–] (1997-1999), а также в большом количестве последовавших за ними работ, было замечено, что для многих вложений пространств с горизонтом, в первую очередь – для черных дыр, параметры излучения Хокинга совпадают с параметрами излучения Унру, возникающего из-за того, что покоящийся относительно черной дыры наблюдатель с точки зрения объемлющего пространства оказывается движущимся равноускоренно. Этот факт может говорить о наличии связи между квантовыми эффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве. Аналогичная связь обнаруживается также при сравнении двухточечных функций Вайтмана и функций Грина [–]. В главе 7 диссертации изучается, какими свойствами должны обладать используемые вложения, чтобы указанные связи возникали.

Использование канонического квантования в координатах с. ф. [] в качестве непертурбативного описания моделей квантовой теории поля, несмотря на имеющиеся в этом подходе трудности, продолжает привлекать к себе

внимание в течение длительного времени. Это связано с существенным преимуществом подхода, заключающемся в простоте описания вакуумного состояния []. Следует отметить, что аналогичный канонический подход в лорен-цевых координатах к заметному успеху не приводит [,].

Кроме указанного преимущества, переход к квантованию в координатах с. ф. приносит и дополнительные трудности, связанные с тем, что с. ф. является характеристической поверхностью уравнений теории и возникает дополнительная "светоподобная" сингулярность, регуляризация которой нарушает лоренцеву симметрию, см. обзор []. Многие интересные результаты были получены при использовании регуляризации этой сингулярности, заключающейся во введении периодических граничных условий по светоподобному направлению ^- [,60]. Такая регуляризация (ее использование обычно называют "методом дискретизованного квантования на световом фронте", DLCQ в англоязычной литературе) дополнительно удобна тем, что для калибровочных теорий она оказывается калибровочно-инвариантной.

Данным методом исследовался как ряд двумерных моделей (так называемая модель "синус-Гордон" [], модель Юкавы [], двумерная квантовая электродинамика (КЭД) [], двумерная КХД []), так и реалистичные четырехмерные калибровочные теории – КЭД и КХД. Среди большого количества работ, посвященных этим последним теориям, можно отметить работы [–]. Для калибровочных теорий было замечено, что при каноническом квантовании на с. ф. оказывается необходимым использовать калибровку _- = 0 или близкие к ней, в противном случае в теории возникают связи второго рода, при решении которых нужно обращать ковариантную производную _- = _- +_- [,60]. Общее количество работ, посвященных квантованию теории поля в координатах с. ф. очень велико, см. обзоры [, ] и цитированную там литературу.

Как уже упоминалось выше, теория, возникающая в результате квантования на с. ф., может оказаться неэквивалентна исходной теории в лоренцевых координатах [,] и был предложен метод проверки такой эквивалентности (а также, при необходимости – "исправления" теории) путем анализа, проводимого во всех порядках т. в. [, ]. Метод был успешно применен к скалярной теории и модели Юкавы [,], к двумерной КЭД [,], а также к четырехмерной КХД [,], однако полученный гамильтониан КХД на с. ф. оказался очень сложным и содержащим большое количество неопределенных параметров. Возможность преодоления этой трудности обсуждается в главе 8. В главе 9 рассматривается применение указанного метода к двумерной КЭД на пути, позволившем снять регуляризацию в результирующем гамильтониане на с. ф., и проводится непертурбативный расчет спектра масс теории.

Целями данной работы являются исследование, в том числе с помощью канонического формализма, подхода к описанию гравитации в рамках теории вложения, а также дальнейшая разработка предложенного в кандидатской диссертации автора метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте. В теории вложения предполагается, что искривленное четырехмерное пространство-время является поверхностью в плоском пространстве большего числа измерений, что делает данный подход к описанию гравитации потенциально более пригодным для квантования. Канонический гамильтониан на с. ф. можно использовать для проведения непертурба-тивных расчетов спектра масс теории, что актуально при больших константах взаимодействия, но, поскольку теория на с. ф. может отличаться от исходной теории в лоренцевых координатах, перед таким использованием необходимо проводить "исправление" этого гамильтониана.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.

Разработать математический формализм, удобный для проведения вычислений в теории вложения.

Провести сравнение уравнений движения теории вложения с уравнениями Эйнштейна и исследовать условия существования "лишних" решений, уравнениям Эйнштейна не удовлетворяющих.

Построить канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей и найти образуемую ими алгебру, доказав таким образом, что они по классификации Дирака являются связями первого рода.

Сформулировать вариант теории вложения, имеющий вид некоторой теории поля в плоском объемлющем пространстве.

Разработать регулярный метод построения явных вложений для римано-вых пространств, обладающих достаточно большой симметрией.

Исследовать, при каких свойствах используемых вложений возникает связь между квантовыми эффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве, в частности – соответствие между эффектами Хокинга и Унру.

Исследовать возможность применения метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте при проведении вычислений для четырехмерных калибровочных теорий.

Построить "исправленный" канонический гамильтониан на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, позволяющий явно перейти к пределу снятия используемой ультрафиолетовой регуляризации.

Провести на основе такого гамильтониана непертурбативный расчет спектра масс теории и сравнить его с известными результатами решеточных расчетов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Доказано, что для теории вложения достаточно только в начальный момент времени наложить эйнштейновские связи, для того чтобы решение уравнений теории оказалось также решением уравнений Эйнштейна.

2. Найден правильный вид связей, возникающих при каноническом описании теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей.

3. Доказано, что эти связи образуют алгебру связей первого рода, найден явный вид этой алгебры.

4. Предложен новый вариант теории вложения (теория разбиения), имеющий вид теории (N — 4)-компонентного скалярного поля в плоском объемлющем TV-мерном пространстве Минковского. Доказано, что при выполнении уравнений движения такого поля поверхности постоянных значений поля удовлетворяют обычным уравнениям теории вложения.

5. Предложен регулярный метод построения поверхностей, обладающих заданной симметрией. С его помощью можно строить явные вложения римановых пространств с заданной метрикой, если они обладают достаточно большой симметрией.

6. С помощью этого метода проведена классификация всех четырехмерных поверхностей, обладающих группой симметрии невращающихся черных

дыр 5*0(3) х Т¹.

7. Найдены достаточные условия существования соответствия между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений.

8. Построен "исправленный" канонический гамильтониан на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, удобный для проведения непертурбативных расчетов.

9. С помощью непертурбативного вычисления спектра масс на основе этого гамильтониана и сравнения полученных результатов с известными результатами решеточных расчетов доказано, что полученный гамильтониан правильно описывает исходную лоренц-ковариантную теорию при всех значениях константы взаимодействия теории.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основаны на результатах, полученных впервые.

Разработанный в главе 2 формализм теории вложений может быть полезен как при проведении вычислений в теориях, использующих изометрические вложения (например – в теории бран), так и при доказательстве связанных с описанием подмногообразий формул римановой геометрии.

Идея наложения эйнштейновских связей предложена в работе [26], но тот факт, что их достаточно наложить только в начальный момент времени – доказан впервые. Проведенный анализ уравнений теории вложения оказывается полезен при обсуждении возможности интерпретации "лишних" решений уравнений теории вложения как эффекта темной материи.

Попытка записать канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей была предпринята тоже в работе [26], однако из-за допущенной ошибки одна из связей была записана неверно, что также не позволило доказать их замыкание. Таким образом, правильный вид связей получен впервые, равно как и вид образуемой ими алгебры. Полученные результаты позволяют поставить вопрос о виде алгебры связей для соответствующей квантовой теории. Как известно, вопрос о замыкании квантовой алгебры связей в рамках ОТО все еще остается до конца не исследованным, поэтому полезно изучить его для теории вложения, где наличие плоского объемлющего пространства может сыграть положительную роль.

Формулировки теории вложения в виде какой-либо теории поля в плоском пространстве ранее не существовало, такая формулировка – теория разбиения – предложена впервые. Возможность записать гравитацию в виде некоторой теории поля делает теорию гравитации более похожей на теории всех прочих взаимодействий и может дать определенные преимущества при квантовании, например – вследствие возможности обычным образом сформулировать принцип причинности.

Построение явных вложений для чем-либо интересных римановых пространств ранее чаще всего проводилось без использования каких-либо специальных методов, вид вложения просто угадывался, а в случае, когда какой-то метод использовался (в работе []), он оказался недостаточно универ-

сальным. Таким образом, впервые предложен регулярный метод построения явных вложений, пригодный для римановых пространств с достаточно большой симметрией. С его помощью, в частности, впервые построена классификация поверхностей, обладающих симметрией невращающихся черных дыр (3) ¹, на основе чего уже удалось построить как все известные, так и ряд новых вложений таких черных дыр.

Проверка наличия соответствия между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений до сих пор проводилась отдельно для каждого конкретного вложения. Впервые удалось доказать, что для широкого класса вложений такое соответствие всегда существует. Полученный результат позволяет для всех вложений из этого класса анализировать термодинамические свойства пространств с горизонтами с использованием таких вложений.

Полученные в главе 8 новые результаты анализа теории возмущений для калибровочной теории с поперечной решеткой могут оказаться полезны при построении "исправленного" гамильтониана КХД на с. ф., пригодного для проведения непертурбативных расчетов.

Выражение для "исправленного" канонического гамильтониана на с. ф. для двумерной квантовой электродинамики, построенное в главе 9, получено впервые. Проведенный с его использованием непертурбативный расчет спектра масс теории является первой численной проверкой метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на с. ф. Хорошее совпадение полученных результатов с известными результатами решеточных расчетов в широком диапазоне изменения константы взаимодействия подтверждает, что данный метод может успешно использоваться в качестве способа непертур-бативного вычисления и его применение для КХД может дать интересные результаты после преодоления трудностей, имеющихся на этом пути.

Таким образом, в диссертации решена научная проблема классического канонического описания гравитации в рамках теории вложения искривленного пространства-времени в плоское объемлющее пространство, что является важным шагом для понимания особенностей квантования теории гравитации в таком подходе. Предложен новый метод построения поверхностей с заданной метрикой. Также в диссертации получило дальнейшее развитие предложенное ранее автором новое направление, заключающееся в построении корректного канонического гамильтониана на с. ф. с помощью процедуры его "исправления".

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением корректных математических методов и использованием теоретически и экспериментально установленных принципов теории гравитации и квантовой теории поля. Результаты докладывались на конференциях и семинарах, они опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и цитируются

в работах других авторов.

Публикации и личный вклад автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах [1-25], из них 22 работы [1-22] в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или "SCOPUS" и включенных в перечень ВАК. Большая часть этих работ написана диссертантом в соавторстве с его учениками или без соавторов. Вклад диссертанта во все выносимые на защиту результаты является определяющим.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "IX International Workshop Small-x Physics and Light Front Dynamics in QCD" (С-Петербург, 1998), "Light-cone physics: particles and strings" (Тренто, 2001), "11th V.Fock School of Physics" (С-Петербург, 2001), "12th V.Fock School of Physics" (С-Петербург, 2002), "13th International V.A. Fock school for advances of physics 2003" (С-Петербург, 2003), "14th International V.A. Fock school for advances of physics 2004" (С-Петербург, 2004), "15th International V.A. Fock school for advances of physics 2005" (С-Петербург, 2005), "Quarks-2006" (С-Петербург), "III International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2010), "IV International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2012), "QFTHEP-2013" (С-Петер-бург), "II Russian-Spanish Congress Particle and Nuclear Physics at all scales, Astroparticle Physics and Cosmology" (С-Петербург, 2013), "Quark Confinement and the Hadron Spectrum XI" (С-Петербург, 2014), "9th Alexander Friedmann international seminar on gravitation and cosmology" (С-Петербург, 2015), "V International Conference Models in Quantum Field Theory" (С-Петербург, 2015); на семинарах: "Семинар по проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей Вселенной (посвященный 100-летию со дня рождения Матвея Петровича Бронштейна)" (С-Петербург, 2006), "Фоковские чтения: современные проблемы физики" (С-Петербург, 2008), "В поисках фундаментальных симметрий (посвященный 90-летию со дня рождения Ю.В. Новожилова)", (С-Петербург, 2014);

на зимних школах Петербургского института ядерной физики (Репино 2007, Рощино 2014);

на научных семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ, отдела теоретической физики ИЯИ РАН, на Петербургском семинаре по квантовой теории поля ПОМИ РАН, на Петербургских межвузовских семинарах по космологии и гравитации при РГПУ им. А.И. Герцена.

Объем и структура работы.

Системы с симметрией относительно перепараметризации времени

Использование канонического подхода оказывается весьма полезным при описания сложных механических систем. Разработан математический аппарат, использующий понятия дифференциальных форм и сим-плектических многообразий (см., например, известную книгу В.И. Арнольда [51]), вырожденных пуассоновых многообразий [52] и многие другие, с помощью чего удается решить большое количество задач.

Однако наиболее важной, наверное, ролью канонического подхода к описанию динамических систем в теоретической физике является его использование при квантовании этих систем. Именно в терминах канонических переменных производится стандартный переход от классической теории к квантовой (см. книгу [49], 21): обобщенные координаты { и импульсы i объявляются операторами в гильбертовом пространстве, а скобка Пуассона переходит в умноженный на мнимую единицу коммутатор: (здесь и далее используется система единиц, в которой постоянная Планка h = 1). Такой способ квантования (его обычно называют каноническим При этом для операторов и i постулируются канонические коммутационные соотношения (ККС): что обеспечивает выполнение соответствия (1.17) с учетом соотношений (1.9). квантованием) является одним из основных, хотя, в принципе, существуют и альтернативные подходы к построению квантовой теории. Некото рое обсуждение того, почему каноническое квантование кажется наиболее естественным, проводит Дирак в книге [48], глава 1.

В качестве наводящего соображение кажется полезным также использовать следующее рассуждение. При рассмотрении фундаментальных теорий обычно предполагается трансляционная инвариантность по времени. Для описывающих систему операторов, например обобщенных координат i, трансляционная инвариантность означает, что в разные моменты времени операторы могут отличаться только унитарным преобразованием (т. е. выбором базиса в гильбертовом пространстве), значит

С другой стороны, в классической теории выполняются уравнения движения, имеющие в лагранжевом формализме вид уравнений Эйлера-Лагранжа (1.2). Можно попытаться поставить задачу совместить их выполнение с выполнением следующего из трансляционной инвариантности уравнения Гейзенберга (1.21) (нет уверенности, что это можно сделать строго, но можно использовать такую постановку задачи в качестве наводящего соображения при обосновании процедуры канонического квантования). Сделать это напрямую сложно, поскольку уравнения имеют сильно отличающийся вид, а вот при переходе к канонической записи уравнений движения в виде уравнений Гамильтона (1.4) задача сильно упрощается.

Обобщенный импульс г, как и { (и как и любой другой зависящий от времени оператор в представлении Гейзенберга), должен удовлетворять аналогу уравнения (1.21). Сравнивая (1.21) с уравнениями Гамильтона (1.4) легко заметить, что желаемое совмещение можно получить, если классический гамильтониан, в который, после взятия от него производных, подставлены операторы и i. Здесь сразу видна неоднозначность рассматриваемой процедуры - подставить операторы в классическое выражение можно разными способами из-за отсутствия их коммутативности (эту проблему обычно называют проблемой упорядочивания операторов). С точностью до этой неоднозначности теперь вопрос формулируется так: можно ли так подобрать оператор , чтобы удовлетворить соотношениям (1.22)? И оказывается, что это несложно сделать: нужно постулировать ККС (1.18), а положить равным гамильтониану с каким-то выбором упорядочивания операторов. Действительно, с учетом ККС коммутирование с оказывается эквивалентно дифференцированию по i, опять же - с точностью до расстановки операторов, а коммутирование с i - аналогично эквивалентно дифференцированию — по i.

Следует отметить, что проблема упорядочивания, которая в общем случае заставляет воспринимать данное рассуждение только как некоторые наводящие соображения, исчезает, если гамильтониан рассматриваемой теории сводится к сумме двух вкладов, один из которых зависит только от импульсов i, а другой - только от координат Такую структуру имеют, например, часто встречающиеся гамильтонианы вида

Таким образом, переход к операторам вместе с попыткой согласовать трансляционную инвариантность по времени и выполнение уравнений движения приводит к идее канонического квантования. Возникает, конечно, вопрос: можно ли доказать, что постулирование ККС и выбор в виде является единственной возможностью согласования (т. е. что выполнение соотношений (1.22) нельзя обеспечить каким-либо другим способом)? Однако, в том числе из-за проблемы упорядочивания, неясно, как осуществить такое доказательство. Заметим также, что каноническая формулировка теории играет важную роль при использовании функционального интеграла для описания квантовой теории. Для того чтобы этот функциональный интеграл описывал оператор эволюции, а в конечном счете - S-матрицу, его нужно записывать в виде интеграла именно по каноническим переменным [53].

Очень важной при каноническом квантовании оказывается ситуация, когда рассматриваются обсуждавшиеся в предыдущем разделе системы со связями, потому что именно таковыми оказываются теории, описывающие все четыре фундаментальных взаимодействия (являясь, конечно, уже не механическими системами, а системами с бесконечным числом степеней свободы).

Оказывается, что при переходе к квантовой теории необходимо по-разному поступать со связями первого и второго рода (см. [48], глава 2). Связи второго рода еще до перехода к квантовой теории необходимо либо явно решить, исключив с их помощью в действии первого порядка (1.3) какие-то пары сопряженных друг другу канонических переменных і,і,в результате чего дифференцирования по ним уже не будут входить в определение скобки Пуассона (1.5), либо добиться этого же путем замены скобок Пуассона на скобки Дирака. Исключение части переменных с целью решения связей второго рода широко используется при построении канонического формализма в координатах светового фронта [4,54-57].

Связи же первого рода решать не обязательно. Как обсуждалось в предыдущем разделе, они входят в обобщенный гамильтониан со своими множителями Лагранжа и их появление соответствует наличию в теории калибровочной симметрии. Для такой системы с калибровочной симметрией можно перейти к квантовой теории и наложить связи первого рода на вектора состояния:

Проекторы и вторая основная форма поверхности

Введем чрезвычайно полезную при проведении вычислений величину Щ() - проектор на плоскость, касательную к поверхности Л4 в данной точке. Легко проверить, что такой проектор можно записать в виде М. Заметим, что свойства проекторов часто используются в вычислениях. Важную роль при описании геометрии вложенных поверхностей играет вторая основная форма поверхности а (напомним, что первой основной формой поверхности называют метрику ). По определению (см., например, [65], глава VII, 3), для любого касательного векторного поля т. е. а по своему индексу направлена ортогонально касательной плоскости. Для второй основной формы поверхности можно получить еще одно удобное представление. Заменив в (2.28) на - и перебросив производную, получаем а = , (2.30) откуда сразу видна симметричность а по нижним индексам. Легко также заметить, что (2.30) можно переписать в явно ковариантном виде

Если поверхность Л4 является гиперповерхностью, т. е. ее коразмерность (разность между размерностью объемлющего пространства и размерностью поверхности) равна единице, то ортогональный проектор _аь проецирует на одномерное пространство, следовательно tah = а, (2.32) где 2 = = ±1 (знак зависит от того, является ли вектор а време-ниподобным или пространственноподобным). В этом случае, вследствие условия (2.29), вместо а достаточно рассматривать величину ци = aa , (2.33) которую в этом случае также называют второй основной (или второй квадратичной) формой поверхности. При этом ік = аци. (2.34) 2.4 Кривизна Вторая основная форма поверхности играет важную роль при описании гравитации в терминах функции вложения, поскольку в случае плос кого объемлющего пространства именно через нее выражается тензор кривизны Римана. Этот тензор можно определить с помощью коммутатора двух ковариантных производных [uva] =" „7, (2.35) где использовано обозначение [JJ,V]JJ,V = у — VJ1, (2.36) причем если пара индексов после квадратных скобок стоит внизу (наверху), то нужно менять местами именно нижние (верхние) соответствующие индексы. Вычислим левую часть (2.35) (используя (2.28) и (2.31)): [,,va] = ,,V ( a %„)] = a \U ( aRva\\ = = a/3 \a 1 = a/3 \b a 1 = = a [ J/J] a = a [ дъ ] 1. (2.37) В результате заключаем, что afj/ліу = [ аиа/Зі/] . (2.38)

Следует отметить, что это уравнение представляет собой известное уравнение Гаусса (см., например, [66]) в частном случае подмногообразия плоского объемлющего пространства; общий случай этого уравнения будет рассмотрен в разделе 2.6. Используя (2.31) легко заметить, что тензор кривизны Римана выражается в терминах функции вложения в явно ковариантном виде: afj/лі/ = аа„ pav\ = [a a fjva] v. (2.39)

Это факт, вместе с возможностью записывать ковариантные производные тензоров в явно ковариантном виде (2.18) (без использования связности), позволяет полностью избежать появления в формулах формализма вложения нетензорных величин. Это является безусловным преимуществом данного формализма по сравнению с обычным подходом, в котором при записи ковариантной производной обязательно используется не являюща яся тензором связность, а выражение тензора Римана в терминах метрики не является явно ковариантным.

Полезно ввести форму объема ai...ad, соответствующую касательному пространству к поверхности М. в данной точке. Это полностью антисимметричный тензор ранга, равного размерности поверхности , удовлетво ряющий условию и нормированный условием a1...adai "ad = sign()!, (2.47) где sign() - знак детерминанта метрики поверхности Л4. Несложно показать, что указанные условия определяют форму объема однозначно с точностью до знака и можно выбрать аг...ал = а. (2.48) Понятно, что форму объема можно построить не только для всей поверхности М, но и для любого ее подмногообразия. Как и проекторы и Ц, форма объема ai...ad обладает некоторыми полезными свойствами. В частности, для ее произвольной малой вариации легко доказать тождества ±"±е abgi...gd_2 = 0, 1... ai...ad = 0. (2.49) Важную роль играет еще одно свойство формы объема: аіа ь d 1 = 0. (2.50) Для его доказательства нужно заметить, что вследствие (2.49) левая часть формулы (2.50) равна сумме таких же как она выражений, в которых по одному из индексов \... d-i вставлен проектор _. А каждый из них обращается в ноль, поскольку (61- -1) = - () = = a ь" d 1l ( )і = 0 (2.51) вследствие антисимметрии abl -bd-1 и симметрии Mf = по индексам , . Важность формулы (2.50) связана со следующим. Если в плоском пространстве задана в каждой точке -мерная площадка, то формула (2.50), записанная в форме Ucaca ь" d 1 = 0, (2.52) где и П - форма объема и проектор, соответствующие площадке, является одним из способов записи условия интегрируемости Фробениуса (см., например, [65]), гарантирующего существование поверхностей, к которым заданные площадки будут касательными.

Процедура вложения риманова пространства в плоское объемлющее пространство оказывается чрезвычайно полезной при описании подмногообразий риманова пространства. Это связано с простым фактом: если мы вложим риманово пространство в плоское объемлющее пространство, то все его подмногообразия автоматически тоже окажутся вложены в это объемлющее пространство, следовательно, для их описания можно использовать все введенные выше величины, такие, как , Щ и т.д. Единственный нюанс, о котором следует помнить - исходное риманово пространство всегда можно локально вложить в плоское пространство минимальной размерности ( + 1)/2, а подмногообразие окажется погруженным в плоское пространство уже не минимальной для него размерности.

При описании гравитации необходимость рассматривать подмногообразия риманова пространства возникает при рассмотрении динамики по времени, в частности, когда развивается канонический формализм. Такими подмногообразиями являются поверхности постоянного времени, и возникает необходимость связывать их геометрические характеристики с аналогичными характеристиками всего риманова пространства. Одной задач такого рода является вывод формулы, связывающей скалярную кривизну всего четырехмерного пространства со скалярной кривизной гиперповерхности постоянного времени. Эта формула лежит в основе записи действия в подходе Арновитта-Дезера-Мизнера [58], представляющего собой канонический формализм для теории гравитации Эйнштейна. В данном и нескольких последующих разделах будут изложены особенности использования формализма вложения при описании подмногообразий для случая произвольных размерностей. Будет показано, как с его помощью могут быть выведены некоторые известные формулы, в частности, вышеупомянутая формула, связывающая скалярные кривизны риманова пространства и лежащей в нем гиперповерхности.

Пусть риманово пространство размерности вложено в виде поверхности М. в плоское пространство N+ N- большей размерности. Пусть - -мерное гладкое подмногообразие в М. Понятно, что М также является некоторой поверхностью в N+ N-. Введем на М координаты і1, и пусть пробегает значений таким образом, чтобы г, где пробегает значений, были координатами на , а прочие компоненты 1 ( пробегает — значений) имели на постоянные значения. Если а( ) -функция вложения для Л4, то ясно, что функция вложения поверхности в N+ N- будет иметь вид

Уравнения движения теории вложения

При обычном описании гравитации в рамках ОТО Эйнштейна четырехмерное пространство-время представляет собой риманово (точнее -псевдориманово) пространство. Это означает, что в пространстве задано поле метрического тензора (), определяющего интервал между бесконечно близкими точками:

Как известно (см., например, [66]), условия (3.2) и (3.3) позволяют однозначно выразить связность через метрику; в этом случае связность называют римановой связностью. Далее будем всегда предполагать, что связность является римановой.

В качестве примера риманова пространства можно рассматривать -мерную поверхность в плоском пространстве большего числа измерений, считая что метрика и связность этой поверхности индуцированы. Предполагается, что в указанном плоском пространстве, которое далее будем называть объемлющим, в соответствующей системе координат метрика (псевдо)евклидова, а связность тривиальна. Индуцированность метрики означает, что расстояние между бесконечно близкими точками поверхности определяется как расстояние между этими точками в объемлющем пространстве. А индуцированность связности означает, что параллельный перенос по поверхности (на малое расстояние) касательного вектора осуществляется как тривиальный параллельный перенос этого вектора в объемлющем пространстве с последующим проецированием его на касательное пространство в новой точке. В частности, легко представи-мым примером риманова пространства является двумерная поверхность в трехмерном пространстве.

Однако оказывается, что поверхность в плоском объемлющем пространстве является не просто частным случаем риманова пространства, но, в определенной степени, рассмотрение произвольного риманова пространства может быть заменено рассмотрением такой поверхности. Согласно теореме М. Жане и Э. Картана [70,71] (см., например, [65], Примечание 18), произвольное риманово пространство размерности может быть локально изометрически вложено в любое риманово пространство размерности, большей или равной did + 1) N = , (3-4) а значит, в частности, в плоское пространство такой размерности. На случай неположительной сигнатуры пространства эта теорема была обобщена А. Фридманом [72]. В дополнение к условию (3.4) на общую размерность в этом случае еще добавляется требование, чтобы в объемлющем пространстве число времениподобных и пространственноподобных направлений было не меньше, чем количество таких направлений во вкладываемом псевдоримановом пространстве.

Данная теорема гарантирует существование изометрического вложения только локально, т. е. для какой-то конечной части многообразия. Если же поставить вопрос о вложении всего многообразия в целом, то, в зависимости от его топологии, необходимая размерность N может сильно возрасти (см. [65], Примечание 18). Однако, в физических задачах чаще всего достаточно локального рассмотрения. Заметим, что в теореме Жане-Картана-Фридмана предполагается, что метрика является аналитической функцией координат. Если же заменить требование аналитичности этой функции требованием ее бесконечной дифференцируемости, то в этом случае доказана лишь возможность локального изометрического вложения произвольного (псевдо)риманова пространства в плоское (псев-до)евклидово пространство размерности d(d+3)/2 [73]. Далее будет предполагаться, что рассматриваемое (псевдо)риманово пространство обладает аналитической метрикой.

Следует также отметить, что теорема Жане-Картана-Фридмана гарантирует только существование, но не единственность вложения. Это означает, что могут существовать разные поверхности, обладающие одинаковой метрикой. Например, ясно, что единственность вложения гарантированно отсутствует при N d(d + 1)/2, так как можно сначала провести вложение в пространство размерности d(d + 1)/2, а затем его, в свою очередь, изометрически вкладывать разными способами в TV-мерное пространство в виде части цилиндра. Сравнение числа переменных и числа уравнений позволяет надеяться в ситуации общего положения на единственность вложения (с точностью до тривиальных сдвигов и поворотов в объемлющем пространстве) только при выполнении условия (3.4). Действительно, метрика д имеет d(d + 1)/2 независимых компонент, а значит, существует столько уравнений на N функций, описывающих вложение. Тем не менее, в каких-то случаях единственность может отсутствовать и при выполнении условия (3.4). В этом случае говорят о возможности изометрического изгибания поверхности. В качестве нетривиального примера поверхности, допускающей изометрическое изгибание, можно привести достаточно малую, но конечную часть сферы. При этом сфера как целое изометрических изгибаний не допускает. Если для поверхности изометрические изгибания невозможны, то говорят о жесткости соответствующего вложения.

Согласно условию (3.4) для четырехмерного пространства-времени в качестве объемлющего достаточно брать десятимерное пространство. Представляется наиболее удобным для дальнейших применений считать, что оно содержит единственное времениподобное направление, т. е. считать объемлющим псевдоевклидово пространство Л1 9. Нарушение такого условия приводит к проблемам с определением причинности, в особенности при переходе к теории поля в объемлющем пространстве, которая обсуждается в главе 5. Поскольку рассмотрение пространства-времени как риманова пространства может быть, с указанными оговорками, заменено рассмотрением четырехмерной поверхности Л4 в десятимерном пространстве Л1 9, возникает идея: при описании гравитации в качестве независимых переменных использовать не поле метрики д (х), а переменные, описывающие поверхность Л4. В качестве таких переменных наиболее удобно выбрать функцию вложения уа(т ), осуществляющую отображение уа(х ) : R — R . (3-5) Здесь индексы а, 6,... принимают значения 0,1,2,...,9. Предполагается, что уа - лоренцевы координаты в Л19, будем использовать в этой главе сигнатуру (+,-,- ,-).

В результате гравитация описывается как динамика трехмерного пространства, рассматриваемая аналогично динамике точечной частицы, которой соответствует мировая линия, и динамике струны, которой соответствует двумерная поверхность в пространстве Минковского. Данная аналогия является одной из главных мотивацией такого подхода, впервые предложенного в 1975 г в докладе Т. Редже и К. Тейтельбойма и опубликованного в работе [1]. Сейчас такой подход к описанию гравитации, сходному с формулировкой теории струн, чаще всего называют теорией вложения ("embedding theory").

Действие теории

Сначала рассмотрим вариант хк ф 0. Начальный вектор у о должен зависеть от t, однако направление вектора хк от t зависеть не может, поскольку определяется подгруппой стабильности вектора у0. Поэтому в рассматриваемом случае от t зависит только длина вектора хк (обозначим ее как /()) и величина Si(t). Выражая вектор 0 х\ через f(t) и характеризующие Oik сферические углы в, if, получаем из (6.23) функцию вложения в виде: где y+,y - светоподобные координаты в объемлющем пространстве, метрика которого с точностью до знака дается формулой (6.24). Если заметить, что при фиксированных значениях параметров t,6,(p координата у+ принимает любые значения за счет изменения параметра трансляции Ьт, то оказывается, что функция вложения (6.27)) описывает поверхность Л4, представляющую собой четырехмерную светоподобную плоскость у = 0. Ее сечения t = const не являются трехмерными плоскостями (хотя проводя сечение по-другому, трехмерные плоскости получить можно). Полученная поверхность обладает желаемой симметрией, однако легко проверить, что получить вложение метрики (6.22), используя такую функцию вложения, не удается.

Остается рассмотреть вариант хк = 0 для случая представления (6.23). Снова учитывая, что начальный вектор уо зависит от t, и записывая вектор ЬІ в сферических координатах г,6,(р, получаем для данного случая функцию вложения в виде:

Подставляя ее в (6.1) с правой частью, соответствующей (6.22), находим, что направления у3, у4, у5 объемлющего пространства должны быть пространственно-подобными и что должны выполняться следующие со 140 отношения:

После использования (6.29),(6.30) в формулах (6.28) оказывается, что лоренцев буст в плоскости у+,у объемлющего пространства эквивалентен умножению константы (3 на произвольное положительное число, поэтому можно выбрать любое значение (3 0. Взяв (3 = л/2, и переписав (6.28) в лоренцевых координатах, получаем окончательное выражение для функции вложения пространственно-плоской модели Фридмана: причем сигнатура объемлющего пространства имеет вид (+, -, -, -, -). Эта формула дает единственную при N = 5 обладающую симметрией пространственно-плоской модели Фридмана функцию вложения для соответствующей метрики, эта функция вложения совпадает с найденной в работе [22]. Отметим, что сечение t = const (равно как и любые другие сечения) полученной поверхности М. не является трехмерной плоскостью, несмотря на то, что это сечение обладает симметрией относительно группы движений такой плоскости. Это сечение представляет собой некоторую параболическую (поскольку она квадратична по г) поверхность, являющуюся промежуточным вариантом между сферой, возникающей в закрытой, и псевдосферой, возникающей в открытой моделях Фридмана. Об этом говорит тот факт, что вложение (6.31) может быть получено некоторыми предельными переходами из вложений (6.13) и (6.18) закрытой и открытой моделей.

Получим такой предельный переход для закрытой модели (для открытой рассуждения проводятся аналогично). Для этого сделаем в (6.15) замену X — 7Г а\Ч a\t)i (6.32) и будем считать, что 7 — 0, а область изменения г ограничена так, что 7Г 1. Тогда компоненты у2, у3, у4 в формуле (6.13) в пределе перейдут в соответствующие компоненты формулы (6.31). Для оставшихся компонент имеем

Легко показать, что после совершения лоренцева буста с параметром 7/2 в плоскости у0, у1 и взятия предела 7 0, компоненты (6.33) совпадают (с точностью до знака у1, что не существенно) с соответствующими компонентами формулы (6.31).

Для того чтобы построить обладающие соответствующей симметрией вложения невращающихся черных дыр (в первую очередь – метрики Шварцшильда), используем предложенный в разделе 6.2 метод для классификации всех обладающих нужной симметрией поверхностей. Кроме соответствующей группе (3) симметрии относительно вращений, невращающиеся вечные черные дыры также обладают симметрией относительно трансляций по параметру , который вне горизонтов играет роль времени. Это, в определенном смысле, означает, что метрики рассматриваемых черных дыр являются статическими, однако это не совсем строго из-за того, что под горизонтом параметр перестает играть роль времени, так как соответствующее направление становится пространственно-142 подобным. В целом можно сказать, что мы рассматриваем черные дыры, симметричные относительно группы симметрии = (3) х 1.

Будем искать общий вид четырехмерной поверхности АЛ, обладающей симметрией относительно указанной группы . При этом будем считать, что такой симметрией должна обладать не только вся четырехмерная поверхность АЛ, но и ее трехмерные подмногообразия, соответствующие фиксированным значениям параметра . Для удобства чтения основные результаты, полученные в данном разделе, собраны в конце раздела.

Симметрия АЛ относительно означает, что АЛ переходит в себя под действием () Є V, где Є , а - некоторое представление группы , см. раздел 6.2. Будем исследовать возможный вид этого представления. Представления прямого произведения (3) х 1 сводятся к прямой сумме представлений , являющихся тензорными произведениями представлений групп (3) и 1: причем можно считать, что представления \ и не являются вполне приводимыми.

Обсудим сначала представления группы (3). Известно, что все ее конечномерные неприводимые представления можно получить, рассматривая тензорные представления универсальной накрывающей группы (2), которые классифицируются значением спина. Поскольку предполагается, что симметрией относительно обладают подмногообразия АЛ, соответствующие фиксированным значениям , поверхность, образуемая точками вида (6.7) при = ( х 1), соответствует фиксированным значениям параметров и. Поэтому она должна быть двумерна, так как еще два измерения связаны с приращениями этих параметров. Поскольку элементы группы (2) зависят от трех вещественных параметров, это накладывает некоторое условие на выбор как представления, так и начального вектора о. А именно, в (3) должна существовать однопа-раметрическая подгруппа (2), для элементов которой