Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование звезд в общей теории относительности 12
1.1 Постановка задачи 12
1.1.1 Уравнения Эйнштейна, описывающие сферически симметричную модель звезды 12
1.1.2 Внешнее решение Вайдья 16
1.1.3 Внутренний тензор энергии-импульса 17
1.2 Процедура сшивки в общей теории относительности 30
1.2.1 Формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича 30
1.2.2 Гравитационный коллапс пылевидной сферы 32
1.2.3 Формализм сшивки О Брайена-Синга 35
1.3 Статические модели звезд в ОТО 36
2 Статические модели звезд в ОТО 40
2.1 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом последовательных приближений 40
2.2 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина 43
2.3 Вычисление собственных частот малых адиабатических колебаний 45
2.4 Неадиабатические колебания 54
3 Моделирование излучающих объектов путем сшивки внешнего пространства Вайдья с различными внутренними пространствами 67
3.1 Сшивка внешнего решения Вайдья с точными внутренними решениями для идеальной жидкости
3.1.1 Модель с однородной и постоянной плотностью энергии 67
3.1.2 Модель с однородной, но переменной плотностью энергии 72
3.2 Моделирование приповерхностного слоя звезды 75
3.2.1 Описание метода 75
3.2.2 Об отличии скорости жидкости на поверхности сшивки от скорости самой поверхности 81
3.2.3 О связи между условиями сшивки Сипга и Дармуа 82
3.2.4 Уравнения состояния и элементы термодинамики идеальной жидкости 85
3.2.5 Модель с идеальной жидкостью и
линейным уравнением состояния 86
3.2.6 Пылевой предел 91
3.2.7 Постоянный радиус и постоянная светимость 94
Выводы Литература
- Уравнения Эйнштейна, описывающие сферически симметричную модель звезды
- Формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича
- Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина
- Моделирование приповерхностного слоя звезды
Введение к работе
Целью данной диссертационной работы является изучение различных аспектов соединения внутренних компонент астрофизических моделей с внешним пространством Вайдья, описывающим распространение в вакууме неполяризованного высокочастотного излучения и являющимся обобщением внешнего решения Шварцшильда.
В задачи диссертационной работы входили:
исследование нового класса статических моделей звезд с заданным распределением плотности;
изучение влияния температурных эффектов на устойчивость моделей;
сшивка внешнего решения Вайдья с известными внутренними решениями;
приближенное моделирование излучающих звезд;
Научная новизна:
найдены и исследованы новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для статических сферически симметричных астрофизических моделей с заданным распределением плотности энергии, обобщающим параболическое распределение;
показано, что внутренние астрофизические решения уравнений Эйнштейна могут быть сшиты по Дармуа-Лихнеровичу с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации);
найдены новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для различных моделей излучающих звезд;
показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды, состоящие из вещества с линейным уравнением состояния не образуют черных дыр в процессе эволюции;
показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения;
найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение;
Положения, выносимые на защиту
1. Рассмотрен класс статических моделей звезд с заданным распределением плотности. Данное распределение описывает, в зависимости от параметров, как звезды с ярко выраженным ядром, так и шварцшиль-доподобные звезды. Для этого класса моделей
получены приближенные решения уравнений Эйнштейна;
вычислены собственные частоты малых радиальных колебаний;
найдены значения параметров, при которых звезда становится неустойчивой.
2. Изучено влияние температуры на малые радиальные колебания
нейтронных звезд. Обнаружено, что
эффекты, связанные с температурой, проявляются только при различном порядке малости возмущений самой температуры и возмущений всех остальных функций;
собственные частоты колебаний не изменяются;
правая часть динамического уравнения, описывающего колебания, пропорциональна квадрату возмущения температуры;
остывание звезды вызывает ее колебания с амплитудой, обратно пропорциональной квадрату частоты, величина этой амплитуды зависит также от скорости остывания звезды;
3. Разработан метод приближенного решения системы уравнений
Эйнштейна для излучающих звезд. Метод основан на разложении ис
комых функций в ряды Тейлора вблизи поверхности сшивки. Коэффи
циенты рядов находятся из условий сшивки Дармуа - Лихнеровича. С
использованием этого метода
построены астрофизические модели из идеальной жидкости с линейным уравнением состояния и из непаскалевой жидкости с полит-ропным уравнением состояния, но с постоянными радиусом и светимостью;
показано, что внутренние решения могут быть сшиты с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации);
для моделей с линейным уравнением состояния показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды не образуют черных дыр в процессе эволюции.
4. Рассмотрен предельный переход к пылевому уравнению состоя
ния во внутренней части звезды для модели с однородной плотностью и
модели с линейным уравнением состояния; при этом
показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения;
найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение.
Апробация работы. Материалы исследований докладывались на следующих международных конференциях: Геометризация физики III (Казань, 1997), Геометризация физики IV (Казань, 1999), V-ой междуна-
родной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), Theoretical and experimental problems of general relativity and gravitation (Томск, 2002), Симметрия и дифференциальные уравнения (Красноярск, 2002), Physical interpretations of relativity theory (Москва, 2003), International Conference on General Relativity and Gravitation (Дублин, 2004).
По материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 115 страницах и состоит из введения, обзора литературы, двух глав обсуждения результатов исследования, библиографического списка из 127 наименований и включает 2 таблицы и 8 рисунков.
Уравнения Эйнштейна, описывающие сферически симметричную модель звезды
Тогда два уравнения из четырех примут вид (1.59) и (1.60), но с эффективными плотностью энергии и давлением вместо обычных. Оставшиеся два уравнения используются для нахождения плотности энергии излучения ш, скорости v или тангенциального давления р±. Обобщение внутреннего решения Шварцшильда, но теперь уже методом эффективных переменных рассматривается в [93].
Недостатком моделей, полученных методом эффективных переменных является то, что скорость жидкости на поверхности совпадают со скоростью самой поверхности, несмотря на наличие излучения. Впрочем, это распространенное предположение (см. также [94]) на самом деле не является необходимым в методе эффективных переменных.
Во всех рассмотренных методах сшивка с внешним решением является заключительным этапом моделирования и приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям на неизвестные функции времени, тогда как радиальная зависимость модели определяется из точных решений уравнений Эйнштейна.
Тепловые потоки Тензор энергии-импульса потока тепла имеет вид где ha - пространственноподобный радиальный вектор, ортогональный к 4-скорости иа. Интенсивное изучение излучающих моделей с тепловым потоком началось с работы [95], в которой были в явном виде получены условия сшивки внутренней изотропной бессдвиговой теплопроводящей жидкости с метрикой Робертсона-Уокера и внешнего излучения Вайдья. В дальнейшем, большинство авторов рассматривали модели с теплопроводящей жидкости в связи с проблемой гравитационного коллапса [96]—[98], [26], причем в последней работе рассматривалась задача с заданным финальным состоянием, в отличие от стандартной задачи с начальными условиями. С учетом тепловых потоков тензор энергии-импульса записывается в виде гп гр{}1) , rp(heat) rri(stress) /-. «Q\
Впрочем, в некоторых моделях анизотропное слагаемое не учитывается [95], [23], [25], [26]. Такая форма записи тензора энергии-импульса общепринята в работах, содержащих элементы неравновесной термодинамики. Первое обобщение нерелятивистской неравновесной термодинамики было сделано Экартом [99], оно носит название стандартной неравновесной термодинамики. Однако в схеме Экарта нарушен принцип причинности. Этот недостаток был устранен в работах Израеля [100], [101]. Теория Израеля получила название расширенной неравновесной термодинамики или причинной термодинамики. Подробное обсуждение релятивистской неравновесной термодинамики можно найти в [101]—[103].
В стандартной термодинамике вектор потока тепла ha позволяет записать выражение для скорости производства энтропии в виде [G7] TS% = - Ш + (aa + Ц)На + fra/rye/?} , (1.74) где Sa = nsua + ha/T - 4-вектор потока плотности энтропии, п -концентрация барионов, s — Saua/n - удельная энтропия, д = иаа -расхождение (1.51), П - отличие давления от давления идеальной жидкости, Т - температура, а aQ = иафиа - 4-ускорение жидкости (1.50), аар - сдвиг (1.53). Из этого выражения сразу же следует и изоэнтро-иийиость идеальной жидкости (при ha = 0), и релятивистское условие термодинамического равновесия (в равновесии энтропия постоянна)
Простейший способ сделать так, чтобы второй закон термодинамики Sa 0 удовлетворялся, состоит в том, чтобы сделать изменение эн -27 тропии в формуле (1.74) квадратичным. Для этого зададим входящие в формулу величины в виде П = -С0; (1.76) ha = -X{Taa + Tay, (1.77) 7TQ/3 = — 2»7 Tajg, (1.78) где т)(іі,п) и С{ц,п) - соответственно первая и вторая вязкости, обе больше либо равны нулю, а Л(/х, п) - теплопроводность, также неотрицательная. Полученные выражения являются релятивистскими обобщениями уравнений переноса. После их подстановки в (1.74) получим
Уравнение теплопроводности следует из закона Фурье (1.77) и закона сохранения энергии Таф — 0. Если, например, в законе Фурье выключить градиент температуры и ускорение жидкости, то поток тепла мгновенно исчезает, что нарушает принцип причинности. Нарушение причинности видно также из иараболичности уравнения теплопроводности, что соответствует бесконечной скорости. В расширенной неравновесной термодинамике вектор потока энтропии содержит наряду со стандартными также члены второго порядка Sa = nsua + ha/T - (ДО2 + (3iqaqa + М2ЪЮа0) р (1-80) где все термодинамические коэффициенты Pi(p,n) неотрицательны. Плотность энтропии жидкости, измеренная сопутствующим наблюдателем, равна Saua = ns - і (№2 + Piqa f + М2ЪрГР) (1.81) -28 Дивергенция потока энтропии принимает вид TS% = -п + д,п + іг( п к\ \ -7TQ/? Lap + Р27Гар + \Т ( где точкой обозначена проекция ковариантной производной на направление 4-скорости, например П = И.ри , и опущены слагаемые с коэффициентами oti, так как они не равны нулю только при наличии вращения. Соответствуюіцее обобщение уравнений переноса выглядит следующим образом: где го = (Ро, т\ = XT Pi, ті = 2r)@2 - характерные времена релаксации. При подстановке этих выражений в (1.82) получим опять (1.79), так что второй закон термодинамики будет выполняться. Если пренебречь слагаемыми в квадратных скобках, то уравнения переноса сведутся к ковариантной форме записи уравнений Максвелла-Каттанео.
Формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича
Только одно уравнение Эйнштейна, а именно Gee = —8тгТее, на данном этапе не рассматривается, так как содержит вторые производные функций m(u,r) и (3(и,г). Таким образом мы имеем шесть уравнений (3.70)—(3.75) на восемь неизвестных mR,mR,f3R,(3R,fiR,pR,CR и WR. Причем все неременные, кроме последней, входят в уравнения линейно, а анизотропия д в этих уравнениях отсутствует.
Недоопределенность системы уравнений - это обычная ситуация в астрофизических задачах общей теории относительности. Чтобы замкнуть систему исходя из физических соображений, необходимо выбрать уравнение состояния, связывающее давление и плотность модели, и закон энерговыделения, определяющий CR.
В общем случае условия сшивки вместе с уравнениями Эйнштейна, взятыми на поверхности, позволяют найти следующие выражения для значений давления и скорости жидкости на поверхности:
Выражение для давления на поверхности отличается от классической формулы для давления света только множителем (/2, который обращается в единицу при пренебрежении всеми релятивистскими поправками. Скорость жидкости на поверхности будет равна скорости самой поверхности только при АС = О, давление на поверхности в этом случае равно нулю.
Вторые производные метрических функций т(и, г) и р(и, г) входят в уравнения Эйнштейна линейным образом. Все остальные неизвестные функции входят в уравнения Эйнштейна алгебраически. Это означает, что значения на поверхности вторых производных т(и,г) и (3(и, г) связаны с поверхностными значениями первых производных функций /i(u,r),p(u,r),Cm(u,r) и w(u,R) линейными уравнениями. Из определения анизотропного слагаемого тензора энергии-импульса видно, что анизотропия д также входит в уравнения линейно. Далее, продифференцировав уравнения Эйнштейна и условия сшивки п раз можно получить линейные уравнения, связывающие значения производных метрических функций п + 2-ого порядка со значениями производных п + 1-ого порядка функций, входящих в тензор энергии-имнульса (п-ого порядка для анизотропии). Таким образом, если нам удастся справиться с нелинейностью исходных уравнений (3.70)—(3.75), то все значения старших производных на поверхности могут быть найдены из систем линейных уравнений. К сожалению, с ростом порядка производных выражения для них становятся все более и более громоздкими, что существенно ограничивает наши возможности, несмотря на линейность. Усложняет задачу и необходимость следить за определителями получающихся систем.
Определив значения производных на поверхности, запишем приближенное решение в виде рядов Тейлора но степеням г — R(u), обре -81 занных на некотором слагаемом: и так далее, для всех неизвестных функций. Впрочем, при заданных дополнительных уравнениях, замыкающих систему уравнений Эйнштейна, зная приближенные выражения для метрических функций т(и,г) и /3(и,г), можно найти все остальные составляющие модели непосредственно из уравнений Эйнштейна.
Наше приближение зависит от четырех произвольных функций времени R(u), М(и), Oft (и) и д(и), а также от выбора уравнения состояния и двух других замыкающих уравнений.
В отличие от сшивки Дармуа, формализм сшивки Синга записывается в достаточно простом виде, позволяющем рассматривать некоторые вопросы в общем виде. По Сингу, на поверхности сшивки должны выполнятся следующие условия: Та0паА0 = 0, (3.82) где А13 - произвольный вектор, представляя который в виде линейной комбинации векторов па и е?л, получаем в общем случае четыре, а в радиальном случае два скалярных уравнения.
Для внутреннего ТЭИ вида (1.57) и внешнего ТЭИ изотропного неравновесного излучения (1.54) эти уравнения имеют вид {иапа)\ц + р) + р I (U) V+) - wH); (3.83) (иаПа)(иаЄаи)(И +P) = (1аПа)(1а )("{+) "H), (3-84) где мы учли, что при работе в выбранных нами координатах на поверхности сшивки п( ) = п(+) = п и е = eW = eu. Решая (3.83)-(3.84) относительно давления р и разности а/+) — ш \ получим следующее выражение, связывающее давление и плотность энергии на поверхности звезды: При движении жидкости вместе с поверхностью свертка иапа равна нулю и, следовательно, давление на поверхности тоже равно нулю. Очевидно, что разложение в ряд Тейлора вблизи поверхности сшивки известных точных решений должно совпадать с рядом, полученным методом, подробно описанным в первом параграфе.
Для примера возьмем точное решение (1.62)—(1.64) с однородной плотностью /i(w,r) = ц{и) — /ід(и), сшитое с внешним решением Вайдья но Сингу. Условия сшивки Синга вместе с требованием непрерывности метрических коэффициентов для данного решения приводят к следующим выражениям:
Отметим, что сами но себе, условия Синга дают на одно уравнение меньше, чем-условия Дармуа. Однако, если добавить к ним требование непрерывности метрических коэффициентов на поверхности сшивки, то уравнений станет уже на одно больше, чем при сшивке по Дармуа.
Рассматриваемое точное решение для однородной жидкости получено при двух дополнительных предположениях: 3-скорость жидкости равна нулю, v(u,r) = w(u,r) = 0\ (3.88) а анизотропия жидкости выбрана в виде, сводящем уравнения Эйнштейна к статическим, 8тг(и,г) = -r2p- (u,r)e- r). (3.89) Приравняв к нулю выражение (3.59) для 3-скорости, и подставив в него m(u,R(u)) = М(и), P(u,R(u)) = 0 и г = R(u), получим на поверхности равенство Sn/j,R2R = А, совпадающее с (3.86). То есть одно из следствий сшивки по Сингу фактически совпадает с уравнением Эйнштейна (3.59) для нулевой 3-скорости, взятым на поверхности. И, следовательно, это условие не дает нам никакой дополнительной информации о произвольных функциях времени, входящих в рассматриваемое решение.
Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина
Для начала рассмотрим сшивку этого внутреннего решения с внешним решением Шварцшильда, обобщая тем самым модель гравитационного коллапса пылевого шара Оппенгеймера-Снайдера [20]. В отсутствие излучения в сопутствующей системе отсчета поверхность сшивки Е во внутреннем пространстве задается параметрически как {t = Т(и), r( ) = i?( ) = Const}. Здесь параметр поверхности и совпадает с временной координатой внешнего решения, то есть во внешнем пространстве Е имеет вид {и — и, А+ — R(u)}. Касательные векторы, направленные вдоль угловых координат, совпадают с соответствующими векторами предыдущего параграфа (3.5), (3.6) и (3.15), (3.16). Времениподобные касательные векторы и нормали записываются как
Сшивка позволяет выразить произвольные функции внутреннего решения /z(w), ti(u) и Т{и) через внешний радиус модели R(u) и его производную но времени удаленного наблюдателя и:
Предлагается метод моделирования излучающих звезд [84]—[87], основанный на сшивке Дармуа внешнего пространства Вайдья и внутреннего сферически-симметричного пространства общего вида, описываемого метрикой ds2 = е2/3(м г)ф, r)du2 + 2e u r)dudr - r2(d92 + sin2 вйф2), (3.50) где є(и,г) = 1 — 2m(u,r)/r. В качестве поверхности сшивки выбирается сфера переменного радиуса R(u). Скорость поверхности, в отличие от других авторов, использовавших формализм Дармуа, не совпадает со скоростью вещества на поверхности. Приближенное решение соответствующих уравнений Эйнштейна записывается в виде ряда Тейлора но степеням r-R(u). Коэффициенты ряда находятся из условий сшивки и уравнений Эйнштейна, взятых на поверхности. Тензор энергии-импульса выберем в виде где Сгп(и,г) - произвольная функция, задающая процесс энерговыделения внутри звезды. Такой вид тензора энергии-импульса является частным случаем (1.57). Однако можно переписать (3.51) и в виде, соответствующем форме (1.73): rp _ nn{fl) . rp(heat) , ffi(stress) /о rr\\ 1pa — J-po \ l po t1 pa J {O.OZ) где T - ТЭИ идеальной паскалевой жидкости с увеличенными па неотрицательную величину гп/4жг2 плотностью энергии и давлением, a fj;atress) — ( — Сгп/4 к) урст. Таким образом, возможна различная интерпретация внутреннего ТЭИ.
Отметим, что сшивка производится нами в несопутствующей системе отсчета. 4-скорость жидкости в такой системе отсчета равна где 3-скорость жидкости v(u,r) = w(u,r)e u r не равна нулю, а на поверхности не равна скорости самой поверхности в отличие от [22], [88]-[94]. То есть излучение генерируется в том числе и за счет радиационной сублимации - превращения частиц жидкости на поверхности в излучение. Сублимация моделей с пространственно однородной плотностью энергии рассматривалась в [80], [126], а также в первой части этой главы.
Поверхность сшивки Е задана одним уравнением и во внешнем, и во внутреннем подпространствах модели: / = г — R(u) = 0 или, в параметрическом виде, {и = и, г — R(u), в — в,ф = ф}. То есть, в качестве координат на поверхности мы выбрали а = (и,в,ф). В связи с существующей свободой выбора системы отсчета временная координата на поверхности и постулируется совпадающей с временем гали-леева наблюдателя в пространстве Вайдья.
Как уже было отмечено при описании формализма сшивки, в подобных случаях компоненты метрического тензора дар должны быть непрерывны на поверхности сшивки. Это означает, что
Таким образом, наряду с непрерывностью компонент метрического тензора, мы получаем из условий сшивки только одно нетривиальное уравнение. А именно, сравнивая Kj и К$, находим, что mR + (Я + UR)m R + R(RPR + (Я2 + RUR - UR2)(3R) = M. (3.70) Заметим, что это уравнение линейно относительно значений производных неизвестных функций на поверхности 7TiR,mR,f3RiPR. Можно получить еще два линейных уравнений на эти же величины, продифференцировав но времени и условия непрерывности m(u, R(u)) = М(и) и (3(и, R(u)) = 0. Получим
Только одно уравнение Эйнштейна, а именно Gee = —8тгТее, на данном этапе не рассматривается, так как содержит вторые производные функций m(u,r) и (3(и,г). Таким образом мы имеем шесть уравнений (3.70)—(3.75) на восемь неизвестных mR,mR,f3R,(3R,fiR,pR,CR и WR. Причем все неременные, кроме последней, входят в уравнения линейно, а анизотропия д в этих уравнениях отсутствует.
Недоопределенность системы уравнений - это обычная ситуация в астрофизических задачах общей теории относительности. Чтобы замкнуть систему исходя из физических соображений, необходимо выбрать уравнение состояния, связывающее давление и плотность модели, и закон энерговыделения, определяющий CR.
В общем случае условия сшивки вместе с уравнениями Эйнштейна, взятыми на поверхности, позволяют найти следующие выражения для значений давления и скорости жидкости на поверхности:
Выражение для давления на поверхности отличается от классической формулы для давления света только множителем (/2, который обращается в единицу при пренебрежении всеми релятивистскими поправками. Скорость жидкости на поверхности будет равна скорости самой поверхности только при АС = О, давление на поверхности в этом случае равно нулю.
Вторые производные метрических функций т(и, г) и р(и, г) входят в уравнения Эйнштейна линейным образом. Все остальные неизвестные функции входят в уравнения Эйнштейна алгебраически. Это означает, что значения на поверхности вторых производных т(и,г) и (3(и, г) связаны с поверхностными значениями первых производных функций /i(u,r),p(u,r),Cm(u,r) и w(u,R) линейными уравнениями. Из определения анизотропного слагаемого тензора энергии-импульса видно, что анизотропия д также входит в уравнения линейно. Далее, продифференцировав уравнения Эйнштейна и условия сшивки п раз можно получить линейные уравнения, связывающие значения производных метрических функций п + 2-ого порядка со значениями производных п + 1-ого порядка функций, входящих в тензор энергии-имнульса (п-ого порядка для анизотропии). Таким образом, если нам удастся справиться с нелинейностью исходных уравнений (3.70)—(3.75), то все значения старших производных на поверхности могут быть найдены из систем линейных уравнений. К сожалению, с ростом порядка производных выражения для них становятся все более и более громоздкими, что существенно ограничивает наши возможности, несмотря на линейность. Усложняет задачу и необходимость следить за определителями получающихся систем
Моделирование приповерхностного слоя звезды
Наше приближение зависит от четырех произвольных функций времени R(u), М(и), Oft (и) и д(и), а также от выбора уравнения состояния и двух других замыкающих уравнений.
В отличие от сшивки Дармуа, формализм сшивки Синга записывается в достаточно простом виде, позволяющем рассматривать некоторые вопросы в общем виде. По Сингу, на поверхности сшивки должны выполнятся следующие условия: Та0паА0 = 0, (3.82) где А13 - произвольный вектор, представляя который в виде линейной комбинации векторов па и е?л, получаем в общем случае четыре, а в радиальном случае два скалярных уравнения. Для внутреннего ТЭИ вида (1.57) и внешнего ТЭИ изотропного неравновесного излучения (1.54) эти уравнения имеют вид {иапа)\ц + р) + р I (U) V+) - wH); (3.83) (иаПа)(иаЄаи)(И +P) = (1аПа)(1а )("{+) "H), (3-84) где мы учли, что при работе в выбранных нами координатах на поверхности сшивки п( ) = п(+) = п и е = eW = eu. Решая (3.83)-(3.84) относительно давления р и разности а/+) — ш \ получим следующее выражение, связывающее давление и плотность энергии на поверхности звезды:
При движении жидкости вместе с поверхностью свертка иапа равна нулю и, следовательно, давление на поверхности тоже равно нулю.
Очевидно, что разложение в ряд Тейлора вблизи поверхности сшивки известных точных решений должно совпадать с рядом, полученным методом, подробно описанным в первом параграфе.
Для примера возьмем точное решение (1.62)—(1.64) с однородной плотностью /i(w,r) = ц{и) — /ід(и), сшитое с внешним решением Вайдья но Сингу. Условия сшивки Синга вместе с требованием непрерывности метрических коэффициентов для данного решения приводят к следующим выражениям:
Отметим, что сами но себе, условия Синга дают на одно уравнение меньше, чем-условия Дармуа. Однако, если добавить к ним требование непрерывности метрических коэффициентов на поверхности сшивки, то уравнений станет уже на одно больше, чем при сшивке по Дармуа.
Рассматриваемое точное решение для однородной жидкости получено при двух дополнительных предположениях: 3-скорость жидкости равна нулю, v(u,r) = w(u,r) = 0\ (3.88) а анизотропия жидкости выбрана в виде, сводящем уравнения Эйнштейна к статическим, 8тг(и,г) = -r2p- (u,r)e- r). (3.89) Приравняв к нулю выражение (3.59) для 3-скорости, и подставив в него m(u,R(u)) = М(и), P(u,R(u)) = 0 и г = R(u), получим на поверхности равенство Sn/j,R2R = А, совпадающее с (3.86). То есть одно из следствий сшивки по Сингу фактически совпадает с уравнением Эйнштейна (3.59) для нулевой 3-скорости, взятым на поверхности. И, следовательно, это условие не дает нам никакой дополнительной информации о произвольных функциях времени, входящих в рассматриваемое решение.
Функция (3(u,r) — In#01 (и, г) легко определяется из (1.63). При выполнении условия (3.96) значения первых производных метрических функций тп(и, г) и (3(и,г) на поверхности, как и следовало ожидать, совпадают с (3.91)—(3.94).
Аналогично, при том же условии, и вторые производные на поверхности точных выражений для m(u,r) и (3(и,г), а также первые производные давления совпадают с соответствующими производными, вычисленными, исходя из сшивки Дармуа. Производные но радиальной переменной, необходимые для построения приближенного решения имеют вид
В общем случае связь между формализмом Дармуа и формализмом Синга определяется компонентами тензора Эйнштейна в гауссовых координатах, построенных на гиперповерхности сшивки [[67], задача 9.33]: Стандартной моделью звездного вещества в общей теории относительности является идеальная изотропная жидкость с тензором энергии-импульса Т ] {11 + р)иаиц-рдар. (3.102) Внутреннее излучение Сгп и анизотропия отсутствуют. Таким образом, количество неизвестных функций превышает количество уравнений всего лишь на единицу, что исправляется подходящим выбором уравнения состояния.
Реальные уравнения состояния звездной материи чрезвычайно сложны. Поэтому обычным выбором является политропное уравнение состояния p = K(s)p\ (3.103) Считается, что температура белых карликов и нейтронных звезд много меньше температуры вырождения ферми-газа (энергии Ферми), из которого они состоят. Поэтому для модельного описания таких звезд можно положить температуру равной нулю, а коэффициент К нолит-роиного уравнения состояния считать постоянным. Интегрируя первый закон термодинамики (1.46) с давлением, заданным политронным уравнением состояния, и с предположением постоянной энтропии ds — 0, найдем которое переходит в ультрарелятивистское р — р/3 при 7 = 4/3. Линейное уравнение состояния (3.106) может быть получено из уравнения состояния релятивистского идеального газа (3.105) в пределе е » 1, то есть при внутренней энергии много большей, чем масса покоя. В этом пределе р = р{\ + є) « ре и, следовательно (3.105) переходит (3.106).
