Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 5
1.1 Обзор проблемы 12
2 Основные уравнения слаборелятивистской квантовой гидродинамики
2.1 Основы классической слаборелятивистской гидродинамики 21
2.2 Квантовая гидродинамика. Постановка задачи в слаборелятивистском приближении 25
2.3 Уравнение непрерывности 27
2.4 Уравнение баланса импульса 27
2.5 Уравнение баланса энергии 31
2.6 Введение поля скоростей
2.6.1 Представление Маделунга для волновой функции и скорость частицы 34
2.6.2 Уравнение эволюции поля скоростей 36
2.6.3 Уравнение баланса энергии
2.7 Вывод силы Лоренца 46
2.8 Заключение 47
3 Дисперсия ленгмюровских волн в слаборелятивистском случае 49
3.1 Линейные возбуждения электронного газа 49
3.2 Дисперсия волн в пучке заряженных частиц 50
4 Слаборелятивистские квантовые эффекты в двумерном электронном газе: дисперсия ленгмюровских волн 53
4.1 Введение 53
4.2 Квантовая гидродинамика низкоразмерных систем 55
4.3 Гамильтониан системы 62
4.4 Уравнение динамики линейных возмущений 64
4.5 Дисперсия двумерных ленгмюровских волн 65
4.6 Заключение 68
5 Ленгмюровские волны в бесспиновой слаборелятивистской квантовой плазме 69
5.1 Введение 69
5.2 Гамильтониан системы в слаборелятивистском приближении 71
5.3 Уравнения квантовой гидродинамики с учетом дарвиновского члена 77
5.4 Слаборелятивистские эффекты в дисперсии ленгмюровских волн 83
5.5 Дисперсионная зависимость ленгмюровских волн 85
5.6 Дисперсия собственных волн в электрон-позитронной плазме 86
5.7 Заключение 88
6 Влияние эволюции энергии квантовой системы частиц на электронные плазменные колебания 90
6.1 Описание задачи 90
6.2 Метод квантовой гидродинамики 92
6.3 Система уравнений 93
6.4 Линеаризованная система уравнений и дисперсионное соотношение для ленгмюровских волн 96
6.5 Вывод 98
7 Обменное кулоновское взаимодействие на нанотрубке: дисперсия ленгмюровских волн 100
7.1 Введение 100
7.2 Описание метода 104
7.3 Плотность силы обменного взаимодействия 113
7.3.1 Частичная спиновая поляризация электронов 116
7.4 Дисперсионное уравнение 121
7.5 Заключение 125
8 Заключение 127
Литература
- Квантовая гидродинамика. Постановка задачи в слаборелятивистском приближении
- Представление Маделунга для волновой функции и скорость частицы
- Дисперсия двумерных ленгмюровских волн
- Дисперсионная зависимость ленгмюровских волн
Введение к работе
Актуальность темы
В последние 10-15 лет активное развитие получает метод квантовой гидродинамики - метод, описывающий с помощью системы континуальных уравнений системы многих квантовых частиц. Данный метод применяется к различным совокупностям частиц, от газов нейтральных частиц до электрон-позитронной плазмы. Соответствующие задачи могут быть применены к разработке разнообразных устройств. Обычно система уравнений квантовой гидродинамики состоит из уравнения непрерывности, уравнения баланса импульса и уравнения баланса энергии, а также уравнений для других гидродинамических величин, число которых определяется физической постановкой задачи. Данные уравнения могут быть применены для исследования разных линейных и нелинейных задач. Задачи расчета и анализа дисперсионных свойств электронного газа в различных физических ситуациях являются актуальными по сей день.
Научная новизна
В основополагающих работах по методу квантовой гидродинамики описывались
системы частиц с кулоновским взаимодействием, а также со спин-спиновым
взаимодействием; далее рассматривались спин-токовое и спин-орбитальное
взаимодействия. Данные взаимодействия в теории составляют известный
слаборелятивистский (т. е. описывающий систему частиц с электромагнитным взаимодействием с точностью до второго порядка по v/c) гамильтониан Брейта. В гамильтониан Брейта входят также ток-токовое взаимодействие, контактное взаимодействие (пропорциональное дельта-функции), а также релятивистская поправка к кинетической энергии. Таким образом, в данной работе гидродинамика строится на основании известного гамильтониана Дарвина (плюс контактное взаимодействие). Предварительно также выводятся уравнения классической гидродинамики для их последующего сопоставления с квантовыми аналогами. В диссертации впервые исследован вклад указанных выше взаимодействий в уравнения многочастичной
квантовой гидродинамики, и на основе этого произведено исследование некоторых важных с экспериментальных позиций явлений, в частности, волновых явлений в системах многих квантовых частиц. В сочетании с предыдущими работами по квантовой гидродинамике исследован вклад всего гамильтониана Брейта в уравнения баланса, которые определяют эволюцию квантовых систем. Также в диссертации исследована дисперсия квантовых электростатических волн с учетом уравнения баланса тепловой энергии. Рассчитана и исследована динамика собственных волн на поверхности нанотрубки с учетом обменного кулоновского взаимодействия.
Объект исследования
В диссертационной работе дается последовательный вывод континуальных гидродинамических уравнений для квантовой системы заряженных частиц с электромагнитным взаимодействием; аналогичные уравнения квантовой гидродинамики могут быть использованы для расчета эффектов и явлений в системах нейтральных частиц. Основной физической системой, исследуемой в данной работе, является электронный газ в плазме и плазмоподобных средах. Эта система изучается также в низкоразмерных случаях, в том числе на поверхности нанотрубки.
Метод исследования
В качестве метода исследования в работе используется метод квантовой гидродинамики. В основе метода лежит уравнение Шредингера для системы N частиц с электромагнитным взаимодействием в слаборелятивистском случае. Исходя из него выводится система уравнений гидродинамики в пятимоментном приближении. Для исследования линейных физических явлений в плазме на основе уравнений квантовой гидродинамики активно используются развитые в современной научной литературе методы.
Цели и задачи диссертации
Основной целью данной диссертационной работы является вывод системы уравнений гидродинамики для слаборелятивистских систем заряженных частиц, а также анализ их следствий в виде различных линейных и нелинейных явлений. Вывод уравнений квантовой гидродинамики представляет собой самостоятельную важную
задачу. В диссертации проведено сравнение полученных результатов квантовой гидродинамики с известными результатами физики электронной плазмы.
Достоверность научных положений
Все результаты данной работы являются следствиями уравнения Шредингера для системы N частиц, преобразованного к континуальным переменным обычного трехмерного пространства, и эти результаты получены путем строгих математических вычислений. Для расчета линейных эффектов в плазме также используется широко известный и распространенный аппарат теории возмущений. Таким образом, научные положения данной работы являются в высокой степени достоверными.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Представлен вывод уравнений слаборелятивистской квантовой гидродинамики
на основе уравнения Шредингера с гамильтонианом Дарвина, учитывающем, помимо
кулоновского, ток-токовое взаимодействие и релятивистскую поправку к кинетической
энергии (а также в работе учтено контактное взаимодействие). В диссертации получены
уравнения непрерывности, эволюции скорости и баланса энергии для систем с
преобладанием указанных взаимодействий.
2. Для слаборелятивистского электронного газа (а также потока электронов) на
основе полученных уравнений исследована дисперсия собственных плазменных волн.
Отдельно проанализирован низкоразмерный (двумерный) случай.
3. Исследован вклад контактного взаимодействия в уравнения квантовой
гидродинамики, и на этой основе также исследована дисперсия ленгмюровских волн в
слаборелятивистских системах. Проведено сопоставление результатов с теорией,
полученной на основе гамильтониана одной частицы во внешнем поле, являющегося
следствием уравнения Дирака.
4. Проведен анализ влияния эволюции плотности энергии на характер дисперсии
электронных колебаний. Показано, что если замкнуть функцию теплового потока с
помощью закона Фурье, то в этом случае электронные колебания испытывают затухание.
5. Рассмотрено обменное кулоновское взаимодействие электронов на
поверхности нанотрубки и получено дисперсионное соотношения для собственных плазменных волн в такой системе.
Практическая ценность результатов Полученные уравнения могут применяться для расчета нестационарных физических процессов в системах многих взаимодействующих частиц во внешних электромагнитных полях. В данной работе был завершен учет всех взаимодействий, составляющих гамильтониан Брейта в смысле рассмотрения их вклада в уравнения квантовой гидродинамики. Исследование свойств электронов на нанотрубке может быть использовано при проектировании различных объектов на микроскопическом уровне.
Апробация результатов
Результаты докладывались на международных конференциях ”Ломоносов-2011”, ”Ломоносовские чтения-2011”, First ICTP-NCP International College on Plasma Physics, ”Ломоносов-2014”, ”Ломоносов-2015”.
Публикации
По материалам работы опубликовано шесть статей в рецензируемых научных журналах, входящих в список ВАК, и пять тезисов докладов в сборниках трудов международных конференций.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы, включающего 148 наименований. Общий объем текста - 144 машинописных страницы с 16 рисунками.
Квантовая гидродинамика. Постановка задачи в слаборелятивистском приближении
Создание полностью релятивистской квантовой гидродинамики встречает определенные трудности, поскольку не существует квантового уравнения, описывающего динамику системы многих релятивистских частиц с полным электромагнитным взаимодействием. Такая система является негамильтоновой. Эволюция одной частицы со спином во внешнем электромагнитном поле эффективно описывается уравнением Дирака.
Квантовое обобщение гамильтониана, соответствующего лагранжиа ну Дарвина, было предложено Брейтом [43]. Поэтому на пути построения релятивистской квантовой гидродинамики системы многих частиц на мик ромасштабах является естественным использовать этот гамильтониан, опи сывающий квантовую систему N частиц с электромагнитным взаимодей ствием с точностью до второго порядка по v/c. Квантовомеханический вы вод гамильтониана Брейта проделан Ландау; вывод гамильтониана Брейта из матричного элемента рассеяния двух электронов представлен в [44]. Га мильтониан Брейта имеет вид где pi = —ifiVi - оператор импульса частицы, OiQ - оператор спина частицы, % - постоянная Планка. Как видно из данного выражения, гамильтониан Брейта содержит, наряду с кулоновским и ток-токовым взаимодействиями, также спин-спиновое (четвертая строка), спин-токовое и спин-орбитальное взаимодействия (третья строка). Присутствует также взаимодействие, пропорциональное (ri -rj), которое можно назвать контактным. Выражение для спин-спинового взаимодействия (последняя строка) взято из работы [2] и является уточненным по отношению к известному выражению [44]. При исследовании конкретных физических процессов, таких как дисперсия волн, взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой, в современной литературе используют уравнения квантовой гидродинамики, полученные из многочастичного уравнения Шредингера, и система этих уравнений затем замыкается для конкретной системы частиц [1]-[3], [45]. Также используются уравнения гидродинамики, полученные из уравнения Шредингера для одной частицы во внешнем поле [46]-[48].
Поскольку мы развиваем метод квантовой гидродинамики, кратко приведем историю его разработки. В 1926 году Маделунг [49], исходя из уравнения Шредингера для одной частицы во внешнем поле, получил систему уравнений гидродинамического вида. Эта система уравнений состоит из уравнения непрерывности и уравнения баланса импульса. Поле скоростей в ней является потенциальным. Таким образом, Маделунг перешел от одной абстрактной комплексной функции к наблюдаемым физическим переменным - плотности и скорости потока. Гидродинамическая формулировка квантовой задачи о движении заряженной частицы со спином во внешнем электромагнитном поле была выполнена Такабаяси в 1955 году [50]. В его работе, наряду с уравнениями непрерывности и баланса импульса, получено уравнение эволюции спина. В уравнении баланса импульса было получено явное выражение для поля силы взаимодействия магнитного момента с внешним полем. Таким образом, гидродинамика может быть выведена напрямую из уравнений механики. Тем не менее, традиционный способ вывода гидродинамических уравнений состоит в получении момен 16
тов кинетического уравнения. До сих пор используется метод кинетического уравнения Вигнера [11], [20], [24], [51]. Однако, оказалось возможным найти прямой вывод квантовой гидродинамики из многочастичного уравнения Шредингера. Это было сделано в 1999-2001 в [1], [2], [52]. Дальнейшее развитие было проведено в [3], [5], [42]. Квантовая гидродинамика имеет различные приложения, но главным образом она используется при исследовании квантовой плазмы. Обзор последних исследований в области квантовой гидродинамики проведен в работах [53] и [54]. В [55] показана эффективность описания линейных свойств квантовой плазмы с помощью уравнений гидродинамики, получаемых из уравнения Шредингера.
При исследовании квантовой плазмы многоэлектронного атома, мно-гонуклонной задачи, процессов переноса, распространения волновых возмущений в таких системах приходится иметь дело с динамикой большого числа взаимодействующих частиц. Уравнение Шредингера для системы N взаимодействующих частиц определено в 3N-мерном конфигурационном пространстве, тогда как распространение возмущений, процессы обмена энергией и импульсом происходят в трехмерном физическом пространстве. Таким образом возникает задача перехода от функций, определенных в конфигурационном пространстве, к эквивалентному квантовому описанию системы N частиц в терминах физических полей в трехмерном пространстве. Метод многочастичной квантовой гидродинамики [1]-[3] решает задачу перехода к динамике в физическом пространстве. Этот переход осуществляется с помощью дельта-функции Дирака, находящейся в определении гидродинамических переменных. Дельта-функции играют роль проекционных операторов из 3N-мерного конфигурационного пространства в трехмерное физическое.
Представление Маделунга для волновой функции и скорость частицы
Нерелятивистский квантовый поток энергии был получен в [1]. Он может быть записан как qanon_rel% = - -{дрп)дУ - -nda{Vv). (2.89) Слаборелятивистская часть квантового потока энергии довольно обширна, так что представим ее как сумму нескольких слагаемых: где слагаемые разделены по общему порядку пространственных производных перед плотностью числа частиц. Эти слагаемые имеют следующие явные формы: содержит концентрацию без производных по ней. Первые шесть членов имеют третий порядок по полю скоростей с двумя пространственными производными. Последний член имеет первый порядок по полю скоростей, четыре пространственные производные по полю скоростей, а также дополнительный квадрат постоянной Планка. пропорционален градиенту концентрации частиц. Он также содержит две группы слагаемых. Первая группа имеет третий порядок по полю скоростей с одной пространственной производной. Вторая группа содержит первый порядок по полю скоростей с тремя пространственными производными и дополнительным квадратом постоянной Планка. состоит из двух групп слагаемых. Первая из них состоит из трех членов. Все из них содержат пространственные производные по концентрации вплоть до второго порядка. Они также содержат вторую производную по полю скоростей. Вторая группа состоит из одного члена. Он имеет похожую, как у первой группы членов, зависимость от порядка производной по концентрации. Он содержит третий порядок по полю скоростей без производных по нему. Также он явно содержит здесь видна первая пространственная производная по полю скоростей вместе с пространственной производной по концентрации. Каждый член может содержать произведение нескольких концентраций, некоторые из которых могут находиться под пространственными производными, и общий порядок этих производных равен трем. 8v,n = ( (A ) 2 - ( n)(5/3n)(A ) 2 гіфі + 2v?(AVn)dad vayfcAAyfti) (2.95) содержит первый порядок по полю скоростей без пространственных производных, действующих на нее. \iy% имеет производные от концентрации частиц вплоть до четвертого порядка. Формулы (2.88)-(2.95) являются шагом для получения замкнутой системы слаборелятивистских уравнений квантовой гидродинамики в пятимоментном приближении.
Рассмотрим второй член в квантовой плотности силы, описывающей ток-токовое взаимодействие Т иг (2.32), поскольку он дает магнитную часть силы Лоренца. Этот член возникает как
В ходе работы были получены микроскопические уравнения классической и квантовой гидродинамики для слаборелятивистской системы частиц (основанной на лагранжиане Дарвина). Уравнения были получены в пятимоментном приближении, включающем уравнение непрерывности, уравнения баланса импульса и энергии. Отмечена роль квантово-релятивистских слагаемых в уравнениях баланса импульса и энергии. В отличие от кулоновской квантовой плазмы, где вклад квантовых эффектов в основном сводится к квантовому потенциалу Бома и обменному взаимодействию, в рассматриваемом случае квантово-релятивистские эффекты приводят к возникновению в уравнениях большого количества слагаемых сложной структуры. В этой работе мы останавливаемся на проблеме получения уравнений и, в качестве иллюстрации влияния квантово-релятивистских эффектов, рассматриваем дисперсию собственных волн в слаборелятивистской квантовой плазме. Из полученного дисперсионного соотношения видно, что квантово-релятивистские эффекты проявляются уже в линейном приближении. Следовательно, мы можем ожидать появления различных нелинейных квантово-релятивистских эффектов в квантовой плазме, для изучения которых могут быть использованы выведенные в данной работе уравнения.
Дисперсия двумерных ленгмюровских волн
В предыдущем разделе была показана схожесть РПКЭ и дарвиновского члена. Одна из целей данной работы - сравнить вклад этих членов в уравнения квантовой гидродинамики и дисперсию ленгмюровских волн. Имеется желание проследить отдельный вклад каждого слагаемого. Для этого вводятся два безразмерных коэффициента в и , равные 1. Эти коэффициенты помечают два разных слагаемых. Мы вставляем в во второй член в формуле (5.16) и в формуле (5.17).
Первое уравнение квантовой гидродинамики - это уравнение непрерывности: 5tn + Vj = 0. (5.18) В этом уравнении появляется функция тока j(r, t) = п(r, )v(r, t), где v(r, t) - это поле скоростей. Второе уравнение в системе квантовой гидродинамики - это уравнение Эйлера, но в слаборелятивистском приближении функция j(r, t) не является плотностью импульса, поэтому уравнение для нее также называется уравнением эволюции тока частиц [31]. Это уравнение имеет вид где E и В являются электрическим и магнитным полями, пе является плотностью тепловой энергии, содержащей квантовую часть (по аналогии с квантовым потенциалом Бома), еа - антисимметрический символ (символ Леви-Чивиты), РаР - тензор давления, который является слаборелятивистским обобщением суммы нерелятивистского теплового давления ра/3 и квантового потенциала Бома Та/3. В правой части уравнения (5.19) находится плотность силы. Плотность силы состоит из силы Лоренца и из определенных квантово-слаборелятивистских членов, которые будут обсуждены ниже. 7га/з(г, г , і) представлено явно и рассмотрено ниже после анализа структуры Ра/3 . Векторный потенциал появляется в виде ldY Gae{Y-Y )n{Y ,t)Ve{Y ,t), (5.20) который дает вклад в силу Лоренца, второй член в правой части уравнения (5.19) вместе с внешним магнитным полем. Магнитное поле В = V х Amt удовлетворяет квазимагнитостатическому уравнению Максвелла: Мы полагаем, что стоит отметить, что мы не пренебрегли производными по времени в уравнениях Максвелла (5.12) и (5.21), поскольку содержащие их слагаемые не появляются в слаборелятивистском приближении, т. к. гамильтониан (5.2) содержит кулоновское взаимодействие и ток-токовое взаимодействие (закон Био-Савара). Таким образом, полученные уравнения Максвелла соответствуют гамильтониану. Мы можем вставить эти хорошо известные производные по времени в уравнения, но этот шаг сломает логику слаборелятивистского приближения. Таким образом, работа будет продолжена с электромагнитными полями в слаборелятивистском приближении, описывающимися уравнениями (5.12), (5.14), (5.21) и (5.22).
Перед обсуждением тензора давления РаР мы обсудим физическое значение каждого члена в плотности силы, представленной в правой части уравнения Эйлера (5.19). Особенно важным является отметить, что некоторые из этих членов представлены в первый раз. Итак, первые два члена являются плотностью силы Лоренца. Самосогласованная часть ку-лоновского взаимодействия дает вклад в первый член, ток-токового - во второй. Только часть от всего вклада ток-токового взаимодействия содержится в силе Лоренца, он также приводит к нескольким другим членам. Это шестой-девятый члены в уравнении Эйлера. На самом деле, седьмой-девятый члены имеются уже в классической слаборелятивистской гидродинамике, но в квантовой теории они имеют более богатую структуру. В первую очередь, они содержат вклад обменного взаимодействия посредством квантовых корреляций, которые не рассматриваются в данной работе, но которые естественным образом возникают в многочастичной квантовой гидродинамике. Мы ими пренебрегаем, рассматривая только приближение самосогласованного поля. Третий член соответствует только дарвиновскому члену. Члены четвертый и пятый представляют вклад РПКЭ. Четвертый член имеет простую структуру, он содержит производную V13 тензора, являющегося произведением концентрации частиц на \7аЕ/3. Пятый член, который содержит несколько членов в квадратных скобках, и первый набор из них есть свертка Е13 с потоком тока частиц j, и, как часть этого потока, здесь имеется тензор давления Ра/3 . Поскольку пятый член в уравнении Эйлера имеет слаборелятивистское происхождение, можно рассматривать только нерелятивистскую часть Ра/3 . Второй набор является произведением электрического поля Еа на плотность энергии. Плотность энергии распадается на две части. Первая из них есть плотность энергии локального упорядоченного движения. Нужно отметить, что ПЄ - это плотность энергии, состоящая из двух частей: тепловой энергии и квантового вклада - аналога квантового потенциала Бома. В одночастичном случае мы теряем вклад теплового движения и квантово-тепловых членов, и получаем квантовые члены, наличествующие и для невзаимодействующих частиц. є не дает вклада в рассмотренную ниже задачу, так что явная форма для нее не приводится.
Седьмой член возникает при одновременном учете кулоновского и ток-токового взаимодействий. Это - аналог четвертого члена, каждый из них появляется в уравнении при коммутации членов в токе j с кулоновской и внешней электростатической частями в гамильтониане. Случай, когда = 0, в = 1/2 и отброшены члены, происходящие от и ток-токового взаимодействия, соответствует независящим от спина результатам, полученным в [33] (работа, с которой ведется полемика). Явная форма тензора Paf] есть
Дисперсионная зависимость ленгмюровских волн
Можно показать, что для достаточно узкой трубки все частицы будут в состояниях с / = 0; этот случай рассматривается далее. Теперь следует получить выражения для импульса и давления Ферми. Число частиц N в системе равно объему системы в импульсном пространстве V = 2p h/R, деленному на объем одного электронного состояния в нанотрубке Vs = 2 хд, где объем квантового состояния относительно движения по оси tp Vip = 27ih/(27iR) = i/R. В пределе полной поляризации спинов, когда каждое состояние занято одним электроном, получаем Множитель h/R в числителе происходит от того факта, что импульс вдоль координаты (f равен pv = lh/R, откуда видно, что ширина одного состояния равна i/R, как изображено на Рис. 7.4. Так получаем, что максимальный импульс занятых состояний рц полностью поляризованных электронов на цилиндрической поверхности равен
Рисунок показывает одновременное изменение поверхности Ферми и положения квантовых состояний с ненулевым квантовым числом l с увеличением радиуса нанотрубки. Импульс Ферми соответствует двойному занятию низколежащих квантовых состояний с рре = 7i2fiRn, который в два раза меньше, чем рц. Соответствующая энергия Ферми имеет традиционное определение EFe=p2FJ(2m). иллюстрирует изменение относительных положений поверхности Ферми и квантовых состояний при увеличении радиуса нанотрубки R при фиксированной концентрации электронов щ или при увеличении концентрации щ при фиксированном радиусе R. Средняя энергия полностью поляризованных электронов получается с помощью формулы Кривизна цилиндрической поверхности радиуса порядка 20 нм дает вклад в давление Ферми и обменное кулоновское взаимодействие, если концентрация электронов имеет порядок около 108 + 1010 см"2. Это соответствует температуре Ферми порядка Тре = = 1 K, в этом выражении была применена редуцированная постоянная Планка ft = 1.05 Ю-27 эрг-с, постоянная Больцмана кв = 1.38 10"16 эрг-K"1 и масса электрона те = 9 10 28 г. Следовательно, наши результаты соответствуют низким температурам.
Средняя энергия позволяет нам найти уравнение состояния. Давление идеального газа, имеющего две степени свободы, находится через уравнение Если рассмотреть плоский 2D газ, можно получить уравнение состояния PFe,pi = тгП2п2/(2т). Для численной демонстрации разницы уравнений состояния в двух случаях (цилиндрическом (7.17) и плоском) приводится Рис. 7.6. Показывается, что при R=20 нм давление вырожденного электронного газа на нанотрубке существенно меньше, чем давление плоского Ферми газа при концентрациях, меньших чем 1010 см-2 (см. нижний график в Рис. 7.6). Верхний график в Рис. 7.6 дает сравнение формулы (7.17) для давления Ферми электронов на нанотрубке радиуса R = 200 нм с давлением Ферми плоского электронного газа. В этом случае ситуация меняется. Давление Ферми газа на нанотрубке становится меньше в сравнении с плоской геометрией.
Мы рассматриваем занятие одного уровня в импульсном пространстве с / = 0. Область параметров, соответствующих этом режиму, представлена на Рис. 7.7.
В этом разделе представлено вычисление плотности силы обменного кулоновского взаимодействия (7.6) электронов, расположенных на цилиндрической поверхности. Вычисление представлены для полностью поляризованного газа: п/ = 1.
Рисунок демонстрирует сравнение уравнений состояния плоского электронного газа с электронным газом на нанотрубке с единственным занятым уровнем I = 0, который представлен формулой (7.17). Непрерывная (красная) кривая соответствует давлению двумерного цилиндрического электронного газа. Пунктирная (синяя) кривая описывает давление Ферми для плоского двумерного газа. На этом рисунке применяется щ = 1010 см-2, Ро = i тао/т, Рpl = Ро(п/п0)2, Pcyl = (2/3)ir3R2P0n3/n%. Верхний и нижний рисунки различаются между собой радиусом нанотрубки.
Рассматривается предел малых волновых векторов кR С 1, следовательно, асимптотические выражения для модифицированных функций Бесселя могут быть использованы для вычисления обменного взаимодействия. Используются соотношения /0(ж) 1, (7.21) и Х0(ж) -1п -7, (7.22) где 7-0, 577215... - постоянная Эйлера-Маскерони (см. [148], стр. 92, формулы 3.102 и 3.103). В результате для плотности силы получаем следующее выражение: FEx = 2ne2RV [(З - 27 - 21п[2тг2Л2п])п2], (7.23) с 1п[2тг2Л2п] 0. Является интересным и важным сравнить результат (7.23) с двумерным аналогом F%х = 192 arcshl е2Уп3/2/(Зтг0г) [107], [113]. Чтобы представить это сравнение, полезно ввести потенциалы этих сил FEx = VUcyi и F%x = VUpi. Зависимости потенциалов от концентрации UCyi(n), Upi(n) представлены на Рис. 7.8.
Рисунок демонстрирует сравнение потенциала обменных сил для плоского электронного газа и электронного газа на нанотрубке с заполнением одного уровня l = 0. Потенциал соответствует плотности силы FEx = U. Верхняя (синяя, пунктирная) кривая описывает обменное взаимодействие в плоском газе, нижняя (красная) кривая описывает цилиндрический случай.