Введение к работе
1.1. Актуальность исследования
Динамика бозе-эйнштейновского конденсата (далее предполагается
отталкивающее взаимодействие между атомами или дефокусирующая нелинейность в
аналогичных оптических
задачах) привлекает к себе
большое внимание с
момента его
экспериментального
обнаружения. Сначала
изучались задачи о
колебаниях конденсата как
целого или же течение
конденсата из выключенной
Рисунок 1: Дисперсионные ударные волны в атомном ловушки. Затем много
БЭК, образовавшиеся под воздействием силового поля уСилий было потрачено на
лазерного луча при двух различных значениях мощности изучение формирования и
лазерного луча (рисунок из [2,3]).
динамики вихрей,
генерации звуковых волн и солитонов. В настоящее время одной из актуальных задач
динамики БЭК является проблема образования дисперсионных ударных волн при
эволюции больших возмущений конденсата. Впервые на эксперименте такие волны были обнаружены при воздействии относительно интенсивного лазерного луча на цилиндрически симметричный конденсат в параболической ловушке (см. рис. 1), когда луч, распространяющийся вдоль оси конденсата, передавал ему импульс в радиальном направлении. В результате распространяющаяся от оси конденсата волна «опрокидывалась» с образованием цилиндрически симметричной волновой структуры, которая была интерпретирована в [1] как дисперсионная ударная волна (ДУВ). Похожие волновые структуры уже наблюдались ранее в течении мелкой воды (например, во время прилива поступающие в широкий залив массы воды нагнетаются в суженное русло, где они концентрируются, образуя волновой фронт или бор), в плазме и в нелинейной оптике, но изучение дисперсионных ударных волн стало наиболее актуальным в связи с экспериментальной реализацией в 1995 году бозе-
эйнштейновской конденсации. Как
известно, дисперсионная ударная волна
формируется в результате сильного
возмущения плотности, давления или
скорости течения в средах с достаточно
сильной дисперсией, так что ее эффекты в
определенных условиях гораздо более
существенны, чем эффекты диссипации
или вязкости. Тогда именно эффекты
дисперсии останавливают
«опрокидывание» волны, то есть
формирование особенности в профиле
плотности, и вместо скачка параметров,
Рисунок 2: Волновая картина, которая как это происходит в классической
образуется сверхзвуковым течением ударной волне, образуется
атомного БЭК мимо малого препятствия расширЯЮщаяся в0 времени область
(рисунок из [11). „ „
осцилляции. Эксперименты, в которых
наблюдаются дисперсионные ударные волны в БЭК, можно условно разделить на два
типа: во-первых, зависящее от времени внешнее воздействие вызывает сильное
возмущение течения конденсата и эволюция импульса возмущения приводит к
формированию ударной волны; во-вторых, при сверхзвуковом течении конденсата
мимо препятствия возникает стационарная волновая картина, которая при большой
амплитуде волн также может быть рассмотрена как дисперсионная ударная волна.
Первой ситуации отвечают описанные выше эксперименты по воздействию
интенсивного лазерного луча на БЭК в параболической ловушке, и формирующаяся в
этих экспериментах ДУВ с цилиндрической симметрией до сих пор не получила
полного аналитического описания. Однако эта задача упрощается, если расстояние
между кольцами, которые определяются минимальными значениями плотности в ДУВ
(см. рис. 1), больше ширины кольца. В этом случае каждое кольцо можно рассматривать как отдельный кольцевой солитон и тогда динамику ударной волны можно рассмотреть как динамику кольцевых солитонов. Если ловушка, в которой удерживается БЭК, сильно вытянута по одной координате, то кольцевой солитон вырождается в два квазиодномерных темных солитона. В работе [4] был предложен физически наглядный подход к решению задачи движения такого солитона, который основывается на «квазичастичном» приближении, а в [5] этот подход был обобщен на случай нелинейности произвольного типа.
Эксперименты с течением конденсата мимо препятствия также представляют большой интерес, эта тема важна в связи с вопросом о нарушении сверхтекучести при
Рисунок 3: Волновая картина плотности поляритонного БЭК, которая образуется течением мимо препятствия, размер которого в несколько раз превышает длину корреляции (рисунок из [6]).
больших скоростях течения. Было найдено, что при больших размерах препятствия сверхтекучесть исчезает вследствие генерации вихрей при скоростях натекающего течения выше критической, которая равна примерно 0.43 от скорости звука. Однако если препятствие достаточно мало (его размер много меньше корреляционной длины), то вихри не могут порождаться столь малым препятствием и сверхтекучесть исчезает лишь вследствие черенковского звукового излучения, когда скорость течения превышает скорость звука. Этот вопрос интенсивно изучался экспериментально, например в одном из экспериментов [2] бозе-конденсат выпускался из магнитной ловушки, а перпендикулярно его движению направлялся лазерный луч, выталкивающий атомы конденсата. Скорость течения достигала сверхзвуковых значений, что приводило к потере сверхтекучести и генерации волн (см. рис. 2). Проведенные численные расчеты показали, что при сверхзвуковом обтекании большого препятствия с размерами много больше длины корреляции образуются две стационарные дисперсионные ударные волны, одна из которых находится перед препятствием, а другая — вниз по течению за препятствием. В «передней» ДУВ, по мере удаления от препятствия, амплитуда осцилляции уменьшается, и в результате ударная волна асимптотически переходит в линейные волны модуляции черенковского звукового излучения, расположенные вне конуса Маха. Напротив, ударная волна позади препятствия на достаточном расстоянии от препятствия распадается на «веер» стационарных темных солитонов (см. рис. 3), который всегда расположен внутри
конуса Маха. Картина упрощается, если размер препятствия имеет порядок длины корреляции. В этом случае «передняя» ударная волна уже на близком расстоянии от препятствия обладает настолько малой амплитудой, что с хорошей точностью описывается линейной теорией, а «задняя» ударная волна трансформируется в два симметрично расположенных темных солитона (см. рис. 4). Наблюдаемая в численном счете устойчивость косых солитонов противоречит, на первый взгляд, известной неустойчивости двумерных темных солитонов относительно изгибных возмущений. Однако теория изгибных возмущений разрабатывалась для солитонов бесконечной длины и без течения конденсата вдоль солитона. Поэтому в работе [7] был исследован вопрос формирования двумерного солитона течением конденсата мимо препятствия. Как показал численный счет, солитон может генерироваться, то есть становится эффективно устойчивым, лишь при достаточно больших числах Маха (М > 1.44). Также численный счет показал, что один конец солитона примыкает к препятствию, а другой, противоположный, является свободным и поэтому постепенно распадается на вихревые пары (см. рис. 9). Если рассмотреть солитон в системе отсчета, связанной со свободным концом, то в этой системе отсчета солитон будет неустойчив.
Следовательно, вопрос
устойчивости солитона
зависит от системы
координат, в которой
рассматривается солитон,
что означает
необходимость различать
его абсолютную
неустойчивость и
Рисунок 4: Распределение плотности (слева) и фазы течения поляритонного БЭК мимо малого препятствия, скорость натекающего течения Vfiow Е~ 1.7 pm/ps, скорость звука cs Е~ 3.5pm/ps (рисунок из [б]).
конвективную: если
темный солитон
неустойчив в любой системе отсчета, то он неустойчив абсолютно, а если существует система отсчета, в которой неустойчивые моды «сносятся» течением вдоль солитона, не успев разрушить солитон, то это означает конвективную неустойчивость, то есть эффективную устойчивость. Именно конвективная неустойчивость реализуется на численных экспериментах когда значение Маха превышает М > 1.44. На основании вышесказанного можно сформулировать следующие задачи. Сначала необходимо вывести критерий перехода к конвективной неустойчивости солитона в системе отсчета, связанной с препятствием. Эта задача была решена в работе [7], но предложенный подход не позволяет решить вторую важную задачу, а именно, сделать оценку скорости роста длины солитона в системе отсчета, в которой он является эффективно устойчивым.
На экспериментах также активно изучался вопрос о течении квазиодномерного конденсата мимо плавного проницаемого препятствия. Например, недавно были опубликованы результаты по управлению течением конденсата вдоль квазиодномерной ловушки с помощью поршня, образованного движущимся потенциалом лазерного луча. В этом эксперименте был использован широкий и невысокий потенциал, так что течение в области потенциала может быть описано в рамках так называемого "гидравлического" приближения. Стационарные течения конденсата в этом приближении были изучены в работе [8]; они реализуются при скоростях движения потенциала вне так называемой транскритической области v < v_, v > v+. Если же скорость движения потенциала находится внутри транскритической области v- < v < v+, то гидравлическое решение становится неустойчивым и по обеим сторонам от него образуются дисперсионные ударные волны. Соответствующая теория была развита в работе [9] и аналитические результаты качественно согласуются с результатами эксперимента. Однако если потенциал является высоким и имеет резкую границу, то течение конденсата под действием такого "поршня" требует особого рассмотрения. Простейший случай движения поршня с постоянной скоростью был рассмотрен в работе [10].
Следующим толчком к изучению нелинейных структур в бозе-конденсатах послужили недавние эксперименты по конденсации квазичастиц. Наибольшее внимание привлекает серия экспериментов с конденсатом поляритонов в полупроводниковых микрорезонаторах (MP) с квантовыми ямами. Поляритон — это составная квазичастица, которая является суперпозицией электромагнитной волны и экситона. Поляритонные состояния реализуются в MP при условии, что затухание как фотонной, так и экситонной мод не превышает энергию экситон-фотонного взаимодействия. Такие состояния получили название микрорезонаторных поляритонов. Дисперсия МР-поляритонов определяется двумя параметрами — величиной рассогласования энергий экситонной и фотонной мод в точке к = 0 и величиной экситон-фотонного взаимодействия. В режиме сильного экситон-фотонного взаимодействия экситонная и фотонная моды расщепляются и возникает две — верхняя и нижняя — поляритонные ветви. В плоских MP поляритоны являются квазидвумерными частицами. В отличии от поляритонов в объемных полупроводниках, поляритоны в MP аннигилируют без сохранения компоненты импульса, которая перпендикулярна плоскости квантовой ямы, что приводит к коротким (порядка пикосекунд) временам жизни. Вместе с тем, эффективная масса МР-поляритонов оказывается на несколько порядков меньше эффективной массы экситона (порядка Ю-8 массы атома водорода), а их когерентный размер превышает несколько микрон. Небольшая эффективная масса МР-поляритонов способствует бозе- конденсации и конденсация МР-поляритонов может происходить при температурах от нескольких кельвинов до комнатной, а наличие затухания существенно изменяет свойства
нелинейных волн, что позволяет рассматривать новые эффекты, которые не наблюдаются в атомном конденсате. Например, в недавних экспериментах по обтеканию препятствия бозе-конденсатом МР-поляриотонов [6], за препятствием наблюдались темных косые солитоны при скоростях натекающего течения меньше скорости звука. В этом эксперименте поляритонный конденсат накачивался непрерывным одномодовым гауссовым лазерным лучом высокой стабильности по частоте, который светил в микрорезонатор, охлажденный до 10 градусов Кельвина. Непрерывная накачка необходима для компенсации потерь поляритонов ввиду наличия затухания в такой системе. Диаметр пятна лазерного луча на образце составлял порядка 30 микрон и угол падения (отсчитывается от нормали к плоскости MP) варьировался в пределах нескольких градусов. Длина волны лазера накачки подбиралась таким образом, чтобы обеспечить резонансную накачку поляритонов нижней дисперсионной ветви. Наличие ненулевого угла падения обеспечивало течения конденсата со скоростью порядка Vftow ~ 1.7/jm/ps, причем скорость звука была порядка cs ~ 3.5/irn/ps и размер конденсата І ~ 50/лто. В качестве препятствия выступали дефекты, сформировавшиеся в процессе производства квантовой ямы, размер дефектов был порядка корреляционной длины. Генерация солитонов дозвуковым течением (см. рис. 4) в таком эксперименте противоречит, на первый взгляд, теории конвективной неустойчивости темного солитона, и это противоречие требует разъяснений.
Интерес к дисперсионным ударным волнам в физике атомного и поляритонного БЭК обусловлен не только своеобразными свойствами этой новой искусственной среды, демонстрирующей квантовые свойства в макроскопическом масштабе, но и потенциальными приложениями к процессам транспорта БЭК в атомных чипах — микроприборах, в которых электрические, магнитные и оптические поля позволяют удерживать сверххолодные атомы и управлять их движением. На основе атомных чипов в настоящее время предлагается создание сверхточных сенсоров электрического, магнитного полей и ускорения.
1.2. Основные задачи работы
В связи с недавними экспериментами по изучению течения квазиодномерного БЭК через проницаемый плавный потенциал рассмотреть картину течения конденсата, находящегося под действием непроницаемого резкого потенциала (поршня), который движется с ускорением по произвольному закону.
В связи с последними экспериментами по изучению обтекания МР-поляритонным конденсатом препятствия и наблюдением темных косых солитонов при дозвуковой скорости натекающего течения вне области накачки детально рассмотреть переход от абсолютной неустойчивости темных
солитонов к их конвективной неустойчивости как в более простом случае, когда нет затухания, так и в случае затухания. Для случая, когда нет затухания, вычислить скорость роста длины косого темного солитона.
В связи с последними экспериментами по наблюдению цилиндрических ДУВ в облаке конденсата, который удерживается параболической осесимметричной ловушкой, рассмотреть в такой системе движение отдельного кольцевого солитона. Так как задача движения кольцевого солитона актуальна и в оптических экспериментах, необходимо описать динамику темного кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.
1.3. Научная новизна работы
Рассчитана дисперсионная ударная волна, которая образуется в квазиодномерном атомном БЭК под действием равномерно ускоряющегося поршня. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ поршнем, ускоряющимся по произвольному закону.
Рассмотрена новая интерпретация перехода темного косого солитона к конвективной неустойчивости. На основе этой интерпретации рассчитана скорость роста косого солитона в задаче об обтекании БЭК малого препятствия.
Рассмотрен переход к конвективной неустойчивости косых солитонов, которые образуются течением поляритонного конденсата мимо малого препятствия. Рассчитана форма косого солитона, профили плотности и скорости течения конденсата вне области накачки.
Рассчитана динамика кольцевого солитона, который движется на неоднородном фоне атомного БЭК, удерживаемого параболической ловушкой, и на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.
1.4. Научная и практическая ценность
В настоящее время, установки по получению бозе-конденсата становятся более доступными для широких исследований [11], что дает возможность говорить о создании различных сенсоров и устройств на основе БЭК. Например, уже предлагаются схемы на основе БЭК для сверхточного детектора электрического,
магнитного [12] и гравитационных полей, где вопрос формирования ДУВ во время транспорта конденсата становится особенно важным.
Бозе-конденсация МР-поляритонов реализована относительно недавно, но количество новых и потенциальных экспериментов делает эту область одной из самых перспективных. Уже реализованы эксперименты с течением квазидвумерного и квазиодномерного конденсата мимо потенциала и эксперименты по генерации вихрей. Одним из таких экспериментов [6], который требует более детального теоретического изучения, была мотивирована данная работа. Изучение обтекания поляритонами препятствия может быть интересно для задачи детектирования неоднородностей среды.
1.5. Автор выносит на защиту
Расчет основных параметров дисперсионной ударной волны, которая образуется перед поршнем, движущимся с постоянным ускорением в атомном квазиодномерном БЭК. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ для поршня, который движется по закону ot3/3. Предложенный метод обобщен для произвольного закона движения.
Описание перехода от абсолютной неустойчивости к конвективной для темного солитона уравнения ГП. На основе предложенной интерпретации вычислена скорость роста длины темного солитона в задаче об обтекании атомным БЭК малого препятствия.
Объяснение результатов последних экспериментов с течением поляритонного конденсата [6] и рождением косых солитонов течением с дозвуковой скоростью. Расчет профилей плотности, скорости течения и формы солитона.
Разработка «квазичастичного» приближения для расчета динамики кольцевого и сферического солитона. Расчет динамики темного кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде и на фоне профиля плотности Томаса-Ферми атомного БЭК.
1.6. Личный вклад автора
Все результаты численного моделирования автор провел самостоятельно. В задаче об ускоряющимся поршне основную аналитическую работу провел д.ф.-м.н. A.M. Камчатнов. Аналитическую часть задачи о кольцевом солитоне автор провел самостоятельно, используя метод, разработанный д.ф.-м.н. A.M. Камчатновым.
1.7. Апробация работы и публикации
Результаты работы были представлены в докладах на следующих конференциях и конкурсах:
Конкурс молодых ученых, ИСАН, Троицк 2009. Доклад «Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня», СВ. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).
Нелинейная сессия, Москва, 2010. Доклад «Развитие неустойчивости косых темных солитонов в Бозе-Эйнштейновском конденсате генерируемых при обтекании вогнутого угла.», СВ. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).
Молодежная школа-конференция «Нелинейные волны — 2010», Звенигород, 2010. Доклад «Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня», СВ. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).
III сессия научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» Санкт-Петербург, 2010. Доклад «Решение стационарного нелинейного уравнения Шредингера на параллельной архитектуре.». СВ. Корнеев (Институт спектроскопии РАН).
Конкурс молодых ученых имени Александрова, ТРИНИТИ, Троицк, 2011. «Динамика кольцевых солитонов в бозе-эйнштейновском конденсате и нелинейной оптике.». СВ. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).
Результаты исследования были премированы на конкурсе научных работ
Института спектроскопии РАН (3 место совместно с A.M. Камчатновым) и на III сессии
научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных
вычислений и компьютерного моделирования».
Список работ по теме диссертации приведен в конце автореферата.
1.8. Структура и объем диссертации
