Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Компаниец Михаил Владимирович

Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности
<
Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Компаниец Михаил Владимирович. Многопетлевые расчеты в моделях критического поведения и стохастической турбулентности: диссертация ... доктора Физико-математических наук: 01.04.02 / Компаниец Михаил Владимирович;[Место защиты: Санкт-Петербургский государственный университет], 2016

Содержание к диссертации

Введение

1 Методы вычисления диаграмм 11

1.1 Представление диаграмм при помощи расширеного индекса Никеля 12

1.1.1 Представление Никеля для графов с ”внешними ли

1.1.2 Расширенное представление Никеля для ”раскрашенных” и направленных графов 15

1.1.3 Расширенный индекс Никеля для диаграмм общего

1.1.4 Реализация

1.2 Вычисление диаграммм при помощи интегрирования по

1.3 Вычисление контрчленов с помощью R операции 19

1.4 Обобщение ограничений т Хофта на случай конкретных диаграмм 25

1.5 Вычисление интегралов с использованием гиперлогарифмов 27

1.5.1 Подрасходимости и схема ренормировки с одномас штабными вычитаниями 30

1.6 Вычисление интегралов при помощи разбиения на сектора 31

1.7 Борелевское пересуммирование 34

2 Расчеты в модели (рА 40

2.1 O(N) симметричная векторная (рА модель 40

2.1.1 Шестипетлевой расчет аномальной размерности поля

2.1.2 Шестипетлевой расчет бета-функции и аномальной размерности массы 61

2.1.3 Предсказания для старших членов теории возмуще

2.1.4 Пересуммирование критических экспонент 68

2.1.5 Обсуждение 69

2.2 Тензорные обобщения модели ipA 69

2.2.1 Вещественное антисимметричное поле 69

2.2.2 Комплексное антисимметричное поле 84

3 Теория без расходимостей 91

3.1 Введение 91

3.2 Представление расходящихся интегралов через несингулярные интегралы

3.2.1 Выбор схемы ренормировки 94

3.2.2 Схема расчета констант ренормировоки 97

3.2.3 Расчет критических индексов в модели в 4х петлевом приближении 100

3.3 Представление аномальных размерностей через несингу лярные интегралы 102

3.3.1 Введение 103

3.3.2 Представление ренормгрупповых функций через ренормированные функции Грина 103

3.3.3 Доказательство для отдельной диаграммы 105

3.3.4 Комбинаторная часть доказательства 110

3.3.5 Обсуждение 116

3.3.6 Применение теории без расходимостей к O(N) симметричной ( 4 модели 116

3.3.7 Дополнительные замечания 128

3.4 Теория без расходимостей в стохастической динамике 133

3.4.1 Обобщение на критическую динамику 133

3.4.2 Модель направленной перколяции 144

3.4.3 Предел больших размерностей пространства в теории стохастической турбулентности 149 CLASS 4 Исследование стохастической модели турбулентности в пространствах различной размерности 161 CLASS

4.1 Улучшенное е-разложение для трехмерной турбулентности 162

4.1.1 Введение 162

4.1.2 Ренормировка модели в фиксированном пространстве размерности d 2 164

4.1.3 Построение двойного (є, А) разложения. Доказательство несостоятельности нелокальной ренормировки [1] в двухпетлевом приближении 172

4.1.4 Построение (є, А) разложения в двузарядной модели с локальными контрчленами. Расчет констант ренормировки в двухпетлевом приближении 179

4.1.5 Уравнения ренормгруппы 188

4.1.6 Скьюнес фактор и константа Колмогорова 195

4.1.7 Обсуждение 202

4.2 І/d разложение в теории турбулентности 203

4.2.1 Вычисление константы Колмогорова 203

4.2.2 Стохастическая модель турбулентного переноса пассивного векторного поля 207

Bibliography

Введение к работе

Актуальность темы исследования.

Проведение процедуры борелевского суммирования требует знания по возможности большего числа членов разложения, это делает весьма актуальной задачу расчета многопетлевых диаграмм Фейнмана. В 4 модели в этом отношении к концу прошлого века был достигнут рекордный результат – пя-типетлевой аналитический ответ. Однако и этот результат не дал ответы на все вопросы, например, совпадают ли предсказываемые 4 моделью индексы с точным решением Онсагера модели Изинга для двумерной системы. В связи с этим весьма актуальным является разработка новых методов и подходов, позволяющих проводить расчеты в более высоких порядках теории возмущений. В теории турбулентности актуальной задачей является обобщение результатов вычисления показателей аномального скейлинга пассивной примеси на случай векторной примеси, что приблизило бы к решению задачи обоснования аномального скейлинга собственно поля турбулентных пульсаций. Это является весьма сложной технической задачей.

Целями данной работы являются разработка новых методов расчета многопетлевых диаграмм и применение этих методов для решения задач критического поведения и стохастической турбулентности.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.

Разработать методы, дающие возможность увеличить точность многопетлевых расчетов и решать задачи в области критического поведения и стохастической турбулентности в более высоких порядках теории возмущений.

Вычислить критические показатели () симметричной векторной модели в шестом порядке теории возмущений.

Исследовать тензорные обобщения 4 модели.

Разработать подход, позволяющий при проведении численных расчетов вычислять аномальные размерности без использования констант ренормировки.

В рамках стохастической теории турбулентности разработать подход, позволяющий эффективно суммировать вклады диаграмм, имеющих сингулярности в пространстве размерности = 2.

В рамках двойного (1/, ) разложения исследовать модель стохастической турбулентности и модель переноса пассивного векторного поля.

Основные положения, выносимые на защиту.

  1. Сформулировано компактное представление графов с произвольными свойствами линий и вершин (обобщенный индекс Никеля). На основе данного представления разработаны алгоритмы вычисления многопетлевых диаграмм.

  2. В шестипетлевом приближении вычислены аномальные размерности и бета функция () симметричной векторной 4 модели. Произведено суммирование полученных рядов методом Бореля с конформным мап-пингом.

  3. Произведен ренормгрупповой анализ обобщения модели 4 на тензорное антисимметричное поле в пятипетлевом приближении, показано, что при > 4 в модели вместо фазового перехода второго рода происходит переход первого рода.

  1. Предложен подход, в котором вычисления проводятся без использования сингулярных по констант ренормировок, а все необходимые ренормгрупповые функции выражаются через ультрафиолетово (УФ)-конечные интегралы. С использованием данного метода произведен ренормгрупповой расчет в ряде моделей критической статики и динамики.

  2. В модели стохастической турбулентности построена «улучшенная теория возмущений», в которой суммируются вклады диаграмм, УФ-рас-ходящихся при = 2, вычислена константа Колмогорова.

  3. В стохастической теории турбулентности в ведущем порядке по 1/ выполнен расчет ренормгрупповых функций и константы Колмогорова в третьем порядке теории возмущений. В рамках двойного (1/, ) разложения вычислены показатели аномального скейлинга в модели турбулентного переноса векторного поля.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основаны на результатах, полученных впервые. Разработаны новые численные и аналитические алгоритмы вычисления многопетлевых диаграмм. С помощью этих методов решен ряд конкретных задач, перечисленных в пунктах 1-6. Эти методы могут служить основой для решения широкого класса задач квантовой теории поля.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением корректных математических методов и использованием теоретически и экспериментально установленных принципов квантовой теории поля, теории критического поведения и стохастической теорией турбулентности. Результаты докладывались на конференциях и семинарах, они опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и цитируются в работах других авторов.

Публикации и личный вклад автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в 22 печатных работах [1-22] в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или "SCOPUS" и включенных в перечень ВАК. Работы написаны диссертантом в соавторстве с его учениками и российскими или зарубежными коллегами. Вклад диссертанта во все выносимые на защиту результаты является определяющим.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "Small Triangle Meeting" (Словакия, 2003, 2004, 2013),

"Renormalizaton Group" (Хельсинки, 2005), "Models in Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 2012, 2015), "Calculations for Modern and Future Colliders" (CALC) (Дубна, 2012, 2015), "Advanced Computing and Analysis Techniques in physics research" (ACAT) (Пекин, 2013), International Baldin Seminar ”Relativistic Nuclear Physics & Quantum Chromodynamics” (Дубна, 2014), "Advanced Methods of Modern Theoretical Physics: Integrable and Stochastic Systems" (Дубна, 2015), "Advanced Computing and Analysis Techniques in physics research" (ACAT) (Вальпараисо, 2016), PNPI Winter School (Санкт-Петербург, 2016), QUARKS-2016 (Санкт-Петербург, 2016); на научных семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ.

Объем и структура работы.

Вычисление диаграммм при помощи интегрирования

В более сложных (по сравнению со скалярными теориями типа n) теориях фейнмановские диаграммы не могут быть представлены простыми ненаправленными графами. В подобных теориях мы можем иметь вершины и линии различных типов (см. например [11]). В данном разделе описывается, как обобщить представление Никеля на подобные случаи.

Мы вводим расширенное представление Никеля, которое состоит из нескольких частей. Первая – это стандартное представление Никеля для ненаправленного графа (который получается из начального графа опусканием ”цветов”4 и направлений). Другие части расширенного представления описывают свойства линий и вершин, используя упорядочение вершин задаваемое первой частью. Вводя лексикографическое упорядочение на свойствах вершин и линий мы можем ввести лексикографическое упорядочение для расширенного представления Никеля. В таком случае индекс Никеля для расширенного представления определяется как минимальное из возможных расширенных представлений для всех возможных нумераций графа, точно так же как это было для оригинального индекса Никеля.

Рис. 1.4. Верши ны различных Рассмотри треугольный граф с двумя вершинами типов типа a и одной типа b (рис. 1.4). Нераскрашенный граф имеет шесть изоморфных нумерации каждая из которых дает минимальное представление Никеля. Добавление свойств вершин (способом, описанным выше) делает их различными: 122 : aab, 122 : aba

Поскольку индекс Никеля определяет каноническое упорядочение вершин для нераскрашенного графа, свойства(цвета) вершин могут быть указаны в этом порядке. Для удобства они отделены от первой части представления при помощи ": а свойства вершин друг от друга отделяются при помощи "".

4под цветом понимаются любые дополнительные (ненаправленные) свойства линий или вершин и 122 : 6аа. Для построения индекса Никеля, нам необходимо найти минимальное представление, что подразумевает наличие некоего упорядочивания свойств вершин). Например, если такое упорядочивание задано соотношением а 6, представление 122 : а\а\Ь\ будет минимальным и, тем самым, является индексом Никеля. Строго говоря, упорядочивание свойств может быть задано любым разумным способом. Например, в нашем случае вместо а Ъ можно использовать соотношение Ъ а, это, естественно, приведет к другому индексу Никеля 122 : 6аа. Для того чтобы избежать подобной путаницы, по умолчанию всегда предполагается естественное (алфавитное) упорядочение (т.е. в нашем случае а Ъ).

Аналогичным образом можно расширить представление на случай линий с нетривиальными свойствами. Поскольку индекс Никеля определяет так же и каноническое упорядочение линий, мы можем перечислять свойства линий в этом порядке. Таким об- Рис. 1.5. Линии разом представление Никеля может быть расширено различных типов дополнительной секцией описывающей свойства линий.

Рассмотрим в качестве примера диаграмму на рис. 1.5. Она имеет два типа линий: сплошные и пунктирные (сплошные линии могут обозначать безмассовые пропагаторы, а пунктирные - массивные, поэтому естественно обозначить соответствующие свойства 0 и 1 соответственно). Тогда для диаграммы может быть написано три различных представления Никеля ellle : 0 0 0 110, ellle : 0 1 0 00 или ellle : 0_0_1_00. Первое представление, очевидно, является минимальными и соответствует индексу Никеля данной диаграммы.

Поскольку индекс Никеля определяет направление на каждой линии (от вершины с меньшим номером к вершине с большим), мы можем расши Рис. 1.6. Направ рить наше представление секцией, которая будет определять, имеет ли конкретная линия "каноническое"направление или же направлена в другую сторону

Простой направленный граф может быть определен используя следующее соглашение: символ " "означает что линия имеет "каноническое"направление, а " "если направление обратное. Естественно подразумевается, что " "меньше, чем " ". В соответствии с правилами, описанными выше, диаграмма на рис. 1.6 имеет следующий индекс Никеля: е12еЗ33 : _ _ ! _ _

Рассматривая диаграмму общего вида, мы можем думать о ней как о некоей многослойной структуре: первым слоем является соответствующий ей ненаправленный граф без дополнительных свойств линий и вершин. Поверх этого слоя мы можем добавлять новые слои, соответствующие различным свойствам: направления линий, а так же различные свойства вершин и линий. Используя данную схему, мы можем полностью определить наш граф.

Порядок задания свойств(слоев) в данной структуре важен, так как он будет приводит к различным индексам(представлениям) Никеля. В общем случае более "важное"свойство должно идти раньше менее важного.5

Описанный выше способ обобщения представления(индекса) Никеля реализован в виде библиотеки GraphState и сопутствующей ей библиотеки Graphine для языка Питон [8]. Библиотека Graphine , используя в качестве внутреннего представления GraphState , позволяет выполнять манипуляции над графами (характерные для наиболее распространенных методов расчета фейнмановских диаграмм), такие как поиск под 5Важность свойства, естественно, определяется конкретной задачей. графов по заданным правилам, стягивание подграфов в точку, замена/удаление/добавление линий графа и т.п. Данные библиотеки позволяют существенно облегчить многопетлевые вычисления, например, производя трансформации подынтегральных выражений на уровне графов, а не символьных выражений (что заведомо медленнее). Большинство расчетов [2-6,12,13] , приведенных в данной диссертации, используют данные библиотеки.

Метод интегрирования по частям (integration by parts, IBP) изначально предложенный в [14] для x-пространства, в последствии был сформулирован для импульсного представления в [15]. В настоящее время последний получил наибольшее распространение.

Метод основан на том факте, что интеграл от дивергенции некоей величины в размерной регуляризации равен нулю:

Подбирая функцию f\ таким образом, чтобы после дифференцирования одно из слагаемых совпадало с искомым интегралом, мы получаем некое соотношение, связывающее искомый интеграл с другими интегралами. Правильным выбором функции f\ и переменной, по которой происходит дифференцирование, можно получить соотношение, связывающее искомый интеграл с более простыми интегралами. Под более простыми интегралами подразумеваются интегралы с меньшим набором нетривиальных комбинаций импульсов в знаменателе (пропагаторов), с меньшими степенями пропагаторов и т.п. Последовательный алгоритм для сведения интегралов к простейшим (т.н. мастер-интегралам) был предложен в [16,17] и в настоящее время в той или иной степени используется всеми пакетами, осуществляющими вычисления при помощи интегрирования по частям. Следующим существенным шагом повышающим эффективность данного подхода стало появление программы LiteRed [18-20], которая генерирует оптимизированные правила для редукции диаграмм к мастер интегралам. Так же, в этом контексте стоит отметить метод П.Байкова [21,22] также существенно упрощающий редукцию, по сравнению с оригинальным алгоритмом, однако в данной работе он не использовался.

В данной диссертации для вычисления интегралов при помощи интегрирования по частям используется программа, написанная на языке Питон, которая использует для приведения к мастер-интегралам правила, сгенерированные при помощи LiteRed (см. [3]).

Шестипетлевой расчет бета-функции и аномальной размерности массы

Модель ( 4 особо привлекательна тем, что имеет только четверные вершины со скалярным полем. Как следствие, набор “топологий” фейнмановских диаграмм, которые необходимо вычислить, существенно меньше по сравнению с, например, ( 3 моделью. Это может быть проиллюстрировано тем фактом, что четырехпетлевые аналитические ренорм-групповые вычисления в данной модели были выполнены совсем недавно [82,83], тогда как четырехпетлевые ренормгрупповые функции для модели известны с 1979 года [27]. Следуя логике, изложенной в разделе 1.3 для вычисления контрчленов, нам необходимо выполнить (возможно ИК опасное) преобразование внешних импульсов, вводя смягченную линию. Различный выбор “смягченной” линии приводит к различным (L-1)-петлевым p-интегралам. Правильный выбор данной линии во многих случаях приводит к исключительно простым p-интегралам. Это происходит, если оригинальная диаграмма Г является двувершинно приводимой (ДВП). По определению, один-неприводимая диаграмма Г принадлежит к классу ДВП диаграмм, если возможно разрезанием одной из ее линий или вершин превратить ее в (одно)вершинно приводимую (ОВП) диаграмму, т.е. диаграмма может быть представлена в качестве произведения двух p-интегралов (каждый из которых имеет не нулевое число петель).

Таким образом, для ДВП диаграммы вычисление соответствующего интеграла FY\I(P) сводится к вычислению двух p-интегралов F7l и Fl2 с числом петель L\ 0 и L2 О, L\ + L2 = L — 1, соответственно. Это также означает, что УФ контрчлен, соответствующий любой шестипетлевой диаграмме Г (не обязательно логарифмической), может быть вычислен аналитически, если Г принадлежит к классу ДВП диаграмм и известно є-разложение четырехпетлевых мастер-интегралов с точностью по є на один порядок больше, чем нужно для пятипетлевых расчетов1 (доступных (ТК имеющихся или приведенных) в [84]). Эти члены по є (и много

В действительности, оказывается, что для проводимых в данной работе расчетов нам не нужно знать следующий член по для четырехпетлевых мастер-интегралов. Поэтому наш конечный ра-зультат для (см ур. 2.12) не содержит никаких дополнительных констант кроме тех, что уже появлялись в пятипетлевых ренормгрупповых расчетах (подробное обсуждение см в [84

В действительности, ДВП диаграммы превалируют в (рА модели, что и являлось причиной столь ранних четырех- и пятипетлевых вычислений, как и того, что сейчас мы можем выполнить шестипетлевые расчеты. Так трех- и четырехпетлевые диаграммы, дающие вклад в аномальную размерность 72, оказываются двувершинно приводимыми. В пяти петлевом приближении все, кроме одной, (см рис. 2.1) диаграммы также двувершинно приводимы.

В шестипетлевом приближении из 50 диаграмм все, кроме двух, являются двувершинно приводимыми. Для того, чтобы вычислить 48 двувершинно приводимых диаграмм, использовался специально разработанный пакет для вычисления УФ контрчленов [3], который позволяет автоматизировать все операции над фейнмановскими диаграммами, например, инфракрасное преобразование, R операцию, а также интегрирование по частям с использованием правил, сгенерированных программой LiteRed [18].

Как уже упоминалось в разделе 2.1.1.2, в шестипетлевом приближении аномальной размерности поля есть всего две двувершинно неприводимые (ДВН) диаграммы, они изображены на рис. 2.2. В соответствии со стандартной стратегией инфракрасного преобразования эти диаграммы требуют вычисления сложных (нефакторизующихся) пятипетлевых p-интегралов. Ниже описано, как эти две диаграммы были вычислены.

Диаграмма (a) Диаграмма (а) (см рис.2.2a) имеет весьма специфичную топологию: она содержит линию, соединяющую обе внешние верши ны. В дополнение к этому, она расходится квадратично. Эти два факта позволяют достаточно легко вычислить соответствующий УФ контрчлен. Первый шаг достаточно прост, так как одно из петлевых интегрирований данной диаграммы может быть выполнено аналитически (из-за того, что одна из линий соединяет внешние вершины). Это дает где (см. (1.8)), G(l, 5 є) = — 2+О {є). Тот факт, что множитель G(l, 5 є) в правой части (2.7) не содержит полюсного вклада (С(є0)), означает, что у второго множителя нам нужно знать только полюсную часть, а полюсная часть пятипетлевого p-интеграла может быть достаточно легко сосчитана (см раздел 1.4).

Схема расчета констант ренормировоки

РГ анализ (в согласии с теорией Ландау) предсказывает для таких систем наличие фазового перехода второго рода, а также наличие ИК притягивающей фиксированной точки в физической области параметров, и тем самым наличие масштабной инвариантности в ИК области. Универсальные характеристики, описывающие масштабную инвариантность, зависят только от п и d (размерность системы) и могут быть вычислены в рамках теории возмущений в виде разложения по є = 4 — d (см монографии [71,9,91] и ссылки в них).

Однако, во многих случаях описание при помощи упомянутой, относительно простой модели оказывается не вполне соответствующим действительности, в таких случаях необходимо рассматривать более сложные типы симметрии или параметры порядка других типов (например, тензорные или матричные) К явлениям, которые требуют подобного описания, относятся фазовые переходы с нетривиальной кристалографиче-ской симметрией или случайно распределенные примеси ( см. обзор и ссылки в книге [92]), различные переходы в жидких кристалах [93-97], переходы между различными супертекучими фазами He3 [98-100] и в нейтронных жидкостей в нейтронных звездах [101,102], переход в сверх проводящие состояние в системах с высшими спинами [103], модели Ла-плассового роста с мультифрактальными свойствами [104] и т.п..

Как следствие, соответствующая теоретико-полевая модель включает несколько членов взаимодействия и, (ТК соответственно) несколько констант взаимодействия(зарядов). Соответствующие РГ уравения могут иметь несколько фиксированных точек с различными притягивающими свойствами [95,96,99-103,90]. Это может вести к весьма сложным РГ потокам (решениям РГ уравнений для инвариантных зарядов) в пространстве параметров модели.

Наличие ИК притягивающих точек, определяющих ИК скейлинг, не является необходимым атрибутом моделей класса ( 4, более того, даже при наличии ИК притягивающих точек, РГ потоки могу выходить за пределы области стабильности модели, такая ситуация, обычно интерпретируется как фазовый переход второго рода. Или же траектории могут уходить на бесконечность (в пределах области стабильности), что означает, что данный случай выходит за рамки теории возмущений. Как следствие, предсказания теории Ландау могут быть существенно скорректированы.

В связи с этим, говоря о модели сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау [105], стоит напомнить, что однопетлевой анализ соответствующей теоретико-полевой модели (реально, электродинамики заряженного скалярного поля) показывает, что оно имеет допустимую фиксированную точку только для очень больших п [106]. Тем не менее, ситуацтия не вполне ясна: двухпетлевой расчет с соответствующим пересуммированием предсказывает, что притягивающая точка может существовать [107]. Непертурбативный анализ в [108] также свидетельствует о возможности перехода второго рода.

В какой-то мере противоположные примеры следуют из модели с симметричным тензорным параметром порядка и модели Поттcа: по теории Ландау существоввание кубических членов исключает возможность переходов второго рода. С другой стороны, точные двухпетлевые результаты, численное моделирование и РГ анализ свидетельствуют о возможности перехода второго рода при малых п [95,109].

В этом разделе мы применяем теоретико-полевую ренормгруппу к О(п)-симметричной ( 4 модели с параметром порядка, являющимся вещественным тензором ранга п. Эта модель может описывать переходы между нематической, холестерической и голубой фазами в жидких кристалах [110, 111], переходы к сегнетоэлластической фазе в твердых телах [112,113] и переходы в суперпроводящее состояние в системах с высшими спинами [103].

Для простоты мы рассматриваем модель с параметром порядка, являющимся полностью антисимметричным тензором, что по сравнению с общим случаем сводит задачу к двухзарядной модели и делает полученные результаты более наглядными. Данная модель, скорее всего, является наиболее простой моделью с невекторным параметром порядка, однако остается многозарядной и, как будет показано ниже, демонстрирует свойства, характерные более реалистичным и сложным случаям, описанным выше. В связи с этим, важно, что кубический инвариант полностью антисимметричного тензора исчезает, и поэтому теория Ландау для такой модели предсказывает наличие фазового перехода второго рода, в то время как для симметричного тензора это не так.

В последующих трех разделах будет сформулирована модель, даны соответствующие правила Фейнмана, выполнена УФ ренормировка и приведены явные выражения ведущего порядка для констант ренормировки. Затем приводятся РГ уравнения для ренормированных функций Грина и выражения ведущего порядка для их коэффициентов (J3- функции и аномальные размерности). В разделе 2.2.1.6 будут проанализированы фиксированные точки РГ уравнений для инвариантных констант связи.

Оказывается, что существание ИК притягивающей фиксированной точки в физической области параметров это скорее исключение, чем правило. Такие точки присутствуют в случае п = 2 и п = 3, в которых наша модель эквивалентна скалярной и О(З) симметричной векторной модели, тем самым данные модели являются эффективно однозарядными и могут быть исследованы как отдельные внутренне согласованные модели.

Единственная фиксированная точка в двухзарядной модели присутствует при п = 4, т.е. для минимального ранга, при котором модель не сводится к однозарядной модели. Для больших п эта фиксированная точка становится комплексной. Наличие этой точки означает, что функции Грина в инфракрасной области демонстрируют самоподобное поведение (скейлинг). Соответствующие критические показатели ц и v приведены в 2.2.1.7 в ведущем порядке є-разложения. Однако для многозарядной модели, даже когда ИК точка существует, не все РГ потоки притягиваются к ней в ИК асимптотическом режиме: они могут могут оказаться вне области стабильности модели (фазовый переход первого рода) или уйти на бесконечность (теория возмущений не применима).

Ренормировка модели в фиксированном пространстве размерности d 2

При получении этого соотношения для Г2 использована коммутативность операций R и dp2...\p=Q. При этом надо уточнить, как понимается действие Д -операции на продифференцированные по импульсу диаграммы. Зависимость диаграммы от р2 возникает после выполнения интегрирования по всем внутренним импульсам, при дифференцировании же отдельных линий операцию др2 надо понимать как \д2 В результате возникает сумма вкладов, в которых имеются однократно и двукратно продифференцированные линии. Если такая линия стоит внутри вершинного подграфа, это делает его несущественным и Д -операция на него не действует. Если однократно продифференцированная линия стоит внутри двухвостого подграфа, его размерность уменьшается на единицу и операция вычитания К на такой подграф принимает вид К\ = JCiX, где TC\f{k) = (dkf)\k=o. Если внутри двухвостого подграфа окажутся две продифференцированные линии или одна дважды продифференцированная, то подграф становится логарифмическим и для него К\ = &оХ. Все эти случаи объединяются общим правилом: существенными являются подграфы Ха с размерностью па 0, операция К для них имеет вид

Интеграл в правой части этого равенства УФ-конечен, это означает УФ-конечность произведения Z\Z7 = Zf 7. Конечность величины Zf приводит к тому что соответствующая РГ-функция 7/ = (Здд In Zf обращается в ноль в неподвижной точке (5{и ) = 0 (несингулярная функция dglnZf(u) не может иметь полюса в точке и = и = О (є) в рамках є-разложения). Следовательно, для аномальных размерностей 7 = 7Ім=мФ имеем 7і = її, так что аномальную размерность 7i можно находить, вычисляя константу ренормировки Zff,. Диаграммы, определяющие эту константу, являются логарифмическими и для их вычисления можно воспользоваться соотношениями, аналогичными (3.26), (3.31). Отметим также, что непосредственно в модели (3.4) величина 7i выражается через 7І и 7з, необходимость ее независимого расчета возникает только в обобщениях модели ( 3 [126].

Эти соотношения, схожие по форме с (3.42), также позволяют выразить РГ функции через ренормированные 1-неприводимые функции. Отличие состоит в порядке применения Я-операции и дифференцирования dm2...\m=jJi в функциях f\ и Fi. Для f\ из (3.103) Я-операция действует на продифференцированную диаграмму, в которой уже положено т = /І, поэтому операция К имеет простой вид (3.22), позволяющий воспользоваться для Я-операции конструктивным представлением (3.3). Для Fi из (3.131) необходимо вначале продифференцировать ренормированную диаграмму, в которой операция К дается выражением (3.21), и лишь затем перейти в точку нормировки т = /І, использование представления (3.3) в этом случае невозможно.

Эта диаграмма имеет размерность пх = О, поэтому действие на нее оператора /С„ = /Со сводится к тому, что внешние импульсы диаграммы надо положить равными нулю. Диаграмма имеет три существенных подграфа - вершинные {6, 7,8} и {5, б, 7,8,9, } с размерностями п\ = щ = О, и двухвостый {2,3} с размерностью щ = 2.

Действие операции — дті на линию G(k) = 1/(кЧт2) дает т.е. сводится к вставке точки (единичной вершины) в линию. Действие этой операции на диаграмму дает сумму вкладов со всевозможными вставками точки:

В первой из этих диаграмм точка стоит вне существенных подграфов, и все они остаются существенными. Во второй диаграмме точка стоит внутри вершинного подграфа {5, б, 7,8,9} и делает его несущественным (ri2 — —2), в третьей диаграмме становятся несущественными оба вершинных подграфа (п\ — — 2,П2 ), в четвертой точка стоит внутри двухвостого подграфа {2,3} и превращает его в логарифмический (пз — 0).

Следующий шаг при вычислении величины Л/у = —RdmiK,,n у - дей-ствие на полученные диаграммы Д-операцией согласно (3.3) - должен осуществляться с учетом этих изменений. Рассмотрим построение R-операции на примере первой диаграммы Уд в (3.134). Расставим некоторым образом импульсы интегрирования и сделаем растяжения импульсов, втекающих в существенные подграфы

Метод ренормализационной группы и е-разложения является в настоящее время основным инструментом изучения как статических, так и динамических критических явлений. Для статических критических показателей в настоящее время известны аналитические ответы вплоть до высоких порядков теории возмущений (6-ой порядок є-разложения в модели см., гл. 2). Аналитические расчеты в моделях критической динамики значительно менее развиты, они ограничиваются, как правило, первым порядком теории возмущений, лишь в отдельных случаях имеются результаты в более высоких порядках - второй порядок в теории перколяции [130], третий порядок в Л-модели [9]. Известны также численные результаты во втором порядке в 77-модели [131] и теории турбулентности [132].

В работах [117], [118] (разделы 3.2,3.3), предложен подход, позволяющий сводить вычисление /3-функции и аномальных размерностей в моделях критической статики к расчету интегралов, не содержащих сингу-лярностей по є, удобных для численного интегрирования. Это позволило впервые [6] произвести полностью независимую проверку аналитических пятипетлевых результатов [37,76,78]. В данном разделе такой подход обобщается на модели критической динамики. Рассмотрение проводится на примере модели А.