Введение к работе
Актуальность темы
Одной из важнейших задач современной теоретической физики является анализ непертурбативных эффектов в квантовых теориях поля. Например, известно, что конфайнмент и нарушение киральной инвариантности в квантовой хромодинамике возникают только на непертурбативном уровне и не видны в теории возмущений. Для лучшего понимания непертурбативных эффектов можно исследовать их в теориях с большим количеством симметрий. В 1994 году Н. Зайбергом и Э. Виттеном впервые было предложено полное непертурбативное низкоэнергетическое действие для четырёхмерной калибровочной теории. Это была N = 2 суперсимметричной теории Янга–Миллса, с тех пор известная как теория Зайберга–Виттена. Было показано, что кон-файнмент в этой теории возникает за счёт конденсации монополей. Данное низкоэнергетическое действие было найдено явным инстантонным вычислением в 2002 году Н. Некрасовым. Это вычисление потребовало инфракрасной регуляризации, называемой Омега-деформацией. Статистическая сумма в присутствии Омега-деформации оказалась крайне сложным и интересным объектом, связанным с конформными блоками в двумерных конформных теориях поля. В теориях Янга–Миллса с различной материей также имеются
струнные объекты. Теории, описывающие струнные возбуждения, обычно являются двумерными сигма-моделями, которые можно непертурбативно исследовать по 1/N, даже при отсутствии суперсимметрии. В 1978 году А. Д’Аддой, М. Люшером и П. Ди Веккией было получено решение CPN сигма-модели в этом пределе, и были продемонстрированы такие эффекты, как асимптотическая свобода и конфайнмент. Однако изучение данной модели на струне конечной длины так и не было сделано.
Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению Некрасовской статистической суммы и её связи со струнами и узлами. Также впервые была исследована CPN сигма-модель на струне конечной длины.
Цели и задачи диссертационного исследования
Представленная диссертационная работа посвящена исследованию непер-турбативных эффектов в квантовой теории поля, таких как инстантоны и струны, а также их связи с инвариантами узлов. В работе решаются такие вопросы, как:
анализ уравнений Уизема в Омега-деформированной четырёхмерной N = 2 теории Янга–Миллса;
изучение связи суперполиномов торических узлов с пятимерной N = 1 теорией Янга–Миллса;
нахождение статистической суммы N = 2 теории Янга–Миллса в присутствии струны;
изучение фазовой диаграммы CPN сигма-модели на неабелевой струне конечной длины.
Научная новизна
Результаты, представленные к защите, являются оригинальными и получены в ходе научной работы автора диссертации. В частности, впервые было проведено изучение уравнений Уизема в Омега-деформированной четырёхмерной N = 2 теории Янга–Миллса, также известной как теория Зайберга–Виттена. Было продемонстрировано, что уравнения Уизема не получают пертурбативных квантовых поправок. Также были выведены уравнения Бете для цепочки Гейзенберга в присутствии старших Уиземовских времён. Впервые было получено универсальное выражение для статистической суммы теории Зайберга–Виттена в присутствии струнного дефекта. Было доказано, что предложенное выражение воспроизводит все ранее известные в литературе результаты. CPN сигма-модель в пределе больших N ранее не исследовалась в конечной геометрии. Данная задача была проанализирована при различных граничных условиях. Было найдено семейство граничных условий, при которых седловые уравнения для предела больших N могут быть решены точно. Для граничных условий типа Дирихле–Неймана было продемонстрировано наличие фазового перехода. Была установлена ранее неизвестная дуальность между инстантонами в пятимерной теории Зайберга–Виттена и торическими узлами. По излагаемому материалу опубликована серия статей в ведущих реферируемых журналах, результаты также многократно докладывались на международных семинарах.
Практическая и научная ценность
Исследования, представленные в диссертационной работе, носят теоретический характер. Результаты могут иметь применение к исследованиям по квантовой хромодинамике и теории конденсированного состояния. Также
результаты позволяют лучше понять непертурбативные эффекты в квантовых теориях поля и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований данной области.
Результаты, выносимые на защиту диссертации
Исследовано поведение цепочки Тоды возле точки Аргиреса–Дугласа. Продемонстрирована эффективная редукция числа степеней свободы в этой точке.
Явным вычислением показано, что точка Аргиреса–Дугласа является стационарной для уравнений Уизема. При этом учтены старшие Уиземовские времена.
Найдено, как уравнения Уизема модифицируются Омега-деформацией. Используя этот результат, была найдена явная связь уравнений Уизема и соотношения Дюнна–Унсала. Выведен аналог уравнений Уизема для потенциала с двумя ямами. Используя WKB анализ, показано, что уравнения Уизема не получают пертурбативных квантовых поправок по постоянной Планка.
Выведены уравнения Бете для ХХХ цепочки с учётом старших Уизе-мовских времён.
Показано, что статистическая сумма пятимерной супер-КЭД в Омега-деформации воспроизводит суперполином (n,nk + 1) торического узла, где n - число инстантонов, а k - уровень пятимерного члена Черна– Саймонса. Данное соотношение в случае самодуальной Омега-деформации обобщено на произвольные торические узлы. Обсуждена связь с ки-ральным кольцом и дробным уровнем Черна–Саймонса.
Выведена общая формула для Некрасовской статсуммы N = 2 теории супер Янга–Миллса в присутствии произвольного поверхностного оператора. Доказано, что она воспроизводит все ранее известные в литературе результаты.
Показано, что взаимодействие с четырёхмерными степенями свободы приводит к появлению негативных вортексов на струне в N = 2 теории Зайберга–Виттена. Данной феномен объяснён с помощью IIA теории струн.
Найден набор граничных условий, при которых двумерная CP(N - 1) сигма-модель на конечном интервале может быть точно решена в пределе больших N. Продемонстрировано наличие фазового перехода для граничных условия типа Дирихле–Неймана. Найдено явное выражение для конденсатов вблизи точки фазового перехода.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на семинарах: ИТЭФ (Москва, Россия), Московского Физико-Технического Института (Долгопрудный, Россия), Института Проблем Передачи Информации Российской Академии Наук (Москва, Россия), Математического Факультета Высшей Школы Экономики (Москва, Россия), Института Нордита (Стокгольм, Швеция), Университета Миннесоты (Миннеаполис, США), Принстонского Университета (Принстон, США) и на Молодежной конференции ИТЭФ (Москва, Россия, 2014) и 56 конференции МФТИ (Долгопрудный, Россия, 2013).
По материалам работы опубликовано 7 статей в ведущих международных реферируемых журналах.
Структура и объем работы