Содержание к диссертации
Введение
1 Кинетика атомарного квантового ансамбля в квазиклассическом приближении 16
1.1 Атомарный ансамбль в квантованном электромагнитном поле . 16
1.2 Уравнение эволюции матрицы плотности атомарного ансамбля . 19
1.3 Кинетическое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для атомарного ансамбля 23
1.3.1 Редукция квантового кинетического уравнения 23
1.3.2 Атомарный ансамбль в световом поле 26
1.3.3 Классические уравнения Эйнштейна - Эренфеста 27
1.3.4 Координатное и импульсное распределение атомов ансамбля 31
1.4 Основные результаты 33
2 Квазиклассические асимптотики одномерного НУШ с внешним полем 35
2.1 Модели атомарного ансамбля и распространения оптических импульсов в световодах 35
2.2 Солитоноподобные квазиклассические решения 38
2.2.1 Класс солитоноподобных функций 38
2.2.2 Построение асимптотического решения 39
2.3 Численное моделирование 42
2.3.1 Разностная схема 42
2.3.2 Численное и асимптотическое решения НУШ в полях специального вида 45
2.4 Основные результаты 48
Квазиклассическое приближение многомерного НУШ в локальной области 50
3.1 Свойства решений многомерного НУШ с фокусирующей нелинейностью 50
3.2 Класс функций, локализованных в окрестности параболической поверхности 51
3.3 Линейное ассоциированное уравнение Шредингера 56
3.4 Квазиклассические решения ассоциированного уравнения . 60
3.4.1 Система в вариациях 63
3.5 Квазиклассические решения НУШ 68
3.5.1 Операторы симметрии 68
3.5.2 Главный член квазиклассической асимптотики 70
3.5.3 Оператор эволюции 72
3.6 Квазиклассическое приближение для НУШ с полем осциллятора 75
3.7 Основные результаты 81
Квазиклассические решения НУШ с внешним полем в полярных координатах 83
4.1 Класс функций, квазиклассически сосредоточенных в окрестности замкнутой плоской кривой 83
4.2 Главный член асимптотического решения НУШ в полярной системе координат 87
4.3 Изотропный гармонический осциллятор 91
4.4 Основные результаты 93
Заключение 95
Литература 97
- Редукция квантового кинетического уравнения
- Модели атомарного ансамбля и распространения оптических импульсов в световодах
- Квазиклассические решения ассоциированного уравнения
- Главный член асимптотического решения НУШ в полярной системе координат
Введение к работе
Работа посвящена исследованию самосогласованных нелинейных моделей когерентных атомарных ансамблей, взаимодействующих с квантованным электромагнитным полем в присутствии внешних полей методами квазиклассических асимптотик. Рассматриваемые системы в приближении самосогласованного поля [1-3] моделируются нелинейными уравнениями (Фоккера-Планка-Колмогорова, Гросса-Питаевского, Шредингера и д.р.) с переменными коэффициентами, описывающими воздействие внешних полей на систему. Анализ уравнений и их решений проведен методами квазиклассических асимптотик [3-24] в комбинации с компьютерным моделированием [25-31].
Актуальность темы работы обусловлена тем, что когерентные квантовые ансамбли активно изучаются и служат основой для теоретического описания явлений в современной атомной физике, квантовой и нелинейной оптике.
С конца прошлого века в атомной физике интенсивно развиваются новые направления, изучающие воздействие лазерных источников света на поступательные и внутренние степени свободы атомов, которые привели к ряду важных открытий. В 1997 г. С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс были удостоены Нобелевской премии за достижения в области лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов [32]. Технология лазерного охлаждения позволила достигнуть сверхнизких температур (вплоть до 10~9 К) для атомных ансамблей, на основе чего были экспериментально получены разреженные когерентные атомарные ансамбли газов щелочных металлов, взаимодействующие с лазерными полями. Это, в свою очередь, стимулировало развитие атомной оптики [33-36] и атомной интерферометрии [37-39] (управление когерентными волнами материи). В 2001 г. работы В. Кеттерле, Э. Корнелла и К. Вимана были отмечены Нобелевской премией за получение бозе - эйнштейновского конденсата в разреженных атомарных ансамблях щелочных металлов (см. [40]).
Когерентные атомарные ансамбли охлажденных ионов рассматриваются как системы, перспективные для создания квантовых гейтов - элементной базы квантовых компьютеров [41-44]. Это является дополнительным аргументом в
пользу актуальности теоретического изучения моделей таких систем.
В технологии лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов [45-47] существенную роль играют конфигурации лазерных полей, имеющих пространственные градиенты полевых параметров, в том числе поляризационные градиенты. Такие конфигурации используются в дипольных и магнитооптической ловушках [48,49], а также при формировании атомарных оптических решеток [50]. Современные эксперименты по лазерному охлаждению и захвату нейтральных атомов и воздействию лазерного поля на атомарные ансамбли описываются упрощенными аналитическими моделями, учитывающими малые значения угловых моментов j энергетических состояний атомов и простейших (одномерных) конфигураций поля [51-53]. Модели таких систем являются нелинейными, что существенно затрудняет их исследование численными методами. Развитие аналитических методов исследования кинетики атомарных ансамблей в резонансных световых полях с произвольной пространственной конфигурацией является актуальным направлением в современной атомной физике, важным для проблем, связанных с интерпретацией получаемых экспериментальных данных и для планирования будущих экспериментов. Наиболее оптимальным подходом к теоретическому анализу этих нелинейных систем оказываются квазиклассические методы, в которых, в отличии от теорий возмущений, не требуется предположение о малости внешних полей [3-24]. Рассматриваемые модели описывают более широкий круг явлений и, в частности, распространение когерентных оптических импульсов в нелинейных средах [54-59], среди которых особый интерес представляют оптические солитоны.
В моделях когерентных квантовых ансамблей обычно предполагается, что каждая частица ансамбля взаимодействует с определенным образом усредненным полем всех других частиц. Это предположение представляет собой приближение самосогласованного поля (СП) [1-3].
В работе основное внимание уделяется моделям СП, основанным на уравнениях Фоккера - Планка, Гросса - Питаевского, Шредингера, изучение которых представляет самостоятельный интерес в математической физике.
Бозе - эйнштейновские конденсаты, получаемые в экспериментах [60-65], со-
средоточены в локальной области пространства. Теоретически такие системы описываются локализованными решениями уравнений соответствующих моделей. В диссертации рассматриваются модели, построенные на основе уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) и Гросса- Питаевского (УГП). Последнее имеет вид кубично-нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с потенциалом внешнего поля. В дальнейшем мы будем использовать как термин УГП, так и термин НУШ в зависимости от рассматриваемой модели. Локализованные решения указанных уравнений построены в работе квазиклассическими методами.
В линейных задачах квантовой теории эффективен метод ВКБ-Маслова [3-24], с помощью которого удалось решить ряд важных проблем в классической статистической механике, квантовой механике многих частиц, квантовой статистике и квантовой теории поля (см. например, [22,23] и цитируемую там литературу). Спецификой данного метода является формулировка классического аналога рассматриваемой квантовой системы. В рамках этой формулировки должны быть получены соответствующие классические уравнения движения. В рассматриваемых в работе случаях эти уравнения описывают эволюцию центра волнового пакета и моменты высшего порядка для решения нелинейного уравнения. Квазиклассическое асимптотическое решение исходного уравнения модели строится с помощью решения классической задачи.
Применение метода квазиклассических асимптотик к самосогласованному описанию взаимодействия электромагнитного поля со средой при одновременном учете эффектов отдачи от рассеяния атомами фотонов и процессов оптической ориентации позволяет описывать состояния атомов в полях произвольной конфигурации. В полях с большими градиентами может возникать сильная зависимость поступательного движения и передачи импульса, момента импульса от поля атома, а также процессы оптической ориентации основного и возбужденных состояний атома осложняется наличием ряда случайных факторов. Такая корреляция приводит к возникновению разнообразных кинетических и поляризационных эффектов в атомарных ансамблях [60-62]. Учет вкладов поляризации светового поля в кинетику атомарных ансамблей предпо-
лагает использование моделей атомов, учитывающих вырожденность состояний по проекциям углового момента [51,66,67]. В работе используется стандартная двухуровневая модель резонансного взаимодействия атомов с полем с вырожденными по проекциям углового момента энергетическими состояниями [68,69].
Описание квантовых ансамблей на основе многомерного кубично-нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем (уравнения Гросса-Питаевского) ставит проблему построения решений данного уравнения. Набор методов интегрирования таких уравнений ограничен. Наиболее значимым достижением в этой области является метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [70-73]. В рамках этого метода для (1+1) - мерного нелинейного уравнения Шредингера с постоянными коэффициентами получены солитонные решения. Многомерные обобщения МОЗР и многомерные солитоны изучались многими авторами (см., например, [74-76]). Теория систем близких к интегрируемым [77,78], существенно опирающаяся на метод обратной задачи, позволяет учесть влияние малых возмущений на динамику параметров солитонов. Данная теория ограничена, с одной стороны, предположением о малости дополнительных членов в НУШ (включая внешние поля), а, с другой стороны, применимостью данной теории к (1+1) - мерному уравнению. В многомерном случае набор методов интегрирования нелинейных уравнений с переменными коэффициентами крайне ограничен, поэтому квазиклассическое приближение представляется наиболее естественным подходом к данной проблеме.
НУШ возникает во многих задачах нелинейной физики например, в нелинейной оптике [54-56,59,71,79-82], в теории конденсатов Бозе-Эйнштейна [83-89], в теории нелинейных возбуждений в квазипериодических структурах [90] и д.р. В данной работе рассмотрено распространение оптических солитоноподобных импульсов в различных внешних полях специального вида квазиклассическим методом [91-99] и численным моделированием [91-93,99]. Исследовано поведение локализованных импульсов в многомерном случае с целью получения условий, при которых возможно существование устойчивых локализованных решений [97,98].
Согласно поставленной цели, в работе решались следующие задачи теории
лазерного охлаждения атомарных ансамблей, нелинейной оптики и нелинейной математической физики:
Применение метода квазиклассических асимптотик к проблеме интегрирования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего состояние атомарного ансамбля в приближении самосогласованного поля для полей произвольной конфигурации. Компьютерное моделирование кинетики атомарного ансамбля с использованием квазиклассических методов.
Развитие метода квазиклассических асимптотик для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем с целью построения многомерных солитоноподобных приближенных решений.
Изучение распространения локализованных оптических солитоноподобных импульсов в кубично-нелинейной оптической среде в присутствии внешних полей на основе развитого метода квазиклассических асимптотик для НУШ с внешним полем.
Построение главного члена солитонноподобных квазиклассических асимптотических решений для НУШ во внешних полях специального вида.
Построение оператора эволюции и изучение свойств симметрии многомерного НУШ с внешним полем на классах функций специального вида.
При решении поставленных задач нами впервые получены следующие основные результаты:
Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру h —) О, для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамбля в полевых конфигурациях произвольной размерности.
Развит метод построения квазиклассических солитоноподобных асимптотических решений для многомерного нелинейного уравнения Шредингера с внешним полем в декартовой системе координат на основе теории комплексного ростка Маслова.
Получено явное аналитическое выражение для главного члена асимптотического по малому параметру h -> 0, решения одномерного НУШ с внешним полем. В отсутствии внешнего поля асимптотическое решение переходит в точное односолитонное решение. Детально проанализировано поведение полученного решения для различных внешних полей специального вида.
В рамках развитого метода предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введении специального класса функций и приводящий к соответствующему линейному уравнению Шре-дингера (линейному ассоциированному уравнению Шредингера). На этом классе функций построены квазиклассические асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера.
Получен главный член асимптотического по малому параметру Н —> О, решения многомерного НУШ с внешним полем. Решение справедливо в локальной области фазового пространства.
В полярной системе координат построен главный член асимптотического решения НУШ с внешним полем и показано, что в рамках соответствующих ограничений в полях специального вида может существовать не коллапси-рующее локализованное решение (1+2) - мерного НУШ.
Для изотропного осциллятора построен главный член квазиклассического асимптотического локализованного решения в (1+2) - мерном случае.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.
Диссертация объемом 112 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 161 наименования и включает в себя 10 рисунков и графиков.
В первой главе представлена (как это принято в данной области [100-107]) исходная система уравнений на атомарный оператор плотности и полевые операторы. Кратко описан алгоритм сведения этой системы уравнений к исходному уравнению эволюции на атомарную матрицу плотности. Показана структура
редукции самосогласованных уравнений для атомарного ансамбля, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем, к кинетическому уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова с релаксационными членами для функции распределения атомов ансамбля в фазовом пространстве. Переход к уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова осуществляется для разреженного атомарного ансамбля в приближении дипольного резонансного взаимодействия. В квазиклассическом приближении построены аналитические решения кинетического уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в комбинации с компьютерным моделированием. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова описывает кинетический этап эволюции атомарного ансамбля (1.16) для функции распределения атомов в фазовом пространстве. Коэффициентами этого уравнения являются светоиндуцированная сила F, обусловленная эффектами отдачи при поглощении и спонтанном и вынужденном испускании атомом фотонов, и тензор диффузии D в пространстве импульсов, обусловленный случайным характером процессов испускания-поглощения. Структура этих коэффициентов получена в работах [108-110] и несет информацию о процессах, протекающих в рассматриваемом ансамбле. В рамках метода квазиклассических асимптотик рассмотрены кинетические явления в атомарных ансамблях под действием электромагнитных полей. Изучена кинетика атомарных пучков в световых полях, что является актуальной проблемой современной атомной физики, так как за последние два десятилетия были достигнуты субдоплеровские температуры в экспериментах по лазерному охлаждению атомов [111-113]. Основы теории субдоплеровского охлаждения были заложены работой Далибарда и Коэн-Таннуджи [51]. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, в данном случае, получается при использовании квазиклассического приближения для движения центра масс атомов, если импульс фотона мал по отношению к дисперсии атомного импульса [114,115]. В случае медленных атомов, когда за характерные времена релаксации по внутренним степеням свободы атом смещается на расстояние много меньше длины волны света, коэффициенты уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова можно разложить в ряд по степеням скорости атома и далее ограничиться лишь низшими порядками (нулевым и первым для силы и нулевым для диффузии) [110].
Кинетика атомарных пучков изучена в полях с градиентами поляризации в конкретных полевых конфигурациях методом квазиклассических асимптотик в комбинации с численным моделированием динамики атомов, описываемых уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Последнее эквивалентно уравнению Ланжевена [66, НО, 116]. В работах [116, 117] и в нашей работе [118] предложен новый метод построения нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в виде асимптотического ряда в классе траекторно-сосредоточенных функций, впервые представленный в этих работах и пригодный к анализу временной кинетики на временах эволюции порядка t ~ о — top/v, где top - характерное время оптической накачки, /і<1- малый квазиклассический параметр.
Во второй главе исследуется модель квантового разреженного атомарного ансамбля, анализ которой требует построения решений решения уравнения Гросса-Питаевского. Аналогично, модель распространения нелинейных световых импульсов в оптических световодах использует решение НУШ. Для одномерного НУШ с внешним полем введен класс функций, вид которого согласуется с тосным односолитонным решением НУШ, полученным методом обратной задачи рассеяния [70-73]. Солитоны в строгом смысле определяются как класс безотражательных решений уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Основным свойством солитонов является сохранение формы при распространении и столкновениях, что подобно упругому столкновению частиц. В более широком смысле солитонами (уединенными волнами) называют локализованные решения нелинейных волновых уравнений, которые, как правило, не интегрируются МОЗР. Солитоны упруго взаимодействуют друг с другом и сохраняют свою форму после столкновений. При определенных пороговых условиях локализованное по пространственной переменной начальная функция несолитонной формы в процессе эволюции в соответствии с уравнением НУШ трансформируется в солитон. Такое явление называют спонтанным солитонообразованием [70-72]. Это косвенно указывает на устойчивость соли-тошюго режима распространения импульса. Нами проведено численное моделирование распространения солитоноподобного возмущения для НУШ с внешни-
ми полями специального вида. Рассмотрено возможное применение полученных квазиклассических решений НУШ с полями специального вида в нелинейной оптике. Временную переменную в этом случае заменяют на аксиальную координату вдоль пучка.
Аналогичные исследования можно проводить, например, при помощи теории систем близких к интегрируемым [77,78] в предположении о малости внешних полей. Заметим, что рассматриваемые нами асимптотические методы не требуют подобного ограничения.
Третья глава посвящена построению решений многомерного НУШ с внешним полем на основе метода ВКБ - Маслова [3-24,119-124]. Построены квазиклассические решения, асимптотические по малому параметру /Ї4 0 для (1 + п) - мерного НУШ в классе функций, локализованных в окрестности незамкнутой параболической поверхности, ассоциированной с фазовой кривой, описывающей эволюцию вершины поверхности. Решения справедливы в окрестности вершины этой параболической поверхности. В направлении нормали к поверхности функции имеют вид односолитонного решения одномерного НУШ. Такой подход, в отличии от подхода изложенного во второй главе, позволяет более четко определить рамки применимости построенных решений. В данном классе функций для НУШ с точностью до О (Я3/2) получено линейное ассоциированное уравнение Шредингера. Построен оператор эволюции для линейного ассоциированного уравнения Шредингера. Показано, что при действии данного оператора на функцию из описываемого класса, можно построить квазиклассическое решение исходного нелинейного уравнения. Оператор эволюции для линейного ассициировнного уравнения Шредингера индуцирует соответствующий квазиклассический оператор эволюции для НУШ в рассматриваемом классе функций.
В явном виде для поля 3 - мерного осциллятора построен главный член асимптотического решения НУШ. Детально исследовано поведение данного асимптотического решения в (1+1) - мерном и (1+2) - мерном случаях для частных случаев внешнего поля.
В четвертой главе на основе теории, изложенной в третьей главе, построено
квазиклассическое решение (1+2)-мерного НУШ с внешним полем в полярной системе координат. Согласно той же процедуре построены квазиклассические решения, асимптотические по малому параметру h —» 0, при отсутствии поля переходящие в односолитонное решение НУШ. В данном случае решения найдены в классе функций, локализованных в окрестности замкнутой кривой. Эти решения справедливы на всей плоскости за исключением начала координат. В направлении нормали к кривой функции имеют вид односолитонного решения одномерного НУШ. Показано, что для данного случая существует ассоциированное линейное уравнение, которое с точностью до обозначений совпадает с аналогичным уравнением полученным в третьей главе.
В полярной системе координат построено асимптотическое решение НУШ для внешнего поля изотропного гармонического осциллятора. В явном виде выписан главный член асимптотического разложения и проиллюстрировано поведение его модуля. Записаны условия, при которых на основе выражений, полученных в декартовой системе координат (см. глава 3), представляющих собой асимптотическое решение в локальной области фазового пространства, по средствам wavelet - преобразования [125,126] строится выражение являющееся асимптотическим решением во всей области фазового пространства. Построенная таким образом функция с точностью 0(h) совпадает с функцией с асимптотическим решением в полярной системе координат.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Теоретические исследования, результаты которых изложены в данной диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре теоретической физики (2000 - 2006).
Апробация работы
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах Томского государственного университета, Томского политехнического университета, докладывались на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 2000; 11 Международной конференции "Theoretical and experimental problems of relativity and gravitation "and
International Workshop "Gravity, strings and quantum field theory", ТГПУ Томск, 2002; Международном оптическом конгрессе "Оптика XXI век. Фундаментальные проблемы оптики-2002", Санкт-Петербург, 2002 СПб: СПбГИТМО (ТУ); 10 Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2003; 3 Международной конференции молодых ученых и специалистов <Оптика - 2003>, Санкт - Петербург, 2003; "XVI Международной летней школе-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Петровские чтения", Казань, 2004; Международном семинаре "Days on Difraction-2004", St.Petersburg, Russia; Days of diffraction'2005. International seminar. Saint Petersburg, 2005; 12 Международном конгрессе "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2005; Международной конференции SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications), Киев, 2005.
Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [91-98,118] и 7 тезисах докладов конференций [99,127-132].
Автор глубоко благодарен своим учителям: научному руководителю, профессору Шаповалову А.В., научному консультанту, профессору Трифонову А.Ю., профессору Безвербному А.Ю., профессору Кистепепву Ю.В. за постоянное внимание к работе, неизменную поддержку, заинтересованное обсуждение и доброжелательную критику получаемых результатов. Автор благодарен профессору Багрову В.Г. за моральную поддержку и внимание к диссертационной работе. Автор благодарен сотрудникам кафедры теоретической физики и кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета за доброжелательное отношение и постоянную дружескую поддержку.
Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично как в постановке задач, так и в проведении непосредственных аналитических и численных расчетов. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные положения, которые выносятся на защиту:
1. Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру \i -> 0 для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамб-
ля в полевых конфигурациях произвольной размерности. На основе развитого метода и численного моделирования показано, что существует два режима образования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамблей медленных атомов в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях.
Предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введенном автором классе функций. На этом классе функций в декартовой системе координат методом комплексного ростка Маслова найдены асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. Получен в явном виде главный член квазиклассического со-литоноподобного асимптотического по малому параметру Н -> О решения многомерного НУШ с внешним полем. Решение описывает эволюцию системы в окрестности соответствующей фазовой траектории. На введенном классе функций построен оператор эволюции НУШ с помощью операторов симметрии.
Методом квазиклассических асимптотик и численным моделированием проведен анализ процесса распространения оптических солитонов в кубично-нелинейной неоднородной среде, описываемой одномерным НУШ с переменными коэффициентами. Показана устойчивость солитонного режима распространения в средах с различной плотностью. Описано изменение параметров импульса в процессе распространения.
Проведена модификация развитого в работе метода квазиклассических асимптотик для НУШ в полярной системе координат. С помощью модифицированного метода построено асимптотическое решение квазиклассически сосредоточенное в окрестности замкнутой плоской кривой. Получено явное выражение для главного члена асимптотики НУШ с внешним полем изотропного гармонического осциллятора. Указаны параметры начальных условий и поля осциллятора, при которых квазиклассическое решение периодично по времени и не имеет особенностей.
Редукция квантового кинетического уравнения
В явном виде для поля 3 - мерного осциллятора построен главный член асимптотического решения НУШ. Детально исследовано поведение данного асимптотического решения в (1+1) - мерном и (1+2) - мерном случаях для частных случаев внешнего поля.
В четвертой главе на основе теории, изложенной в третьей главе, построено квазиклассическое решение (1+2)-мерного НУШ с внешним полем в полярной системе координат. Согласно той же процедуре построены квазиклассические решения, асимптотические по малому параметру h — 0, при отсутствии поля переходящие в односолитонное решение НУШ. В данном случае решения найдены в классе функций, локализованных в окрестности замкнутой кривой. Эти решения справедливы на всей плоскости за исключением начала координат. В направлении нормали к кривой функции имеют вид односолитонного решения одномерного НУШ. Показано, что для данного случая существует ассоциированное линейное уравнение, которое с точностью до обозначений совпадает с аналогичным уравнением полученным в третьей главе.
В полярной системе координат построено асимптотическое решение НУШ для внешнего поля изотропного гармонического осциллятора. В явном виде выписан главный член асимптотического разложения и проиллюстрировано поведение его модуля. Записаны условия, при которых на основе выражений, полученных в декартовой системе координат (см. глава 3), представляющих собой асимптотическое решение в локальной области фазового пространства, по средствам wavelet - преобразования [125,126] строится выражение являющееся асимптотическим решением во всей области фазового пространства. Построенная таким образом функция с точностью 0(h) совпадает с функцией с асимптотическим решением в полярной системе координат.
Теоретические исследования, результаты которых изложены в данной диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре теоретической физики (2000 - 2006).
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах Томского государственного университета, Томского политехнического университета, докладывались на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 2000; 11 Международной конференции "Theoretical and experimental problems of relativity and gravitation "and International Workshop "Gravity, strings and quantum field theory", ТГПУ Томск, 2002; Международном оптическом конгрессе "Оптика XXI век. Фундаментальные проблемы оптики-2002", Санкт-Петербург, 2002 СПб: СПбГИТМО (ТУ); 10 Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2003; 3 Международной конференции молодых ученых и специалистов Оптика - 2003 , Санкт - Петербург, 2003; "XVI Международной летней школе-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Петровские чтения", Казань, 2004; Международном семинаре "Days on Difraction-2004", St.Petersburg, Russia; Days of diffraction 2005. International seminar. Saint Petersburg, 2005; 12 Международном конгрессе "Математика. Компьютер. Образование", Пущино, 2005; Международной конференции SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications), Киев, 2005.
Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [91-98,118] и 7 тезисах докладов конференций [99,127-132].
Автор глубоко благодарен своим учителям: научному руководителю, профессору Шаповалову А.В., научному консультанту, профессору Трифонову А.Ю., профессору Безвербному А.Ю., профессору Кистепепву Ю.В. за постоянное внимание к работе, неизменную поддержку, заинтересованное обсуждение и доброжелательную критику получаемых результатов. Автор благодарен профессору Багрову В.Г. за моральную поддержку и внимание к диссертационной работе. Автор благодарен сотрудникам кафедры теоретической физики и кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета за доброжелательное отношение и постоянную дружескую поддержку.
Все результаты, представленные в диссертации, получены автором лично как в постановке задач, так и в проведении непосредственных аналитических и численных расчетов. На основании проведенных исследований можно сформулировать основные положения, которые выносятся на защиту:
Предложен аналитический метод построения квазиклассических решений асимптотических по малому параметру \i - 0 для нестационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего кинетику ансамб ля в полевых конфигурациях произвольной размерности. На основе развитого метода и численного моделирования показано, что существует два режима образования пространственно неоднородных структур в фазовом пространстве ансамблей медленных атомов в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях.
Предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введенном автором классе функций. На этом классе функций в декартовой системе координат методом комплексного ростка Маслова найдены асимптотические решения ассоциированного линейного уравнения Шредингера. Получен в явном виде главный член квазиклассического со-литоноподобного асимптотического по малому параметру Н - О решения многомерного НУШ с внешним полем. Решение описывает эволюцию системы в окрестности соответствующей фазовой траектории. На введенном классе функций построен оператор эволюции НУШ с помощью операторов симметрии.
Методом квазиклассических асимптотик и численным моделированием проведен анализ процесса распространения оптических солитонов в кубично-нелинейной неоднородной среде, описываемой одномерным НУШ с переменными коэффициентами. Показана устойчивость солитонного режима распространения в средах с различной плотностью. Описано изменение параметров импульса в процессе распространения.
Проведена модификация развитого в работе метода квазиклассических асимптотик для НУШ в полярной системе координат. С помощью модифицированного метода построено асимптотическое решение квазиклассически сосредоточенное в окрестности замкнутой плоской кривой. Получено явное выражение для главного члена асимптотики НУШ с внешним полем изотропного гармонического осциллятора. Указаны параметры начальных условий и поля осциллятора, при которых квазиклассическое решение периодично по времени и не имеет особенностей.
Модели атомарного ансамбля и распространения оптических импульсов в световодах
В данной главе рассмотрена модель квантового атомарного ансамбля, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем в приближении самосогласованного поля. Модель сводится к рассмотрению кинетики атомарных пучков в электромагнитных полях на основе уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, кинетические коэффициенты которого рассчитываются в рамках методов, рассмотренных в работах [108-110]. Содержательная часть исследования состоит в получении решений этого уравнения и анализе кинетических процессов, описываемых этими решениями.
В полевых конфигурациях произвольной размерности предъявлен аналитический метод решения временного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Для этой задачи он впервые предложен нами. Данный метод является квазиклассическим и основан на разложении в ряд по малому параметру однофотонная энергия отдачи) функции распределения атомарного ансамбля в классе траекторпо-сосредоточенных функций. Метод применен в случае медленных атомов при рассмотрении динамики атомарных ансамблей в произвольных 2-мерных и 3-мерных полевых конфигурациях на малых временах взаимодействия атомов с полем для атомарных ансамблей, задаваемых на начальный момент эволюции малыми объемами в фазовом пространстве. Анализ показал, что метод оказывается пригодным на временах взаимодействия атомов с полем t-mt top/fi, где t-mt - среднее время взаимодействия, a top - характерное время оптической накачки [110,118]. Отметим, что существует и другой метод анализа кинетики ансамбля для рассматриваемого случая, который основан на компьютерном моделировании уравнений Ланжевена. Как показано в работах [66,147] такой подход приводит к тем же результатам, что и уравнение ФПК. Рассмотрение уравнения Ланжевена выходит за рамки данной работы.
В этой главе приведена модель атомарного ансамбля Бозе-частиц, который описывается системой уравнений (1.5) - (1.6) при слабом парном отталкивании и короткодействующем потенциале для разреженного атомарного ансамбля. Основным уравнением данной модели является уравнение Гросса-Питаевского, которое, как было отмечено ранее, имеет вид кубично-нелинейного уравнения Шредингера с потенциалом внешнего воля. В одномерном случае НУШ используется также в теории распространения нелинейных световых импульсов в оптических волокнах. Решение уравнения строится в квазиклассическом приближении [3-24]. Построен главный член квазиклассической асимптотики солитон-ного типа. В частном случае асимптотическое решение совпадает с точным од-носолитонным решением НУШ, полученным методом обратной задачи [70-73].
Рассмотрим систему уравнений (1.5) - (1.6), которая используется для построения моделей Бозе-газа [103-107]. При слабом парном притягивающем взаимодействии гамильтониан такой системы согласно [102-107] в представлении вторичного квантования запишется как (2.1) где ф - оператор уничтожения в теории вторичного квантования, которому в квантовой механике соответствует волновая функция, U - оператор межчастич-ного взаимодействия, а V - оператор внешнего поля. Здесь далее будем использовать обозначения dt = d/dt, d$ = V - частная производная по времени и оператор градиента, соответственно. Здесь, как и ранее, рассмотрим разреженный атомарный ансамбль и будем считать, что радиус действия потенциала много меньше расстояния между частицами. В этом случае выражение (2.1) примет вид
Система (1.5) - (1.6) с гамильтонианом (2.2) в рамках метода вторичного квантования согласно работам [102-107], при условии применимости борцовского приближения (что, в свою очередь, означает справедливость замены оператора ф на волновую функцию ф), приводится к уравнению Гросса-Питаевского для волновой функции конденсата ф(х, t) следующего вида:
Данное уравнение было независимо получено Гроссом [104,105] и Питаев-ским [106] и получило название "уравнение Гросса-Питаевского". Это уравнение и его приложения являются основным объектом дальнейшего исследования в этой работе.
Уравнение (2.3) применяется также в нелинейной оптике при описании распространения световых импульсов в оптических волокнах. Модели распространения обычно формулируются при следующих предположениях [57]: 1. напряженность электрического поля световой волны Е записывается в виде где х(хіУ) описывает пространственное распределение поля в линейном приближении, а медленно меняющаяся амплитуда временной огибающей Ф(, t) подвержена влиянию нелинейности;
Квазиклассические решения ассоциированного уравнения
Эту задачу можно рассматривать как переход солитопоподобной уединенной волны через границу раздела двух различных нелинейных сред (с различными показателями преломления в нелинейной оптике). На рис. 2.4а и рис. 2.46 приведены результаты асимптотического и численного решений распространения уединенной волны в полубесконечной среде. Норма разности этих решений в таком случае не превышает 0,04. Если амплитуда начального импульса значительно меньше амплитуды внешнего поля при переходе из одной среды в другую, то возникает эффект отражения, хорошо известный в геометрической оптике, который учитывается численным решением уравнения (2.7). В этом случае можно показать, что асимптотическое решение плохо описывает такой процесс. Это является естественным, так как асимптотическое решение необходимо «сшивать» из решений, построенных в соответствующих областях, что для нелинейных уравнений является сложной самостоятельной математической проблемой.
В этой главе методом квазиклассических асимптотик построен главный член асимптотического решения (1+1) - мерного НУШ с внешним полем. Явным сеточным методом построено численное решение солитоноподобного импульса в кубично-нелинейной неоднородной среде с полями специального вида. При этом показана устойчивость солитонного режима распространения в средах с различной плотностью. Описано изменение параметров импульса в процессе распространения и существование области значений параметров, при которых асимптотическое решение согласуется с результатом компьютерного моделирования. Локализованное в начальный момент времени решение сохраняет свойство локализации во внешнем поле, что указывает на устойчивость процесса распространения уединенной волны. Этот вывод важен как в задачах распространения оптических солитонов, так и в теории Бозе - Эйнштейновского конденсата. На рис. 2.46 можно видеть эффект неупругого отражения солитона от потенциальной ямы большой глубины, при котором сохраняется локализация прошедшего солитона, несмотря на потерю отраженной части. Этот результат представляет интерес с точки зрения существования пороговых условий существования солитоноподобного решения НУШ с внешним полем.
Локализованные решения НУШ с фокусирующей нелинейностью в (1 + п) - мерном пространстве - времени при п 1 согласно [72,82,87-89] неустойчивы. Устойчивые солитопоподобпые решения могут, в принципе, возникать в присутствии компенсирующих факторов в виде высших нелинейностей или (и) внешних полей. В [151] численными методами исследовались условия возникновения солитоноподобных возмущений в присутствии высших нелинейностей. Распространение связанных солитоноподобных кластеров в кубично - нелинейной слабо дефокусирующей среде рассматривалось в [152] для двух связанных НУШ в (1 + 2) - мерном случае.
Решения НУШ, не обладающие свойством полной локализации, также представляют интерес. В частности, нелинейные волны на глубокой воде описываются двумерными плосковолновыми солитонными решениями НУШ (см. [153] и цитированную там литературу), локализованными лишь в направлении распространения волны. В отличие от (1 +1) — мерного случая, для в (14-п) - мерного НУШ, п 1, методы точного интегрирования неизвестны. Поэтому в многочисленных работах, посвященных многомерному НУШ с внешним полем (переменными коэффициентами), используются как правило, различные упрощающие модельные представления, или методы компьютерного моделирования.
В этих условиях аналитические решения многомерного НУШ могут быть по-строены на основе приближенных методов. В работах [119-121] развит метод построения квазиклассических асимптотик для многомерного НУШ с внешним полем и нелокальной нелинейностью (это уравнения названо в [119-121] уравнением типа Хартри). Метод основывается на теории комплексного ростка [7,8,20,21] и позволяет строить локализованные решения задачи Коши в классе односолитонных траєкторно - сосредоточенных функций.
В данной главе используется идеология теории комплексного ростка и результаты работ [119-121] для построения аналитических асимптотических по малому параметру h, Н - 0, решений многомерного НУШ с внешним полем и локальной кубичной нелинейностью. Асимптотические решения найдены в классе функций, локализованных в окрестности незамкнутой поверхности параболического типа, ассоциированной с фазовой кривой, описывающей эволюцию вершины поверхности. В направлении нормали к поверхности функции класса имеют вид односолитонных функций одномерного НУШ. Проведена квазиклассическая линеаризация НУШ с точностью до 0(/г3/2), h - 0 и получено ассоциированное линейное уравнение Шредипгера. Решения последнего в классе ненормированных в 1 2 функций позволяет построить главный член асимптотики НУШ. Для ассоциированного линейного уравнения Шредипгера в данном классе функций найден нелинейный оператор эволюции НУШ.
Главный член асимптотического решения НУШ в полярной системе координат
На Рис. 3.2а, показана функция Ф+ (3.127) для (1 + 1)-мерного случая в потенциаль- п ной яме осциллятора (кх2/2, 0) согласно (3.117), Н = б 1. Заметим, что асимптоти- : ческое решение, ограниченное в начальный момент, в пределах временного интервала (0, тг/2) (в процессе эволюции) коллапсирует. Явление коллапса было изучено в [82,87-89,151] в том числе численным моделированием. Также в работах [160,161] получены точные периодические коллапсирующие решения НУШ с притягиваюшей нелинейностью в поле осциллятора. Числовые результаты качественно согласуются с решениями, полученным аналитическим асимптотическим методом. Асимптотическое решение (3.123) описывает систему на некотором промежутке времени Т в пределах конечного временного интервала [0,Т], при этом Т,тг/2.
Функция (3.127) является периодической с периодом 27Г. График данной функции за полный период 0 t 27Г показан на Рис. 3.2 Ь. В течение эволюции, помимо деформации и колебаний, происходят колебания проекции максимума функции на плоскость х = 0. Для внешнего поля формы (кх2/2, 0) в уравнении (3.117), состояние системы в (1 + 1) -мерном случае описывается функцией Фц . Выберем начальное условие для данной функции Фд таким же, как и для Щ. Тогда динамика системы характеризующая дефокусировку соответствует экспоненциальному затуханию (см. Рис. 3.3). Рассмотрим (1 + 2)-мерный случай. Выберем Р(0) = 0, х(0) = 0, щ = 1, сгі(0) = 0, тогда главный член асимптотического решения примет вид Функции (3.129) и (3.130) совпадают при t = 0. Начальный график функций (3.129) и (3.130) представлен на рис. 3.4 а. Рисунки 3.4Ь,3.4с иллюстрируют графики функции (3.129) для t = 1.2 и функции (3.130) для t = 2, соответственно. Решение, которое рассматривается ограничено в окрестности параболы с вершиной в точке Р (t) = 0, X (і) — 0 фазового пространства. В ходе эволюции Ф(", ветви параболы расходятся, и при t = 7г/2 парабола преобразовывается в прямую линию. Функции Ф свойственно обратное поведение параболы, а именно ветви параболы сходятся за бесконечное время. Амплитуда ІФ І ведет себя в направлении по координате х как и в (1 + 1)-мерном случае. Невязка асимптотического решения имеет вид, приведенный на Рис. 3.5. Из этого ри
В этой главе предложен специальный метод квазиклассической линеаризации НУШ, основанный на введенном автором классе функций. На этом классе функций в декартовой системе координат методом комплексного ростка Масло-ва впервые получены асимптотические решения уравнения (3.1). Эти решения справедливы в окрестности вершины параболической поверхности конфигурационного пространства в локальной области фазового пространства. Полученные выражения необходимы для построения "глобального"квазиклассического асимптотического решения данного уравнения во всем пространстве. Получен в явном виде главный член квазиклассического солитоноподобного асимптотического по малому параметру Я — 0 решения многомерного НУШ с внешним полем. На введенном классе функций построен оператор эволюции НУШ с помощью операторов симметрии. Квазиклассический подход, развитый в данной главе, позволяет решить задачу о соответствии между классическим и квантовым описанием для нелинейных систем. Нами впервые построен "поперечный"оператор эволюции, который позволяет не только получать квазиклассические асимптотические решения, но также и построить операторы симметрии специального типа, действующие в классе функций S . Такие операторы могут использоваться как квазиклассические операторы симметрии [16] (см. также [121]).
Отметим, что асимптотические оценки (3.14) могут быть использованы для построения разбиения единицы [137], что необходимо для построения "глобаль-ного"решения, элементами которого служат выражения (3.102).
