Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения Мастеров, Иван Викторович

Введение к работе

Актуальность темы

На протяжении последних 15 лет одной из центральных тем теоретической физики высоких энергий и математической физики является изучение различных аспектов соответствия между конформной теорией поля в плоском пространстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности (АдС/КТП-соответствие). Важная особенность АдС/КТП-дуальности состоит в том, что она устанавливает соответствие между конформной теорией поля в плоском пространстве в режиме сильной связи и теорией струн в искривленном пространстве в режиме слабой связи. Иными словами, АдС/КТП-соответствие предлагает принципиально новый подход к исследованию сильно взаимодействующих теорий, для которых стандартное пертурбативное разложение плохо определено. Наиболее известным примером такого рода является соответствие между N =4 суперсимметричной теорией поля Янга-Миллса в четырехмерном пространстве и теорией струны типа IIB в пространстве AdS₅ х S⁵.

Начиная с 2008 г. исследование АдС/КТП-соответствия получило новое развитие в контексте нерелятивистской теории поля. Было показано, что аппарат АдС/КТП-соответствия может быть успешно применен в контексте теории конденсированного состояния вещества. В частности, система фермионов при определенных условиях обладает конформной симметрией и допускает дуальное описание. Отметим, что такая система может быть реализована в лабораторных экспериментах с использованием так называемых холодных атомов. Помимо фермиевских газов, большое число работ было посвящено развитию идей АдС/КТП-соответствия в контексте теории несжимаемой жидкости. Важные примеры нерелятивистских конформно-инвариантных систем встречаются в атомной физике. Следует отметить, что параллельно с упомянутыми выше исследованиями также было инициировано изучение гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.

Упомянутые выше исследования, направленные на разработку нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, стимулировали активное изучение структуры нерелятивистских конформных (супер)алгебр, среди которых особую роль играет так называемая 1-конформная алгебра Галилея. Эта алгебра характеризуется положительным параметром 1, который может принимать как целые, так и полуцелые значения. Несмотря на то, что эта алгебра построена достаточно

давно, о ее динамических реализациях практически ничего не известно.

Многие актуальные проблемы теории нерелятивистской конформной симметрии остаются открытыми. Среди них, в первую очередь, необходимо отметить построение динамических реализаций 1-конформной алгебры Галилея без высших производных, построение последовательных конформных преобразований в нерелятивистском пространстве с космологической постоянной, построение суперсимметричных расширений.

Цели и задачи работы

Целью данной работы является систематическое изучение нерелятивистских конформных алгебр в пространстве произвольной размерности и построение их динамических реализаций в плоском пространстве и в пространстве с космологической постоянной.

В соответствии с общей целью работы в диссертации решаются следующие основные задачи:

1. Построение динамических реализаций 1-конформной алгебры Галилея в терминах дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Определение общей структуры 1-конформного расширения алгебры Ньюто- на-Гука и ее центральных расширений. Построение динамических реализаций 1-конформной алгебры Ньютона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка.

3. Определение общей структуры N =2 суперсимметричного расширения 1-конформных алгебр Галилея и Ньютона-Гука.

4. Построение преобразования подобия для квантовой механики многих частиц, инвариантной относительно N =2 суперсимметричного расширения I = 1 конформной группы Галилея, позволяющего установить структуру спектра оператора энергии.

Научная новизна

Основные результаты, изложенные в диссертации, получены в работах автора и ранее известны не были.

В частности, в рамках общей теоретико-групповой конструкции впервые построена динамическая реализация 1-конформной группы Галилея, не содержащая высших производных. Установлено, что система описывает набор многомерных обобщенных осцилляторов, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной конформной модой. С использованием интегралов движения, отвечающих 1-конформной группе Галилея, проанализирована динамика системы.

Впервые установлены структурные соотношения наиболее общего конечномерного 1-конформного расширения алгебры Ньютона-Гука и определены допустимые центральные расширения. Для такой алгебры построено бесконечномерное расширение типа Вирасоро-Каца-Муди. Доказано, что I = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука может быть получена нерелятивистской контракцией из релятивистской конформной алгебры so(2,4).

Впервые построена динамическая реализация 1-конформной алгебры Ньютона- Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка. Доказано, что система описывает набор частиц в d-мерном пространстве, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной гармонической конформной модой. Прослежена зависимость динамики частиц от эволюции внешнего поля. Доказано, что при специальном выборе частот осцилляций многомерный осциллятор Паиса-Уленбека обладает I = 2-конформной симметрией Ньютона-Гука.

Впервые установлена общая структура N = 2 суперсимметричного расширения 1-конформной алгебры Галилея и 1-конформной алгебры Ньютона-Гука.

Для квантовой механики многих частиц, инвариантной относительно N =2 суперсимметричного расширения I = 2 конформной группы Галилея, построено преобразование подобия, позволяющее установить структуру спектра оператора энергии.

Научная и практическая ценность работы

Результаты диссертации открывают новые возможности при разработке нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, представляют интерес в контексте развития теории интегрируемых систем и имеют важное значение с точки зрения суперсимметричной квантовой механики. В частности, в диссертации построены новые конечномерные нерелятивистские конформные алгебры, предложены их бесконечномерные расширения типа Вирасоро-Каца-Муди, а также суперсимметричные обобщения. Установлена принципиально важная возможность реализовать 1-конформные алгебры Галилея и Ньютона-Гука для произвольного допустимого значения параметра I в терминах динамических систем без высших производных.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1. VI Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2009 г., Томск;

2. Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity», 2010 г., Томск;

3. VIII Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2011 г., Томск;

4. IX Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2012 г., Томск;

5. Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity», 2012 г., Томск;

6. Международная конференция «Problems of Supersymmetric Integrable System», 2012 г., Дубна;

7. X Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2013 г., Томск;

а также на научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета.

По теме диссертации опубликовано 5 статей в зарубежной научной печати.

Структура и объем диссертации