Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 17
1.1 Методы анализа динамических систем 18
1.1.1 Методы качественного анализа решений динамических уравнений 19
1.1.2 Методы решения стохастических динамических уравнений 22
1.2 Методы усреднения динамических уравнений 23
1.3 Методы замыкания динамических систем уравнений 26
Глава 2. Метод максимальной энтропии 30
2.1 Общее описание 30
2.2 Многомерный метод максимальной энтропии с высшими
моментами 32
2.3 Метод Рейнольдса для конечномерных динамических систем 34
2.4 Метод максимальной энтропии для стохастических систем 36
2.5 Полная система уравнений для моментов 40
2.6 Удельная плотность вероятности 41
2.7 Системы с квадратичной нелинейностью 42
2.8 Квадратичное представление динамических систем 44
2.9 Заключение 46
Глава 3. Состояние с максимальной энтропией 48
3.1 Описание теории 48
3.2 Уравнение Ферхюльста 51
3.2.1 Усредненное уравнение Ферхюльста 52
3.2.2 Замкнутая система уравнений Рейнольдса 53
3.2.3 Стационарная точка и ее устойчивость 54
3.2.4 Аналитическое решение усредненной системы 56
3.2.5 Анализ устойчивости аналитического решения 60
3.2.6 Выводы 61
3.3 Система Вольтерра-Лотки 62
3.3.1 Усредненные уравнения Вольтерра-Лотки 63
3.3.2 Метод максимальной энтропии и замкнутая система усредненных уравнений Рейнольдса 65
3.3.3 Стационарная точка и ее устойчивость 67
3.3.4 Состояние с максимальной энтропией 70
3.3.5 Асимптотическая форма уравнений при большой дисперсии 74
3.3.6 Выводы 76
3.4 Уравнения Эйлера вращения твердого тела 78
3.4.1 Анализ усредненных уравнений Эйлера 78
3.4.2 Выводы 80
3.5 Модель Лоренца 80
3.5.1 Анализ модели Лоренца 81
3.5.2 Выводы 84
3.6 Случайно-возмущенный математический маятник 84
3.6.1 Квадратичное представление 84
3.6.2 Анализ модели стохастического маятника в квадратичном представлении 85
3.6.3 Выводы 90
3.7 Анализ эффективности применения ММЭ к динамическим
моделям 90
Глава 4. STRONG Модели образования дефектов под действием флуктуирующего излу
чения STRONG 94
4.1 Описание теории 94
4.2 Модель атомной кластеризации под действием флуктуирующего
радиационного фона 95
4.2.1 Общее описание модели 95
4.2.2 Состояние с максимальной энтропией 99
4.3 Модель атомной кластеризации под действием случайного радиационного излучения с диффузией 100
4.4 Уравнение нелинейной диффузии в кристаллической среде 104
4.4.1 Описание модели 104
4.4.2 Анализ стохастического уравнения нелинейной диффузии 106
4.5 Заключение 112
Глава 5. Модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуации плазмы 115
5.1 Описание теории 115
5.2 Решение задачи о солнечном ветре 117
5.2.1 Случай адиабатичности потока частиц солнечной плазмы 117
5.2.2 Случай изотермичности потока частиц солнечной плазмы 122
5.2.3 "Сшивка" решений для двух уравнений состояния солнечной плазмы 127
5.3 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в декартовых координатах 129
5.4 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в сферических координатах 131
5.5 Заключение 134
Литература
- Методы решения стохастических динамических уравнений
- Системы с квадратичной нелинейностью
- Аналитическое решение усредненной системы
- Модель атомной кластеризации под действием случайного радиационного излучения с диффузией
Введение к работе
Актуальность работы. Качественный анализ динамики нелинейных физических систем, включающий анализ устойчивости систем и их асимптотическое поведение, является одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики биологических систем и заканчивая астрофизикой. Исследование свойств стохастических динамических систем при изменяющихся внешних физических условиях и свойствах среды является типичной задачей в таких исследованиях как [1а]. Например, одной из часто возникающих задач в биофизике, физической химии и физике конденсированного состояния вещества является исследование систем типа Вольтерра-Лотки [2а], описывающих динамику взаимодействия нескольких типов реагентов. При исследовании материалов под облучением пользуются моделями, описывающими изменение концентраций дефектов с учетом нелинейной составляющей, учитывающей радиационный поток или лазерное излучение [За]. Для астрофизики одной из важных задач является описание основных характеристик солнечного ветра, а именно скорости и плотности потока частиц [13а - 15а]. Все перечисленные физические модели в своем исходном виде не учитывают случайное внутреннее и внешнее воздействие, которое всегда присутствует в системе. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных систем под действием шума является актуальной задачей.
К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать нелинейные динамические системы в различных случаях, в том числе, при наличии внешних возмущений. Наиболее широко распространенным подходом в настоящее время является численный анализ исходных уравнений [4а]. Для численного анализа случайно-возмущенных систем часто используют различные варианты метода Монте-Карло [5а]. Еще одним из используемых методов анализа предлагаемых моделей является применение теории возмущений для анализа устойчивости системы и приближенного описания их динамики [6а]. В работах [7а, 8а, 9а] был предложен метод исследования случайно-возмущенных уравнений на основе анализа уравнений усредненной динамики по методу Рейнольдса с выводом условий замыкания системы уравнений Рейнольдса с помощью метода максимальной энтропии [10а]. В работах [7а, 9а] этот метод применялся к одномерным механическим системам, а в работе [8а] - к уравнениям вязкой жидкости. Использование принципа максимума энтропии для вывода условий замыкания усредненных уравнений Рейнольдса основано на общей "термодинамической" идее, состоящей в том, что состояния с максимальной энтропией должны максимально наблюдаться в природе и быть максимально устойчивыми [10а]. Следовательно, использование данного подхода для задач динамики случайно-возмущенных систем является обоснованным.
Цель работы. Основной целью работы является построение метода замкнутого описания усредненной динамики случайно-возмущенных конечномерных систем в форме дифференциальных уравнений. Динамическими переменными такого описания являются моменты вероятностных распределений их исходных параметров. Такое описание позволит получать исчерпывающую, качественную и количественную информацию об асимптотическом поведении статистических моментов вероятностных распределений динамических параметров системы. Данная цель достигается с помощью специального варианта метода максимальной энтропии. Другой целью работы является получение решений для статистических параметров распределений в конкретных задачах теоретической физики, в частности, в моделях механических систем типа нелинейных осцилляторов и вращающихся тел, атомной кластеризации и моделях динамики солнечного ветра.
Задачи исследования.
-
Разработать специальную формулировку метода максимальной энтропии в применении к конечномерным случайно-возмущенным динамическим системам, которая использует метод усреднения по ансамблю типа метода Рейнольдса в теории турбулентности.
-
В рамках метода максимальной энтропии построить вариационную процедуру вывода замкнутой системы уравнений для статистических моментов нелинейных динамических систем.
-
Исследовать общие закономерности структуры решений замкнутой системы усредненных уравнений для моментов, а также их асимптотического поведения.
-
Исследовать модель атомной кластеризации под действием флуктуирующего радиационного излучения. Описать усредненную динамику предлагаемой системы, найти ее решение и сравнить результаты с решениями исходной модели.
-
Исследовать модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуации плазмы в приближении Паркера. Описать усредненную динамику предлагаемой системы, найти ее решение и сравнить результаты с решениями исходной модели.
Методы исследования. Для исследования случайно-возмущенных нелинейных уравнений в диссертации применяется метод Рейнольдса, а также метод максимальной энтропии, развиваемые в главе 2. Для анализа конечномерных динамических систем с помощью метода максимальной энтропии разработан новый метод квадратичного представления систем. Также применяются известные методы качественного анализа динамических систем и методы анализа их устойчивости с помощью теории возмущений.
Научная новизна. В работе представлены следующие новые результаты:
-
На основе метода Рейнольдса разработан новый вариант метода максимальной энтропии (ММЭ), позволяющий получать замкнутое описание динамики моментов вероятностных распределений параметров произвольных конечномерных случайно-возмущенных динамических систем.
-
Для анализа конечномерных систем с полиномиальной нелинейностью (системы полиномиального типа) построен новый метод их преобразования к представлению, названному квадратичным. В рамках метода любая динамическая система полиномиального типа представляется системой большей размерности, но с квадратичной нелинейностью, что приводит в рамках ММЭ к нормальному закону распределения флуктуации в системе.
-
Выделен особый класс решений уравнений для моментов, полученных с помощью ММЭ, названный состоянием с максимальной энтропией. Этот особый класс реализует наблюдаемое устойчивое поведение средних значений и моментов систем вблизи их невозмущенного состояния.
-
Найдены условия устойчивости при различных свойствах случайного процесса стационарных решений ряда исследуемых уравнений.
-
Построена новая модель динамики роста кластеров в первоначально однородной нелинейной среде под действием внешнего случайно флуктуирующего излучения. Исследованы условия возникновения в такой среде когерентных, в том числе, периодических структур.
-
Построена новая модель солнечного ветра в упрощенной формулировке Паркера, но учитывающая турбулентные флуктуации плазмы и изменение их характеристик в зависимости от расстояния от Солнца.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в диссертации случайно-возмущенные модели Ферхюльста, Вольтерра-Лотки, атомной
кластеризации, нелинейной диффузии, Эйлера вращения твердого тела, Лоренца, случайно-возмущенного математического маятника и система Паркера солнечного ветра могут быть использованы для решения демографических, биологических, радиационных, механических и астрофизических задач динамики нелинейных систем с последующим сравнением теоретических расчетов с экспериментальными данными.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Совокупность уравнений динамики конечномерных СВ-систем, относительно средних значений и моментов переменных задачи (уравнения Рейнольдса), может быть замкнута с помощью условия достижения системой состояния с максимальной энтропией на заданном интервале времени. Это условие эквивалентно переходу системы в состояние локального равновесия. Усредненная система, замкнутая с помощью метода максимальной энтропии, допускает, по крайней мере, один интеграл движения, соответствующий закону сохранения полной удельной энтропии системы.
-
Для любой конечномерной динамической системы с полиномиальной нелинейностью существует квадратичное представление, преобразующее систему к форме с нелинейностью не выше второго порядка. Распределение вероятностей флуктуации координат любой системы в квадратичном представлении, построенное с помощью метода максимальной энтропии, является нормальным.
-
Среди всех решений замкнутой системы усредненных уравнений, построенных по методу максимальной энтропии, существует решение, описывающее состояние с максимальной энтропией среди всех других решений, выделенное условием равенства нулю всех или части корреляций между параметрами системы.
-
Усредненные уравнения модели формирования кластеров в материале под действием внешнего радиационного облучения имеют растущие по времени и периодические по координатам решения, соответствующие образованию периодических структур в облучаемом материале. Выделенное решение с максимумом энтропии описывает периодические вариации структуры кластера вблизи невозмущенных решений, связанные с малыми вариациями корреляций между концентрациями дефектов.
-
В рамках развитого метода существует замкнутая модель радиального течения солнечного (звездного) ветра с учетом турбулентных флуктуации плазмы (обобщенная модель Паркера). Обобщенная модель Паркера с учетом турбулентных флуктуации плазмы дает более адекватное описание параметров солнечной плазмы на дальних расстояниях от Солнца, чем исходная модель Паркера.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики и Научно-исследовательского технологического института Ульяновского государственного университета, а также на конференциях: Седьмая международная конференция «Математическое моделирование физических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009 года); Вторая Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 года); Шестая всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 года); «Конференция-конкурс молодых физиков России» (г. Москва, 31 января 2011 года); XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 года); XVIII международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 11-15 апреля 2011 года); Конференция «Космос и наука» (г. Ульяновск, 2012 год); XIX международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 9-13 апреля 2012 года); Третья Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа - 1 сентября 2012 года); VII Всероссийская конференция молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и
нелинейная физика» (г. Саратов, 24-26 сентября 2012 года); Седьмая всероссийской конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 29-31 января 2013 года); Международная молодежная научная школа-универсиада «Микромир и макромир-2013» (г. Москва, 15-27 апреля 2013 года); IL Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (г. Москва, 14-17 мая 2013 года); Международный семинар "Нелинейные поля в теории гравитации и космологии" и Российская школа "Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений" (г. Казань, 21-26 октября 2013 года); Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии "Петровские чтения-2014" (г. Казань, 17-21 февраля 2014 года); L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (г. Москва, 13-16 мая 2014года); 15-я Российская гравитационная конференция «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике» (г. Казань, 30 июня - 5 июля 2014 года); Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 25 августа - 1 сентября 2014 года).
Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1] - [6], опубликованных в ведущих российских журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из пяти глав. Список литературы содержит 139 наименований. Общий объем 148 страниц.
Методы решения стохастических динамических уравнений
При решении систем дифференциальных уравнений, описывающих физические явления, часто прибегают к анализу устойчивости этих решений. В зависимости от выбранного механизма устойчивостьрешения может быть линейной, асимптотической, устойчивостью по Ляпунову, и др. [18, 20]. Дадим определения. где Q - область пространства R", содержащая начало координат, / = [r;oo], называется устойчивым по Ляпунову, если для любых t0 є I и є 0 существует 8 0, зависящее только от є и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого х0, для которого х0 5, решение х системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t t0 и удовлетворяет неравенству (/) є. Тривиальное решение х = 0 системы (1.1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если 8 из предыдущего определения зависит
Тривиальное решение х = 0 системы (1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие lim IIд: (Ґ, Ґ0 , л:0 ) = 0 для всякого х с начальным условием х0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля. Часто при исследовании решения динамической системы пользуются проверкой данного решения на линейную устойчивость в различных порядках малости возмущения [20]. Как правило, наиболее распространенным подходом является представление неизвестных функций хг (7) в виде xi(t) = xi0+x i(t), (1.2) где х10 - стационарное решение исследуемой системы, л- (7) - возмущение первого порядка малости. Дадим определение стационарной точки (стационарного решения). Критической (стационарной) точкой дифференцируемой функции f-.D -R, где D - область в Rn, называется точка, в которой все ее частные производные обращаются в нуль. В дальнейшем выражение (1.2) подставляется в исследуемые уравнения, и отбрасываются слагаемые не первого порядка малости. Оставшиеся слагаемые представляются в следующем виде: Далее вычисляются и анализируются собственные числа Я системы. В случае Re(2) 0 стационарное решение х10 будет линейно устойчивым в первом порядке малости. В противном случае - линейно неустойчивым.
Устойчивость или неустойчивость стационарного решения системы динамических уравнений в линейном приближении может быть качественно оценена по собственным числам Л. В зависимости от того, являются ли собственные числа характеристического уравнения, получившегося путем линеаризации решения в первом порядке малости, вещественными (положительными или отрицательными), комплексными или мнимыми, траектории системы по-разному будут вести себя по отношению к стационарной точке. Фазовый портрет таких систем может представлять из себя замкнутые траектории, траектории с седловой точкой, аттрактор, репеллер [1]. В общем случае вместо притягивающей или отталкивающей точки может быть притягивающееили отталкивающее множество.
Понятие «аттрактор» использовано в Главе 3 настоящей диссертации. Дадим определение.
Аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящимся к бесконечности [21, 22].
В отличие от стационарных точек, имеющих относительно небольшую разновидность, классификация аттракторов более сложная [23]. Аттракторы классифицируют по формализации понятия стремления, регулярности самого аттрактора, локальности и глобальности.
Существуют и «именные» примеры аттракторов. В частности, в пункте 3.5 Главы 3 приводится анализ стохастической модели Лоренца, которая при определенных условиях может описывать аттрактор Лоренца [21, 22]. Сама модель выглядит следующим образом:
Аттрактор был найден в численных экспериментах при следующих параметрах: а = \0, г = 28, 6 = 8/3. Данная система возникает в различных физических моделях, таких как: конвекция в замкнутой петле, вращение водяного колеса, модель одномодового лазера, диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.
В случае отталкивания траекторий системы из критической точки (множества), сама точка (множество) называется репеллером.
Репеллер [21] - инвариантное множество динамической системы, обращающееся в аттрактор при обращении времени.
Классическим примером репеллера является поведение системы (1.4) при 13.927 г 24.06. В этом случае в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Эта структура называется «странным репеллером» [21].
Для описания и решения случайно-возмущенных уравнений необходимо пользоваться дополнительными методами, так как в описываемых процессах присутствует случайный шум.
Пожалуй, самым распространенным методом анализа стохастических процессов является Метод Монте-Карло [24, 25], являющийся группой численных методов, основанных на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Метод Монте-Карло является одним из самых распространенных во многих областях от квантовой физики до физики твердого тела, физики плазмы и астрофизики. Однако данный подход применяется скорее в задачах описания или имитирования эксперимента. К задачам исследования стохастических дифференциальных уравнений, содержащим в явном виде случайный шум, он не применим.
В биологии часто пользуются понятием «стохастический резонанс» [26], являющимся усилением периодического сигнала под действием белого шума определенной мощности. В зависимости от внешнего сигнала система может беспорядочно «блуждать» или переходить из одного состояния в другое. Качественный анализ возможности и периодичности наступления какого-либо состояния и есть основная задача исследования случайно-возмущенных систем, описывающих явление стохастического резонанса.
В работе [131] для устранения случайных сторонних сил делают предположение о малости параметра отношения энергии шумов к кинетической энергии макроскопического движения, что в ряде случаев позволяет существенно упростить задачу решения стохастических уравнений.
Но, несмотря на разновидность методов исследования случайных явлений в физических явлениях, в данной диссертации ввиду невозможности качественного детального анализа процесса задача описания стохастических уравнений решается путем их усреднения по ансамблю, то есть по всем состояниям системы.
Системы с квадратичной нелинейностью
Для N-мерной вещественной непрерывной случайной величины S = { (t), 2(t),..., N(t)}, принимающей значения х = {x1,...,xN}єRN, рассмотрим задачу отыскания совместного распределения ps(x) = рі(ЛІ (х ... , имеющего максимальную энтропию (по Шеннону) при заданных моментах случайной величины S вплоть до фиксированного порядка Qt по каждой координате хг:
Заметим, что четность порядков необходима для обеспечения сходимости интегралов в (2.1). Введем понятие мультииндексов k = {k1,k2,...,kN) как совокупность индексов kx,k2,...,kN . Определим для мультииндекса операцию модуля по формуле: \k\=kl+k2 + ... + kN. Тогда имеют смысл следующие сокращенные обозначения: Кк=КкЛ л ,Mk=MkkJl , полезные для дальнейшего описания. Поставленная задача с водится к вариационной задаче, которую мы в дальнейшем будем называть первой вариационной задачей. Первая вариационная задача сводится к отысканию максимума функционала: H = - \ ps(x)ln при условии, что заданы числовые значения М(0) всех моментов м = (Мкк к) (21) : М=М(0). С помощью метода множителей Лагранжа переходим от задачи на условный максимум к задаче на абсолютный максимум для функционала:
Это соотношение позволит нам перейти к решению второй вариационной задачи, связанной с динамикой гамильтоновких систем, к формулировке которой мы теперь переходим.
Метод Рейнольдса для конечномерных динамических систем
Метод Рейнольдса в применении к конечномерным динамическим системам [12, 14] сводится к вычислению усредненных уравнений относительно средних значений динамических переменных и их моментов из самих исходных уравнений динамической системы. При этом предполагается, что исходные уравнения в первоначальном виде могут содержать аддитивные случайные добавки, которые исчезают после усреднения по ансамблю. Системы с такими внешними случайными добавками в дальнейшем мы будем называть случайно-возмущенными динамическими системами. Скрытое внешнее воздействие внешних случайных сил на изменения средних значений динамических переменных случайно-возмущенных систем в этом случае проявляется в зависимости со временем моментов случайных динамических переменных. Поскольку после усреднения в уравнениях для средних значений динамических переменных системы случайные аддитивные добавки исчезают, то отличить эти системы с первоначальным присутствием внешних сил или их отсутствием оказывается невозможным. Это может служить основанием для предположения, что усредненные динамики таких систем неотличимы и объединить их для общего анализа.
Рассмотрим N -мерную динамическую систему x = {x1,...,xN} , координаты которой описываются системой дифференциальный уравнений общего вида: xa=fa(x,t) + ea,a = l,...,N, (2.9) где предполагается, что случайные внешние возмущения єа обладают тем свойством, что при усреднении по ансамблю всех возможных реализаций этих случайных процессов их математические ожидания равны нулю: 4х) =о. При этом все детерминированные составляющие обобщенных силовых функций, действующих на систему, должны быть учтены в записи силовых функций fa(x,t). Вывод уравнений Рейнольдса производится следующим образом. Случайные внешние возмущения системы приводят к возникновению случайных возмущений ее динамических параметров, которые можно представить в следующем виде: средние по ансамблю динамические переменные системы, ах -их случайные возмущения с нулевыми математическими ожиданиями: JC =0 . Следуя методу Рейнольдса [17], уравнения для усредненных параметров системы (2.10) будут иметь следующий вид:
Здесь F(X,t)= f(x,t) - усредненные силовые функции, а М -совокупность тензоров всех моментов случайных флуктуации с компонентами Mk{t)=Mk к = х х x N , и введен мультииндекс k = {kl,...,kN), \k\=kx + ...+kN. Представляя силовые функции f(x,t) в виде ряда Тейлора в окрестности точки х = Х , результат вычисления усредненной силовой функции F можно записать в следующем виде:
Система уравнений Рейнольдса (2.10) содержит кроме средних значений координат X еще и моменты этих величин Мк, для которых уравнения отсутствуют. Поэтому для замыкания этой системы уравнений воспользуемся методом максимальной энтропии в форме, предложенной в [12, 13, 14]. Идея использования метода максимальной энтропии для замыкания системы уравнений Рейнольдса состоит в том, что распределения, имеющие максимум энтропии, описывают макросостояния систем, которые реализуются наибольшим числом микросостояний. Последнее означает, что такие состояния системы должны наблюдаться гораздо чаще, чем любые другие возможные состояния системы.
Рассмотрим континуальное вероятностное распределение p{x,)[t t ] , являющееся распределением непрерывного случайного процесса S с N переменными x (t) = {x[(t),...,x N(t)}, заданного на интервале времени [Ґ13Ґ2] .
Следуя идеологии метода максимальной энтропии, для решения задачи замыкания уравнений Рейнольдса, необходимо максимизировать функционал энтропии континуального распределения p{x,][t t А при условии, что на моменты этого распределения накладываются дополнительные условия, которые сводятся к совокупности из N усредненных уравнений Рейнольдса (2.10), выполняющихся в каждый момент времени t [tl,t2\. Формально эта задача сводится к континуальному аналогу задачи о максимуме энтропии, рассмотренной в разделе 2.2. Выражение для энтропии системы с распределением p{x,)[t t ] можно условно записать в виде континуального интеграла:
Однако в реальности исследование такого рода выражений является чрезвычайно сложным. Поэтому возникает необходимость использовать некоторые упрощающие ситуацию свойства исследуемых уравнений. Одним из таких важных свойств уравнений Рейнольдса (2.10) является их локальность. Поскольку уравнения (2.10) выполняются в каждый момент времени независимо, то континуальное распределение p{x,)[t t ], доставляющее максимум энтропии S , должно обладать свойством независимости случайных величин x (t) и x (t ) для любых двух моментов времени Ґє[ґ13Ґ2] и Ґ Є[Ґ13Ґ2]. Такой вывод нетрудно сделать, анализируя аналогичную задачу с дискретным временем и, затем, переходя к пределу с непрерывным временем [39].
Энтропия совместных распределений независимых случайных величин обладает свойством аддитивности (см., например, [39]). Независимость векторов x (t) в различные моменты времени означает, что p{x,][t t л можно представить в виде континуального произведения удельных распределений рх,(х i). Мы будем полагать, что выполнены все необходимые и достаточные условия для того, чтобы можно былозаписать следующее выражение:
Аналитическое решение усредненной системы
Эта система допускает закон сохранения. Как и в механике, условия достижения функционалом S экстремума (здесь максимума) приводят к общему первому интегралу движения, аналогичному интегралу полной механической энергии. Аналогом энергии для функции Лагранжа L является следующая величина: представлющая собой удельную энтропию распределения вероятностей. Вычисляя полную производную по времени от величины S на траекториях системы, приходим к следующему соотношению:
Стационарная точка и ее устойчивость С точки зрения полезности развитого подхода важным является вопрос об устойчивости полученных уравнений по отношению к малым возмущениям. Для динамических систем важным является найти стационарные точки и циклы и исследовать их устойчивость. Система (3.7) обладает одной стационарной точкой, координаты которой вычисляются из уравнений:
Среди этих собственных ненулевых значений всегда имеется корень с положительной вещественной частью. Следовательно, в линейном приближении стационарная точка системы является неустойчивой для всех параметров СВ-уравнения. Этот вывод подтверждается графиками численного решения уравнения (3.2), приведенных на рис 3.1. Действительно, стационарная точка усредненной системы всегда лежит точно по середине между двумя стационарными точками невозмущенного уравнения со значениями 0 и аїр в фазовой плоскости. Кривая же возмущенного движения на рис 3.1 совершает колебания вблизи стационарной точки невозмущенного движения.
Здесь С2 - постоянная интегрирования. В зависимости от параметров модели и постоянной интегрироваяния С2 могут существовать такие значения в = в(г) , при которых подкоренное выражение становится отрицательным. Это означает, что в области таких значений в отсутствуют вещественные решения уравнения (3.18). В свою очередь это означает, что при таких параметрах модели и начальных условиях система не переходит в состояние с максимумом энтропии.
Проделывая аналогичные вычисления для уравнения (3.2) без шумов, получаем другое выражение:
Типичные фазовые траектории уравнений (3.18) и (3.19) для различных значений параметра С2 представлены на рис. 3.2. Сплошными линиями обозначены траектории усредненной системы, а пунктиром - траектории уравнения (3.2) без шума. Параметр С2 определяет тип фазовой траектории системы. Как видно из рисунка, существует критическое значение параметра С2, которое разделяет возможные траектории в усредненной системе по типу их асимптотического поведения. Таких областей четыре. На рисунке они обозначены римскими цифрами.
Траектории усредненной системы, соотвествующие критическому значению параметра С2 (на рис. 3.2 точка Рсг ), разделяют всю фазовую плоскость (правую полуплоскость на рис. 3.2) на четыре области, в которых располагаются траектории четырех различных типов. В областях I и IV содержатся траектории системы, которые выходят из точек # = +оо, # = -оо (IV) И в = О, в = +оо (I) И При t -» оо СТреМЯТСЯ К ТОЧКЄ в = О, в = -оо , ЧТО СООТВеСТВуеТ ПредеЛЬНОМу ЗНачеНИЮ Х(оо) = -оо И ДИСПерСИИ Z(oo) = crx2(oo) = oo. В областях II и III содержатся траектории системы, которые при Ґ -ОО стремятся к точке # = оо, б = х , что соотвествует предельному значению Х(сс) = а/ /3 и дисперсии Z(oo) = т2(оо) = о. Это означает, что, если в начальный момент времени наблюдаемые параметры системы х(0) и Z(0) = r2(0) таковы, что находятся в одной из областей I или IV, то система переходит в максимально хаотическое состояние. Если же начальные параметры лежат в областях II и III, то система переходит в детеминированное состояние. Поскольку с точки зрения осцилляторной интерпретации модели Ферхюльста величина х = 1 представляет собой скорость экспоненциального роста или убывания амплитуды колебаний, то при t -»оо коэффицент затухания будет иметь следующий вид: у =2у-Х =2(-1/ у2-со\ к = 1,2. Т.е. амплитуда либо будет расти, либо убывать при Ґ -»оо. Случайные же флуктуации при этом будут вести себя в соотвествие с диаграммой на рис. 3.2. Следовательно, внешний шум может приводить как к росту колебаний, так и к их затуханию. Эта ситуация относитсятолько к случаю у а . Случай с частотой осциллятора большей, чем коэффицент затухания требует отдельного анализа.
Модель атомной кластеризации под действием случайного радиационного излучения с диффузией
Показано, что усредненная система стохастического математического маятника, приведенная в систему с квадратичной нелинейностью, имеет две стационарные точки, динамика вблизи которых существенно отличается. Одно из этих решений, соотвествующее равновесному вращению математического маятника, будет устойчивым в первом порядке линейного приближения. Второе стационарное решение (а )0 = 0, (sin( ))o = 0, (cos( ))o = ±1, соответствующее детерминированному покою в силу равенства дисперсий /JC,2\ =о,/уа\ =0 нулю, будет условно устойчивым в первом порядке линейного приближения при 70 = 1 (положение устойчивого равновесия) и неустойчивым при 70 = -1 (положение неустойчивого равновесия). Фактически, это означает, что стохастическая система после усреднения со временем переходит в состояние с максимальной энтропией, соответствующее нулевым ковариациям флуктуации параметров модели.
Анализ эффективности применения ММЭ к динамическим моделям Из проведенного анализа СВ-моделей Ферхюльста, Вольтерра-Лотки, Эйлера вращения твердого тела, Лоренца и стохастического математического маятника следует, что динамика таких уравнений существенным образом зависит от величины дисперсии шума. При сравнительно небольших значениях этого параметра модели в среднем эволюционируют вблизи своего среднего значения, которое удовлетворяет невозмущенным уравнениям. Поэтому, как было показано для рассмотренных одномерных и двумерных моделей, все состояния с Z Ф о оказываются линейно неустойчивыми уже в первом порядке теории возмущений, а это означает, что очень быстро они переходят в первоначальное невозмущенное состояние. Решив усредненную систему Ферхюльста аналитически и проверив ее решение на устойчивость в первом порядке теории возмущений, было получено, что возмущения Е, и и являются ограниченными, а решение устойчивым по Ляпунову в силу своей ограниченности. Важным свойством данной системы является возможность ее перехода при r -оо как в детерминированное состояние с дисперсией равной нулю, так и в состояние с бесконечной дисперсией. Переход в ту или иную область определяется начальными условиями в усредненной системе, для которых были выяснены общие условия перехода в то или иное состояние. Найденные закономерности относятся в целом и к модели затухающего осциллятора с флуктуирующей частотой.
Для модели Вольтерра-Лотки исключение составляет ситуация, когда параметр z оказывается очень большим. В этом случае асимптотический вид усредненной системы приобретает особый вид. Коэффициент корреляции К системы асимптотически стремится к одному из значений ±1. При таких значениях к энтропия мала, что должно означать с точки зрения самого принципа максимума энтропии неустойчивость таких состояний. Тем не менее при определенном знаке коэффициента корреляции система может существовать в таком состоянии достаточно долгое время, которое необходимо для перехода в состояние с максимальной энтропией. Выбор знака коэффициента корреляции в состоянии с большой дисперсией и малой энтропией при этом определяется скрытой динамикой ненаблюдаемых переменных Uу . Поэтому усредненная динамика системы в таком асимптотическом пределе приобретает черты случайных скачков. Поскольку от знака коэффициента корреляции существенно зависит устойчивость такой системы, то при знаке корреляции -1 система может существовать вблизи такого состояния достаточно долго, но при смене знака корреляции она теряет устойчивость уже в первом порядке возмущений и либо меняет знак корреляции, либо переходит в состояние с максимальной энтропией. Таким образом, этот качественный анализ можно рассматривать как нестрогое доказательство того, что состояние с максимальной энтропией является не только устойчивым, но и асимптотически устойчивым, что подтверждает общую эвристическую концепцию использования метода максимальной энтропии на практике.
Стационарные точки усредненной системы Эйлера вращения твердого тела оказываются линейно условно устойчивыми по отношению к возмущениям первого порядка малости. СВ-уравнения Эйлера также оказываются устойчивыми по Ляпунову. Для стационарной точки (3.83) модели Лоренца существует порог устойчивости (3.85).
Для модели случайно-возмущенного математического маятника показано, что стационарное решение (3.104), близкое к состоянию с максимальной энтропией, имеет 2 состояния (положения устойчивого и неустойчивого равновесий). Это означает, что стохастическая система после усреднения со временем переходит в состояние с максимальной энтропией, соответствующее нулевым ковариациям флуктуации параметров модели. В точке (3.103) маятник вращается с произвольной скоростью, от значения которой зависит устойчивость системы. При выполнении условия (3.108) решение (3.103) будет условно устойчивым в первом порядке теории возмущений.
Общей особенностью вышеперечисленных стохастических моделей является то, что если после усреднения по методу Рейнольдса в уравнениях пояляются ковариации флуктуации и отсутствует дисперсии, то для таких систем существует состояние с максимальной энтропией. При наличии дисперсий флуктуации в уравнениях Рейнольдса, как правило, для аналитических решений существуют асимптотические состояния с дисперсией равной нулю. Данный подход был показан на примере уравнения Ферхюльста.
В целом, стоит отметить удобство, простоту и эффективность применения метода максимальной энтропии в сочетании с методом усреднения Рейнольдса к рассматриваемым задачам. Нетрудно вычисляются и анализируются стационарные решения и их устойчивость, аналитические решения, решения в состоянии с максимальной энтропией, что говорит об обоснованности выбранного подхода.
Еще одним существенным достоинством метода максимальной энтропии применительно к стохастическим динамическим моделям является прямое получение замкнутых систем уравнений без искусственно вводимых функций [9], что указывает естественный путь к отысканию состояний, вблизи которых в основном и происходит эволюция систем, что является основным признаком их наблюдаемости в экспериментах.