Введение к работе
Актуальность темы. Метод ренормализационной группы (РГ) широко используется в настоящее время при изучении фазовых переходов II рода и критических явлений. Он позволяет обосновать критический скейлинг и дает возможность построения регулярных разложений критических показателей в
форме рядов по формально малому параметру " – отклонению размерности
пространства от ее критического значения. Основной технической задачей при таком подходе является вычисление диаграмм Фейнмана, определяющих так называемые РГ-функции. В задачах критической динамики такой расчет сопряжен со значительно большими трудностями, чем в задачах статики, поэтому продвинуться в старшие порядки теории возмущений весьма сложно. В то же время такое продвижение необходимо для корректного определения критических показателей, поскольку ряды теории возмущений являются асимптотическими и их надо суммировать по Борелю.
Модель А критической динамики (по терминологии обзора [5]), рассматриваемая в настоящей работе, является в некотором смысле простейшей, и на ней удобно отрабатывать технические приемы расчета многопетлевых динамических диаграмм.
С другой стороны, сегодня наблюдается существенный интерес к релаксационным процессам в различных материалах, описываемых моделью А. Это относится как к традиционным для данной модели системам типа ферромагнетиков, так и к новым материалам, попадающим в тот же класс универсальности. В связи с этим получение надежных количественных результатов для данной модели является весьма актуальным.
Степень разработанности темы исследования. Применение метода ренормализационной группы к задачам критической динамики сталкивается со значительно большими трудностями по сравнению с задачами критической статики. Полученные здесь аналитические результаты ограничиваются в лучшем случае третьим порядком теории возмущений, тогда как в статической теории '4 в настоящее время достигнут шестипетлевой результат, а для аномальной размерности поля – семипетлевой. Заметное отставание имеет место и в численных расчетах, в которых метод разделения на сектора (Sector Decomposition) при расчете диаграмм Фейнмана [] оказался весьма эффективным в задачах критической статики (5 петель в теории '4), в то время как в задачах критической динамики этот метод до сих пор применял-
ся лишь в двухпетлевом приближении.
Применительно к А модели критической динамики метод ренормгруп-пы был впервые использован в работе [], в которой динамический критический индекс z был рассчитан во втором порядке " -разложения (первый
порядок вклада не дает). Проведенный в работе [] расчет третьего порядка по " оказался ошибочным из-за технической погрешности, хотя идейно
был верным. Правильный результат получен в работе []. Численный расчет
индекса z в четвертом порядке "-разложения проведен в работе [10]. Вычисления проводились в импульсном представлении, в котором трудно обеспечить высокую точность для диаграмм со сложной структурой подграфов. В результате погрешность расчета составила порядка 1%. В работе [] на основе четырехпетлевого результата работы [10] проведено борелевское суммирование "-разложения критического индекса z.
Целью работы является высокоточное численное определение динамического критического индекса z A-модели критической динамики в четвертом порядке теории возмущений. Вычисления проводятся двумя методами, обобщающими соответствующие подходы в задачах критической статики: методом расчета критических показателей без использования констант ренормировок, позволяющим избежать численного расчета сингулярных интегралов, и методом Sector Decomposition, который позволяет свести задачу к численному расчету вычетов при полюсах.
Для этого решаются следующие задачи:
-
Обобщить метод расчета ренормгрупповых функций без использования констант ренормировки на задачи критической динамики.
-
Разработать метод записи фейнмановского представления для динамических диаграмм непосредственно по их внешнему виду, минуя импульсное представление.
-
Обобщить метод “Sector Decomposition” на задачи критической динамики и вычислить с помощью этого метода динамический критический индекс А-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний.
-
Выполнить пересуммирование четырехпетлевого "-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля.
Научная новизна. Сформулированные выше цели и задачи диссертации являются новыми. Все основные результаты диссертации получены впер-
вые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах и апробацией на представительных международных конференциях.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в широком классе моделей критической динамики, таких как модель E, описывающая переход гелия в сверхтекучее состояние, модель H, описывающая критическую динамику в окрестности критической точки жидкость-пар, задаче протекания и т.д.
Методология и методы исследования. Методология диссертации основана на использовании теоретико-полевых методов – методе функционального интегрирования, диаграммной технике Фейнмана, теории ренормировок и ренормализационной группы, численного расчета диаграмм методом Sector Decomposition, методе борелевского суммировании расходящихся рядов.
Положения, выносимые на защиту:
-
Проведено обобщение метода расчета ренормгрупповых функций без использования констант ренормировок (“теория без расходимостей”) на задачи критической динамики. Эффективность этого метода продемонстрирована ренормгрупповым расчетом А-модели, описывающей эффект критического замедления в окрестности критической точки ферромагнетиков.
-
Разработан метод построения представления Фейнмана диаграмм критической динамики непосредственно по виду диаграмм, минуя импульсное представление. Произведено обобщение этого метода на диаграммы “теории без расходимостей”.
-
Выполнено обобщение метода разбиения на сектора при вычислении диаграмм Фейнмана (“Sector Decomposition”) на задачи критической динамики. С помощью этого метода произведен расчет динамического критического индекса А-модели в “теории без расходимостей” и в схеме минимальных вычитаний. Точность расчета на два порядка превышает достигнутую в работах предшественников.
-
Произведено суммирование четырехпетлевого "-разложения динамического критического индекса А-модели методом конформ-Бореля. Показано, что учет параметра сильной связи существенно улучшает сходимость процедуры суммирования.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использо-
ванием апробированных теоретико-полевых методов. Результаты исследования, проведенного в диссертации, опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, докладывались на российских и международных конференциях. Также расчеты проверялись на сравнение с ранее полученными результатами других авторов.
Апробация работы
Результаты и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
“16th Small Triangle Meeting” (Pticie, Slovakia, 2014),
“The XX International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists” (Dubna, Russia, 2016),
“42nd Conferences of the Middle European Cooperation in Statistical Physics” (Lyon, France, 2017).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science или Scopus. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все основные результаты получены соискателем лично, либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4 глав, Заключения и 1 приложения. Полный объем диссертации составляет 107 страниц. Диссертация содержит 5 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 36 наименований.