Космологические модели темной энергии и их приложения Асташенок Артем Валерьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Метод линеаризации и точные решения в космологии на бране Рэндалл-Сандрум 24

1.1 Введение 24

1.2 Пример решения с выходом из стадии ускоренного расширения в космологии Эйнштейна-Фридмана 27

1.3 Точные решения в космологии на бране Рэндалл-Сандрум 29

1.4 Решения с заданным суперпотенциалом \{ф) 34

1.5 Решения с заданной эволюцией скалярного поля ф(ї) 35

1.6 Заключение к главе 1 45

2 Проблема космологической постоянной: антропный и физический подходы 48

2.1 Инфракрасная расходимоств в теории космологической мерві 48

2.2 Экспоненциалвно убегающая космологическая мера 57

2.3 Усреднение вероятностей по четырехмерному объему пространства-времени 61

2.4 Математическое решение проблемві космологической постоянной 74

2.5 Космологические уравнения и задача Штурма-Лиувилля 76

2.6 Новый класс сингулярностей типа sudden future 79

2.7 Заключение к главе 2 84

3 Формализм уравнения состояния и космологические модели темной энергии 86

3.1 Скалярные модели темной энергии с сингулярностями в конечном будущем 86

3.2 Скалярная космология с "малвім разрывом" 90

3.3 Модели фантомной энергии с асимптотической эволюцией де Ситтера 94

3.4 Модели фантомной энергии с сингулярностями типа III 102

3.5 Модели темной энергии с сингулярностями типа sudden future 105

3.6 Модели темной энергии с "болвшим сдавливанием" 109

3.7 Модели фантомной энергии при наличии взаимодействия с темной материей 113

3.8 Модели фантомной энергии и сингулярности 115

3.9 Модели темной энергии в космологии на бране Рэндалл-Сандрум116

3.10 Заключение к главе 3 127

4 Теоретические модели темной энергии и данные астрономических наблюдений 129

4.1 Введение 129

4.2 Модели темной энергии с малым разрывом, большим разрывом и сингулярностью типа III 134

4.3 Модели темной энергии с псевдо-разрывом и сингулярностью типа sudden future 145

4.4 ACDM-модель на бране Рэндалл-Сандрум 151

4.5 Другие модели темной энергии на бране Рэндалл-Сандрум 153

4.6 Космологические параметры в /(Т)-гравитации 159

4.7 Квантовая петлевая космология и космология на бране 162

4.8 Приложение: проблема крупномасштабных квантовых флуктуации в фантомной космологии

4.8.1 Введение 165

4.8.2 Космологические модели с малым разрывом 166

4.8.3 Разрешение проблемы доминирования неупорядоченных наблюдений в фантомной Вселенной 168

4.9 Заключение к главе 4 174

5 Космологические модели в рамках модифицированных теорий тяготения 177

5.1 /(Т)-гравитация и космология 177

5.2 Эффективные модели темной энергии в /(Т)-гравитации 178

5.3 Модели фантомной энергии и /(Т)-гравитация: устранение сингулярностей 180

5.4 Миметическая /( )-гравитация 187

5.5 /((?)-гравитация в формулировке с множителем Лагранжа 192

5.6 Заключение к главе 5 196

Модели компактных объектов в теориях модифицированной гравитации 198

6.1 Введение 198

6.2 Уравнения Толмена-Оппенгеймера-Волкова в f(R)- и /(( -гравитации 202

6.3 Модели нейтронных звезд с аналитически заданными уравнениями состояния 208

6.4 Модели магнетаров в f(R)- и /((у)-гравитации 222

6.5 Модели кварковых звезд в непертурбативной /(Д)-гравитации 233

6.6 Заключение к главе 6 241

Заключение 244

Благодарности 246

Приложение: публикации автора по теме диссертации 247

Список литературы

• Точные решения в космологии на бране Рэндалл-Сандрум
• Усреднение вероятностей по четырехмерному объему пространства-времени
• Модели темной энергии с сингулярностями типа sudden future
• Приложение: проблема крупномасштабных квантовых флуктуации в фантомной космологии

Введение к работе

Актуальность темы. Открытие ускоренного расширения Вселенной привело к бурному развитию космологии в последние 15 лет и появлению новых идей, новых загадок и их возможных решений. Проблему ускоренного расширения Вселенной можно решить, если предположить, что Вселенная заполнена нестандартной космической "идеальной жидкостью" с отрицательным давлением. Эта жидкость не кластеризуется во Вселенной в какую-либо крупномасштабную структуру. В простейшем случае эта темная энергия может быть описана как ненулевая космологическая постоянная Эйнштейна. Плотность энергии вакуума составляет порядка 70% общей плотности энергии во Вселенной. Оставшаяся часть (30%), кластеризованная в галактики и скопления галактик, состоит из барионной материи (4%) и холодной темной материи (Cold Dark Matter - CDM), которая может состоять из так называемых WIMPs (Weakly Interacted Massive Particles -слабовзаимодействующие массивные частицы), аксионов или других неизвестных частиц. Темная энергия, которая призвана объяснить феномен ускоренного расширения Вселенной, должна иметь сильное отрицательное давление, приводящее к "антитяготению" и, следовательно, ускоренному разбеганию звезд и галактик друг от друга.

Несмотря на удовлетворительное согласие с данными наблюдений, в ACDM-модели имеются проблемы фундаментального характера. Прежде всего это так называемая загадка космологической постоянной. В первоначальной постановке эта проблема заключалась в гигантской (на 120 порядков) разнице, существующей между значением космологической постоянной, предсказываемым квантовой теорией поля, и экспериментально наблюдаемой величиной. Особую остроту проблеме придавала необходимость изначальной тонкой настройки для значения вакуумной энергии p_vac в теории ранней вселенной при наличии последовательности фазовых переходов.

Одним из способов решения данной проблемы является использование антропного принципа. Верхняя граница для значения эффективной величины космологической постоянной:

Л_max < 5000Л₀,

где Л₀ - наблюдаемая величина. При большем значении космологической постоянной космологическое ускорение будет столь велико, что оно воспрепятствует образованию наблюдаемой крупномасштабной структуры, то есть в такой вселенной просто не может появиться никаких наблюдателей.

С другой стороны, антропные объяснения такого рода совпадений могут быть осмысленными только в рамках мультиверса. Концепция мультиверса предполагает, что вселенная представляет из себя набор очень большого (или бесконечного) числа областей, в которых величина космологической постоянной (как и других параметров) принимают все возможные значения. Если дополнить эту картину принципом отбора, например, принципом типичности, то антропный принцип действительно становится эффективным инструментом. Иногда его эффективность рассматривают даже как свидетельство существования мультиверса. Однако, факт существование мультиверса непосредственно вы-

водится из самых общих предположений в рамках теории вечной инфляции или теории струн, то есть без использования рассуждений, основанных на антропном принципе.

В рамках модели мультиверса можно оценивать только вероятность наблюдения того или иного события. Эта вероятность пропорциональна числу наблюдателей в данной области мультиверса. Для большей точности можно полагать, что существование наблюдателей эквивалентно производству энтропии. Такая трактовка основана на естественной идее, что каждое наблюдение приводит к росту энтропии, и полное усредненное число наблюдений будет пропорционально количеству энтропии материи, произведенной в рассматриваемой области. Ряд вычислений, основанных на применении антропного принципа, приводит к парадоксальному выводу: вероятность обнаружить себя в области с ненулевым значением в точности равна нулю! Это связано с тем, что доля наблюдений, осуществленных во вселенных с = 0, оказывается равной нулю в отличие от наблюдений, реализованных во вселенных с нулевым значением вакуумной энергии = 0. Эту проблему можно назвать "инфракрасной расходимостью" в теории космологической меры. На этом основании ряд авторов делает заключение об ограниченных возможностях и даже, возможно, о несостоятельности антропного принципа.

В диссертационной работе дается обзор точных результатов, приводящих к инфракрасной расходимости в теории космологической меры. Показано, что эти результаты не приводят к противоречию, если использовать антропный принцип для объяснения измеренной величины , а не для предсказания этой величины. Также показано, что использование так называемого аргумента "последнего дня" при вычислении байесовских вероятностей помогает избежать проблемы инфракрасной расходимости и тем самым возвращает антропному принципу его предсказательную силу.

Согласно последним данным астрономических наблюдений, неопределенность в знании значения параметра состояния для темной энергии wu

wd = Pd/pd < 0 ,

где рв - плотность темной энергии, ри - давление, все еще достаточно велика для того, чтобы понять, какой из трех случаев реализуется в нашей Вселенной, w < - 1, w = - 1 или w > - 1: w = - 1.04⁺_-⁰_{01 0}. Хотя ряд независимых друг от друга наблюдений и свидетельствуют в пользу CDM-модели, но погрешности измерений все же достаточно велики, чтобы можно было заведомо отсечь альтернативные космологические модели.

Если w < - 1 (фантомная темная энергия), то мы сталкиваемся с наиболее интересным и наименее понятным с теоретической точки зрения случаем. Для фантомного поля происходит нарушение всех четырех энергетических условий. Некоторые данные наблюдений могут быть проинтерпретированы как указание на фантомизацию (или дефантомизацию) в близком будущем или прошлом.

Дополнительный интерес к моделям с фантомными полями связан с тем, что фантомной поле может приводить к сингулярности "большого разрыва". Теоретически масштаб-

ный фактор во вселенной, заполненной фантомным полем, может достигнуть бесконечного значения за конечное время (большой разрыв). Были предложены несколько способов решения проблемы сингулярности большого разрыва: 1) рассматривать фантомное ускорение как переходный феномен, такое возможно для ряда скалярных потенциалов; 2) учесть квантовые эффекты, которые могут помешать достижению финальной сингулярности; 3) модифицировать теорию тяготения таким образом, чтобы в новой теории сингулярностей не возникало, но описывались бы данные наблюдений; 4) ввести особое взаимодействие между темной энергией и материей или использовать специальную форму для уравнения состояния темной энергии.

Математический анализ показывает, что условие w < — 1 недостаточно для возникновения сингулярности в конечном будущем. Во-первых, возможно, что фантомное ускорение является лишь переходным феноменом. Во-вторых, можно построить модели, в которых параметр состояния w асимптотически стремится к —1, и плотность энергии возрастает со временем, но нет сингулярности в конечном будущем.

Конечно, наиболее очевидным является случай, при котором скорость расширения Вселенной стремится к постоянной величине (асимптотическое пространство-время де Сит-тера). Интересная ситуация связана с космологией "малого разрыва", в которой скорость расширения стремится к бесконечности при t —> оо. Ключевой момент заключается в том, что, если параметр состояния w стремится к —1 достаточно быстро, то возможна космологическая модель, в которой сингулярность достигается за бесконечное время, то есть сингулярность эффективно не возникает.

Тем не менее, даже в случае космологической модели "малого разрыва" происходит разрушение структур (галактических кластеров, галактик и т.п.) подобно тому, как это происходит и до достижения сингулярности большого разрыва. Это разрушение происходит за конечное время.

Более всего интересны модели, которые приводят к стабильной эволюции в течение долгого времени, до того, как начинается разрушение гравитационно связанных структур из-за "малого разрыва", или имеет место сингулярность при конечном значении масштабного фактора. Этот вопрос в диссертационной работе проанализирован с точки зрения уравнения состояния для темной энергии и соответствующего описания в рамках скалярно-тензорной теории. Рассмотренные космологические модели подробно проанализированы на предмет соответствия данным астрофизических наблюдений.

Одним из вариантов объяснения ускоренного расширения Вселенной является космологический сценарий мира на бране. Впервые он был предложен более десяти лет назад и привлек много внимания.

При рассмотрении инфляции на бране важен анализ решений для скалярного поля с потенциалом самодействия. Существует множество работ, посвященных этому вопросу. В диссертационной работе представлен метод суперпотенциала для построения точных решений космологических уравнений.

Открытие ускоренного расширения Вселенной способствовало также и развитию интереса к модифицированным теориям тяготения. Эти теории привлекательны по нескольким причинам. Известно, что одной из проблем общей теории относительности является загадка начальной сингулярности в космологических моделях.

Начальной сингулярности можно избежать в рамках несингулярных космологичеких моделей с отскоком. Ключевая особенность таких моделей состоит в том, что необходимо модифицировать стандартное действие Эйнштейна-Гильберта. В диссертационной работе рассмотрены модели /(Т)-гравитации. В рамках /(Т)-гравитации может эффективно нарушаться нулевое энергетическое условие и, таким образом, можно получить космологические модели с ускоренным расширением, но без "темной энергии", и модели с "отскоком" в ранней Вселенной или в будущем. Одним из преимуществ /(Т)-гравитации является то, что при определенных условиях космологические модели на ее основе могут быть свободными от сингулярностей.

В рамках модифицированных теорий тяготения можно также объединить наблюдаемое ускоренное расширение с раннюю инфляцию, то есть описать эволюцию Вселенной в едином ключе. Также показано, что такие теории могут объяснять данные по сверхновым типа 1а и анизотропии реликтового фона.

Однако, данный подход нуждается в дополнительных обоснованиях для того, чтобы быть принятым или отвергнутым. Не исключено, что исследование режима сильного гравитационного поля для релятивитстских астрофизических объектов может ответить на вопрос о том, описывается ли гравитация теорией Эйнштейна или одной из ее модифицированных версий. Построение моделей релятивитстких звезд в рамках модифицированной гравитации может иметь интересные приложения. Если удастся получить в теории новые виды компактных объектов, то их возможное обнаружение будет аргументом в пользу модифицированной гравитации. Режим сильного поля может быть рассмотрен в предположении, что общая теория относительности описывает тяготение в пределе слабого поля. Стабильность звезд может зависеть и от выбора уравнения состояния материи при высоких плотностях. В диссертационной работе подробно исследованы реалистичные модели нейтронных звезд в модифицированных теориях тяготения и указаны возможные способы тестирования таких теорий на астрофизических масштабах.

Таким образом, открытие ускоренного расширения Вселенной способствовало современному развитию космомикрофизики - науке, возникшей на стыке космологии, астрофизики и физики элементарных частиц в 80-е гг. прошлого столетия. Этим обусловлена актуальность диссертационной работы, которая посвящена космологическим моделям ускоренного расширения Вселенной и их приложениям к проблемам космологической постоянной, сингулярностей, теории космологической меры и астрофизике компактных релятивистских объектов.

Основные задачи. Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:

1. Изучение возможности получения решений космологических уравнений на бране

Рэндалл-Сандрум, содержащих инфляцию и выход из нее без точной настройки параметров.

1. Исследование проблемы так называемой "инфракрасной расходимости" в физике космологической постоянной и оценка оптимального значения космологической постоянной в мультиверсе с помощью антропного принципа.

2. Исследование проблемы космологической постоянной с математической точки зрения; нахождение условий на эволюцию Вселенной таких, что возникает дискретный спектр для значений космологической постоянной.

3. Исследование космологических моделей темной энергии в космологии Эйнштейна-Фридмана и на бране Рэндалл-Сандрум, приводящих к различным сценариям эволюции Вселенной, включая "малый разрыв", "псевдо-разрыв" и сингулярности различных типов (большой разрыв, big freeze, сингулярности типа sudden future); определение параметров этих моделей при помощи анализа данных астрофизических наблюдений по сверхновым типа 1а, барионным акустическим осцилляциям, зависимости параметра Хаббла от красного смещений, росту флуктуации плотности материи.

4. Исследование проблемы крупномасштабных квантовых флуктуации в космологических моделях с фантомной темной энергией; поиск таких моделей фантомной темной энергии, в которых этой проблемы не возникает.

5. Изучение эффективных моделей темной энергии в f(T)- и /(^)-гравитации; разработка реконструкционной схемы для модифицированной гравитации при заданной динамике масштабного фактора.

6. Исследование астрофизических следствий моделей модифицированной гравитации, предложенных для объяснения ускоренного расширения Вселенной: построение реалистичных моделей редятивистских компактных звезд, в т.ч. магнетаров.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Анализ решений космологических уравнений на бране Рэндалл-Сандрум, полученных с помощью метода суперпотенциала, показал, что эти решения демонстрируют наличие инфляционных фаз при самых общих предположениях. Выход из инфляции возможен для весьма общих требований к эволюции скалярного поля. Удалось построить решения, в которых ускоренное расширение происходит в течение конечного времени, а также модели, в которых расширение с ускорением имеет место до некоторого момента времени.

2. Предложены возможные решения проблемы "инфракрасной расходимости" в физике космологической постоянной. Во-первых, показано, что проблема инфракрасной расходимости возникает только на стадии предсказания величины, но не появляется на стадии объяснения. Во-вторых, проблема не возникает, если априорные вероятности задавать с использованием убегающей меры Линде-Ванчурина, а вероятности вычислять при помощи аргумента "последнего дня". Во-вторых, проблема не возникает, если вероятности рассчитывать по способу, предложенному ранее Д. Пэйджем (усреднение по четырехмерному

объему).

3. Показано, что значение космологической постоянной может принимать единственное значение, если задать определенные условия на космологическую эволюцию Вселенной. Эти условия включают в себя, в частности, реализацию сингулярности типа sudden future в будущем.

4. Подробно проанализированы модели фантомной энергии с различными вариантами эволюции в космологии Эйнштейна-Фридмана и на бране Рэндалл-Сандрум; определены допустимые диапазоны параметров таковых моделей из сравнения их с данными наблюдений. Модели с сингулярностями в конечном будущем могут с приемлемой точностью описывать данные космологических наблюдений. Более того, такие модели могут приводить к стабильной динамике расширения Вселенной в течение миллиардов лет до наступления мягкой сингулярности или до разрушения гравитационно связанных структур.

5. Рассмотрена проблема крупномасштабных квантовых флуктуации в космологических моделях фантомной энергии с малым и большим разрывом. Определен класс моделей, которые удовлетворяют данным астрофизических наблюдений с приемлемой точностью и свободны от доминирования квантовых флуктуации над обычными наблюдателями.

6. Изучены эффективные модели темной энергии с различной эволюцией в будущем в f(T)- и миметической /(^)-гравитации и рассмотрены возможные механизмы устранения финальных сингулярностей в F(T)-TeopnH.

7. Подробно изучены реалистичные модели нейтронных звезд в простых моделях f(R)-гравитации. Показано, что может возникать вторая "ветвь" стабильных звезд, более компактных по сравнению со звездами в общей теорией относительности. Установлено, что в рамках /(Д)-гравитации могут одновременно существовать звезды с массами ~ 2М₀ и стабильные компактные звезды с радиусами R ~ 9 — 9.5 км и массами ~ 1.7М. В /(Д)-гравитации с кубическим слагаемым по кривизне некоторые уравнения состояния, исключаемые наблюдательными ограничениями в ОТО, дают приемлемый верхний предел массы и реалистичное описание соотношения между массой и радиусом нейтронных звезд. Это может иметь значение в свете того, что многие реалистичные уравнения состояния с гиперонами не дают требуемого наблюдениями предела ~ 2М₀. В случае магнетаров для простой модели гравитации с f(R) = R + aR² могут существовать также более компактные звезды с экстремально большими магнитными полями (6 х 10¹⁸ Гс по сравнению с 4 х 10¹⁸ Гс в ОТО) в центре звезды.

8. Изучены реалистичные модели кварковых звезд в непертурбативной f{R)-
гравитации с f(R) = R + aR². Для удаленного наблюдателя гравитационная масса звезды
возрастает с увеличением а (а > 0). Рассматривая /(Д)-гравитацию непосредственно,
можно сказать, что увеличение массы происходит благодаря появлению "гравитационной
сферы" вокруг звезды с некоторой эффективной массой. В скалярно-тензорной теории в
конформной калибровке возникает дилатонная сфера вне звезды, но ее вклад в гравита-

ционную массу, измеряемую удаленным наблюдателем, незначителен.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертации могут иметь важное значение при построении космологических моделей, описывающих инфляцию на бране Рэндалл-Сандрум и выход из нее (глава 1). Основное достоинство метода линеаризации, предложенного в работе, состоит в том, что он безо всякой тонкой настройки параметров приводит к решениям, содержащим инфляцию и выход из нее.

Результаты, полученные в главе 2, могут свидетельствовать в пользу того, что правильным выбором космологической меры при расчете вероятностей в мультиверсе следует считать предложенное Д. Пэйджем усреднение вероятностей по четырехмерному объему пространства-времени. Наконец, интерпретация величины космологической постоянной как собственного значения задачи Штурма-Лиувилля интересна тем, что позволяет решить проблему энергии вакуума без обращения к антропному принципу.

Результаты главы 3 и 4 представляют интерес с точки зрения анализа космологических моделей темной энергии на предмет соответствия данным астрофизическим наблюдений.

Предложенные в главе 5 методы анализа космологических моделей в рамках f(R)-и /((?)-теорий тяготения могут иметь важное значение при построении космологических моделей, описывающих ускоренное расширение Вселенной без "темных" компонент.

Представленные в главе 6 результаты интересны тем, что могут указывать на возможное решение так называемой "гиперонной загадки" в физике нейтронных звезд в рамках модифицированной гравитации. Также проведенный анализ позволяет, в принципе, при увеличении точности данных наблюдений (и их объема) ответить на вопрос, описывается ли реальное тяготение теорией Эйнштейна или необходимо использовать модифицированную теорию тяготения для сильных полей. Таким образом, результаты последней главы могут иметь важное значение при тестировании модифицированных теорий тяготения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космоло
гии GRACOS-2007 (Татарский государственный гуманитарно-педагогический универси
тет, Казань, Россия, 10 - 16 сентября 2007 г.).

2. Международная конференция "Problems of Practical Cosmology" (Российской географическое общество, С.-Петербург, Россия, 23 - 27 июня 2008 г.).

3. 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13 (Российский университет дружбы народов, Москва, Россия, 23 - 28 июня 2008 г.).

4. II Российско-Испанский конгресс по космологии и физике ядра и элементарных частиц (Санкт-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия, 1-4 октября 2013 г.).

5. IX Фридмановский семинар (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, С.-Петербург, Россия, 22 - 26 июня 2015 г.).

6. II Международная школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии "Петровские чтения" (Казанский федеральный университет, Казань, Россия, 5-10 декабря 2016 г.).

Результаты также докладывались и обсуждались на семинаре кафедры физики (БФУ им. И. Канта, Калининград, Россия, 2012-2015) и семинарах в Институте космических исследований (Барселона, Испания, 2012, 2013).

Результаты диссертационной работы проходили экспертную оценку в реализованных проектах:

1. Грант РФФИ 08-02-91307-ИНД_а "Космология мира на бране с квинтэссенцией, фантомными полями, темной материей и темной энергией, которые эффективно описываются нелинейной сигма-моделью" (2008-2009 гг.)

2. Государственное задание в рамках НИР 2.2529.2011 "Квантовая природа тцмной энергии и физика элементарных частиц" (2011-2013 гг.)

3. Государственное задание в рамках НИР 2058/60 "Теории модифицированной гравитации как альтернатива общей теории относительности" (2014-2016 гг.)

4. Грант РФФИ 14-02-31100 мол_а "Космологические модели эволюции Вселенной в рамках общей теории относительности и теорий модифицированной гравитации" (2014-2015 гг.)

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 26 публикациях, из них 22 статьи опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК РФ, 1 статья - в Вестнике РГУ им. И. Канта, 3 статьи - в сборниках трудов международных конференций (АІР Conf. Proa, Int. J. Mod. Phys.: Conf. Series).

Структура работы. Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитируемой литературы (346 наименований), содержит 56 рисунков и 25 таблиц. Общий объем диссертации - 269 страниц.

Точные решения в космологии на бране Рэндалл-Сандрум

Рассмотрим плоскую вселенную заполненную фантомной энергией с параметром уравнения состояния w = —1 — е/3 — 1, є 0. Решение уравнений Фридмана имеет вид: где С и tf - положительные постоянные. Решение (1.13) описывает вселенную, переживающую суперраздувание, вплоть до сингулярности большого разрыва при t = tf. Используя формулу (1.11), находим трехпараметриче-ское семейство решений в виде: а = та(С1 +с2 ) (1.14) где роль свободных параметров играют константы c1;2, s 0 (для справки: параметр п в (1.11) выбран в виде п = — s — є/2 0), а = tf — t.

При — +оо (то есть t — — оо) имеем а — $, 2 , то есть режим суперраздувания (см. (1.13)). При этом начальная сингулярность отсутствует при конечных значениях t. Это не противоречит общей теореме о конечности продолженных в прошлое геодезических, доказанной в [143], поскольку решение (1.14) не удовлетворяет постулируемому в этой работе поведению параметра Хаббла, а именно, что существует такое положительное число Нт 0, что Н Нт для любого момента времени. В случае (1.14), при t — — оо имеем Н : г -+0, t{tf - t) то есть Нт = 0. Расширение вселенной сменяется сжатием в момент времени Рис. 1: График решения (1.14). Этап ускоренного раздувания вселенной сменяется сжатием в финальную сингулярность. ts - tf 2sc2 \ ci(e + 2s)J которое заканчивается коллапсом при t = tf. График решения приведен на рис. 1. Если считать, что динамика такой вселенной определяется некоторым скалярным полем с минимальной связью, то можно найти потенциал самодействия: ф{г) = ф ±у2% Htf), У(0)=Л(ЗЛ 1)е 2 ( ), О где 0 - константа, а Л = — 2/є (фантомная квинтэссенция) при t — — оо и Л = 4s/(e(e + 2s)) при t - tf.

Проанализируем данную модель так же, как и решение (??). Для этого удобно записать (1.14) в следующей форме: а = Жо/)(2/е)(1 + В{Ш ) &, (1-15) где А и В - константы, а о отвечает наблюдению, сделанному в настоящее время. Смысл о очевиден: это тот промежуток времени, начиная с момента наблюдения, за который вселенная коллапсирует.

Условия a (to)/a (to) = Н0 и a (to) /a (to) 0.7Л дают систему двух уравнений на В и о: 4s + 2e-4Bs = -Но4о, (1-16) б(2з + б)(1 + Б) -2e(2s + e) + 16Bs(2s + e) + 4B2es 2 e2(1 + B)2(2s + 6) = 0.3ЯоЄо. (1.17) Решение уравнений (1.16), (1.17) позволяет найти (оиВ как функции параметров ens. Затем из условия a(to) 1028см молено найти постоянную А. Возраст вселенной можно отсчитывать от момента, когда а = Ю-33 см.

Приведем некоторые оценки. Для б = 0.1 и s = 10-3 имеем, что о HQ . Однако, возраст такой вселенной (отсчитываемый от того момента, когда вселенная имела планковский размер) оказывается очень большим, порядка 105До- , что никак не может быть согласовано с данными астрономических наблюдений. Если брать все меньшие значения значения s, то получаются все меньшие значения о- Например, для s = Ю-15 можно получить о Ю-6//-1, однако возраст такой вселенной все равно будет порядка Ю5//-1. С ростом s о стремится к 2е-1Н- , а возраст вселенной опять-таки же по порядку величины равен 105Л,- .

Теперь опишем процедуру построения точных решений космологических уравнений на бране. В качестве иллюстрации рассмотрим простейшую модель на бране, в которой пространство-время однородно и изотропно вдоль трех пространственных измерений. Брана является нашей 4-мерной вселенной с бесконечно тонкой стенкой и погружена в пятимерное пространство-время [144], [145]. В гауссовых нормальных координатах для браны, расположенной при у = 0, интервал запишется в виде ds2 = -n2dt2 + a2(t, y)%jdxtdxJ + dy2, (1-18) где 7r/ - максимально трехмерная метрика. Примем за t собственное время на бране (у = 0), тогда n(t, 0) = 1. Таким образом, имеем метрику Фридмана-Робертсона-Уолкера на бране ds2y=0 = -dt2 + a2(t, QYdjdx1 dx3. (1-19) Пятимерные уравнения Эйнштейна имеют вид RAB - 9ABR = Х2ТАВ + Л4#АВ, (1-20) где Л4 - значение космологической постоянной в балке, х2 = 87гС(5), С(5) -гравитационная постоянная в пятимерном пространстве. Далее необходимо записать тензор энергии-импульса ТАВ на бране T$ = S6(y), (1.21) с S% = di&g(—pb,Pb,Pb,Pb, 0), где рьярь - общая плотность энергии и давление на бране соответственно. Можно вычислить компоненты пятимерного тензора Эйнштейна для решения уравнений Эйнштейна. Важно использовать условия сшивки в окрестности у = 0. Они сводятся к двум соотношениям: dn х2 . X2 da х2 (л ооА ї5=0+ = тЛ + тй- =0+ = "й- (1-22) После некоторых вычислений, получаем следующий результат н2 =4+т - +1- L23 Это выражение справедливо только на бране. Здесь Н = a(t, 0)/a(t, 0) и - произвольная постоянная интегрирования. Уравнение сохранения энергии остается неизменным Pb + (pb+pb) = 0. (1.24) Теперь положим рь = р + \ь, где Хь - натяжение на бране. Далее рассмотрим брану с точной настройкой значения Л4 = Л2х4/6 и случай плоского пространства-времени (к = 0): «2 А Х4РЛ , Р\ , е а2 6 3 V 2Л 2 P. 9 \ 0\, / „4 Мы положим М 2 = 87гС = Ах4/6 = 1. Для простоты полагаем также 8 = 0 (слагаемое с 8 обычно называется "темной радиацией"). Фактически, ненуевое значение 8 не приводит к каким-либо дополнительным решениям с качественно отличной динамикой в рамках нашего подхода. Уравнение (1.25) можно упростить: И( 1+Й- (126)

Можно видеть, что уравнение (1.26) для р \\ь\ отличается незначительно от уравнения Фридмана. Модель на бране с положительным натяжением обсуждалась в [146],[147],[148] в контексте объединения ранней инфляции и позднего ускоренного расширения, и поздней. Модели на бране с отрицательным натяжением на бране и времениподобным дополнительным измерением монут рассматриваться как дуальные модели Рэндалл-Сандрума [149],[150],[151]. Заметим, что для этой модели отсутствует сингулярность Большого разрыва. И этот факт не зависит от того, нарушаются ли энергетические условия [152]. Подобный сценарий может быть использован для построения циклических моделей для Вселенной [153].

Можно предположить, что в нашу эпоху р/2А 1, и, таким образом, нет значительного отличия между моделью на бране и фридмановской космологии. Но эволюция Вселенной в будущем или в прошлом, для космологии на бране, может фактически отличаться от фридмановской благодаря нелинейной зависимости скорости расширения от плотности энергии.

Усреднение вероятностей по четырехмерному объему пространства-времени

Появление инфракрасной расходимости имеет простое объяснение: как отмечено в [154], области с Л = 0 представляют собой открытые вселенные, их энтропия и время жизни могут быть сколь угодно велики, и, следовательно, они содержат наибольшее (бесконечное) число наблюдателей. Перейдем к количественным оценкам (см. [19],[155]), отмечая наиболее существенные результаты, полученные в данных работах.

Вероятность Рд обнаружить себя во вселенной с определенным значением вакуумной энергии можно определить как произведение РА = Р(Л)/(Л) Р(Л)ЛГ(Л), (2.1) где функция -Р(Л) задает априорное распределение вероятностей (относительная распространенность в мультиверсе вселенных с различными значениями Л), а /(Л) - антропный фактор, пропорциональный полному число наблюдателей N(A) в данной части мультиверса за все время ее существования. Полное число наблюдателей очевидным образом связано со скоростью образования звезд во вселенной, которая может быть оценена из астрофизических соображений [155],[156]. Для N(A) имеем выражение: N(A) [ n(t)Vc(t)dt, (2.2) Jo где n(t) - скорость образования звезд в единице сопутствующего объема Vc, tc - момент времени, соотвествующий коллапсу. Для вселенной с деситтеров-ской асимптотикой расширения можно положить tc = оо.

Вид функции n(t) меняется в зависимости от выбора модели звездообразования [156], [157], [158], [159], [160], [161]. Но для оценок это не принципиально, поскольку общим является то, что скорость звездообразования n{t) достигает максимума на временах порядка нескольких миллиардов лет, а затем достаточно быстро спадает. Высота и ширина максимума зависят от значения космологической постоянной. Если пренебречь излучением, то из уравнений Фридмана для случая нулевой кривизны нетрудно получить зависимость масштабного фактора от времени при Л 0: a(t) = At2/3 sinh2/3(3t/2tA), (2.3) где обозначено ід = уЗ/Л, а А - некоторая константа. Вакуумная энергия начинает оказывать определяющее влияние на динамику расширения вселенной с момента времени t\. Для t t\ можно принять, что вселенная расширяется по закону де Ситтера: a(t) tfl ехр(іДл)-Для С д масштабный фактор меняется по степенному закону a{t) t2 \

Далее необходимо определить меру для вычисления сопутствующего объема Vc. Наиболее физически обоснованным выглядит выбор в качестве Vc множества точек, лежащих внутри светового конуса прошлого граничной точки пространства-времени. В этом случае для решения (2.3) имеем выражение для сопутствующего объема: „м 4тг ( Г dt )3 4тгТ ( f dr ) При t t\ будем иметь для сопутству)его объема с хорошей точностью: При Л — 0 Vc{t) асимптотически стремится к бесконечности. Для t t\ с точностью до слагаемых первого порядка по t можно записать выражение для Vc: Vc{t) (С - З /з)3 , где С - постоянная, которую можно выбрать для лучшего приближения так, чтобы функция Vc была непрерывна вместе с первой производной в точке Vc. Интеграл в выражении (2.2) можно разбить на два интеграла по времени на промежутках 0 И - Важным обстоятельством является очевидная сходимость второго интеграла из-за убывающей экспоненциально функции Vc(t).

Антропный фактор будет тем больше, чем меньше значение космологической постоянной. Итоговый результат для Р() в выражении (2.1) определится выбранной функцией априорного распределения -(). Если считать, что для интервала допустимых с точки зрения антропного принципа значений космологической постоянной вероятность -() возрастает с ростом космологической постоянной , то вероятность обнаружить себя во вселенной с определенным значением вакуумной энергии будет достигать максимума при определенном ее значении.

Такой же анализ возможен и для отрицательных значений . Проблема возникает, однако, если космологическая постоянная равна нулю, тогда объем Vc — оо при любом значении t. Из (2.2) следует, что антропный фактор в этом случае iV(0) —у оо, поэтому мы с необходимостью должны обнаружить себя во вселенной с = 0!

Можно еще более усилить этот вывод, заметив, что вселенные с положительной космологической постоянной со временем превращаются в де ситте-ровские вселенные. При достижении температуры Tds -1 2 производство энтропии прекращается. Такое состояние можно назвать тепловой "смертью" [20]. Другими словами, деситтеровские вселенные могут содержать (в единице объема) лишь конечное число наблюдений в отличие от вселенных с нулевой космологической постоянной. Поскольку величины /() в (2.1) - это доли всех возможных наблюдений, произведенных во всех возможных областях мультиверса, то отсюда непосредственно следует, что для вселенных с 0 /() = 0.

В космологических моделях вечной инфляции возникает понятие космологического мультиверса, в котором существует бесконечное множество копий любой лаборатории и любого наблюдателя. Можно поставить вопрос, какова вероятность получения того или иного результата при измерении какой-либо величины. Допустим, что есть два возможных результата измерения, которые мы будем обозначать А я В. Для вероятностей того или иного исхода имеем: PA = NA Рв NBJ где NA,B - число событий типа А и В в мультиверсе. Непосредственное вычисление вероятностей исходя из частотного определения оказывается невозможным, т.к. NA,B - оо. Необходимо определить процедуру устранения бесконечностей, то есть задать меру. Предложено несколько вариантов решения данной проблемы [162], [163], [164], [165], [166], [167], [168], [169], [170], [171], [172].

В качестве иллюстрации возможного подхода к решению проблемы инфракрасной расходимости рассмотрим упрощенную модель мультиверса с двумя типами вселенных, которые отличаются друг от друга значением космологической постоянной.

Для числа событий типа А (В) можно записать выражение: NA,B = NX ! тЛХ pW(t)ABVcl(t)dt + N2 [ тЛХ p{2)(t)ABVc2(t)dt, (2.6) Jo Jo где Р 1 2 {І)А,В - число соответствующих событий, происходящих в единице четырехмерного объема вселенной 1 (2). Отношение Р\ 2 = N\t2/{N\ + N2) характеризует относительную распространенность вселенных типа 1 и 2 в мультиверсе. Для вселенной с Л ф 0 сопутствующий объем Vc является конечным, что и позволяет избавиться от бесконечностей. Интегралы в (2.6) оказываются конечными и можно записать РА = Рт + Р2п{2) рв Рщ + P2nf где пА в- число событий того или иного типа во вселенной. Для вселенной с Л = 0 такая процедура сталкивается с трудностью, описанной выше.

В данных рассуждениях введено априорное распределение вероятностей Р\. Несколько иной подход предложен в [22], где априорным полагается распределение Рус(А), то есть распределение, показывающее, какую долю общего объема мультиверса занимают вселенные с определенным значением вакуумной энергии. Тогда проблемы с нулевым значением космологической постоянной просто не возникает. Эквивалентность двух подходов при Л ф 0 очевидна и не требует пояснений. Что же касается случая Л = 0, то если полагать вероятность -Р(Л) ф О, то мы с необходимостью приходим к заключению, что доля объема, занимаемая вселенными с нулевым значением вакуумной энергии, попросту равна 1, т.к. сопутствующий объем для каждой такой вселенной бесконечно велик. Наоборот, если считать, что 0 -Рус(0) 1, то, переходя к распределению вероятностей -Р(Л), будем иметь -Р(О) = 0. Следует заметить, что в [155] рассматривался случай -Р(Л) Л, что как раз и дает такой результат.

До сих пор анализировалась инфракрасная расходимость, приводящая к / = оо в (2.1). Оценка числа вселенных с отрицательным значением космологической постоянной приводит к N_ = оо [173], [174]. Следует учесть, однако, что вселенные с отрицательными значениями Л в процессе своей динамики переходят на стадию сжатия вплоть до финальной сингулярности. Соответственно, число возможных наблюдений в таких вселенных оказывается конечным в отличие от вселенных с нулевой космологической постоянной, то есть проблема инфракрасной расходимости остается акутальной.

Модели темной энергии с сингулярностями типа sudden future

Значения параметров 71 и /3 зависят от времени задержки At (см. таблицу 2.3). Значение 72 медленно уменьшается с уменьшением а. Когда значение космологической постоянной стремится к нулю Л — 0, относительный ан тропный фактор стремится к значению Nrel(a) - —TJ,, а- 0, где ff /POO \ 3 / tf / f-co \ 3\ C= J dtn(t)U drf(r)) U dtn(t) Ц dr/(r)J J есть постоянная величина. Конечно, при Л = 0, вычисления теряют смысл, так как в этом случае относительный антропный фактор становится бесконечно большим. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный в мультиверсе наблюдатель измеряет нулевую величину Л, в точности равна 1. At, млрд. л. Ті /3 0 0.79 30 5 1.08 10 7.5 1.21 10 10 1.33 10 12.5 1.45 10

Среди многочисленных подходов к решению проблемы меры в космологии следует выделить один, описанный в статье Д. Пейджа [200]. Ключевая идея данного подхода состоит в том, что необходимо заменить объемное "взвешивание" вероятностей усреднением по четырехмерному объему пространства-времени. Согласно допущению Д. Пейджа, вероятности пропорциональны доле четырехмерного объема пространства-времени, занимаемой множеством точек, в которых случается данное событие. Последняя величина пропорциональна числу наблюдателей в единице четырехмерного объема пространства-времени, то есть числу наблюдений события в единице пространственного объема за единицу времени. Таким образом, надо сравнивать "плотности" наблюдателей, а не их количество. Изначально объемное усреднение вероятностей было предложено для решения проблемы крупномасштабных квантовых флуктуации [201], [202]. Данная проблема состоит в следующем. Рассмотрим простейшую модель мультиверса, содержащую вселенные двух типов. Вселенная 1-го типа расширяется вечно, а вселенная 2-го типа имеет конечный размер и конечное время жизни. Во вселенных 1-го типа "обычные наблюдатели", подобные нам, будут составлять незначительную долю по сравнению с крупномасштабными флуктуациями, имитирующими наблюдателей (так называемыми "больцмановскими мозгами" - Boltzmann brains - этот термин используется в англоязычной литературе). Во вселенных 2-го типа существует только конечное число обычных наблюдателей. Таким образом, в таком мультиверсе обычные наблюдатели являются весьма нетипичными существами. Как замечено в [200] замена объемного "взвешивания" вероятностей усреднением по четырехмерному объему пространства-времени помогает избежать проблемы доминирования крупномасштабных флуктуации, поскольку их плотность чрезвычайно мала по сравнению с плотностью обычных наблюдателей. Объемное взвешивание имеет глубокую связь с квантовой механикой [172], [203], [204].

Можно показать, что усреднение по четырехмерному объему устраняет "инфракрасную расходимость". Пространственный объем, соответствующий сопутствующему объему в (2.4) равен

Очевидно, при г — оо объем У3 сходится к 47г(у 3/Л)3/3, то есть к хабблов-скому объему. Четырехмерный объем пространства-времени, таким образом, равен и расходится при г — оо. Плотность числа наблюдателей в единице 4-объема стремится к нулю для деситтеровской вселенной, но относительная плотность наблюдателей не равна нулю N(A)/V4(A) {Nrel) = N(A0)/V4(A0) = а Nrel- (2-27)

Таким образом, вероятность обнаружить себя во вселенной с данной величиной космологической постоянной Л становится хорошо определенной функцией Л. Уравнения (2.25) и (2.27) дают следующий результат: а2- ехр(-а//3), 0.1Л0 Л 10Л0 (NreAa)) « 0 , . (2.28) Х V " ї а2 а\ 0 Л 0.1Л0 Зависимость функции Nrei от Л изображена на рис. 14 для At = 5 (тонкая сплошная линия), 7.5 (тонкая прерывистая линия), 10 (толстая сплошная линия) и 12.5 млрд. лет (толстая прерывистая линия). Таким образом, плотность наблюдателей достигает максимума для некоторого значения космологической постоянной Ат. Величина этого максимума уменьшается с увеличением времени задержки. Для времени задержки 2.5 млрд. л. At 12.5 млрд. л. мы имеем Ат « 5ч-10Л0. Для больших значений вакуумной энергии, Л ЮЛо, необходимо принять во внимание, что скорость звездообразования сильно падает благодаря раннему доминированию вакуумной энергии.

Приложение: проблема крупномасштабных квантовых флуктуации в фантомной космологии

Подобные потенциалы появляются в теории суперструн. Уравнения (3.45) и (3.46) показывают, что в бесконечном будущем величина скалярного поля стремится к бесконечности, а потенциал - к постоянной величине V — х2.

Рассмотренные выше примеры представляет иллюстрацию новых моделей фантомной энергии, в которых эволюция Вселенной близка к де ситте-ровской. Модель с такой эволюцией реализуется, если функция f{x) равна нулю при х = Xf и интеграл (3.5) расходится при х = Xf. В окрестности этой точки произвольная функция /, удовлетворяющая данным условиям, может быть разложена в ряд: f(x) = (x-xf)a + 0((x-xf)a), а 1. (3.47)

Таким образом, при t — оо можно ожидать, что будут справедливы формулы (3.39), (3.42), (3.45) для скалярного поля ф(і) и (3.40), (3.43), (3.46) для потенциала У{ф). Случай а = 1 соответствует наиболее быстрому росту плотности темной энергии со временем, при котором не происходит сингулярности. Рассмотрим другую модель: /(x) = Acos 2 () . (3.48)

В окрестности х = Xf функция f(x) 4 2"(1 хІхі)21 и можно заключить, что потенциал скалярного поля описывается формулой (3.46) при t — оо. Это действительно так. Для модели (3.48) получаем тг/,ч 2 Г2 /ml 2АЄХР(5) „ VMTT,! /Ч ,п лп. У(ф) = хЦ- arctanexp(ff) I + + ех L))2 , S =— —(ф - ф0). (3.49)

Могут ли подобные модели описывать данные последних наблюдений по сверхновым звездам, полученным в рамках Supernova Cosmology Project? Анализ показывает, что это возможно. Более того, построение таких моделей довольно тривиально. Например, рассмотрим модель, в которой f(x) = /3xl/2(l-(x/xf)3/2), (3.50) и предположим, что плотность темной энергии изменяется от нуля ДО Pf = х2. Примем t = to and p = po для сегодняшней Вселенной. Уравнение (3.6) позволяет записать следующее соотношение между плотностью темной энергии р и красным смещением z = ао/а — 1: ( п \3/4 p(z) = pf(l-(l + zy(l-A)f3 , 7 = 3/3Р/-3/4/2, =[yf ) (3-51) Параметр уравнения состояния W0 равен 27 1 - А , w0 = -l--+—-. (3.52) Для масштабного фактора можно найти параметрическое представление V) = (1_j3 0 /2 ) 2/37 (3-53) 2V3 (\л . 2 1Ч I 2 +1 7Г 1 1л t(v) = t0-\ \n(v + v + 1) Н р arctan = -= - - ln(1 - г») (3.54) Параметр v изменяется от 0 (t = t0) до 1 (t — оо). Последнее слагаемое в (3.54) доминирует при v — 1. В этом случае с хорошей точностью можно записать ( 2 )2/37 ( xf(t0) ) a=(-j a0expl — 1. (3.55) Для темной и барионной материи зависимость плотности от красного смещения определяется формулой: Рт = Pm0(l + Z)3 . (3.56) Таким образом, зависимость фотометрического расстояния DL ОТ красного смещения z для данной модели имеет вид DL = -(l + z) Г (Пт(1 + z 3 + QDh(z) ) 1/2dz, (3.57) -"0 J0 h{z) = Д"4/3(1 - (1 + z)\l - А))4/3. В интеграле (3.91) величины flm и flu есть доли плотности материи и темной энергии во Вселенной соответственно. Для стандартной космологической модели, как известно DsLc = -(l + z) Г (fl l + z 3 + fl) dz. (3-58) -п0 J0 Если 7 и А близки к нулю и 1 соответственно (величина /3 мала и плотность р — pf), то функция h(z) близка

Таким образом, функции (3.91) и (3.58) практически неотличимы друг от друга (особенно в области красных смещений 0 z 1.5, в каковой и производятся наблюдения над сверхновыми). Параметр уравнения состояния w — 1. Другой выбор параметров 0.016

Разность между видимыми зведными величинами объектов в модели (3.50) и стандартной ЛСБМ модели для Qm = 0.28, Пд = D = 0.72 как функция красного смещения. А = 0.5, 7 = 0.075 соответствует текущему значению параметра состояния WQ = -1.05. Разность 6/1 = 5lg(D/Dsc) (JI - звездная величина) как функция красного смещения для 0 z 1.5 изображена на рис. 15. Она не превышает 0.016 (для Qm = 0.28, Пд = Пд = 0.72). Принимая во внимание, что погрешности в определении звездных величин сверхновых составляют порядка 0.075 -0.5, можно заключить, что предложенная модель описывает данные по сверхновым звездам с превосходной точностью.

Параметр уравнения состояния w и плотность фантомной энергии медленно возрастают со временем (рис. 16, 17).

Итак, представлена модель фантомной энергии без сингулярности, динамика расширения в которой асимптотически стремится к де ситтеровской. Эта модель вполне может описывать данные наблюдений.