Введение к работе
АКТуаЛЬНООТЬ ТЕМЫ. УСТОЙЧИВОСТЬ СДВИГОВЫХ Течений ЖИДКОСТИ
служит предметом интен лівного екопершентального и теоретического изучения на протяжении более ста лет. Неиссякаемый интерес к втой проблеме имеет две основные причины. Первая из них - это огромное прикладное значение теории гидродинамической устойчивости, поскольку в рамках ее представлении изучается и описывается весьма обшкршій круг явлений буквально во всех областях естествознания и техники. Вторая же причина состоит в крайней математической сложности теоретического описания столь простого, на первый взгляд, явления, как развитие возмущений в сдвиговом течении. В результате теория устойчивости сдвиговых течений долгое время представляла собой набор разрозненных результатов и методов, носящих, как правило, довольно частный характер.
Главную трудность представляет сингулярность невязких уравнений на так называемом критическом уровне - поверхности, где фазовая скорость волны совпадает со скоростью течения. Путь к регулярному построению линейной теории устойчивости сдвиговых течений был 'открыт Линем (1945;, который, о помощью тщательного анализа рей-нольдсовых напряжений в объемлющем критический уровень тонком критическом слое (КС), получил правило обхода етой особенности. Ко все-таки переломным моментом в развитии теории было установление Кеиэом (1960) и Диким (I960) того факта, что за устойчивость и неустойчивость сдвиговых течений отвечает резонансное взаимодействие волна-частица, понятие о котором ввел Ландау (1946) в своей классической работе о затухании плазменных волі, и, следовательно, правила обхода Линя и Ландау тождественны не только по форме, но и по физическому содержанию.
Работы Кейза и Дикого поломим начало применении и развитии пл&зметю-гидродинамической аналогии (Андронов и Фабрикант, 1979), позволившей сформулировать теорию гидродинамической устойчивости на обладающем высокой универсальностью языке коллективных явленій (Тимофеев, 19?0, 1989), и ее теперь следует рассматривать в едином контексте общей теории коллективных процессов (Галеев и Сагдеев, 1973;Кадсмцев, 1976). Переход на новый качественный уровень открыл
широіше возможности использования в тесрми устойчивости сдвиговых течений идей и методов,разработанных в других областях, и ускорил ее развитие. В результате линейная теория устойчивости на сегодня е основном построена, к уае ее методы и результаты с успехом применяются, например, в физике плазмы (Тимофеев, 1979, 19S5).
Сопоставляя теорий резонансного взаимодействия волна-частица в плазме и кидкости, необходимо отметить, кроме хорошо выраяенного сходства, принципиальные отличия. Пожалуй, основное из них в том, что если в плазме волка резонирует о настоящими частицами (електронами к ионами), распределенными из-за теплового разброса в пространстве скоростей, то в ледкоста в роли частиц выступают так называемые жидкие частицы, распределение которых по .окороетям "развернуто" в обычном пространстве. В результате в плазме прос-тїйіиїє задачи одномерны, а в кидкости - минимум двумерны, и уке в рамках линейной теории плазменному диепероиоккому уравнению, полученному с помощью фурье-аналягза, соответствует в жидкости краевая задача на собственные значения с сингулярным оператором.
Что касается нелинейной теории развития неустойчивых возмущений, то трудности, обусловленные сингулярность» на критическом уровне, здесь еще больше, и успехов пока немного. Значительным шагом вггерад стало решение для так называемого стационарного нелинейного КС,' полученное Виши и Бержероном (1969) и независимо Денисом (1969) и детальное исследование его свойств и структуры (Ха-берман, 1972),которая оказалась полностью аналогичной структуре "плато", образующегося на функции распределения електронов по скоростям в результате их резонансного взаимодействия о монохроматической плазменной волной (Захаров и Карпман, 1962). К оожалению, относящийся к теории устойчивости результат втих исследований удалось сформулировать в виде правила обхода КС, и впоследствии немало усилий было потрачено на попытки построить нелинейную теорию устойчивости по примеру линейной, т.е. пользуясь каким-либо правилом обхода и не вникая в устройство КС. Лишь совсем недавно наметилось понимание того, что главная нелинейность создается как pas внутри КС, т.е. непосредственно в области резонанса волна-частица, и ііовтсшу именно отой областью долина заниматься в первую очередь нелинейная теория.
Таким образом, большое значение - с фундаментальной и практической точек зрения - проблемы нелинейной устойчивости сдвиговых течений и нынешнее состояние ее теории предопределяют актуальность теми диссертационной рг"5отн.
Цель работы - построение слабо-нелинейной теории резонансного взаимодействия волна-частица в свободных (без стенок) сдвиговых: течениях с. большими числами Рейнольдса на основе последовательного эволюционного подхода, т.е. путем изучения развития неустойчивых возмущений первоначально очень малой амплитуды. Это включает в себя следующие задачи:
-
Провести качественный анализ общей двумерной задачи и построить на его основе классификацию сценариев эволюции двумерных возмущений.
-
В течениях с медленной эволюцией:
вычислить уровни насыщения неустойчивости в зависимости от надкритичности, изучить динамику возмущений, структуру и вво-лщию КС с учетом различных факторов (0-е$фект, вкмановокое трение, кривизна КС, вязкое уширение течения);
исследовать возможные пути дальнейшего развития возмущений в результате yi .личения надкритичности течения после насыщения первичной неустойчивости.
-
В течениях с быстрой (взрывной) эволюцией вывести нелинейные эволюционные уравнения, построить и изучить их решения.
-
Исследовать возмущения в виде косой бегущей волны в трехмерном и "слабо-трехмерном" случае с целью изучения перехода между двух- и трехмерными задачами.
-
Проанализировать все возможные случаи эволюционного изменения режима КС и его следствия.
Ц-вдшая_шшэ. диссертации определяется достижением поставленной цели. На основе качественного анализа развития двумерных возмущений в сдвиговых точениях, подкрепленного решением конкретных задач, впервые установлена связь между характером эволюции в целом и поведением нейтральной моды .линейной теории ка КС. Показано, что: 1) в общем случае сингулярной на КС нейтральной моды вво-люция быстрая, т.е. после перехода на стадаїю нелинейного развития амплитуда возмущения растет взрывным образом, а ьешт нелинейного
КС а ходе эволюции не образуется. Описывающее етот процесе нелинейное еволюционное уравнение имеет нелокальную (обладающую "память»") нелинейность. 2) Медленная эволюция, завершающаяся переходом а pesaai нелинейного KG (перемешиванием захваченных волной гадких ч&отиц) и/или стабилизацией неустойчивости, реализуется либо при малой надарлтичнооти, либо в ачроаденном случае регулярной на КС нейтральной моды, либо в тех течениях, где роль КС ослаблена.
3 течениях о медленной эволюцией обнаружен и исследован' новый механизм стабилизации в режиме нелинейного КС, обусловленной конечностью ширкни области неустойчивости на профиле абсолютной завихренности. Изучен^, влияние екманоЕского трения на структуру дио-еипативного и нелинейного КС, а также ка развитие возмущений в етих режимах. Проведен последовательный учет вязкого уширения течения и его влияния на пространственную эволюцию неустойчивых волн На основе простой двухмодовой модели предложена слабо-нелинейная интерпретация наблюдающегося в эксперименте изменения симметрии течения при дальнейшем повышении надкритичнооти после стабилизации первичной неустойчивости.
,Быстрая эволюция двумерных возмущений изучена на практически важном примере стратифицированного течения. Выведено нелинейное еволюционное уравнение с нелокальной (обладающей "памятью11) нелинейностью и впервые исследовано поведение решений уравнений такого типа. Показано, что независимо от "стабилизирующего" или дестабилизирующего знака-нелинейности уравнения этого вида дают взрывной рост амплитуды возмущения.
Иооледовзна вволюция возмущений, сингулярность которых обусловлена трехмерностью, и установлен ее взрывной характер. Проанализированы условия "трехмерности" возмущен"я в виде одиночной бегущей косой волны, изучено развитие слабо-трехмерных возмущений этого типа, и тем самым впервые в теории устойчивости сдвиговых течений установлен непрерывный переход мевду эволюционными задачами разной размерности.
На регулярной основе изучено изменение режима КС в ходе развития возмущения и его следствия. В частности, впервые исследована редукция нелинейности в вволюционном уравнении при переходе в решим нелинейного КС и проанализирована роль внешних диффузионных
слоев как в формировании нелинейности, так и в ее редуїсции. Обнаружен и изучен новый тип эволюции о переходом (по мере роста амплитуды) з режим нелинейного КС из стадии взрывного роста в режиме нестационарного КС.
Научное и практическое значение работы,. Научное значение диссертации в том, что она содержит систематическое построение с єдиних позицій слабонелинейной теории развития как двумерных, так и трехмерник неустойчивых возмущений в свободных сдвиговых течениях при больших числах Рейнольдса с учетом большинства существенных для етого процесса факторов. Ранее в данной области били известны лишь отдельные разрозненные и зачастую противоречивые результаты. При этом обнаружена важная взаимосвязь между линейными и нелинейными свойствами, принципиальная как для понимания изучаемой в диссертации проблемы, так и для общей геории коллективных явлений, и совершенно неизвестная ранее.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в приложениях к различным разделам астрофизики, планетарной геофизики, гидро- и аэромеханики и уже используются в работах советских и зарубежных авторов.
ШїО&ШЯЛїаййШ*. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинарах ИСЗФ СО РАН, ИА РАК, ККИ РАН, ИФА РАН, ИО РАН, ИПФ РАН, ИАиЭ СО РАН, на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Юрмала, 1988), VI и VII Школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1988; Звенигород, 1990) на III и IV Школах-семинарах "Метода гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1989 и 1992), XVIII Международном Конгрессе по теоретической и прикладной механике (Хайфа, Израиле, 1992), Рабочем аовецании по гидродинамике (Триест, Италия, 1994).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и трех приложений. Она содержит 199 страниц текста, 38 рисунков. Список литературы включает 159 наименований. Общий объем диссертации 257 страниц.
