Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Днестрян Андрей Игоревич

Квантовая томография и дробное преобразование Фурье
<
Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье Квантовая томография и дробное преобразование Фурье
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Днестрян Андрей Игоревич. Квантовая томография и дробное преобразование Фурье: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.04.02 / Днестрян Андрей Игоревич;[Место защиты: ФГАОУВПО Московский физико-технический институт (государственный университет)], 2016

Содержание к диссертации

Введение

1 Квантовая томография 10

1.1 Предварительные сведения 10

1.1.1 Матрица плотности 10

1.1.2 Функция Вигнера 12

1.2 Квадратурный оператор 16

1.2.1 Общая теория 16

1.2.2 Когерентное состояние 19

1.2.3 Гомодинный детектор 20

1.2.4 Эксперимент 26

1.3 Квантовая томограмма 27

1.3.1 Определения и свойства 27

1.3.2 Связь томограммы с волновой функцией 29

1.4 Томографическое распределение вероятностей на плоскости 39

1.4.1 Общие сведения 39

1.4.2 Биортогональная система функций 43

1.4.3 Примеры 46

2 Реконструкция состояния по неполной информации о его томо грамме 48

2.1 Обратное преобразование Радона 49

2.2 Метод модельных функций 54

2.3 Методы реконструкции в фоковском базисе

2.3.1 Интегральное представление коэффициентов в фоковском базисе 56

2.3.2 Аппроксимация томограммы квазимногочленами 61

3 Оценка энтропии состояния под действием квантового AD канала 63

3.1 Классические и квантовые каналы 63

3.2 Кубитный портрет состояний кудита 66

3.3 Оценка энтропии тензорного произведения канала, демпфирующего фазу, на произвольный канал 68

3.4 Кутрит под действием AD канала 70

Заключение 73

Список литературы

Введение к работе

Актуальность темы

Одним из разделов теоретической физики, находящемся на стыке квантовой механики и теории информации, является квантовая теория информации. В настоящее время эта наука стремительно развивается. В отличие от классической информации, состоящей из классических битов, которые могут принимать значения 0 или 1, квантовая информация состоит из квантовых битов - кубитов. Кубит может находится в суперпозиции двух состояний. Это обстоятельство придает ему огромное преимущество перед классическим битом информации. В будущем одной из важнейших целей является создание квантового компьютера - устройства, использующего кубиты для передачи и обработки информации. Считается, что физическая реализация квантового компьютера будет возможна на основе ионных ловушек, квантовых точек в полупроводниках и др.

Технологический прогресс позволяет проводить все новые эксперименты: наблюдать квантовые свойства отдельных систем, атомов, электронов, фотонов, и даже оказывать воздействие на квантовые системы. В квантовой механике все свойства квантовой системы описываются ее квантовым состоянием. Однако само состояние непосредственно не наблюдается в экспериментах. Наблюдению подлежат лишь некоторые физические величины - наблюдаемые. В экспериментах гомодинного детектирования наблюдается распределение квадратурной гомодинной компоненты. Часть настоящей работы посвящена способам восстановить состояние квантовой системы по ее квадратурным распределениям.

Совокупность квадратурных распределений квантовой системы образует квантовую томограмму состояния системы. Впервые связь состояния квантовой системы с томограммой ее состояния было определено в [5]. В дальнейшем на основе этого было предложено множество принципиально различных способов реконструкции квантового состояния. Среди них есть метод восстановления матричных элементов оператора плотности [4, 3] и метод модельных функций [2]. В случае же чистого состояния существует метод реконструкции волновой функции состояния в представлении Фока по из-

вестным распределениям координаты и импульса [7]. Нами будет предложено развитие этого метода на случай более двух известных квадратурных распределений.

Зачастую в приложениях необходимо знать различные средние в данном состоянии системы. В случае классической системы, состояния которой может быть задано функцией распределения координаты и импулсьа, усреднение любой функции производится с помощью этой функции распределения. Это позволяет без труда вычислять средние значения любых функций в конкретном состоянии. В отличие от классических систем состояние квантовой системы не может быть описано с помощью функции распределения вероятностей ввиду своей природы. Тем не менее, существует несколько вариантов описания квантовых систем с помощью квазираспределений. Функция Виг-нера [11], которая вообще говоря не является неотрицательной, позволяет вычислять средние от величин, зависящих только от координаты или от импульса. Функция Глаубера-Сударшана [10] также представляет из себя квазираспределение, так как является обобщенной функцией. Используя квантовую томограмму мы вводим томографическое представление квантовой механики, при котором квантовые томограммы играют роль пространства основных функций для обобщенных функций - наблюдаемых.

Целью работы является:

изучение свойств симплектической квантовой томограммы;

нахождение спектра интегрального оператора, порождающего квантовую томограмму;

исследование различных методов реконструкции чистого состояния по неполной информации о его квантовой томограмме и их развитие;

получение выражения для томографической функции распределения на плоскости;

получение оценок на энтропию состояния кутрита под действием квантовых каналов через энтропию подсистем.

Методы работы. В работе применяются методы функционального анализа, обычное и дробное преобразования Фурье, теория функций комплекс-

ного переменного, методы линейной алгебры. Обработка экспериментальных данных производилась на языке программирования Fortran.

Научная новизна. В данной работе впервые были получены научные результаты: найден набор собственных функций оператора, определяющего симплектическую квантовую томограмму по волновой функции состояния; развит метод реконструкции волновой функции в фоковском базисе по неполной информации о его томограмме; предложено новое томографическое представление квантовой механики; впервые получена оценка энтропии состояния кутрита под действтием канала, демпфирующего амплитуду.

Положения, выносимые на защиту:

Квантовая томограмма произвольного чистого состояния рассмотрена в
базисе из найденных собственных функций линейного интегрального опера
тора, связывающего симплектическую томограмму состояния с его волновой
функцией в координатном представлении.

Новый способ реконструкции волновой функции чистого квантового состояния в представлении Фока по нескольким квадратурным распределениям, основывающийся на интегральном представлении коэффициентов в разложении томограммы, не имеет ограничений на размерность базиса из фоковских состояний.

Томографическое представление квантовой механики, при котором квантовые томограммы в декартовой плоскости играют роль пространства основных функций для обобщенных функций - наблюдаемых, позволяет вычислять средние значения симметризованного произведения канонических квантовых наблюдаемых усреднением функцией распределения.

Для канала, демпфирующего амплитуду (amplitude damping) канала, наряду с каналом, демпфирующим фазу (phase damping), дана нижняя оценка выходной энтропии фон Неймана, связывающая ее с энтропией входного состояния и энтропии подсистемы.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Результаты глав 1 и 3 получены чисто математическим путем и являются точными. Результаты главы 2 неразрывно связаны с экс-

периментом и могут быть применены на практике.

Апробация работы. Основные результаты данной работы прошли апробацию на:

53-й международной научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 23-

28 ноября 2010 г.
;

второй международной школе "Прикладные математика и физика: от
фундаментальных исследований к инновациям Долгопрудный, 1-8 июля 2011

г.;

54-й международной научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 25-30 ноября 2011 г. ;

семинаре "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством д.ф.-м.н. проф. Смолянова О.Г. и д.ф.-м.н. проф. Шавгулидзе Е.Т., МГУ им. М. В. Ломоносова, 6 сентября 2012 г. ;

семинаре "Квантовая вероятность, статистика, информация" под руководством д.ф.-м.н. проф. Холево А. С, МИАН, Москва, 23 мая 2012 г.;

международной научной конференции "Complex Analysis and Related Topics" Россия, ПОМИ РАН, 14-18 апреля 2014 г. ;

par 57-й международной научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 24-

29 ноября 2014 г.
;

семинаре "Квантовая физика и квантовая информация" кафедры тео
ретической физики МФТИ под руководством д. ф.-м. н., проф. Манько В.
И., Москва, 26 мая 2015 г.
.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 83 страницы, из них 75 страниц текста. Библиография включает в себя 82 наименования.

Когерентное состояние

Существует представление квантовой механики, позволяющее непосредственно выявить свойства квантового состояния. Это представление задаётся в фазовом пространстве и базируется на понятии функции Вигнера. Фазовое пространство является также очень подходящей сценой для рассмотрения связи между классической и квантовой механикой. В 1926 г. М. Бори впервые озвучил свою статистическую интерпретацию волновой функции. Он утверждал, что законы движения частиц в квантовой механике приобретают вероятностный характер, определяемый волновой функцией. Согласно этой интерпретации, мы не можем сравнивать предсказания квантовой механики с соответствующими классическими предсказаниями для отдельно взятой частицы. С помощью современной квантовой оптики, в частности, устройств типа ловушки Пауля или одноатомного мазера [6], мы теперь можем осуществлять эксперименты с отдельными квантовыми частицами. В одноатомном мазере единичный атом взаимодействует с отдельной модой резонатора. Это первый мазер, поддерживающий генерацию при среднем числе атомов в резонаторе много меньшим единицы. Такая система может быть использована для изучения основных принципов взаимодействия излучения с веществом. Создание сверхпроводящих резонаторов с высокой добротностью в сочетании с технологией лазерного приготовления сильно возбужденных атомов - ридберговских - поспо собствовало появлению одноатомных мазеров [ 3]. Ридберговские атомы получаются при переходе одного из внешних электронов атома на уровень, близкий к порогу ионизации. Главное квантовое число электрона в этом случае оказывается обычно порядка 60-70. Такие атомы идеальны для мазерных экспериментов. Вероятность вынужденных переходов между соседними уровнями ридберговского атома растет как п . Соответственно, малого числа фотонов оказывается достаточно для насыщения перехода между ближайшими уровнями. Более того, время жизни сильно возбужденного состояния очень велико. Мазер получают, инжектируя ридберговские атомы в сверхпроводящий резонатор с высокой добротностью. Скорость инжекции такова, что в резонаторе в среднем находится много меньше одного атома.

Одно измерение позволяет установить только одно значение измеряемой величины. Квантовая механика — статистическая теория, и поэтому она не способна предсказать результат такого однократного измерения. Исключением является, конечно, результат, вероятность которого строго равна нулю. Такое событие никогда не может осуществиться. Если мы повторяем измерения много раз, то получается гистограмма, находящаяся в согласии с предсказанием квантовой механики. По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности, уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил детальный анализ элементарного примера из квантовой механики — частицы в ящике.

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса х и р соответственно. В силу коммутационного соот ношения [х,р] = і между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Здесь и в дальнейшем мы полагаем Н = 1. Можно определить функцию, зависящую от собственных значений жир, однако у такой функции есть недостатки. В частности, она может принимать отрицательные значения. Целью Вигнера было описать движение частицы из точки Х\ в точку Х2- В случае одномерного движения частицы, соответствующий оператор, описывающий её состояние, это матрица плотности р. Модуль матричного элемента (х2\р\хі) = р(хі,Х2) пропорционален вероятности скачка из собственного состояния координаты Х\ в собственное состояние координаты х2- Можно определить координату х = (х\ + x jl центра скачка и вместо двух координат Х\ и х2 ввести центр х и длину и квантового скачка формулами и и Х\ X —, Х і х -\- —, а импульс р мы ассоциируем с длиной скачка из Х\ в #2, то есть с и.

Связь томограммы с волновой функцией

Всякая процедура измерений над квантовой системой может дать только распределения вероятностей. Поскольку квантовое состояние содержит всю доступную информацию о квантовой системе, мы безусловно можем, отталкиваясь от этого состояния, рассчитать все распределения вероятностей. Зададим обратный вопрос: возможно ли использовать набор вероятностных распределений для реконструкции квантового состояния?

Этот вопрос возвращает нас к раннему периоду развития квантовой механики, в частности, к обзорной статье В. Паули [ ]. Он интересовался вопросом, можно ли найти амплитуду и фазу волновой функции, зная вероятности распределений по координате и импульсу. Паули не дал ответа на этот вопрос. Однако простые контрпримеры [68, 76, 40, 71, 48, 78] показывают, что в общем случае это невозможно. На самом деле нужно знать больше распределений, чем эти два. 2.1 Обратное преобразование Радона

Как мы уже отмечали выше, функция Вигнера содержит всю информацию о квантовом состоянии, поэтому мы можем восстановить все квадратурные распределения по формуле (1.2.14). Определение: преобразование вида w(x V) = jw(q,mx-m-Vp)dqdp (2.1.1) называется преобразованием Радона [65] функции W(q,p). Преобразование Радона функции Вигнера есть симплектическая квантовая томограмма. Преобразование Радона обратимо, обращение преобразования (2.1.1) выглядит следующим образом W(q,p) = — - fff w(x,fi,u)ei(x-fiq-vp)dxdfidu.

Обратимость преобразования Радона здесь позволяет выразить функцию Вигнера W(q,p) через симплектическую томограмму состояния w(ж, /i, v) при условии, что последняя известна для всех действительных /i, v. Однако свойство однородности симплектической томограммы (1.3.34) немного смягчает это требование, т. е. восстановить функцию Вигнера, а с ней и полностью квантовое состояние, возможно, зная оптическую томограмму w(x, 9) для всех 9 Є [0,7г] [36, 49]. Функция Вигнера в этом случае восстанавливается через оптическую томограмму по формуле 7Г +00 +00 W(q,p) = . 2 d9 \t\dt / w(x, в) expit(x — qcosO — psin.9) dx. (2.1.2) 0 —oo —oo

Однако реально невозможно измерить оптическую томограмму (квадратурное распределение) w(x,6) для любых значений фазы 9. Возможно лишь провести гомодинное детектирование для различных, но фиксированных значений фазы 9. На практике такой подход реализуется, получается ансамбль распределений {w(x, #1), w(x, $2),..., w(x, вп)}, который с некоторой погрешностью можно считать за истинный непрерывный ансамбль. Затем по этому ансамблю численно с помощью обратного преобразования Радона восстанавливается функция Вигнера исследуемого состояния.

В эксперименте фазу в изменяют меняя разность хода поступающих на светоделитель лучей. Удобно выбирать значения фаз эквидистантными вп = . Поэтому для осуществления обратного преобразования Радона необходимо, чтобы п пробегало значения от 0 до N — 1.

Итальянскими учеными был произведен эксперимент гомодинного детектирования двух состояний электромагнитного поля: когерентного и когерентного состояния с добавленным фотоном (single-photon-added coherent states, SPACS) [39, 81, 82, 30]. Когерентное состояние есть собственное состояние оператора уничтожения: a\z) = z\z), a SPACS определяется через когерентное как IV SPACS) = -}== (2.1.3) Экспериментальные данные представляют собой набор из А =5321 измеренных квадратурных компонент для 11 различных значений фазы локального осциллятора. В этом разделе мы продемонстрируем реконструкцию функции Вигнера когерентного состояния и SPACS с помощью обратного преобразования Радона, и некоторые существенные особенности этого метода. В этом случае набор квадратурных распределений w{x 9ji) с различными 6 можно считать непрерывной функцией w{x 9). Однако полученная таким образом функция Вигнера не соответствует входному состоянию из-за неидеальности работы фотодетекторов. Упрощенная схема эксперимента изображена на нашем рисунке.

Интегральное представление коэффициентов в фоковском базисе

Изложенное в диссертации исследование посвящено — исследованию математических свойств симплектической квантовой томограммы, — выявлению и описанию способов реконструкции волновой функции чистого состояния по неполной информации о его томограмме, — построению связи между симплектической томограммой и двумерной функцией распределения, описывающей квантовое состояние, — получению неравенства на энтропию фон Нейманна трехуровневой системы в случае, когда существует двухкубитный портрет кутрита.

В ходе работы был детально изучен линейный оператор (1.3.36), результат его действия на различные состояния с целым числом фотонов, и в итоге вычислен спектр его собственных значений и собственных функций. Это привело к новому представлению квантовой томограммы произвольных чистых состояний в базисе из найденных собвстенных функций (1.3.36). На основе этого представления было создано два метода реконструкции волновой функции в конечном базисе по неполной информации о его томограмме - конечному числу квадратурных распределений. Необходимо отметить, что, во-первых, размерность рассматриваемого базиса и количество различных известных квадратурных распределений не зависят друг друга и размерность базиса фактически не ограничена, что представляет собой преимущество перед ранее существовавшими методами [62]. Во-вторых реально на практике может быть известно не более конечного числа квадратурных распределений квантового состояния, что придает методу возможность приложения в экспериментах. В работе также был предложен новый метод описания квантового состояния с помощью томографической функции распределения. В этом подходе квантовые томограммы образуют пространство основных функций, а наблюдаемые - пространство обобщенных функций. В рамках данного подхода в качестве последних рассматривались симметризованные произведения канонических квантовых наблюдаемых, чьи средние вычисляются усреднением функцией распределения, аналогично вычислению средних в классической механике. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Квантовая томограмма произвольного чистого состояния рассмотрена в базисе из найденных собственных функций линейного интегрального оператора, связывающего симплектическую томограмму состояния с его волновой функцией в координатном представлении.

2. Новый способ реконструкции волновой функции чистого квантового состояния в представлении Фока по нескольким квадратурным распределениям, основывающийся на интегральном представлении коэффициентов в разложении томограммы, не имеет ограничений на размерность базиса из фоковских состояний.

3. Томографическое представление квантовой механики, при котором квантовые томограммы играют роль пространства основных функций для обобщенных функций - наблюдаемых, позволяет вычислять средние значения симмет-ризованного произведения канонических квантовых наблюдаемых обычным усреднением функцией распределения на плоскости.

4. Для AD (amplitude damping) канала, наряду с PD (phase damping) каналом, существует нижняя оценка выходной энтропии, связывающая ее с энтропией входного состояния и энтропии подсистемы.

Оценка энтропии тензорного произведения канала, демпфирующего фазу, на произвольный канал

В последнее время была [64, 3, 14, 7, 5, 16, 31, 12, 37, 44, 15] разработана и развита квантовая теория информации (КТИ) - наука, изучающая общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации активно использует аналитический аппарат теории матриц и операторов в гильбертовом пространстве. Важную роль играет процесс передачи квантовой информации, а именно процесс передачи и определения квантового состояния какой-либо системы. Определение состояния системы всегда сопряжено с измерением над системой. Всякое измерение над квантовой системой неизбежно влечет за собой изменение квантового состояния. Здесь мы встречаемся с определением канала. Будем рассматривать гильбертовы пространства 1 L и /С. Множества состояний в этих пространствах S(7i) и S(/C) состоят из эрмитовых положительных операторов с единичным следом. Эти множества выпуклые, их крайние точки суть чистые состояния.

Пусть X, Y - случайные величины на одном вероятностном пространстве, имеющие совместное распределение рх,у, а X, У - их алфавиты. Классический канал описывается вероятностямир{у\х) из входного алфавита в выходной, т.е. условными вероятностями р{у\х) того, что был принят символ у Є У, при условии, что был послан символ х Є X. Входное распределение вероятностей Р = рх трансформируется каналом в совместное распределениерХЛ) = р{у\х)рх и порождает выходное распределение Р = р , где р у = 2хр(у\х)рх. Другими словами классический канал описывает аффинное преобразование рх — р у = 2хр(у\х)рх классических состояний - распределений вероятности на некотором входном алфавите в классические состояния на выходном алфавите. По аналогии в квантовом случае надо рассматривать аффинные отображения, переводящие операторы плотности в операторы плотности Ф : S(7i) — S(7i), Ф PJSJ $ ФЙ], Р3 0, = 1, Sj є S{U). Определение: Для любого аффинного отображения Ф : Х( Н) — Т{1-С), сопряженное отображение Ф : B(7i) — B(7i) определяется формулой Тг(Ф[Т]Х) = Тг(ТФ [Х]) УТє1{П) УХєВ{Н). (3.1.1) Отображение Ф описывает эволюцию квантовой системы в терминах состояний (картина Шредингера), в то время как отображение Ф - в терминах наблюдаемых (картина Гейзенберга). Утверждение: Пусть Ф - аффинное взаимно однозначное отображение выпуклого множества квантовых состояний S(7i) на себя, тогда Ф[5] = USU\ SeS(H), где U - унитарный или антиунитарный оператор. Антиунитарный оператор U характеризуется следующими свойствами: 1) \\и ф\\ = \\ ф\\, фєЯ, 2) U(Y,C )=T,CP V з J з Обобщая предыдущие определения, рассмотрим линейное отображение Ф, действующее из Х{Т-І\) в ТІТ-І2), тогда сопряженное отображение Ф действует из В(Н2) в B(Ui). Определение: отображение S на Тії называется вполне положительным, если отображение (g) Id : "Hi (g %2 "Hi 2 является положительным. Определение: линейное вполне положительное сохраняющее след отображение Ф называется квантовым каналом. Для любого квантового канала Ф найдется набор операторов Vj таких, что ф[Г] = J2 VjTVJ, Т є 1(Ні) (3.1.2) з или, двойственным образом, b [X] = J2v}XVj, ХєВ(Н2). (з.і.з) з Операторы Vj называются операторами Краусса, а равенство (3.1.2) - представлением Вейля квантового канала Ф. Энтропией фон Неймана состояния р называется величина S(p) = rplnp. Из определения немедленно следует, что для чистых состояний энтропия равна 0. Энтропия фон Неймана является мерой неопределенности состояния р. 3.2 Кубитный портрет состояний кудита Кудит - квантовая система, имеющая более двух уровней. Ее частным случаем являются кубиты - двухуровневые системы, и кутриты - трехуровневые системы. Кубиты могут быть использованы для описания свойств многоуровневых систем (кудитов). В пионерской на эту тему работе [34] было предложено создать кубит-ный портрет многоуровневой системы. Суть заключается в следующем. Рассмотрим вектор Р = (рі,Р2,Рз), где pj неотрицательные числа, и X =iPj = 1, т. е. pj представляют собой некоторые вероятности. Вектор Р представляет собой классический аналог кутрита. Кубитный портрет этого вектора определяется набором векторов, полученных из Р умножением на стохастические матрицы:

Для такого представления имеет место неравенство для энтропии Шеннона исходного вектора и его портрета:

Такой подход без труда обобщается на матрицу плотности кутрита. Рассмотрим матрицу плотности в 3-мерном пространстве состояний: Р Р\\ Pvi Різ Р21 Р22 Р23 \Р31 Р32 РЗЗІ Ър=1, рі = р 0. (3.2.7) Используя те же стохастические матрицы [ 5], мы получаем две матрицы, образующие портрет исходного кутрита:

Поскольку элементы этих матриц в последней строке и последнем столбце равны всегда нулю, р\ и р2 являются матрицами плотности двух кубитов. Таким образом мы получаем кубитный портрет состояния кутрита. Отметим, что отображения р - рі = Мір, р р2 = М2р являются положительными. Аналогично имеет место неравенство энтропии состояния кутрита и его кубитного портрета: