Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Точные решения задачи электродинамики и гравитации, приводящие к ударной волне 23
1 Задача электродинамики для сферической области 23
1.1 Постановка задачи и ее общее решение 23
1.2 Случай постоянной начальной плотности распределения заряда 30
1.3 Случай логнормального начального распределения плотности заряда 32
1.4 Скорость распространения волны 35
2 Задача электродинамики для цилиндрической области 40
2.1 Постановка задачи и ее общее решение 40
2.2 Случай постоянной начальной плотности распределения заряда 45
2.3 Случай логнормального начального распределения плотности заряда 47
2.4 Скорость распространения волны 50
3 Задача гравитации для сферической области 52
3.1 Постановка задачи и ее общее решение 52
3.2 Случай постоянной начальной плотности распределения массы 59
3.3 Случай логнормального начального распределения плотности массы 61
4 Задача гравитации для цилиндрической области 64
4.1 Постановка задачи и ее общее решение 64
4.2 Случай постоянной начальной плотности распределения массы 69
4.3 Логнормальное начальное распределение плотности массы 71
5 Общий случай электрического и гравитационного поля 74
ГЛАВА 2 Эффект пространственного заряда 76
1 Модель сплошной среды со сферически симметричным распределением заряда
1.1 Постановка начально-краевой задачи относительно вектора электрического поля и скорости
1.2 Рассмотрение в системе центра масс 83
1.3 Структура решения 86
1.4 Модель однородно заряженного шара 90
2 Численное решение в модели сплошной среды 96
2.1 Порядок аппроксимации решения 96
2.2 Разностная схема с первым порядком аппроксимации 97
2.3 Разностная схема со вторым порядком аппроксимации 109
3 Модель сплошной среды для задачи учета пространственного заряда в случае произвольного распределения плотности
3.1 Начально-краевая задача относительно плотности заряда и скорости 113
3.2 Построение решения 115
4 Численное решение задачи с произвольным распределением плотности
4.1 Разностная схема 119
4.2 Пример численного решения модельной задачи 122
Заключение 128
Литература 129
- Случай постоянной начальной плотности распределения заряда
- Случай постоянной начальной плотности распределения массы
- Рассмотрение в системе центра масс
- Модель сплошной среды для задачи учета пространственного заряда в случае произвольного распределения плотности
Введение к работе
Актуальность темы
В последние полвека большое внимание в различных областях математической и теоретической физики [1], [2], а также в прикладной математике [3], [4] уделялось подходам, обеспечивающим математически строгие результаты: поиску точно решаемых моделей, строгой формулировке исходных уравнений этих моделей, исходя из первых принципов.
В данной работе рассматривается построение точных решений модельных задач, обладающих самосогласованным полем. Примером таких задач является учет эффекта пространственного заряда пучка в ускорительной физике, а также задачи связанные с астрофизикой. Следует отметить, что рассматриваемые поля создаются системами многих взаимодействующих частиц. Например, пространственный заряд пучка частиц в ускорителе создается числом частиц порядка 1015. При этом условия эксплуатации ускорителя требуют расчета параметров пучка с точностью, при которой существенны потери пучка на структурных элементах установки. Поэтому рассматриваемые системы многих взаимодействующих частиц имеет фактически переменное число частиц, что требует рассмотрения исходя из первых принципов, так как не во всех случаях возможно сокращение описания.
Наличие точно решеных модельных задач позволяет производить оценку различных численных методов, используемых при моделировании сложных динамических, самосогласованных систем.
Цель диссертации
Целью работы являлся поиск точных решений задач многих взаимодействующих частиц, разработка и тестирование численных алгоритмов для решения задач учета эффекта пространственного заряда пучка на точных аналитических решениях.
Научная новизна
1. Получено точное аналитическое решение для эволюции плотности заряда частиц p(r,t\ для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.
-
Получено точное аналитическое решение для эволюции плотности массы частиц р(г,ґ) для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.
-
Методом характеристик показано существование решений в виде ударной волны для задач эволюции плотности заряда p(r,t) в сферической области и
цилиндрической области.
4. Методом характеристик показано существование решений в виде ударной волны
для задач эволюции плотности массы р(г,ґ) в сферической области и
цилиндрической области.
5. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора
электрического поля D и скорости v в гидродинамическом приближении для
описания эффекта пространственного заряда (D v - задача)
6. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора функции
плотности р(г,ґ) и скорости v в гидродинамическом приближении для описания
эффекта пространственного заряда (р v - задача)
Научная и практическая значимость работы
-
Получены точные аналитические решения для задач системы многих взаимодействующих частиц, которые могут использоваться, как тестовые решения численных алгоритмов в задачах учета эффекта пространственного заряда
-
Произведено сравнение точных и численных решений (D v - задачи), которое показывает хорошее совпадение теоретических и численных результатов.
-
Произведён численный расчёт р v - задачи, который сравнён с полученными точными аналитическими решениями. Получено хорошее совпадение.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов полученных в диссертации обосновывается математически точными методами, применяемыми при решении поставленных задач. Достоверность обосновывается также хорошим совпадением, полученных теоретических результатов с результатами, следующими из численного эксперимента.
Апробация работы
Основные результаты исследований, вошедшие в содержание глав диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях: The United Conference IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014 (Санкт-Петербург, Россия) - 2 доклада, The 22th International Conference Mathematics. Computing. Education, 2015 (Пушино, Россия)
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 2 монографии, 5 статей в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Случай постоянной начальной плотности распределения заряда
Краткое содержание работы Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации и формулируется цель диссертации, а также приводится ее краткое содержание. В главе 1 рассматривается поиск точных решений задач многих взаимодействующих частиц [61-63,67]. В 1 главы 1 рассматривается задача электродинамики для сферически симметричной области в виде шара. Методом характеристик получена формула, описывающая эволюцию функции плотности Ps(r t) заряда для сферически симметрично заряженного шара. Характеристики описывают эволюцию концентрических сфер. Внутри каждой такой сферы суммарный заряд остается постоянным. Рассмотрены частные случаи начальных распределений плотностей заряда. Для постоянного начального распределения плотности заряда характеристики не пересекаются, и в каждый момент времени плотность заряда внутри шара является постоянной. Получено выражение для максимальной скорости распространения сферической волны. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности заряда внутри шара, наблюдается пересечение характеристик, что приводит к решению типа ударной волны.
В 2 главы 1 рассматривается задача пространственного заряда для области в виде бесконечного цилиндра. Методом характеристик получена формула эволюции плотности заряда. Уравнения характеристик описывают эволюцию концентрических бесконечных цилиндров. Графики характеристик для случая постоянного начального распределения плотности заряда не пересекаются, а плотность заряда внутри цилиндра не зависит от координаты. Максимальная скорость распространения цилиндрической волны в этом случае является неограниченной в отличие от сферической волны из 1 главы 1. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности заряда внутри цилиндра графики характеристик пересекаются, что приводит к решению типа ударной волны.
В 3 главы 1 рассматривается сферическая самосогласованная модель с гравитационным полем. Учитывая гравитационное притяжение, методом характеристик получена формула эволюции плотности массы. Графики характеристик для случая постоянного начального распределения плотности массы в некоторый момент времени Т0 пересекаются в центре шара. До момента Т0 характеристики между собой не пересекаются. Плотность массы внутри шара остается постоянной. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности массы внутри шара графики характеристик пересекаются на некотором радиусе внутри шара. Пересечение характеристик приводит к бесконечному увеличению плотности массы на некотором сферическом слое.
В 4 главы 1 рассматривается цилиндрическая самосогласованная модель с гравитационным полем. Для цилиндрической области методом характеристик получена формула эволюции плотности массы. Для случая постоянного начального распределения плотности массы характеристики пересекаются только в центре цилиндра. Плотность массы внутри цилиндра не зависит от координат. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности массы внутри цилиндра графики характеристик пересекаются не в центре цилиндра, а на некотором радиусе. Пересечение характеристик приводит к бесконечному увеличению плотности массы на некотором цилиндрическом слое, что дает решение в виде «гравитационной ударной волны».
В 5 главы 1 рассмотрен случай, когда элементы среды имеют заряд и массу. Получены результаты аналогичные результатам из 1-4 главы 1. Если рассматривается вещество с соотношением заряда к массе а а0, где W 1 а0 = /—, и0 = , к - гравитационная постоянная Ньютона, то получаем \ и0 4тгк задачу с электрическим взаимодействием, рассмотренную в 1-2 главы 1. В такой ситуации действие отталкивающей силы Кулона превышает силу Ньютоновского гравитационного притяжения. В случае, когда а а0 получаем задачу с гравитационным взаимодействием рассмотренную в 3-4 главы 1. Если величина а = а0 получаем состояние равновесия системы.
В Главе 2 для проблемы анализа эффекта пространственного заряда пучка предложены постановки начально-краевых задач в рамках гидродинамического приближения [64-66]. В 1 главы 2 для случая сферически симметричной функции распределения плотности заряда сформулирована начально-краевая задача относительно вектора электрического поля D, и векторного поля скоростей v . Для предложенной постановки задачи найден вид решения в виде ряда, коэффициенты которого выражаются через начальные условия. Таким образом, для заданного начального распределения плотности частиц находится решение предложенной начально-краевой задачи, описывающей эволюцию функции распределения плотности заряда от времени.
Для численного решения начально-краевой задачи в 2 главы 2 предложена разностная схема, основанная на разложении решения в ряд. Проведены сравнения точных аналитических решений из главы 1 с численными решениями начально-краевой задачи и методом «частица на частицу» (РР: Particle to Particle). Получено хорошее соответствие точного и численного решения. Рассмотрены разностные схемы с первым и вторым порядком аппроксимации по времени, произведено их сравнение.
Для общего случая произвольного распределения функции плотности заряда в 3 главы 2 предложена начально-краевая задача относительно функции плотности заряда р и векторного поля скоростей v. Найден формальный вид решения в виде ряда. При этом коэффициенты ряда выражаются через производные по координатам от начальных условий р0 и v0, а также через производные по времени от электрического потенциала и0. Для численного решения начально-краевой задачи относительно р и v в 4 главе 2 построена разностная схема и рассмотрена ее устойчивость в случае инжекционного канала. Рассмотрено два случая, соответствующих различным значениям числа С (число Куранта - Фридриха - Леви). Так при С \ наблюдается накопление погрешности, которое, в конечном счете, приводит к неустойчивости в виде быстро осциллирующей функции. В случае, когда число С 1 наблюдается устойчивость численного алгоритма.
Случай постоянной начальной плотности распределения массы
Для учета эффекта пространственного заряда пучка используются различные модели. Среди них метод крупных частиц, метод моментов, решение уравнения Власова. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. Например, решение кинетического уравнения Власова дает общую картину поведения пучка, однако приводит к необходимости решать сложную вычислительную задачу в шестимерном фазовом пространстве. Метод крупных частиц имеет широкое применение и содержит большое число моделей частиц. Однако основная трудность этого метода заключается в правильном выборе модели частицы, а также в определении достаточного числа крупных частиц, которые используются в моделировании, и в частности, для корректного определения функции плотности частиц. В силу того, что пучок меняет свою форму со временем (в процессе движения), то трудно быть уверенным в хорошей аппроксимации функции плотности. Следует отметить, что в современных ускорителях плотность частиц может быть достаточно высока 1015 , и существует потребность в моделировании таких пучков, например, для задачи учета «гало» пучка.
В этой связи здесь предложен новый подход в решении задачи учета эффекта пространственного заряда. Предлагаемый метод занимает промежуточное положение между методом крупных частиц и уравнением Власова для функции распределения. Идея метода состоит в последовательной работе с функцией плотности заряда частиц. При этом функция плотности определена в эйлеровых координатах, и нигде в процессе вычислений не происходит переход к самим частицам, то есть к лагранжевым координатам. Это позволяет уменьшить вычислительную нагрузку для нахождения функции плотности. То есть с одной стороны предложенный метод не использует модель частиц, как и в методе самосогласованного поля Власова, с другой стороны, используемые уравнения не обладают большой вычислительной емкостью в отличие от использования уравнения Власова, что позволяет существенно ускорить процесс расчетов. В ряде случаев предложенный метод позволяет получить аналитическое решение.
Итак, будем рассматривать движение заряженного пучка частиц в неоднородном магнитном Д,(/?) и электрическом De(p,t) поле, при этом внешнее электрическое поле может меняться по времени. Здесь рєО. точка области Q движения пучка.
Собственное магнитное поле Hs пучка, возникающее из-за его движения, будем считать существенно меньшим, чем внешнее магнитное поле Не(р). Эффект собственного поля Hs на фокусировку пучка будем считать несущественным. Собственное электрическое поле Ds(p,t), напротив, играет ключевую роль в эффекте пространственного заряда, приводящего к «разбуханию» пучка за счет кулоновского отталкивания частиц.
Такие предположения являются адекватными для моделирования процесса инжекции пучка в циклотроне, где релятивистские эффекты не так значительны из-за невысокой начальной энергии пучка и, как следствие, на динамику пучка оказывает большое влияние пространственный заряд.
Модель сплошной среды со сферически симметричным распределением заряда В этом параграфе рассмотрена постановка начально-краевой задачи для учета эффекта пространственного заряда. Рассматриваемая краевая задача состоит из двух уравнений относительно неизвестных функций: D - вектора электрического поля и v- векторного поля скоростей среды. Отсюда и происходит название DV-постановка. Постановка начально-краевой задачи относительно векторов D и v Рассмотрение начнем с простейшей системы, в которой отсутствуют внешние поля Ве(р) и De(p,t), а форма пучка имеет сферически симметричную форму в каждый момент времени. Отметим, что симметричная форма дает симметричное распределение собственного электрического поля. Далее, запишем одно из уравнений Максвелла:
Dt+J = rotH, (1) здесь D(p,t) - электрическое поле пучка, заданное в каждой точке области Q и зависящее от времени; у (/ ,?) _ плотность тока, вызванная перераспределением заряда внутри пучка; H(p,t) - магнитное поле, создаваемое плотностью тока j(p,t). Плотность тока может быть представлена в виде: j(p,t) = pe(p,t)v(p,t), (2) где pe(p,t) - плотность заряда в точке рєО. в момент времени?, a v(p,t) скорость потока заряженных частиц в точке рєО., в момент времени t. Отметим, что в силу симметрии пучка скорость v(/?, ) может быть представлена виде где V0 постоянная скорость, задающая движение пучка как целого, a u(p,t) скорость в системе центра масс пучка. Далее запишем магнитное поле, создаваемое таким пучком. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа:
Первый интеграл в выражении (4) равен нулю в силу сферической симметрии пучка (и \ \ гр, где гр - радиус вектор из центра сферы к точке р )
Полученное уравнение (7) задает связь между электрическим полем D и скоростью потока заряда v в точке рєО. в момент времени t. Данное уравнение содержит две неизвестных функции, поэтому для его разрешения необходимо второе уравнение. Второе уравнение может быть получено из закона сохранения момента Р. Для начала запишем закон сохранения массы М для элемента объема SV. здесь pm - плотность массы вещества пучка, а интегрирование производилось по элементарному объему 8V, с площадью поверхности SS. Теперь запишем закон сохранения момента в предположении, что внешних сил нет, а частицы между собой не взаимодействуют. Получим:
Рассмотрение в системе центра масс
Указанную задачу решим двумя способами. Первый способ - путем использования разностной схемы (5), а второй методом «частица на частицу» РР (Particleo-Particle). Оба результата сравним с известным аналитическим решением ((44) 1 глава 2), полученным ранее.
Итак, в силу симметрии задачи, воспользуемся сферической системой координат. В качестве начальных условий возьмем следующие величины: V0(r) = , 50(г) = ё&г, гє[0Л], A =f Q = Npq, V = , (7) Bo=2m, NR=200, T = 0.1sec, =2000, Л г=200. Здесь использованы обозначения. р0 - начальная плотность заряда в шаре; Q - суммарный заряд шара; V - начальный объем шара; Nр - число крупных частиц для моделирования методом частица на частицу (РР); q заряд одной крупной частицы; R0 - начальный радиус шара; NR - число узлов разностной сетки вдоль радиуса; Т - временной интервал, в течение которого происходит эволюция системы; NT - число шагов по времени.
Результаты численных расчетов приведены на рис. 1а и 16. На рис. 1а показано распределение плотности заряда р(г) вдоль радиуса. Синим цветом, показано распределение плотности, соответствующее задаче ((18) 1 глава 2). Красным цветом показана гистограмма, описывающая метод PP. Графики, приведенные на рисунке, соответствуют начальному и конечному моменту времени. Приведено теоретическое решение (пунктирная линия). Рис.16 аналогичен рис. 1а с той разницей, что на нем приведены графики p{r}r2. Рис.16 дает распределение линейной плотности вдоль радиуса, и на нем более наглядно видно сохранение площади под кривой, которая соответствует суммарному заряду.
Из графиков на рис.1а,б видно, что разностная схема (5) дает хорошее совпадение с теоретическим результатом. Для иллюстрации метода «частица на частицу» (РР) используется гистограмма. В начале координат при радиусе равном нулю аппроксимация функции плотности гистограммой не очень успешна, на рисунке видна некая осцилляция функции плотности. Связано это с тем, что для нахождения плотности необходимо разделить друг на друга две маленькие величины: заряд на объем. Их малость вызвана тем, что при движении к началу координат, с уменьшением радиуса объем сферического слоя или шара уменьшается. Следовательно, и количество заряда, содержащееся в таком объеме тоже должно уменьшаться, так как плотность постоянна. В результате получается большая погрешность в гистограмме функции плотности при численном генерировании координат частиц для метода PP.
На рис.2 показана эволюция функции плотности заряда. Сплошной линией показан теоретический график, а пунктиром - расчетный. Здесь стоит отметить, что исходя из решения ((44) 1 глава 1) на каждом шаге по времени внутри шара плотность не зависит от радиуса и остается постоянной величиной, то есть зависит только от времени. Поэтому на рис.2 нет зависимости от координаты, то есть данное значение плотности можно сопоставить любой точке внутри шара. Как видно из графика на рис.2 имеет место хорошее совпадение между теорией и решением, полученным по схеме (5), которая имеет всего лишь первый порядок аппроксимации по времени.
На рис. 4а и 46 приведено начальное и конечное распределение функции плотности вдоль радиуса. Сплошной линией показана функция плотности, полученная по разностной схеме (5). В виде гистограммы приведена плотность частиц для расчета по методу «частица на частицу». На рис. 4а показана функция р(г), а на рис.46 функция p{r}r2.
Начальное и конечное распределение объемной плотности частиц для модели шара с нормальным логарифмическим распределением плотности заряда.
Из сравнения распределений на рис.4 видно, что новая постановка и метод РР дают похожий характер эволюции функции плотности.
На рис. 5 показана эволюция функции плотности заряда через равные промежутки времени для постановки задачи ((18) 1 глава 2), здесь видно, как происходит размывание сферического слоя заряда.
Эволюция объемной плотности частиц от времени для модели шара с нормальным логарифмическим распределением плотности заряда.
Рассмотрим еще один интересный случай, а именно пример автомодельного решения, описанного выше. Для этого в примере номер 2 добавим начальную постоянную скорость V0. Исходя из общих соображений, изложенных выше, в этом случае должно получиться то же самое решение, что и в примере 2, только движущееся как целое со скоростью V0.
Как и в предыдущем случае, будем решать трехмерную задачу на прямоугольной сетке. В силу того, что задача теряет симметрию, величина
Размер разностной сетки возьмем, как и раньше (10), а промежуток времени увеличим. При этом будем брать разное число разбиений шагов по времени. Иными словами будем менять шаг по времени от большого к малому. И в зависимости от величины шага по времени посмотрим, как изменяется точность решения. Величину начальной скорости возьмем следующую: что соответствует движению вдоль оси ОХ. Временной интервал выберем Т = 2-10-2 сек, а число шагов по времени NT будем менять в диапазоне: 50, 100, 200, 400, 800. На рис.8 показан результат конечного распределения плотности с количеством шагов по времени NT=50. Как видно из рисунка наблюдается сильная асимметрия распределения в сторону направления движения.
Естественно данный результат не является корректным, так как нарушается симметрия распределения. Поэтому шаг по времени необходимо уменьшить. На рис. 9 приведена последовательность таких распределений, соответствующая уменьшающемуся временному шагу. Стрелкой показано направление скорости V0.
Из рис.9 видно, что первый порядок аппроксимации требует существенного, то есть больше чем на порядок, уменьшения шага по времени для достижения необходимой точности. В этой связи будет интересно сделать аналогичный расчет со схемой второго порядка аппроксимации по времени.
Модель сплошной среды для задачи учета пространственного заряда в случае произвольного распределения плотности
Основной трудностью использования DV-постановки для произвольного несимметричного распределения частиц в пучке является вычисление собственного магнитного поля пучка (4), которое в случае симметричного распределения принимает простую форму (5). Для работы с несимметричными распределениями требуется заменить первое уравнение в DV-постановке на уравнение, не зависящее от собственного магнитного поля пучка. Такое уравнение получается путем взятия оператора div от первого уравнения в постановке ((14) 1 глава 2), что в результате дает уравнение непрерывности для функции плотности заряда р:
С точки зрения численных расчетов такое уравнение решать проще, хотя бы потому, что уравнение записано для скалярной, а не для векторной величины, к тому же отсутствие роторной компоненты в правой части уравнения упрощает задачу.
Однако с появлением новой неизвестной величины р необходимо усложнить задачу, чтобы постановка задачи была замкнутой относительно неизвестных величин. То есть необходимо соотношение для связи между D и р. С этой целью рассмотрим следующую дополнительную краевую задачу: здесь и - функция скалярного электрического потенциала; величина и0 -задает значение потенциала на границе Г, ограничивающей область Q, в которой и будет решаться краевая задача. В каждый момент времени потенциал на границе и0 может также менять свое значение, например, если пучок проходит через ускоряющее поле, где потенциал на электродах меняется со временем. Также отметим, что не обязательно использовать для нахождения потенциала и именно задачу Дирихле, можно рассматривать и задачу Неймана или смешанное краевое условие. Выбор условия на границе определяется типом физической задачи, для которой делается расчет.
Данную постановку краевой задачи (4) будем называть постановкой относительно р и V или просто pV- постановкой. Отметим, что здесь нигде не налагаются условия на симметричность распределения заряда, то есть предполагается произвольное распределение.
Как и для DV постановки, можно по аналогии показать, что pV-постановка тоже допускает решения в виде разложения в степенной ряд, а именно:
В проверке решения для скорости v необходимости нет, так как уравнение для скорости не изменилось. Проверим решение первого уравнения для плотности заряда. Подставим представление для плотности заряда из (5) в первое уравнение постановки (4), получим: в силу (4) выражение в квадратных скобках равно нулю при любом t, следовательно, и производная от него тоже будет равна нулю, то есть получили верное тождество. Распишем для второй степени как и прежде, выражение в последних квадратных скобках равно нулю при любом значении t, поэтому получаем верное тождество. Аналогичные результаты получатся и для остальных степеней по t.
Построение решения, как ранее, тоже может быть получено рекуррентными соотношениями для коэффициентов разложений (5). Например, первые производные имеют вид: здесь величина pt известна из соотношения (12), а величина w(p,t) - задает изменение потенциала u(p,t) на границе. В случае, если потенциал на границе не меняется, то есть граница находится под постоянным потенциалом, тогда w(p,t) = О. Если потенциал меняется, например, граница находится под ВЧ потенциалом, тогда w(/»,/l) = Lrmcos( 2 F/l + ), где Um -амплитуда потенциала, % - ВЧ частота, ф - начальный сдвиг фазы.
В результате коэффициенты разложения (5) выражаются через производные по координатам от начальных условий.
Численное решение задачи с произвольным распределением плотности В данном параграфе описано построение алгоритма для численного решения pV-задачи, рассмотрен вопрос устойчивости разностной схемы, а также приведены примеры численного решения модельной задачи.
По аналогии с DV постановкой, для pV постановки также можно построить разностную схему второго порядка аппроксимации по времени. Но учитывая, что по координатам придется использовать первый порядок аппроксимации из-за учета направления потока, можно ожидать, как и в предыдущем случае, ухудшения точности. Однако, в данной постановке для нахождения скалярного потенциала w (/ ,?) и вектора электрического поля можно использовать второй порядок аппроксимации по координатам при решении краевой задачи для уравнения Пуассона из ((4) 3 глава 2). Итак, для аппроксимации решения будем использовать второй порядок по времени, то есть: CD V(A i) v(/7,r„) + T-V,(/7,r„) + yVff(/7,r„). Зная распределение плотности заряда p(p,tn) в момент времени tn, можно найти распределение скалярного потенциала г/(/ ,ґи) путем решения уравнения Пуассона из постановки ((4) 3 глава 2). Вычисляя градиент от потенциала u(p,tn), получим распределение собственного электрического поля пучка Ds(p,tn). В результате получается следующая последовательность действий: