Содержание к диссертации
Введение
1 Квазиоднородные системы 10
1.1 Необходимые определения. Показатели Ковалевской 10
1.2 Построение формального общего решения 13
1.3 Теоремы об инвариантах 20
1.4 Связь с теорией Зиглина и теоремой Пуанкаре 22
2 Системы с экспоненциальным взаимодействием 26
2.1 Понятие систем с экспоненциальным взаимодействием 26
2.2 Вычисление показателей Ковалевской 28
2.3 Алгебраическая неинтегрируемость псевдоевклидовых систем с экспоненциальным взаимодействием 32
2.4 Системы с экспоненциальным взаимодействием в пространстве с метрикой Минковского 36
3 Тензорные инварианты квазиоднородных систем 40
3.1 Обозначения и некоторые замечания 40
3.2 Тензорные инварианты. Теорема Козлова 41
3.3 Теорема о резонансах на показателях Ковалевской 42
3.4 Метод поиска тензорных инвариантов 46
4 Интегрируемость по Биркгофу систем с потенциалом экспоненци ального вида 52
4.1 Интегрируемые по Биркгофу системы с экспоненциальным взаимодействием 52
4.2 Метод Ковалевской. Первые интегралы 54
Приложение 57
- Построение формального общего решения
- Вычисление показателей Ковалевской
- Системы с экспоненциальным взаимодействием в пространстве с метрикой Минковского
- Теорема о резонансах на показателях Ковалевской
Введение к работе
Структура работы и полученные результаты
В настоящей работе мы будем изучать квазиоднородные системы ОДУ. Симметрия таких уравнений, связанная с инвариантностью относительно растяжений, позволяет легко провести тест на однозначность общего решения, но, что более интересно, в этом случае возможно сформулировать конструктивные утверждения об инвариантах системы. При рассмотрении формальных полнопараметрических рядов, представляющих общее решение квазиоднородных ОДУ можно получить информацию о степенях однородности первых интегралов, полей симметрии и других тензорных инвариантов.
Помимо введения работа содержит четыре главы и приложение. Оригинальными являются результаты, полученные в главах 2, 3 и 4.
В первой главе мы дадим определение квазиоднородных уравнений и связанных с ними понятий, таких как матрица и показатели Ковалевской. Все определения и теоремы будут проиллюстрированы на простейших примерах. Далее мы приведем известные результаты, составляющие основу ставшей уже классической теории X. Иошиды. И в заключение обсудим представление общего решения вблизи особой точки в виде полнопараметрических обобщенно-степенных рядов, ветвление решений и связь с классическими результатами, такими как теорема Пуанкаре о вырождении периодических решений и теорема Зиглина о ветвлении решений и неинтегрируемости гамильтоновых систем. Квазиоднородные системы являются прекрасной моделью для демонстрации метода Ковалевской и обсуждения лежащих в его основе идей, поэтому глава достаточно объемна.
Вторая глава посвящена системам с экспоненциальным взаимодействием. Изучение таких систем является весьма популярной темой последних десятилетий. В связи с появившимися в космологии приложениями таких систем встает вопрос о возможности перенесения полученных результатов на псевдоевклидов случай. Мы
предъявим методику вычисления показателей Ковалевской произвольных систем с экспоненциальным взаимодействием. Используя эту методику, мы докажем ряд утверждений, из которых, в частности, последует невозможность обобщения на псевдоевклидов случай условий интегрируемости евклидовых систем. Мы покажем также, что знаконеопределенность псевдоевклидовой метрики принципиальна и приводит к ветвлению решений и алгебраической неинтегрируемости. Таким образом, в главе 2 мы применим существующие на сегодня методы исследования к определенному классу систем, что будет служить демонстрацией понятий и методов, описанных в главе 1.
Основным результатом третьей главы будет доказательство теоремы о резонансах на показателях Ковалевской. Сформулированное там утверждение включает почти все известные сейчас теоремы о связи показателей Ковалевской со степенями однородности тензорных инвариантов квазиоднородных систем. Кроме доказательства теоремы и обсуждения некоторых следствий, мы предъявим алгоритм, по которому можно находить полиномиальные инварианты, либо ряды, представляющие собой тейлоровские разложения инвариантов вблизи некоторых точек. Предлагаемый алгоритм мы продемонстрируем на примере поиска первого интеграла в простой системе с двумя степенями свободы. Обсудим также связь между ветвлением решений и несуществованием голоморфных тензорных инвариантов.
В качестве демонстрации теории, развитой в главе 3, в четвертой главе мы вернемся к рассмотрению систем с экспоненциальным взаимодействием и найдем полный набор первых интегралов гамильтоновой системы с четырьмя степенями свободы. Вопрос интегрируемости этой системы открыт уже давно и важен для завершения классификации интегрируемых систем.
Приложение содержит иллюстрации к введению и некоторые громоздкие формулы, которые, будучи выписаны в основном тексте, затруднили бы понимание.
Интегрирование систем ОДУ
Задача интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений относится к классическим, возникла вместе с самим понятием дифференциального уравнения и всегда была важна для приложений.
Первоначально задача понималась буквально: найти явные формулы для неизвестных функций. Уже позднее было введено понятие интегрируемости в квадратурах. При сведении задачи к квадратурам центральную роль играют симметрии
исследуемых уравнений. Для того, чтобы свести решение к вычислению интегралов и обращению функций, система должна обладать достаточно богатой группой симметрии. Для автономных разрешенных относительно производной систем уравнений первого порядка, а именно такие системы мы будем изучать, это утверждение формулируется в виде теоремы Ли.
Теорема (С. Ли). Пусть в n-мерном фазовом пространстве имеется векторное поле v(x) и п — 1 векторных полей щ .. .ип-\, коммутирующих с ним: [v, Uj] = 0. Если поля щ образуют разрешимую алгебру Ли, то система уравнений х = v(x) интегрируется в квадратурах.
Гамильтонов вариант теоремы Ли — теорема Лиувилля. Интегрируемая по Ли-увиллю гамильтонова система допускает коммутативную алгебру полей симметрии максимальной размерности на совместном уровне первых интегралов.
Напомним, что первым интегралом системы ОДУ называется такая функция фазовых переменных, что ее значение постоянно на фазовых траекториях системы. Согласно теореме о выпрямлении локально уравнения всегда допускают полный набор интегралов, поэтому задача о существовании достаточного числа первых интегралов имеет практическую ценность либо вблизи особой точки, либо в окрестности периодического решения, либо в достаточно большой области фазового пространства.
Итак, для интегрирования системы необходимо указать такой набор ее первых интегралов (инвариантных многообразий), чтобы векторное поле системы при ограничении на их совместный уровень удовлетворяло условиям теоремы Ли. Можно это сделать или нет, составляет как раз проблему интегрируемости.
Неинтегрируемость
Строгие результаты о неинтегрируемости появились после безуспешных попыток решить многочисленные актуальные проблемы динамики. А. Пуанкаре был первым, кто указал на препятствующие интегрируемости эффекты — расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений. Пуанкаре впервые связал неинтегрируемость со сложным поведением траекторий в фазовом пространстве. «Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет одно-
значного интеграла... », — писал он о пересечении сепаратрис, обнаруженном им в задаче трех тел.
«Открытие» феномена динамического хаоса уже в современное время вызвало взрыв интереса к классическим проблемам. Использование вычислительной техники позволило увидеть сложное поведение фазовых траекторий и такие объекты как странные аттракторы диссипативных уравнений и стохастические слои гамильтоновых систем. В фазовом пространстве стохастических систем существуют множества ненулевой меры, в которых траектории локально неустойчивы, что проявляется как чувствительность к заданию начальных данных и приводит к экспоненциальному разбеганию первоначально близких точек. Компьютерные эксперименты позволили убедиться, что сам факт детерминистического описания некоторого физического явления системой ОДУ (или даже простым отображением с дискретным временем) еще не означает, что модель способна давать предсказания. Предсказуемость возможна лишь для интегрируемых систем, в которых нет динамического хаоса. Все вышесказанное переводит проблему исследования интегрируемости и неинтегрируемости ОДУ на новый уровень и делает ее принципиальной для приложений.
Сделаем оговорку: неинтегрируемость системы ОДУ вовсе не обязательно означает невозможность изучения с помощью такой математической модели какого-либо физического явления. Для нас становится невозможным предсказывать состояние системы для произвольных моментов времени (и начальных данных), что вовсе не означает невозможность исследования свойств фазового потока и сопоставления их с физическими эффектами. Подобные исследования требуют изучения хаотического поведения как такового.
Метод Ковалевской
Не существует универсального способа отделить интегрируемые уравнения от неинтегрируемых. Задача классификации интегрируемых нелинейных уравнений, видимо, не будет решена в обозримом будущем. В классический период каждая нетривиальная интегрируемая система входила в «золотой фонд» и тщательно изучалась. С некоторыми оговорками, это справедливо и сейчас.
Тестов на интегрируемость немного. Предложенный С. В. Ковалевской метод занимает особое место, потому что первое же его применение обернулось успехом: был найден новый интегрируемый случай в задаче о движении твердого тела с
неподвижной точкой [4]. Система уравнений Эйлера-Пуассона, которая изучалась Ковалевской имеет вид:
Iu> = Iui х ш + Ц'у х г, 7 = 7 х Ш1
где fi — масса тела, wjGE3- вектор угловой скорости и постоянный единичный вектор, направленный вверх в неподвижной системе координат, ц — масса тела, г Є R3 — радиус-вектор центра масс. Уравнения записаны в жестко связанной с телом системе координат, в которой диагоналей тензор инерции / = diag(7i, І2,Із)-Без преувеличения можно сказать, что это самая знаменитая задача механики, конкурировать с ней по популярности может разве что проблема трех тел.
Функции Е = (1ш,ш)/2 — //(г, 7), Н = (Іш,^) и G = (7,7) — первые интегралы и для интегрируемости не хватает одного дополнительного интеграла. До работы Ковалевской были известны случаи интегрируемости Эйлера-Пуансо: г = О, дополнительный интеграл М = (Iu),u>); и Лагранжа: Д = І2, гх = гу — 0, интеграл — г^з- Новый интегрируемый случай был найден из наблюдения, что в задачах Эйлера-Пуансо и Лагранжа общее решение уравнений мероморфно на комплексной плоскости времени. Ковалевской было проведено исследование, направленное на поиск условий, при которых общее решение представляется формальным ме-роморфным рядом. Подобное представление оказалось возможным еще в одном случае: 1\ — 1-і = 2/3, tz = 0. При таких значениях существует интеграл Ковалевской: (uj\ — ь)\ — »7i)2 + (2CJ1W2 — сгуг)2, где a = /x(r2 + Гу)/13. Позднее А. М. Ляпунов [5] показал, что общее решение ветвится на комплексной плоскости времени во всех случаях, исключая перечисленные интегрируемые ситуации.
В приложении приведены данные численного моделирования уравнений Эйлера-Пуассона. Показаны фазовые портреты интегрируемых ситуаций, типичные хаотические фазовые портреты, а также пересечение сепаратрис в неинтегри-руемой ситуации.
В дальнейшем появилось много других примеров интегрируемых систем, в которых существующие первые интегралы продолжались в комплексную область как однозначные функции своих аргументов. При этом общее решение представляется однозначными функциями. Естественным образом появляется задача о связи между однозначностью общего решения и существованием достаточного числа однозначных первых интегралов системы ОДУ — так называемая задача Пенлеве-Голубева [б]. Упоминавшиеся исследования Ляпунова решают эту задачу для уравнений Эйлера-Пуассона: однозначность общего решения эквивалентна интегрируемости и существованию полного набора однозначных первых интегралов.
Такая постановка задачи представляется весьма интересной. Известно, например, что между к эллиптическими функциями существует к — 1 алгебраическое соотношение, если периоды этих функций совпадают. В работе [22] введены алгебраически интегрируемые гамильтоновых системы, имеющие полный набор полиномиальных первых интегралов. Тем не менее однозначность общего решения (даже на алгебраической римановой поверхности) не является необходимым условием интегрируемости. Задача Пенлеве-Голубева связана с построением формальных полнопараметрических разложений общего решения, исследованием их сходимости и комплексно-аналитических свойств.
Если для линейных ОДУ особенности решений совпадают с особенностями коэффициентов, то для нелинейных уравнений это не так. Уже простейшее нелинейное уравнение х = х2 имеет решение с подвижной1 особенностью: х = l/(t0 — t). В приведенном примере подвижная особенность представляет собой простой полюс и решение однозначно. Однако, в общем случае решение системы ОДУ ветвится, причем характер ветвления логарифмический.
Пенлеве классифицировал уравнения вида х = R(x,x,t), где R — рациональная функция х и х с мероморфными по t коэффициентами. С точностью до диффеоморфизма2 можно предъявить пятьдесят уравнений, не имеющих подвижных критических точек [6]. При этом шесть уравнений не сводятся к квадратурам или уравнению первого порядка:
х = 6х2 + t,
х = 2ж3 + tx + а,
х = х2х~1 + е* (ах2 + Ь) + e2t (ex3 + dx~l) ,
х = -х2х
" _1 + -ж3 + 4te2 + 2 (t2 - а) х + bx-\
.. .о/ 1 1 \ х (x-lf ( Ь\ х ,х(х + 1)
х = х2[— + - - + V ; [ах + -)+с- + tM -А
2х х — 1 / t t2 \ х I t х — 1
.. х2 (I 1 1 \ ./1 1 1
х = — - + - + г ) -х[ - + - - +
2 \х х — 1 x — tj \t t — 1 x — t
x (x - 1) (x - t) ( ,t i-1 ,t(t-l)
t2(t-l)2 V x2 {x-lf {x-tf
Общие решения четырех из этих уравнений — мероморфные функции, два из уравнений Пенлеве имеют логарифмические точки ветвления.
Зависящей от начальных данных
2 с некоторыми дополнительными ограничениями
В зарубежной литературе принята следующая терминология. Говорят, что система обладает свойством Пенлеве, если на комплексной плоскости независимой переменной особенности ее решений только полюса. Если же имеются алгебраические точки ветвления, то говорят о слабом свойстве Пенлеве. В этом случае решение однозначно на римановой поверхности, задаваемой алгебраическим соотношением. В отечественной литературе поиск условий, при которых общее решение не имеет других комплексных особенностей, кроме полюсов, называют тестом Ковалевской.
С современной точки зрения идею метода Ковалевской можно выразить следующим образом: решение системы нелинейных ОДУ голоморфно на соответствующей римановой поверхности; голоморфная функция устроена достаточно просто, поэтому сложное поведение в действительной области обусловлено сложным строением римановой поверхности. Стохастическое поведение возникает при проходе по некоторому контуру, соответствующему действительному времени на этой сложной поверхности. Сам метод состоит в подборе таких значений параметров системы, при которых существуют формальные полнопараметрические ряды, удовлетворяющие уравнениям и содержащие в качестве особенностей только полюса и алгебраические точки ветвления. Существование таких рядов и соответствующих параметров, конечно, не доказывает интегрируемости. Даже для того, чтобы говорить о мероморфности (в случае полюсов) решения необходимо доказать их сходимость. Однако, при таких значениях параметров поиск полного набора первых интегралов имеет более всего шансов оказаться успешным. Часто это можно строго сформулировать в виде некоторых утверждений, необходимых для существования первых интегралов или полей симметрии определенного класса. Соответственно, метод Ковалевской может использоваться для доказательства неинтегрируемости.
Все сказанное относилось динамическим системам, представляющим собой ОДУ, однако, возникающие в физике динамические системы чаще представляют собой дифференциальные уравнения с частными производными. Интегрирование таких уравнений либо исследование их решений гораздо более сложная задача. Тем не менее, разработанный в последние десятилетия метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволяет интегрировать нелинейные эволюционные уравнения. В связи с этим часто возникает вопрос: возможно ли предложить конструктивный способ распознавания интегрируемых с помощью МОЗР уравнений. Как одна из попыток ответа возникла так называемая ARS-гипотеза [27], суть которой сводится к тому, что для интегрируемости по МОЗР нелинейного эволюционного уравне-
ния любая его редукция к ОДУ должна обладать свойством Пенлеве. В качестве примера приведем, пожалуй, самое известное из интегрируемых эволюционных уравнений — уравнение Кортевега-де Фриза (КДФ):
щ = 6иих - иххх.
Для независящих от t решений и = и{х) получаем уравнение, интегрируемое в эллиптических функциях:
ихх = Зи2 + а, а Є R.
Особенности эллиптических функций — полюса, образующие на комплексной плоскости решетку, следовательно, полученная редукция выдерживает тест Ковалевской на мероморфность. Рассмотрение еще одного типа решений уравнения КДФ в виде бегущих волн и = и(х — at) также приводит к уравнению, интегрируемому в эллиптических функциях:
и" = Зи2 + аи + р, а, /З Є R.
Сепаратриса в этом уравнении представляет собой солитонное решение уравнения КДФ.
После появления ARS-гипотезы появились примеры, показывающие, что необходимо несколько ослабить требования, по крайней мере, требовать слабого свойства Пенлеве. В физической литературе применительно к ОДУ вместо исторически оправданных названий иногда применяют термины «ARS-свойство» и «ARS-тест».
Построение формального общего решения
В предыдущем пункте упоминались частные решения (1.9) в виде степенных рядов по степеням, кратным показателям Ковалевской. Такие частные решения использовались в упоминавшейся выше работе X. Иошиды для получения необходимых условий алгебраической интегрируемости квазиоднородных систем. В этом пункте мы построим формальный полнопараметрический, то есть содержащий п произвольных постоянных ряд, представляющий собой общее решение квазиоднородной системы ОДУ в окрестности комплексной особенности. Все сказанное в этом пункте легко обобщается на произвольные квазиоднородные системы. Однако, для простоты выкладок рассмотрим простейшие квазиоднородные системы — ОДУ с квадратичными правыми частями: JB отличие от обычных гамильтоновых систем для этих уравнений, вместо скобки Пуассона мы имеем вырожденную скобку Ли-Пуассона. Пример редукции таких уравнений к гамильто-новым классическим приведен в приложении. Постоянные dijk можно считать симметричными по j, к: ацк = а . Степени квазиоднородности переменных ХІ для квадратичных систем равны единице. Для упрощения записи рассмотрим симметричное билинейное отображение { , } : С" х С" — С", порождаемое правыми частями: Пусть С — (сі,..., сп)т — решение соответствующей алгебраической системы (1.4). Занумеруем показатели Ковалевской так, чтобы р\ = — 1. Соответствующий этому собственному значению вектор есть С. Формальный полнопараметрический ряд имеет вид: Запись (A;,p) обозначает к2рг + + кпрп, \\к\\ = fc2 + + кп, кі Є Z+. Векторы коэффициентов А(к рї в общем случае полиномиально зависят от ln( — t0) и находятся рекуррентно следующим образом: К — матрица Ковалевской соответствующая вектору С. Нетрудно видеть, что АР2,..., АРп в точности собственные векторы матрицы Ковалевской. Поскольку они определены с точностью до постоянной, ряд (1.16) является полнопараметрическим, то есть содержит п произвольных постоянных вместе с to.
В этом смысле можно говорить, что такое разложение есть формальное общее решение. Полагая теперь равными нулю произвольные постоянные при всех собственных векторах кроме одного, скажем, Ар2, получаем частные решения: В этом разложении все Акр2 постоянны и не зависят от Int. Для удобства мы пишем t, а не t — t0. Рассмотрение частных решений (1.18) позволяет доказать следующее утверждение. Теорема 1.1 (X. Иошида). [25] Если квазиоднородная система алгебраически интегрируема, то все показатели Ковалевской — рациональные числа. Оставим в стороне вопрос сходимости рядов (1.16) и (1.18) и обсудим однозначность общего решения. Точка t — i0 (или t = О для (1.18)) будет точкой ветвления в следующих случаях: не все показатели Ковалевской целые числа; коэффициенты разложения зависят от Int. Оба варианта есть случаи общего положения, поэтому можно утверждать, что произвольная система квазиоднородных ОДУ имеет решения с логарифмическими точками ветвления. Разберем несколько возможностей. 1. Предпочтительным для интегрируемости является вариант, когда все пока затели Ковалевской (исключая — 1) — положительные целые числа и в раз ложении нет логарифмов. В этом случае можно ожидать интегрируемости в мероморфных функциях. Пример — уравнения Эйлера: Для всевозможных решений (1.4) наборы показателей Ковалевской (всего четыре) совпадают и равны {—1,2,2}. Действительно, уравнения интегрируются в эллиптических функциях.
В таком виде метод Ковалевской был применен впервые, поскольку система Эйлера-Пуассона также квазиоднородна. Отметим, что еще более благоприятен для интегрируемости случай отсутствия показателей Ковалевской вообще: система (1.4) не имеет ненулевых решений. 2. Среди показателей все целые, но есть отрицательные. Пример — интегрируемая система Альфана (1.11). В этом случае нельзя ожидать мероморфности, однако, решение может быть однозначным. 3. Рациональный набор показателей. В этом случае решение уже ветвится, но характер ветвления алгебраический. Переходом от комплексной плоскости t к римановой поверхности t — rd, где d — общий знаменатель показателей, мы можем сделать решение однозначным. Таким образом, рациональные показатели не противоречат алгебраической интегрируемости, что согласуется с теоремой 1.1. Приведем известный пример гамильтоновой системы
Вычисление показателей Ковалевской
Показателями Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием назовем показатели Ковалевской соответствующих уравнений (2.4). Рассматриваемая система квазиоднородна с весами 2 и 1 по переменным х и у соответственно. Для нахождения частных решений вида (1.5) решим систему алгебраических уравнений: Аналогично, оставляя среди компонент вектора с = (сі... с )т та ненулевых компонент, получаем всевозможные решения вида Здесь М(тї — соответствующая диагональная подматрица матрицы М с элементами Mij, i,j Є {h...im}. Далее обозначим с = ( .. . c;m)T, С = diag(cj1.. .c;m). Отметим также, что М — матрица Грамма системы векторов {ah aim}- При т = 1 получаем решение (2.8). Матрица Ковалевской для решения (2.9) имеет блочный вид (для определенности пусть последние т компонент с = (сі... Сдг)т ненулевые): Легко заметить, что имеются N — т показателей Ковалевской равных lnJV-m показателей 2 + dj. Последние назовем тривиальными и примем для них обозначение pj — 2 + dj. Оставшиеся 2m нетривиальных показателей обозначим Л. Лемма 2.1. Нетривиальные показатели разбиваются на пары Х+, Л-, являющиеся корнями уравнений вида А2 — А — /3 = 0, одно из них X2 — X — 2 — О, /3 — собственное значение задачи: Доказательство. Учитывая, что матрица Ковалевской имеет вид (2.10) для нетривиальных показателей имеем: где вектора ф = (фх... фт)Т , ip = ( pi... ipm)T составлены из компонент собственного вектора матрицы Ковалевской (0 ... 0, ф\... фт,... , pi... рт)Т, отвечающего собственному значению Л. Поэтому для нетривиальных показателей имеем следующую задачу на собственные значения: Одно из решений ф = ё-т\ /3 = 2. Ему отвечают показатели А+ = 2 и А- = —1.
Отметим, что в наборах показателей, соответствующих решениям вида (2.8), тривиальными являются все, кроме А+ = 2, А- = — 1. Этот набор был получен ранее в работе [12]. Там же поставлен вопрос, является ли равенство какого-либо показателя р целому положительному числу достаточным условием существования у системы (2.4) полиномиального интеграла соответствующей степени однородности. Мы видим, что ответ на этот вопрос отрицателен: необходимо наложить дополнительные условия на «высшие» наборы показателей Ковалевской, соответствующие решениям системы уравнений (2.9) с двумя и более ненулевыми с . Итак, мы можем классифицировать наборы показателей в соответствии с числом т ненулевых компонент вектора с. В общем случае количество различных наборов показателей в г -ой строке таблицы 2.1 равно количеству различных линейно независимых подсистем г векторов из {а\... а/у}. Пример 2.1. Для системы с гамильтонианом Таблица 2.1: Наборы показателей Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием Показатели Ковалевской (таблица 2.2) содержат целые числа, при этом в каждом наборе не менее п + 1 положительных, каждый из которых превосходит или равен 2. Принимая во внимание теоремы 1.2 и 1.3, можно сказать, что проведенные авторами вычисления не опровергают предположения об интегрируемости системы с гамильтонианом (2.18). Предполагаемые степени однородности дополнительных первых интегралов — 4, 6 и 8. Обоснование формулы (2.19) будет дано ниже вместе с доказательством теоремы 2.1. В качестве примера можно привести формулы (2.16) и (2.17).
Способом, приведенным выше в данном пункте, вычисляются все наборы показателей Ковалевской. Как уже отмечалось, наборы, соответствующие векторам с = (ci... c/v)T с одной ненулевой компонентой были получены ранее в [12]. Равенство тривиальных показателей в таких наборах целым числам эквивалентно условию и необходимо для однозначности общего решения. Получив все оставшиеся наборы показателей и требуя их целочисленное, мы существенно усиливаем эти необходимые условия. Для доказательства достаточности требуется дополнительный анализ, однако, не исключено, что при полученных условиях решение действительно однозначно. Неясно также, обеспечивает ли равенство тривиальных показателей р и нетривиальных Л+ неотрицательным целым числам мероморфность общего решения и алгебраическую интегрируемость уравнений (2.4). В данном пункте мы рассмотрим показатели Ковалевской в случае, когда ( , ) — псевдоевклидова метрика. Пример 2.3. Система с гамильтонианом имеет следующие наборы показателей Ковалевской: и не может быть алгебраически интегрируемой, поскольку в разложении общего решения содержатся комплексные степени независимой переменной. Под алгебраической интегрируемостью мы понимаем здесь существование полного набора полиномиальных по переменным р, ехр(аг-, q) первых интегралов. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее известное из курса алгебры утверждение. Лемма 2.3. Для симметричных вещественных матриц А и В и положительно (отрицательно) определенной матрицы В матрица А положительно определена тогда и только тогда, когда положительны (отрицательны) все собственные значения (3 задачи
Системы с экспоненциальным взаимодействием в пространстве с метрикой Минковского
Рассмотрим гамильтонову систему (2.1) в пространстве Минковского R", положив N = n: Поставим вопрос о существовании у этой системы полного набора полиномиальных по р, Uk exp (cifc, q) интегралов, удовлетворяющих условиям теоремы 1.2 для первой серии показателей из таблицы 2.1. Для таких интегралов Н — Д, 1-і... 1п: По теореме 1.2 степень однородности полиномов Д, 12... 1п содержится среди показателей Ковалевской, интегралов вида (2.4) не существует, поскольку мы предполагаем линейную независимость векторов спектра, следовательно тривиальные показатели — положительные целые числа превосходящие 1. Это эквивалентно условию (2.25). Пусть Wi С Ж.", г = 1,..., / - некоторые линейные подпространства в R". Аналогично евклидовому случаю назовем их ортогональными, если для любых векторов о Є Wi, b Є Wj, і ф j имеем (a, b) — 0.
Следуя [14], систему (2.30) будем называть приводимой, если спектр A = {a,i.. .ап} лежит в объединении некоторого набора і ортогональных подпространств W,- то есть А С J Wi. Легко понять, что при этом i=i гамильтонова система (2.30) распадается на I замкнутых подсистем. Обозначим НІ ограничение функции Гамильтона Н на Wi х И . Тогда Н = YL\=\ НІ и уравнения Гамильтона разбиваются на / замкнутых гамильтоновых систем с функциями Гамильтона НІ. ЕСЛИ подобное разбиение невозможно, назовем систему неприводимой. Спектр А системы (2.30) всегда можно представить в виде объединения А = А+ U А_ U До, где Д+, А_, Д0 — множества пространственноподобных, времени подобных и изотропных векторов соответственно. Сформулируем теорему о приводимости. Теорема 2.3. Пусть А = Д+ U Д_ и гамильтонова система обладает полным набором интегралов в виде полиномов от переменных р, икехр (ak,q), удовлетворяющих (2.31). Тогда множества векторов Д+, Д_ взаимно ортогональны. Доказательство. Покажем, что Д+ ± Д_. Пусть а Є Д+, Ь Є Д_. Согласно условию теоремы, существуют целые числа т,п — 0,1,... такие, что т{а,а) + 2(а, Ь) = 0 и п(Ь, Ь) + 2(о, Ь) = 0, отсюда, с учетом того, что (а, а)(Ь, Ь) 0 получаем Следствие 2.1. Спектр неприводимой интегрируемой в смысле условий (2.31) системы (2.30), не содержащей изотропных векторов, совпадает с одним из множеств Д+, Д_. Далее мы рассмотрим каждый из случаев Д = Д0) Д = Д+ и Д = Д_ отдельно. В теореме 2.2 мы исключили из рассмотрения изотропные вектора спектра, поскольку наш анализ базируется на условии (2.25), являющемся условием положительности тривиальных показателей Ковалевской в наборах первой серии (первая строка таблицы 2.1). В случае, если имеется изотропный вектор: (а, а) = 0, соответствующего набора показателей просто не существует, условие (2.25) неприменимо и необходимо рассматривать «высшие» наборы. Нетрудно показать, что если требовать (2.25) для изотропных векторов, то мы приходим к противоречию. Уравнения Гамильтона имеют вид В этом случае (а , а,} = 0 для всех i,j = 1... п.
Пусть аі... а„_і Є До — набор любых п — 1 линейно независимых векторов. Из уравнений (2.32) получаем, что рассматриваемая гамильтонова система имеет п полиномиальных по импульсам независимых первых интегралов Однако, такие первые интегралы имеют вид F в (2.4) и не могут существовать в силу линейной независимости векторов спектра. Это противоречие возникает в силу того, что изотропные вектора не могут составлять ортогональный в смысле метрики Минковского базис. Пусть теперь спектр времениподобный. Используя теорему 2.2, получаем, что в этом случае всегда существуют комплексные показатели Ковалевской, причем комплексно сопряженная пара появляется уже во второй серии при рассмотрении решений уравнений (2.7) с двумя ненулевыми с (вторая строка таблицы 2.1). Для пространственноподобного спектра Д = Д+ при N — п мы также находимся в условиях теоремы 2.1. Всегда существуют комплексные показатели Ковалевской. Такой набор непременно появится хотя бы на n-ом шаге (последняя строка таблицы 2.1). Если не требовать N = п, то легко видеть, что весь спектр должен лежать в евклидовом подпространстве пространства Минковского и все случаи существования интегралов, речь о которых шла в (2.31) сводятся к евклидовым аналогам. Отметим, что наличие комплексно-сопряженных показателей Ковалевской в некоторых конкретных псевдоевклидовых системах с экспоненциальным взаимодействием ранее отмечалось в литературе при исследовании космологических моделей [29]. Исследование показателей Ковалевской, предложенное X. Иошидой в работе [25] явилось весьма эффективным методом исследования квазиоднородных систем.
По сути, в этом случае мы имеем возможность легко провести так называемый тест Ковалевской-Пенлеве на однозначность и мероморфность общего решения. В последнее время появилось много работ, обобщающих и развивающих эту методику. Используя арифметические свойства показателей, В. В. Козлов и С. Д. Фурта в [15] доказали ряд теорем о неинтегрируемости целого класса «полуквазиоднород-ных» систем. Ранее сильный результат о неинтегрируемости гамильтоновых квазиоднородных систем был получен тем же X. Иошидой [26]. Немаловажно также, что вычисленные показатели Ковалевской содержат в себе информацию о степенях квазиоднородности дополнительных первых интегралов и полей симметрии, что делает этот метод очень привлекательным не только для доказательства неинтегрируемости, но и при поиске интегрируемых случаев. Данная работа, как мы надеемся, иллюстрирует это: мы получили результаты о неинтегрируемости псевдоевклидовых систем и высказали предположение о степенях однородности допол нительных интегралов системы (2.18).
Теорема о резонансах на показателях Ковалевской
Теорема Козлова дает нам информацию о степенях тензорных инвариантов с дополнительными свойствами в точке х = с. Очень часто это условие оказывается слишком ограничительным. Оказывается, и это есть основной результат данной работы, можно модифицировать доказательство теоремы, заменив требование Т(с) ф 0 более слабым, например требованием голоморфности компонент тензорного поля в точке х — с. Соотношения (3.6) при этом приобретают несколько более общий вид. Для дальнейших рассуждений полезно привести здесь данное в [11] обоснование теоремы X. Иошиды как следствия теоремы 3.1. Квазиоднородный первый интеграл f(x) есть скалярный инвариант системы (3.1), то есть тензор типа (0,0). В силу соотношения (3.5) для него /(с) = 0 и условие теоремы Козлова не выполняется. Рассматривая тензорное поле типа (0,1) 7) = df/dx1, имеющее ту же степень однородности, что и интеграл /, замечаем, что теорема 3.1 дает теорему 1.2. Приведенные рассуждения наталкивают на мысль рассмотреть в случае Tj(c) = 0 величины в случае их равенства нулю в точке х = с аналогичные производные третьего порядка и так далее. При этом функции Rij(x) (и следующие за ними производные высших порядков) уже не образуют тензорное поле как это было для df/dx1, тем не менее справедливо следующее утверждение. Лемма 3.1. Если функции Тг "лМх), удовлетворяющие (3.5) обращаются в нуль в точке х = с, то их производные также удовлетворяют соотношениям (3.5) в точке х = с. Если при этом ЯфЛ і (с) = 0, то соотношения (3.5) справедливы для вторых производных и так далее. Доказательство. Продифференцируем (3.5) по Xs: Сформулируем теперь основную теорему. Теорема 3.2 (Теорема о резонансах).
Предположим, что система (3.1) имеет тензорный инвариант степени однородности т с компонентами Тгі" 1р, голоморфными в точке х = с, тогда существует такой набор индексов 1 ц,..., гр п и неотрицательные целые числа ki,...,kn такие, что причем 2 kj = р + q, где р — наименьший порядок ненулевой в точке х = с производной компонент тензорного поля. Компоненты самого поля Г?1"1р можно рассматривать как производную нулевого порядка. Доказательство. По аналогии с (3.7) для производных от T?1-"jp сохраним обозначение R и будем различать их по числу индексов. Пусть все производные порядка меньшего р зануляются в точке х — с, но среди производных порядка р есть хотя бы одна ненулевая в этой точке: Согласно лемме 1 для функций i " /,- ,- (х) при х — с выполнено соотношение (3.5). Преобразуем первое слагаемое в этом соотношении, воспользовавшись квазиоднородностью этих функций: Мы воспользовались здесь определением постоянных Ск (3.4) и тождеством Эйлера для квазиоднородных функций: для квазиоднородной функции степени т. Получить (3.11) можно, продифференцировав (3.4) по а и подставив а = 1. Используя полученное выражение для первого слагаемого в (3.5) и определение матрицы Ковалевской (3.3), можно записать систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных R]\ lsp j1 j (с): По условию теоремы эта система имеет нетривиальное решение. Считая матрицу Ковалевской приведенной к треугольному виду и выбирая среди i 1 " / , , упорядочение по возрастанию верхних и убыванию нижних индексов, мы приведем матрицу системы (3.12) к треугольному виду с диагональю из чисел вида: Приведем некоторые следствия. Следствие 3.3. Если система (3.1) допускает квазиоднородный полиномиальный первый интеграл, то степень его однородности т содержится среди резо-нансов на показателях Ковалевской следующего вида: с некоторыми целыми неотрицательными kj, причем kj т, р\ — —1 Это частный случай теоремы 3.2 для тензорного поля типа (0,0). Нетрудно показать, что в переменных, в которых с = (1, 0 ... 0)т — собственный вектор матрицы Ковалевской со значением р\ — — 1 младшая однородная форма в разложении первого интеграла не зависит от х1. Следствие 3.4. Если система (3.1) допускает квазиоднородное степени т поле симметрии с полиномиальными компонентами, то справедливо равенство Что согласуется со следствием 3.1, если все kj — 0. Пример 3.1.
Система Альфана (1.11) не имеет полиномиальных первых интегралов и нетривиальных полей симметрии с полиномиальными компонентами. Несуществование полиномиальных (и голоморфных) интегралов доказывает следствие 3.3. Поскольку единственный набор показателей Ковалевской системы Альфана есть {—1,-1,-1}, не существует положительной степени однородности первого интеграла, которая бы представлялась в виде &2р2 + &зРз- Вообще, для квазиоднородных систем существование полиномиального интеграла влечет за собой положительность хотя бы одного показателя. Следствие 3.4 дает нам возможную степень однородности полиномиального поля симметрии, равную —1 или 0. Легко проверить, что из всех векторных полей, компоненты которых — однородные
