Содержание к диссертации
Введение
2 Инстантонная модель вакуума квантовой хромодинамики . 17
2.1 Статус инстантонов в КХД 17
2.2 Спонтанное нарушение киральной инвариантности в инстаитоином вакууме 22
2.3 Мезоны в иистаитонном вакууме 33
2.4 Инстантонный вакуум и невылетапие кварков 40
3 Киральная теория нуклона 48
3.1 Эффективный киральный лагранжиан 51
3.2 Картина нуклона в киральной теории 57
3.3 Кварки в сферически-симметричном пионном поле 63
3.3.1 Сектор К = 0 6G
3.3.2 Сектора с К ф 0 68
3.4 Масса нуклона и Е-член 70
3.4.1 Поле пиона 71
3.4.2 Дискретные уровни энергии 73
3.4.3 Фазы рассеяния 77
3.4.4 Суммирование по А' 77
3.4.5 Масса нуклона 80
3.4.6 Е-член на нуклоне 81
3.5 Киральная теория как интерполяция 82
4 Основные характеристики барионов в киральной теории . 88
4.1 Аксиальная константа 90
4.2 Электромагнитные свойства нуклона в киральной теории .- . 97.
4.3 Рассеяние в киральной теории 102
4.4 Нуклои-иуклонный потенциал и амплитуда NN рассеяния 112
5 Вращательные состояния барионов. 122
5.1 Квантование вращения в киральной теории нуклона 124
5.2 Вращательные поправки к да и формфакторам 131
5.3 Вращательные состояния с большими J и Редже-траектории . 139
5.3.1 Струноподобные киральные солитоны 146
5.3.2 Классическое излучение вращающихся киральных солитонов 152
5.3.3 Квантовые поправки к струне и нулевые моды 162
5.3.4 Эффективная струнная теория 168
5.3.5 Обсуждение 169
5/(3)-барионы в киральной теории. 172
6.1 Квантование вращения в группе 517(3) 174
6.2 Массовые расщепления в группе SU(3) 177
6.2.1 Массовые расщепления: ведущий порядок 178
6.2.2 Массовые расщепления: вращательные поправки 180
6.2.3 Кварковые конденсаты в барионах 185
6.2.4 Численные результаты 186
6.3 Вращательные поправки к характеристикам гиперонов 188
6.3.1 Аксиальный заряд гиперонов 1S9
6.3.2 Магнитные моменты гиперонов. 190
6.3.3 Распады декуплета гиперонов 190
6.4 Экзотический антидекуплет . 194
6.4.1 Массовые расщепления в антидекуплетс 195
6.4.2 Ширины распада экзотического антидекуплета 199
6.4.3 Идентификация членов антидекуплета 204
6.5 Синглетная диламбда в киральной теории 207
Структурные функции нуклона в. низкой точке нормировки. 215
7.1 Партонные функции распределения в киральной теории. 217
7.2 Структурные функции нуклона как средние на световом конусе 221
7.3 Синглетная структурная функция нуклона.229
7.3.1 Структурная функция как сумма по кварковым уровням 229
7.3.2 Правило сумм для барионного заряда 233
7.3.3 Моменты структурных функций : 233
7.3.4 Правило сумм для импульса 235
7.3.5 Валентные кварки 236
7.4 Изовекторная структурная функция 238
7.4.1 Учет вращения 23S
7.4.2 Поляризованная структурные функции 239
7.5 Структурные функции следующего порядка по Nc 240
7.5.1 Синглетная неполяризованная структурная функция нуклона 241
7.5.2 Представление изовекторных функций распределения в виде двойных сумм по уровням 242
7.5.3 Правило сумм для изоспина 244
7.5.4 Правило сумм Готтфрида 245
7.6 Приближенные формулы для структурных функций 247
7.7 Вычисление структурных функций 252
8 Волновая функция нуклона на световом конусе 263
8.1 Волновая функция пиона 268
8.2 Off-forward распределения в киральной теории нуклона 275
8.3 Полная волновая функция нуклона на световом конусе 280
8.3.1 Волновые функции адронов в инстантонном вакууме. 280
8.3.2 Оператор эволюции в самосогласованном 7г-мезонном поле 283
8.3.3 Волновая функция нуклона в терминах кварков-антикварков в системе покоя 286
8.3.4 Валентные кварки 289
8.3.5 Волновая функция пары 291
8.4 3-х кварковая компонента волновой функции нуклона 294 .
Приложение 304
- Спонтанное нарушение киральной инвариантности в инстаитоином вакууме
- Кварки в сферически-симметричном пионном поле
- Электромагнитные свойства нуклона в киральной теории
- Вращательные состояния с большими J и Редже-траектории
Введение к работе
25 лет развития Квантовой Хромодинамики [1, 2] (КХД) привели к впечатляющим успехам. В числе наиболее ярких теоретических достижений можно упомянуть открытие асимптотической свободы [3, 4, 5], открытие аномалий, киралыюй и тензора.энергии-импульса, открытие инстанто-нов и т.д. К числу наиболее важных феноменологических утверждений можно отнести существование глюонного и кваркового конденсатов, спонтанное нарушение киралыюй симметрии, алгебру токов и эффективный киральный лагранжиан. Большие продвижения произошли также в области применимости теории возмущений в КХД. Однако, когерентная картина сильных взаимодействий все еще отсутствует. И это связано не только с отсутствием явного параметра, но и также с рядом новых, ранее не встречавшихся в теории явлений.
Это прежде всего явление нсвылетания кварков. В настоящее время общепринятой является картина, в которой прежде всего доказывается конфайнмент бесконечно тяжелых кварков в чистой глюодинамике, — так называемый критерий Вильсона. Предполагается, что в этой теории происходит конденсация монополей, которая приводит к дуальному эффекту Мейсснера [6], благодаря которому Вильсоновская петля убывает экспоненциально по площади, а между кварками, введенными в чистую глюодинамику как статические источники, действует линейный потенциал. Этот сценарий подтверждается рядом данных решеточной КХД [97], однако, убедительного доказательства, что именно он реализуется в глюодинамике не существует. Более того, несмотря на ряд предпринятых попыток[19, 109, ПО], теоретическое понимание данного явления даже в чистой глюдинамике отсутствует. Еще более неразработанным с теоретической точки зрения является вопрос о том, как коифайнмеит в глюодинамике без кварков переходит в явление невылетания КХД, которое наблюдается в природе. Существует точка зрения, что роль легких кварков в явлении невылетания в КХД является определяющей и что это явление никак не связано с тем, что имеет место в чистой глюодинамике [7, 8].
Однако, вероятно, не менее важным для КХД следует считать второе явление — спонтанное нарушение киральной симметрии (СНКИ). Свойства адронов в КХД определяются СНКИ в весьма большой степени. Действительно, в теории, в которой СНКИ отсутствовало бы, все бы "нормальную" адронную массу 700 — 800 Mev. Экспериментально это далеко не так, — разница масс, например, между нуклоном и сото-янием N( ) порядка 600 Mev, между р и его партнером по четности аі-мезоном 500 Mev. 7г-мезон же, очевидно, выделен среди прочих адронов, его масса действительно близка к нулю в согласии с тем, что должно иметь место при СНКИ.
Влияние СНКИ на мир "обычных" адронов настолько велико, что представляется, что в теории, в которой СНКИ присутствовало бы, а конфайнмент отсутствовал бы, свойства этих адронов не сильно бы отличались от экспериментально наблюдаемых. На это указывает, например, успех правил сумм КХД [9, 10, 11, 12], в которых конфайнмент (но крайней мере явно) не учитывается, в то время как наличие кирального (и глюонного) конденсата принято во внимание.
Между тем, явление невылстания кварков и СНКИ непосредственно друг с другом не связаны. Явления, напоминающие СНКИ в КХД, имеют место в ряде теорий, из которых наиболее близкой аналогией по-видимому, является обычная теория сверхпроводимости [13]. Трудность описания СНКИ в КХД (в отличие от невылетания) носит количественный характер — это трудная задача в силу отсутствия в КХД явного параметра.
Тем не менее попытки описания СНКИ в КХД предпринимались неоднократно. Это явление возникает в КХД даже в теории возмущений (см. например [14], хотя отсутствие параметра (и инфракрасный полюс в теории возмущений) лишает в значительной степени смысла такое описание. Феноменологическая модель- (не связанная с КХД) СНКИ была предложена еще в [15, 16].
Наиболее продвинутая попытка-описания СНКИ в КХД была пред принята, вероятно, в модели ипстантонного вакуума (см. Главу 2 Диссертации). Эта модель в отличие от [16] претендует на то, что она (до известной степени—см. ниже) восходит к КХД.
Инстантоны — классические решения уравнений Янга-Миллса [17, 18,19] - представляют собой наиболее хорошо изученные непертурбатив-ные флуктуации в КХД. Их роль в вакууме КХД не подлежит сомнению. Однако, инстантонная модель вакуума исходит из гипотезы, что инстантоны (и антиинстантоны) являются единственными непертурбативными флуктуациями. Эта возможность рассматривалась в литературе впервые в работах Callan, Dashen, Gross [20, 21, 22], авторы которых рассмотрели вакуум КХД как разреженный газ иистаитоиов и вычислили основные характеристики этого вакуума, показав, что свойства вакуума в такой модели во многих отношениях действительно напоминают свойства вакуума КХД. С феноменологической точки зрения важность инстантонов неоднократно подчеркивалось Э.Шуряком (см.например работы того периода [23, 24, 25, 26, 27]).
В работах 1984-86 гг. Д.И.Дьяконов [28] и автор предложили несколько иной подход к инстантонному вакууму. Прежде всего мы предположили, что евклидова статсумма КХД действительно определяется некоторой выделенной конфигурацией глюонного поля. Эта гипотеза подразумевает, что константа связи КХД д7/8п "не бывает" большой — в противном случае вообще нельзя было бы говорить о какой бы то ни было выделенной глюонной конфигурации. Был разработан метод [29] , основанный на вариационном принципе Фейнмана [30], позволяющий, в принципе, учитывать вклад любой глюонной конфигурации в функциональный интеграл (подробнее см. Главу 2). В качестве естественного кандидата была выбрана среда из инстантонов и антиинстантонов. Было показано, что в такой среде благодаря взаимодействию инстантонов и антиинстантонов константа связи "замерзает" на некотором не слишком большом значении, были вычислены основные характеристики инстантонного вакуума, в том числе глюонный конденсат и-топологическая восприимчивость, которые оказались близки к значениям, используемым в правилах сумм КХД. Одним из наиболее важных результатов этой работы было доказательство того факта, что в инстантоннои "жидкости" естественно образуется два масштаба расстояний — размер инстантона р 1/(600 Mev) и раесстояние между ними Я 1/(200 MeV), причем численно их отношение р/R 1/3 мало. Гипотезы о су-шествовании двух масштабов в КХД высказывались давно, причем было известно, что именно указанное соотношение масштабов требуется из феноменологических соображений (см. например [24]). Существование двух масштабов позволяет, во-первых, подтвердить законность приведенных вычислений. Действительно, среда инстантонов и антиинстан-тонов оказывается достаточно разреженной, характерный параметр — так называемый упаковочный параметр а (доля объема, которую занимают инстантоны по сравнению со всем объемом пространства) — оказывается достаточно маленьким, а 1/10. Последнее обстоятельство, конечно, непосредственно, связано с малой величиной самосогласованной константы связи, обратная величина /3 = - 10. Взаимодействие инстантонов, которое останавливает их "раздувание", становится существенным в момент, когда произведение /?а 1. Оно остается все же малым по сравнению с действием на индивидуальном инстантоне, что и позволяет говорить о существовании инстантонов вообще. Отметим, что указанная ситуация является специфической для теории Янга-Миллса1 — так, например в двумерной сг-модели упаковочный параметр порядка единицы и происходит "плавление" инстантонов [37, 38].
Явление СНКИ было рассмотрено нами в модели инстантонного вакуума КХД в работах [32, 33, 34, 35, 36] (см. также [31] и Главу 2 Диссертации). Было показано, что явление в СНКИ происходит благодаря новому механизму (отличному от имеющего место в теории возмущений) — делокализации нулевых мод индивидуальных инстантонов. Теория легких кварков в таком вакууме приобретает характерные черты теории неупорядоченных систем [39]. Используя методы этой теории, мы вычислили в инстантонном вакууме киральный конденсат, показали,
что в теории действительно возникает безмассовое состояние 7Г-МЄ30И,
получена ненулевая эффективная масса кварка М 350Меи . Было показано, что в теории решается /(1)-проблема, построен эффективный киральный лагранжиан как бесконечный ряд по производным пионного поля. Вычислены были также корреляторы мезонных токов, которые, по крайней мере, качественно, оказались близки к эксперименту.
Введение нового численного параметра в модели инстантонного вакуума КХД позволяет классифицировать все характеристики вакуума и адронов по этому параметру и дает возможность сильно упростить задачу. Другим важным параметром оказывается число цветов Nc — оо.
Это связано, по-видимому, с большим первым коэффициентом в функции Гелл- . Манна-Лоуі = ll/3Nc [40,41,95]
Известно, что последний параметр удивительно хорошо работает в КХД. Считается, что в пределе Nc — со КХД качественно остается той же самой теорией, — в ней остаются такие явления как невылетание кварков, СНКИ, решение /(1)-проблемы, богатый спектр состояний. Более того имеется большое число примеров как теоретических вычислений, так и решеточных экспериментов, показывающих, что асимптотика yVc = со наступает очень рано — уже при Nc = 3 поправи невелики. Дополнительно ряд примеров такого рода указаны в Диссертации.
Хотя КХД при Nc = со остается содержательной теорией, в ней все же происходят важные упрощения. Во-первых, все кварк-аитикварковые (мезоны) состояния становятся абсолютно стабильными (их ширины малы по Nc).- Во-вторых барионные состояния (т.е. состояния из Nc кварков) могут быть описаны квазиклассически как солитоны некоторого эффективного лагранжиана [95].
Имея в руках конкретную динамику СНКИ в инстантонном вакууме и описав низколежащие мезонные состояния, следующим естественным шагом было попытаться описать барионные состояния в этой модели. Именно это описание и представляет собой основное содержание Диссертации (Главы 3-8).
Прежде всего нужно решить вопрос, насколько велик размер нуклона на шкале размеров, возникающих в инстантонном вакууме. Наиболее естественной представляется гипотеза, что он много больше размера ин-стантона р. Именно последний масштаб определяет размер конституеит-ного кварка и характерную массу адрона в инстантонной модели. Далее необходимо построить эффективный лагранжиан, который был бы применим к данной задаче, проинтегрировав по всем более тяжелым степеням свободы. Этот эффективный лагранжиан должен содержать те степени свободы, массы которых много меньше чем 1/р. В нашем случае это безмассовые пионы и массивные конституентные кварки. Эффективный лагранжиан, описывающий их взаимодействие будет получен в Главе 2. Проинтегрировав по кваркам, можно получить Эффективный Кираль-ный лагранжиан (ЭКЛ), следующий из инстантонной модели вакуума. .
Задача получения нуклоиных состояний в такой системе упрощается далее, если число цветов Ne — со. В этом случае нуклон должен получаться как солитон соответствующего лагранжиана, в квазиклассическом приближении по пионным полям. Идея, что нуклон должен получаться как солитон ЭКЛ, не является новой. Она была высказана еще Скирмом [ ІЗ]. Однако, реальный интерес к этой идее возник вновь после работы Виттена [44], в которой было показано, что солитон пионного поля имеет квантовые числа бариона (спин и барионный заряд, равный единице)2 Построение солитона в требует, однако, знания эффективного кирального лагранжиана в КХД. В последующей работе [45] было предложено использовать для построения солитона простейшую модель кирального лагранжиана, которая была основана всего на двух членах, с двумя и четырьмя производными, которые обеспечивали бы существование устойчивого решения (модель Скирма).
Работы [44, 45] вызвали всплеск активности и привели к появлению сотен работ, посвященных модели Скирма ( хороший обзор этих работ можно найти, например, в [46] и в [47] ). В этой модели были вычислены большинство характеристик нуклона. Оказалось, однако, что они находятся в лишь качественном согласии с экспериментом. Типичная точность вычислений в модели Скирма 50%, хотя уже это следует признать большим успехом данной модели.
Причина неудач модели Скирма в количественном описании нуклона, разумеется, очевидна с самого начала. -Именно, при построении солитона нет оснований ограничиваться всего лишь двумя членами разложения по производным в ЭКЛ, все члены ЭКЛ, в действительности, одного порядка. Наконец, прямые измерения члена с четырьмя производными показывают, что он весьма далек по форме и величине от того, что требуется в модели Скирма и не обеспечивает существования устойчивого солитона.
В такой ситуации дальнейшее развитие модели Скирма пошло по пути включения в нее добавочных степеней свободы (например, векторных мезонов — см. [47]) на что параметрически нет никаких оснований.
Задача о построении нуклона как кирального солитона однако, может быть поставлена самосогласованным образом в теории инстанто-ного вакуума3 Действительно, если размер нуклона много больше 1/р, то можно пренебречь всеми степенями свободы кроме 7Г-мезонов и кварков и использовать полученный в этой модели ЭКЛ. Подчеркнем, что в киральном лагранжиане при этом следует учитывать все степени разложения по производным.
Реализации этой идеи и изучению свойств барионов в получаемой теории и посвящена настоящая Диссертация. Полученные за последние 15 лет результаты привели к созданию самосогласованной модели барион-ных состояний, которая позволяет объяснить большинство свойств барионов и воспроизводит эксперимент на уровне 10 — 15%. Мы называем данную модель киральной теорией барионов. Она занимает промежуточное положение между моделью Скирма и нерелятивистской кварковой моделью, плавно "интерполируя" между ними. Именно киральная теория нуклона сводится к нерелятивистской кварковой модели для нуклона малого размера, в котором пионное.поле слабо, а валентные кварки — нерелятивистские. Если размер нуклона велик и пионное поле медленно меняется, то киральная теория нуклона сводится к модели Скирма.
Диссертация состоит из Введения и 7 глав. Во второй Главе мы излагаем вкратце модель инстантонного вакуума КХД, которая служит "микроскопическим обоснованием" киральной теории нуклона. Первый раздел этой Главы посвящен изложению статуса инстантонного вакуума в чистой глюодинамике и вычислению основных характеристик вакуума в этой теории. Обсуждается согласие инстантонной модели вакуума с решеточными данными. В разделе 2 рассмотрено явление СНКИ в ин-стантонном вакууме на основе делокализации нулевых фермионных мод в поле одного инстантона. Вычислены киральный конденсат и эффективная масса кварка в инстаптониом вакууме, которые оказываются близки к феноменологическим значениям. Показано, как в инстантонном вакууме разрешается //(І)-проблема. Свойства мезонов в инстантонном вакууме рассмотрены в разделе 3. Усреднение лагранжиана КХД по ии-стантонным конфигурациям (и квантовым флуктуациям) дает некоторый эффективный фермионный лагранжиан. Бозонизания этого лагранжиана позволяет сформулировать теорию непосредственно в терминах мезонных состояний. Мы вычисляем корреляторы кварковых токов в различных каналах и демонстрируем наличие безмассового состояния — 7г-мезона — в аксиальном и псевдоскалярном каналах.
вакуума КХД, однако, легко можно нредстапить и другие подходы, приводящие к тем же результатам. Последний раздел данной Главы посвящен обзору явления конфаи-нмента в КХД. Рассмотрены наиболее популярные сценарии конфайн-мента, показано, что модель инстантонного вакуума не может обеспечить линейного роста потенциала между статическими кварками, наблюдаемого на решетке в чистой глюодинамике. В КХД с легкими кварками этот потенциал, однако, экранируется еще на малых расстояниях благодаря рождению кварк-антикварковых пар. По-видимому, гораздо большее значение для описания свойств низколежащих адронов имеет явление СНКИ, которое правильно описывается моделью инстантонного вакуума.
Теория нуклона в модели инстантонного вакуума КХД в пределе большого числа цветов излагается в Главе 3. Мы начинаем с вывода низкоэнергетического эффективного лагранжиана КХД. Этому посвящен раздел 3.1. Качественная картина нуклона в киральной теории представлена в разделе 3.2, раздел 3.3 посвящен обсуждению свойств кварковых состояний в "ежовом" самосогласованном поле 7г-мезонов. Численно масса нуклона в киральной теории и так называемый Е-член на нуклоне вычисляются в разделе 3.6.
Четвертая глава Диссертация посвящена вычислению основных характеристик барионов в киральной теории. Мы вычисляем аксиальную константу да и константу gvNN в разделе 4.1. Показано, что соотношения Гольдбергера-Треймана и Адлера-Вейсбергера автоматически выполняются в киральной теории. Вычислению электромагнитных форм-факторов нуклона посвящен раздел 4.2. Совпадение электромагнитных формфакторов с экспериментальными данными.можно считать удовлетворительным. я- -рассеяние в киральной теории рассмотрено в разделе 4.3 в ведущем порядке по числу цветов. Показано, что главный вклад возникает здесь от борновского графика, который можно описать как рассеяние на классическом поле солитона. Этот вклад, однако, сокращается вкладом гі-канального графика в области энергий Е с» 0(1).
Раздел 4.4 посвящен описанию ./ViV-рассеяния в киральной теории. Мы классифицируем разные вклады в амплитуду рассеяния и нуклон-нуклонный потенциал по числу цветов при различных энергиях и предлагаем самосогласованную схему вычисления потенциала в киральной теории.
Пятая глава Диссертации посвящена рассмотрению вращательных состояний нуклона и вычислению вращательных поправок к характеристикам барионов. В разделе 5.1 рассмотрена общая схема квантования нуклона-солитона и вычислено расщепление масс нуклона и следующеш вращательного состояния — Д-резонанса. В разделе 5.2 рассмотрены вращательные поправки к основным характеристикам барионов — аксиальным и электромагнитным формфакторам. .
Судьба высоких вращательных состояний нуклона с J Nc рассмотрена в разделе 5.3. Показано, что за счет центробежной энергии наиболее естественным является деформация нуклона в "струнеподобный" аксиально-симметричный солитон и что высокие вращательные состояния нуклона должны лежать на линейных Редже-траекториях. Вычислен наклон этих траекторий и ширины распадов соответствующих барионов с большими спинами.
В шестой главе Диссертации рассмотрены барионы в теории с флэй-ворной группой SU(3). В разделе 6.1 рассмотрено квантование вращения в группе 5//(3) и показано, что низшие вращательные состояния в ки-ралыгай теории представляют собой октет со спином 1/2 и декуплет со спином 3/2 (что отвечает эксперименту). В разделе 6.2 рассмотрены массовые расщепления внутри октета и декуплета благодаря ненулевой массе странного кварка в ведущем и следующем порядке по числу цветов. В разделе б.З рассмотрены вращательные и массовые поправки к электромагнитным и аксиальным формфакторам гиперонов. Вычислены также распады декуплета гиперонов на октет барионов и мезонов.
Разделы 6.4 и 6.5 посвящены вычислению характеристик экзотических состояний, возникающих в 5(7(3) киральной теории барионов. В разделе 6.4 рассмотрен экзотический антидекуплет со спином 1/2 — следующее за октетом и декуплетом вращательное состояние. Вычислены массы и ширины распада членов антидекуплета, обсуждаются кандидаты и предложены эксперименты по поиску соответствующих частиц. В настоящее время 2 экспериментальные группы наблюдают, ианинизшее состояние антидекуплета — экзотический барион Z+ с предсказанными массой и шириной. В разделе 6.5 рассмотрено 6-кварковое состояние — синглетная диламбда — состояние которое много обсуждалось в литературе. Показано, что в киральной теории масса этой частицы велика.
Главы 7 и 8 посвящены обсуждению характеристик нуклона, проявляющихся при высоких энергиях. В Главе 7 вычислены структурные функции барионов в киральной теории в низкой точке нормировки.. В разделе 7.1 структурные функции вычислены как число частиц в системе бесконечного импульса, а в разделе 7.2 как средние на световом конусе. Совпадение обоих відражений является важным результатом, подтверждающим самосогласованный характер вычисления структурных функций в киральной теории нуклона. В ведущем порядке по числу цветов возникают синглетная неполяризованная структурная функция, рассмотренная в разделе 7.3 и изовекторная поляризованная структурная функция, рассмотренная в разделе 7.4. В следующем порядке по Nc возникают синглетная поляризованная и изовекторная неполяризованная структурные функции, рассмотренные в разделе 7.5. Раздел 7.5 посвящен сопоставлению полученных структурных функций с экспериментальными данными, полученными в глубоко неупругом рассеянии.
Глава 8 посвящена вычислению волновой функции нуклона на световом конусе в низкой точке нормировки в киральной теории . Вначале в разделе 8.1 вычисляются волновые функции 7г-мезона и фотона. Затем, в разделе 8.2 вычислен новый класс партонных распределений — так называемые обобщенные или skewed распределения. Раздел 8.3 посвящен вычислению волновой функции нуклона как волновой функции в системе бесконечного импульса. Полная волновая функция получается как Фоков-ский столбец, представляющий собой 3 кварка + когерентная экспонента кварк-антикварковых пар. 3-х кварковая компонента волновой функции нуклона обсуждается в разделе 8.4. Рассмотрены асимптотики электромагнитных и аксиальных формфакторов нуклона в области больших Q2 и постоянная ///.
Спонтанное нарушение киральной инвариантности в инстаитоином вакууме
Следует подчеркнуть, что формулы (2.3) (2.4) получены в результате приближенного решения той (весьма сложной!) статистической задачи, в которую превращается вычисление функционального интеграла для инстантонного вакуума. Впрочем приближения были сделаны таким образом, чтобы не нарушить факт оценки снизу статсуммы глюодина-мики. Вычисление поправок к этим формулам, проделанное нами в различных приближениях показывает, что статистическая задача решена с точностью на уровне 10%. Наконец, Шуряк, проделав многочисленные численные симуляции (см. его большой обзор [82] подтвердил наши числа на том же уровне точности.
Приведем численные оцеики,следуюшие из формул (2.3) и (2.4) . Прежде всего инстантонный газ оказывается достаточно разреженным в том смысле, что дефектом действия можно пренебречь, когда вычисляется глюонный конденсат и топологическая восприимчивость (также на уровне 10%, в принципе, поправки могут быть учтены): (это отвечает as = 2л-//? га 0.4, что позволяет пренебречь квантовыми поправками к рассматриваемой картине.
Вышеприведенные формулы дают возможность вычислить глюонныи Конденсат и топологическую восприимчивость через единственный размерный параметр в КХД — Ap.v.. Последняя, однако, плохо известна, поэтому мы предпочитаем использовать значение топологической восприимчивости, 2 которое известно лучше и напротив дать предсказание для Ару.:
Если это значение совпадет с экспериментом, то выбранный нами вариационный анзац правильно отражает вакуум чистой глюодинамики, если нет, то так вычисленная Ap.v. должна быть в соответствии с вариационным принципом больше наблюдаемой в природе. Современные экспериментальные данные не слишком далеки от предсказываемого нами значения.
В настоящее время инстантоны в вакууме КХД без кварков надежно наблюдаются в решеточных экспериментах. Для наблюдения необходимо прежде всего отделить вклад больших флуктуации глюошюго поля, каковыми являются инстантоны, от квантового шума — вклада теории возмущений. Это делается с помощью так называемой процедуры охлаждения, предложенной впервые в работе [84]. Типичная картина конфигураций до и после охлаждения, взятая из работы [85] показана на Рис.2.1. Последнее время используется также более изощренная процедура, основанная на так называемом improved action для решеточной КХД [86].
Решеточные симуляции показывают, что действительно инстантоны оказываются доминирующими большими флуктуациями в вакууме КХД. В действительности, никаких других больших флуктуации в вакууме после охлаждения не наблюдалось. Их вклад во многие величины оказывается действительно значительным, если не подавляющим. Так, например, было проверено, что топологический заряд и глюонныи конденсат практически не меняются после охлаждения (т.е. инстантоны действительно вносят в них главный вклад). Топологическая восприимчивость Qt (195Меи)4, что близко к ожидаемом} нами значению, однако, по неизвестным причинам измерения дают существенно большее зиачение для глюонпого конденсата F „/32TT2 . Впрочем другие измерения (см. ниже) показывают, что в действительности, инстантонный вакуум достаточно разрежен.
Измерения плотности инстантонов было выполнено в группе SU{2) в работе [85]. Она оказалась равной яз (1/1.3/т)4, в неплохом согласии с вышеприведенным предсказанием. В той же работе средний размер инстантона из независимых измерений получился равным 0.35 fm, так что упаковочный параметр R/p 3.7. Это согласуется с нашими ожиданиями (см.выше). Распределение па размерам было также измерено и приводится на Рис.2.2. На этом же рисунке представлено распределение по размерам, полученное из формулы (2.3) со значением среднего размера р = 0.30 fm, которое буквально получается у пас для группы 5(/(2). Видно, что имеется разумное согласие эксперимента и теории инстантонного вакуума.
В группе SU(3) измерения плотности инстантонов и распределения их по размерам было проделано в [89]. Они показывают, что плотность, инстантонов больше и средний размер инстантона также больше, чем в группе SU(2). Это также находится в соответствии с теоретическими ожиданиями. Дальнейшие подтверждения этой теории в связи с измерениями на решетке можно найти в большом обзоре Шуряка [82].
Резюмируя, можно сказать, что теория инстантонного вакуума [29] находится по крайней мере в качественном согласии с-решеточными измерениями. Впрочем следует иметь в виду, что качество самих решеточных данных еще пока довольно плохое.
Как уже указывалось, Спонтанное Нарушение Киральной Инвариантности (СНКИ) является одним из центральных явлений в КХД, определяющим свойства адронов. Параметром порядка СНКИ является киральпый конденсат: известным из правил сумм КХД и появление ненулевой эффективной массы кварка.
Динамическое спонтанное нарушение симметрии, аналогичные СНКИ неоднократно встречались в физике. Наиболее близким аналогом СНКИ. по-видимому следует считать явление сверхпроводимости, где в результате нарушение симметрии появляется ненулевое среднее Ф+Ф+ и ненулевая щель в спектре возбуждений. Поэтому неоднократно предпринимались попытки объяснения СНКИ в КХД на основе механизма аналогичного сверхпроводимости.
Следует, однако, отметить весьма важную разницу между этими явлениями. Дело в том, что благодаря наличию Ферми-поверхности в сверхпроводнике задача носит по существу двумерный характер. Поэтому явление спонтанного нарушения симметрии происходит при любой, сколь угодно малой константе связи.3. В КХД же для появления СНКИ необходимо, чтобы константа связи превысила некоторое критическое значение. Поэтому хотя СНКИ и можно воспроизвести в пертурбативной теории, этот механизм СНКИ требует фактически выхода за ее рамки.4 Ситуация принципиально меняется при учете инстантонов. Благодаря наличию в поле индивидуального инстантона так называемой нулевой моды оказывается возможным абсолютно другой механизм СНКИ. В некотором смысле киральная инвариантность оказывается нарушена 100 % уже на одном инстантоне (за счет Адлеровской аномалии), однако, одновременно обращается в ноль вероятность нахождения инстантона в вакууме. Проблема решается благодаря явлению делокализации нулевых мод в инстантонном вакууме, которое обеспечивает одновременно и ненулевую плотность инстантонов и ненулевое значение параметра порядка СНКИ. В результате теория СНКИ в инстантонном вакууме приобретает черты другого раздела физики твердого тела — теории неупорядоченных систем [39] (В частности, СНКИ в вакууме КХД есть полный аналог появления ненулевой проводимости в так называемой.модели P.V.Anderson a). Замечательно, что СНКИ возникает при сколь угодно малой "константе связи" (роль которой в данном случае играет упаковочный параметр), а потому все вычисления находятся полностью под контролем и параметрически оправданы5. Это выгодно отличает механизм СНКИ, основанный на инстантонах от объяснений в рамках теории возмущений.
Кварки в сферически-симметричном пионном поле
Конфайимент оказывается чувствителен к виду действия. Все наблюдения линейного потенциала основаны на Вильсоповском действии, в котором конфайнмент в пределе сильной связи тривиален в силу компактности действия и необходимо лишь, чтобы по дороге к непрерывному пределу не произошло фазового перехода. Отсутствие перехода подтверждается решеточными данными. Можно, однако, пытаться рассматривать и другие действия, которые не приводят автоматически к линейному потенциалу в сильной связи и которые должны в соответствие с общепринятой логикой при переходе в непрерывный предел испытывать фазовый переход в фазу конфайнмента. Предпринятые попытки привели, однако, к отрицательному результату. С другой стороны существующие решеточные данные для действия Вильсона можно неплохо описать и в предположении, что фазовый переход в состояние деконфайнмента происходит при достаточно больших /? = 6/д2 [102, 103] (непрерывный предел отвечает /3 - оо). Имеются также теоретические основания полагать, что непрерывный предел отвечает на решетке очень большим (3 [104].
Наконец, были проведены ряд экспериментов, в которых действие выбиралось таким образом, чтобы устранить решеточные артефакты ("тонкие" монополи и вихри) [105, 10G]. Линейный потенциал в таких измерениях отсутствовал.
Теоретические сценарии конфайнмента можно разделить на 3 группы: 1. Наиболее популярным является механизм конфайнмента основанный на монополях. Его идея восходит к Мандельстаму и разрабатывалась далее т Хофтом[107, 108, 109, ПО, 111]. Идея состоит в том, что динамически в глюодинамике возникают особые связанные состояния (или солитоны) глюонов — монополи, которые выпадают в конденсат и обеспечивают дуальный эффект Мейсснера, который и приводит к линейному потенциалу между кварками. Монополем следует называть объект, который приводит к отличному от единицы значению Вильсоиовской петли на сколь угодно больших расстояниях от него. 15.
Сценарий монопольного конфайнмента был рассмотрен в замечательной работе А.Полякова[ 19], где было показано, что он обеспечивает невылетание в d = 3 модели Джорджи-Глэшоу. В двух важных пунктах он отличается от изложенного выше.
Во-первых, монополь как статический объект в данной теории не образуется (и соответственно трудно говорить о конденсате монополей). Основные непертурбативные флуктуации теории ("инстаитоны" в d = 3 или монополи в d = 4) содержат во временном срезе статический монополь, размер которого меняется как функция времени.
Во-вторых, что более важно, теория содержит лишь абелевы монополи и, соотвественно, приводит лишь к иевылетанию /(1)-заряда. Выпадение в конденсат абелевых монополей приведет к спонтанному нарушению калибровочной симметрии, даже если оно не было задано с самого начала как в модели Полякова.
Последняя трудность оказывается принципиальной в монопольном сценарии. Из очень общих соображений следует, что могут существовать только /(1)-монополи, что связано с дальнодействующим (типа 1/г) характером их взаимодействия. Если цветная группа содержит несколько таких подгрупп, то возможно несколько типов монополей [111].
Однако, невылетаиие, основанное на абелевом заряде есть не то, что нам нужно — это приведет к неприемлемым феноменологическим последствиям (см. например [112, 113].) 16. Тем не менее до последнего времени решеточные данные как будто подтверждали так называемую абелеву доминантность в глюодинамике [114, 115, 116]. Возможно за этим явлением скрывается нечто более сложное.
Критерий конфайнмента, основанный на конденсации монополей представляется неудобным, поскольку предполагает введение в теорию некоторого эффективного поля динамических монополей. Поэтому в работе [112] мы предложили критерий монопольной конденсации, который носит более феноменологический характер. Именно, рассмотрим распределение монопольных петель вакуума по длинам и пусть V(l) есть вероятность найти в вакууме монопольную длины /. Как показано в [112] предположение, что при больших /: эквивалентно гипотезе о конденсации монополей. В [112] также показано, что гипотеза (2.63) приводит к конфайнменту за счет явления, аналогичного дуальному эффекту Мейсснера. Измерения распределения V{1) пока имеют недостаточную точность. Однако, в литературе [106] имеются утверждения, что это распределение имеет вид:
Такое распределение не может обеспечить конфайнмента. 2. Другим популярным сценарием конфайнмента является сценарий, основанный на Z(NC) вихрях, которые представляют собой струноподоб-ные объекты, несущие ненулевую Л -альность. О] Рассмотрение таких объектов связано с предложенным много лет назад А.М.Поляковым сценарием конфайнмента как востановления Z(NC). симметрии. Динамически этот сценарий совершенно не разработан, отметим лишь, что "доминантность" вихрей выполняется на решетке еще лучше чем "абелева доминантность". [120, 121] Сценарий, основанный на вихрях, предполагает закон периметров для Вильсоиовских петель в adjoint представлении с самого начала. Наблюдаемый на решетке закон площадей для представлений с нулевой триальностью может быть объяснен в рамках этого подхода только тем, что размер Вильсоновской петли еще не превысил размеров самого вихря. [122] Другими словами необходимо, чтобы толщина вихря была не менее 1 fm, что представляется невероятным. 3. Стохастический сценарий конфайнмента восходит к механизму конфайнмента на решетке в пределе сильной связи, в котором конфайн-мент появляется благодаря полной нескоррелированности (стохастичмо сти) теории сформулированной в некоторых переменных.17 К сожалению несмотря на многочисленные попытки, этот сценарий не удается воспроизвести ни в одной последовательной динамической модели.[123]
Упомянем также работы Ю.А.Симонова, посвященные кластерному (кумулянтному) разложению величин в КХД и, в частности, Вильсопов-ской петли, см.например его обзор [124]). Предполагая определенные свойства калибровочно инвариантных корреляторов полей в КХД удается воспроизвести многие черты как реальной КХД, так и наблюдаемые на решетке [124, 125, 126]. Впрочем, очевидно, что для Вильсоновской петли кумулянтиое разложение может быть справедливо, только если размер петли не слишком велик. Тот факт, что в таком подходе удается воспроизвести ряд решеточных экспериментов служит для нас дополнительным аргументом в пользу того, что наблюдения на решетке носят предасимптотический характер.
Вычислению Вильсоновской петли в инстантонном вакууме были посвящены нашиработы [117, 113] (см.также [118]). Используя вириальное разложение, мы получили для статического потенциала между кварками в представлении R группы SU(NC):
Поскольку инстантоны представляют собой, по существу, SU{2) объекты, представление Я необходимо разложить по неприводимым представлениям J группы SU(2). Суммирование в формуле (2.65) идет по таким представлениям. Функции Fj имеют вид:
Отметим, что это наблюдение находится в замечательном соответствии с выводом (2.63) о распределении монопольных петель, отвечающим конденсации. Действительно, как это хорошо известно, [20] инстантон размера р содержит внутри себя петлю из монополей размера р.
Вариационный анзац (2.2) безусловно переоценивает отталкивание инстантонов больших размеров (это можно проверить например для инстантонов очень больших размеров р ] R). В этом нет ничего удивительного — вариационный принцип должен работать хорошо только для средних конфигураций, которые дают основной вклад в энергию вакуума.
Механизм конфайнмента, основанный на распределении (2.69) позволяет сделать определенные предсказания для отношений натяжений струн (разумеется, без учета квантовых глюонов, которые приводят к экранированию). Эти отношения не совпадают с гипотезой Casimirscaling (хотя и не очень далеки от нее), что послужило поводом автору работы [119] прийти к выводу, что инстантоны не могут иметь отношения к конфайн-менту. Ясно, однако, что отношения натяжений в предасимптотической области (о которой идет речь) могут отличаться от приведенных выше.
Истинная трудность с механизмом, описанным выше, состоит в.другом. Можно показать, что распределение (2.69) возможно только если между инстантонами есть дальне-действующее взаимодействие. Конфигурации очень больших размеров должны на самом деле сильно отличаться от инстантонов благодаря взаимодействию с вакуумными флук-туациями — в частности, нет оснований считать их сферически симметричными. Что же касается буквально инстантонов больших размеров, то из довольно общих соображений, связанных с конформной инвариантностью, следует, что наиболее естественным является распределение v{p) = const//)5. Отметим, что это согласуется с результатами[10б] по распределению по длинам монопольных петель на решетке. Однако, это распределение не приводит к линейному потенциалу.
Электромагнитные свойства нуклона в киральной теории
Скирма и кварковая модель являются двумя предельными случаями киральной теории. Параметром, по которому происходит переход от одной модели к другой является размер нуклона.
Рассмотрим вначале случай, когда размер нуклона велик, т.е. Мт0 1 (М — конституентная масса кварка). В этом случае самосогласованное поле меняется медленно и свойства уровней для кварков, как указывалось Если топологический заряд поля Qt, (3.15), равен единице, то ровно один уровень (валентные кварки) перешел из верхнего континуума и находится вблизи нижнего континуума. Барионный заряд (3.1) также равен единице и, следовательно, совпадает с топологическим В = Qt.
Масса нуклона дается суммой энергии поля и энергий составляющих кварков. Мы уже отмечали, что в случае, когда уровень пересекает ноль и находится вблизи отрицательного континуума именно эта величина определяется из асимптотики детерминанта оператора Дирака с фейнма-повскими граничными условиями в постоянном самосогласованном поле (или, иначе говоря, вычисленного из евклидовского функционального интеграла). Если именно эта величина принимается, как это обычно делается, за эффективный киральный лагранжиан, то мы видим, что масса нуклона, действительно, определяется как значение ЭКЛ, вычисленное на стационарном самосогласованном поле. Именно это утверждение составляет основную идею модели Скирма. [45]. Минимум массы нуклона как функционала от самосогласованного поля совпадает в этом случае с уравнениями движения, следующими из ЭКЛ.
Поскольку в модели Скирма мы отказываемся от рассмотрения кваркових переменных (предполагается, что по ним выполнено интегрирование в функциональном интеграле КХД)10, то в этой модели можно вычислять только ограниченное количество характеристик нуклона, а именно величины, связанные с векторными и аксиальными кварковыми токами.
Эти токи являются вариационными производными кирального лагранжиана по соответствующим преобразованиям С/75. В силу теоремы Не-тер те же токи можно вычислять и на языке кварковых операторов. Если размер нуклона велик, то вклад в соответствующую величину определяется только киральным лагранжианом, поскольку он будет включать и вклад и валентных кварков.
Характеристики нуклона, которые не выражаются непосредственно через эффективный киральный лагранжиан, в модели Скирма вычислять нельзя, поскольку они требуют дополнительных предположений (например, в модели Скирма нельзя вычислить структурные функции). Скир-мовским пределом для них мы будем называть предел больших размеров самосогласованного поля.
В пределе больших размеров поля основной вклад во все величины дает первый член разложения ЭКЛ по градиентам — кинетическая энергия 7г-мезонов, (3.5) (а в мнимую часть ЭКЛ — член Весса-Зумино). Эти члены могут быть выведены непосредственно из КХД. Что же касается Скирмовского члена с 4-мя производными, добавленного в работе [45] для устойчивости соответствующего классического решения, то, как мы видели, он противоречит и КХД и экспериментальным данным. Поэтому модели Скирма можно доверять до тех пор, пока вклад Скирмовского члена мал. Это заведомо так в случае больших размеров нуклона.
Рассмотрим теперь обратный предельный случай нуклона-солитона, а именно, когда размер поля мал MTQ ЗС 1. В этом случае самосогласованное поле слабо и дискретный уровень не возникает. Масса нуклона определяется только валентными кварками MN - NCM. В нерелятивистской кварковой модели предполагается, что валентные кварки связаны в нуклон и уровень является нерелятивистским. В принципе, такая ситуация возможна и в киралыюй теории нуклона при довольно малом (но все же ненулевом) размере поля. Если уровень является нерелятивистским, то в уравнении (3.38) волновая функция ji(r) с орбитальным моментом / = 1 мала по сравнению с волновой функцией ho. Это означает, что волновая функция валентных кварков в нерелятивистском пределе факторизуется на произведение радиальной волновой функции и волновой функции, описывающей спин и изоспин. где і — спиновый a or — изоспиновый значок.
Как показано в Приложении С, это означает, что полная волновая функция нуклона в кварковой модели может быть записана в виде
(3.66) Здесь J и Т спин и изоспйн бариона, J$ и Тз проекции спина и изоспина. Интегрирование по матрице R флэйворной группы описывает вращение нуклона-солитона, D (R) — матрица конечных вращений Вигнера. п. ф есть операторы рождения кварков; произведение идет по всем иве гам.
Можно показать в общем виде, что гипотеза о том, что волновая функция бариона имеет вид (3.66) эквивалентна кварковой модели. Характеристики барионов в этой модели получаются как матричные элементы от кварковых операторов по этой волновой функции. Они факто-ризуются на произведение матричного элемента от радиальной волновой функции (который не вычисляется в модели) и волновой функции описывающей спин, изоспйн и цвет. Поскольку последняя фиксируется полностью кварковая модель позволяет предсказать ряд соотношений между характеристиками барионов.
Итак, при малых размерах нуклона, киральная теория нуклона сводится к конституентной кварковой модели. Разумеется, формально мы получаем эту модель в пределе большого числа цветов Nc — со. Однако, формула (3.66) определена при всех Nc. Для малого размера нуклона киральная теория сводится к кварковой модели также при всех Nc. Действительно, в следующих порядках по Ne следует учесть 7г-мезонные петли и изменение волновых функций уровня.. Однако, в любом случае вклад самосогласованного поля в физические величины мал в этом случае, а волновая функция валентных кварков определяется полностью симметрией поля (хотя радиальная ее часть и меняется).
Подводя итоги, можно сказать, что киральная теория нуклона интерполирует между моделью Скирма и кварковой моделью: модель Скирма отвечает пределу больших, а кварковая модель— малых размеров. Истинный размер нуклона лежит при Mr0 1. Поэтому предсказания киральной теории лежат между моделью Скирма и кварковой моделью. Обычно они лучше, чем предсказания и той и другой модели.
Проиллюстрируем сказанное на примере вычисления одной из характеристик нуклона — изотриплетной аксиальной константы да. Она будет вычислена в следующей Главе (а первая поправка по Л с будет обсуждаться в Главе 5). График зависимости постоянной да от размера пионного поля приведен на Рис.3.9
Вращательные состояния с большими J и Редже-траектории
Квантовые поправки к картине бариона-солитона — это поправки по параметру l/Nc. Уже неоднократно упоминалось, что поправки по числу цветов меняют, вообще говоря, сам ЭКЛ (3.2). Поэтому может показаться, что нет смысла вычислять поправки к массе нуклона, используя этот лагранжиан. Можно, однако, думать, что поправки по Nc меняют только параметры этого лагранжиана, поскольку он представляет собой наиболее общее выражение (удовлетворяющее киральной инвариантности) для первого члена разложения по отношению массы-конституент-ного кварка к характерной массе адрона (см.Главу 2). Кроме того следует иметь в виду, что большая часть этих поправок носит петлевой характер, а потому помимо Nc подавлено еще и большими численными факторами.
Если же иметь в виду вычисление поправок по числу цветов к массе (и прочим характеристикам) солитона в рамках лагранжиана (3.2), то, в принципе, это вычисление не представляет труда. Оно может быть проделано обычным квазиклассическими методами. При этом, однако, поправка к массе нуклона будет ультрафиолетово расходиться, поскольку теория, основанная на лагранжиане (3.2) не является, разумеется, перенормируемой. Этого и следовало ожидать, поскольку ЭКЛ (3.2) является лишь низкоэнергетичским пределом эффективного лагранжиана. Этоозначает, что возникающие ультрафиолетовые расходимости должны быть обрезаны на верхнем пределе применимости этого ЭКЛ. Как обсуждалось выше, этим пределом является обратный размер инстантона 1// « 600 MeV. Трудность, однако, состоит в том, что из-за непереиори-руемости ЭКЛ, ультрафиолетовые расходимости носят степенной характер, а потому полностью определяются импульсами порядка обрезания. Другими словами, квантовые поправки к солитону вообще не определяются ЭКЛ и их вычисление находится вне области его применимости.
Существует, однако, выделенный класс поправок по Ne, которые могут быть вычислены из ЭКЛ — это поправки, связанные с нулевыми модами. Нулевые моды вокруг солитона связаны, как всегда, с непрерывными симметриями задачи. В данном случае речь идет о трансляционных и вращательных нулевых модах..
Особая роль поправок, связанных с нулевыми модами состоит в том, что обычно их легко отделить от остальных. Так, например, существует ряд характеристик барионов, ненулевой вклад в которые возникает только благодаря учету вращательных поправок. Вид этих поправок определяется лишь симметрией задачи, а коэффициенты определяются матричными элементами, которые мы, по существу вычисляем в ведущем порядке по числу цветов.
Вращательные поправки определяют квантовые числа и спектр барионов в киральной теории. Классический солитон имеет неопределенные квантовые числа; его вращательные состояния суть состояния с определенными спином и изоспином. Симметрия исходного солитона при этом определяет какие именно квантовые числа возможны для вращательных состояний. Как мы увидим, ежовая симметрия солитона обеспечивает правильный спектр барионов, отвечающий наболюдаемому.
Теория вращения для бариона-солитона была построена для модели Скирма еще в [45] (см также [48]). В принципе, в киральной теории она строится аналогично, хотя при этом возникают ряд новых, так называемых аномальных вращательных поправок, которые не имеют аналога в модели Скирма. Эти поправки резко улучшают согласие с экспериментом.
Теория вращения бариона-солитона позволяет вывести ряд соотношений между величинами, характеризующими барионами, основанными только на свойствах симметрии солитона. Эти соотношения не используют явного вида эффективного киралыюго лагранжиана, а основаны только на идее "бариона как солитона" и пределе Nc — со. Эти соот ношения обычно очень хорошо выполняются на эксперименте — гораздо лучше, чем вычисление абсолютных величин, используюшее явный вид ЭК Л. Это, впрочем, неудивительно ибо применимость ЭКЛ требует еще дополнительного параметра. Мы выводим большое количество таких соотношений в этой и следующей Главе.
Общая теория вращения в флэйворной группе SU(2) изложена в разделе 5.1 (а в группе SU(3) в Главе 6). Вращательные состояния есть барионы с изотопичеким спином равным спину J — Т — 1/2,3/2,— К ним следует отнести изодублет нуклонов и изоквадруплет Д-резонансов. Вращательные поправки к величинам, характеризующим эти частицы, рассмотрены в разделе 5.2.
В природе, однако, по-видимому, нет частиц, отвечающих более высоким вращательным состояниям бариона-солитона с J = Т 5/2. Раздел 5.3 посвящен обсуждению этой проблемы.
Дело в том, что при J»iVc вращение солитона перестает быть быть малой поправкой, а должно учитываться уже в классических уравнениях движения. Центробежные силы деформируют исходно сферический симметричный солитон, превращая его в объект, подобный сигаре. В разделе 5.3 это явление рассмотрено в обратном предельном случае J Nc. В этом предельном случае солитон приобретает вид струны, а вращательные возбуждения лежат на прямолинейных Редже-траекториях (что отвечает эксперименту). Мы вычисляем наклон соответствующей Редже-траектории и ширины распада состояний, лежащих на ней.
Для того, чтобы определить квантовые поправки к массе нуклона необходимо прежде всего вычислить эффективную "массу нуклона". (3.2S) для полей U(x,t), слабо отличающихся от перевального (стационарного) поля U{x): а затем вычислить гауссов интеграл по Sl(x,t). Если U{x) — перевальное поле, то линейные поправки по Sl(x,t) отсутстствуют. Это дает поправки к массе нуклона порядка 0(N). Вычисление этих поправок, в принципе, может быть проделано квазиклассическими методами, обычными в методе функционального интегрирования. Первым делом нужно было бы вычислить поляризационный оператор 7г-мезона П(х,у7Гс ), т.е. вычислить сумму диаграмм с кварковой петлей во пионном поле в которой все внешние линии кроме двух, заменены на среднее поле. Для вычисления поправки к массе нуклона теперь нужно вычислить функциональный интеграл:
Такое вычисление возможно, разумеется, только численно. Оно выходит за рамки Диссертации.
Особую роль среди квантовых поправок играют поправки, связанные с нулевыми модами, для которых интеграл по 6l(x,t) — негауссов. Отклонения связанные с нулевыми модами не малы и их нельзя разложить в ряд (5.1). Нулевые моды всегда связаны с непрерывными симметриями задачи. В данном случае есть трансляционные и вращательные нулевые моды. Особо важны последние — они определяют квантовые числа нуклона.
Рассмотрим поэтому поле U(x,t), отвечающее "вращающемуся ан-зацу"
Здесь R(t) — унитарная матрица из SU(2), зависящая только от времени. Зависимость от постоянной матрицы выпадает из выражения (3.28) (т.е. вращение действительно соответствует нулевой моде) — это выражение зависит только от производных R. Однако, вращение происходит адиабатически при Ne — со: момент инерции нуклона прорядка Л с, а угловая скорость