Содержание к диссертации
Введение
1 Современные многомерные теории калуцы клейна 10
1.1 История многомерных теорий Калуцы-Клейна 10
1.2 Обзор современных многомерных теорий Калуцы-Клейна 11
1.2.1 Компактифицированные теории 13
1 2.2 Проективные теории 14
1.2.3 Некомпактифицированные теории 14
1.3 Обзор решений в многомерных теориях гравитации 15
1.4 Проблема компактификации 19
1.5 Brane-world сценарий 20
1.6 Выводы 22
2 Гравитация на главном расслоении 23
2.1 Геометрия на главном расслоении 23
2.2 Уравнения многомерной гравитации на главном расслоении с простой структурной группой 27
2.3 Выводы 29
3 Решения в теориях гравитации на главном расслоении с u(l) и su(2) структурными группами 31
3.1 U(l) калибровочная группа как дополнительная размерность 31
3.1.1 Выключенное магнитное поле 33
3.1.2 Выключенное электрическое поле 33
3.1.3 Магнитное поле равно электрическому 37
3.1.4 Промежуточный случай 37
3.1.5 Обсуждение семейства этих решений 38
3.2 SU(2) калибровочная группа как дополнительные размерности 41
3.2.1 7D анзац и уравнения 43
3.2.2 Численное исследование 44
3.3 Обсуждение SU(2) решений 45
3.4 Выводы 53
4 Физический смысл грассмановых координат 54
4.1 Введение 54
4.2 Физическая идея 55
4.3 Пространственно - временная пена и неопределенность 58
4.3.1 Предыдущие результаты 58
4.3.2 Математические определения 58
4.4 Геометрическая интерпретация 60
4.5 Вычисление SB оператора 61
4.6 Выводы 61
5 Модель пространственно-временной пены 64
5 1 Модель топологической ручки в пространственно-временной пене на основе полученных решений 64
5.2 Приближенное описание пространственно-временной пены 66
5.2.1 Операторное описание пространственно - временной пены 66
5.3 Скалярное поле 67
5.3.1 Экранировка голого электрического заряда 69
5.3.2 Электростатическая энергия заряда 70
5.3.3 Следствия 70
5.4 Спинорное поле 70
5.4.1 Энергия электрического поля 73
5.5 Выводы 74
6 Струны в эйнштейновской парадигме материи 78
6.1 Сверхдлинные трубки с потоком электрического и магнитного полей 78
6.2 Д-струна 83
6.3 Гравитационные волны на трубке 83
6.4 Некоторые свойства А-струн 87
6.4.1 Численные расчеты 87
6.4.2 Приближенное решение для Q « 0 88
6.4.3 Разложение в ряд 93
6.4.4 Приближенная модель А-струны 94
6.4.5 А-струна как модель электрического заряда 97
6.5 Обсуждение 99
6.6 Выводы 99
Выводы 101
Список Использованных Источников 103
- Обзор современных многомерных теорий Калуцы-Клейна
- Уравнения многомерной гравитации на главном расслоении с простой структурной группой
- SU(2) калибровочная группа как дополнительные размерности
- Пространственно - временная пена и неопределенность
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время неотъемлемой частью почти любой физической теории, претендующей на роль фундаментальной и пытающейся объяснить физические взаимодействия на единой основе, является наличие дополнительных измерений. Так. например, во многих теориях Великого объединения, в теории струн реальными кандидатами являются только те ее варианты, в которых объемлющее пространство является многомерным. В такого рода теориях реально наблюдаемое 4-мерное пространство, в ко юром мы живем, является результатом ком-пактификации дополнительных измерений, после чего характерные размеры дополнительных измерений становятся на много порядков меньше характерных размеров 4-мерного пространства. В настоящее время одной из наиболее вероятных претендентов на роль теории, объединяющей все фундаментальные взаимодействия, является теория суперструн. Эта теория с необходимостью должна быть многомерной, так как, в противном случае, в ней появляются нежелательные физические следствия. Недостаток экспериментальных данных не позволяет однозначно отдать предпочтение какому-либо одному из вариантов многомерной гравитации, поэтому исследование различных вариантов многомерных теорий является актуальной задачей в современной теоретической физике.
Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является формулировка теории гравитации на главном расслоении с метрикой на слоях, согласованной с алгебраической структурой структурной группы G, а также исследование статических сферически - симметричных горловиноподобных решений и выяснение их физического смысла.
Для достижения поставленных задач необходимо :
Исследовать геометрическую структуру тотального пространства главного расслоения.
Получить вариационным способом уравнения гравитации на главном расслоении, используя алгебраические ограничения на метрику структурной группы.
- Получить решения для сферически симметричного случая, используя
і горловинные граничные условия.
Исследовать свойства, полученных решений, зависящие от соотношений между электрическим и магнитным полями, заполняющими трубку-
Установить связь между свойствами квантовых топологических ручек, возникающих и аннигилирующих в пространственно - временной пене, с одной стороны, и свойствами грассмановых чисел, с другой стороны.
Исследовать свойства приближенной модели пространственно - временной пены, основанной на приближенном описании квантовых топологических ручек как диполей.
- Исследовать свойства сферически симметричных горловиноподобных
решений при почти полном совпадении электрического и магнитного
полей, заполняющих трубку
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной
Сформулирована теория гравитации на главном расслоении со структурной группой G и с алгебраическими связями на метрику на слоях, согласованными с алгебраической структурой группы G.
Получены сферически - симметричные горловиноподобные решения в теориях гравитации на главных расслоениях со структурными группами U(l) и SU(2).
Предложена геометрическая модель интерпретации грассмановых координат в суперпространстве, которая использована для описания флуктуирующих квантовых ручек в пространственно - временной пене.
Предложена модель пространственно - временной пены, в которой решения, полученные в главе 3, позволяют приближенно описать пространственно - временную пену как некую непрерывную среду, в которой диэлектрическая и магнитная проницаемости приближенно описываются скалярным либо спинорным полем.
Введено понятие А—струны. Исследовано распространение возмущений (гравитационных и электромагнитных волн) на А—струне. Предложена модель прикрепления А—струны к некоему внешнему пространству (D-brane). Показано, что в этом случае магнитные монополи в природе запрещены.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в классической многомерной гравитации, в квантовой гравитации, при чтении университетских спец. курсов.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту
Многомерные теории гравитации на главных расслоениях со структурной группой G и с метрикой на слоях, подчиненной некоторым алгебраическим соотношениям, следующим из алгебраической структуры группы G.
U(l) и SU(2) статические сферически - симметричные горловиноподобные решения в многомерных теориях гравитации на главных расслоениях.
Геометрическая трактовка грассмановых координат в суперпространстве.
Физическая интерпретация сферически - симметричных горловиноподобных решений как модели топологической ручки в пространственно - временной пене.
Приближенная модель пространственно - временной пены как некоей диэлеырической среды в которой диполями являются топологические ручки
Физическая иніерпретация сферически - симметричных горловинопо-добных решений с почти совпадающими эпектрическим и магнитным полями как почти 1-мерных объектов - Д—струн.
Геометрическая модель элекрического заряда как точки прикрепления А—струны к пространству - времени.
Личный вклад соискателя : в работах, опубликованных в соавторстве (с Douglas Singleton и Hans-Juergen Schmidt), соискателем были постав-
> лены задачи, проведена часть вычислений. Соавторами были выполнены
оставшаяся часть вычислений и оформление текста статей.
Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Доклад на 22nd International Nathiagali Summer College on Physics and Contemporary Needs, 28 July - 9 August, 1997, Islamabad, Pakistan.
,.Kolmogorv's algorithmic complexity and its probability interpretation in
quantum gravity ". V. Dzhunushaliev, talk given at 8th Marsel Grossman
Meeting, 22-27 June, 1997, Jerusalem, Israel, p.865, ed. Tsvi Piran, „World
Scientific (Singapour - New Jersey - London - Hong Kong) ". і
„Multidimensional geometrical model of the electrical and SU(2) colour charge with spliting off the extra dimensions ", V. Dzhunushaliev, talk given at 8th Marsel Grossman Meeting, 22-27 June, 1997, Jerusalem, Israel, p.508, ed. Tsvi Piran, „World Scientific (Singapour - New Jersey - London - Hong Kong) ".
„Multidimensional SU(2) wormhole between two null surfaces", V. Dzhunushaliev, talk given at 8th Marsel Grossman Meeting, 22-27 June, 1997, Jerusalem, Israel, p.510, ed. Tsvi Piran, „World Scientific (Singapour - New Jersey - London - Hong Kong) ".
, - „The model of the piecewise compactification ". Dzhunushaliev V. talk
given at „British society for the philosophy of science : Physical interpretation of relativity theory - VI, Imperial College, London, 11-14 September 1998.
Доклад „Spherically symmetric nonasymptotically flat solutions in multidimensional gravity ", Seminar „Partielle Differential Gleichungen und Gravitationsphysik", 12 November 1999, Potsdam Universitaet, Germany.
Доклад V.Dzhunushaliev, D.Singleton, „Experimental test for 5th dimension in Kaluza-Klein gravity", Talk given at the Third Meeting on Const-
> rained Dynamics and Quantum Gravity, Villasimius (Sardinia), September
13-17, 1999. Published in Nucl.Phys.Proc.Suppl. 88 (2000) 225-228.
Доклад Y Dzhunushaliev. .Ли effective mode] of the spacetime foam". NATO ARW 24-27 Septembei. 2000. Kiev. Ukrama
Доклад Y Dzlmnushahcv. ..A model of the spacetime foam". ,.Frontiers of Fundamental Physics". 9-13 Deoembar. 2000. Hyderabad. India
Доклад Y.Dzhunubhaliev and D Singleton. ..Woimholes and Flux Tubes in Kaluzd-Klein Theory". 1999 Meeting of the Division of Particles and Fields of the American Physical Society January 5-9. 1999, Hosted by the University of California. Los Angeles. UCLA Conference Center,
.www dpf99.library ".
Научный семинар на кафедре физики Кыргызско-Российского Славянского университета. 15 мая 2002.
Объединенный семинар кафедры теоретической физики Кыргызского национального университета и Эйнштейновского научного центра при Кыргызском национальном университете. 1 июня 2002
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 33 печатные работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованной литературы из 137 наименований. Основная часть работы изложена на 120 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков.
В главе 1 проводится детальный литературный обзор существующих многомерных теорий гравитации и решений в этих теориях.
В главе 2 формулируется теория гравитации на главном расслоении, где метрика на слое расслоении согласована с алгебраической структурой структурной группы расслоения. Рассмотрен случай, когда метрика на слое определяется одной скалярной функцией.
В главе 3 рассматриваются два варианта такого рода теорий : U(l) и SU(2) группы как дополнительные измерения (слои на главном расслоении). В этой же главе приведены сферически - симметричные горловино-подобные решения для каждого варианта теории гравитации.
В главе 4 предлагается модель геометрической интерпретации грас-смановых координат в суперпространстве.
В главе 5 на основе результатов, представленных в главе 3, предлагается приближенная модель пространственно - временной пены, в которой ручками являются решения, найденные в главе 3. В этой модели пространственно - временная пена рассматривается как некий аналог непрерывной поляризованной среды.
В главе 6 рассматриваются те решения, найденные в главе 3, в которых электрическое поле « магнитному полю. Показано, что такие решения являются струноподобными объектами, прикрепленными либо к двум разным Вселенным, либо к двум сильно удаленным частям одной Вселенной. Рассмотрены свойства таких объектов и гравитационные волны на них.
В Заключении сформулированы основные результаты исследований, приведены (ведения об апробации о пол но і е опубликования в научной печати основною (одержання дииергационной работы
Дикертант бтагодарен на\ чном> консулыантч проф дф-мн. Гуро-вичу В Ц за ценные научные консулыации по теме диссертации, а также соавторам Dr Douglas Singleton и Dr habil. Hans-Jueigen Schmidt.
Обзор современных многомерных теорий Калуцы-Клейна
В некомпакіифицированньїх теориях предполагается, что все физические величины могут зависеть от дополнительных координат. D таком случае, пространство дополнительных измерений не обязательно должно быть симметричным. При. многомерное пространство - время является наиболее общим с геометрической точки зрения. В такого рода теориях метрика имеет следующий вид : где 7об - метрика на пространстве дополнительных измерений, д и - метрика 4-мерного пространства - времени и hafi - перекрестные компоненты. Все компоненты метрики зависят от уа и х . Координата уа - покрывает дополнительные измерения, а хц - 4-мерное пространства - время. Для того, чтобы иметь представление об этой теории, достаточно записать 5-мерный лагранжиан : где є определяет сигнатуру 5-мерной метрики (+,—,—,—, б); метрика определяется следующим образом : остальные величины определяются как : Видно что в га кой теории прікук івусч мате})ия в виде Dp;,. F , и ф. Владимиров 1] и Wesson lj инюрпреіируют эти величины как получение 4-мерной материи из многомерия К) Владимиров после получения этого лагранжиана дел ас і следующее - Выделяекя конформный множитель \ в 5-мерной метрике. - Используемся \словно цилиндричности по 5-ой координате так. что от т5 завис и і юіько конформный множиіель \.
В результате, после выделения 4-мерных координат (1- 4-расщепления). получается 4-мерная іравиїация. взаимодействущая с электродинамикой и неким скалярным полем. Wesson осіавляеі в левой части 5-мерных уравнений слагаемые с И \/2G ulZ. а все остальные слагаемые переносит в правую часть : где R , и R соответсчвенно 4-мерные тензор Риччи и скаля Риччи. Тензор Т имеет форму . д$ означает дифференцирование по 5-ой координате. Тензор Т можно интерпретировать как тензор энергии - импульса материи, индуцированной 5-мерной геометрией. В такой интерпретации неизбежно возникает вопрос о физическом смысле 5-ой координаты. Wesson с сотрудниками предполагают, что 5-ую координату можно интерпретировать как массу покоя частицы и подходящая система координат выделяется условием Физически это условие говорит о том, что масса покоя является постоянной величиной. Одно из первых решений достаточно большой общности было найдено Chodos oM и Detweiler oM [26]. Они рассмотрели 5-мерные уравнения Эйнштейна для следующей 5-мерной метрики где все функции /z, А, ф, /3 являются функциями только от радиальной координаты г; х - 5-ая координата. Соответствующая 4-мерная метрика выглядит следующим образом : где е" = е" + ж. (1.19) А2 ф Постоянное электрическое поле определяется следующим образом : % где G-гравитационная постоянная и Е-радиальное электрическое поле. Метрика (1.17) должна быть асимптотически плоской. Решение найдено в следующем виде : где ai,2,Pi,25 А и 5 являются некоторыми константами, удовлетворяющими следующим условиям : и электрический заряд Q связан с введенными выше константами следующим образом : В статьях 27]. [28] и 29j были получены решения в гравитации с- т?-про-(транственно и р-временными координатами и с метрикой Предполагается, что компоненты даь удовлетворяют тем же соотношениям, что и выше. В частном случае п = 3 пространственная метрика ищется в виде : функции ф іакже аксиально-симметричные Выб])ав w = р. общее решение имеет следующий вид где введена сферическая сие тема координат г. 9 \\ Р\ = Р/(соь#) - полиномы Лежандра В конце статьи рассматривается возможность представления этих решений как нескольких частиц, находящихся в просгранстве-времени в духе известных идей Эйнштейна о геометризации материи. В статьях [30] - [32] рассматриваются проблемы компактификации 5-ой координаты, рассеяния бесспиновых частиц в гравитационном поле 5-мерной горловины, стабильность этих горловин.
В работах Бронникова с соавторами [33]-[40] рассматриваются D-мерная гравитация, взаимодействующая с несколькими п5-формами Fs и дилатон-ными полями фа с действием . где и некоторая выделенная координата; дг = ds2 метрика на с -мерном фактор-пространстве \д\ = detpMJv, F2 = Fa, Ml MnsFsh "8; А5а-конс-танта взаимодействия; s Є S, а Є А. Все Мг, г 0 являются Риччи-плоскими пространствами, тогда как Мо является пространством постоянной кривизны KQ = 0, ±1. В такой постановке задачи получены следующие решения : (а) изотропные и анизотропные космологические модели; (б) статические модели с различными типами симметрии; (в) Евклидовы модели с подобными сим-метриями. В статьях [41]-[44] рассматриваются многомерные гравитации, взаимодействующие с дилатонными скалярными полями и антисимметричными формами в присутствии пересекающихся p-branes. Структура рассматриваемых теорий гравитации видна из соответствующего действия : іде д = gy\dzv dz - меірика на мноіообразии М diniJl/ = D. = [ (х) Є Ш1 век гор шлатонных нолей. (h(ll) невырожденная симметрическая / х / матрица (/ N) ва 0. па-форма (па 2) на D-мерном многообразии М. А-космологическая кон станіа и А„ есть 1-фома на Ш1 A„(r ) = Х(т а- о Є A Q = 1 / В (1.51)) меірика \д\ = dot(pw\ ). {F(!)2g = F"]i у F\ Xt дЧіХі ...g n«""n. а Є А. где А есть некоторое конечное множество и S GH есть стандартный іраничньїй член Gibbons Hawkmg. В этой модели с одним временем нее 0а = 1, когда сигнатура метрики является (—1. +1 +1) В статье [45] рассматривается поведение неоднородного решения в D-мериой эйнштейновской гравитации вблизи космологической сингулярности. Показано, что поведение метрики эквивалентно бильярду на пространстве постоянной отрицательной кривизны. Показано также, что статистические свойства такою бильярда допускают полное описание. В статье [46] рассматривается многомерная космологическая модель в теории Эйнштейна-Янга-Миллса. Рассматривается метрика : Показано, что статическое компактное пространство дополнительных измерений является притягивающим аттрактором для широкого класса начальных условий.
В статье [47] представлена классификация пространств постоянной кривизны с Евклидовой и Лоренцевой сигнатурами метрики. Этот результат дает простой алгоритм для определения принадлежности метрики к пространству де-Ситтера в каких-либо необычных координатах. В статье [48] представлены все статические сферически-симметричные решения в (4-гп)-мерных абелевых теориях Калуцы - Клейна. Решения параметризуются массой т, зарядом Тауба-НУТ а, п электрическими г и п магнитными Q2 зарядами. Метрика ищется в следующем виде : где 9fiv 4-мерная Эйнштейновская frame метрика Л - п U(l) калибровочных полей, рч а = {(п + 2)/n)V2. За последние несколько десятилетий в теоретической физике вновь стала популярной идея о том, что на самом деле наше пространство имеет чис ло измерений больше чем четыре В (татьях 49]-[55] был заложен современные подход к -пой проблеме Предполагается, что многие проблемы физики элементарных частиц могут быть решены ну гем введения струн, суперсимметрии и повышения размерности пространства - времени. При повышении размерности вснникаеі законный вопрос почему физические свойства дополнительных измерений сильно отличаюіся от свойств 4-мерного пространства - времени которое мы наблюдаем. Для решения этого вопроса был предложен механизм сноніанной компакіификации, заключающийся в следующем. В с?—мерном пространстве - времени рассматривается гравитация, возможно, взаимодействующая с материей. Для целей компактификации ищется решение специального типа Md = М4 х Md A. где М4 - 4-мерное пространство - время и Md A компактное пространство, натянутое на дополнительные измерения. Вакуумная метрика имеет блочный вид :
Уравнения многомерной гравитации на главном расслоении с простой структурной группой
На главном расслоении можно взять Н = е. Группа G может быть простая и полу простая. Если G полупроста, то : где 1г уже просты и являются идеалами. Поэтому рассмотрим случай простой алгебры, т.к. случай с полупростой алгеброй будет сводиться к этому случаю. Для простой алгебры Ли существует следующая теорема Теорема 1. ([82], стр. 455) : Всякая двусторонне инвариантная метрика на простой алгебре Ли L пропорциональна метрике Киллинга с постоянным множителем.
Напомним как определяется метрика Киллинга на алгебре Ли : где А,ВєЬ, оператор аоМ на L определяется следующим образом : [, ] есть коммутатор. Для матричных алгебр Ли это определение упрощается : + означает эрмитово сопряжение. Таким образом, для простой алгебры Ли единственной степенью свободы, не определенной ее алгебраической структурой, является упомянутый выше в теореме 1 коэффициент пропорциональности. Это означает, что метрика на каждом слое (дополнительных координатах) отличается от метрики Киллинга на некоторый множитель ф, который, в свою очередь, зависит только от пространственно - временных координат хИ : Таким образом введенная нами скалярная функция о{х ) являє]ся единственной гравшационной степенью с вободы. дополниІЄЛЬНО появляющейся на мноіомерной іравитацни с простой струм урной группой И алгебраической связью на меірик\ явтяется следующее соотношение . іде hat, есіь метрика на дсшотниіечьньїх измерениях а каь - метрика Кил-линга на ір пе G
Теперь можно пе{ ейти к получению уравнений многомерной гравитации при наличии одного скалярного поля [108] Метрика на тотальном пространстве имеет следующий вид где хв являются координатами на на тотальном пространстве расслоения; [В = 0,1,2.3,5, — N, является многомерным индексом dim(G) = N), ха координаты на группе G (a = 5,...,iV), Xі1 = 0.1.2,3 координаты на базе расслоения, А - iV-bein индекс, /i# - iV-bein, аа являются 1-формами на группе G, удовлетворяющие daa = f cabac, (/ ) структурные константы для группы G. Необходимо отметить, что функции с/?, /і, Щ могут зависеть только от хц базы расслоения, так как слои расслоения являются однородными симметрическими пространствами. Матрица /i# имеет следующую форму : Обратная матрица /if выглядит следующим образом : где Дд = -с/?_1ДД"Лд. Это означает, что имеется следующий интересный факт: имеются только следующие степени свободы для такого рода метрик : с/7(з;0),Лд(ха) и h (xa), Щ даны и не могут подвергаться варьированию при получении многомерных уравнений Эйнштейна. Варьирование по /ід = (/ід, /ІД) приводит к следующим многомерным уравнениям Эйнштейна : где A = а. й 7?д - мноюмерный тензор Риччи. TZ - многомерный скаля]) Риччи на том іьном пространство Если х явіяются координатами на группе G. то тогда Варьирование по r"U ) ирпво їй і к с подующим уравнениям :
В конечном итоге получаем следующую систему уравнений Эйнштейна для многомерной гравитации на главном расслоении с простой структурной группой Ли, когда метрику на слое описывает одна скалярная функция Заметим, что уравнение (2.62) является аналогом скалярной гравитации Бранса - Дикке. В дополнение заметим, что уравнение (2.61) может быть записано в следующем виде : В этой главе сформулирована теория гравитации на главном расслоении со структурной группой G. В этой теории : - метрика на слоях расслоения (на дополнительных измерениях) согласована с алгебраической структурой группы G; - получены уравнения для случая, когда структурная группа G является простой, т.е. метрика на каждом слое расслоения, описывается одной скалярной функцией.
SU(2) калибровочная группа как дополнительные размерности
В этом параграфе рассматриваются подобные решения, возникающие в 7-мерной гравитации, в которой дополнительными координатами является калибровочная группа SU(2) [107], [108]. Топологически эта группа эквивалентна 3-мерной сфере 53. Таким образом, топологически 7-мерное тотальное пространство, в этом случае, локально выглядит как М4 х 53, где М4 - 4-мерное пространство - время, являющееся базой расслоения, а S6 - слой расслоения, то есть калибровочная группа 5(7(2). Мы ищем решение (7-меримо меірик\) в следующем виде [107 rfs2 = rL 2dt2-dr-a{r) (dO2 -г sm2edo2)-rltu(r) (аа -г Audx»)2 . (3.31] и6 {г) іде Гц - некоюрая коне іаша. а" (а = 5.0.7) формы Маурера - Картана со следующими (ооіношениями da" = с? аьа( где 0 7Г.0 27Г.0 а 47г являются углами Эйлера на 3-мерной сфере. Выберем потенциал SU(2) калибровочный потенциал Л в следующем монополенодобном виде : Введем цветные электрическое Ef и магнитное поля Щ : где напряженности поля определяются обычным образом F„ = А — А + е А АІ, 7" детерминант 3-мерной пространственной метрики, i,j = 1,2,3 - пространственные индексы. В нашем случае имеется : Для того, чтобы иметь горловиноподобное решение, нужно потребовать, чтобы функции (r), u(r), a(r), /(г) являлись бы четными или нечетными. Это означает, что около начала координат имеется только радиальные ЕТ и Нт поля, что, в свою очередь, означает присутствие потока цветного электрического и магнитного полей через перешеек горловины. Подстановка в соответствующие вакуумные гравитационные уравнения : приводит к следующей сие і оме уравнении Заметим кстати, что (3.48) и (3.49) являются уравнениями Янга - Милл-са. В дальнейшем ищется численное решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для начала запишем граничные условия. Около начала координат можно разложить функции в ряд следующим образом : введем безразмерную координату х = r/ /ao (ao = а(0)) и переопределим а(х)/ао — а{х), /5оф) — ф), гЦай - г. Теперь можно ввести новое время и переопределить константу го так, что EQ = щ = 1. Получаем следующие граничные усновия дчя чис пенных расчетов : Из -пою видно, что наша система нависи і іолько оі 2 параметров /о и г 1# . Соіі8Патесі"уравнение (3 45) для 1])аничных условий дает нам : Это уравнение записано в безразмерных переменных Численное исследование уравнений (3 44)-(3.49) иредсіавлено на рисунке 3.6. Граничные условия для этих вычислений выбраны следующим образом : /о = 0.2, v\ = 0.3. 0.5. 0.6. 0.G1. 0.615. 1.0. 2.0. Зі и рисунки показывают, что в соответствии с соотношениями между /о и V\ имеются 2 типа решений : - Существует некоторое значение радиальной координаты г\ такое, что а{±Г\) = 0. и(±г\) = s(±r\) — со. Видимо это означает, что в этих точке г = ±г\ имеется сингулярность. 4-мерную часть этого решения можно назвать сингулярной гравитационной трубкой с потоком цветного электрического и магнитного полей. В точках г = —г\ и г = +г\ расположены соответствующие цветные заряды. - Существует некоторое значение радиальной координаты г2 такое, что а(±Г2),в(±Г2) оо, и(±г2) = 0. Значение и(±гг) = 0 означает, что интервал ds2 = 0 на гиперповерхностях г — ±Г2,,0, ф = const. Так как значение а(±Г2) конечно, то можно назвать этот тип решений как регулярная гравитационная трубка с потоком цветного электрического и магнитного полей. Такого рода решения подобны тому, что было найдено в предыдущем параграфе, с (7(1) калибровочной группой как дополнительная координата.
Численные исследования показали также, что на плоскости (/о, V\) имеется кривая, которая разделяет области с различного рода решениями. В первом приближении уравнение для этой кривой может быть записано в виде : что представлено на рисунке 3.11. На плоскости (/o,fi) можно указать несколько случаев, допускающих более детальный анализ.
Пространственно - временная пена и неопределенность
В этой части мы свяжем некоторую модификацию операторов А(х, у) и В(х — х ) С грассмановыми координатами [114]-[119]. Введем оператор Алв(х, у), описывающий квантовое состояние, в котором пространство с двумя точками х и у флуктуирует между 2 возможностями : точки (х, у) отождествлены или разделены. Пусть оператор Алв(х. у) подобно предыдущему определению Smolin a имеет следующее свойство : Необходимо отметить, что - индексы (А, В) пока не определены; Решение уравнения (4 14 і ищем в виде Из уравнений (4 14) и 14 15) имеем Эю уравнение имеет следующие просіеишие решения Первое решение В этом случае 6а - пунктирный спинор в (0, \) представлении. Более конкретно мы имеем : Такая двузначность вынуждает нас ввести две возможности : в = {ва, ва}. Теперь можно ввести инфинитезимальный оператор 5В(х —+ x,fl) (подобно Smolin y) смещения устья горловины : іде f - инфиниіезимальное граиманово число Таким образом мы имеем следующее уравнение для опреде іения 8В[ху — x"J) оператора Это уравнение имеет следующее решение После этого можно сказать, что в = {9а. 9а] - грассмановы числа, которые необходимо применять как некоторые дополнительные координаты для описания вышеупомянутой неопределенности, присущей каждой пространственно - временной точке Такой подход даег нам исключительную возможность для понимания геометрического смысла спина- /2. Дж. Уилер [120] неоднократно подчеркивал важность геометрической интерпретации спина-/г/2. Он писал : геометрическое описание спина /г/2 должно быть важной компонентой любой модели электрона! В этой связи необходимо отметить, что Friedman and Sorkin [121] [122] впервые показали, что многообразия с нетривиальной топологией могут иметь квантовые состояния с полуцелым квантовым угловым моментом. В этом подходе суперпространство является некоей эффективной моделью пространственно - временной пены, то есть некоторым приближением в квантовой гравитации. Неопределенность, связанная с созданием/разрушением квантовых минимальных горловин, описывается грассма-новыми координатами.
В этой интерпретации инфинитезимальное преобразование грассмановой координаты связано со смещением устья горловины, то есть с изменением процедуры отождествления, см. рисунок 4.3. где отождествляющая процедура Id{...) описывается оператором А (тДх"1). В этом случае преобразование грассмановой координаты имеет ясный геометрический смысл : оно описывает смещение устья горловины или изменение отождествляющей процедуры. Необходимо отметить, что в статье [123] имеется подобная интерпретация грассмановых духов : имеются якобиевы поля, которые являются ипфинитезимальными смещениями между 2 классическими траекториями. В этой юомегрической шперпреыции супорсиммеїрия означает, что стиерсиммофичный лаіранжинн является инвариантным относительно о-тождсчтв іяющои процедуры (4 11 ю есіь соответствующие супере им-мстричные по ія do і мены опис ыьатьея инвариантным способом по отношению h пространственно - ьре ценной пене Для доказаіельства (4 35) вычислим действие SB оператора на А оператор. С одной стороны мы имеем . Это означает, что оператор А15{у х ) со смещенным устьем горловины эквивалентен изменению грассмановой координаты ва — 0 . В этой главе предложена геометрическая модель интерпретации грас-смановых координат в суперпространстве. Показано, что: - флуктуирующая топологическая ручка в пространственно - временной пене связана с некоторой неопределенностью и может быть описана на языке грассмановых чисел; - введены операторы, описывающие флуктуирующую ручку; - исследованы свойства этих операторов; Различие между 2 отождествляющими предписаниями в и в приводит к смещению - (\перпро ірашіво можем рае є матриваїьея как гі])иближенная модель прост раш тонно- вромечшоп ионы в кванювой іравитации