Содержание к диссертации
Введение
1 Обратная вариационная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 22
1.1 Введение 22
1.2 Функционал действия для систем уравнений второго порядка 24
1.3 Примеры 29
1.4 Вариационный принцип в формализме первого порядка 31
1.5 Заключение 36
2 Принцип действия для системы Лоренца-Дирака 38
2.1 Введение 38
2.2 Обратная вариационная задача для классического уравнения Лоренца-Дирака 40
2.3 Пертурбативное понижение порядка в уравнении Лоренца-Дирака . 43
2.4 Принцип действия для редуцированного уравнения Лоренца-Дирака . 45
2.4.1 Формализм второго порядка 45
2.4.2 Формализм первого порядка 47
2.5 Заключение 49
3 Каноническое квантование нелагранжевых теорий 51
3.1 Введение 51
3.2 Гамильтонова формулировка 52
3.3 Каноническое квантование 53
3.4 Квантование линейных динамических систем 56
3.5 Примеры 59
3.5.1 Квантование гармонического осциллятора с трением 59
3.5.2 Квантование излучающего точечного заряда 63
3.6 Заключение 65
4 Деформационное квантование линейных динамических систем 69
4.1 Введение 69
4.2 Псевдо-гамильтонова формулировка линейных динамических систем . 70
4.3 Деформационное квантование 72
4.4 Примеры 76
4.4.1 Линейный осциллятор с трением 77
4.4.2 Заряженная частица в однородном магнитном поле, с учетом реакции излучения 80
4.5 Заключение 85
5 Заключение
6 Аппендикс - интегрирующий множитель
- Функционал действия для систем уравнений второго порядка
- Пертурбативное понижение порядка в уравнении Лоренца-Дирака
- Квантование линейных динамических систем
- Деформационное квантование
Введение к работе
Существует широкий класс интересных физические систем, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки. В числе примеров можно упомянуть самодуальные поля Янга-Миллса, уравнения безмассовых полей высших спинов, теорию кираль-ных бозонов, максвелловскую электродинамику с монополями, а также различные диссипативные системы. Назовём все такие системы нелагран-жевыми. Хотя задание уравнений движения полностью определяет динамику классической системы, традиционный переход к квантовомехани-ческому описанию опирается на существование функционала действия, из которого данные уравнения движения получаются варьированием. Именно этим определяется важность вариационной формулировки для физических систем.
Задача построения функционала действия для заданной системы дифференциальных уравнений, в литературе известная как обратная вариационная задача Ньютоновской механики, представляет определенный интерес в физике на протяжении уже более ста лет. Ещё в 1887 году Гельмгольц [1] сформулировал известный критерий лагранжевости систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратная вариационная задача для одномерного движения была полностью решена Дарбу [2]. Случай двух степеней свободы был рассмотрен Дугласом [3] в 1941, в частности, он представил примеры систем уравнений второго порядка, которые не могут быть получены из вариационного принципа. После этого многие авторы (см. [4]-[19] и ссылки там) исследовали проблему построения вариационного принципа для многомерных систем.
В 1974 году Хавас [20] предложил рассматривать обратную вариационную задачу в формализме первого порядка, для этого, ввведением вспомогательных переменных, необходимо перейти от исходных уравнений движения к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. В работах [20]-[22] было доказано, что действие в фор-
мализме первого порядка существует (по крайней мере локально) для любой системы дифференциальных уравнений. Однако, все существующие на эту тему работы можно рассматривать лишь только как теорему существования, поскольку ни одна из них не даёт конструктивного алгоритма построения функционала действия по заданной системе уравнений первого порядка.
Даже в случае когда обратная задача разрешима ее решение может содержать большой произвол, не сводящийся к добавлению полной производной по времени. В 1950 году Вигнер [23] поставил вопрос: "Определяют ли классические уравнения движения квантовомеханические коммутационные соотношения?" В своей работе [23] Вигнер предположил, что ответ на этот вопрос зависит от формы гамильтониана и для некоторых систем может быть отрицательным. Детальное изучение проблемы (см. [24]-[31]) показало, что ответ на поставленный Вигнером вопрос действительно отрицателен и вид квантовомеханических коммутационных соотношений существенно зависит от выбора функции Лагранжа. Тем не менее, полное описание имеющегося здесь произвола известно только в случае одномерных систем и было дано еще Дарбу [2]. А именно, существует столько неэквивалентных лагранжианов сколько функций от двух переменных.
Проблема квантовомеханического описания нелагранжевых систем притягивает интерес физиков на протяжении десятков лет и имеет не мало важных приложений (см. например [32]-[70] и цитируемую там литературу) . Если нелагранжевы уравнения описывают некую диссипативную систему, в которой диссипация является следствием взаимодействия с окружающей средой (резервуаром), разумно рассматривать систему и резервуар как две взаимодействующие подсистемы одной замкнутой системы. Тогда квантовое описание диссипативной системы может быть получено из квантовой теории общей системы усреднением по резервуару. Этот подход был предложен Фейнманом и Верноном в 1963г. [32] и далее использовался во многих работах (см., например, [33]-[46]). Недостат-
ками данного подхода является его чрезвычайная громоздкость, необходимость предварительной фиксации некоторой модели резервуара, а также зависимость результата квантования от самой модели резервуара. В простейшем случае, когда резервуар моделируется бесконечным числом осцилляторов, в окончательный ответ входят такие его параметры, как температура Т и собственные частоты осцилляторов щ. Кроме того, этот подход применим только для квантования диссипативных систем, когда причиной нелагранжевости уравнений движения является диссипация, то есть взаимодействие системы с окружающей средой. Если же нелагранжевость уравнений движения имеет иную природу (как в случае, например, с монополем Дирака [47, 48]) рассматриваемая схема квантования теряет физический смысл.
Альтернативный метод квантования диссипативных систем известен как бэйтмановское квантование. Предложенное Бэйтманом в 1931 г. [49], оно основывается на идее вложения исходной нелагранжевой динамики в более широкую лагранжеву модель. В качестве лагранжиана расширенной системы берется сумма исходных уравнений движения с соответствующими лагранжевыми множителями. Варьирование такого лагранжиана по лагранжевым множителям приводит к исходным уравнениям движения, однако, варьирование по исходным переменным даёт новые динамические уравнения на введенные лагранжевы множители. Таким образом, лагранжевы множители трактуются как новые степени свободы. При этом, не всегда понятно какой физический смысл можно придать этим новым степеням свободы. На квантовом уровне подобный подход также сталкивается с определенными трудностями. Так например, построенная таким образом квантовая теория гармонического осциллятора, как с трением, так и без него, характеризуется непрерывным спектром энергий и невозможностью корректно определить гильбертово пространство состояний системы (индефинитная метрика) [50]-[58].
Наконец, имеется подход, стартующий с функционала действия в формализме второго порядка. Для построения действия используется метод
интегрирующего множителя. Как отмечалось выше, такой множитель не всегда существует, а когда существует может содержать изрядную долю произвола. Возникающие при этом трудности можно проиллюстрировать на примере нерелятивистского уравнения Лоренца-Дирака. А именно, в работе [72] было показано, что несмотря на существование вариационного принципа для уравнений второго порядка, описывающих движение излучающего точечного нереляивистского заряда в однородном магнитном поле, ни один из возможных лагранжианов не переходит в пределе отключения взаимодействия с электромагнитным полем в лагранжиан свободной частицы. Таким образом, в случае более чем одной степени свободы малая деформация уравнений движения (коей обычно и является диссипация) может не представляться как малая деформация соответствующего функционала действия в формализме второго порядка. Как следствие, и квантовая теория многомерных диссипативных систем, построенная квантованием подобного действия будет входить в противоречие с пертурбативной трактовкой диссипации. Кроме того, известны примеры многомерных динамических систем (Дуглас, 1941 г. [3]), уравнения движения, которых просто не допускают существование интегрирующего множителя, а как следствие, и действия в формализме второго порядка. Отметим, что идея квантования нелагранжевых систем, путем подбора интегрирующего множителя, активно использовалась во многих работах для квантования гармонического осциллятора с трением и некоторых других одномерных моделей [59]- [65]. Однако, поскольку гармонический осциллятор одномерен, упомянутые выше проблемы здесь просто не возникают.
Таким образом, ни один из перечисленных подходов к квантованию нелагранжевых систем не лишён внутренних трудностей. А потому, многие вопросы, связанные с квантованием не гамильтоновых и диссипативных систем до сих пор остаются открытыми. Так например, интересным является изучение влияния диссипации на такие квантовомеханиче-ские явления как тунелирование и квантовая интерференция. Возмож-
ное проявление квантового тунелирования на макроскопическом уровне, где имеет место явление диссипации, в физике низких температур было описано Леггетом в 1978 г. [67]. Влияние диссипации на квантовое тунелирование в макроскопических системах впервые было рассмотрено Калдейрой и Легетом в работах [68, 69], где было показано, что в присутствии диссипации вероятность тунелирования макроскопической системы начинает зависеть от феноменологического коэффициента трения. Квантовая интерференция в присутствии диссипации рассматривалась теми же авторами в работе [70]. Однако, в обоих случаях авторы пользовались подходом трактующим диссипацию как взаимодействие системы с тепловым резервуаром, недостатки которого обсуждались выше.
Существует множество других интересных физических проблем связанных с квантованием нелагранжевых систем. Отметим только две из них: (і) квантовомеханическое описание реакции излучения, альтернативное теоретико-полевому подходу и основанное на квантовании соответствующих нелагранжевых уравнений движения, описывающих эффективную динамику заряженных объектов (частиц, струн и т.д.) во внешних полях, а также (іі) квантовомеханическое описание монополя Дираком. [47, 48]. Предложенный Дираком метод квантования магнитного заряда для решения проблемы нелагранжевости уравнений движения электрического заряда в поле магнитного предполагал использовать так называемое "вето Дирака запрещающем электрическому заряду находиться на нити - траектории магнитного заряда. Заметим, однако, что дираковская теория магнитного заряда с "нитями"не лишена критики (см., например [71]).
Таким образом, иметься необходимость в развитии новых подходов и методов квантования динамических систем, заданных классическими уравнениями движения, и не привлекающих ни дополнительных нефизических степеней свободы, ни вспомогательные конструкции подобно тепловому резервуару или нефизическим "нитям". Помимо широкого спектра приложений решение данной задачи имеет и чисто теоретиче-
ское значение, так как расширяет наши представления об области применимости квантовой теории и обогащает ее новыми конструкциями и методами.
Исходя из этого были сформулированы цели диссертационной работы:
Разработка методов решения обратной вариационной задачи для динамических систем общего вида.
Развитие общих методов квантования физических систем, заданных классическими уравнениями движения.
На этом пути были достигнуты следующие основные результаты:
Разработан новый конструктивный метод построения функционала действия по известным классическим уравнениям движения системы. Построенная модель содержит информацию только о рассматриваемой физической системе и вовлекает в качестве дополнительного ингредиента, ответственного за квантование, произвольную симплектическую структуру на фазовом пространстве. При этом, любая малая деформация исходных уравнений движения оказывается всегда представима как соответствующая малая деформация построенного действия.
Разработан подход канонического квантования нелагранжевых теорий, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Построено каноническое квантование линейных динамических систем. Показано, что квантовая эволюция рассматриваемых систем полностью определяется классической.
Предложен новый подход деформационного квантования нелагранжевых теорий, основанный на псевдо-гамильтоновой формулировке нелагранжевых уравнений движения первого порядка. Построено
квантование важных примеров диссипативных систем: линейного затухающего осциллятора и излучающего точечного заряда. Получены точные выражения для эволюции средних значений энергии и углового момента в рассмотренных примерах. Проведён сравнительный анализ двух предложенных подходов.
4. Впервые получены:
Явный вид лагранжиана для систем дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают существование интегрирующего множителя, то есть такой невырожденной матрицы, умножение на которую сводит рассматриваемую систему уравнений движения к стандартной форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Из простых соображений, не апелирующих к функциональному анализу, получены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя. Предложенный метод решения обратной вариационной задачи проиллюстрирован на различных примерах. Построено лагранжево действие в формализме второго порядка для многомерных диссипативных систем. Также приводится пример линейной динамической системы, уравнения движения которой не допускают существование интегрирующего множителя.
Явная процедура построения функционала действия для систем уравнений первого порядка по решению задачи Коши рассматриваемых систем. Получено полное описание нетривиального произвола (не сводимого к добавлению полной производной по времени) в определении функции Лагранжа для заданных систем дифференциальных уравнений первого порядка. Построен квадратичный функционал действия для линейных динамических систем, которые описываются линейными, в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями с непостоянными коэффициентами.
(с) Доказательство несуществования вариационного принципа для классического уравнения Лоренца-Дирака, равно как и для его нерелятивистского предела. Предложено редуцированное уравнение Лоренца-Дирака, описывающее эффективную динамику излучающего заряда в электромагнитном поле и свободного от нефизических решений. Для этого уравнения обратная вариационная задача может иметь множество решений. В качестве примера рассмотрен нерелятивистский точечный заряд в постоянном однородном магнитном поле с учетом реакции излучения. Показано, что хотя эта система и допускает существование функционала действия в формализме второго порядка, ни один из возможных лагранжианов не даёт в пределе отключения взаимодействия обычный лагранжиан свободной частицы. Удовлетворительное физическое описание удаётся построить для эквивалентной системы уравнений первого порядка.
Подход канонического квантования физических систем с нелагран-жевыми уравнениями движения, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Гамильтонизация и каноническое квантование построенного лагранжева действия является не тривиальной проблемой, поскольку рассматриваемая теория имеет связи зависящие от времени. Общий подход гамильтонизации и канонического квантования теорий со связями зависящими от времени (Гитман, Тютин 1990) применяется к рассматриваемому случаю. Предложенная схема квантования проиллюстрирована на примере линейных динамических систем. В дополнении рассмотрено каноническое квантование гармонического осциллятора с трением, и излучающего заряда.
Псевдо-гамильтонова формулировка для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с непостоянными ко-
эффициентами. В отличии от обычной канонической гамильто-новой механики наш подход основан на использовании нестационарных скобок Пуассона и "обобщённой"производной по времени Д = dt + , которая дифференцирует введенные скобки Пуассона. Получено модифицированное уравнение Лиувиля, определяющее зависимость от времени классической функции распределения.
(f) Последовательная процедура деформационного квантования линейных динамических систем, основанная на предложенной псе-вдо-гамильтоновой формулировке. Рассматриваемая процедура вовлекает нестационарное звездочка-произведение щ. Предложенная "обобщённая"производная по времени Dt = dt + , дифференцирует ^-произведение. Показано, что как и в обычном случае *галгебра физических наблюдаемых допускает единственный (зависящий от времени) следовой функционал Тг^. Используя перечисленные ингредиенты мы строим последовательное самосогласованное квантовомеханическое описание для произвольных линейных динамических систем. Предложенный метод деформационного квантования иллюстрируется на примере линейных диссипативных систем, таких как гармонический осциллятор с трением и излучающий точечный заряд.
Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.
Краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 102 страницах, включает список литературы из 107 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе ЖГ^Х.
В первом разделе рассматривается вопрос о построении принципа наименьшего действия для заданной системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом интегрирующего множителя, то есть такой невырожденной матрицы, умножение на которую приводит данную систему уравнений к стандартной форме Эйлера-Лагранжа. В параграфе 1.2 предлагается простой метод вывода необходимых и достаточных условий существования интегрирующего множителя для систем уравнений второго порядка. В том случае, когда интегрирующий множитель существует и известен, предъявляется явное выражение для функции Лагранжа системы. Далее, в параграфе 1.3 данный метод применяется для решения обратной вариационной задачи в некоторых простых моделях, а так же приводится пример линейной динамической системы, чьи уравнения движения не допускают существования интегрирующего множителя и, как следствие, не могут быть получены из вариационного принципа.
Следует заметить, что по средствам введения п дополнительных переменных (например Pi = q%) всегда возможно перейти от системы п нелагранжевых уравнений второго порядка к эквивалентной системе 2п уравнений первого порядка
ха = fa(t,x), а = 1,..,2п, (0.1)
где fa(t,x) - некоторые функции. В параграфе 1.4 исследуется возможность нахождения интегрирующего множителя О, для системы (0.1), показывается, что он должен удовлетворять следующим условиям: невырожденность, антисимметрия, тождество Якоби и уравнение
Шар + &<# = о, (0.2)
где flap - производная Ли от 2-формы Qap вдоль векторного поля р. В данном случае интегрирующий множитель Q всегда существует и может быть построен по решению задачи Коши уравнений (0.1). Резуль-
тирующий лагранжиан имеет вид:
L = Jaxa - Н, (0.3)
Ja(t, х) = I x^Qpa(t, sx) sds + da(p(t, x), (0.4)
H(t,x) = / dsxf*[n/3a(t,sx)fa(t,sx)-dtJ{i(t1sx)] + c(t), (0.5) Jo
(p(t, x) и c(t) - произвольные функции. Таким образом, показывается, что физические системы, традиционно называемые нелагранжевыми фактически эквивалентны лагранжевым системам уравнений первого порядка. Предложенная процедура построения вариационного принципа иллюстрируется на примере линейных динамических систем, которые описываются линейным, в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями с непостоянными коэффициентами. Строится квадратичный функционал действия, имеющий в качестве своих уравнений Эйлера-Лагранжа вышеупомянутые линейные уравнения.
Во втором разделе рассматривается задача построения функционала действия для классического и редуцированного уравнения Лоренца-Дирака, описывающего самосогласованную динамику точечного заряда с учетом реакции излучения. В параграфе 2.2 доказывается, что классическое уравнение Лоренца-Дирака
е .„ 2е2 /... 1 Л
9ц = ТПХц -) "/л/Х -|- , I Хц -nXjjiXj/X I = и,
(0.6)
равно как и его нерелятивистский аналог
е 2е2
g=-mx + eE + -[x,H] + --3X = 0. (0.7)
где х^ = (t,x) - координаты частицы в четырехмерном пространстве-времени, F^v = (Е, Н) - тензор напряженности электромагнитного поля,
константы с и є - суть скорость света и электрический заряд, не допускают интегрирующего множителя и, следовательно, не могут быть получены на основе вариационного принципа ни из какого локального функционала действия. В параграфе 2.3 обсуждается процедура пертурбативного понижения порядка классического уравнения Лоренца-Дирака. Целью этой процедуры является вывод редуцированного уравнения Лоренца-Дирака, то есть уравнения второго порядка, эквивалентного исходному уравнению Лоренца-Дирака в секторе физических решений и не имеющего других (нефизических) решений. В параграфе 2.4 обсуждается обратная вариационная задача для редуцированного нерелятивистского уравнения Лоренца-Дирака. Для этого уравнения обратная вариационная задача может иметь множество решений. В качестве примера рассмотрено движение нерелятивистского заряда в постоянном однородном магнитном поле с учётом силы радиационного трения. В данном случае редуцированное уравнение Лоренца-Дирака имеет вид:
х = Ах — By,
у = Вх + Ау, (0.8)
2 = 0,
где в системе едениц т = с = 1
л _ 6 - у/бу/з + V9 + 64е6Я2 2 4 2
А~ 8^ *~3ЄЛ '
В _ еЯ^ w еН
у/3 + V9 + 64e6tf2
Коэффициент А имеет смысл коэффициента радиационного трения. Показано, что хотя эта система и допускает существование функционала действия в формализме второго порядка, ни один из возможных лагранжианов не даёт в пределе отключения взаимодействия обычный лагранжиан свободной частицы. Удовлетворительное физическое описание удается построить для эквивалентной системы уравнений первого порядка.
Предложенное лагранжево описание динамики излучающего заряда является основой для квантовомеханического описания эффектов радиационной отдачи, альтернативного квантово-полевому описанию, в том же смысле, в котором уравнение Лоренца-Дирака позволяет учитывать реакцию излучения в классической электродинамике.
В третьем разделе обсуждается вопрос о построении квантовых теорий, воспроизводящих в классическом пределе нелагранжевы уравнения движения для средних. Фактически, рассматривается каноническое квантование лагранжевых теорий со связями зависящими от времени, которые соответствуют так называемым нелагранжевым системам. В параграфе 3.2 показывается что, гамильтонизация построенного в главе 1 лагран-жевого действия в формализме первого порядка для так называемых нелагранжевых систем приводит к теории с явно зависящими от времени связями второго рода. Таким образом, показывается, что физические системы, традиционно называемые нелагранжевыми, на самом деле эквивалентны лагранжевым системам первого порядка, однако обладающими связями зависящими от времени в гамильтоновом формализме. Каноническое квантование подобных теорий является нетривиальной проблемой и представлено в параграфе 3.3. В параграфе 3.4 общий подход канонического квантования применяется для построения квантовой теории систем, классическая динамика которых описывается системой произвольных линейных, в общем случае неоднородных, дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. Далее рассматривается квантование физически интересных примеров диссипативных систем. В параграфе 3.5 в деталях иллюстрируется процедура канонического квантования нелагранжевых систем на примере гармонического осциллятора с трением, а в параграфе 6 строится квантование излучающего точечного заряда.
В четвёртом разделе развивается подход деформационного квантова
ния нелагранжевыых теорий. В параграфе 4.2 предложена простая псевдо-
гамильтонова формулировка для систем линейных неоднородных диф
ференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. В отли
чии от обычной канонической гамильтоновой механики наш подход ос
нован на использовании нестационарных скобок Пуассона и обобщённой
производной по времени Д = dt-\ , которая дифференцирует введен
ные скобки Пуассона. Используя эти ингредиенты выводится модифици
рованное уравнение Лиувиля
DtPcl = {H,pcl}t, (0.9)
которое определяет зависимость от времени классической функции распределения.
В параграфе 4.3 стартуя с этой псевдо-гамильтоновой формулировки развивается последовательная процедура деформационного квантования. Для этого в рассмотрение вводится нестационарное, ассоциативное и некоммутативное звездочка-произведение *t, построенное по нестационарным скобкам Пуассона. Предложенная "обобщённая"производная по времени Д, дифференцирует *гпроизведение. Показано, что как и в обычном случае *галгебра физических наблюдаемых допускает единственный (зависящий от времени) следовой функционал Тг*. Далее определяется квантовое уравнение Лиувиля
ihDtp + [р, H]t = 0, (0.10)
задающее эволюцию квантовомеханических состояний. В случае линейных динамических систем квантовое уравнение Лиувиля в точности совпадает с классическим модифицированным уравнением Лиувиля, для которого исходная система уравнений движения является уравнением характеристик. Исходя из этого делается вывод, что квантовая эволюция линейных динамических систем полностью определяется соответствующей классической эволюцией. В результате получается полное самосо-
гласованное квантовомеханическое описание произвольной линейной динамической системы.
В параграфе 4.4 предложенный метод квантования иллюстрируется на примере линейных диссипативных систем таких как гармонический осциллятор с трением и излучающий точечный заряд в постоянном однородном магнитном поле. Получены точные выражения для эволюции средних значений энергии и углового момента в рассмотренных примерах. Для излучающего заряда в магнитном поле мгновенный спектр энергии имеет вид
(НУр = етЕ, Е = Нв(п + ^\ , п = 0,1,... (0.11)
видно, что энергия эволюционирует по классическому закону, экспоненциально затухая со временем, однако в каждый фиксированный момент времени спектр энергии дискретен как в соответствующей квантовой системе без трения. Мгновенный спектр углового момента может быть записан как
{MYp = M-a{t)E, M = h(l-n), l = -n...n, (0.12)
, , _ 2A2eAtcos{Bt) - A2 + B2e2At
a[t) ~ В(Б2 + Л2)
После взятия в этом выражении последовательный предел при t —> сю и А —» 0 получается, что предельное значение углового момента {М)р дается выражением М—Е/В, такое же предельное значение имеет место в классической теории.
В заключении проводится сравнительный анализ двух предложенных подходов.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения, г. Казань, 2001-04 гг.); Международной школе-семинаре "Quantum Fields and Strings" (п. Домбай, 2003 г.); международной конференции "Fifth international conference on mathematical methods in physics - IC2006" (Rio de Janeiro, Brazil, 2006); международной конференции "XXXIII International conference on high energy physics" (Москва, 2006); международной конференции "Algebras, Representations and Applications" (Maresias, SP, Brazil) а также на научных семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета, кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета и департамента математической физики университета Сан Па-уло, Бразилия.
Результаты диссертации частично опубликованы в 7 работах [72]-[78].
Защищаемые положения
Теоретические исследования, результаты которых изложены в диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре квантовой теории поля в 2001-07 гг. Все результаты получены лично автором, либо при непосредственном его участии. На защиту выносятся:
Явный алгоритм построения вариационной формулировки в формализме второго порядка, в случае, когда рассматриваемая система допускает интегрирующий множитель. Необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя.
Универсальный метод построения функционала действия для систем уравнений первого порядка по решению соответствующей за-
дачи Коши. Полное описание нетривиального произвола (не сводимого к добавлению полной производной по времени) в определении функции Лагранжа.
Доказательство несуществования вариационного принципа для классического уравнения Лоренца-Дирака, описывающего эффективную динамику излучающего заряда в электромагнитном поле. Вывод редуцированного уравнения Лоренца-Дирака методом пертурбативно-го понижения порядка. Вариационный принцип для редуцированного уравнения Лоренца-Дирака в формализме первого порядка.
Универсальный метод канонического квантования физических систем по известным уравнений движения. Каноническое квантование линейных динамических систем общего вида, включая негамильто-новы и диссипативные системы. Утверждение о том, что квантовая эволюция линейных динамических систем полностью определяется их классической эволюцией.
Псевдо-гамильтонова формулировка для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. Последовательная процедура деформационного квантования линейных динамических систем, основанная на предложенной псевдо-гамильтоновой формулировке. Деформационное квантование гармонического осциллятора с трением, и излучающего точечного нерелятивистского заряда. Точные выражения для эволюции средних значений энергии и углового момента в рассмотренных примерах.
Благодарности
Я выражаю глубокую признательность своим научным руководителям доктору физ.-мат. наук, профессору Д.М. Гитману и доктору физ.-мат. наук, профессору С.Л. Ляховичу за неоценимую помощь в создании этой
работы. Особо благодарен профессору В.Г. Багрову за постоянных интерес к ходу выполнения диссертации и за создание условий для ее выполнения. Хочу поблагодарить моего соавтора и соруководителя моей магистерской диссертации кандидата физ.-мат. наук, доцента А.А. Шарапова за конструктивную критику некоторых разделов этой диссертационной работы. Я благодарен профессорам Дмитрию Василевичу и Сергею Гаврилову за многочисленные дискуссии давшие понимание некоторых частных аспектов диссертации и за полезные советы по оформлению данной работы.
Я посвящаю свою кандидатскую диссертацию памяти моего отца Куприянова Геннадия Николаевича.
Функционал действия для систем уравнений второго порядка
Задача построения функционала действия для заданной системы дифференциальных уравнений, в литературе известная как обратная вариационная задача Ньютоновской механики, в своей классической постановке [1] состоит в решении вариационного уравнения Щ)=9і (1Л) где gi(t,x\xl,...) = 0 - некоторая заданная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций xl(t) a S[x] - локальный функционал, подлежащий определению. Условие локальности означает существование функции L(t, х, х,...) (лагранжиана), в терминах которой функционал S[x] (действие) записывался бы в виде интеграла S[x}=fdtL. (1.2)
Иными словами, суть обратной вариационной задачи состоит в нахождении вариационного принципа для заданной системы дифференциальных уравнений. Эта задача представляет определенный интерес в физике на протяжении уже более ста лет. Ещё в 1887 году Гельмгольц [1] предложил условие коммутативности вторых вариационных производных из которого немедленно следует необходимое (а при некоторых ограничениях и достаточное) условие разрешимости уравнения (1.1):
Если это условие выполняется, система уравнений gi(t,xl,x\...) = 0 называется лагранжевой, если же оно не выполняется, система - нелагран-жева. В 1894 году Дарбу [2] решил обратную вариационную задачу для одномерного случая. Случай двух степеней свободы был рассмотрен Дугласом [3] в 1941, в частности, он представил примеры систем уравнений второго порядка, которые не могут быть получены из вариационного принципа. После этого многие авторы (см. [3]-[19] и ссылки там) исследовали проблему построения вариационного принципа для многомерных систем.
В этой главе мы рассматриваем вопрос о построении принципа наименьшего действия для заданной системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом интегрирующего множителя ([3]-[6]), то есть такой невырожденной матрицы, умножение на которую приводит данную систему уравнений к стандартной лагранжевой форме. В параграфе 1.2 мы-даём простой метод вывода необходимых и достаточных условий существования интегрирующего множителя для систем уравнений второго порядка. В том случае если интегрирующий множитель существует и известен, мы предъявляем явный вид лагранжиана. Далее, в параграфе 1.3 мы применяем наш метод решения обратной вариационной задачи к некоторым простым моделям. Будет построен функционал действия для многомерных диссипативных систем. Так же мы приводим пример линейной динамической системы, чьи уравнения движения не допускают существования интегрирующего множителя и, как следствие, не могут быть получены из вариационного принципа.
Заметим, что по средствам введения п дополнительных переменных (например pi = q{) всегда возможно перейти от системы п нелагран-жевых уравнений второго порядка к эквивалентной системе Ъп уравнений первого порядка. Для такой системы уравнений всегда возможно построить вариационный принцип, соответствующие рассмотрения приводятся в параграфе 1.4, где в частности будет предложена явная процедура построения функционала действия для систем уравнений первого порядка по решению задачи Каши рассматриваемых систем. Таким образом, мы показываем, что физические системы, традиционно называемые нелагранжевыми фактически эквивалентны лагранжевым системам уравнений первого порядка. Предложенная процедура построения вариационного принципа иллюстрируется на примере линейных динамических систем, которые описываются линейным, в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями с непостоянными коэффициентами. Будет построен квадратичный функционал действия, имеющий в качестве своих уравнений Эйлера-Лагранжа вышеупомянутые линейные уравнения.
Пусть динамическая система с п степенями свободы описывается набором п дифференциальных уравнений второго порядка, разрешимых относительно старших производных ?-1%д,4) = 0, і = 1...П, (1.4) где fl{t,q,q) являются функциями обозначенных аргументов и точки означают производные по времени. Построим принцип наименьшего действия для этой системы. Если (1.4) нелагранжева, возможно поставить задачу о нахождении интегрирующего множителя hij(t, q, q), det h{j ф 0, умножение на который
Пертурбативное понижение порядка в уравнении Лоренца-Дирака
Замечательной особенностью классической электродинамики точечных частиц является возможность последовательного учета силы радиационного трения в рамках локальных уравнений движений, не содержащих динамических полей. Эти уравнения известны как уравнения Лоренца-Дирака и отличаются от обычных уравнений Лоренца дополнительным слагаемым с третьей производной траектории [79]-[82]. Наличие высшей производной нечетного порядка имеет два прямых следствия. Во-первых, динамика частицы перестает быть обратимой по времени, что хорошо согласуется с интуитивным представлением о физической необратимости процесса излучения частицей электромагнитного поля. Во-вторых, в отличие от обычной классической механики, для однозначного задания траектории требуется указать не только начальное положение и скорость частицы, но и ее ускорение. Последнее обстоятельство приводит к тому, что, наряду с физически осмысленными решениями, эти уравнения содержат массу решений не поддающихся разумной физической интерпретации (например, самоускоряющиеся решения). Кроме того, в отличие от уравнения Лоренца, уравнение Лоренца-Дирака не является лагран-жевым, т.е. не выводится из принципа наименьшего действия, что делает невозможным непосредственное квантование этой системы.
Следует заметить, что, как на квантовом, так и на классическом уровне максвелловская электродинамика является по существу пертурбативной теорией, вычисления в которой возможны лишь в виде асимптотических рядов по константе связи (электрическому заряду). В общем случае эти ряды расходятся, но учёт уже первых членов разложения дает, как правило, хорошее приближение к экспериментальному значению ввиду малости постоянной тонкой структуры. На классическом уровне последовательная пертурбативиая трактовка электродинамики приводит к следующему правилу отбора: физическими решениями уравнения Лоренца Дирака являются лишь те, которые имеют гладкий предел при отключении взаимодействия, т.е. если положить заряд частицы равным нулю. Оказывается, что все такие решения могут быть описаны одним уравнением второго порядка - так называемым редуцированным уравнением Лоренца-Дирака.
В данной главе мы исследуем возможность построения принципа действия для классического и редуцированного уравнения Лоренца-Дирака. Построение лагранжевого описания динамики излучающего заряда является основой для квантовомеханического описания эффектов радиационной отдачи, альтернативного квантово-полевому описанию, в том же смысле, в котором уравнение Лоренца-Дирака позволяет учитывать реакцию излучения в классической электродинамике.
Глава организована следующим образом. В параграфе 2.2 доказывается, что классическое уравнение Лоренца-Дирака, равно как и его нерелятивистский аналог, не допускает интегрирующего множителя и, следовательно, не может быть получено на основе вариационного принципа ни из какого локального функционала действия.
В параграфе 2.3 обсуждается процедура пертурбативного понижения порядка классического уравнения Лоренца-Дирака. Целью этой процедуры является вывод уравнения второго порядка, эквивалентного исходному уравнению Лоренца-Дирака в секторе физических решений и не имеющего других (нефизических) решений. В параграфе 2.4 обсуждается обратная вариационная задача для редуцированного нерелятивистского уравнения Лоренца-Дирака. В качестве примера рассмотрена задача о самосогласованном движении заряда в однородном магнитном поле (задача о синхротроне). Показано, что эта система не имеет удовлетворительного лагранжевого описания - ни один из возможных лагранжианов не даёт в пределе отключения взаимодействия стандартный лагранжиан свободной частицы. Тем не менее, такое описание может быть построено в рамках формализма первого порядка. Наличие радиационного трения приводит, однако, к сильной нелинейности гамильтониана системы и скобок Пуассона, а также к отсутствию в фазовом пространстве естественной поляризации, имевшей место в системе без трения. Последнее обстоятельство делает невозможным переход к лагранжеву формализму в терминах исходных переменных конфигурационного пространства, что согласуется с выводами предыдущего параграфа.
Квантование линейных динамических систем
Вышеизложенное квантование обеспечивает выполнение принципа соответствия, поскольку квантовые уравнения движения (3.16) имеют ту же форму, что и классические (3.9).
Заметим, что зависимость от времени Гейзенберговских операторов в рассматриваемых теориях в общем случае не унитарна. Другими словами, не существует такого оператора ("Гамильтониана"), чей коммутатор с физической величиной равнялся ее полной производной по времени. Это объясняется наличием двух факторов, которые определяют квантовую эволюцию оператора. Первый - это унитарная эволюция вектор состояния в картине Шрёдингера, и вторая - это эволюция самого Шрёдингеровского оператора г), которая в общем имеет не унитарный характер. Наличие этих двух факторов связано с делением правой части (3.18) на два слагаемых. Физически это объясняется тем, что динамика развивается на поверхности связей, которая в свою очередь меняется со временем, в общем случае, неунитарным образом. Ниже мы применяем вышеизложенную схему квантования к рассматриваемым системам. Учитывая скобки Дирака (3.8), мы можем записать едино-временные коммутационные соотношения (3.10) для операторов фазового пространства как
В данном случае классический гамильтониан Н не зависит от импульсов 7TQ, и поэтому для того, чтобы определить квантовый гамильтониан Я, нам нужно знать зависимость от времени только операторов ха. Из (3.11) следует, что
Квантово-механическое описание квадратичных систем с линейными уравнениями движения является широко обсуждаемой физической проблемой, которое имеет много важных применений см. например [86]-[92] и ссылки там. Почти все эти работы имеют дело со случаем Тамиль-тоновых" линейных динамических систем, то есть систем описываемых каноническими гамильтоновскими уравнениями движения. Мы же рассматриваем более общий случай линейных динамических систем с произвольными линейными, в общем случае неоднородными уравнениями движения (1.48). Для таких систем условия (3.20), (3.21) становятся
Сформулированная процедура квантования нелагранжевых систем и, в частности, квантование обще квадратичной теории может быть немедленно опробовано на примере гармонического осциллятора с трением. Проблема квантование осциллятора с трением притягивает внимание физиков на протяжении уже более 50 лет, существует множество различных подходов к ее решению, однако ни один из них не является финальной версией, свободной от слабых мест, см. например [50]-[46]. На этом примере мы в деталях проиллюстрируем всю процедуру квантования нелагранжевых систем от построения принципа наименьшего действия и до получения выражения для квантовых средних.
Заметим, что уравнение (3.38) может быть представлено в виде {e2atf) + е2аіш2г = 0, LLC то есть как лагранжево уравнение движения с зависящими от времени массой и частотой. В данном случае, масса e2at есть ни что иное как интегрирующий множитель для уравнения (3.38). Однако, как уже упоминалось ранее, интегрирующий множитель для систем уравнений второго порядка существует отнюдь не всегда (см.Глава 1), поэтому в общем случае необходимо строить вариационный принцип в формализме первого порядка.
Классическая теория излучающего точечного заряда была изложена в главе 2, где в частности было предложено квадратичное действие для излучающего точечного заряда в постоянном однородном магнитном поле (см. (2.24)). В этом параграфе будет построено каноническое квантование рассматриваемой системы, основанное квадратичном действии (2.24). Поскольку уравнения движения этой системы (2.23) - линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, мы можем воспользоваться результатами квантования обще-квадратичной теории, изложенной в параграфе 3.4, и сразу записать выражение для квантового гамильтониана, который может быть построен по формуле (3.32)
Деформационное квантование
Если нелагранжевы уравнения описывают некую диссипативную систему, в которой диссипация является следствием взаимодействия с окружающей средой (резервуаром), разумно рассматривать систему и резервуар как две взаимодействующие подсистемы одной замкнутой системы. Затем квантовое описание диссипативной системы может быть получено из квантовой теории общей системы усреднением по резервуару. Этот подход использовался во многих работах, см. например [33]-[46]. Однако нельзя рассматривать данный подход как квантование исходной диссипативной подсистемы, поскольку квантование было выполнено для целой системы. Кроме того, как уже упоминалось ранее, этот подход чрезвычайно сложен и вовлекает параметры рассматриваемой модели резервуара.
Другой метод квантования диссипативных систем - это Бэйтманов-ское квантование. Оно также основано на идее строить вариационный принцип для рассматриваемой системы в расширенном конфигурационном пространстве. Лагранжианом системы является сумма исходных уравнений движения умноженных на соответствующие лагранжевы множители. Варьирование такого лагранжиана по лагранжевым множителям приводит к исходным уравнениям движения, однако варьирование по исходным переменным дает новые динамические уравнения на введенные лагранжевы множители. Таким образом, необходимо трактовать эти лагранжевы множители как новые степени свободы. Однако, не всегда понятно какой физический смысл можно придать этим новым степеням свободы. На квантовом уровне подобное квантование также сталкивается с определенными проблемами. Так например, построенная таким образом квантовая теория гармонического осциллятора как с трением так и без, характеризуется непрерывным спектром энергий и невозможностью корректно определить гильбертово пространство системы (индефинитная метрика) [50-52, 54].
И наконец квантование стартующее с функционала действия в формализме второго порядка, построенного методом интегрирующего множителя. В предыдущем разделе было показано, что несмотря на существование вариационного принципа для уравнений второго порядка (2.23) описывающих движение излучающего точечного нереляивистского заряда в однородном магнитном поле, ни один из возможных лагранжианов в пределе отключения радиационного трения а — 0 не переходит в лагранжиан заряженной частицы во внешнем магнитном поле по модулю полной производной по времени. Таким образом, в случае более чем одной степени свободы малая деформация уравнений движения, коей обычно является диссипация, в общем случае не может быть представлена как соответствующая деформация по параметру трения функционала действия в формализме второго порядка. Соответственно и квантовая теория многомерных диссипативных систем, построенная квантованием подобного действия будет входить в противоречие с пертурба-тивной трактовкой диссипации. Кроме того, нами уже приводились примеры многомерных динамических систем, уравнения движения которых просто не допускают существование интегрирующего множителя, а как следствие, и действия в формализме второго порядка. Идея квантования нелагранжевых систем, стартуя с действия в формализме второго порядка, использовалась в работах [59]-[65] для квантования гармонического осциллятора с трением. Однако, поскольку гармонический осциллятор одномерен, упомянутые выше проблемы здесь не критичны.
Наш метод квантования нелагранжевых теорий, основанный на квантовании соответствующего действия в формализме первого порядка свободен от вышеперечисленных проблем. Поскольку, во первых, квантуемая модель содержит информацию только о рассматриваемой физической системе, для ее построения не использовались никакие вспомогательные конструкции, подобно тепловому резервуару или Дираковской нити, и она не содержит никаких дополнительных нефизических степеней свободы. Во вторых, такая модель всегда существует для любой физической системы, поскольку, как было показано в первом разделе диссертации, любая невырожденная система дифференциальных уравнений записанная в виде эквивалентной системы уравнений первого порядка всегда выводима из принципа наименьшего действия. И наконец, в третьих, любая малая деформация уравнений движения всегда представима как соответствующая малая деформация действия первого порядка.
Оказывается, нелагранжево поведение системы объясняется зависящим от времени внешним полем, входящим в теорию через зависящие от времени связи второго рода. Это принципиально отличная физическая ситуация от диссипации подсистемы. Однако, квантовые теории полученные из нашей процедуры могут быть полезны для описания квантовых свойств как диссипативных систем так и нелагранжевых теорий другой природы, как например, магнитный заряд в поле электрического.
Подчеркнем, что в общем случае рассматриваемая система классических уравнений движения не даёт достаточно информации для фиксации класса квантовых теорий, которые в классическом пределе воспроизводят эти уравнения для средних
