Содержание к диссертации
Введение
1 Концепция единой Мировой линии и алгебродинамический подход к теории поля 11
1.1 «Одноэлектронная Вселенная» Штюкельберга - Уилера - Фейнмана 11
1.2 Основные идеи геометро- и алгебродинамики. Алгебро-механическая конструкция Гаусса 14
1.3 Твисторные структуры и единая Мировая линия 18
1.4 Тахионная мировая линия: «эффект размножения» частиц-источников и каустики-сигналы 20
1.5 Комплексификация пространства-времени и комплексная мировая линия 22
1.6 Заключительные замечания 26
2 Основные положения единой алгебраической динамики 28
2.1 Самосогласованная алгебраическая кинематика тождественных частиц на единой Мировой линии 29
2.2 Методы решения и свойства систем полиномиальных уравнений 35
2.3 Класс «инерциальных» систем отсчета и закон сохранения импульса как следствие полиномиальной динамики 38
2.4 Механика Ньютона и алгебраическая динамика: сравнительный анализ 44
3 Формулы Виета и законы сохранения 46
3.1 Алгебраическая динамика на неявно заданной единой Мировой линии с полиномиальной зависимостью коэффициентов от времени 47
3.2 «Усиленная» теорема вириала как аналог закона сохранения энергии 54
3.3 Закон сохранения момента импульса 60
3.4 ЗБ-обобщение полиномиальной динамики 63
3.5 Заключительные замечания 72
4 Динамическая структура светового конуса и лоренц-инвариантная динамика на полиномиальной мировой линии 75
4.1 Законы сохранения для полиномиальных мировых линий в естественной параметризации 76
4.2 «Времениподобные» полиномиальные мировые линии и Лоренц-инвариантная динамика 83
4.3 Асимптотическое поведение: разбегание, образование пар, формирование кластеров 89
4.4 Полевые и твисторные структуры, связанные с единой Мировой линией 98
4.5 Заключительные замечания 103
Заключение 107
Литература 111
- Твисторные структуры и единая Мировая линия
- Комплексификация пространства-времени и комплексная мировая линия
- «Усиленная» теорема вириала как аналог закона сохранения энергии
- Асимптотическое поведение: разбегание, образование пар, формирование кластеров
Введение к работе
Актуальность темы. Несмотря на все успехи современной теоретической физики, создание общей, основанной лишь на фундаментальных принципах теории движения и взаимодействия частиц остается неприступной задачей как на квантовом, так и на классическом уровне. Имеющиеся на данный момент попытки построения принципиально новых, или даже просто свободных от рас-ходимостей теорий встречают неразрешимые трудности. В частности, квантовая теория поля, по мнению многих физиков (Дирака, Салама, т'Хофта и др.), может рассматриваться не более чем приближение, обусловленное непониманием подлинной природы механизма взаимодействия частиц. Поэтому всегда актуальными остаются попытки разработать принципиально новые подходы к проблеме физических взаимодействий, в том числе к задаче построения теории, не использующей методов перенормировок, или, более радикально, предлагающей альтернативу парадигме классической и квантовой теориям поля.
В попытке сформулировать такой подход, в настоящей работе мы исследуем внутренние свойства некоторых алгебраических структур (в первую очередь систем полиномиальных уравнений) и, на их основе, предлагаем чисто алгебраическое, не использующее дифференциальных уравнений описание коллективной динамики системы частиц. С физической точки зрения, развиваемый подход близок к концепции единой Мировой линии («одноэлектронной Вселенной»), предлагавшейся ранее Штюкельбергом, Уилером и Фейнманом, а также к теории прямого межчастичного взаимодействия.
Основной целью дисссертационной работы является построение самосогласованной динамики тождественных частиц, индуцированной только внутренними алгебраическими свойствами уравнения единой Мировой линии.
Научная новизна работы состоит прежде всего в том, что впервые предложена новая алгебраическая схема задания мировых линий и установлены фундаментальные связи формул Виета для корней полиномиальной системы уравнений с законами сохранения в индуцированной динамике системы частиц на единой Мировой линии. Все результаты, выносимые автором на защиту, являются вполне оригинальными и ранее не рассматривались.
Практическая и теоретическая значимость диссертационной работы определяется тем, что полученные в ней новые и подчас неожиданные связи между алгебраическими структурами и физическими законами (в том числе между формулами Виета для корней полиномиальных уравнений и законами сохранения) могут способствовать более глубокому пониманию механизма взаимодействия элементарных частиц и структуры динамики в системах многих частиц. Указанные связи имеют по существу универсальный, не зависящий от
конкретного типа взаимодействия характер, и потому могут быть использованы для построения более простых и эффективных моделей описания коллективной динамики в плазме, молекулярных комплексах и в других системах большого числа частиц нескольких видов.
Достоверность представленных результатов гарантировалась использованием хорошо разработанного аппарата нелинейной алгебры и систем компьютерного счета, а обоснованность физической интерпретации обеспечивалась её сопоставлением с канонической структурой классической механики и релятивистской динамики частиц.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 научных работах [1-8], три (3) из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК или в зарубежных рецензируемых изданиях из списков Web of Science и Scopus [1-3], пять (5) — в материалах и тезисах докладов международных и всероссийских конференций [4-8].
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях и научных семинарах, в частности на:
XLVII, IL и L Всероссийской научной конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники в г. Москва в 2012, 2013 и 2014г.;
международной конференции по полиномиальной компьютерной алгебре в г. Санкт-Петербург в 2014г.;
17-ом и 18-ом международном совещании по компьютерной алгебре в г. Дубна в 2014 и 2015 г.;
международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (RUSGRAV-15) в г. Казани в 2014 г.;
4-ой международной конференции по теоретической физике «Теоретическая физика и её приложения» в г. Москва в 2015 г.;
международной научной конференции «Физические интерпретации теории относительности» (PIRT-2015) в г. Москва в 2015 г.
Личный вклад автора состоял в развитии алгебраической реализации концепции единой Мировой линии. Он детально проанализировал, с использованием аналитических и численных вычислений, свойства динамики, индуцированной системами полиномиальных уравнений, а также представил наглядную
визуализацию такой коллективной динамики и предложил физическую интерпретацию полученных результатов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трёх приложений. Полный объем диссертации составляет 132 страницы с 27 рисунками. Список литературы содержит 118 наименований.
Твисторные структуры и единая Мировая линия
Э. Штюкельберг [18] рассматривал переменную t в качестве четвертой координаты и не считал её реальным физическим эволюционным параметром. Позднее, в работе [19], он ввёл времениподобный параметр А, монотонно возрастающий вдоль траектории и пропорциональный собственному времени т частицы. После этого все уравнения могут быть представлены в релятивистски-инвариантной форме. С другой стороны, сегменты траектории, соответствующие различным по знаку приращениям г и А, т.е. отвечающие условию dr/dX О, могут соответствовать движению античастицы как обратного к направлению собственного времени «основной» частицы.
Однако А-параметризация фактически является параметризацией истории одной отдельной частицы, что не соответствует концепции «одноэлектронной Вселенной». На самом же деле, для того, чтобы обеспечить существование множества тождественных частиц на единой Мировой линии, следует рассматривать именно переменную t в качестве «истинного» времени. При этом, однако, скорости копий-частиц, которые должны измеряться по отношению к параметру t, на некоторых участках траектории (возможно, относительно малых) должны обязательно превышать скорость света (и даже обращаться в бесконечность в моменты аннигиляции/рождения, см. ниже).
Несмотря на то, что идеи Штюкельберга не были до конца реализованы, впоследствии многие из них (включая его оригинальную интерпретацию волновой функции, функционала действия и т.д.) получили развитие в работах других авторов в направлении, известном как «параметризованные релятивистские теории» (см. обзор [20] и ссылки в нем). В большинстве из них, дополнительный времениподобный параметр рассматривался как Лоренц-инвариантный эволюционный параметр или даже как абсолютное Ньютоновское время [21—23]. В статье [24], в частности, была доказана инвариантность действия Штюкельберга по отношению к преобразованиям Галилея. Несмотря на это, истинный физический смысл переменной t до сих пор остаётся неясным. При этом, так или иначе, множество положений «частиц» на единой Мировой линии, относящихся к одному и тому же значению t, не является причинно связанным, что представляется одной из главных трудностей теории. Развитию последовательного релятивистского описания посвящена 4-я глава диссертации. Однако в первую очередь, особенно с учетом упомянутой выше инвариантности схемы Штюкельберга относительно преобразований Галилея, представляется естественным сосредоточиться на возможностях чисто нерелятивистской реализации гипотезы «одноэлектронной Вселенной», основываясь, в частности, на схеме процессов, изображенной на Рисунке 1.1. Такая алгебраическая реализация и рассматривается в двух следующих главах диссертации.
Гипотеза «одноэлектронной Вселенной» по существу основана на предположении о том, что сами по себе свойства мировых линий, рассматриваемых как кривые в 3-х мерном (4-х мерном) физическом пространстве (пространстве-времени), могут иметь прямое отношение к реальной кинематике и динамике элементарных частиц. В этом смысле эта гипотеза лежит в русле одного из наиболее значительных направлений развития теоретической физики XX века, а именно т.н. «геометродинамики» [25].
Под геометродинамикой в широком смысле слова обычно понимают все фундаментальные геометрические теории, начиная с самой общей теории относительности и ее обобщений на пространства с кручением, неметричностью и многомерные пространства [26; 27]. При этом предполагается, что вид тензора энергии-импульса материи, как и лагранжиана физических полей, не выбирается из каких-либо феноменологических предположений, а индуцируется самой геометрией. Например, в конформной геометродинамике Горбатенко-Пушкина [28; 29] в качестве исходной геометрии принимается геометрия Вейля [30; 31], послужившая в свое время основой единой теории гравитации и электромагнетизма, предложенной Г. Вейлем [32]. При этом вместо постулирования некоторого лагранжиана в качестве базовых выбираются уравнения следующего вида: ) = 0, (1.1) в левой части которых фигурирует тензор Риччи (точнее, его симметричная часть) в пространстве Вейля. Выделяя теперь чисто риманову составляющую этого тензора, уравнения (1.1) можно переписать в виде -ffyz/ z9iiv& = А А- + AVA- — zg A.p — zA A — д А =: 1 , (1-2) где эффективный тензор энергии-импульса материи ТИ1/ выражен через 4-х вектор неметричности пространства Вейля Аи и имеет поэтому чисто геометрическое происхождение. Более подробно с основаниями и современным статусом конформной геометродинамики можно ознакомиться по работам ее создателей [28; 29] (см. также [33]).
В более узком смысле под геометродинамикой понимают теории типа Райнича-Уилера [34; 35], в которых общепринятые уравнения типа системы Эйнштейна-Максвелла переписываются (после исключения тензора напряженности электромагнитного поля) в качестве весьма сложных уравнений, содержащих только сам метрический тензор и его производные. Иначе говоря, непосредственно изучается «след», оставляемый элетромагнитным полем на метрике пространства-времени. Недостатком таких теорий является, очевидно, то, что их исходными составляющими по-прежнему остаются уравнения материальных полей, не имеющие прямого геометрического смысла и достаточно феноменологические и неоднозначные по существу.
По нашему мнению, истинная геометродинамика не только должна иметь в качестве основы некоторый фиксированный геометрический фон (в таком случае ее скорее следовало бы называть «геометро-кинематикой»). Сверх этого, сами физические поля и частицы должны иметь чисто геометрическое происхождение. Например, поля могут быть связаны с характеристиками поверхностей (минимальной кривизны и пр.), конгруенций специального вида, ковариантно постоянных векторных полей [33] и т.п. Что касается частиц, то они могут рассматриваться или как особые точки этих геометрических структур-полей, или как «уплотнения» (солитоноподобные структуры) соответствующих локальных распределений кривизны и проч. (см. например [36; 37]).
Комплексификация пространства-времени и комплексная мировая линия
В новых переменных элиминанты (2.15), (2.16) по переменным х и у, соответственно, принимают вид Rx(y) = 17у9 + 0 + (35 + SSt)y7 + ... = 0; (2.29) Ry(x) = -17ж9 + 0 + (4 - 4)ж7 + ... = 0, (2.30) а исходная система (2.14) становится в точности системой уравнений (2.5) (рассмотренной в разделе 2.2 данной главы). Нетрудно увидеть, что согласно линейным формулам Виета полный импульс 9 частиц, определенных через корни данной системы уравнений, остаётся таким же в каждый момент t, а именно, в точности равен нулю. Таким образом, системы уравнений (2.5) и (2.14) представляют фактически один и тот же коллектив тождественных частиц в инерци-альной системе центра масс и неинерциальной системе отсчета, соответственно. Напомним теперь, что кроме простейшей линейной формулы Виета (2.17) существуют другие нелинейные формулы высших порядков по корням, например, следующего вида (см. Приложение В) : N (2-31) Xl(t)x2(t)...xN(t) = (-l)Nfo(t)/fN(t), yi(t)y2(t)...yN{t) = (-l)N9o(t)/9N(t). Рассмотрению физического смысла этих формул и их связей с полной системой законов сохранения посвящена следующая глава. В частности, квадратичные по корням формулы Виета, как мы увидим, тесно связаны с («усиленной») теоремой вириала классической механики, которая, как известно, во многих случаях определяет связь между кинетической и потенциальной энергиями. Однако определение последней требует знания закона сил попарных сил взаимодействия. Как выше отмечено, в настоящий момент нам не известно, могут ли и в какой конкретной форме эти законы следовать из неявных алгебраических уравнений Мировой линии. Тем не менее, наличие конструкций типа обсуждаемой в главе 1 конструкции Гаусса ясно показывает, что, в принципе, определение универсального закона межчастичных взаимодействий из свойств полиномиальных структур представляется вполне разрешимой задачей.
Из линейной формулы Виета (2.17) сразу следует, что система (2.5) определяет коллектив из девяти частиц равных масс. При этом следует считать массы композитных С-частиц вдвое большими, чем вещественных R-частиц: в таком случае их общий центр масс будет покоиться. Неоднократно дифференцируя затем уравнения (2.17) по параметру времени t, получаем для мгновенных скоростей {vk(t)} и ускорений {dk(t)} частиц-корней рассматриваемой полиномиальной системы:
Уравнение (2.32) показывает, что суммарный импульс коллектива из девяти частиц сохраняется и в точности равен нулю. Что касается уравнения (2.33), то для его интерпретации следует опять-таки отождествить мгновенное ускорение к-ой частиц аи с величиной результирующей силы F&, действующей на данную частицу (единичной массы, пік = m = 1) со стороны всех других частиц коллектива. Теперь можно сказать, что уравнение (2.33) на самом деле представляет собой «ослабленную» форму третьего закона Ньютона: сумма всех результирующих сил, действующих на все частицы в коллективе, тождественно равна нулю. Стоит еще раз обратить внимание, что скорости (импульсы), ускорения (силы) и другие физические величины для С-частиц всегда можно считать вещественными, так как они соответствуют комплексно-сопряженной паре корней, мнимые части которых в сумме равны нулю и не входят, таким образом, в соотношения типа (2.32), (2.33). Важно отметить, что как для рассмотренной выше системы уравнений (2.5), так и для широкого класса других примеров полиномиальной динамики, выполняется не только закон сохранения полного импульса, но и другие канонические законы сохранения, в том числе полного момента импульса. Рассмотрению этих вопросов посвящена следующая глава.
Обсудим в заключение обнаруженные выше особенности коллективной алгебраической динамики на единой (неявно заданной) Мировой линии и их связь с классической механикой Ньютона. Было показано, что (вещественные и комплексно-сопряженные) корни полиномиальной системы уравнений произвольного (невырожденного) вида и с произвольной зависимостью от временного параметра однозначно задают самосогласованную динамику двух типов (R- и С-, соответственно) частиц, включающую также и их взаимные превращения. При этом отвечающие исходной системе линейные формулы Виета и их производные по времени определяют интегральные связи между мгновенными положениями, скоростями и ускорениями всех частиц. При соответствующей замене переменных, интерпретируемой как переход к инерциальной системе отсчета, эти связи для произвольной Мировой линии трансформируются в закон равномерно-прямолинейного движения центра масс системы R-C частиц. Из последнего, в свою очередь, сразу следует закон сохранения полного импульса и универсальная связь между ускорениями - «ослабленная» версия 3-го закона Ньютона.
Более того, дополнительные, нелинейные по корням формулы Виета, очевидно, тоже явным образом задают взаимные корреляции между корнями-частицами любой полиномиальной системы; их конкретная интерпретация и связь с другими законами сохранения будет рассмотрена в следующей главе. Тем не менее, уже на данном этапе исследования очевидно, что в любой полиномиальной системе уравнений, с произвольной зависимостью коэффициентов от времени, по существу закодирована некоторая весьма нетривиальная коллективная динамика, однозначно определенная видом исходных полиномов и воспроизводящая общую структуру механики Ньютона. Более того, такая алгебро динамика определяет и вид дифференциальных уравнений (как первого, так и второго порядков по временным производным) для функций координат индивидуальной частицы. Однако структура этих уравнений во многом отличается (см. раздел 2.1) от канонических уравнений Ньютона. Другим аспектом этого отличия является то, что возможность введения потенциальной энергии и, более того, сил попарных взаимодействий между отдельными частицами в общем случае рассматриваемой полиномиальной динамики представляется гипотетичной.
С другой стороны, в задачах коллективной динамики большого числа частиц вопрос правильного определения сил межчастичного взаимодействия и связанных с ними потенциалов также является сложной проблемой. Более того, даже при фиксации вида взаимодействия (как, например, в плазме) задача корректного описания коллективной динамики является, как известно, технически чрезвычайно сложной проблемой уже в нерелятивистском приближении. С этой точки зрения, алгебраическая динамика предлагает чрезвычайно простой альтернативный способ описания многочастичной динамики, не предполагающий фиксации конкретного вида взаимодействия, а опирающийся на наиболее общие и универсальные принципы типа законов сохранения.
До этого, однако, следует решить вопрос об адекватной идентификации рассмотренных точечных образований с реальными частицами, что на настоящем этапе исследования, конечно, представляется преждевременным. При этом сами R-C частицы, скорее всего, могли бы быть интерпретированы в качестве своего рода (не наблюдаемых непосредственно) «предэлементов» материи, в духе упомянутой в главе 1 (раздел 1.4) концепции дубликонов (к которой мы вновь обратимся в главе 4). В той же главе (раздел 4.3) будет продемонстрирована принципиальная возможность «притяжения» различных пред элементов-корней с образованием связанных систем (кластеров), которые в принципе уже могли бы реально представлять как "элементарные" частицы, так и более сложные материальные образования.
«Усиленная» теорема вириала как аналог закона сохранения энергии
Разумеется, этот результат был дополнительно проверен с помощью прямого численного расчета моментов импульса отдельных корней-частиц и их суммы в различные моменты времени t.
К сожалению, отсутствие в математической литературе информации о (возможности или невозможности) 2D обобщения формул Виета не позволяет в общем виде доказать сохранение полного момента импульса для любой невырожденной системы полиномиальных уравнений. Однако нами было исследовано значительное число конкретных примеров алгебраических систем уравнений с невырожденными полиномами от х, у и t различных и достаточно высоких степеней (например, п = 7, т = 5); во всех случаях все три канонические законы сохранения, включая закон сохранения момента импульса, строго выполняются, и соответствующие физические характеристики могут быть точно вычислены. Более того, для различных частных значений степеней пит удается подобрать эмпирические формулы, связывающие значения полного момента импульса с числовыми коэффициентами, определяющими вид генерирующей системы полиномиальных уравнений (3.2). Например, для малых степеней полиномов п = т = 2, описывающем динамику N = тп = 4 частиц, общая форма полиномиальных уравнений может быть представлена в виде Fa = (тах2 + пау2 + раху) + (dat + еа)х + (fat + са)у + ka(t) = О, (3.46) где а = 1,2. При этом в простейшем диагональном случае (pi = р2 = 0) сохраняющаяся z-проекция полного углового момента Mz описывается следующим выражением: м = (ehf2 - e2fi) + (cid2 - c2di) т\п2 — m2n\ причем ее значение не зависит от коэффициентов ka{t) нулевой степени по х, у, квадратично (или слабее) зависящих от времени t. Заметим, что знаменатель в (3.47) не обращается в нуль: в противном случае, когда па ос та , система уравнений (3.46), очевидно, либо несовместна либо имеет бесконечно много решений.
С учетом недиагональных членов соответствующее выражение оказывается более сложным, и мы не будем здесь его выписывать. Аналогичные, однако достаточно громоздкие формулы имеют место и для более высоких степеней п,т генерирующих полиномов (3.2).
Отметим еще, что строгое доказательство сохранения момента импульса в математически близкой модели релятивистского обобщения полиномиальной динамики, основанной на привычной, параметрически заданной единой Мировой линии, приведено в главе 4 и Приложении С.
Все приведенные выше аргументы позволяют с высокой степенью достоверности предполагать, что закон сохранения полного момента импульса, как и два других фундаментальных закона сохранения, выполняется для произвольной невырожденной системы полиномиальных уравнений (3.2).
Покажем теперь, что рассмотренная выше структура полиномиальной динамики на плоскости без каких-либо трудностей принципиального характера может быть обобщена и на случай динамики в полном трехмерном пространстве. Для этого вместо двух алгебраических уравнений (2.1), задающих полиномиальную плоскую мировую линию в неявной форме, рассмотрим три подобных уравнения Fa{xi,X2,xs,t) = 0, а = 1,2,3, (3.48) где генерирующие функции Fa будем по-прежнему считать полиномами, как по координатам ха, так и по временному параметру t. Как и ранее, все числовые коэффициенты будем считать вещественными (при практических вычислениях - целыми), причем коэффициенты при старших степенях соответствующих полиномов п,т,к будем предполагать отличными от нуля, т.е. считать систему невырожденной. При этих условиях система (3.48) для каждого значения параметра времени t будет иметь N = птк решений (вещественных или комплексно-сопряженных), определяющих положение N точечных частиц в 3-мерном пространстве, один вид которых (R-частицы) локализован на какой-то из ветвей вещественной траектории, а другой вид (С-частицы) представлен общей вещественной частью комплексно-сопряженных пар корней. В некоторые моменты времени, определяемые условием происходит одно из событий, т.е. аннигиляция пары вещественных R-частиц с образованием одной композитной С-частицы или обратный процесс (рождение пары R-частиц).
Для определения и последующего анализа динамики частиц-корней, как и ранее, удобнее всего использовать метод результантов. С помощью него, последовательно исключая две из трех неизвестных 3, сводим систему к полиномиальным уравнениям степени N отдельно по каждой из остающихся неизвестных, с коэффициентами, зависящими от времени:
a$zf + aJl f_1 + + 4с) = 0, (3.50)
причем в невырожденном случае, как и ранее, коэффициенты а\ к = 0,1,..., 7V зависят от t полиномиально, со степенью полинома не выше N — к. В частности, коэффициенты при старших членах а$ являются константами, а при следующих - зависят от t не более, чем линейно, квадратично и т.д. соответственно.
Для нахождения всех N решений системы (3.48) {xk(t)} надо каждому из решений одного из уравнений (3.50) поставить в соответствие одно из набора
33аметим, что в процессе исключения в результантах при их факторизации могут возникать посторонние полиномиальные множители [106]. Эти множители затем можно исключить «вручную», так как они приводят к липшим решениям, не удовлетворяющим исходной системе уравнений решений двух других уравнений. Это можно сделать «вручную», непосредственной подстановкой, хотя в современных системах компьютерной алгебры используются другие, достоверные методы, связанные, в частности, с выражением двух других неизвестных через решение одного из уравнений (3.50), например, с помощью метода нахождения т.н. субрезультантов [115]. Используются также и более общие методы решения полиномиальных систем, отличные от метода результантов, например, метод базисов Грёбнера [116].
Применяя теперь к уравнениям для элиминантов (3.50) формулы Виета, после повторного дифференцирования по времени получаем не зависящие от времени связи между координатами, скоростями и т.д. различных корней-частиц, вполне аналогичные описанным в 2D случае. С другой стороны, преобразуя формулы Виета (с помощью тождеств Ньютона) в формулы для степенных сумм корней х\ и дифференцируя их необходимое число раз, приходим к системе законов сохранения, справедливых для системы частиц-корней любой невырожденной полиномиальной системы уравнений (3.48). В частности, определяемый линейными по корням формулами Виета закон сохранения полного импульса имеет вид /]fk = const, (3.51) a 50(3)-инвариантный закон сохранения, обобщающий (3.18), - аналог закона сохранения полной энергии - выглядит следующим образом: 5 к + 2 = COnst- (3-52) Полный момент импульса определяется с помощью процедуры, описанной ранее для 2D случая (см. раздел 3.3) и, как и прежде, сохраняется для всех рассмотренных частных примеров (хотя его численное определение в трехмерном случае встречает серьезные вычислительные трудности).
В качестве примера 3D полиномиальной динамики рассмотрим теперь систему трех полиномиальных уравнений типа (3.48) степеней п = 3,т = k = 2 с произвольно выбранными числовыми (целыми) коэффициентами:
Асимптотическое поведение: разбегание, образование пар, формирование кластеров
Коллективная динамика R-C частиц, в случае «времени-подобной» мировой линии, демонстрирует интересные универсальные свойства при больших значениях времени наблюдателя Т. А именно, асимптотически R-C частицы объединяются в пары и, при определенных условиях, в компактные группы, кластеры, которые содержат две или четыре R-частицы и существенное число (пар) С-частиц. В то же время, различные кластеры удаляются от начала отсчета (совпадающего в дальнейшем с положением наблюдателя), причем такой универсальный процесс "разбегания" происходит всегда с замедлением. Детали асимптотического поведения существенно зависят от конкретных значений степеней р и п генерирующих полиномов (4.25) и рассматриваются ниже.
Прежде всего отметим, что при достаточно больших значениях параметра Т, члены с высшими степенями 2р доминируют над другими в уравнении светового конуса (4.26), параметризованном полиномами (4.25). Поэтому уравнение (4.26) асимптотически имеет очень простой вид (здесь и далее используем переобозначения {ax,ay,az} ь-» {ас} = {аі, 22,«з} и так далее для {6С},...). Если, однако, для некоторых значений угла tpk = 2тік{п/р) координаты R-C частиц, т.е. вещественные части выражений (4.46), обращаются в нуль, следует принимать во внимание следующие члены степени п — 1, так что такие R-C частицы будут расположены гораздо ближе к началу отсчета. Мы будем называть такое подмножество R-C частиц особым. Для неособых частиц-корней "разбегание", т.е. удаление от точки положения наблюдателя, происходит по закону Хс ос Тп1р, или, с учетом р п, - со стремящейся к нулю скоростью.
Асимптотический вид (4.44) основного уравнения светового конуса и соответствующих выражений (4.46) для координат корней-частиц действителен при условии Т То, То = as(bs/as)p. Первые поправки, обусловленные учетом членов следующей степени 2р — 1, приводят вместо (4.44), к следующему приближенному виду для уравнения светового конуса: (Т - asrp - bsrp 1)2 0, (4.47) действительном при меньшем масштабе времени То Т Т\, где Т\ = as(\a\/as)p p n\ Наконец, поправки второго порядка, учитывающие уже старшие члены (степени п) «пространственных» полиномов {Хс}, приводят к следующей форме основного уравнения светового конуса: (Т - asrp - bsTp lf - \а\2т2п 0, \а\2 := а\ + а22 + а\, (4.48) которое действительно при условии Т Т\ и снимает вырождение корней-частиц, обусловленное структурой полного квадрата в левой части приближенных уравнений нулевого и первого порядков (4.47) и (4.44).
Представляется вполне естественным (и наиболее интересным с физической точки зрения) рассмотреть случай, когда полное число корней-частиц N = 2р достаточно велико, р 1. Что же касается параметра п, то особый интерес представляет случай, когда он кратен р, т.е. р = mV, п = mW, где V,W,m Є Z. При этом число V = р/т определяет количество кластеров, а кратность т количество R-C частиц в кластере, которые, при фиксированном полном числе частиц N = 2р, находятся в обратной пропорции друг к другу.
Для демонстрации рассмотрим решения (4.46) уравнения (4.44) на комплексной плоскости. Очевидно, что набор (дважды вырожденных) р этих решений в случае кратных рип образует на комплексной плоскости правильный V-угольник (см. Рисунки 4.1, 4.2), каждая вершина которого будет соответствовать т решениям. Таким образом, в пределе будем иметь несколько групп слившихся, т-кратно вырожденных корней-частиц. При этом надо, разумеется, иметь в виду, что учет следующих членов, т.е. переход к решениям уравнения (4.47), снимает это вырождение, так что асимптотически мы имеем дело со сближающимися группами частиц-корней, т.е. с образованием кластеров.
Например, в случае р = б и п = 2, так что т = 2, V = 3, все N = 2р = 12 корней уравнения нулевого приближения (4.46) будут расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного треугольника (см. Рисунок 4.1), так что каждая его вершина соответствует двум слившимся корням. С учетом следующих членов и соответствующего частичного снятия вырождения (остающееся 2-кратное вырождение связано со структурой полного квадрата в уравнении (4.44), которое не нарушается, см. ниже) асимптотически будем иметь один кластер, состоящий из 4-х композитных С-частиц (т.е. всего из 8 корней, образующих 4 комплексно-сопряженные пары и отвечающий двум вершинам в левой полуплоскости) и один кластер из 2 х 2 = 4 R-частиц, изображаемый вершиной на действительной оси. На самом деле, однако, только 2 из 4-х в пределе совпадающих корней останутся действительными при учете следующих членов, так что второй кластер фактически будет состоять из пары R-частиц и одной композитной С-частицы (с постепенно, по мере роста Т, уменьшающейся мнимой частью). Обратим еще внимание на тот факт, что оба кластера асимптотически удаляются от начала отсчета вдоль одного и того же пространственного направления в противоположные стороны и, в соответствии с (4.46), по закону Хс ос Т1/3, т.е. с замедлением.
Что касается поведения корней при меньших значениях Т\ Т То параметра Т, описываемого уравнением (4.47), то на этом временном интервале сохраняется только простое двукратное вырождение, связанное со структурой полного квадрата этого уравнения, так что при Т Ті происходит спаривание всех частиц-корней, и кластеры, на более позднем этапе «эволюции», на самом деле формируются уже из таких пар, а не из одиночных частиц-корней.
Из вышеприведенных рассуждений очевидно, как удивительно сложно и разнообразно может быть асимптотическое поведение ансамбля R-C частиц. В качестве еще одного примера можно рассмотреть случай больших степеней р = 36, п = 21, так что V = 12, а кратность т = 3 при полном числе частиц N = 2р = 72. Читатель сам может убедиться, что в этом случае в каждой вершине правильного 12-угольника (см. Рисунок 4.2) сливаются 3 корня-частицы. Асимптотически будем при этом иметь 5 кластеров из 6-ти С-частиц (один из которых, соответствующий вершинам на мнимой оси, оказывается особым, см. выше) и 2 кластера из 6-ти R-частиц в каждом (на самом деле, две из трех пар R-частиц имеют, как и в предыдущем примере, малую и асимптотически уменьшающуюся мнимую часть). Заметим также, что в силу левой-правой симметрии в этом примере асимптотическое разбегание кластеров происходит симметрично в противоположные стороны вдоль некоторого пространственного направления, а темп разбегания (за исключением особого кластера) определяется законом Хс ос Т7 12.