Классические и квантовые модели суперсимметричной механики и частиц высших спинов Федорук Сергей Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Модели расширенной суперсимметричной механики и их геометрии 28

1.1. Вещественные и комплексные суперсимметричные d = 1 сигма-модели с кручением 28

1.2. Комплексные структуры в моделях с расширенной суперсим-мстрисй 48

1.3. Гамильтонова редукция в би-НКТ сигма-моделях и би-келеро вы системы 69

1.4. Суперсимметричная механика со спиновыми переменными и уравнение Нама 82

1.5. Резюме 110

Глава 2. Новые модели расширенной суперконформной механики 114

2.1. Модели конформной механики 115

2.2. ЛГ= 1 и ЛГ= 2 суперконформные механики 130

2.3. ЛГ= 4 суперконформная механика 147

2.4. Модели с конформной группой Галилея 162

2.5. Суперконформная симметрия Галилея 173

2.6. Резюме 180

Глава 3. Твисторные формулировки спиновой частицы и суперчастицы 183

3.1. Предварительные комментарии и постановка задачи 183

3.2. Твисторная формулировка безмассовой (супер)частицы ненулевой (супер)спиральности 187

3.3. Битвисторная формулировка массивной спиновой частицы 200

3.4. Обобщение модели Ширафуджи для массивной частицы со спином 212

3.5. Заключительные замечания 221

Глава 4. Спиновая частица и суперчастица в тензорном пространстве 223

4.1. Массивная суперчастица с тензорными центральными зарядами224

4.2. Твистороподобная формулировка суперчастицы с тензорными центральными зарядами 235

4.3. Новая модель частицы в тензорном пространстве с симметрией Максвелла 243

4.4. Резюме 252

Глава 5. Твисторные модели частиц высших спинов и протяженных объектов 255

5.1. Симметрии высших спинов 256

5.2. Массивная частица высших спинов с бозонной суперсимметрией263

5.3. Мастер-частица высших спинов 270

5.4. Безмассовая D = 4 суперчастица высших спинов с ЛГ = 1 суперсимметрией и ее бозонным аналогом 278

5.5. Твисторное описания D = 4 струнных моделей 287

5.6. Каноническое квантование твисторной струны 295

5.7. Резюме 303

Заключение 306

Список литературы

• Гамильтонова редукция в би-НКТ сигма-моделях и би-келеро вы системы
• Модели с конформной группой Галилея
• Твисторная формулировка безмассовой (супер)частицы ненулевой (супер)спиральности
• Новая модель частицы в тензорном пространстве с симметрией Максвелла

Введение к работе

Актуальность темы

Современное понимание физических основ материи и развитие физики элементарных частиц невозможны без опережающего развития теории фундаментальных взаимодействий. В связи с этим существует интерес к новым подходам в квантовой теории и физике частиц, которые в синтезе с уже имеющимися достижениями позволили бы сформулировать единую унифицированную теорию всех взаимодействий.

Важным атрибутом большинства современных единых теорий есть наличие суперсимметрии из-за впечатляющей эффективности ее при решении проблемных задач в физике высоких энергий и благодаря богатому и мощному математическому аппарату теории. Особую значимость приобретает применение суперсимметрии при описании точечных и протяженных объектов - суперчастиц и суперструн.

Модели суперсимметричной квантовой механики, описывающие движение частиц с (изо) спином на искривленном многообразии, являются одним из эффективных инструментов изучения геометрии конфигурационного или фазового пространств рассматриваемых динамических систем, с возможностью получения новых, не изученных ранее, структур дифференциальной геометрии. В настоящее время требуют детального изучения геометрии де Рама и Дольбо с кручениями, в частности, НКТ и би-НКТ пространства, а также квазикомплексные многообразия, что связано с их фундаментальной ролью в современных формулировках суперструнных моделей и М-теории, в анализе квантовых свойств теорий с низкоэнергетической суперсимметрией и в космологических моделях.

Актуальной проблемой является также построение новых моделей суперконформной механики, имеющей большое значение в AdS/CFT соответствии и теории интегрируемых систем. Современные проблемы в суперконформной механике связаны как с получением оригинальных моделей, обладающей TV-расширенной суперконформной симметрией с большими N, так и с созданием новых d=l суперкон-

формных многочастичных систем. Этот интерес к моделям конформной и суперконформной механик также вызван применением их к описанию движения (супер)частиц в пространствах с AdS-геометриями вблизи горизонта черных дыр и возможностью прямого обобщения к системам с нерелятивистской конформной симметрией Галилея, возникающей как предел с->оо в контракции релятивистской конформной алгебры. При учете связи суперконформной механики с D=4 суперсимметричными моделями с помощью редукции, важную роль играют 7V= 4 суперконформные системы, симметрии которых описываются в общем супергруппой -0(2,1; а).

Эффективным способом внемассового описания суперсимметричных моделей и их возможных обобщений является суперполевой подход, для получения которого зачастую требуется использовать дополнительные математические инструменты. Среди них особую роль играет метод гармонического суперпространства, впервые использованный в D=4 суперсимметричных теориях с расширенной суперсимметрией. В моделях 7V=4 суперсимметричной механики подход гармонического суперпространства, разработанный Е.И. Ивановым и О. Лехтенфельдом, позволяет вводить новые инвариантные члены в суперполевое действие и рассматривать нетривиальные взаимодействия различных супермультиплетов. Является актуальным получение новых моделей 7V=4 суперконформной механики с дополнительными полудинамическими переменными, которые описываются d=1 действием Черна-Саймонса и после квантования реализуют (изо) спиновые степени свободы.

Использование дополнительных переменных является необходимым также при изучении моделей с таргетной суперсимметрией - суперчастиц или суперструн. Одним из главных примеров таких переменных являются твисторы Р. Пенроуза, имеющих естественное применение для описания безмассовых моделей. Актуальной проблемой является твисторная формулировка массивных (супер) частиц и (супер) струн с натяжением, что особенно важно из-за имеющихся многих открытых вопросов, связанных с построением теории полей высших спинов, обладающих массой, и эффективностью твисторного формализма в описании симметрии из-за осцилляторного вида генераторов симметрии в твисторном подходе.

В случае протяженных объектов связь твисторного и пространственно-временного подходов мало изучена, что требует нахождение формулировки твисторной (супер) струны со стандартными тви-сторными коммутационными соотношениями, воспроизводящей при этом пространственно-временное (супер) струнное действие посредством подходящей нелинейной замены переменных и последующей фиксации калибровок. Изучение твисторных струнных формулировок стало особенно актуальным после нахождения новых моделей открытых твисторных струн без натяжений в исследованиях Э. Виттена и Н. Берковица, инициировавших применение твисторных методов в калибровочных теориях супер-Янга-Миллса.

Отмеченные обстоятельства оправдывают также использование в моделях спиновых (супер)частиц, частиц высших спинов и протяженных объектов дополнительных бозонных переменных, среди которых выделенную роль играют спинорные лоренцевы гармоники, применение которых позволяет логически последовательно получать новые эквивалентные формулировки физических моделей.

Твисторные и гармонические переменные являются эффективными в суперсимметричных теориях, в которых алгебра суперсимметрии содержит тензорные центральные заряды, коммутирующие с генераторами супертрансляций. Интерес к данным моделям связан, в частности, с возникающими проблемами при построении М-теории, где тензорные центральные заряды в алгебре суперсимметрии соответствуют топологическим вкладам супербранных конфигураций, а также при обобщении симметрии Пуанкаре до симметрии Максвелла. Рассмотрение таких систем актуально при изучении движения частиц фиксированного спина в обобщенном пространстве-времени, геометрия которого генерируется постоянным электромагнитным полем, а также частиц высших спинов - как впервые отмечалось К. Фронсдалом, система безмассовых полей высших спинов обладает обобщенной конформной симметрией Sp(8) и имеет элегантное описание в десятимерном пространстве-времени, расширенном тензорными координатами. Простым и, в то же время, мощным инструментом в анализе геометрической структуры таких пространств является изучение состояний частиц, распространяющихся в них. Динамические реализации этой конструкции воспроизводят развернутую формулировку М.А. Васильева

теории полей высших спинов, но ее суперсимметризация не сохраняет условие 7V=1 киральности, лежащей в основе геометрического подхода в обычной 7V=1 супергравитации. Вследствие этого, является актуальным построение моделей частиц и суперчастиц с другими симметрия-ми высших спинов. Среди наиболее важных выделяются такие, которые позволяют рассматривать единообразно произвольные спины как в безмассовом, так и в массивном случаях, в соответствии со струнной концепцией элементарных частиц. Именно этим проблемам посвящены диссертационные исследования.

Цели и задачи исследования

Целью этой работы есть построение и изучение новых моделей суперсимметричной квантовой механики, новых формулировок массивных и безмассовых спиновых частиц и суперчастиц, а также частиц высших спинов и расширенных объектов.

Для достижения поставленной цели решались следующие основные задачи:

Построение моделей TV-расширенной суперсимметричной механики со взаимодействием динамических, полудинамических и нединамических калибровочных супермультиплетов, включая суперрасширения многочастичных конформных систем, и динамических систем с суперконформной симметрией Галилея.

Исследование комплексов де Рама и Дольбо с кручениями, а также гиперкелеровой, би-гиперкелеровой и октонионно-келеровой геометрий с кручениями, с помощью .ЛУ-расширенной суперсимметричной механики.

Развитие твисторных и пространственно-временных формулировок безмассовых и массивных спиновых частиц с установлением координатных и полевых преобразований Пенроуза, а также моделей с тензорными центральными зарядами, включая системы с симметрией Максвелла.

Построение моделей частиц и суперчастиц высших спинов, в том числе безмассовых систем с бозонным аналогом суперсимметрии

и битвисторных моделей массивных частиц высших спинов, с нахождением квантового спектра и полевых твисторных преобразований.

Развитие твисторных методов в описании динамики расширенных объектов, включая построение твисторной формулировки струны с натяжением, производящей канонические правила квантования твисторного струнного ПОЛЯ.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Построены составные сигма-модели суперсимметричной квантовой механики, основанные на взаимодействии динамических, спиновых и калибровочных мультиплетов и обладающие расширенной суперсимметрией, включая 7V=4 суперконформное расширение многочастичной спиновой модели Калоджеро с -0(2,1; а)-симметрией. Найдены квантовые операторы симметрии моделей и определен их физический спектр. Установлено взаимно-однозначное соответствие между наличием N= 4 суперсимметрии в системе с полудинамическим (3,4,1) мультиплетом и уравнениями Нама для спиновых переменных, как на классическом уровне, так и в квантовом случае.

2. Исследованы модели N= 2 суперсимметричной квантовой механики, определяющие комплексы де Рама и Дальбо с кручениями, а также общие N= 4 модели с НКТ и би-НКТ геометриями, описывающие взаимодействие обычных и зеркальных (4,4,0) мультиплетов и порождающие, в результате гамильтовой редукции, твистованные келеровы модели с дополнительными голоморфными членами в суперполевом действии. Определена структура суперзарядов, приводящая к новому геометрическому определению би-НКТ и ОКТ геометрий.

3. Изучены новые динамические системы с конформной симметрией Галилея, построенные с использованием метода нелинейных реализаций и обратного эффекта Хиггса. С помощью редукции Иноню-Вигнера релятивистских суперконформных алгебр найдены TV-расширенные суперконформные алгебры Галилея в 1 < d < 5 пространственных измерениях.

4. Построена модель релятивистской частицы, спиновые степени свободы которой описываются коммутирующим вейлевским спинором. Выполнено каноническое квантование и квантование с помощью функционального интеграла. Найден физический спектр модели, в котором вейлевский спинор играет роль индексного спинора.

5. Построены битвисторные модели массивных релятивистских частиц с произвольным фиксированным спином, твисторные волновые функции которых определены на фактор-пространстве SL(2,C)/SU(2). Найдены координатные и полевые твисторные преобразования, связывающие пространственно-временное и тви-сторное описания, и проведено обобщение на случай массивной частицы высшего спина.

6. Изучены модели D=4 Af= 1 суперчастицы с тензорными центральными зарядами, включая их твисторные формулировки, и установлена связь этих моделей с псевдоклассическим описанием спиновой частицы в массивном случае. Построена модель релятивистской частицы с дополнительными тензорными переменными, обладающая симметрией Максвелла и описывающая взаимодействие с постоянным внешним электромагнитным полем.

7. Построены и изучены новые модели безмассовых частиц и суперчастиц высших спинов, инвариантные относительно бозонно-го аналога суперсимметрии с сохранением условия киральности в суперсимметричном случае. Найдена (супер)твисторная формулировка, определены симметрии высших спинов в модели с бозонной суперсимметрией и построено ее суперсимметричное 5С/(3,2|1)-обобщение.

8. Представлена новая модель частицы высших спинов, в которой модель с "развернутой" формулировкой и модель частицы с бозонной суперсимметрией возникают как результат двух разных частичных фиксаций калибровок. Построена твисторная формулировка и представлено решение уравнений полей высших спинов через твисторный препотенциал.

9. Построено битвисторное действие бозонной струны с натяжением, генерирующее после частичных фиксаций калибровок билинейное твисторное действие. Найдены связи первого рода тви-сторной струнной модели, включающие две связи Вирасоро и две U(1)U(1) связи Каца-Муди фазовых преобразований струнных твисторов.

Степень достоверности

Для решения поставленных задач использованы хорошо апробированные методы теоретической и математической физики. Результаты диссертации опубликованы в рецензируемых журналах и прошли апробацию в виде докладов на научных конференциях. Следствия из полученных результатов для различных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими авторами.

Научная новизна

В диссертации развиты новые направления, связанные с созданием новых подходов к решению важной задачи современной теоретической физики - построению самосогласованных моделей физических объектов, а именно, элементарных частиц и струн, как неотъемлемых частей будущей единой физической теории. В частности,

предложен подход, использующий составные системы с полудинамическими степенями свободы, для построения новых моделей суперсимметричной квантовой механики, включая системы с расширенной суперконформной симметрией;

разработаны оригинальные методы описания безмассовых и массивных частиц и суперчастиц высших спинов на основе обобщенного твисторного подхода и с использованием новых симметрии динамических систем.

Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми, среди которых отметим:

1. Введено взаимодействие динамических и полудинамических 7V=4 супермультиплетов в гармоническом 7V=4 суперпростран-

стве и на ее основе впервые получены методом суперпо-левого калибрования новые матричные модели расширенной суперконформной механики, включая 7V=4 суперконформное расширение многочастичной спиновой модели Калоджеро с _D(2,1; а)-симметрией.

2. Построена новая модель, описывающая взаимодействие динамического (1,4,3) и спинового (3,4,1) 7V=4 супермультиплетов, и доказано, что наличие уравнений Нама для полудинамических пременных обеспечивает d= 1 суперсимметрию Пуанкаре в модели.

3. Рассмотрено описание общих би-НКТ многообразий с помощью обычных и зеркальных (4,4,0) 7V=4 супермультиплетов и на его основе впервые определена структура суперзарядов в би-НКТ суперсимметричной механике.

4. Предложен новый подход в теории частиц произвольного спина, который основан на использовании координат коммутирующего индексного спинора в качестве спиновых переменных и позволяет формулировать теории как массивных, так и безмассовых спиновых частиц, а также частиц и суперчастиц высших спинов.

5. Впервые построена битвисторная модель массивной спиновой частицы, твисторные спиноры которой описывают пространство группы Лоренца.

6. Введены твисторные и гармонические переменные в модель суперчастицы с тензорными центральными зарядами и впервые проведена полная классификация возможных нарушений суперсимметрии в данной теории.

7. Построены новые модели частиц и суперчастиц высших спинов, обладающие бозонной суперсимметрией и позволяющие сохранить условие 7V=1 киральности в суперсимметримметричном случае, предложена универсальная модель частицы высшего спина, объединяющая на классическом уровне модели с четной суперсимметрией и с развернутой формулировкой.

8. Построена битвисторная модель струны Намбу-Гото и впервые найден полный набор твисторных связей для струны с натяжением.

Практическое значение результатов

Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в исследованиях по теоретической физике высоких энергий, квантовой теории поля, суперсимметрии и теории струн, проводимых в Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Физическом институте РАН (Москва), Институте физики высоких энергий (Протвино), Институте теоретической и экспериментальной физики (Москва), Институте ядерных исследований РАН (Москва), Математическом институте РАН (Москва), Петербургском институте ядерной физики РАН (Гатчина), Институте математики СО РАН (Новосибирск), Московском государственном университете, Томском государственном университете, Томском государственном педагогическом университете, а также в других вузах и организациях, где ведутся работы по теоретической физике высоких энергий.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, Дубна; в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма, ФИАН, Москва; в Институте теоретической физики университета г. Ганновер, Германия; в Харьковском национальном университете, Украина; в Институте теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Киев, Украина; в КЕК, Цукуба и в Юкавском институте теоретической физики университета г. Киото, Япония.

Результаты исследований были представлены на многих международных конференциях и симпозиумах, в том числе на международной конференции "Supersymmetry and Quantum Field Theory", 25-29 июля 2000, Харьков, Украина; 9-й международной конференции "Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions", 11-17 июня 2001, Дубна; международной конференции "Quantum Electrodynamics and Statistical Physics", 30 октября - 3 нояб-

ря 2001, Харьков, Украина; международном рабочем совещании "Supersymmetries and Quantum Symmetries (SQS'03)", 24-29 июля 2003, Дубна; 19-м симпозиуме Макса Борна "Fundamental Interactions and Twistor-like Methods", 28 сентября - 1 октября 2004, Вроцлав, Польша; международном рабочем совещании "Supersymmetries and Quantum Symmetries (SQS'05)", 27-31 июля 2005, Дубна; 22-м симпозиуме Макса Борна "Quantum, Super and Twistors", 27-29 сентября 2006, Вроцлав, Польша; 12-й международной конференции "Symmetry Methods in Physics", 3-8 июля 2006, Ереван, Армения; 18-й международной конференции "Integrable Systems and Quantum symmetries", 18-20 июня 2009, Прага, Чехия; 13-й международной конференции "Symmetry Methods in Physics", 6-9 июля 2009, Дубна; международной конференции "Supersymmetry in Integrable Systems", 1-4 августа 2011, Ганновер, Германия; XXIX международный симпозиуме "Group-Theoretical Methods in Physics", 20-26 августа 2012, Тяньцзинь, Китай; 21-й международной конференции "Integrable Systems and Quantum symmetries", 12-16 июня 2013, Прага, Чехия; международной конференции "Supersymmetry in Integrable Systems", 28-30 декабря 2013, Ганновер, Германия; международной конференции "Higher Spin Theory and Holohraphy", 02-04 июня 2015, Москва; международной конференции "Supersymmetry in Integrable Systems", 9-13 сентября 2015, Ереван, Армения; 24-й международной конференции "Integrable Systems and Quantum symmetries", 14-18 июня 2016, Прага, Чехия; международной конференции "Quantum Field Theory and Gravity", 1-7 августа 2016, Томск; международной конференции "Supersymmetry in Integrable Systems", 28-30 декабря 2016, Ганновер, Германия.

Исследования по теме диссертационной работы поддерживались грантами РФФИ (проекты Ж№ 06-02-16684, 08-02-90490, 09-01-93107, 09-02-01209, 11-02-90445, 12-02-00517, 13-02-91330, 13-02-90430, 16-52-12012), грантом РНФ № 16-12-10306 и грантом Минобрнауки РФ по проекту № 3.1386.2017 в рамках госзадания.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 29 научных статьях [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29] в ведущих российских и зарубежных журналах,

входящих в перечень ВАК РФ, в 13 сборниках трудов международных конференций [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42], а также в научной статье [43] в журнале, который не входит в перечень ВАК РФ.

Личный вклад

Вклад автора во всех полученных результатах в работах с соавторами является определяющим как при формулировке задач, рассмотренных в диссертации, так и определении методов их решения. Все конкретные вычисления проведены автором самостоятельно и независимо.

Структура и объем диссертации

Гамильтонова редукция в би-НКТ сигма-моделях и би-келеро вы системы

Лагранжиан (1.1) может быть суперсимметризован различными способами, производя после квантования различные версии суперсимметричной квантовой механики (СКМ). Например, вводя D вещественных ЛГ= 1 супер-полей 11 Xм = хм + івфм , где в - грассманова координата суперпространства, и рассматривая действие [33, 189] S= -2 / dOdtgMN(X)DXM XN = 12 f dtgMN(x)(xMxN-іфмЩм), (1.2) где D = де + i6dt: QMN = QNM И V N = I(JN + YpqXPijjQ, получаем, что квантовая версия соответствующего суперзаряда может быть ассоциирована с оператором Дирака. Другая возможность состоит во введении вещественных ЛГ= 2 суперпо-лей с удвоенным числом фермионных степеней свободы, Xм = хм + 9фм + фмв + FMee. (1.3)

Этот Л/"=2,(і=1 мультиплет обозначается посредством (1,2,1), где цифры обозначают соответственно количество физических бозонных, физических фермионных и вспомогательных бозонных полей [190]. В этих обозначениях ранее рассмотренный ЛГ= 1 мультиплет является (1,1,0), а ЛГ=2 мультиплет (1,2,1) расщепляется в прямую сумму ЛГ= 1 мультиплетов: (1,2,1) = (1,1, 0) 0 (0,1,1). Сигма-модельное действие для мультиплета (1, 2,1) [191] S = -12 JdtdUe9MN (X)DXMDXN (1.4) = 12 [ dt\9MN (xMxN + #MWW - ЩМГ\) + RMNPQ Mrr Q 1 В случае суперсимметричной механики TV считает число вещественных суперсимметрий. зо где в = (в) и д - д - д д содержит в себе четырехфермионный член, построенный с помощью тензора Римана. При переходе в (1.4) к компонентному действию мы исключили вспомогательные поля F с помощью их уравнений движения. Система (1.4) имеет красивую геометрическую интерпретацию [192]: квантовые суперзаряды играют роль оператора внешней производной d и ему сопряженного S комплекса де Рама.

В работе [36] была построена и изучена специальная М= 2 суперсимметричная квантово-механическая модель для произвольного комплексного многообразия вещественной размерности D= 2п, построенная в терминах ки-ральных суперполей Z = zJ + у/2вфj - i99zJ, Z j = z j - у/2вфд + i9efj, (1.6) j,j = 1,..., n; DZ = DZ = 0 , которые описывают J\f = 2, d = 1 мультиплеты (2,2,0). Действие было выбрано в виде [31] S = fdtd2e{Ca + Cgauge), (1.7) Ca = -\hfk(Z,Z)DZWZ\ Cgauge= W(Z,Z) с произвольными суперфункциями /ijj, определяющими метрику, ds2 = 2hj dz dzk, и препотенциалом W, генерирующим взаимодействие с фоновым калибровочным потенциалом Ам = (—idjW, idjW). Компонентное действие, соответствующее (1.7), содержит член с кручением, который зануляет-ся только для кэллерового многообразия, когда метрика удовлетворяет связи dyhnj, = 0. Соответствующие квантовые ЛГ= 2 суперзаряды могут быть проинтерпретированы как голоморфные внешние производные д и их сопряженные д\ образующие скрученные или нескрученные комплексы Дольбо.

Каждое из действий (1.2), (1.4) и (1.7) может быть деформируемо включением дополнительных кручений. Модель (1.2) обобщается включением в действие члена [30] S = -± I dOdtCKLMVXKVXLVXM , (1.8) что приводит к следующему компонентному лагранжиану L = \ дмм(х) (xMxN + гфмЩм) - ± дРСкьмфрфкфьфм , (1.9) в котором ковариантные производные V содержат новую аффинную связность Тк,ьм = TK,LM + 2 CKLM (1-Ю) с дополнительным кручением, где Тк,ьм является стандартным символом Кристоффеля. Квантовый суперзаряд, полученный из действия (1.9), имеет вид [136] Q = фм [Пм - 2 всфвфс] + 2 СК1Мфкф1фм , (1.11) где &м,вс является стандартной спиновой связностью, удовлетворяющей уравнению Маурера-Картана deA + nABAeB = 0 = іїм,АВ = еАк(дмЄв+Гмьев)- і1-12) Суперзаряд (1.11) может быть проинтерпретирован как кручение-содержа-щий оператор Дирака, в котором кручение присутствует с дополнительным фактором 1/3 [136, 137]: последний член в (1.11) может быть поглощен следующим переопределением спиновой связности (сравните с (1.10)) м,вс — м,вс = евк(дмев + TMLec), TK,LM = TK,ML + Q CKML

Действие (1.4) для (1,2,1) мультиплета, соответствующее комплексу де Рама, также может быть продеформировано. На геометрическом языке простейшая деформация такого типа [192] описывается посредством dwO = dO-dW АО, d)wO = SO + (dW, О), (1.13) где W является произвольной регулярной функцией и (dW, О) яв ляется внутренним произведением: для р-формы 07 (dW, О) = р{дмУ )0 хм м dxM2 Л Л dxMp. Деформация (1.13) соответствует до бавлению потенциального члена /d20dtW{XM) (1.14) в действие. Можно рассмотреть также деформацию другого типа [24, 25] deO = dO-dBAO, dB0 = SO - {dB,О) , (1.15) где регулярная 2-форма В определяет кручению С и внутреннее произведение (dB, О) включает контракцию по всем индексам в dB. Точное определение (dB, О) будет дано в (1.40) ниже. Операторы dB, dB (как и операторы dw, dw) являются нильпотентными и образуют алгебру суперсимметрии, как и операторы d, d). Данная система с деформированной суперсимметрией реализуется в суперполевом формализме добавлением члена S2 = I d20dtBMN{Xp)DXMDXN + с.с. (1.16) к действию (1.4) [30]. Выражения для квантовых суперзарядов и гамильтониан для этой модели (в случае вещественного BMN) МОЖНО найти в [26].

Добавление в dB внешней производной dB4 произвольной 4-формы В4 приводит к дополнительной деформации системы (1.4). Деформированный оператор dw,B2,B4 по прежнему нильпотентен. На суперполевом языке это соответствует добавлению в действие члена 54 =Х- I d20dtBMNPQ{Xs)DXMDXNDXpDXQ + с.с. (1.17) Можно также добавить внешнюю производную 6-формы и т.д. Эти более высокие четномерные формы могут быть названы обобщенными кручениями. Следует отметить, что эти дополнительные суперполевые члены не генерируют в компонентном лагранжиане каких-либо членов с производными по времени более высокого порядка.

Лагранжиан комплексной сигма-модели (1.7) можно деформировать аналогично. Обобщенный лагранжиан получается добавлением членов Bjk{Z,Z)DZjDZk +се. (1.18) к Са [31] или членов ос Bjkip и т.д. Члены, связанные с дополнительными кручениями, не были рассмотрены в [36].

В настоящем разделе, основанном на работе [140], дается явный вид классических и квантовых ЛГ=2 суперзарядов сигма-моделей с кручением на основе мультиплетов (1,2,1) и (2,2,0), с учетом взаимодействий (1.16), (1.17) и потенциального члена (1.14) для вещественной сигма-модели и с участием членов (1.18) для комплексной сигма-модели. Мы также находим вакуумные состояния в этих сигма-моделях и показываем, что включение членов с кручением не влияет на их количество.

Модели с конформной группой Галилея

В Разделе 1.1 мы описали общий рецепт для квантования суперсимметричных теорий, который был предложен в [193]. Выражения для квантовых суперзарядов можно получить с использованием результатов предыдущего раздела и работы [140], где показано, что данная модель, записанная в терминах ЛГ = 2 суперполей, имеет вид твистованного комплекса Дольбо с дополнительными голоморфными и антиголоморфными компонентами кручения.

Обсудим вид квантовых суперзарядов. Для этого, рассмотрим пару (Qi Qp) ПРИ некотором частном значении р. (Анти)голоморфные компоненты кручения Cjku Сщ даются выражением (1.91) с / = Р. Кручение С представляет собой сумму (анти)голоморфной части Н и кручения Висмута В, не имеющего (анти)голоморфных составляющих. В вещественных обозначениях (анти)голоморфные части определяются J2HMNL M N L ДЛЯ Q И j2-H-MNL{Ip)si ll)S ll)N ll)L Для Qp і точно также, как и в классических суперзарядах. Твистованная часть в Qp включает тензор кручения Висмута BPMNL для комплексной структуры Р и дается тем же выражением, что и в (1.118) с указанным там порядком индексов [200]. Окончательно получаем следующие выражения для квантовых суперзарядов Q = ФМ (рм - 2 ПМіМЬфмфь + 2 CMNL Фмфь) , (1-184) Qp = ф8{Р)3М{рм - 2 Пм ьфмфь - Врммьфмфь + ± Нрммьфмфь) (1.185) где CMNL = BMNL + HMNL- (1.186) BPMNL является кручением Висмута для комплексной структуры Р\ тогда как кручение HPMNL{C P) определено в (1.91).

Можно доказать, что суперзаряды (1.184), (1.185) образуют квантовую N = 4 супералгебру. Выполнение соотношений Q2 = (Qp)2 = Н: {QiQp}+ = 0 Для суперзарядов (1.184), (1.185) было получено в [140]. Так как квантовые суперзаряды (1.185) получаются из классических суперзарядов (1.171) с помощью вейлевского упорядочения, то доказательство выполнения {QPi Qq}+ = 0 при р т q можно выполнить с помощью символа Вейля (анти)коммутатора двух операторов, который задается скобкой Мойала их вейлевских символов. Для системы с участием фермионных переменных последняя определяется как ih{A,B}GM = 2sinhi- где (pi, qi) являются бозонными и {фа, фа) - фермионными каноническими парами. Здесь мы ввели ft для более явного вида классического предела ft —) О, когда ограничиваемся первым членом в разложении sink и скобка ГМ сводится к скобке Пуассона. Скобки Пуассона {Qp}Qq} равна нулю при р = q. Возможные кубичные члены в разложении sinh с шестьми частными производными также обращаются в нуль для диагональной метрики (1.162).

Таким образом, мы получили новое геометрическое определение би-НКТ многообразий, которое выглядит как естественное обобщение определения НКТ многообразия. НКТ многообразие является многообразием с 3 кватер-нионными комплексными структурами, для которых связности Висмута совпадают. би-НКТ многообразие является многообразием с 3 комплексными структурами, для которых связности Висмута не совпадают, но совпадают полные связности: они содержат в общем тензоре кручения (1.186) дополнительные члены, которые являются голоморфными и антиголоморфными по отношению ко всем комплексным структурам. Развернутое доказательство этого утверждения для произвольных ККТ многообразий дано в нашей работе [143], где приведены также конкретные примеры систем с НКТ, би-НКТ и ОКТ структурами.

В предыдущем подразделе рассматривался случай с одним обычным и одним зеркальным мультиплетами. Теперь рассмотрим систему, образован 70 ной произвольным числом обычных и зеркальных мультиплетов, и исследуем гамильтоновую редукцию в ней. Система, образованная п обычными (4, 4, 0) супермультиплетами, описывает НКТ геометрию. При подходящем выборе координат НКТ комплексные структуры определяются вещественными антисимметричными матрица diag(I,...,I), (/ diag(J,...,j; являются самодуальными и выражаются через символы т Хофта.

В [143] было рассмотрено альтернативное определение НКТ многообразия. Для этого рассмотрим формы Цp, соответствующие комплексным структурам Р. В случае НКТ многообразия форма X=Q2 + iQ3 (1.188) имеет тип (2,0) относительно комплексной структуры Iі: ее голоморфная производная зануляется, д\Х = 0. Сопряженная форма X = Г — Ш3 имеет тип (0,2) относительно Iі. Аналогично, формы Q3 ± iQ\ имеют типы (2,0) и (0,2) относительно I2, а формы Q\ ± iQ2 - (2,0) и (0,2) относительно /3. Доказательство этого утверждения дано в [201, 144]. Существование замкнутой голоморфной формы может быть взято в качестве альтернативного определения НКТ геометрии. Можно выбрать комплексный базис, в котором

Общие НКТ модели определяются динамикой (4, 4, 0) мультиплетов, которые описываются ЛГ = 4 суперполями V a (см. (1.180)), где индекс а = 1,..., п является "цветной". Общее НКТ действие s = I « M»AV-і?) (1.Ш) после интегрирования по cfryc принимает вид S = Х- dtdedeAa jC(V, V) DVDVbn , (1.192) где Al = (d t + е е )і: (1.193) является эрмитовой метрикой hmn. Лагранжиан (1.192) принадлежит к классу ЛГ = 2 сигма-моделей, описывающих комплексы Дольбо [36]. Если метрика комплекса Дольбо hMj не зависит от половины комплексных координат z (Л4 = {т, а}) или от половины вещественных координат (например, от мнимых частей Im - )),5 можно выполнить гамильтонову редукцию, после которой эрмитова метрика hMj представляется в виде суммы hMM - 2 \?{MN) +ib[MN\) , (1.194) содержащую симметричную вещественную и антисимметричную мнимую части.

Твисторная формулировка безмассовой (супер)частицы ненулевой (супер)спиральности

Другим эффективным способом исследования конформных систем является расширение их дополнительными изоспиновыми степенями свободы, которые описываются действием Черна-Саймонса (или Весса-Зумино в другой терминологии) [70, 71]. Использование этих дополнительных полудинамических степеней свободы совместно с калиброванием некоторых изомет-рий исходных действий позволяет как воспроизвести лагранжевы модели, построенные ранее с помощью других методов, так и построить новые динамические конформные системы [72, 73]. Такой подход открывает дополнительные возможности к стандартной конформной квантовой механике: кроме стандартной дилатонной переменной x{t) с конформным потенциалом, новые модели конформной механики могут содержать размытую сферу [203], которая описывается дополнительными изоспиновыми переменными. В результате этого, соответствующая волновая функция является нетривиальным SU(2)eH3opoM, в противоположность 8и(2)-синглетной волновой функции стандартной конформной механики. Кроме того, напряженность конформного потенциала совпадает с собственным значением оператора Казимира (то есть, "спина") и, таким образом, является квантованной. Рассмотрим следующее действие / — \2 хх + і ( zkz k - hz k) - а [Z 2 } - A ( zkz k - с) ] , (2.36) S0 = dt где а является безразмерным параметром (как увидим ниже, он совпадает с параметром, характеризующем наиболее общую ЛГ= 4 суперконформную группу D(2,l;a)). Это действие инвариантно относительно локальных U(l) преобразований А = А-\0, zu = e AV, z = e-azt. (2.37)

Калибровочная связность A{t) в (2.36) является лагранжевым множителем для связи первого рода zkzk = c. (2.38) Удобно фиксировать калибровочную свободу выбором противоположных фаз в z1 иг2. В этой калибровке связь (2.38) разрешается следующими выражениями z1 = KCOS2 е 9/2, z2 = Ksin2 е- 9/2, к2 = с. В терминах полей x(t) (t) and (3{t) действие (2.36) принимает вид

Действие (2.39) содержит "правильный" кинетический член только для одного поля ж, тогда как другие поля (3 и 7 параметризующие фактор-пространство SU(2)/U(1), описываются членом Весса-Зумино и поэтому являются изоспиновыми степенями свободы (таргетными 8и(2)-гармониками) после квантования. Конформная инвариантность весс-зуминовского члена в (2.39) является очевидной, если принять во внимание, что 8и(2)-поля (3{t) и {t) имеют нулевой конформный вес. Отметим, что наличие конформной инвариантности d=l весс-зуминовских членов было впервые отмечено в [214].

Рассмотренная модель реализует новый механизм генерации конформного потенциала 1/х2 для поля x(t): члены такого вида возникают как результат вариации по лагранжевому множителю A{t) и использования условия связи (2.38). В квантовой теории этот новый механизм влечет за собой квантование константы с. Соответствующий канонический гамильтониан модели (2.36) имеет вид 2 a2(zkzk)2 р + На + A(zkzk-c)) (2.40) Ах2 где р = 2х - канонический импульс для х. Импульс для поля А равен нулю, РА = 0, и поле А в действии (2.36) является лагранжевым множителем для связи D-c:=zkzk-c&0. (2.41) Выражения канонических импульсов для z-переменных, определяют связи 2-го рода. Введение скобок Дирака для них исключает спинорные импульсы. Скобки Дирака для оставшихся переменных равны [ж,р]D = 1, \z\Zj\D = -iS]. (2.42) На классическом уровне спинорные переменные описывают двухмерную сферу. В самом деле, используя первое отображение Хопфа мы вводим U(l) калибровочно-инвариантные переменные !/г = і(аг)У, (2.43) где о , г = 1,2,3 - матрицы Паули. Связь (2.41) предполагает, что эти переменные параметризуют два-сферу радиуса с/2: yaya = {zkzk)2/A c2/A. (2.44)

Группой движений этой 2-сферы является конечно группа SU(2), действующая на дублетные индексы і, к и триплетные индексы г. В терминах переменных (2.43) гамильтониан (2.40) с точностью до членов, зануляющихся на поверхности связей, принимает вид 2 и; 2 а2УгУг X2 »=\ 2.45) 2 " с 4ж2 На квантовом уровне алгебра операторов имеет вид [х,р]=г, [z\U = 5] (2.46) и легко показать, что квантовые аналоги переменных (2.43) yr = \zl{ar)l]zJ (2.47) образуют алгебру su(2) ,r,ys\=ierstyt- (2.48) Но прямое вычисление дает yryr = \ ZkZk ( ZkZk + і). Поэтому, благодаря связи (2.41), мы получаем (для определенности здесь берется -упорядочение) УгУг = ( + і) (2.49)

Как отмечалось в Разделе 1.4, соотношения (2.48) и (2.49) являются определением координат так называемой размытой сферы. Таким образом, угловые переменные, описываемые на классическом уровне спинорными переменными z% или векторными переменными уГ) становятся после квантования координатами размытой сферы. Сравнивая выражения (2.44) и (2.49), мы видим, что радиус сферы изменяется при квантовании следующим образом: \ І (I -О- ПРИ этом? соотношение (2.49) фиксирует значение оператора Казимира алгебры su{2): где с является соответствующим SU(2) спином ("размытостью"). Следовательно, имеет место квантование с, с Є Z, для унитарных представлений.

Новая модель частицы в тензорном пространстве с симметрией Максвелла

Целью данной главы будет постороение и изучение твисторных моделей релятивистских частиц, как безмассовых, так и массивных, обладающих произвольным фиксированным спином (спиральностью, в безмассовом случае). Также будут рассмотрены обобщения предложенных конструкций на случаи наличия суперсимметрии в таргетном пространстве моделей. Вследствие фундаментального значения данной задачи, следует дать определенные комментарии, проясняющие поставленные задачи и полученные результаты.

Решение данных задач требует преодоления двух важных проблем.

Во-первых, необходимо определить описание состояний массивных частиц в твисторном формализме, изначально развитом и по своему определению предназначенном для описания безмассовых частиц. Хорошо известно, что описание массивных состояний в твисторном подходе требует использование в минимальном случае битвисторного формализма. Но твисторное описание массивных частиц развито пока недостаточно и в данной главе мы останавливаемся на его принципиальных моментах на примерах классических твисторных моделей релятивистской массивной частицы и массивной суперчастицы и их последующего канонического квантования.

Второй проблемой является описание спина релятивистской частицы. Одним из способов описания спиновых состояний в твисторной теории связан с введением комплексифицированного пространства-времени. Но такой вариант введения в теорию спиновых степеней свободы не является геометрическим и не проясняет связь пространственно-временного и твисторного описаний состояний частицы. Описание спина является фундаментальной задачей и предполагает ее решение уже в пространственно-временном формализме. При этом, построенное пространственно-временное описание спина позволит увидеть дополнительные возможности в твисторном формализме.

Хорошо известно, что на классическом уровне спин описывается в теории посредством введения дополнительных координат, часть из которых могут быть вспомогательными. Эти спиновые переменные, коммутирующие или антикоммутирующие, являться разными тензорными объектами группы Лоренца. Выбор спиноров в качестве основных спиновых переменных является выделенным, поскольку определение спина в пространстве состояний связано с пространством неприводимого представления малой группы, квантово-механическим аналогом которой для массивной частицы является спинорная группа SU(2), имеющая в качестве надлежащего комплексного расширения квантовомеханическую группу Лоренца SL(2,C). Применение вейлевского "унитарного" трюка связывает неприводимые унитарные представления компактной группы SU(2) с неприводимыми представлениями группы SL(2,C).

Построение модели массивной частицы со спином может быть реализовано в системе покоя двумя способами: используя либо коммутирующие (бозонные) координаты или антикоммутирующими (фермионные или грас-смановы) переменные.

При использовании бозонных спиновых переменных нерелятивистский спин описывается лагранжианом первого порядка cd(CC СО -ЧСС 1)? гДе точка обозначает производную по параметру эволюции т, А является множителем Лагранжа, а является вещественной постоянной. Здесь использованы безиндексные обозначения для сверток спинора ( и его комплексно сопряженного (. Спиновая связь (( — 1 0, присутствующая в действии, ограничивает конфигурационное пространство до группового многообразия SU(2). Пара комплексно-сопряженных первичных связей PQ — іа( ир,? ia( принадлежит второму роду.

Для получения релятивистских расширений этих моделей следует построить лагранжиан, в котором "спинорная часть" в системе покоя сводится к выражениям, приведенным выше. Это достигается за счет очевидных преобразований кинетической и потенциальной частей ш(СС - СО - КСРС - СЮ, (СС -1) -(Ж - Л Здесь р является вектором энергии-импульса, р является его сверткой с матрицами Паули (7м, так что в системе покоя р = moo, где т является массой частицы. В этих преобразованиях были сделаны естественные переопределения: спинор приобрел размерность и стал вейлевским спинором группы Лоренца. Лагранжиан частицы возникает после добавления кинетического члена рх и потенциала — 2(р2 — т2) для координат фазового пространства свободной частиц без спина, где е является айнбайном. Таким образом получаем эвристическое описание используемого в этой главе действия спиновой частицы [158, 159], где знак энергии частицы совпадает со знаком "классического спина" j из-за связи (р( — j = 0. Волновая функция такой модели является скаляром и представляет собой свертку по всем индексам обычного спин-тензорного поля с компонентами спинора (. Поэтому, этот спинор назван индексным.

Кинетический член этой модели можно записать через бозонную суперформу dx — i(d((i( — (&d(), которая инвариантна относительно бозонной суперсимметрией —) + , х —)х + і(((іє — єа()7 где є является постоянным коммутирующим спинором. Эта симметрия нарушается спинорным потенциальным членом Х(СРС — j) в действии. В случае использования в качестве ( нечетного спинора и без введения связи для фиксации спина возникает суперсимметричное действие Касалбуони-Бринка-Шварца [22, 23], которое может быть обобщено на случай расширенной суперсимметрии [75].