Содержание к диссертации
Введение
1 Конформная линеаризация нелинейных W-(супер)алгебр 22
1.1 Линеаризующиеся W(sl(N+2), sl(2)) и W(sl(N|2), sl(2)) (супер) алгебры 24
1.2 Вторичная линеаризация алгебр W(sl(N+2),H) 32
1.3 Линеаризующие алгебры для W^r 38
1.3.1 Линеаризующая алгебра для W3 43
1.3.2 Линеаризующая алгебра для W4 46
1.4 Линеаризующие алгебры для W(sl(N+2),sl(3)) 48
1.4.1 Реализации алгебры W3 по модулю нулевых полей . 51
1.5 Заключение 53
2 N=2 суперсимметричные матричные иерархии обобщенных нелинейных уравнений Шредингера 56
2.1 N=2 суперсимметричные неограниченные матричные (к\п, га) иерархии обобщенных нелинейных уравнений Шредингера . 57
2.1.1 Представление Лакса ґ 57
2.1.2 Гамильтонианы 61
2.1.3 Инволюции 63
2.1.4 Бозонный предел 64
2.2 Супералгебраическое описание N=2 неограниченных иерархий (&|п,т)-МОНУШ 65
2.2.1 Матричная формулировка спектрального уравнения 65
2.2.2 Потоки 71
2.2.3 Рекурсионные операторы 73
2.3 Редукция N=2 неограниченных иерархий (&|п,т)-МОНУШ 74
2.3.1 Связь с N = 2 мультикомпонентными иерархиями . 74
2.3.2 N=2 киральные иерархии (&|п,т)-МОНУШ 74
2.3.3 Дискретные симметрии N=2 киральных иерархий (к\п,т)-МОЯУШ 77
2.3.4 N=2 суперсимметричная а = 1 КдФ иерархия . 78
N=2 суперсимметричные интегрируемые иерархии с N=2 Wn второй гамильтоновой структурой 81
3.1 Бозонный предел N=2 суперсимметричных иерархий с N=2 Wn второй Гамильтоновой структурой: три возможных семейства N=2 Wn иерархий 82
3.2 N=2 суперсимметричная КП иерархия и ее редукции с конечным и бесконечным числом полей 85
3.2.1 Редукция с бесконечным числом полей: киральная N=2 суперсимметричная КП иерархия 86
3.2.2 Вторичные редукции: второе и третье семейства N=2 Wn иерархий 87
3.2.3 Вторичная редукция: первое семейство N=2 Wn иерархий 91
Суперсимметричные решеточные уравнения Тоды, их симметрии и решения 99
4.1 N=(0|0) 2DTL иерархия 102
4.1.1 Симметрии N=(0|0) 2DTL уравнения 104
4.2 N=(2|2) 2DTL иерархия 107
4.2.1 Бозонные симметрии N=(2|2) 2DTL уравнения 111
4.2.2 Фермионные симметрии N=(2|2) 2DTL уравнения 115
4.3 N = (0І2) суперсимметричная 2DTL иерархия 119
4.3.1 Бозонные симметрии N=(0|2) 2DTL уравнения . 123
4.3.2 Фермионные симметрии N=(0|2) 2DTL уравнения . 129
4.4 Обобщенные N=(0|2) 2DTL иерархии 135
4.5 N=2 1DTL иерархия: би-гамильтонова структура и рекур-сионный оператор 136
4.6 Решения суперсимметричных 2DTL уравнений 142
4.6.1 Структура sl(n\n — 1) супералгебр 142
4.6.2 Общие решения N=(2|2) и N=(0|2) 2DTL уравнений 145
N=(l|l) суперсимметричная бездисперсионная иерархия Тоды 147
5.1 Обобщенные градуированные скобки 150
5.1.1 Новая форма представления Лакса для N=(l|l) 2DTL иерархии 151
5.2 Бездисперсионная N=(l|l) 2DTL иерархия 154
5.2.1 Квазиклассический предел 154
5.2.2 Бездисперсионное N=(l|l) 2DTL уравнение и его бозонные симметрии 159
5.2.3 Представление Лакса в фазовом суперпространстве 159
N=4 суперсимметричные интегрируемые иерархии 164
6.1 N=4 суперсимметричная иерархия КП в N=2 суперпространстве 165
6.1.1 N=4 редукция: представление нулевой кривизны двумерной N = (2|2) суперконформной решетки Тоды 168
6.2 Редукция N=4 суперсимметричной иерархии КП: N=4 иерархия Тоды в N=2 суперпространстве 171
6.2.1 Представление Лакса и потоки N=4 иерархии Тоды 171
6.2.2 Вещественные формы 178
6.2.3 Базис с локальными суперсимметриями и явное N= 4 представление 181
6.2.4 Связь между N=4 суперсимметричными иерархиями Тоды и Кортевега-де Фриза 185
6.2.5 Редукция N= 4 Тоды к N= 2 а = -2 КдФ 187
6.2.6 Обобщения: матричные N=4 суперсимметричные интегрируемые иерархии в N=2 суперпространстве 189
6.3 N=4 суперсимметричная иерархия Тоды (Кортевега-де Фриза) в N=4 суперпространстве 191
6.3.1 Представление Лакса 191
6.3.2 N=4 базисы с локальными потоками 196
6.3.3 Гамильтонова структура 199
6.3.4 Вещественные формы и дискретные симметрии 205
6.3.5 Переход к N=2 суперпространству 207
Заключение 211
Литература 216
- Вторичная линеаризация алгебр W(sl(N+2),H)
- Матричная формулировка спектрального уравнения
- Редукция с бесконечным числом полей: киральная N=2 суперсимметричная КП иерархия
- N=2 1DTL иерархия: би-гамильтонова структура и рекур-сионный оператор
Введение к работе
Тема представленных в диссертации исследований в значительной степени обусловлена многочисленными свидетельствами, возникающими из широкого круга полевых теорий и статистических моделей, что знание мощного формализма интегрируемых иерархий оказывается решающим для получения решений и восприятия новых идей, следующих из струнных и калибровочных теорий. Главной целью диссертации является развитие методов построения и исследования суперсимметричных интегрируемых моделей, нахождение их решений и линеаризации W-(супер) алгебр.
Имеется несколько причин, стимулирующих изучение суперсимметричных иерархий с различным числом суперсимметрий N > 1, которые обобщают чисто бозонные (N = 0) интегрируемые иерархии. В настоящее время бозонные иерархии достаточно хорошо изучены, и их связь с физическими моделями (например, двумерной (2D) гравитацией и топологическими полевыми теориями) хорошо установлена. Напротив, имеющееся знание суперсимметричных интегрируемых иерархий пока еще достаточно скудно; в этом отношении ситуация весьма отличается от ситуации в конформных полевых теориях, где большое внимание уделялось суперсимметричным расширениям с N > 1. Можно надеяться, что, как только понимание суперсимметричных интегрируемых иерархий станет удовлетворительным, это поможет прояснить их связь с физическими моделями, например с нетвистованными N = 2 конформными полевыми теориями, подобно связи, имеющей место между бозонными
интегрируемыми иерархиями и топологическими полевыми теориями. Еще одна причина заключается в том, что этот предмет сам по себе представляет математическую проблему, которая полна интригующих неожиданностей типа, например, существования трех разных N = 2 суперсимметричных семейств интегрируемых иерархий с одной и той же супералгеброй N = 2 Wn в качестве их второй гамильтоновой структуры. Эта проблема оставалась загадкой в течение длительного времени. Другим источником интереса к расширенным суперсимметричным иерархиям является также и то, что они могли бы объединять известные бозонные иерархии.
Существует соответствие между аффинными и конформными W- (супер) алгебрами и иерархиями интегрируемых уравнений типа Кортевега-де Фриза (КдФ), нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и Кадомце-ва-Петвиашвили (КП), для которых эти (супер)алгебры обеспечивают вторые гамильтоновы структуры. Изучение таких иерархий позволяет проникать глубже в их математику и, следовательно, в структуру соответствующих теорий протяженных объектов, включая те, которые в настоящее время рассматриваются как кандидаты на предельную М-теорию. К универсальному классу 2D моделей, который естественным образом включает эти локальные симметрии и дает ключ для понимания взаимосвязей между ними (например, посредством гамильтоновой редукции), принадлежат модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и связанные с ними Тодовские системы. Должна существовать глубокая связь (которая все еще не до конца исследована) между этим важным классом интегрируемых 2D моделей (связанных, в свою очередь, со струнными теориями) и (супер)иерархиями типа КдФ, НУШ и КП.
Бозонные иерархии играют важную роль во многих физических теориях. Кажутся разумными попытки построения суперсимметричных аналогов таких физических теорий начиная именно с построения супер-
симметричных расширений соответствующих бозонных иерархий. Например, давно поставленной и все еще не решенной проблемой является проблема построения суперсимметричных матричных моделей, чье критическое поведение описывало бы 2D суперконформную материю, взаимодействующую с квантовой супергравитацией. Перспективный подход состоит в эксплуатации суперсимметричных расширений интегрируемых иерархий, содержащихся, например, в эрмитовых матричных моделях, которые допускали бы реконструкцию для описания в терминах собственных значений. Так, известно, что тау функция полубесконечной бозонной иерархии Тоды (ограниченной Вирасоровскими связями) воспроизводит статистическую сумму одноматричнои модели, которая описывает двумерную минимальную конформную материю, взаимодействующую с двумерной квантовой гравитацией (см. [1, 2] и приведенные там ссылки). Поэтому кажется разумным найти сначала нетривиальные суперсимметричные расширения иерархии Тоды, которая характеризует одноматричную модель, а затем на ее основе реконструировать соответствующую суперсимметричную модель собственных значений. Матричная формулировка таких моделей могла бы дать новое понимание проблемы квантования 2D супергравитации.
В последние годы проводились активные исследования интегрируемых иерархий с расширенной суперсимметрией, и существенный прогресс был достигнут в понимании общей структуры этих иерархий, взаимосвязи между ними и их связей с другими физическими и математическими концепциями и проблемами. Сейчас мы кратко опишем достигнутый прогресс.
Широкий класс решеточных уравнений Тоды, связанных с супералгебрами Ли, впервые рассматривался в пионерских работах [3, 4, 5, 6]. (см. также [7] и приведенные там ссылки). Затем было обнаружено несколько нетривиальных суперсимметричных расширений решеточной иерархии
Тоды [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], которые предлагают путь для построения соответствующих суперсимметричных моделей собственных значений. Эти иерархии могут быть важными для исследования старой и все еще нерешенной проблемы построения нетривиальной суперсимметричной матричной модели и/или модели собственных значений. В действительности, это было одним из мотивов для исследования в диссертации различных суперсимметризаций решеточной иерархии Тоды. Фактически, пока сделан только первый шаг в этом направлении.
Интегрируемое N = (1|1) суперсимметричное обобщение решеточной двумерной бозонной иерархии Тоды (2DTL иерархии) [20] было предложено в работах [8, 9]. Оно представляет собой бесконечную систему эволюционных (по двум бозонным и двум фермионным бесконечным "башням" времен) уравнений (потоков) для бесконечного набора решеточных бозонных и фермионных полей и содержит как подсистему N = (1|1) суперконформное интегрируемое обобщение 2DTL уравнения - N = (1|1) 2DTL уравнение. Позднее в работах [10, 11, 15, 17] были построены две новые бесконечные серии фермионных потоков N = (ljl) 2DTL иерархии и, как следствие, было установлено, что эта иерархия в действительности обладает более высокой симметрией, а именно N = (2|2) суперсимметрией [16, 17]. Эти потоки, совместно с ранее известными бозонными потоками N = (1|1) 2DTL иерархии, являются симметриями N — (2|2) 2DTL уравнения [10, 11, 15, 17].
Затем в работе [18] была решена проблема построения квазиклассического предела N = (1|1) 2DTL иерархии — N = (1|1) суперсимметричной бездисперсионной иерархии Тоды. Кроме чисто академического значения этой проблемы, интерес к ее решению связан с рядом важных физических и математических приложений. Речь идет, в частности, о квазиклассическом пределе бозонного прообраза N = (1|1) 2DTL иерархии — бездисперсионной 2DTL иерархии [21], представляющей собой объедине-
ние потоков 2DTL иерархии, возникающих в лидирующем приближении квазиклассического разложения, построенном в работе [22] (см. также обзор [23]). В качестве иллюстрации можно привести перечень возможных приложений бездисперсионной 2DTL иерархии:
построение ряда самодуальных вакуумных метрик и метрик Эйнштейна-Вейля;
теория твисторов;
двумерная конформная и топологическая теория поля;
двумерная теория струн
(см., например, работы [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35] и приведенные там ссылки). Имея в виду глубокую связь между 2DTL и N = (1|1) 2DTL иерархиями, представляется естественным полагать, что и бездисперсионная N = (1|1) суперсимметричная 2DTL иерархия найдет аналогичные приложения в суперсимметричных обобщениях перечисленных выше теорий. Последнее обстоятельство явилось немаловажным стимулом для построения бездисперсионной TV = (1|1) 2DTL иерархии. Она может быть также значима и в контексте проблемы поиска интегрируемой структуры, лежащей в основе суперсимметричной полевой теории струн, подобно тому, как это имеет место для бозонной бездисперсионной иерархии Тоды по отношению к Виттеновской полевой теории струн [37], что было обнаружено совсем недавно в работе [36].
В работе [14] было предложено новое N = (0|2) суперконформное 2DTL уравнение, затем соответствующая ему иерархия интегрируемых высших потоков (N = (0|2) 2DTL иерархия) была построена в [17]. В действительности, ранее была получена и изучалась одномерная редукция этого уравнения [12, 38, 39, 40], обладающая N = 2 суперсимметрией, и построена соответствующая ей N = 2 1DTL иерархия [13]. Общие решения N=(2|2) и N=(0|2) 2DTL и 1DTL уравнений для случая одного или двух фиксированных концов были построены в работах [12, 38, 14, 15].
Существование трех различных семейств N — 2 иерархий с N = 2 супер Wn алгебрами в качестве их вторых гамильтоновых структур было установленно на примере N = 2 супер И^, W^ и W± алгебр [41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. Одно из исследований было направлено на решение проблемы объяснения этого интригующего факта для N = 2 супер Wn алгебр с произвольным п и полного описания этих бесконечных семейств. Эта проблема была решена совсем недавно в серии работ [49, 50, 51, 52, 53, 54]. Сначала возможные бозонные пределы вышеупомянутых иерархий были проанализированы в [49], и как результат были получены три различных семейства соответствующих бозонных иерархий и их операторы Лакса. Затем полное описание в терминах супероператоров Лакса для двух из трех этих семейств было предложено в [50, 51], где их обобщение на матричный случай также было рассмотрено. И, наконец, наиболее сложное из трех этих семейств N = 2 иерархий (N = 2 суперсимметричные (1, s)-KdV иерархии), представляющее собой суперсимметризацию бозонных (1, s)-KdV иерархий, было построено в [52, 53] и затем получило дальнейшее развитие в [54].
Явно суперсимметричным способом работы с суперсимметричными моделями является их рассмотрение в терминах суперполей. Этот подход зарекомендовал себя как очень эффективный и при работе с интегрируемыми иерархиями с расширенной суперсимметрией. Такой подход был использован для изучения N = 2 расширений аффинных супералгебр sl(n\n — 1) в работе [55], где был развит метод гамильтоновой редукции в явно N = 2 суперсимметричной суперполевой форме и на его основе получен ряд новых N = 2 W-супералгебр. Подобно бозонному случаю, N = 2 суперсимметричная гамильтонова редукция является эффективным методом для построения и анализа конформных супералгебр типа JV = 2 W и соответствующих им иерархий.
Начиная с пионерской работы Замолодчикова [56], множество расши-
ренных нелинейных конформных (супер)алгебр (W-(супер)алгебр) было построено и изучено (см., например, [57] и приведенные там ссылки). Неослабевающий интерес к этому предмету в значительной степени мотивирован многими интересными применениями нелинейных (супер)алгебр в теории струн и интегрируемых системах. Однако присущая W-(супер) алгебрам нелинейность делает довольно трудным делом применение к их изучению стандартного арсенала методов, используемых в случае линейных (супер)алгебр при построении, например, их полевых реализаций.
Один из возможных путей преодоления этой трудности был предложен в серии работ [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65]. Так, там было обнаружено, что во многих случаях данная нелинейная W- (супер) алгебра с конечным числом токов может быть вложена в некоторую линейную конформную (супер)алгебру - линеаризующую алгебру, которая, как и исходная W-(cynep)anre6pa, обладает конечным набором токов и содержит ее как подалгебру в некотором специальном нелинейном базисе. При этом важно, что токи исходной нелинейной W-(супер)алгебры, определенным образом расширенные конечным набором новых токов, связаны обратимым преобразованием с токами линеаризующей алгебры, и, тем самым, большинство свойств нелинейной алгебры, а также свойств соответствующих теорий, построенных на основе последней, могут быть изучены более простым и эффективным способом исходя из ее линейного аналога. Соответствующая линейная конформная алгебра была названа линеаризующей алгеброй для исходной нелинейной W-(супер)алгебры, а процедура построения линеаризующих алгебр - линеаризацией нелинейных W- (супер) алгебр.
Идея связать нелинейные W-алгебры и линейные алгебры Ли рассматривалась также в работе [66], однако в альтернативном подходе к этой проблеме, развитом в работах [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], есть принципиальное отличие: рассмотренные там линеаризующие алгебры кон-
формны, то есть они содержат алгебру Вирасоро как подалгебру. Более того, все токи линеаризующих алгебр примарны относительно Вирасо-ровского тока. Чтобы подчеркнуть это весьма примечательное свойство предложенной там линеаризационнои процедуры, она получила название конформной линеаризации.
Здесь следует отметить, что впоследствии альтернативный подход к конформной линеаризации развивался в работах [67, 68] в рамках квантовой вторичной гамильтоновой редукции. Однако линеаризация (су-пер)алгебр W(sl(N),sl(2)) и W(sl(N|2), sl(2)) там не рассматривалась, поскольку используемый метод не позволял рассматривать токи с отрицательными конформными весами, что необходимо для данного случая.
Следует также отметить, что явное построение конформной линеаризации было выполнено на примерах многих нелинейных (супер)алгебр [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 65], и во всех изученных случаях конформные линеаризующие алгебры более экономны, то есть содержат меньше токов по сравнению с соответствующими алгебрами работы [66]. Помимо того, что конформные линеаризующие алгебры весьма эффективны для того, чтобы с их помощью получать более широкий класс полевых реализаций нелинейных алгебр [58, 60, 63, 64, 65], они также обеспечивают подходящую основу как для построения новых струнных теорий, так и для изучения вложения Вирасоровской струны в струны ІУ-типа [69, 70, 71, 72].
ІУ-супералгебрьі естественным образом генерируют суперсимметричные иерархии интегрируемых уравнений, для которых они обеспечивают вторую гамильтонову структуру, и тесно связанная проблема состоит в построении и изучении новых систем подобного типа. Основные новые результаты, полученные на этом пути, следующие.
N = 1 суперсимметричная КП иерархия Манина-Радула [73] является N = 1 суперсимметричным обобщением бозонной иерархии КП, л N = 1
су пер симметричная КдФ иерархия возникает в результате ее редукции. Начиная с самого начального момента появления этих двух иерархий, они привлекали постоянное внимание исследователей как по чисто формальным причинам, так и благодаря существованию множества приложений. В течение последних лет были предложены несколько обобщений суперсимметричной иерархии КП Манина-Радула [74, 75, 76]. Кроме бозонных симметрии, они обладают также рядом новых фермионных симметрии. Недавно широкий класс различных новых редукций N = 1 КП иерархии Манина-Радула был предложен в [77] и [78, 79], где были построены новые бозонные и фермионные потоки иерархии, совместные с исходной алгебраической структурой N = 1 КП иерархии. Эти редукции являются суперсимметричными аналогами редукций обычной бозонной иерархии КП. Обеспечение совместности этих редукций с фермионными изоспектраль-ными потоками Манина-Радула потребовало нетривиальной модификации последних при сохранении их алгебраической структуры. В отличие от случая нередуцированной иерархии, преобразования Дарбу-Бэклунда сохраняют фермионные изоспектральные потоки редуцированных иерархий. Поэтому, описание в терминах орбит Дарбу-Бэклунда было использовано существенным образом. Как результат, были найдены явные Бе-резинианные решения для супер тау функций (суперсолитоны) этих моделей. Систематическое описание всех суперсолитонов этих моделей и более полное понимание их особенностей является интересной открытой проблемой.
Построение интегрируемых систем, обладающих высшими N > 3 су-персимметриями, представляет собой очень сложную задачу. Так, до недавнего времени были известны лишь несколько интегрируемых иерархий типа КдФ, обладающих N = 4 суперсимметрией [80, 81, 82, 83]. Недавно в работах [84, 85, 86, 87, 88] была предложена комплексифици-рованная N = 4 суперсимметричная иерархия КП в N = 2 суперпро-
странстве, и широкий класс ее N = 4 редукций был описан в Лаксов-ском формализме. Это примечательное достижение было инспирировано главным образом важной работой [77], где проблема фермионных потоков впервые рассматривалась на основе симметрии Дарбу-Бэклунда и Лаксовских представлений. Примечательно, что суперсимметричная КП иерархия в N = 2 суперпространстве в действительности является N — 4 супер симметричной. Удвоение числа суперсимметрий также происходит и в iV = 1 суперпространстве, где суперсимметричная КП иерархия фактически является N = 2 суперсимметричной [78, 79].
В серии работ [89, 90, 49, 51, 91, 92] в рамках псевдодифференциального и супералгебраического подходов был предложен и изучен новый бесконечный класс интегрируемых N = 2 неограниченных суперсимметричных матричных иерархий обобщенных нелинейных уравнений Шредингера (МОНУШ). Для этого класса были построены рекурсионные операторы, а также изучены его киральные редукции, допускающие би-гамильтоново описание, и их дискретные симметрии.
Настоящая диссертация состоит из шести глав и заключения и может быть условно разделена на три части. Глава 1 посвящена изложению метода конформной линеаризации нелинейных W-(cynep)anre6p. Главы 2, 3 и 6 посвящены исследованию дифференциальных (непрерывных) интегрируемых иерархий с расширенными суперсимметриями, возникающими в результате различных редукций суперсимметричной иерархии КП в N = 2 суперпространстве. Главы 4 и 5 посвящены исследованию дискретных интегрируемых иерархий Тодовского типа с расширенными суперсимметриями и изучению их квазиклассического (непрерывного) предела. Несмотря на внешние различия, эти три части, тем не менее, взаимосвязаны между собой и в значительной степени дополняют друг друга. Так, как это уже было отмечено выше, нелинейные (супер) алгебры являются гамильтоновыми структурами для соответствую-
щих интегрируемых иерархий, в то время как первые потоки дискретных интегрируемых иерархий Тодовского типа как правило представляют собой дискретные симметрии для соответствующих дифференциальных (непрерывных) интегрируемых иерархий. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 36, 38, 39, 40, 49, 51, 52, 53, 55, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94].
В Главе 1 разработан метод конформной линеаризации нелинейных W- (супер) алгебр.
В разделе 1.1 мы строим конформные линеаризующие (супер)алгебры для (супер)алгебр W(sl(N + 2), sl(2)) и W(sl(N\2),sl(2)) (и(ІУ)-суперкон-формной).
В разделе 1.2 развивается метод конформной линеаризации нелинейных W-(супер)алгебр, в рамках которого найдены общие формулы для токов конформных линеаризующих алгебр для нелинейных алгебр серии W(sl(N),H) (Н Csl(N)).
В разделах 1.3 и 1.4 общий подход раздела 1.2 применен к сериям нелинейных алгебр W(sl(N), sl(N)) (WN [102]) и W(si(N), si(3)) соответственно, а также строятся новые реализации для алгебр W^, W± и W(sl(N), 5/(3)), включая реализации по модулю нуль-полей для алгебры Wz.
В разделе 1.5 суммированы основные результаты, полученные в этой главе.
Вторичная линеаризация алгебр W(sl(N+2),H)
Конформная линеаризация - это общее свойство, присущее многим нелинейным алгебрам W(sl{N), Н), получаемым гамильтоновой редукцией аффинной алгебры sl(N) со связями, задаваемыми принципиальным вложением алгебры sl{2) в регулярную подалгебру Н алгебры sl(N) [57, 96, 97]. В этой главе, следуя работам [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], мы описываем метод конформной линеаризации и представляем линеаризующие конформные алгебры для широкого класса W-алгебр.
Этот подход базируется на гипотезе о связи между конформной линеаризующей алгеброй для алгебры W(sl(N), Н) и линеаризующей алгеброй для алгебры W, получаемой посредством специальной гамильтоновой редукции конформной линеаризующей алгебры для алгебры W(sl(N), sl(2)). Существование соответствия между этими двумя линеаризующими конформными алгебрами представляется достаточно естественным, если вспомнить, что алгебра W(sl(N),sl(2)) является более общей по сравнению с алгеброй W(sl(N),H) в том смысле, что последняя может быть получена из первой с помощью некоторой вторичной гамильтоновой редукции [98, 67]. Вышеприведенная гипотеза так же, как и метод построения конформной линеаризующей алгебры для алгебры W(sl(N), sl(2)) [61, 62, 65], возникла в результате изучения простейших примеров конформной линеаризации алгебр W (W(sl(3),sl(3))) и W3 (W(sl(3),sl(2))) [58, 59]. После получения и анализа явных формул для конформной линеаризующей алгебры для алгебры W(sl(N), sl(2)) мы покажем, что различные гамильтоновы редукции этой линеаризующей алгебры, представляющие собой в общем случае нелинейные конформные алгебры, в свою очередь, также могут быть линеаризованы, если незначительно модифицировать метод, развитый в работе [66] для неконформных линеаризации редукций аффинной алгебры sl(N). Вследствие того, что, в отличие от [66], мы линеаризуем редукции конформных линеаризующих алгебр для W(sl(N),sl(2)), их линеаризующие алгебры также конформны.
Общее построение мы иллюстрируем примерами следующих (супер) алгебр: и(А/ суперконформной [99], W{sl(N),sl(2)) [96, 100, 101], W(s/(3),sZ(3)) [56], W(sl(A),sl(4)) [102, 103], а также W{sl(N)ysi(3)), и для всех этих (супер) алгебр приводим явные формулы, связывающие их с соответствующими линеаризующими конформными алгебрами, а также их новые полевые реализации, получаемые этим путем.
Эта глава, базирующаяся на работах [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], организована следующим образом. В разделе 1.1 получены конформные линеаризующие (супер)алгебры для (супер)алгебр W{sl(N + 2),sZ(2)) и J/l/(sZ(iV2),s/(2)) (и(АГ)-суперконформной). В разделе 1.2 сформулировано главное Предположение конформной линеаризации, в рамках которого с использованием линеаризующих алгебр раздела 1.1 найдены общие формулы для токов конформных линеаризующих алгебр для нелинейных алгебр серии W(sl(N), Н). В разделах 1.3 и 1.4 общий подход раздела 1.2 применен к сериям нелинейных алгебр W(sl(N),sl(N)) (WN [102]) и W(sl(N), sl(S)) соответственно, где также обсуждаются новые реализации для алгебр W , W4 и W(sl{N), s/(3)), включая реализации по модулю нуль-полей для алгебры W3.
В этом разделе строятся конформные линеаризующие алгебры для (супер)алгебр W(sl(N + 2),sl(2)) (и(А )-квазисуперконформной (QSCA) [96,100,101])1 и W{sl(N\2), sl{2)) (и(АГ)-суперконформной (SCA) [99]) [61, 62].
В дальнейшем некоторое нелинейное преобразование токов называется изменением базиса нелинейной алгебры, если (і) оно обратимо и (іі) как оно, так и его обратное преобразования полиномиальны по токам и их производным. Подразумевается, что некоторое подмножество токов образует нелинейную подалгебру данной И -алгебры, если в некотором базисе это подмножество замкнуто; все алгебры, связанные преобразова-ниями базиса, рассматриваются как эквивалентные.
Мы начнем с напоминания структурных соотношений для (супер) алгебр W(sl(N + 2),sZ(2)) и 1 ( (. 12),5 (2)), представленных в виде разложения операторных произведений (OPEs) токов, являющихся их образующими. OPEs для u(N) SCA и u(N) QSCA могут быть записаны в унифицированном виде, поскольку эти (супер)алгебры имеют одно и то же число соответствующих токов: конформный ток T(z), и(1)-ток U(z), аффинные SU(N)OKVL Ja(z) (1 a, 6 N, Tr(J) = 0) и два набора токов в фундаментальном Ga(z) и сопряженном Gb{z) представлениях su(N), где токи Ga{z),Gb(z) являются бозонными для u(N) QSCA и фермионными для u(N) SCA. Для того, чтобы различать эти два случая, мы, следуя работе [100], вводим параметр є, равный 1 (—1) для QSCAs (SCAs). Тогда операторные разложения (OPEs) для этих алгебр могут быть предста 1Строго говоря, W(sl(N + 2),sl(2)) алгебра совпадает с gl(N) QSCA. Поскольку дальнейшее рассмотрение справедливо для различных вещественных форм этой алгебры, мы будем обозначать ее как u(N) QSCA.
Матричная формулировка спектрального уравнения
В этом разделе, следуя работам [61, 62], мы демонстрируем, что структура линеаризующей алгебры QSCAK (1.1.7), найденная в предыдущем разделе, подсказывает, как получать линеаризующие алгебры для многих других алгебр ІУ-типа, а именно тех, которые могут быть получены посредством вторичной гамильтоновой редукции [98] алгебры W{sl(N + 2),sl(2)) (u(N) QSCAs). W(sl(N + 2), 5/(2)) алгебра, которая была линеаризована в предыдущем разделе, может быть получена посредством первичной гамильтоновой редукции аффинной алгебры sl(N+2) с минимальным набором связей [96, 100, 101], и, таким образом, при фиксированном значении N она содержит максимально возможный набор токов. Соответствующий набор связей, наложенных на токи алгебры sl(N + 2), виден из следующего представления для sl(N + 2)-токов:
Алгебры W(sl(N + 2),5 (2)), представляющие собой частный класс W-алгебр с квадратичной нелинейностью, являются в то же время достаточно общими в том смысле, что множество других И -алгебр с более высокой нелинейностью может быть получено из них посредством вторичной гамильтоновой редукции (например, алгебры W и т.д.) [98].
Рассмотрим набор возможных вторичных гамильтоновых редукций алгебры W(sl(N + 2),s/(2)) (1.2.1), (1.1.1), ведущих к нелинейным алгебрам, которые в то же самое время могут быть произведены через первичные гамильтоновы редукции аффинной алгебры sl(N + 2) и принадлежать W(sl(N + 2), Л")-серии4. Они могут быть получены наложением следующих где мы обозначили как sl(N)\sl,2\ набор связей на s/(iV)OKH, ассоциированные с произвольным вложением алгебры sl(2) в алгебру sl(N), являющуюся подалгеброй алгебры W(sl(N + 2), sl(2)).
Напомним, что по определению алгебры W(sl(N),H) - это нелинейные алгебры, получаемые путем первичной гамильтоновой редукции аффинной алгебры sl(N) со связями, ассоциированными с принципиальным вложением алгебры sl(2) в регулярную подалгебру Н С sl(N). Получаемые таким способом алгебры образуют полный набор нелинейных алгебр, характеризуемых различными вложениями алгебры sl(2) в алгебру sl(N) [57, 96, 97].
Для того, чтобы найти линеаризующую алгебру для данной нелинейной W-алгебры, связанной с W(sl(N -\-2),sl(2)) через связи гамильтоновой редукции (1.2.2) и/или (1.2.3), нужно применить ту же редукцию к ее линеаризующей алгебре QSCAH (1.1.11) и затем линеаризовать результирующую алгебру. Принимая во внимание, что QSCAn имеет структуру прямой суммы (1.1.12) алгебр, а также то, что токи Qa являются калибровочными степенями свободы для калибровочных преобразований, генерируемых связями (1.2.2), можно получить по форме другую, но эквивалентную форму Предположения і) Для того, чтобы найти линеаризующую алгебру для данной нелинейной W-алгебры, связанной с W(sl(N 4- 2), sl(2)) через связи гамильтоновой редукции (1.2.2) и (1.2.3), нужно применить редукцию (1.2.3) к линейной алгебре QSCA (1.1.12) и затем линеаризовать результирующую алгебру, и) Алгебра QSCA" сама по себе является линеаризующей алгеброй для редукции (1.2.2), то есть для W(si(N- -2), s 1(3)) алгебры. iii) Линеаризующая алгебра для редукции (1.2.3) имеет структуру прямой суммы алгебры Гдг и линеаризующей алгебры для редукций (1.2.3) алгебры QSCAntfH (1.1.12). Таким образом, фактически Предположение сводит проблему конформной линеаризации алгебры W, получаемой из нелинейной алгебры W(sl(N + 2),s/(2)) через полный набор связей гамильтоновой редукции (1.2.2) и/или (1.2.3) (то есть W принадлежит серии W(sl(N + 2), Н) ), к проблеме линеаризации алгебры W, получаемой из более простой линейной алгебры QSCAn путем наложения ослабленного набора (1.2.3) связей гамильтоновой редукции. В настоящее время мы не имеем строгого доказательства этого предположения, но оно работает во многих примерах: W3, WA алгебры (см. Подразделы 1.3.1 и 1.3.2) и в разделе 1.4 мы докажем пункт И) Предположения относительно алгебр W(sl(N+2), 5/(3)). Конечно, вторичная гамильтонова редукция (1.2.3), будучи примененной к QSCAH, ведет к нелинейной алгебре. Однако проблема линеаризации последней, как будет показано ниже, может быть сведена к линеаризации гамильтоновой редукции (1.2.3), примененной к аффинной подалгебре sl(N) С QSCAH, которая уже была ранее построена в [66]. Результирующая алгебра как раз и будет линеаризующей алгеброй для нелинейной алгебры, с которой мы начали. Обсудим кратко явное построение линеаризующей алгебры Wnvai для нелинейной алгебры W, получаемой из QSCAn посредством гамильтоновой редукции со связями (1.2.3). Пусть J будет током, соответствующим элементу Картана to подалгебры si (2). Относительно присоединенного действия о алгебра sl(N) может быть разложена в прямую сумму собственных подпространств to с положительными, нулевыми и отрицательными собственными значениями ha:
Редукция с бесконечным числом полей: киральная N=2 суперсимметричная КП иерархия
Наконец, подчеркнем, что знание структуры линеаризующих алгебр Jv+2 помогает нам обнаружить некоторые интересные свойства нелинейных алгебр WJV+2 и их представлений.
Прежде всего, каждая реализация алгебры Wjv2 дает реализацию алгебры WN+2- Следовательно, связь между линейными и нелинейными алгебрами открывает способ находить новые нестандартные реализации WN+2 алгебр. Как показано в [69, 70] для частного случая алгебры W$, эти новые реализации (подробнее см. следующий подраздел) могут быть полезны для построения новых теорий струн и решения проблемы вложения W2 (Вирасоровской) струны в W% струну.
Среди многих интересных реализаций алгебры WN2 существует очень простая специальная реализация, которая может быть описана следующим образом. Внимательное вглядывание в OPEs (1.3.6) показывает, что токи являются нуль-полями и таким образом могут быть положенными равными нулю непротиворечивым образом. В этом случае алгебра WN2 будет содержать только ток Вирасоро Т и N и(1)-токов [[/, J ,... J Z\\. Конечно существует новый расщепленный базис, где все эти токи коммутируют друг с другом (см. обсуждение в конце раздела 1.2). Можно проверить, что токи WN+2 алгебры реализуются в этом базисе в терминах некоторого стресс-тензора Туг с тем же центральным зарядом суігі что и в соотношении (4.3.75), и N отщепленных взаимно коммутирующих и(1)-токов. Удивительно, что значения cyir, соответствующие минимальным моделям алгебры Вирасоро (1.1.15) [107], индуцируют центральные заряды cod (p,q) минимальных моделей для WN+2 алгебры [102] (напомним, что стресс-тензор алгебры WN+2 совпадает со стресс-тензором Т в непримарном базисе (1.3.4)). Для W% алгебры это свойство впервые было обсуждено в работе [58].
В этом подразделе как частный пример обсуждавшегося выше общего построения мы представляем явные формулы, касающиеся конформной линеаризации W% алгебры [58]. Ws алгебра [56] содержит токи {Т, W} со спинами {2,3} соответственно. Структура линеаризующей алгебры Wu в примарном базисе может быть получена из OPEs (1.3.6), полагая там N = 1. Так, алгебра WgUH содержит токи \ Т, U, G1 с конформными весами 2,1, 2 соответственно. Переход к токам алгебры W% происходит в два этапа. Во-первых, И -токи Т, W с конформными весами 2 и 3 должны быть представлены как самые общие обратимые нелинейные дифференциальные полиномы по И/з1ИН-токам 7", 7, G1 [ с произвольными коэффициентами. Это может быть легко сделано в непримарном базисе (1.3.4), где стресс-тензор Т совпадает со стресс-тензором Wz алгебры. Во-вторых, нужно вычислить OPEs между вышеупомянутыми построенными выражениями для 1Уз-токов и потребовать, чтобы они замыкались. По модулю несущественного переопределения масштабов у токов эта процедура полностью фиксирует все коэффициенты в выражениях для токов Wz алгебры в примарном базисе в терминах WJ ин-токов. Подчеркнем, что изначально нет необходимости знать точную структуру W3 алгебры, поскольку в результате выполнения второго шага она автоматически восстанавливается. Представим здесь результаты вычислений для W$ алгебры: Таким образом, все примечательные нелинейные особенности Wz алгебры могут быть прослежены путем выбора нелинейного базиса в линеаризующей конформной алгебре W"- Например, каждая реализация алгебры WH является в то же время и реализацией Wz алгебры6. Таким образом, проблема построения ІУз-реализаций сводится к намного более простой проблеме построения реализаций линейной алгебры WH. Далее здесь представлены примеры таких реализаций. Из простой структуры алгебры WgHH с OPEs (1.3.6) при N = 1 очевидно, что самая общая ее реализация включает по крайней мере два свободных бозонных скалярных поля фі (і = 1,2) с а также коммутирующий с ними Вирасоровский стресс-тензор Тг, имеющий ненулевой центральный заряд, который мы обозначаем как стг-Представляя бозонное примарное поле G1 стандартным способом экспоненциальной функцией ф(, ток U - производной от фі и Т - суммой Тт и 6 Конечно обратное утверждение в общем случае некорректно.
N=2 1DTL иерархия: би-гамильтонова структура и рекур-сионный оператор
В этой главе мы описали класс линейных конформных алгебр с конечным числом токов, которые содержат в некотором нелинейном базисе широкий класс W-(супер)алгебр, включающий W(sl(N -\- 2),s/(2)), W(sl(N\2),sl(2)) (u(N)суперконформные), W(si(N + 2), si(3)), а также WN нелинейные алгебры. Описанные алгебры не исчерпывают все существующие примеры конформной линеаризации. Так, в работах [60, 63] были также линеаризованы (супер)алгебры W(si(3\1), si(3)), W i [111, 103], WB2 [112] и спин-5/2 [56].
Мы также проиллюстрировали некоторые приложения конформной линеаризации. Так, используя связи между линеаризующей и нелинейной алгебрами, мы предсказали спектр центральных зарядов минимальных моделей для (супер)алгебр u(N) (Q)SCA и W(si(N), 5/(3)), а также построили широкий класс их реализаций, включая реализации по модулю нуль-полей для И з алгебры.
Хотя мы и не располагаем полным доказательством главного Предположения конформной линеаризации раздела 1.2, мы продемонстрировали, что оно работает для широкого класса нелинейных Ж-алгебр, соответствующих пунктам і) и іі) Предположения. Кажется интересным распространить это исследование также и на технически более сложный случай алгебр, относящихся к пункту ііі) Предположения9.
Анализ явно построенных линеаризующих алгебр W$2 Для N+2 приоткрывает много интересных свойств этих алгебр: они имеют структуру "цепи" вложений (то есть линеаризующая алгебра с данным N является подалгеброй линеаризующих алгебр с большими значениями iV); при занулении нуль-полей центральный заряд Вирасоровской подалгебры этих линеаризующих алгебр в параметризации, соответствующей ее минимальным моделям, индуцирует центральный заряд минимальных моделей алгебры W и т.д.
Все вышеперечисленное может рассматриваться в качестве свидетельств в пользу того, что наше Предположение справедливо. Однако было бы весьма важным или полностью подтвердить его из некоторых первых принципов, либо же ограничить диапазон его применимости.
Развитый в этой главе метод конформной линеаризации для W(sl(N+ 2), Н) (W(sl(N\2), Н)) алгебр допускает естественное обобщение на класс нелинейных супералгебр W(sl(N\M), Н).
Для этого типа алгебр среди токов линеаризующей алгебры (в базисе, где стресс-тензор совпадает со стресс-тензором нелинейной алгебры) имеются токи с отрицательными конформными спинами, и незаряженные композитные операторы с нулевым спином могут быть построены. Поэтому преобразование к базису, где линеаризующая алгебра содержит нелинейную алгебру как подалгебру, в принципе, может представлять собой бесконечный ряд разложений по этим операторам.
Мы явно продемонстрировали на примерах алгебр W3, W$ и W(sl(N-\-2), si(3)), что изначально не требуется знания точных структурных соотношений нелинейных алгебр, которые становятся все более и более сложными с ростом числа и спина их токов. Как только линеаризующая алгебра известна, можно алгоритмически воспроизвести структуру соответствующей нелинейной алгебры, которая в ней закодирована. Один из интересных вопросов теперь - это вопрос о том, как много информации о свойствах данной нелинейной алгебры и ее представлений можно извлечь из ее линеаризующей алгебры. Ответ на этот вопрос представляется важным для нахождения новых применений линеаризующих алгебр в теориях И -струн и интегрируемых системах с симметриями И -типа.
В этой главе предлагается новое семейство N = 2 суперсимметричных интегрируемых иерархий — N = 2 суперсимметричные неограниченные матричные (к\п,т) иерархии обобщенных нелинейных уравнений Шредингера (МОНУШ), представляющее собой суперсимметричное обобщение бозонной матричной иерархии обобщенных нелинейных уравнений Шредингера. Это достигается путем задания матричных псевдодифференциальных операторов Лакса в N = 2 суперпространстве в терминах N = 2 неограниченных матрично-значных суперполей. В рамках псевдодифференциального подхода для этого семейства строятся гамильтонианы и вещественные формы в действительном N = 2 суперпространстве. Затем мы устанавливаем супералгебраическое описание этого семейства в рамках супералгебры sl{2k-\-n\2k-\-rn) и на этой основе строим его бозон-ные и фермионные симметрии, их супералгебру, а также рекурсионный оператор, связывающий все эволюционные уравнения, принадлежащие семейству. Мы также описываем его несколько нетривиальных редукций, одна из которых есть семейство N = 2 суперсимметричных кираль-ных МОНУШ иерархий, для которого мы строим би-гамильтоново описание и его дискретные симметрии, представляющие собой решеточные уравнения Тодовского типа. Далее установлена редуция N = 2 (111, 0)— МОНУШ иерархии в N = 2 а = 1 КдФ иерархию и на этой основе построен рекурсионный оператор и би-гамильтонова формулировка для последней. Эта глава базируется на результатах, полученных в работах [38, 39, 40, 49, 51, 89, 90, 91, 92, 93, 94].