Некоторые астрофизические приложения теории гравитации в пространстве Картана-Вейля Кудлаев Павел Эдуардович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Скалярные поля, темная материя и аномалии в солнечной системе и галактках 14

1.1. Скалярные поля в римановых и постримановых гравитационных теориях 14

1.2. Аномалии динамики тел в Солнечной системе и в галактиках 20

1.3. Описание природы темной материи при помощи скалярного поля 30

Глава 2. Сферически-симметирчное решение теории гравитации в пространстве картана-вейля со скалярным поле дирака 34

2.1. Описание математического аппарата теории гравитации в пространст ве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака в формализме внешних форм 34

2.2. Лагранжева плотность и вариационные уравнения поля теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака 38

2.3. Свойства Г - уравнения в сферически-симметричном случае 44

2.4. Компонентное представление0- и /?-уравнений поля в сферически-симметричном случае 46

2.5. Получение сферически-симметричного решения для центрального тела теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака. 52

2.5.1. Выражение метрики и бинома Эйнштейна в сферически-симметричном случае 52

2.5.2. Вычисление компонент в -уравнения для сферически-симметричной метрики

2.5.3. Анализ /?-уравнения 61

2.5.4. Получение сферически симметричного решения вариационных уравнений поля 63

2.6. Применение сферически-симметричного решения к объяснению пролетной аномалии движения пробных тел в околоземном простран

Глава 3. Аксиально-симметричное решение теории гравитации в пространстве картана-вейля со скалярным полем дирака и ротационные кривые спиральных галактик 69

3.1. Вычисление в- и -уравнений теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака для аксиально-симметричного решения 69

3.2. Аксиально-симметричное решение для центрального тела теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака .

3.2.1. Получение системы дифференциальных уравнений 81

3.2.2. Применение полученного аксиально-симметричного решения к объяснению ротационные кривые спиральных галактик 83

Заключение 87

Список литературы

• Аномалии динамики тел в Солнечной системе и в галактиках
• Лагранжева плотность и вариационные уравнения поля теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
• Аксиально-симметричное решение для центрального тела теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
• Применение полученного аксиально-симметричного решения к объяснению ротационные кривые спиральных галактик

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Теория гравитации получила мощный стимул к развитию в начале 20 века в связи с открытием СТО и наличием к этому времени существенного математического аппарата в области геометрии – до сих пор необъясненные явления удалось разрешить в ОТО, отличавшейся усложненной структурой пространства-времени. Идеи успешного подхода пытались развивать и обобщать ОТО на основе усложнения геометрической структуры пространства-времени. Существенный вклад был сделан выдающимися учеными: Э. Картаном, Г. Вейлем, И. Схоутеном, Э. Шредингером. Эти и более поздние попытки своевременно не получили должного признания со стороны научного сообщества.

С течением времени база наблюдательных данных увеличивалась, и произошла революция в космологии, в результате которой возникли новые представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной. На основании наблюдений был сделан вывод о том, что в динамике Вселенной доминирующую роль играет темная энергия. В большинстве теорий описание темной энергии связывается с космологической постоянной, которая описывает энергию физического вакуума, что впервые было предложено Э. Б. Глине-ром. Также подтвердилась гипотеза Цвикки, сформулированная в 30-х годах двадцатого века, о наличии внутри галактик и скоплений галактик темной материи, плотность которой в несколько раз превышает плотность обычной светящейся материи звезд и галактик. Свойства темной материи изучаются с помощью телескопа Хаббл, а также в рамках проекта KiDS, осуществляемого с использованием телескопа ESO VLT Survey (VST), расположенного в обсерватории Paranal в Чили. Была сформулирована идея, что динамику Вселенной определяет темная энергия во взаимодействии с темной материей. Также было открыто ускоренное расширение Вселенной, начавшееся около 5

миллиардов лет до настоящего времени.

В настоящее время на основании наблюдения движения GPS спутников вокруг Земли было высказано предположение о том, что темная материя находится также и в околоземном и тем самым в околосолнечном пространстве, что может оказать влияние на соответствующие метрологические исследования. В настоящее время точность измерения координат космических систем такова, что является актуальным учет релятивистских поправок, обусловленных как скоростью их движения, так и гравитационными характеристиками околоземного и околосолнечного космического пространства.

О наличии в этом пространстве некоторых действующих факторов, не учтенных ни теорией гравитации Ньютона, ни обобщающей ее теорией гравитации Эйнштейна говорит сравнительно недавнее открытие аномалий движения тел в Солнечной системе [1]. Высказано предположение, что таким неучтенным фактором может быть наличие темной материи. Сформулировано несколько гипотез о природе темной материи, однако окончательная точка зрения до сих пор не выработана.

В работах [2-4] сформировано представление о том, что как темная энергия, так и темная материя может быть объяснена наличием во Вселенной особого скалярного поля, введенного ранее Дираком [5]. Обоснование существования данного скалярного поля в природе и его геометрическая интерпретация теоретически вытекают из калибровочной теории гравитации группы Пуанкаре-Вейля [6], что приводит к изменению наших представлений о свойствах пространства-времени. Именно, вместо принятой в ОТО геометрии Римана в пространстве-времени возникает геометрия Картана-Вейля с кривизной, кручением и неметричностью типа Вейля, а также с необходимым наличием геометризованного скалярного поля Дирака. Для модифицированной таким образом теории гравитации в пространстве Картана-Вейля было предложено название теория гравитации Вейля-Дирака.

Обязательное существование в природе скалярного поля Дирака видо
изменяет, кроме космологического решения, также сферически-
симметричное и аксиально-симметричное решения в современной теории

гравитации. Совместное решение уравнений гравитационного и скалярного полей приводит к метрике, не имеющей сингулярности, характерной для метрики Шварцшильда, но на больших расстояниях в ньютоновском приближении совпадающей с метрикой Шварцшильда. Данное решение будет модифицировать решение для черных дыр в ОТО. Аксиально-симметричное решение этих уравнений может обосновать плоский вид ротационных кривых спиральных галактик, что представляет собой одну из актуальных проблем современной галактической астрофизики.

Степень разработанности темы

В работе [6] была построена калибровочная теория гравитационного поля, исходя из требования локальной инвариантности теории относительно группы Пуанкаре-Вейля и было показано, что из этого требования в пространстве-времени возникает геометрическая структура пространства Карта-на-Вейля. В данной теории возникает требование необходимого существования дополнительного скалярного поля, имеющего такой же фундаментальный статус, как и метрика. Дальнейшее развитие теории показало, что данное скалярное поле по своим свойствам совпадает со скалярным полем, введенным Дираком в известной работе [5], и поэтому было названо скалярным полем Дирака. В дальнейшем на основе данного результата была построена конформная теория гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля [2, 3], в которой эффективная космологическая постоянная (энергия вакуума) определялась скалярным полем Дирака. Применение данного подхода к космологии ранней Вселенной [2-4] позволило наметить путь решения проблемы космологической постоянной, представляющую собой важную проблему современной теоретической физики.

В [2] была высказана гипотеза о том, что скалярное поле Дирака в пространстве Картана-Вейля не только определяет величину эффективной космологической постоянной, но также играет роль основной компоненты темной материи. Данная гипотеза разрабатывалась в работе [7], в которой было

найдено сферически-симметричное решение, а также получено решение

уравнений поля для скалярного поля Дирака. Разработке общего метода нахождения сферически-симметричных решений в данной теории, их получению, анализу и применению к описанию пролетной аномалии посвящена первая часть этой диссертации. Вторая часть посвящена получению приближенного аксиально-симметричного решения, его анализу и расчету периферической скорости звезд в спиральных галактиках.

Цель и задачи

Целью работы является получение возможных астрофизических следствий геометрически модифицированной теории гравитации в пространстве Картана-Вейля в рамках моделирования темной материи скалярным полем Дирака.

Для реализации обозначенной цели решаются следующие задачи:

разработка в теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака общего метода получения сферически-симметричного решения, основанного на представлении метрики в общем сферически-симметричном виде с двумя произвольными функциями с учетом конкретизации системы координат;

решение полученных вариационным методом уравнений гравитационного и скалярного полей и получение аналитических выражений для метрики и скалярного поля;

постановка и решение задачи о движении пробного тела в полученной метрике и сравнение результата с наблюдательными данными;

развивая идеи А. В. Коганова и В. Г. Кречета [8] о роли цилиндрической симметрии при объяснении ротационных кривых спиральных галактик, осуществление разработки метода получения аксиально-симметричного решения в теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака;

- получение приближенного аксиально-симметричного решения и объ
яснение на его основе наблюдаемого вида ротационных кривых спиральных
галактик.

Научная новизна

Научная новизна исследования заключается в том, что:

- на основе разработанного общего метода для теории Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получено сферически-симметричное решение вариационных уравнений гравитационного и скалярного полей, конформное известному решению Илмаза-Розена;

получено уравнение для скорости движения пробного тела в найденной сферически-симметричной метрике;

показано, что вычисленная в рамках теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака асимптотически предельная скорость пробного тела не совпадает в сторону увеличения со значением данной скорости, вычисленной на основании теории Ньютона, что совпадает с наблюдательными данными по движению запускаемых с Земли космических аппаратов. Полученный результат дает возможность объяснения одной из обнаруженных аномалий движения тел в Солнечной системе, а именно, пролетной аномалии;

из сравнения с наблюдательными данными по движению космических аппаратов получена оценка порядка свободного параметра в найденном сферически-симметричном решении;

в рамках геометрически модифицированной теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получено приближенное аксиально-симметричного решения;

на основе найденного приближенного аксиально-симметричного решения предложено одно из возможных объяснений наблюдаемого плоского вида ротационных кривых спиральных галактик.

Теоретическая и практическая значимости работы

Теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что возможные объяснения пролетной аномалии и плоского вида ротационных кривых спиральных галактик, полученные на основе найденных сферически-симметричного и приближенного аксиально-симметрич- ного решений, могут представлять собой подтверждение модели темной материи как скалярного поля Дирака – поля геометрической природы.

Практическая значимость диссертационного исследования определяется тем, что его результаты могут быть использованы при изучении влияния темной материи в исследованиях околоземного и околосолнечного космического пространства, так как в настоящее время является существенным учет соответствующих релятивистских поправок в связи с повышением точности измерения координат космических аппаратов.

Методология и методы исследования

Данная работа осуществлялась на основе методологии современной теоретической физики, основанной на приоритете калибровочных принципов при построении теории поля, а данном случае на приоритете пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации.

В работе были использованы следующие методы исследования:

– математический метод внешнего дифференциального исчисления;

– вариационный метод современной теории гравитации в формализме внешних форм;

– компьютерный метод проведения символьных вычислений в математических задачах, используемый для проверки результатов аналитических вычислений.

Положения, выносимые на защиту

1) В рамках теории гравитации в пространстве-времени Картана-Вейля
со скалярным полем Дирака разработан метод получения сферически-
симметричного решения, основанный на представлении метрики в общем
сферически-симметричном виде с двумя произвольными функциями с уче
том конкретизации системы координат, и выведены вариационные уравнения
гравитационного и скалярного полей в сферически-симметричном случае.

2) В теории гравитации Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
получено сферически-симметричное решение уравнений гравитационного и
скалярного полей (для метрики конформное известному решению Илма-
за-Розена), определяемое одним свободным параметром.

1. Получено в пространстве-времени Картана-Вейля со скалярным полем Дирака уравнение для скорости движения пробного тела в найденной сферически-симметричной метрике, на основании которого предложено возможное объяснение одной из обнаруженных аномалий движения тел в Солнечной системе, а именно, пролетной аномалии; из сравнения с наблюдательными данными по движению космических аппаратов получена оценка порядка свободного параметра в найденном сферически-симметричном решении.

2. В рамках теории гравитации в пространстве-времени Картана-Вейля со скалярным полем Дирака получены в аксиально-симметричном случае уравнения гравитационного и скалярного полей и найдено приближенное аксиально-симметричное решение этих уравнений.

5) На основе найденного приближенного аксиально-симметричного
решения предложено одно из возможных объяснений наблюдаемого плоско
го вида ротационных кривых спиральных галактик.

Достоверность

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основывается на достоверности использованных методов современной дифференциальной геометрии и вариационного исчисления в формализме внешних форм. Результаты, полученные в диссертации, проверены с помощью компьютерного метода символьных вычислений.

Кроме того, полученные результаты удовлетворяют методу соответствия, а именно, при переходе из геометрии Картана-Вейля к геометрии Ри-мана найденная сферически-симметричная метрика переходит в полученную ранее известную метрику Илмаза-Розена, относящуюся к классу метрик Ма-джумдара-Папапетру, а найденная аксиально-симметричная метрика переходит в известную аксиально-симметричную метрику Синга.

Апробация

Апробация результатов исследования осуществлялась на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах:

IX Московская научно-практическая конференция «Студенческая наука», Москва, Московский Студенческий Центр, 27 октября-28 ноября 2014 г;

4-th International Conference on Theoretical Physics, Moscow, MSPU 3-6 July 2015;

XIIth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (ICGAC-12), Moscow, PFUR, 28 June - 5 July 2015;

Международная Сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН, ОИЯИ Дубна, 12-15 апреля, 2016 г.;

Международная конференция «Гравитация, космология и механика сплошных сред», посвященная 100-летию со дня рождения К.П. Станюковича, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 3-4 марта 2016 г.;

ю

LII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 17-19 мая 2016 г.;

5-я Ульяновская Международная Школа-Семинар по Теоретической и Наблюдательной космологии - UISS-2016, Ульяновск, 19-30 сентября 2016 г.

Результаты диссертационного исследования были также апробированы при работе над научным Проектом 533п(9), Государственный контракт П797, который был реализован при выполнении федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы и при выполнении проектной части государственного задания (№3.1968.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации.

Личный вклад автора

Личный вклад автора отражен в содержании диссертации и основных результатах, выносимых на защиту. Данные результаты получены автором лично в совместной работе с научным руководителем, который сформулировал цель и задачи исследования, производил контроль вычислений и анализ полученных результатов. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад автора диссертации был определяющим.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 2 статьи в журналах из списка рекомендованных ВАК, входящих также в список Web of Science, и 1 публикация в трудах международной конференции. Кроме того, опубликованы 3 тезиса докладов на международных и всероссийских конференциях и 2 публикаций сделаны в электронном архиве.

її

Структура и объем диссертации

Аномалии динамики тел в Солнечной системе и в галактиках

Одними из наиболее общих теорий являются теории Бергмана (1968) и Ваго-нера (1970) [63]. Они включают метрику, динамическое скалярное поле, функцию связи, космологический параметр соответствия и космологическую функцию Л(ф). Уравнения поля получаются из действия. Космологическая функция играет роль космологической постоянной ОТО. Решение полевых уравнения для ф дают юкава-подобное выражение ехр(-г / /), где / определяет характерную дальность действия скалярного поля. Гравитационные тесты могут наложить ограничения на параметр X. Современное значение гравитационной постоянной может быть вы ( А + 2соЛ числено по формуле Gtod = ф0 = 1, и если оказывается, что значение ф0 y3 + 2coJ меняется в результате эволюции Вселенной, то и значение гравитационной константы изменится.

Одной из римановых, но отличных от ОТО, полевых теорий гравитации является теория Р. Бранса и К. Дикке [64]. Она является частным случаем теории Бергмана и Вагонера, но заслуживает отдельного рассмотрения. Это также скалярно-тензорная теория: в ней гравитационное взаимодействие описывается как при помощи скалярного поля, так и при помощи тензорного поля ОТО. Гравитационная постоянная не является константой, а вычисляется по формуле G = 1/ ф, скалярное поле в которой изменяется в зависимости от пространственной координаты и с течением времени. Теория Бранса и Дикке идейно продолжает теорию П. Йордана [65-67], разработанную в 1959 году, и идею Дирака [68, 69] о переменной величине гравитационной постоянной G.

Как и в ОТО в теории Бранса и Дикке пространство-время снабжено метрическим тензором, однако гравитационное поле задано тензором кривизны Римана только частично. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, тем самым в них автоматически проявляется эффект гравитационного красного смещения [70]. Источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса, который учитывает распределение материи в пространстве, дополнительным же является скалярное поле ф, физическое действие которого проявляется в локальном изменении гравитационной постоянной.

В уравнениях поля содержится параметр со, называемой константой связи Бранса-Дикке. Величина параметра безразмерна и должна быть выбрана так, чтобы соответствовать наблюдениям, в дополнение к этому гравитационная постоянная должна удовлетворять граничным условиям и согласовываться с текущими её значениями в ОТО. В рамках теории Бранса-Дикке описывается эффект гравитационной линзы, прецессия перигелия Меркурия и других планет солнечной системы. Действие имеет отличие от ОТО, формулы содержат константу связи со. Оценку со, исходя из экспериментальных данных, оказывается возможным ограничить только по нижнему значению, и наблюдается тенденция к увеличению её значения [71, 72].

Примечателен факт, что Дирак в 1973 году строит конформно инвариантное обобщение ОТО, вводя для этого скалярное поле [42]. Мотивацией для Дирака были работы Бранса, Дикке и Йордана, а также желание приблизится к созданию квантовой теории, объединяющей электромагнитное и гравитационное взаимодействие. Дирак считает, что есть причины для того, чтобы полагать возможным существование зависимости гравитационной постоянной от времени, в связи с чем упоминает теорию Вейля, вводя новый более простой принцип действия, однако, требующий наличия скалярной полевой функции, описывающей гравитационное поле наряду с метрическим тензором. Немного ранее этих событий в 1970 году Дезер ввёл близкое по свойствам скалярное поле [43]. В работах [36-40] аналогичное скалярное поле названо полем Дирака, мы будем придерживаться этого названия. В дальнейшем Дирак вернулся к идее изменяющейся гравитационной постоянной.

Одной из интересных теорий является теория Бекенштейна (1977) [63], с определённой формой функции связи; в ней массы элементарных частиц могут изменяться в пространстве-времени согласно скалярной функции, а их изменение определяется двумя свободными параметрами.

Рассмотренные скалярные теории в пределе переходят в ОТО при рассмотрении нашей эпохи. Однако в случае ранней Вселенной в теориях, где связь является функцией скалярного поля, появляются отличия [63].

Исследование теорий гравитации предполагает получение сферически симметричного решения, так как большое количество объектов во Вселенной, по всей видимости, обладает такой симметрией (например, звёзды, чёрные дыры и т.д.). Если для ОТО такое решение связано с именем Шварцшильда, первым обнаружившим её в 1916 году, то для теории со скалярным полем, логарифмически убывающим с расстоянием, открытие сферически симметричного статического решения связано с именами Д. И-ши [73], Бергмана, Лейпника [74] и К. А. Бронникова [75], независимо получившими данное решение. В работе [76] высказана идея о том, что если скалярное поле зависит от времени, то существуют статические сферически симметричные метрики. Взаимодействие черных дыр Шварцшильда и Райснера-Нордстрема с безмассовым скалярным полем с точечным зарядом изучено в работе [77], результатом будет являться рост скалярного поля и разрушение чёрной дыры. Автор работы [78] получил решения для геодезических, и рассмотрел поведение световых лучей и пробных частиц, которые оказались нечувствительны к полю, для дальнодействующего скалярного поля в статических плоскосимметричных пространствах. Были найдены точные решения уравнений Эйнштейна, статичные в гармонических координатах.

Лагранжева плотность и вариационные уравнения поля теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

Для вспомогательных полей справедливы также следующие дифференциальные свойства: D ЛаЬЫ = - -Q Чаш D ЛаЬс = Q Г/аЬс+Т ЛаЬЫ 22 (2.1.15) D77ab = --Q77ab + TC77abO D Ла = Q Ла+ Т Чй D = 0. Для дальнейшего понадобятся формулы разложения связности и кривизны на римановы и постримановы части. Если справедливо соотношение 8аЬ = dSab - Г" agcb-YC bSab = 2Т(ab) = 0 , (2.1.16) то метрика g и связность Г согласованы. Тогда пространсто CW4 преобразуется a с в пространство Римана-Картана RC4. При этом 1-форма связности Г пространства RC4 разлагается на 1-форму связности Таь пространства Римана R и 1-форму конторсии К\: С R С С Таь=Т\+Каь, Та=КаъЛв\ Tab=ba. (2.1.17) Данное разложение связности приводит к разложению 2-формы кривизны пространства RC4: С R R Ra b =Ra b+DKa b+Ka cAKc b . (2.1.18) л Здесь D - внешний ковариантный дифференциал пространства R4по отношению R R к 1-форме связностиГ6, аR \ - 2-форма кривизны пространтва R4. b пространства Картана-Вейля 4 C ab пространства Римана-Картана 4 W ab пространства 4 Далее, 1-форма связности Таь пространства Картана-Вейля CW4 разлагается на 1-форму связности Т\ пространства Римана-Картана RC4 и 1-форму дефекта связности Ааъ пространства CW4: С W W л Гай=Гай+Аай, Aa,=-( %Q +20[aQb]). (2.1.19) Данное разложение приводит к разложению 2-формы кривизны: се с 1 Rab=Rab+DAab+AacAAcb=Rab+-SbRcc+V[ab], 4 (2.1.20) _ IQ Rc =-DQ=-(ejDQ )6 rfA6 c+-QTc=-dQ 1 Ь_ 1 с Здесь введены 2-форма кривизны R % пространства RC4,внешний ковариантный с дифференциал D этого пространства и антисимметричная 2-форма [4] Рай =-(T[aQb] 6[а A Qb] + -G[aQb] AQ ва Л СТ) (2.1.21) В дальнейшем понадобятся разложения ковариантных дивергенций на рима-новы и постримановы части, которые вытекают из разложений (2.1.17) и (2.1.18): R 1 УТа = даТа +ГаъаТь bTb +-QbTb, (2.1.22) к VaGa = daQa + Га ьа Tb + K\aQh + &abaQb = R і = d Qa + ГabaTb bQb + -QhQb. b (2.1.23)

В монографии [4] и работах [36-41] на основании идеи Дирака [42] было осуществлено построение конформной теории гравитации в пространстве Картана-Вейля CW4 при помощи учета в лагранжевой плотности взаимодействия со скалярным полем Дирака ft. Как было указано ранее, возникающая при этом теория гравитационного поля была названа теорией гравитации Вейля-Дирака. В полной теории, опубликованной в монографии [4], в лагранжевой плотности были учтены квадратичные по кривизне слагаемые, а также слагаемое с эффективной космологической постоянной. В данной диссертации, следуя работам [39, 40, 169], производится исследование локального аспекта теории, и поэтому космологическая постоянная не включена в лагранжевую плотность, а также не включены слагаемые, квадратичные по тензору кривизны, и учтены только слагаемые, квадратичные по тензорам кручения и неметричности. Таким образом, 4-форма лагранжевой плотности гравитационного поля теории гравитации Вейля-Дирака в формализме внешних форм выбрана в следующем виде [4, 39, 40, 169]: L=2/0/?2[(1/2)/?2R AT7/ + +рф2Т а л Та + P2J32(T а л въ) л (Т b л ва) + +АР ( а)Л ( ъ) + + Щр\±аЬ л HQ аЬ + 4#?2Qa, л ва л Т ь + +I,dj3 л d/? + /2/?d/? л ва л Та + /3/?d/? л HQ ] + +/?4A A(Qa,-(l/4)ga,Q).

Здесь первое слагаемое обобщает лагранжиан Гильберта-Эйнштейна (скаляр кривизны) на пространство CW4. Другие слагаемые представляют собой квадратичные по тензору кручению и 1-форме Вейля инварианты. Те слагаемые, которые содержат константы связи /г (г=1,2,3), обеспечивают динамику скалярного поля р. Слагаемое с неопределенными множителями Лагранжа каЬ (3-формы) содержит условие Вейля Qa -(l/4)gaP =0, (2.2.2) которому подчиняется метрика и 1 -форма связности пространствао CWA. Так как мы имеем нулевой след выражения Qab -(l/4)ga6Q, то неопределенные множители Л также должны иметь нулевой след: Лс с = 0 .

При варьировании независимыми переменными являются 1-формы ва, 1-форма связности Гаь, скалярное поле Р и компоненты метрического тензора касательного пространства gab. Возможность рассмотрения компонент метрического тензора касательного пространства gab в качестве произвольных функций и тем самым необходимость их рассмотрения как независимых вариационных переменных основана на лемме Б. Н. Фролова, доказанной в [170] для общего аффинно-метрического пространства, а в [171] рассмотрен частный случай пространства Картана-Вейля.

Лемма 1 (Б. Н. Фролов, 2003). В общем аффинно-метрическом пространстве L4(g,T) базис в касательном пространстве не может быть калибровочно кова-риантным образом выбран как «жесткий» базис таким образом, чтобы в касательном пространстве компоненты метрического тензора будут представлять собой в каждой точке пространства-времени набор одних и тех же постоянных чисел.

В формализме внешних форм вариационная техника основана на лемме Ба-буровой-Климовой-Фролова, доказанной в [4, 172], о процедуре перестановки операции варьирования и операции дуализации Ходжа.

Аксиально-симметричное решение для центрального тела теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака

Тем самым пространство-время приобретает геометрическую структуру пространства Картана-Вейля с метрикой (2.5.42), конформной метрике ds 2m =e r dt 2-e r {dr1 + r\de2 + sin 2edcp1)). (2.5.43) Метрика (2.5.42) получена в работах автора [49, 50]. Причем, в отличие от [169, 173], где данная метрика была получена только при значении q = — 8, в формуле (2.5.40), здесь эта метрика получена при произвольном значении параметра q.

Метрика (2.5.43) представляет собой известную метрику Илмаза-Розена (YR) [60-62], относящейся к классу метрик Маджумдара-Папапетру [58, 59]. В связи с этим найденную метрику (2.5.42) будем называть обобщенной метрикой Илмаза-Розена.

Метрика (2.5.43) вызывает интерес у современных исследователей [175-177], так как в ней отсутствуют особенности на гравитационном радиусе. Поэтому с помощью этой метрики нельзя получить решений типа черной дыры или кротовых нор. Но должны существовать модифицированные решения типа квази-черных дыр, аналогичные тем, которые получил К.А. Бронников с соавторами [178] в общей теории относительности при наличии электромагнитного и скалярного полей для метрик, относящихся к классу Маджумдара-Папапетру.

Если в метрике Илмаза-Розена (2.5.43) константу интегрирования выбрать равной r0=rg= 2Gm I с2 0, то при больших г данная метрика будет совпадать с метрикой Шварцшильда не только в ньютоновом, но и в постньютоновом (PPN) приближениях. При таком выборе константы r0 метрика Илмаза-Розена (2.5.43) будет давать те же экспериментальные результаты, что и метрика Шварцшильда. Чтобы этот факт выполнялся также и для обобщенной метрики Илма-за-Розена (2.5.42), необходимо, чтобы константа k в (2.5.40) была бы достаточно мала. Однако на галактических расстояниях или даже для больших расстояниях в пределах Солнечной системы PPN-приближение для метрики (2.5.42) будет несколько отличаться от PPN-приближения метрики Шварцшильда, что будет приводить к малому отличию траекторий движений звезд в галактиках, а также космических аппаратов в Солнечной системе от тех, которые находятся с помощью метрики Шварцшильда.

Рассмотрим радиальное движение пробного тела под влиянием обобщенной метрики Илмаза-Розена (2.5.42). В уравнении геодезической для этой метрики t-компонента имеет первый интеграл [2] -rn cdt n e r — =hn -const ds (2.6.1) Выражение для метрики (2.5.42) разделим на ds и положим для радиального движения d6 = 0, d(j) = 0 . Тогда получим mMcdt ydsj 1-е 2rg dr 2 ycdtj = 1. (2.6.2) Вычислим отсюда v = dr/dt, учитывая (2.6.1): 1 -а± ) 1-— е r F (2.6.3) на достаточно Эта формула дает связь между скоростью пробного тела и радиальной ко inf ординатой г. Для асимптотического значения скорости большом удалении от Земли (/ ») получим тождество 1- (2.6.4) Применим теперь формулы (2.6.3) и (2.6.4) к описанию движения космического межпланетного аппарата, стартующего с Земли (игнорируя ее вращение). Пусть v 0 - начальная скорость аппарата на поверхности Земли радиуса R . Применяя ньютоново приближение, получаем приближенно из (2.6.3):

Обозначим через v inf/0 асимптотическое значение скорости аппарата на большом удалении от Земли, вычисленное при значении к = 0, то есть для метрики (2.5.43). Тогда из (2.6.6) найдем inf /0 С + 3 R г R (2.6.7) Вычитая (2.6.7) из (2.6.6), найдем _ 2 Vinf Vinf/ + к± R (2.6.8) Данные по запускаемым с Земли космическим аппаратам (Галилео, Кассини и ряда других) показывают не совпадение (в сторону увеличения) наблюдаемой асимптотической скорости vinf с теоретической скоростью vinf /0 , рассчитанной по теории Ньютона, причем это несоответствие имеет порядок [33]

Данное несоответствие называется «пролетной аномалией» – «flyby anomaly» и представляет собой одну из обсуждаемых в настоящее время аномалий движения тел в Солнечной системе [33]. Высказывается предположение, что данная аномалия вызывается наличием темной материи в околоземном пространстве. Так как одним из направлений в объяснении феномена темной материи яв 67 ляется ее моделирование скалярным полем Дирака [4, 41], то естественно предположить, что данная аномалия объясняется наличием вокруг Земли скалярного поля Дирака, и сопоставить наблюдательный результат (2.6.9) с теоретическим результатом (2.6.8).

Данное сопоставление позволяет сделать два вывода. Первый заключается в том, что величина (2.6.8) должна быть положительной, и поэтому в решении (2.5.41), (2.5.42) следует брать нижний знак. Второй вывод заключается в том, что можно оценить величину параметра k в метрике (2.5.42) следующим образом.

То есть величина параметра k оказывается чрезвычайно малой, а тем самым на основании (2.5.40) можно сделать вывод о том, что хотя бы одна из констант связи со скалярным полем Дирака l1,l2 ,l3 в лагранжевой плотности (2.2.1) оказывается чрезвычайно большой по величине.

Обратимся в связи с этим теперь к решению (2.5.40), (2.5.41). Из физических соображений можно заключить, что параметры q, s не могут быть слишком большими по величине. Поэтому отсюда следует, что в этом решении должно выполняться условие -q-s-3=0. (2.6.14) Данное условие имеет три физически обоснованных решения. Первое из них следующее: q = -8, s = -6. (2.6.15) Это решение соответствует представлению gab = Р (x)gab , для которого имеем Dgab = 2j3dj3 g + j32Dg( = 2j32 g( = 2gabd\nj3 = (2.6.16) = -(Sd\nJ3)gab=-Qab= -gabQ. Второе решение: q = 8, s = 0. (2.6.17) Это решение соответствует представлению gab = /Г (x)gab . В этом случае кручение отсутствует, и пространство-время имеет геометрическую структуру пространства Вейля со скалярным полем Дирака. Третье решение: q = 0, s = -3. (2.6.18) Это решение соответствует представлению gab = g b . В этом случае пространство-время имеет геометрическую структуру пространства Римана-Картана со скалярным полем Дирака (с кручением, но без неметричности). Этот случай был рассмотрен ранее в работах Б.Н. Фролова [179, 180]. Отметим, что в работах [169, 173] было получено только первое решение q = - 8 , причем без конкретизации величины поля кручения s, оставляя его произвольным.

Применение полученного аксиально-симметричного решения к объяснению ротационные кривые спиральных галактик

Будем искать приближенное решение системы уравнений (3.2.2), (3.2.3), (3.2.5) и (3.2.10) при условиях (3.2.7) и (3.2.8). Примем дополнительное условие U"2=0. (3.2.11) Выберем решение этого условия в виде Щр, z) = С(р) 1- V h J D 1, (3.2.12) h где h = const, а C(p) - произвольная функция от p. Тогда решение остальной части уравнения (3.2.10) с учетом последующего применения ньютонова приближения представим в виде Р 1 —— V hJ U(p,z) = -—In R , m,R = const, -ПІ, - 1. (3.2.13) R p Сделанное в (3.2.13) предположение о малости функции U(p, z) позволяет найти приближенное выражение для функции v(p, z). Действительно, при этих предположениях можно заключить о малости первых производных от функции U(p, z): C/; D 1, С/; D 1, и в уравнениях (3.2.2), (3.2.3) и (3.2.5) квадратами этих производных можно пренебречь. В результате приходим к следующей приближенной системе уравнений: vpp+vzz + — 0, і _ w-s) х в (3.2.14) р г lv_2mpzKQ_ pVz г6 Легко проверить, что эта система трех уравнений в частных производных удовлетворяется функцией 2 2 2r4 KA ) (3.2.15) Найденная функция (3.2.15) позволяет выписать метрику, реализующую приближенное решение поставленной задачи о нахождения аксиально-симметричного решения теории гравитации Вейля-Дирака: ds exp 2m РЛ R In v ; h ds GR (3.2.16) dsGR = e 2m c2dt2 -e 2m г 2 m p e 4 (dp2+dz2) + p2d / 2 V (3.2.17)

Найденная приближенная метрика (3.2.16) конформна известному аксиально-симметричному решению (3.2.17) общей теории относительности [3].

Теперь, следуя идеям, высказанным А. В. Когановым и В. Г.Кречетом в работе [47], применим полученное приближенное аксиально-симметричное решение для описания движения звезд в спиральных галактиках.

Центр цилиндрической системы координат поместим в центр галактики. Величину R интерпретируем как радиус балджа - сфероидальная область вокруг ядра галактики размером порядка 103 парсека и массой порядка масс Солнца. От балджа отходят спиральные рукава до расстояния 104 парсека. Галактику окружает гало почти сферической формы, радиус которого примерно совпадает с радиусом спирального рукава. Величину т положим равной т = GM/c2 = rg /2 , где М- масса звезд, составляющих балдж. Величину h интерпретируем как радиус гало галактики, тогда R/h П 1.

В ньютоновом приближении гравитационный потенциал определяется метрическим коэффициентом ёп 2(р (3.2.18) и поэтому не зависит от вида функции у(р, z) при условии ее достаточной гладкости. Поэтому для решения данной задачи функцию у(р, z) можно использовать в метрике в неконкретизированном виде:

Потенциалу (3.2.20) соответствует гравитационная сила, действующая на единицу массы звезды в спиральных рукавах галактики. Данная сила имеет две составляющие. Одна из них лежит в плоскости спирали и направлена к центру. Вторая составляющая перпендикулярна плоскости спирали. Радиальная составляющая этой силы равна Fp = GM Rp h + GM p r2 r (3.2.21) Под действием радиальной составляющей звезды в спиральном рукаве будут обращаться вокруг центра галактики со скоростью v GM R 1-L h + GMfp V J (3.2.22) Первое слагаемое здесь постоянно, оно не зависит от расстояния от звезды до центра галактики, второе слагаемое убывает с этим расстоянием. В силу принятых условий (3.2.12) и (3.2.13) первое слагаемое больше по величине, и именно оно обеспечивает постоянную (начиная с окончания балджа) величину скорости обращения звезд вплоть до тех значений этого расстояния, при котором существенно уменьшается влияние аксиальной симметрии и приобретает преимущественное влияние сферическая симметрия, которая обеспечивается общим влиянием сферического гало всей галактики.

Если в формулу (3.2.22) подставить приведенные выше примерные данные о типичных галактиках, то для скорости обращения звезд вокруг центра получим v 290 — , (3.2.23) с что с достаточной точностью соответствует наблюдательным данным. Таким образом, найденное приближенное аксиально-симметричное решение в теории гравитации в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака представляет собой один из возможных способов решения проблемы ротационных кривых спиральных галактик (об этой проблеме см. Главу 1).