Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Эволюция голографической энтропии зацепленности в нерав новесном нагреве 19
1.1 Голографическое описание неравновесного нагрева 20
1.1.1 Голографическое описание термализации 20
1.1.2 Дуальная метрика, описывающая неравновесный нагрев 21
1.1.3 Геодезические в пространстве черной браны с оболочкой Вайдиа 23
1.1.4 Газличные режимы установления равновесия
1.2 Критическая кривая 30
1.3 Режим потери памяти при неравновесном нагреве
1.3.1 Режим насыщения 35
1.3.2 Пост-локальный линейный рост. Разложение в окрестности і)к 37
1.3.3 Поздний режим потери памяти 38
1.4 Предлокальный квадратичный рост 40
1.5 Численные расчеты 42
1.6 Эволюция взаимной информации
1.6.1 Виды эволюции взаимной информации 44
1.6.2 Конфигурации, соответствующие эволюции взаимной информации типа колокола
1.7 Деформация Анти де-Ситтера ультрарелятивистскими частицами 54
1.8 Длины геодезических в пространстве Ад С деформированного безмассовыми частицами 1.8.1 Одна безмассовая частица 59
1.8.2 Две сталкивающиеся безмассовых частицы 61
1.9 Вычисление голографической энтропии зацепленности з
1.9.1 Один безмассовый дефект 64
1.9.2 Две сталкивающиеся частицы 66
ГЛАВА 2. Неравновесные Вильсоновские петли и анизотропная гологра фическая термализация 67
2.1 Описание анизотропии и Вильсоновских петель в голографии 67
2.1.1 Голографическое описание Вильсоновских петель 67
2.1.2 Метрики типа Лифшица 69
2.2 Пространственно-подобные Вильсоновские петли в стационарном случае 72
2.2.1 Петля, ориентированная в плоскости ху\ 73
2.2.2 Вильсоновская петля в плоскости у\У2 79
2.2.3 Зависимость струнного натяжение от ориентации 83
2.3 Пространственные Вильсоновские петли в нестационарном случае 85
2.3.1 Вильсоновские петли в плоскости ху\ 85
2.3.2 Вильсоновские петли в плоскости у\У2 94
2.4 Время термализации 97
2.4.1 Время термализации пространственных Вильсоновских петель 97
2.4.2 Сравнение времени термализации для различных наблюдаемых 99
ГЛАВА 3. Ударные доменные стенки в неконформных метриках и феноменология 102
3.1 Феноменологическое описание конфайнмента в АдС/КТП соответствии 102
3.1.1 Фоновые метрики, обладающие свойством конфайнмента . 102
3.1.2 Множественность рождения заряженных частиц 104
3.1.3 Ловушечная поверхность для ударных доменных стенок. 106
3.2 Промежуточная эффективная фоновая метрика 107
3.2.1 Энтропия 107
3.2.2 Время термализации 109
3.3 Промежуточная фоновая метрика как часть эффективной .111
Заключение
- Дуальная метрика, описывающая неравновесный нагрев
- Голографическое описание Вильсоновских петель
- Фоновые метрики, обладающие свойством конфайнмента
- Промежуточная фоновая метрика как часть эффективной
Введение к работе
Актуальность темы.
Дуальность Анти де-Ситтер/Конформная теория поля1 2 3 (сокращенно, AdS/CFT дуальность или AdS/CFT соответствие) является мощным методом исследования сильновзаимодействующих квантовых систем. Используя голографический принцип, данная дуальность позволяет соотнести свойства теории, определенной в (d + 1)-мерном пространстве с поведением другой теории на <і-мерной границе этого пространства.
В работах Виттена, а также Габсера, Клебанова и Полякова2 3 было показано, как делать вычисления конкретных наблюдаемых в рамках этой дуальности, а также представлена основная формула AdS/CFT соответствия. В этих работах было установлено точное соответствие между корреляционными функциями в конформной d-мерной теории поля и асимптотическим поведением действия теории супергравитации вблизи границы пространства AdSd+i- Затем была предложена3 диаграммная техника, позволяющая вычислять n-точечные функции Грина примарных операторов и токов с помощью вычислений в d+1-мерной классической гравитации и было показано, что многоточечные функции Грина, полученные с использованием этой техники совпадают с полученными в результате вычислений в конформной теории поля. В работе Арефьевой и Воловича обсуждались перенормировки в голографии и нарушение конформной инвариантности.
1J. М. Maldacena, "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity," Int. J. Theor.
Phys. 38, 1113 (1999).
2S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory,"
Phys. Lett. B428, 105-114 (1998).
3E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253-291 (1998).
4I. Ya. Aref'eva and I. V. Volovich, "On the breaking of conformal symmetry in the AdS / CFT
correspondence," Phys. Lett. В 433, 49 (1998).
AdS/CFT соответствие было обобщено для граничной теории при ненулевой температуре5. Для этого вместо метрики AdS необходимо рассматривать решение типа черной дыры (или черной браны), при этом остальная часть вычислений остается аналогичной случаю нулевой температуры. Было показано как различные явления в калибровочных теориях, такие как деконфайнмент при высокой температуре, могут описываться при помощи AdS/CFT соответствия. Это соответствие стало широко применяться6 для феноменологических исследований квантовой хромоди-намики (КХД) в режиме сильной связи и других сильновзаимодейству-ющих систем. Хотя точный голографический двойник КХД неизвестен, свободные параметры гравитационной теории могут быть использованы для фитирования экспериментальных данных. Таким образом, возможно получить голографическую модель близкую по своим свойствам к КХД. Голографический подход был также применен для описания столкновения тяжелых ионов7. Важной величиной, измеряемой в экспериментах по столкновению тяжелых ионов является множественность рождения заряженных частиц. В работе Габсера, Пуфу и Ярома8 был предложен голо-графический метод вычисления множественности заряженных частиц, образующихся в столкновении тяжелых ионов методами AdS/CFT соответствия.
Тяжелый ион в голографической модели рассматривается как точечное возмущение тензора энергии-импульса в квантовой теории поля. С точки зрения голографической дуальности тяжелый ион, двигающийся со скоростями близкими к скорости света, описывается ударной волной внутри
5Е. Witten, "Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories," Adv.
Theor. Math. Phys. 2, 505 (1998).
6J. Casalderrey-Solana, H. Liu, D. Mateos, K. Rajagopal, U. A. Wiedemann, "Gauge/String Duality, Hot
QCD and Heavy Ion Collisions,".
7И.Я. Арефьева, "Голографическое описание кварк-глюонной плазмы, образующейся при столкновениях тяжелых ионов", УФЫ, 184:6 (2014).
8S. S. Gubser, S. S. Pufu and A. Yarom, "Entropy production in collisions of gravitational shock waves
and of heavy ions," Phys. Rev. D 78, 066014 (2008).
пространства AdS. Столкновение тяжелых ионов на этом языке описывается столкновением ударных волн внутри AdS и предполагается, что площадь ловушечной поверхности, образующейся в результате столкновения ударных волн, пропорциональна множественности рождения заряженных частиц. Эта оценка восходит к оценке множественности рождения при столкновениях частиц через энтропию, предложенной в 50-х годах Ландау, Ферми и Померанчуком. Модели со сталкивающимися ударными волнами, в качестве дуальной метрики, являются достаточно сложными для исследования, поэтому в работе Шуряка и Лина9 было предложено вместо сталкивающихся ударных волн рассматривать сталкивающиеся доменные стенки.
Столкновение тяжелых ионов естественно рассматривать с использованием тех 5-мерных голографических моделей, которые дают хорошее описание статических свойств КХД. Такой моделью является 5-мерная модель, использующая дилатонную гравитацию10. Несмотря на существенный успех моделей, основанных на дилатонной гравитации в описании различных феноменологических данных, накопленных в результате экспериментов, эти модели не дают корректной зависимости для множественности рождения заряженных частиц от энергии11. Для модели дилатонной гравитации было найдено12 решение, приводящее к такой зависимости площади ловушечной поверхности, полученной в столкновении доменных стенок. Если сталкивающиеся доменные стенки имеют полубесконечный профиль, тогда в результате голографического вычисления воспроизводится необходимый феноменологический результат. Важной задачей яв-
9S. Lin and Е. Shuryak, Grazing collisions of gravitational shock waves and entropy production in heavy
ion collision, Phys. Rev. D 79 (2009) 124015.
10U. Gursoy, "Improved Holographic QCD and the Quark-gluon Plasma," Acta Phys. Polon. В 47, 2509
(2016). nE. Kiritsis and A. Taliotis, Multiplicities from black-hole formation in heavy-ion collisions, JHEP 04
(2012) 065. 12И. Я. Арефьева, E. О. Поздеева, Т. О. Поздеева, "Голографическая оценка множественности и
столкновение мембран в модифицированных пространствах AdS5", ТМФ, 176:1 (2013).
ляется исследование образования множественности в теории, обладающей конфайнментом и для доменных стенок с профилем конечного размера. Эта задача рассматривается в главе 3 диссертации.
Далее, в работе Арефьевой и Голубцовой13 была получена анизотропная метрика, воспроизводящая множественность и являющаяся 5-мерной гравитационной теорией, взаимодействующей с векторным и скалярным полем. Данная метрика относится к классу метрик типа Лифшица. Характерной чертой метрики, рассмотренной в работе13 является анизотропия, т.е. наличие выделенного направления в метрике, что естественно предположить при рассмотрении физики столкновения ионов, где такое направление существует. Представляется актуальным исследовать динамику тер-мализации в квантовой теории, обладающей такой анизотропией. Данное исследование проведено в главе 2 диссертации.
Исследование процесса образования черной дыры в пространстве AdSz существенно упрощается в случае трехмерного пространства-времени. Известно, что при столкновении точечных ультрарелятивистских частиц в AdS%, при достаточно большой энергии происходит образование черной дыры . Исследование этой более простой, в сравнении с многомерным случаем, задачи представляет значительный интерес.
Важным аспектом AdS/CFT соответствия является возможность исследования квантовой теории вне равновесной ситуации и вне рамок теории возмущений. Один из неравновесных процессов, которые широко обсуждаются в рамках AdS / С FT соответствия - так называемый квенч (quench). Рассмотрим систему (при нулевой температуре), изначально находившуюся в равновесии. В определенный момент времени она испытывает внезапное возмущение (изменение одной из констант в лагранжиане, введение (injection) энергии в систему и.т.д.). Выведенная таким образом из равновесия система постепенно снова приходит к состоянию равновесия,
13I. Ya. Aref'eva and A. A. Golubtsova, Shock waves in Lifshitz-like spacetimes, JHEP 1504 (2015) (Oil). 14H. -J. Matschull, "Black hole creation in (2+l)-dimensions," Class. Quant. Grav. 16, 1069 (1999).
соответствующего некоторой конечной температуре. В многомерной теории, в особенности для сильновзаимодействующей теории данная задача не имеет аналитического решения. Однако, имеется возможность исследовать некоторые из этих задач с помощью голографического подхода.
Популярной голографической моделью, описывающей термализацию теории, выведенной из равновесия, является модель Вайдиа15. Метрика АдС-Вайдиа описывает пространство AdS, интерполирующее между AdS и AdS с черной дырой. Таким образом, исходным состоянием дуальной модели на границе является теория при нулевой температуре, а в качестве финального состояния рассматривается теория при ненулевой температуре. Модель Вайдиа замечательна тем, что многие метрики допускают прямое обобщение на деформацию типа Вайдиа, если известна "функция почернения", т.е. функция описывающая черную дыру. Таким образом функция, описывающая черную дыру в анизотропной метрике, воспроизводящей корректную множественность , была построена в работе16. Там же была получена деформация этой метрики типа Вайдиа.
Важной величиной, характеризующей квантовую систему, является голографическая энтропия зацепленности. Рю и Такаянаги связали1 энтропию зацепленности некоторой d-1-мерной области в d-мерной квантовой теории поля с некоторой d-1-мерной минимальной гиперповерхностью в дуальной d+1-мерной фоновой метрике. Общие принципы AdS/CFT соответствия сохраняются при вычислении этой величины, то есть для рассмотрения теории при конечной температуре в качестве дуальной метрики необходимо выбрать некоторую черную дыру (брану). Данная конструкция естественным образом позволяет также вычислять взаимную инфор-
15J. Abajo-Arrastia, J. Aparicio and E. Lopez, "Holographic Evolution of Entanglement Entropy," JHEP
1011, 149 (2010).
16I. Y. Aref 'eva, A. A. Golubtsova and E. Gourgoulhon, Analytic black branes in Lifshitz-like backgrounds
and thermalization, JHEP 09 (2016) 142.
17S. Ryu and T. Takayanagi, "Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT," Phys.
Rev. Lett. 96, 181602 (2006).
мацию и её обобщения. Работа Рю и Такаянаги вызвала широкий резонанс, поскольку аналогичное вычисление энтропии зацепленности, и тем более взаимной информации в квантовой теории поля сопряжено со значительными трудностями. Методами голографии был показано18 наличие эффекта потери памяти в термализующейся конформной теории поля, в том числе многомерной. В силу того, что многие физические неравновесные процессы происходят при ненулевой начальной температуре, актуальной задачей является обобщение формул, описывающих режим потери памяти, на случай ненулевой начальной температуры. Эта задача решена в главе 1 данной диссертации.
Цели и задачи исследования.
Получить голографическое описание 2-мерной конформной кванто
вой системы после
глобального квенча при ненулевой начальной температуре,
анизотропного квенча при нулевой температуре.
Описать эволюцию голографической энтропии зацепленности и взаимной информации в таких системах.
Вычислить характеристики эволюции пространственноподобных Вильсоновских петель в термализующейся анизотропной четырехмерной квантовой теории поля. Исследовать зависимость различных динамических и статических характеристик такой анизотропной системы.
Исследовать множественность рождения заряженных частиц в теории с конфайнментом в рамках голографического подхода, описывая столкновение частиц столкновением ударных доменных стенок.
18Н. Liu and S. J. Suh, "Entanglement growth during thermalization in holographic systems," Phys. Rev. D 89, 066012 (2014).
Научная новизна исследования.
Все основные результаты, выдвигаемые на защиту, являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость диссертации.
Все результаты, полученные в диссертации имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях неравновесных процессов, в физике сильно-коррелированных систем, в частности физике кварк-глюонной плазмы.
Методы и подходы диссертационного исследования.
Основными методом исследования задач, решаемых в данной диссертации является непертурбативный метод AdS/ С FT дуальности. Также, для использования данного метода, применяются методы дифференциальной геометрии и дифференциальных уравнений.
Положения выдвигаемые на защиту.
-
Методами AdS/С FT соответствия получена формула, описывающая эволюцию голографической энтропии зацепленности отрезка в процессе неравновесного нагрева при ненулевой начальной температуре. Детально описаны различные режимы эволюции энтропии. Полученные формулы обобщают известные результаты, описывающие каждый из режимов, существующих при нулевой температуре, на случай ненулевой температуры. Исследованы различные режимы эволюции взаимной информации, время скрамблинга и пробуждения взаимной информации. Также для теории дуальной пространству, деформированному ультрарелятивистскими частицами вычислена энтропия зацепленности.
-
Исследована зависимость средних от пространственных Вильсонов-ских петель, в процессе термализации анизотропной четырехмерной квантовой теории поля. Для этого численно получены решения уравнений дви-
жений струны со специальными граничными условиями в метрике типа Лифшица. Показана зависимость времени и характера термализации от ориентации петли в пространстве. В равновесном случае получены асимптотические разложения вакуумных средних от петель для разных ориентации при малых размерах контура петли. Получена зависимость пространственного струнного натяжения от ориентации петли.
3. Изучено столкновение ударных доменных стенок в метрике, воспроизводящей феноменологические свойства конфайнмента в калибровочной теории. Показано, что ловушечная поверхность образуется при наличии ограничения сверху на энергию сталкивающихся доменных стенок. Получены асимптотические разложения площади ловушечной поверхности для больших энергий сталкивающихся доменных стенок конечного размера.
Апробация результатов диссертации.
Работы, вошедшие в диссертацию, докладывались на семинарах отдела теоретической физики МИАН и сектора квантовой теории поля ФИАН, а также на российских и международных конференциях :
1-я международная конфереция "Higher spin and holography" 2014 год, ФИАН, Москва
Сессия-Конференция ОФН РАН, 2016 год, ОИЯИ, Дубна
19-й Международный семинар по физике высоких энергий (Кварки-2016), Санкт-Петербург
Hadron Structure and QCD: from Low to High Energies, ПИЯФ, Гатчина, 2016
5-я международная конфереция "Higher spin and holography", 2017 год, ФИАН, Москва
Публикации по теме диссертации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4]
Структура и объем работы
Дуальная метрика, описывающая неравновесный нагрев
Теперь перейдем к описанию (под)режима линейного роста, являющегося другим предельным случаем режима потери памяти. Во-первый, рассмотрим выражение - на критической кривой. Новой особенностью поведения величины _ (в этом случае - для к 0), является то, что она сингулярна при /\/1 + 2к-ЗкЛ ик = arccos — =- . (1.81) \ VI + 2к + к2 у V Рассмотрев разложение при ф = і)к + 5 мы получаем асимптотику + С, (1-82) _ log г и Zh 2к где 1 п / 4к(-2к2 + к + 1) 2к \(к + 1)2V(2 -Зк)к + 1 Так как время т и + не являются сингулярными на этой кривой получаем -Т. = -т = Хк(&к + &) = --}- log + С«, (1-84) Используя следующие свойства (5, (см. уравнение (1.35)) ср + А / А2 - с2р2 А у р (с р + 2сА + р) — к,А А ср + А _ 1 р=рсг,ф=-дк (1.87) А -сУ q =0, (1-88) р (с2р + 2сА + р) - к2 =х2к, (1.89) /э=/эсг, / =$к где определены 0.16 = 0.1 0.39 = 0.25 0.86 = 0.66, 1.331 -3(- 0.334) (1.90) (1.91) мы получаем, что в окрестности критической кривой и в окрестности ык + 1/2 . (1.92) &K(,) _ 2qK /э=/эсг, / =$к+(5 tK Далее, получим, что 2qK _K(_T__CK), A « _-log— (1.93) і - )_ - « - log 2qK (1.94) Таким образом коэффициент при линейной зависимости изменился в сравнении со случаем начальной нулевой температуры к — 1 , (1.95) что находится в соответствии с численными расчетами, представленными на Рис. 1.8.
Поздний режим потери памяти занимает промежуточное положение между линейным ростом и режимом насыщения энтропии. Исходя из анализа остальных режимов, можно попытаться подобрать некоторые функции, которые могли бы служить аналитическим выражением, аппроксимирующим данный режим. В качестве интерполирующей функций к() для функции
Далее, рассмотрим режим который называется режимом предлокального квадратичного роста. Данный режим соответствует Zh т. Также мы будем предполагать значения малыми.
Режим квадратичного роста имеет место при малых временах, что соответствует пределу Используя уравнение (1.30) получим асимптотику для р р + В-, (1.99) г zh г, Зк2 + 1 , в = — . (1.Ю0) 12 14 / = 0.25 к = 0.66 I Рисунок 1.8 - Графики функций (L) = — logK(x 1(L)) и AS как функций от L для к = 0.66, 0.25, 0.1, 0 соответствующих синей, красной фиолетовой и зеленой линии. Мы видим, что линейная зависимость функции AS от L для больших значений L верна для различных значений tK. Значения tK = 0.34,0.75,0.9,1, для к, = 0.66, 0.25, 0.1, 0 соответствует синей, красной, фиолетовой и зеленой штрихованным линиям. Голубая линия соответствует линейной зависимости AS = —L. Из уравнения (1.30) следует аналогичное разложение для, имеющее вид t пН2, яіпф 3 z\ sin3 ф 12 z\ sin ф Зк2 + 1 3 1.101 Используя уравнение для энтропии зацепленности (1.36), а также разложения (1.99) и (1.101) получим, что величина AS (в пределе малых имеет вид)
В предыдущих главах мы показали, что для некоторых значений времени г и расстояния функция AS зависит только от их разности т—. Из Рис.1.10 мы видим, что для больших значений и г и т, функция AS{ZH,,T) зависит только от переменной Т_ в то время как зависимость от пренебрежимо мала вне окрестности линии Т_ = —, т.е. для больших времен и для больших длин . Также этот эффект представлен в координатах Іитна верхних графиках на Рис. 1.10. Полезно представить зависимость от Т_ на двумерном графике, фиксировав значение (см. Рис.1.9). AS(zH,,T_+l) &S(zH,,T-+) Т Рисунок 1.9 - Зависимости AS{ZH, , Т_ + ) от Т_ для фиксированных равных 3,4, 5, б, 7, 9,12; ZH = 1.5, Zh = 1 (пунктирные линии), ZH = 4 , Zh = 1 (сплошные линии), я = оо , Zh = 1 (штрихпунктирные линии). Красная линия представляет собой зависимость А5 (оо,,Т_ + ) задаваемая формулой (1.45). На Рис.1.9 представлена явная зависимость AS{ZH,,T_ + ) от Т_ для различных значений к и для различных значений длины . Сплошные линии соответствуют к = 0.25 на верхнем Рис. 1.9. Видно их сильное отклонение от 43 г т т Т_ Т_ Т_ Рисунок 1.10 - Верхние графики: Линии постоянного уровня функции AS(,T). МЫ ВИДИМ волновое поведение функции AS{r,) = S — Seq для больших значений т,. : A) ZH = 4, Zh = 1; В) 2;я = 1-5, Zh = 1. Нижние графики: Линии постоянного уровня функции А5 (,Т_ + ) в зависимости от и Т_. A. ZH = оо, В. я = 4, С. я = 1-5. Мы также видим волной характер поведения AS(, т) = S — Seq для больших значений г и . штрихпунктирных линий, соответствующих к = 0 для достаточно больших значений Т_. Также, на Рис.1.9 можно видеть, что при больших значениях зависимость AS для к = 0 стремится к красной линии. Правый график на Рис. 1.9 показывает, что для больших значений для различных значений к зависимость становится линейной (см. штрихпунктирные и сплошные линии на этом графике) при достаточно больших значениях Т_.
Голографическое описание Вильсоновских петель
В предыдущих параграфах мы рассмотрели деформацию пространства (черной дыры), оболочкой. Оболочка светоподобна и однородна. Рассмотрим более простой пример, когда изначальное состояние пространства задается не черной дырой, а пространством Анти де-Ситтера. С точки зрения голографи-ческой дуальности это может быть интерпретировано, как однородное по пространству возбуждение теории в каждой точке, после чего теория приходит в равновесие равновесие с некоторой температурой. В оставшихся параграфах это главы рассмотрим ситуацию, когда возбуждения не являются однородными. Фоновая метрика, которую мы рассматриваем, является пространством Анти де-Ситтера (отметим, что мы рассматриваем Анти де-Ситтер в глобальных координатах, т.е. квантовую теорию на окружности), деформированного сталкивающимися ультрарелятивистскими частицами. С дуальной точки зрения это соответствует возбуждению начального состония в двух точках (находящихся на противоположных частях цилиндра). Столкновение ультрарелятивистских частиц может приводить к образованию черной дыры, то-есть к термализации в финальном состоянии в двойственной теории.
Вкратце напомним групповое описание деформации пространства АдС ультрарелятивистской частицей [35,78,79].
Мировая линия светоподобной частицы представляет собой стационарные точки действия этой изометрии. Её траектория имеет вид г = tan(/2) и 0 = 0. Чтобы построить область, которую частица вырезает из пространства АдС, будем следовать следующей процедуре [35]. Рассмотрим пространство АдС с точки зрения АДМ-формализма, так что оно допускает представление как диск Пуанкаре эволюционирующий во времени. Далее, выделим некоторые кривые w± принадлежащие сечениям постоянного времени. Эти кривые отображаются друг на друга под действием данной изометрии. Наконец, удалим пространство между этими кривыми, и отождествим грани удаленного пространства согласно действию изометрии.
Отметим, что частице требуется конечное количество времени, чтобы переместиться из одной точки границы на сторону диаметрально противоположную ей. Частица начинает движение в точке со временем t = — 7г/2, а заканчивает в t = 7г/2. Мы рассматриваем деформацию пространства только для интервала времени —7г/2 t 7г/2 и на этом интервале времени пространство представляет собой эволюционирующий Пуанкаре диск с вырезанным клином. Точка (,г, —0) Є W- отображается на (,г, ф) Є w+ под действием изо-метрии. Матрицы соответствующие этим точкам имеют вид w± = Tr5n( ) + T3 r(±«- (1Л15) Записывая соотношение uw+u l = W-, (1.116) находим [35], что грани w+ и w_ определены однозначным образом уравнениями 2г w± : г sin(e ± ф) = sint sine. (1.117) 1 + rz Кривые w+ и w_ пересекаются в стационарной точке изометрии (представляющей собой светоподобную мировую линию частицы) r = tan(t/2). (1.118) Результирующее пространство получается удалением клина позади частицы между этими кривыми и отождествлением граней заданных определенными уравнениями (1.117). Данное многообразие имеет постоянную кривизну всюду, за исключением точек мировой линии частицы.
В [35] также был исследован случай пространства АдС, деформированного двумя ультрарелятивистскими частицами, начинающими свое движение с противоположных точек границы пространства АдС.
Как упоминалось ранее, точечные источники деформируют пространство АдС локально, так что для каждой частицы и грани клина мы можем применить результаты, приведенные выше. На Рис.1.21.А мы схематично изоб
Фоновые метрики, обладающие свойством конфайнмента
Интересным вопросом является анализ поведения параметра, называемого натяжением струны аа (2.8) для различных ориентации Вильсоновской петли, т.е. 7S;j, где г = 1,2,3 и a.%i задаются (2.40), (2.51) и (2.63). Температурные зависимости натяжения струны в фоновой метрике, воспроизводящей Корнелловский потенциал [29], были изучены в работах [30] и [31], соответственно. В работе [32] было найдено универсальное поведение пространственного натяжения струны для мультикварковых конфигураций. В модели АдС/КХД [29] было найдено пространственное натяжение струны, воспроизводящее данные решеточных вычислений, см. также [87]. На Рис.2.5 (левый график) мы приводим зависимость пространственного натяжения струны у/о как функцию температуры Т для случая всех ориентации и для v = 1, 2, 3, 4. Мы видим, что для конфигураций, расположенных в плоскости ху\ (петли, частично ориентированные в продольном направлении, соответствующие сплошным и штрихованным кривым на Рис.2.5), температурная зависимость струнного натяжения для различных v имеет схожее поведение. Отклонение сплошных линий от штрихованных возрастает с увеличением температуры Т. Также мы видим, что струнное натяжение соответствующее Вильсоновской петле в плоскости у\У2 (полностью трансверсальное направление, показано пунктирными линиями), отличается от поведения Вильсоновской петли частично ориентированной в продольном направлении, обнаруживая меньшую зависимость от температуры при увеличении и. Описанное выше указывает на то, что магнитные поля в нашей голографической модели имеют сильную зависимость от ориентации. На правом графике Рис.2.5 показано пространственное натяжение струны у для различных ориентации для выбора параметра v = 4 .
Отметим, что поведение наблюдаемых, таких как магнитные Вильсонов-ские петли в процессе столкновения тяжелых ионов изучалось в статье [89,90] в контексте модели конденсата цветового стекла. Авторы данной работы обнаружили нетривиальное поведение больших магнитных Вильсоновских петель с нетривиальной степенной зависимостью от площади петли. Они также аргументировали, что в сравнении со стандартной кулоновской фазой, магнитный поток не распространяется однородно в трансверсальном направлении, вместо этого концентрируясь в малых областях. В нашей работе куло-новская фаза псевдопотеницала модифицируется для ориентации, отличающихся от трансверсальной. О"
Зависимость пространственного натяжения струны у от ориентации и температуры. Сплошные линии соответствуют прямоугольным Вильсоновским петлям, конечным в направлении х, штрихованные линии - в направлении у. Пунктирные линии соответствуют прямоугольным Вильсоновским петлям ориентированным В ПЛОСКОСТИ 2/12/2 (а) Голубые линии соответствуют значению v = 1, серые линии v = 2, зеленые линии v = 3 и коричневые линии v = 4. (Ь) Пространственное натяжение струны для некоторых различных ориентации и параметра анизотропии v = 4.
Теперь рассмотрим термализацию прямоугольных пространственных Вильсоновских петель, используя фоновую метрику (2.20)-(2.22), которая описывает геометрию коллапсирующей черной дыры в пространстве типа Лифшица. Рассмотрение аналогично статическому случаю. Мы последовательно рассматриваем три конфигурации, ранее изученные в предыдущем разделе этой главы.
Аналогично разделу 2.2 рассмотрим петлю в плоскости ху\ъ предположении, что она бесконечна в направлении у\ и конечна вдоль х (см. (2.23)). Мы предполагаем, что поверхность параметризуется функциями v = v(x), z = z{x). Действие Намбу-Гото имеет вид аналогичный (2.28) W = Ly J j;y/l-f(z,v)v 2-2v z , (2.64) здесь производная по координате х обозначается / = . Соответствующие уравнения движения имеют вид "" = 5Їг,,2 + (1-/і/2 -2г, г ) (2-65) V Z V Z ZOV 2 OZ OZ VZ Случай v = 1 соответствует уравнениям движения в пространстве AdS. Также, v(x) и z(x), удовлетворяющие уравнениям (2.65)-(2.66), удовлетворяют граничным условиям z(±) = 0, v(±) = t, (2.66) где длина петли в направлении х. Для численного решения уравнений движения (2.65)-(2.66) с граничными условиями (2.66) мы ставим задачу Коши z{0) = z , v(0)=v (2.67) z (0) = 0, г/(0) = 0, (2.68) подбирая такие значения z и г , при которых удовлетворяются граничные условия (2.67) при заданных и t. На Рис.2.6 показано типичное поведение решений уравнений (2.65)-(2.66), удовлетворяющих граничными условиям (2.66), для различных значений параметра v. На этих графиках показана эволюция профиля струны в фоновой
Промежуточная фоновая метрика как часть эффективной
Однако, соотношение (3.25) записанное в виде (V) задает ограничение на возможную область допустимых энергий. Действительно, по построению za Zb и для того, чтобы получить С при фиксированном гъ необходимо взять малое za. В случае дополнительного ограничения на za, скажем za zayTnin, мы получаем ограничение С Стах. Нулевое приближение к С может быть недостаточным в этой области для формулы Si(C, Zb). Несколько примеров подобного поведения приведено на Рис.3.1.В. На Рис.3.1.В энергетическая зависимость S\(C\zb), построенная по точной и приближенной формуле s\ (С, Zb), а также s\ (С, хъ) для различных Zb показана для относительно малых значений С. Рис.3.1.В показывает, что в рассматриваемых областях параметра С мы должны учесть первые три члена в приближении (3.27). Выбор значения параметра Leff = 20.7фм на Рис.3.1.В будет прояснен далее.
Мы даем оценку времени термализации используя характерный размер ловушечной поверхности в следующем виде
Множитель 2.4 обусловлен отношением между межкварковым расстоянием х и положением точки максимума струны относительно голографической координаты zm. Зависимость межкваркового расстояния х от максимума координаты z, обозначаемого zm, задается формулой Si(C, Zb) при Zb = 1.7 фм. Здесь мы выбираем Lejj = 4.4 фм и Gs = 44.83 фм . В. Зависимость энтропии S\(C, хъ) от С при Zb, Zb = 1.7фм (толстая голубая линия) и при Zb = 1.3фм (тонкая голубая линия). Приближение s\ (C,Zb) (темно-зеленый цвет) и s\ (C,Zb) (зеленые кривые) для значения Zb = 1.7фм (толстые линии) и Zb = 1.3фм (тонкие линии). Значение параметра Lejj = 20.7 фм . Для толстых линий значение za меняется от 1 фм до 1.7фм, для тонких линий za изменяется от 0.6 фм до см., например, детали в работе [96]. Для метрики (3.1) с факторомЬ\, задаваемым (3.23), эта зависимость представлена на Рис.3.2 сплошной фиолетовой линией и мы видим, что х = zm/2A.
Отметим, что формула (3.30) написана из с использованием общих аргументов типа причинности. Мы предполагаем, что время образования объекта, протяженного вдоль голографической координаты от точки za до z&, пропорционально времени образования протяженного объекта с характеристической длиной Ах = (zb za)/2A. Это находится в согласии с уравнением (3.31). Образование такого объекта может происходить не быстрее чем за время Ах.
Зависимость времени термализации от С дается для заданного значения Zb и может быть оценена, путем подставления za из формулы (3.25) в правую часть формулы (3.30). На Рис.3.3 зависимость времени термализации от па Ill x(fm) Зависимость расстояния между кварками х от максимума струны, относительно голографического направления zm для метрики с фактором деформации b\{z) (сплошая лиловая линия) и для фактора &г( ) (штрихованная голубая линия). раметра С приведена для различных значений %ь . Различные значения С в данном случае соответствуют различным значениям za. На графике различные области za показаны линиями различной толщины. Малые значения za соответствуют большим значениям энергии. В этом разделе мы рассматриваем метрику (3.1) с фактором деформации, приводящим к свойству конфайнмента в дуальной теории Схематический рисунок внутренней части такого пространства представлен на Рис.3.4. Рис.3.5 показывает, что для L = 4.4фм в промежуточной области пространствам, 1.3 фм = zuv z ZIR = 1.8 фм, фактор Ъ\ при Le// = 20.86 фм совпадает с h z с точностью 3% и для 1.4 фм z 1.7 фм эти факторы практически не отличаются.
Отметим, что метрика с фактором деформации Ъ\ приводит к потенциалу Зависимость времени термализации от параметра С для различных значений %ь {zi = 1.7 фм - оранжевые кривые, %ь = 1.3 фм -голубые кривые). Различные области изменения параметрам показаны линиями с различной толщины IR intermediante scales uv Схематический рисунок различных шкал возникающих вдоль голографической координаты. го взаимодействия между кварками вида V{r) Л log (—), где А и VQ ЯВЛЯЮТСЯ некоторыми константами. Этот вид потенциала был предложен как простая модель для аппроксимации уровней усредненного по спинам чармония и бот-томония, см. [24], а также ссылки приведенные там 1.
Зависимость межкваркового расстояния х от точки максимума струны zm для метрики (3.1) с фактором Ь приводящим к конфайнменту представлена на Рис.3.2 штрихованной линией синего цвета. Отметим, что в точке z 2.2фм происходит разрыв струны, что находится в соответствии с [107]. Это точка является началом нашей промежуточной зоны.