Содержание к диссертации
Введение
1 КЭД теория многозарядных ионов 10
1.1 Современный статус физики МЗИ 10
1.2 КЭД представление электромагнитного и электрон-позитронного полей 15
1.3 Теория возмущений 22
1.4 Фейнмановские графики 24
1.5 Методы расчета энергии МЗИ 25
2 Метод контура линии 28
2.1 Естественный контур линии 28
2.2 Метод контура линии для одноэлектронных конфигураций . 29
2.3 Метод контура линии для многоэлектронных конфигураций. Случай невырожденных состояний 34
2.4 Метод контура линии для многоэлектронных конфигураций. Случай квазивырожденных состояний 42
3 Численные расчеты мелсэлектронного взаимодействия в двух- и трехэлектронных многозарядных ионах 46
3.1 Двухэлектронные конфигурации 46
3.2 Трехэлектронные конфигурации 50
3.3 Квазивырожденные уровни 53
3.4 Результаты численных расчетов 56
Заключение 61
Приложения 63
- КЭД представление электромагнитного и электрон-позитронного полей
- Метод контура линии для одноэлектронных конфигураций
- Метод контура линии для многоэлектронных конфигураций. Случай квазивырожденных состояний
- Квазивырожденные уровни
Введение к работе
Актуальность работы
Многозарядные ионы в настоящее время являются объектом интенсивного экспериментального и теоретического исследования. Электроны в тяжелых многозарядных ионах движутся в очень сильных электрических полях, существенно превосходящих по величине электрические поля, достижимые в лабораторных условиях. Поэтому, исследование многозарядных ионов необходимо осуществлять в рамках квантовой электродинамики, что является сильным стимулом ее развития и служит уникальным инструментом проверки КЭД теории в сильных полях. В последнее время, в связи со значительным развитием техники эксперимента, возможностей компьютеров и теоретических и численных методов, получено множество новых важных результатов в области физики тяжелых ионов. Настоящая диссертация посвящена расчету уровней энергии двух- и трехэлектронных многозарядных ионов, выполненному строго в рамках КЭД. Цель работы
Вывод выражений для поправок к уровням энергии на межэлектронное взаимодействие, в случае невырожденных уровней.
Вывод выражений для поправок к уровням энергии на межэлектронное взаимодействие, в случае квазивырожденных уровней.
Численный расчет поправок к уровням энергии на межэлектронное
взаимодействие для двух- и трехэлектронных конфигураций. 4. Исследование уровней энергии 2lSo и 23Р0 двухэлектронных конфигураций в районе Z — 63 (вблизи их пересечения), необходимое для подготовки эксперимента по изучению эффектов несохранения четности.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие новые результаты:
Развит метод контура линии для расчета уровней энергии электронных конфигураций многозарядных ионов. Представлено применение метода для расчета поправок до третьего порядка включительно. Рассмотрены случаи невырожденных и квазивырожденных уровней.
Получены выражения для поправок к уровням энергии на межэлектронное взаимодействие, для двух- и трехэлектронных конфигураций. Рассмотрены случаи невырожденных и квазивырожденных уровней.
Произведен численный расчет поправок к уровням энергии на межэлектронное взаимодействие во втором порядке для низколежащих возбужденных двух- и трехэлектронных конфигураций. Расчет произведен для невырожденных и для квазивырожденных уровней. Расчет проведен строго в рамках КЭД.
Произведен численный расчет поправок к уровням энергии на межэлектронное взаимодействие в третьем порядке для двух- и трехэлектронных конфигураций. Расчет произведен с пренебрежением запаздыванием.
Научная и практическая ценность работы
1. Представлено применение метода контура линии для вычисления уровней
энергии одно- и многоэлектронных конфигураций. Разработано применение
метода контура линии для случая квазивырожденных уровней.
Расчет поправок на межэлектронное взаимодействие позволил представить точный КЭД расчет уровней энергии низколежащих двух- и трехэлектронных конфигураций в многозарядных ионах. Поправки на межэлектронное взаимодействие являются доминирующими в каждом порядке теории возмущений соответственно, и поэтому основная неточность более ранних расчетов была связана с отсутствием точного значения этих поправок. Представленные значения являются наиболее точными в настоящее время.
Полученные значения поправок к уровням энергии на межэлектрошюе взаимодействие в третьем порядке позволяют оценить величину полного вклада поправок высших порядков в уровни энергий.
Исследовано поведение уровней энергии 21^ и 23Р0 двухэлектронных конфигураций в районе Z = 63 (вблизи их пересечения). Точное знание разности между этими уровнями необходимо для подготовки эксперимента по изучению эффектов несохранения четности.
Апробация работы
Работа докладывалась на семинарах кафедры квантовой механики НИИФ СПбГУ, на семинаре ПИЯФ РАН и на семинаре Института теоретической физики Технического университета Дрездена (Германия). Ее результаты докладывались на международной конференции в Италии ("Hydrogen atom II: Precision Physics of Simple Atomic Systems", Castiglione della Pescaia, Italy, 2000) и на международной конференции во Франции ("II**1 International Conference on the Physics of Highly Charged Ions", Caen, France, 2002).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
О.Ю. Андреев, Л.Н. Лабзовский Квантово-электродинамический расчет меэюэлектропного взаимодействия для He-подобных и Ы-подобных многозарядных ионов. // Оптика и спектроскопия - 2000. - т.89. - с.181-188.
O.Yu. Andreev and L.N. Labzowsky The full QED calculation of the two-photon exchange contribution in He-like and Li-like ions, jJ In.: Hydrogen Atom II: Precision Physics of Simple Atomic Systems, Book of abstracts, Editors: S. G. Karshendoim and F. S. Pavone - Castiglione della Pescaia, Italy - 2000.
O.Yu. Andreev, L.N. Labzowsky, G. Plunien and G. Soff QED calculation of the interelectron interaction in two- and three-electron ions. // Physical Review A - 2001. - vol.64. - p.042513-1 - 042513-20.
O.Yu. Andreev, L.N. Labzowsky, G. Plunien and G. Soff Evaluation of the low-lying energy levels of two- and three-electron configurations for multi-charged ions. I/ Physical Review A - 2003. - vol.67. - p.012503-1 - 012503-11.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и содержит 132 страницы, 18 рисунков и 30 таблиц. Список литературы включает 104 наименования.
Краткое содержание работы
В первой главе представлено современное состояние физики многозарядных ионов (МЗИ). Глава состоит из пяти параграфов. В 1.1. описаны основные направления исследования МЗИ. Отмечено бурное развитие физики МЗИ в настоящее время. В 1.2. изложены основы КЭД теории
для связанных электронов. Рассмотрено квантование электромагнитного и электрон-позитронного полей. В 1.3. представлена теория возмущения для ^-матрицы в представлении взаимодействия. В 1.4. описаны основные моменты графической техники Фейнмана. В 1.5. изложен стандартный метод адиабатической 5-матрицы, разработанный Гелл-Манном и Лоу и дополненный Сыочером [1,2], для расчета уровней энергии МЗИ.
Во второй главе изложен метод контура линии. Глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 2.1. обсуждается проблема природы контура линии в атомной физике, отмечается появление лорентцевского контура в резонансном приближении в рамках КЭД теории [3]. В 2.2. представлен метод контура линии на примере одноэлектронных конфигураций. В 2.3. описано применение метода контура линии для многоэлектронных конфигураций. В 2.4. описано применение метода контура линии для случая квазивырожденных конфигураций.
В третьей главе представлен расчет энергетических уровней электронных конфигураций. Глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 3.1. рассматриваются поправки на межэлектронное взаимодействие для 2!5о, 23Ро, 23S\ двухэлектронных конфигураций. В параграфе 3.2. рассматриваются поправки на межэлектронное взаимодействие для (ls)22si/2, (ls)22pi/2 трехэлектронных конфигураций. В этих параграфах представлены выражения для поправок на межэлектронное взаимодействие во втором и третьем порядках, полученные в результате применения метода контура линии. Расчет поправок второго порядка сделан строго в рамках КЭД. Расчет третьего порядка сделан в приближении пренебрежения запаздыванием.
В параграфе 3.3. рассматриваются поправки на межэлектронное взаимодействие для квазивырожденных 2lP\, 23Pi двухэлектронных конфигураций.
Представлено применение МКЛ для случая квазивырожденных состояний.
В параграфе 3.4. представлены результаты численных расчетов поправок на межэлектронное взаимодействие для рассматриваемых двух- и трех-электронных конфигураций. С учетом полученных результатов для этих поправок и других поправок, заимствованных из имеющейся литературы, получены значения для уровней энергий рассматриваемых (невырожденных) конфигураций. Полученный расчет проведен в рамках КЭД и является наиболее точным в настоящее время.
Было получено, что конфигурации 2\5о и 23Ро имеют пересечение в интервале 60 < Z < 70. Экспериментальное изучение эффектов несохранения четности в He-подобных ионах требует знания точной разности энергий между этими уровнями в точке Z = 63 [4]. UT теория [5] для этой разницы дает значение около 0.168 eV, в то время как представленный в этой диссертации расчет дает большее значение 0.591 eV. Настоящий расчет предсказывает, что точка пересечения этих уровней находится около Z = 66, где разность между уровнями энергий составляет —0.016 eV. Тем не менее, Не-подобный ион Eu (Z = 63) оказывается наиболее удобным для изучения эффектов несохранения четности [4].
В диссертации имеется три приложения. В приложении А представлен метод численного решения уравнения Дирака, основанный на применении В-сплайнов. В приложении В представлено аналитическое интегрирование по угловым переменным в матричных элементах. В приложении С представлена процедура численного интегрирования, использованная при расчетах.
КЭД представление электромагнитного и электрон-позитронного полей
В большинстве методов для описания многозарядного иона (МЗИ) в рамках квантовой электродинамики (КЭД) применяется представление Фарри. МЗИ рассматривается как набор электронов, двигающихся во внешнем поле (поле ядра или самосогласованном поле Хартри-Фока) и взаимодействующих друг с другом посредством электромагнитного поля [55]. Плотность лагранжиана такой системы может быть представлена в виде где L1 - плотность лагранжиана свободного электромагнитного поля, Le -плотность лагранжиана свободного электрон-позитронного поля плюс внешнего "классического" поля, L-mt - плотность лагранжиана взаимодействия. Ввиду калибровочной инвариантности ковариантной формы уравнений Максвелла плотность лагранжиана свободного электромагнитного поля определяется неоднозначно и может быть записана в виде А - калибровочный параметр. В диссертации используется релятивистская система единиц: с— 1, Ті = 1, е - заряд электрона (е = — е), а — e2/(hc) - постоянная тонкой структуры. Используются следующие значения констант [56]: а = 1/137.03599976(50), leV - 27.2113834(11) a.u., а0 = la.u.(length) = 0.5291772083(19) х 10-10m - радиус Бора (lfm = 10 15m). Также используется следующая система обозначений: х 1 - контравариантный 4-вектор, х — д[Щ х11 - ковариант-ный 4-вектор, д[Щ - метрический тензор (доо = 1 9тт — — !)
По умолчанию, индексы, обозначенные греческими буквами, пробегают значения (і — 0,1,2,3, индексы, обозначенные латинскими буквами, пробегают значения т — 1,2,3, по повторяющимся индексам ковариантных и контравари-антных 4-векторов подразумевается суммирование. 4-радиус вектор обозначается как Xі1 = (t, г), 4-импульс вектор как /см = (ш, к). Произведение этих векторов обозначается как кх — к х — tot — кг, соответственно к2 = ш2 — к2. Элементы 4-объема обозначаются как dAx = dtd r,dAk = dujd3k. Из принципа наименьшего действия для потенциала электромагнитного поля Ац получается уравнение Кулоновской калибровке отвечает Л = 0, фейнмановской калибровке Л = 1. В представлении вторичного квантования оператор электромагнитного поля (в фейнмановской калибровке) запишется в виде [57] /О, А где к — (ш, к), и = \к\ - частота, к - волновой вектор, е х\к) - 4-вектор поляризации (Л — 1,2 соответствуют поперечной поляризации, А = 3 - продольной, А = 0 - скалярной), V - нормировочный объем. Операторы С Л, Ск,х суть операторы рождения и уничтожения фотонов, удовлетворяющие следующим Оператор энергии электромагнитного поля задается как Волновая функция фотона с определенным моментом и четностью в координатном представлении может быть представлена в виде [57] здесь и = fc и нормировочный объем V положен равным единице. Свертка операторов определяется как разность хронологического и нормального произведения Фотонный пропагатор определяется как свертка операторов электромагнитного поля В случае фейнмановской калибровки выражение для фотонного пропагатора может быть записано в виде Для кулоновской калибровки выражение для фотонного пропагатора имеет вид (1.22) (1.23) Пропагатор D 2(rci,2) отвечает кулоновским фотонам, ) lLl2{xi,x2) брейтовским (поперечным) фотонам. Плотность лагранжиана свободного электрон-позитронного поля и внешнего "классического" поля может быть записана как т - масса электрона, е - заряд электрона (е = — е), в качестве Aciass может выступать поле ядра Afa&s — \e\Z/r, A ss = 0, т = 1, 2,3. Этот лагранжиан определяет следующую систему уравнений (уравнение Дирака во внешнем электромагнитном поле) (l»(i- ; - еА П - т)Ф = 0 (1.27) где ф = ф+-у. Для стационарных состояний решение уравнения Дирака представляется в виде где ф3{г) - решение стационарного уравнения Дирака где р — — zV - оператор импульса. Для потенциала точечного ядра Afass = \e\Z/r, Adass — 0 уравнение (1.30) может быть решено аналитически [57].
Дискретный спектр уравнения будет иметь вид (формула Зоммерфельда) где - главное квантовое число, j и I - полный и орбитальный момент, соответственно. Разложение формулы (1.32) в ряд по (aZ)2 имеет вид: Первый член разложения представляет собой энергию покоя электрона, второй член разложения совпадает с известной из квантовой механики формулой Бора. В приложении А представлен численный метод нахождения спектра уравнения Дирака для сферически-симметричного потенциала. Операторы электрон-позитронного поля в терминах вторичного квантования запишутся в виде где функции ij)s{x), $s(x) решения уравнения Дирака (1.27, 1.28), af, bf -операторы рождения электронов и позитронов, а81 bs - операторы уничтожения электронов и позитронов, удовлетворяющие следующим антикоммутационным соотношениям Оператор энергии электрон-позитронного поля имеет вид здесь использовано TV-произведение операторов. От сюда видно, что энергия К невзаимодействующих связанных электронов (состояние Ф0) равна Оператор плотности тока записывается как Выражение для свертки операторов электрон-позитронного поля (электронный пропагатор) может быть записано в виде где суммирование по п означает суммирование по полному спектру уравнения Дирака (включая интегрирование по непрерывной части спектра). В практических расчетах МЗИ рассматривается, как помещенный в ящик достаточно большого радиуса, тогда весь спектр уравнения Дирака является дискретным. По аналогии с классической электродинамикой учет взаимодействия электрон-позитронного и электромагнитного полей может быть произведен заменой в (1.24)
Метод контура линии для одноэлектронных конфигураций
Рассмотрим простейший процесс рассеяния на одноэлектронном ионе (рис. 7), который находится в основном состоянии А- Применяя графическую технику, матричный элемент «S-матрйцы будет иметь вид Подставляя выражения для электронного пропагатора (1.43) и функции фотона (1.13), получим выражение Здесь и — \к\ и и/ = \к \ - частоты поглощенного и излученного фотона соответственно. Проинтегрировав по временам (tu, td) и обозначив выражения в квадратных скобках через Ф (гм) и $А{Г І) соответственно, получим Функция Ф (г) может рассматриваться как функция вершины, описывающей процесс поглощения фотона электроном, находящимся в основном состоянии. Введем обозначение Проинтегрируем по частоте шп и положим а/ = и. Тогда, выражение для амплитуды рассматриваемого процесса рассеяния будет иметь вид Мы будем рассматривать случай резонанса, когда частота ш близка к значению u/cs = єа — єА 4- О (а), где а - одно из возбужденных состояний атома. В резонансном приближении мы должны оставить только один член в сумме по п в (2.5): п = а. Тогда Для удобства последующего применения метода контура линии (МКЛ) для многоэлектронных конфигураций введены обозначения Видно, что Т - это функция, определяющая природу процесса рассеяния.
Чтобы получить лорентцевский контур надо поместить график собственной энергии электрона во внутренюю электронную линию графика на рис. 7. Для простоты мы пренебрегаем вкладом графика поляризации вакуума. В низшем порядке теории возмущений это приведет к графику рис. 8. Выражение для амплитуды рассеяния в резонансном приближении будет иметь вид Верхний индекс у функции V показывает порядок теории возмущений (порядок по а) графики которого входят в эту функцию. Повторяя эти вставки в высших порядках мы можем построить геометрическую прогрессию с 1-тъш членом Построенная прогрессия является сходящейся для всех и на вещественной оси, за исключением промежутка вблизи положения резонанса ш Є [єа — єА —\V \,ea — єА +1 ]. Это может объясняться нестабильностью возбужденных состояний. Ввиду того, что на всей остальной части вещественной оси это выражение регулярно, мы можем регуляризовать эту прогрессию, аналитически продолжая ее на область вблизи положения резонанса. Другой способ регуляризации (используемый в [64]) - это введение массы фотона (//), которая предполагается большей чем сдвиг уровня (IV J), но меньшей чем расстояние до соседних уровней (здесь мы рассматриваем невырожденные состояния).
После введения массы фотона, на области вблизи резонанса прогрессия будет сходящейся и, просуммировав ее, в полученном выражение /і можно устремить к нулю. Таким образом, используя формулу для сходящейся геометрической прогрессии, мы получим выражение Беря модуль квадрата амплитуды (2.13), интегрируя по направлениям поглощенного и излученного фотона и суммируя по поляризациям, мы получим лорентцевский контур для вероятности поглощения Здесь dW{u) - вероятность поглощения фотона с частотой в интервале и, и + du и ТаА парциальная ширина уровня а, связанная с переходом а —» А-Таким образом, учтя вклад графика рис. 8, мы улучшили значение положения резонанса Мы определяем сдвиг энергии как сдвиг положения резонанса Тогда вещественная часть матричного элемента (Ек( 5а) ] дает вклад низ шего порядка в лэмбовский сдвиг, а мнимая часть, которая конечна и не нуждается в перенормировке, дает полную радиационную (одно-квантовую) ширину уровня а:
Метод контура линии для многоэлектронных конфигураций. Случай квазивырожденных состояний
Рассмотрим применение МКЛ для случая квазивырожденных состояний. Пусть мы имеем два квазивырожденных уровня. Будем искать их волновые функции в виде комбинации двух двухэлектронных функций в j-j связи: Фі и Ф2. Энергии конфигураций Фі, Ф2 в нулевом приближении обозначим как Е\ , Е\ ) и они предполагаются близкими. Как и для случая невырожденных состояний рассмотрим процесс рассеяния на двухэлектронном ионе, ко торый находится в основном состоянии А. Будем искать положение резонанса вблизи значений сУея = Е[ — U + 0(a) и u/es = Е% — ЕА + 0(&). Действуя в рамках приближения резонанса в сумме (2.30) надо оставить только два члена, отвечающие конфигурациям Фі и Ф2- Выражение для полной амплитуды рассеяния (с учетом всех вкладов) может быть записано в виде где D - матрица 2x2, определенная на функциях Фь Ф2 по формуле где /її, /і2 - дираковские одноэлектронные гамильтонианы (1.31), действующие на одноэлектронные функции, зависящие от г і и 7 2 соответственно.
Ввиду ортогональности Фі и Ф2 матрица D является диагональной. Следуя МКЛ построим геометрическую прогрессию (из матриц) и просуммируем ее, используя формулу для сходящейся геометрической прогрессии: Диагонализовав матрицу V — V +AV, мы получим следующее выражение для амплитуды рассеяния Беря квадратный модуль от амплитуды рассеяния (2.61), интегрируя по направлениям поглощаемого и излучаемого фотонов и суммируя по поляризациям мы получим аналог лорентцевского контура для вероятности поглощения. Видно, что несмотря на появление интерференционных членов, в выражении для вероятности поглощения, искомый сдвиг положения резонанса, соответствующий конфигурациям Фі и 2, определяется уравнениями Таким образом, энергия конфигураций Ф1} Ф2 будет равна Ввиду предположения, что разность энергий рассматриваемых конфигураций мала, уравнения (2.62, 2.63) можно разложить в ряд Тейлора вблизи uj\es — — ЕА + Е\ И О 68 — ЕА + Е\\ что, как и в случае невырожденных конфигураций, позволяет решить эти уравнения. Следует отметить, что в приближении резонанса для двухэлектронного иона, в случае невырожденных уровней энергий, в сумме (2.30) надо фиксировать не конкретные электроны, а конкретную двухэлектронную функцию в j-j связи. При диагонализации этого уравнения другие виды волновых функций не дадут вклада (занулятся) из-за антисимметричности волновой функции основного состояния и симметрии оператора V. Таким образом, фиксируя двухэлектронную функцию в j-j связи, уравнение (2.43) является скалярным уравнением. Применение МКЛ для исследования произвольного числа конфигураций с произвольным числом электронов осуществляется аналогично рассмотренному случаю двойного вырождения двухэлектронных конфигураций. Рассмотрим поправки на межэлектронное взаимодействие (обмен фотонами) в двухэлектронных конфигурациях. Волновая функция двухэлектрон-ной конфигурации представляется в виде где N — 1/2 для эквивалентных электронов и N = 1/\/2 для неэквивалентных электронов, Cjlfirnirnv) - коэффициент Клебша-Гордана.
Используя (3.1) мы можем описать конфигурацию ls2s3S\ вводя a,b = ls+,2s+, где ± обозначает две различные проекции полного углового момента электрона, тогда выражение для поправка к энергии примет вид Здесь Fab... является некоторой функцией одноэлектронных состояний ipa,ipb, Вид функции F зависит от рассматриваемого фейнмановского графика (см. ниже). Для двухэлектронных конфигураций ls2s 1SQ И ls2plPo поправки к энергии запишутся в виде и соответственно. Поправка к энергии, связанная с однофотонным обменом, представлена фейнмановским графиком на рис. 2. Этот график неприводимый и поэтому можно применять метод адиабатической -матрицы, что приведет к где g пробегает значения g = с, t (см. (1.22,1.23)) и использовано обозначение (1.48). Для g = с формула (З.б) дает поправку к кулоновскому взаимодействию в первом порядке, а для g = t мы имеем поправку к брейтовскому взаимодействию в первом порядке. Поправки, обусловленные двухфотонным обменом, представлены графиками на рис. 3. График "box" является приводимым. Его приводимая часть определяется условием єПі + еПі — єа + Єь. График "cross" является неприводимым. Однако, удобно извлечь члены с щ, щ равные а или Ь и рассматривать их как приводимую часть графика "cross". Вклад членов с щ, щ включенных в приводимую часть называется поправкой на ссылочные состояния. Применение метода контура линии для графиков "box" и "cross"
Квазивырожденные уровни
Рассмотрим вычисление поправок на межэлектронное взаимодействие для двухэлектронных конфигураций 21Р\ и 2гР\. Эти состояния являются квазивырожденными. Следуя методу контура линии, будем строить оператор V (2.57) на функциях j — j связи (3.1) и искать положения резонанса вблизи и — — ЕА + єи + є2р1/2 ЬО(«) и ш — -ЕА + и + е2рз/2 + 0{а). Матричные элементы оператора V можно представить в виде Введенный здесь оператор F определяется действием на набор одноэлек-тронных функций ab. В рассматриваемом случае ab = {ls2pi/2}, {ls2p3/2}-В принципе, оператор V зависит от и. Однако, для нахождения положения резонанса его можно разложить в ряд Тейлора вблизи рассматриваемых приближенных положений резонанса ш\ — — ЕА + и + є2р1/2 и ы2 — — ЕА + is + 2р3/2 (см- формулу (2.50)). При практических вычислениях удобно одни матричные элементы раскладывать в ряд вблизи ui, другие вблизи ш2.
Связанная с этим погрешность может быть отнесена к поправкам третьего порядка [64]. Это объясняется, тем что при малых Z разность энергий є2рі/2 — є2р3/2 мала, а при больших Z вырождение уровней 2lP\, 2ЪР\ незначительно. В нулевом порядке теории возмущений матричные элементы оператора F должны иметь вид (см. (2.56)) Однако, их удобно определить как где т - масса электрона (используется релятивистская система единиц). Также, обычно, вычитают вклад одноэлектронных (радиационных) поправок для ls-электрона. В первом порядке теории возмущений межэлектронное взаимодействие определяется графиком рис. 2 Вид формулы (3.27) не отличается от (3.6). Во втором порядке теории возмущений мы учтем двухфотонный обмен, определяемый графиками на рис. 3. Здесь введены обозначения Е$ = єа + ь, E$l = « + & , &2 = щ +єП2. Индексы g пробегают значения с, і (кулоновский и поперечный фотоны). При суммировании по щщ члены, зануляемые символами Кронекера, должны отбрасываться. По сути, вид формул (3.28, 3.30, 3.31) для неприводимых частей совпадает с (3.7, 3.9, 3.10) (в действительности "cross" график является неприводимым). В случае приводимой части в (3.29) появляются дополнительные члены, связанные с построением геометрической прогрессии для графика однофотонного обмена (недиагональные матричные элементы второго члена прогрессии). Легко убедиться, что при обмене двумя кулоновскими фотонами (g = g = с) ВКЛаД ССЫЛОЧНЫХ СОСТОЯНИЙ (Ещп2 — sls + Є2р1/2 или Ещп2 = и + 2р3/2) равен нулю. Основной численный результат настоящей диссертации состоит в расчете поправок на двух- и трехфотонный обмен к уровням энергии двухэлектронных конфигураций 21SQ, 23Р0, 2 и трехэлектронных конфигураций (ls)22si/2 (ls)22pi/2, а также расчет двухфотонного обмена в квазивырожденных двухэлектронных конфигурациях 2lPi, 2ЪР\. Поправки на двухфотонный обмен представляют собой наиболее значимую часть второго порядка теории возмущений.
Поэтому основная неточность более ранних расчетов была обусловлена отсутствием точного значения этой поправки. Для представления кулоновского потенциала ядра было использовано распределение Ферми для плотности заряда ядра. В таблице 1 приведены все значения среднеквадратичных радиусов ядра, использованные в расчетах. Детали приведены в приложении А. Результаты расчетов поправки на двухфотонный обмен представлены в таблицах 2, 3, 4 для двухэлектронных конфигураций и в таблицах 5, б для трехэлектронных конфигураций соответственно. Расчеты выполнены строго в рамках КЭД. Детали численных расчетов представлены в приложениях В и С. Представленные расчеты выполнены с точностью порядка 0.0001 а.и. В настоящих расчетах также учтена доминирующая часть поправки на трехфотонный обмен. Детали использованного приближения описаны выше (см. формулы (3.11, 3.18)). Результаты расчетов поправки на трехфотонный обмен представлены в таблицах 2, 3, 4 для двухэлектронных конфигураций и в таблицах 5, б для трехэлектронных конфигураций соответственно. Ввиду приближения, использованного для расчета поправки на трехфотонный обмен, погрешность этих значений оценивается в 10% [74]. В таблицах 2, 3, 4 также собраны все имеющиеся в литературе поправки к уровням энергии рассмотренных двухэлектронных конфигураций. Для сравнения результатов представленного расчета поправок для двухэлектронных конфигураций 23Р0 и 235i с результатами других расчетов, в таблицах приведены значения поправок для двухфотонного обмена, полученные в других работах.
Расхождение с данными, полученными в [75], составляет не более 0.0003 а.и. Значения поправок к энергии для трехэлектронных конфигураций представлены в таблицах 5,6. Сравнение полученных значений для двухфотонного обмена с результатами представленными в [76],показывает очень хорошее согласие для (ls)22si/2 конфигурации. Однако, для конфигурации (ls)22p1//2 имеется расхождение в 0.0035 а.и. для Z — 60, 70. Поправки на трехфотонный обмен сравниваются с результатами полученными в [77]. В работе [77] обмен двумя и тремя брейтовскими фотонами не рассматривался. Величины поправки на отдачу ядра, включенные в таблицы для полных энергий двух- и трехэлектронных конфигураций, для значений Z отсутствующих в работе [78] были получены интерполяцией значений для имеющихся в ней Z. Данные для экранирования собственной энергии (SE screening) и экранирования поляризации вакуума (VP screening) для трехэлектронных конфигураций, а также для экранирования поляризации вакуума для двухэлектронных конфигураций были получены посредством аналогичной ин терполяции.
Для величин поправок на экранирование собственной энергии для двухэлектронных конфигураций с помощью процедуры, основывающей ся на результатах работы [79], были получены приближенные значения. А именно, мы используем значения для функции экранированной собственной энергии f(Za) для К- и L-оболочек одноэлектронных состояний, представ ленные в таблице 2 в работе [79]. Из этих значений можно получить со ответствующий сдвиг собственной энергии, обусловленный экранированием другим одноэлектронным состоянием. Обозначим через поправку на экранирование собственной энергии ls-электрона 2.9-электроном, E2sbyls поправку на экранирование собственной энергии 25-электрона ls-электроном, соответственно. Далее, мы предполагаем, что сумма поправок на экранирование собственной энергии ESoSCT и ESlScr для о и 3Si конфигурация представляется в виде Elsby2s + E2shyls = ElsSCT + ESlSCT. Затем, мы предполагаем, что ElSoexch/E3Siexch = Elsscr/E3S SCT, где Elsexch и 3 exch есть величины поправок на межэлектронное взаимодействие в первом порядке для соответствующих конфигураций. Для конфигурации 3PQ МЫ определяем Elsby2pi 2 + E2pi byls = E3pscv. В представленных таблицах отсутствуют радиационные поправки во втором порядке. Причина этого в том, что для возбужденных состояний они известны только частично. Современный статус этих поправок можно найти в [80]. Последняя недостающая часть этих поправок для основного состояния была недавно рассчитана в [81] для Н-подобного урана. Однако, эти поправки для 2s\/2, %Pi/2 состояний все еще не рассчитаны, поэтому погрешность, связанная с этими графиками в расчете расщепления 2pi/2 — 2s\/2 для Li-подобного урана остается. В таблицах 7, 8, 9 представлены полные значения уровней энергии двух
