Содержание к диссертации
Введение
2 Конформные продолжения в СТТ и /(Л)-теориях. Скалярно-вакуумные конфигурации 13
2.1 Уравнения поля 13
2.1.1 /(Я)-теория в картинах Йордана и Эйнштейна . 13
2.1.2 СТТ в картине Иордана 1G
2.2 Общие условия конформных продолжений 18
2.3 Конформные продолжения в /(Л)-теориях 21
2.3.1 Необходимые условия и свойства конформных продолжений 21
2.3.2 КП-І: достаточные условия 23
2.3.3 КП-И: достаточные условия 28
2.4 Примеры точных решений с конформными продолжениями . 30
2.4.1 Трехмерный пример 30
2.4.2 Четырехмерный пример 32
2.5 Конформные продолжения в СТТ 33
2.5.1 Продолжение через обычную сферу (КП-І) 34
2.5.2 Продолжение через горизонт в Mj (КП-Н) 38
2.6 Пример: конформное скалярное поле в ОТО 43
3 Конформные продолжения в СТТ и /(і?)-теориях при на личии электромагнитного поля 48
3.1 Уравнения поля 48
3.1.1 f(R) теория в картинах Иордана и Эйнштейна . 48
3.1.2 СТТ в картине Йордана 51
3.2 Общие условия конформных продолжений 52
3.3 Конформные продолжения в /(/?)-теориях 54
3.4 Конформные продолжения в СТТ 59
3.5 Пример 64
4 Черные дыры и конформные продолжения 68
4.1 Решение анти-Фишера 69
4.2 Картина Йордана в теории Бранса-Дикке 7G
4.3 Конформные продолжения-Ш 78
4.4 Термодинамические свойства скалярных чёрных дыр 80
4.5 Холодные чёрные дыры с V ф 0: поведение решений вблизи горизонта 83
4.6 Пример cl^O 85
5 Скалярные чёрные дыры и необычные кротовые норы в СТТ 86
5.1 Заряженные чёрные дыры в картине Эйнштейна 87
5.2 Заряженные чёрные дыры и кротовые норы в картине Йордана 93
6 Заключение 97
Список литературы
- СТТ в картине Иордана
- Примеры точных решений с конформными продолжениями
- Общие условия конформных продолжений
- Термодинамические свойства скалярных чёрных дыр
Введение к работе
Нелинейные по кривизне теории гравитации с лагранжианом вида L = f(R), где / — некоторая функция скалярной кривизны R, и скалярно-тензорныо теории (СТТ) являются хорошо известными и важными альтернативами общей теории относительности Эйнштейна (ОТО).
Указанные теории используются, в частности, для описания инфляции в ранней Вселенной, а также для объяснения ускоренного расширения Вселенной в современную эпоху. Так, предлагается нелинейная но кривизне теория гравитации, которая содержит положительные и отрицательные степени кривизны, то есть лагранжиан имеет вид L — R + Rm + l/i?n, где тип- положительные (но не обязательно целые) числа. При большой кривизне доминируют члены вида Rm, ответственные за инфляцию на очень ранней стадии развития Вселенной. Если при этом 1 < т < 2, то имеет место инфляция по степенному закону; если же т = 2, то имеет место аномальная инфляция (инфляция Старобипского). При средних временах развития Вселенной данная /(Д)-теория совпадает с эйнштейновой гравитацией. В настоящее время, при низкой кривизне, доминируют члены вида 1/Rn, вызывающие космическое ускорение. Применение f(R)-теорий для решения космологических проблем см. в работах [92-98].
Важное значение имеют также возможные эффекты /(Л)-теорий для
локальных конфигураций, таких, например, как галактики и черные дыры. Имеются попытки использовать модификации закона Ньютона в f(R)-теориях для объяснения кривых вращения галактик [27] и исследования свойств черных дыр в этом классе теорий [29] (см. также приведенные там ссылки).
Аргументом в пользу вышеуказанных альтернативных теорий гравитации является и тот факт, что при квантовании искривлённого пространства-времени, когда рассматриваются взаимодействия между квантовыми полями и фоновой геометрией пространства-времени или взаимодействие гравитационного поля с самим собой, стандартный эйнштейновский лагранжиан должен быть подходящим образом модифицирован. Эти корректировочные члены, необходимые для устранения расходимостей, являются членами более высоких порядков но инвариантам кривизны (например, членами вида R2, №RiW, Rlwn$Rwap, RuR) или членами с неминимальной связью между скалярными нолями и гравитационным полем (например, вида
Существуют обобщения хорошо известных решений ОТО, описывающих чёрные дыры (это решения Шварцшильда, Райснера-Нордстрема, Керра, Ксрра-Ныомана), на СТТ и /(Д)-теории [65]. Необычные свойства чёрнодырпых решений в СТТ и /(Я)-теориях поднимают вопрос о расширении самого понятия чёрной дыры, которое в обычном случае предполагает пространственно-временную сингулярность, скрытую за горизонтом событий; последний представляет собой гиперповерхность, отделяющую внешнюю область, содержащую пространственную бесконечность, от внутренней области, невидимой для внешнего наблюдателя. Так, в статических сферически-симметричных решениях в теории Бранса-Дикке обнаружен большой класс объектов, обладающих свойствами чёрных дыр [66-68]. Однако не все из этих решений имеют сингулярность за горизонтом, но у них у всех горизонт имеет бесконечную площадь, а также нулевую поверхностную гравитацию, а, следовательно, и нулевую температуру Хокинга.
Поэтому такие объекты были названы "холодными чёрными дырами".
Отметим, что решения с холодными чёрными дырами в СТТ существуют только в случае аномальных (или фантомных) теорий, в которых кинетический член имеет "неправилы1ый"знак, и энергия скалярного поля является отрицательной. В частности, в теории Бранса-Дикке энергия скалярного поля положительна, если константа связи и > -3/2, и отрицательна, если ш < —3/2. В последние годы фантомные СТТ стали широко использоваться как в теоретических исследованиях (например, при изучении тахионных полей, являющихся следствием теорий струн [69,70]), так и для объяснения экспериментальных данных (например, для объяснения данных по сверхновым типа 1а и космическому микроволновому фоновому излучению [71-74]).
Была также исследована возможность существования кротовых нор в некотором классе СТТ [49], в частности, в тех теориях, которые, будучи не фантомными по характеру (то есть с положительной кинетической энергией скалярного ноля), способны привести к фантомноподобному поведению в космологии в определённую эпоху [50]. Было показано [49], что, даже в присутствии электрического или магнитного поля, если функция неминимальной связи /(Ф) везде положительна, то решения с кротовыми норами отсутствуют. Тем не менее было также обнаружено [49], что если функция /(Ф) остаётся неотрицательной, но может обращаться в нуль при некотором значении скалярного поля Ф, то кротовые норы могут существовать, хотя только в очень специфическом виде СТТ.
Как известно, существует конформное преобразование от многообразия Mj с метрикой д^, в котором теория (СТТ или /(Л)-теория) изначально задана (называемого йордановской конформной калибровкой, или йордановской картиной), к многообразию МЕ с метрикой д = giWjF{x) (картине Эйнштейна), где уравнения исходной теории превращаются в уравнения ОТО со скалярным полем ф, обладающим некоторым потенциалом У(ф).
Если конформный множитель F(x) всюду регулярен (то есть является всюду гладким и конечным), то такие конформные преобразования, влияя на длины временноподобных (пространственноиодобных) интервалов и нормы временноподобных (простраиственноподобных) векторов, оставляют неизменными световые конуса: пространство-время (Mj, д^и) и пространство-время (Me, g^J) имеют одинаковую причинную структуру. Обратное также верно: если г>д - световой, времепноподобный или пространствен-ноподобный вектор относительно метрики #д„, то он будет также световым, временноподобным или простраиствешюподобпым вектором, соответственно, относительно преобразованной метрики д . В результате основные геометрические и физические свойства многообразий Mj и Me совпадают, так как при таких преобразованиях плоская асимптотика в Mj переходит в плоскую асимптотику в МЕ, горизонт в горизонт, центр в центр.
Отметим, что в общем случае конформные преобразования не являются диффеоморфизмами многообразия М в себя, и преобразованная метрика д^и не является просто метрикой д^, записанной в другой системе координат: метрики д „ и д^ описывают разные гравитационные поля и разную физику.
В историческом плане, интерес к конформным преобразованиям возник после создания Вейлем в 1919 году теории, пытающейся объединить гравитацию и электромагнетизм [59], особенно после её переформулирования Дираком в 1973 году [60]. Более того, была сформулирована конформно инвариантная версия специальной теории относительности [G1-63], однако конформная инвариантность в этом случае была признана физически бессмысленной [44].
Конформные преобразования широко используются в общей относительности, особенно в теории асимптотической плоскостности и при формулировании начальных значений [87], а также при изучении распространения безмассовых полей, включая принцип Ферма [12,15], гравитацион-
ное линзирование в (конформно-плоской) вселенной Фридмана-Робертсона-Уокера [12,15], волновых уравнений [13,16], оптической геометрии вблизи горизонтов чёрных дыр [14,17-19], точных решений [6-11] и в других контекстах. Конформные преобразования имеют также важное значение в квантовой теории поля в искривлённых пространствах [20], в статистической механике и в струнных теориях [21]. Конформное преобразование часто используется в качестве математического инструмента для преобразования уравнений движения физических систем в математически эквивалентные системы уравнений, которые более удобны для изучения. Необходимость этого существует главным образом в следующих трёх областях гравитационной физики: в альтернативных (в том числе нелинейных) теориях гравитации, в многомерных теориях объединения взаимодействий и при изучении скалярных полей, неминимально связанных с гравитацией.
При рассмотрении конформных преобразований особый интерес представляют случаи, когда сингулярность в многообразии М^ (картина Эйнштейна) соответствует (в силу того, что конформный множитель F(x) в данной точке обращается в бесконечность или в нуль) регулярной поверхности в многообразии Mj (картина Йордана). Тогда многообразие Mj может быть регулярно продолжено через эту поверхность (это явление называется конформным продолжением), и глобальные свойства многообразия Mj могут быть значительно богаче, чем у Ме- В новой области может, например, оказаться горизонт или другая пространственная бесконечность. Возможна и обратная ситуация — конформное продолжение из картины Иордана в картину Эйнштейна.
Различные конформные картины связаны с различным выбором единиц измерения (атомных, гравитационных и т.д.). В связи с этим, с общей точки зрения, существование конформных продолжений может означать, что доступная нашему наблюдению Вселенная является лишь частью реальной, намного большей Вселенной, которую следует описывать с помощью другой, более фундаментальной конформной картины.
Цели данной работы состоят в следующем:
выяснение необходимых и достаточных условий существования конформных продолжений в статическом сферически симметричном пространстве-времени произвольной размерности D > 3 в СТТ и /(.Я)-теориях, как для электронейтральных конфигураций, так и в присутствии электромагнитного поля;
нахождение примеров точных решений уравнений поля, допускающих конформные продолжения;
исследование возможности существования решений с чёрными дырами в ОТО со скалярным полем (картина Эйнштейна) и изучение их свойств при конформном преобразовании в картину Иордана, где задана произвольная СТТ, в частности, поиск решений в виде дважды асимптотически плоских кротовых нор в картине Иордана.
Диссертация написана па основе пяти работ автора [1, 2, 3, 4, 5], вышедших в рецензирируемых изданиях.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
международной конференции "Физические интерпретации теории относительности" (Москва, 4-7 июля 2005 года);
международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике (Москва, 1-6 марта 2006 года);
на научных семинарах в МГУ, ВНИИМС.
Основную часть диссертации составляют главы 2, 3, 4 и 5.
В главе 2 рассматриваются условия существования и свойства конформных продолжений в статических сферически-симметричных скалярно-вакуумных конфигурациях пространства-времени произвольной размерности D > 3 в СТТ и /(Л)-теориях. Отдельно рассматриваются случаи,
когда поверхность перехода Strans обычная сфера (такое конформное
продолжение названо конформным продолжением первого типа — КП-І), и когда она является горизонтом Киллинга (такое конформное продолжение
названо конформным продолжением второго типа — КП-Н). В разделе 2.1 приводятся уравнения поля СТТ и /(Д)-теорин в картине Иордана. В разделе 2.2 рассматриваются необходимые условия и свойства конформных продолжений, общие для СТТ и /(Л)-теорий. В разделе 2.3 рассматриваются особенности конформных продолжений в /(Я)-теориях; доказывается теорема, описывающая необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений. В разделе 2.4 приводятся два примера точных решений уравнений поля в /(Л)-теории, допускающих конформное продолжение к картине Эйнштейна, где задана теория относительности с минимально связанным скалярным полем. В разделе 2.5 рассматриваются особенности конформных продолжений в случае, когда в картине Иордана задана СТТ; доказываются две теоремы о необходимых и достаточных свойствах конформных продолжений. В разделе 2.6 свойства конформных продолжений иллюстрируются на примере известного решения с безмассовым конформным скалярным полем в ОТО.
В главе 3 рассматриваются условия существования и свойства конформных продолжений первого и второго типов (КП-І и КП-П) в статических сферически симметричных конфигурациях в СТТ и /(Л)-теориях при наличии электромагнитного поля. Рассмотрение ограничивается случаем четырёх измерений пространства-времени, так как при большем числе измерений электромагнитное поле не является конформно инвариантным. Полученные результаты сравниваются с вакуумным случаем, рассмотренным в главе 2. В разделе 3.1 приводятся уравнения поля СТТ и /(Я)-теории в присутствии электрического заряда в картине Иордана. В разделе 3.2 рассматриваются необходимые условия и свойства конформных продолжений, общие для СТТ и f(R) теорий с электромагнитным полем. В разделах 3.3 и 3.4 рассматриваются особенности конформных продолжений соответственно в f(R) теориях и в СТТ при наличии электромагнитного поля; доказываются теоремы, описывающие необходимые и достаточные условия существования конформных продолжений в соот-
вететвующих теориях. В разделе 3.5 свойства конформных продолжений в СТТ с электрическим нолем иллюстрируются на примере решения с безмассовым конформным скалярным нолем и электрическим зарядом в ОТО.
В главе 4 рассматриваются решения с холодными чёрными дырами в теории относительности Эйнштейна с минимально связанным скалярным полем. Изучаются свойства конформных преобразований этих решений в картину Иордана, где задана СТТ общего вида. В разделе 4.1 описываются основные свойства статических сферически симметричных решений в теории Эйнштейна с безмассовым скалярным полем. Особое внимание уделяется семейству решений с холодными чёрными дырами. В разделе 4.2 сравниваются решения с холодными чёрными дырами в эйнштейновской и йордановской конформных картинах, при этом в качестве примера рассматривается теория Бранса-Дикке. В разделе 4.3 обсуждается новый (третий) тип конформных продолжений (КП-Ш), возникающий в этом контексте: это продолжения через горизонт бесконечной площади. В раздала 4.4 рассматриваются некоторые термодинамические свойства холодных чёрных дыр. В разделе 4.5 рассматриваются общие свойства решений теории Эйнштейна со скалярным полем, обладающим ненулевым потенциалом У(ф). Показывается, что свойства горизонтов холодных чёрных дыр при У(ф) ф 0 в основном те же, что и при нулевом потенциале. В разделе 4.6 приводится конкретный пример решения с холодными чёрными дырами при У(ф) ф 0.
В главе 5 рассматриваются статические сферически-симметричные конфигурации в ОТО и в СТТ с электрическим зарядом. В картине Эйнштейна с помощью метода обратной задачи находится четырёхпараметрическое семейство решений, включающее решения с деситтеровской, плоской и ан-тидеситтеровской асимптотиками, среди которых имеются решения с голыми сингулярпостями, с экстремальными и неэкстремальными заряженными черными дырами. Найденные решения с чёрными дырами конформ-
ным преобразованием отображаются в решения с заряженными черными дырами в картине Иордана в СТТ общего вида, при условии, что функция неминимальной связи /(ф) всюду положительна. С другой стороны, в предположении, что при некотором значении ф функция /(ф) = 0, получаются варианты СТТ, в которых решение с чёрной дырой в картине Эйнштейна конформно отображается в дважды асимптотически плоскую кротовую нору.
Автор выражает благодарность руководителю диссертационной работы профессору К.А. Бронникову. Автор также выражает благодарность всем участникам семинаров, принимавшим участие в обсуждении результатов работы.
СТТ в картине Иордана
При заданном потенциале V уравнения (2.16)-(2.18) образуют определенную систему уравнений для неизвестных г, А, ф.
Величины в йордановской (2.3) и эйнштейновской (2.15) метриках связаны следующими соотношениями: A(q) = FA(p), r2{q) = Fr2(p), dq = ±Fdp. (2.20)
Отметим, что в обеих метриках (2.3) и (2.15) выбраны "квазиглобальные" радиальные координаты [51] (соответственно, р и /), удобные для описания горизонтов Киллиига: вблизи горизонта р = ph функция А{р) ведет себя как [р — Ph)k, где к — порядок горизонта: к = 1 соответствует простому горизонту типа Шварцшильда, к — 2 — двойному, как у экстремальной черной дыры Райснера-Нордстрема и т.д. Аналогичную роль в метрике (2.3) играет функция A(q).
Отметим также, что горизонт Киллинга, соответствующий значению Р — Ph-, допускает продолжение к другим пространственно-временным областям тогда и только тогда, когда к Є N. Это ограничение следует из особой роли координаты р: вблизи значения р = Ph она изменяется (с точностью до положительного постоянного множителя) точно так же, как явно хорошо себя ведущие крускалоподобные координаты, используемые для аналитического продолжения метрики [67,68]. Следовательно,используя эту координату (которая поэтому и была названа квазиглобальной [76]), можно "пересекать горизонты", сохраняя формально статическое выражение для метрики. В случае, когда показатель степени к является дробным числом, пространство-время не может быть продолжено в связи с неаналитичностью метрики в терминах хорошо себя ведущих координат. Геодезические также не могут быть продолжены за соответствующие значения их канонических параметров. Сфера р — / является тогда сингулярностью, даже если все инварианты кривизны на ней конечны. Такие сферы можно назвать сингулярными горизонтами, чтобы отличать их от регулярных горизонтов (или просто горизонтов) и сингулярностей кривизны.
Рассмотрим возможный случай, когда метрика в картине Эйнштейна g v сингулярна при некотором значении р, а метрика в картине Иордана д,ш регулярна при соответствующем значении q. В таком случае йордановское многообразие Mj может быть продолжено регулярным образом за эту поверхность (обозначим её Strans) то есть по определению имеет место конформное продолжение (КП).
В рассматриваемом в данной работе случае сферической симметрии поверхность Straus Є Mj может быть либо обычной сферой, на которой метрические функции г 2 и Л конечны (назовём такое продолжение конформным продолжением первого типа - КП-І), либо горизонтом Киллин-га, на котором радиус г конечен, но Л = 0 (назовём такое продолжение конформным продолжением второго типа - КП-И).
Без потери общности можно положить, что на поверхности Strans координаты р — 0 и q = 0, и что р 0 в многообразии ME вне поверхности Q trans В соответствии с (2.20), в терминах эйнштейновской метрики д должно быть левая часть которого, как видно, ведёт себя как B2p D m и имеет тот же знак, что и В-2, а правая часть имеет ту же зависимость от р, и её знак отрицательный. Следовательно, надо положить В2 0, что означает, что функция B(q) имеет максимум при q = 0.
Эти общие ограничения были найдены из сравнения метрик д и 7))Ш, без спецификации теории, в которой имеет место КП, и для обоих типов переходов, КП-І и КП-ІІ. Таким образом, для размерности пространства-времени D 3 возможны оба типа переходов, и, в частности, при КП-ІІ поверхность trans является двойным горизонтом, соединяющим две Т-области (так как функция В = A/rt2 0 по обе стороны от Strans)- При D = 3 возхможно только КП-І, так как горизонт, па котором функция В обращается в нуль, но В ф 0 в его окрестности, противоречит условию В = const.
Примеры точных решений с конформными продолжениями
Видно, что йордановская метрика сингулярна при q — 0, а эйнштейновская - как при q — 0, так и при q — gtrans — 1- Таким образом, одному многообразию Mj соответствуют два многообразия МЕ1 и МЕ2 — одно описывается значениями д, большими чем r/trans (то есть значениями q 1), другое — значениями q, меньшими чем /lrans (то есть значениями 0 q 1).
Приведем выражения для скалярного поля и потенциала в картине Эйнштейна: ф = ±y/2\n\qV5 - q2% (2.84) if-3(Rf п_В(2,4ді/5-2,88д) v = \rR4Rh-f) = ;:i ::Г - («-«б) Видно, что обе величины монотонны при 0 q 1 и при q 1, так что функция У(ф) определена. Четырехмерный пример При D = 4 уравнения (2.G), (2.7) и (2.55) принимают вид Одним из решений этих уравнений являются, например, следующие функции где а, с — const 0. Положим для удобства а = 1, с = 1 (выбирая соответствующие единицы измерения). Тогда /я = 0 при q = gtrans = a = 1. Метрика в картинах Иордана и Эйнштейна имеет вид
Таким образом, йордановская метрика имеет вид, близкий к шварцшиль-довскому, она сингулярна в центре (q = 0) и содержит горизонт при q = 2/3. Ее асимптотика отличается от плоской дефицитом телесного угла, равным 27г, то есть подобна асимптотике глобального монополя (в этом легко убедиться, переходя от t и q к координатам t — t/\/2 и q = q\/2). В многообразии ME метрика сингулярна при q = 0 и q — 1 и содержит горизонт при q = 2/3. Таким образом, многообразию Mj соответствуют два многообразия MEI и MR2 — отдельно для q 1 и q 1. Первое имеет неплоскую асимптотику при q — со и голую сингулярность в центре (г/ = 1), второе — два сингулярных центра при q — 0 и q = 1, разделенных горизонтом q = 2/3. Скалярное поле и его потенциал в ME имеют следующий вид:
Отметим, что рассмотренные примеры носят методический характер и демонстрируют существенные различия между описаниями теории в картинах Иордана и Эйнштейна в условиях конформного продолжения. Теперь рассмотрим более подробно случай СТТ с деііствием общего вида вида (2.21).
Конформное продолжение многообразия МЕ в многообразие Mj может иметь место при таком значении скалярного поля ф, при котором конформный множитель F в преобразовании (2.27) сингулярен, в то время как функции /, h и U в действии (2.21) регулярны. Это означает, что при ф — фо, соответствующем возможной поверхности перехода Strans, функция /(ф) имеет нуль некотороЕсли правая сторона уравнения (2.97) ненулевая при ф — ф0, при котором I — О, то скалярная кривизна R должна быть бесконечна. В частном случае можно подобрать функции / и U в таком виде, который позволит устранить указанную сингулярность. Однако, рассматривая общий случай, будем игнорировать эту возможность и просто полагать, что I 0 на поверхности Strans, и, следовательно, п = 1 и !(ф) Аф. Тогда для выражений (2.29) вблизи Strans = Фо) можно записать: ±j, /+дТ2- (2.98) Отсюда находим 1(ф) Аф е-Ф\Даш): (2.99) где без потери общности знак ф выбран таким образом, чтобы ф - оо при Аф - 0.
Некоторые необходимые условия конформного продолжения (как КП-I, так и КП-ІІ) могут быть легко найдены из уравнений поля в MR (5.4)-(5.6). Однако эти уравнения описывают систему только с одной стороны поверхности Strans- Другое многообразие Эйнштейна может быть построено для области за trans "о тогда возникает проблема сшивания решений, найденных в двух не взаимодействующих между собой областях. Поэтому для доказательства достаточных условий существования решений в многообразии Mj , которые регулярны на поверхности Strans и вблизи её, имеет смысл использовать уравнения поля в Mj (2.24)-(2.26).
Для метрики д вида (2.15) в многообразии ME, продолжение КП-І может иметь место, если при ф - оо, в то время как поведение функции / описывается соотношением (2.99). Поверхность Strans будучи регулярной в йордановской кар тине, сингулярна в многообразии ME (В котором метрические функции г2 А — 0 вблизи Strans): она представляет собой либо сингулярный центр (если имеет место продолжение из R-области), либо космологическую сингулярность (если продолжение осуществляется из Т-области).
Справедлива следующая теорема: Теорема 2. Рассмотрим скалярно-вакуумные конфигурации с метрикой (2.3) и скалярным полем ф = ф(д) в теории (2.21) с к(ф) = 1 и 1(ф) 0. Предположим, что функция связи /(ф) имеет простой нуль при некотором значении скалярного поля ф — ф0, при котором потенциал /( о) о. Тогда: (і) в многообразии Mj существует такое решение уравнений поля, которое гладко в окрестности поверхности Straris (ф = ф0), являющейся обычной сферой в Mj; (іі) в этом решении значения скалярного поля ф различны на различных сторонах сферы Strans.
Доказательство. Докажем сначала пункт (іі): покажем, что в случае КП-I производная от скалярного поля йф/dq ф 0 при ф = ф0, так что значение фо не является максимумом или минимумом функции ф(д). го порядка п.
Общие условия конформных продолжений
Рассмотрим теперь условия конформного продолжения, когда метрика д сингулярна при некотором значении координаты р, а метрика картины Иордана giw регулярна при соответствующем значении q, и, следовательно, многообразие Mj может быть регулярно продолжено за эту поверхность (Strane).
Как и в электронейтралыюм случае, сфера trans Є Щі может быть или обычной сферой, на которой г2 и Л конечны (КП-І), или горизонтом Киллинга, на котором г» конечен, но Л — О (КП-П).
Опять полагаем, что на Strans значения координат р = 0 и q = О, и р 0 в многообразии МЕ вне Strans- В соответствии с (2.20), должно быть, в терминах метрики д , F l г2 - 0 при р - 0, (3.22) и, кроме того, А(р) т2{р) для КП-І, а для КП-Н в Mj должно быть A{q) qn при q - 0. Используем уравнения поля в ME ДЛЯ дальнейших оценок. Перепишем уравнение (3.14) в виде d /4сШ\ п _ 4Q2 )=-2 + -, (3.23) dp \ dp) г2 где, как и прежде, функция В(р) — B(q) конформно инвариантна и должна быть конечна при р = q = 0. Также B(q) должна быть гладкой вблизи q = 0, и первые два члена её разложения в ряд Тейлора могут быть записаны в том же виде (2.3G) с Во ф 0 для КП-І и Во = 0 для КП-Н.
Аналогично электронейтральному случаю, полагаем, что вблизи Strans г(р) рт, где 0 т 1/2, и, следовательно q рх 2т.
Используя соотношение г(р) рт и разложение (2.36), уравнение (3.23) при р —» 0 перепишем в виде пВ„(1 - 2т)[Ат + п{\ - 2т) - ф4т+п(і-2т)-2 = _2 _ 22/Г2т. (3.24) Можно показать, что при р — 0 в правой части соотношения (3.24) важно только последнее слагаемое. Поэтому запишем пВп(1 - 2т)[4т + п(1 - 2т) - i]p4m+n(i-2m)-2 „ -Q2p 2m, (3.25)
Приравнивая степени при р в правой и левой части выразим т через порядок горизонта п: m = (2 - n)/(6 - 2и). (3.27) Отсюда видно, что единственное возможное положительное целое значение п, при котором выполняется неравенство 0 т 1/2, - это значение п = 1, и ему соответствует т = 1/4. Следовательно, функции г(р) и B(q) ведут себя вблизи поверхности Straus (/э = ? = 0) как r(p) р1/4, (3.28) Я(д) = Д, + ЯіЯ + о(д), #i 0. (3.29) Тогда для F и q вблизи SUans получим
Из (3.29) видно, что при КП-И сфера Strans является простым горизонтом, соединяющем R- и Т-область (так как функция В — А/г 2 имеет разные знаки на различных сторонах сферы Strans). Т-область соответствует значениям A(q) 0 (что имеет место при q 0), а R-область — значениям A(q) 0 (что имеет место при q 0).
Эти общие условия конформных продолжений были найдены из сравнений метрик д и д и, без конкретизации теории, в которой имеет место КП, а также для обоих типов переходов, КП-І и КП-Н.
Отметим, что соотношение r(p) /J1/4 при КП такое же, как и в вакуумном случае (Q = 0). Однако поведение функции B(q) существенно отличается от сё поведения в вакуумном случае: напомним, что при отсутствии электромагнитного поля функция B(q) должна иметь максимум при КП, и следовательно, КП-П возможно только как горизонт второго порядка, соединяющий две Т-области.
Отметим также, что при наличии электромагнитного ноля, в отличие от вакуумного случая, оказалось возможным найти соотношения (3.28) и (3.30) непосредственно из условий конформного продолжения, до конкретизации теории, в которой это КП имеет место. В вакуумном же случае аналогичные соотношения были найдены для СТТ и f(R) теории только после конкретизации лагранжианов.
Теперь можно сформулировать алгоритм последовательного нахождения всех неизвестных коэффициентов Вп, sn, Rn. Как было показано, используя пять уравнений (3.6)(0]-(3.7) [1], можно найти искомые коэффициенты до номера 2. Тогда, считая, что эти коэффициенты найдены вплоть до номера га, уравнения (3.6)[п]-(3.32)[п — 1] представляют собой систему уравнений для неизвестных Вп+\, sn+i и Rn+\- Определитель этой системы не равен нулю, если выражение 3B03i + BiSo O. (3.36)
Таким образом, можем заключить, что все коэффициенты разложения Вп, sn, Rn единственным образом выражаются через начальные данные Во,.%, Ro, Ri » коэффициенты разложений известных функций (исключение составляет лишь случай, когда выражение (3.36) равно пулю). Это доказывает существование гладкого решения уравнений поля (3.5)-(3.7) вблизи сферы Strans, то есть существование конформного продолжения. Продолжение через горизонт В Mj (КП-ІІ)
Пусть теперь в многообразии Mj задана СТТ с действием (3.15). Конформное продолжение из ME в Mj может существовать при таких значениях скалярного поля ф, при которых конформный множитель Ffy) сингулярен, в то время как функции /, h и U в действии (3.15) регулярны. Это означает, что при значении ф = фо, соответствующем возможной поверхности перехода Strans, функция ${ф) имеет нуль определённого порядка п. Следовательно, как и и вакуумном случае, функция /(ф) в преобразовании (2.29) вблизи значения ф — ф0 в ведущем порядке величины может быть записана как /(ф) Афп, п — 1,2, Как и прежде, значение п 1 ведет к 1(фо) = 0, а это, в свою очередь, в общем случае приводит к сингулярности кривизны в многообразии M,j. Поэтому, так же как и в разделе 2.5, будем считать / 0 на сфере Strans, что означает, что должно быть п — 1.
Термодинамические свойства скалярных чёрных дыр
Решение (анти-) Фишера, будучи решением ОТО с безмассовым минимально связанным скалярным полем, является одновременно и решением произвольной СТТ в её эйнштейновской картине. Рассмотрим соответствующую картину Иордана, предпологая в ней для определённости простейшую и наиболее известную СТТ, а именно, теорию Бранса-Дикке. Последняя соответствует следующему выбору функций в действии (4.1): f((p) = р, h{ip) = и/(р, (4.25) где ш - константа связи Бранса-Дикке. Будем рассматривать безмассовый вариант теории, то есть с U(ip) = 0.
Ограничимся рассмотрением лишь тех решений уравнений поля, которые содержат холодные черные дыры. Как было показано в предыдущем разделе, среди решений (4.12) с (4.11) холодным чёрным дырам соответствует значение к 0. В картине Йордана, где задана теория Бранса-Дикке, соответствующее решение может быть записано в виде ds2j = Р"« ds\ = Pa- dt2 - Р-а- 1(? - Pl-ap2dtf, (4.26) у = exp [ф/у/\ш + 3/2\ } = J (4.27) где параметр связан саиш соотношением Условия существования чёрных дыр в этом решении были рассмотрены в [67,68]. Кратко напомним здесь их.
Как и в метрике (4.12), горизонт в йордановской метрике (4.26) может иметь место при р — 2к если а 0. Однако, как было показано в [67, 68], решение с холодной чёрной дырой существует только тогда, когда параметры ЙИ( подчиняются следующим условиям "квантования": где тип- положительные целые числа, удовлетворяющие неравенствам Константа связи ш также может иметь лишь дискретный набор значений: Так как для теории Бранса-Дикке 1((р) = со + 3/2, то получаем, что, как и в картине Эйнштейна, чёрные дыры могут существовать только при фантомном скалярном поле (є = sign/ = —1). Этот же результат справедлив и для конфигураций с непулевым электрическим зарядом, несмотря на большее количество возможных классов решений.
Однако условия существования холодных чёрных дыр различны в эйнштейновой и йордановской картинах, и глобальные структуры всего пространства-времени, продолженного за горизонт, также различны [67,68]. В частности, в решении (4.12), как следует из (4.16), все К{ обращаются в бесконечность как /? — 0. Другими словами, во внутренней области холодных чёрных дыр в картине Эйнштейна (или, что то же самое, холодных чёрных дыр с минимально связанным безмассовым фантомным скалярным полем в ОТО) всегда существует сингулярность кривизны. Между тем, многие холодные чёрные дыры в теории Бранса-Дикке в картине Йордана несингулярны, а некоторые из них имеют вторую плоскую асимптотику за горизонтом [67,68).
Отметим, что, в то время как картина Эйнштейна является общей для целого класса СТТ, описываемых действием вида (4.2), картины Иордана меняются от теории к теории, вместе с функциями неминимальной связи /( /?). Это означает, что дискретные условия "квантования" для параметров решений, обеспечивающих существование холодных чёрных дыр, будут различны в подобных решениях для различных СТТ в картине Йордана.
Согласно соотношениям (4.29), холодные чёрные дыры йордановской картины образуют дискретное семейство с двумя целочисленными параметрами т и п, удовлетворяющими неравенствам (4.30), в то время как семейство холодных чёрных дыр эйнштейновской картины зависит только от одного целочисленного параметра а 2. Конформное отображение (3.19), которое связывает две системы, в некоторых случаях переводит чёрные дыры в чёрные дыры, а именно, когда т + 1 кратно а; в соответствии с (4.29), параметр п тогда может быть выражен следующим образом: п = т— (т + 1)/а.
В общем случае, однако, конформное преобразование (3.19) отображает холодные чёрные дыры в ME В конфигурации с сингулярным горизонтом или сингулярностью кривизны в Mj, и наоборот. Приведём несколько примеров:
