Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 5
1.1 Основные определения 7
1 2 Источники погрешности в решеточных вычислениях 13
1 3 Проблема конфайпмента, дуальный сверхпроводник, монополи, вихри 14
1.3.1 Монополи в калибровочных теориях 20
1.3.2 Центральные вихри 31
1.4 Цели работы, практическая ценность полученных результатов и структура диссертации 32
1.4.1 Основные цели работы 32
1.4.2 Научная и практическая ценность 33
1.4.3 Структура диссертации 34
2 Непертурбативная фиксация калибровки 35
21 Фиксация калибровки 35
2 2 Фиксация калибровки в симуляциях решеточных калибровочных теорий 37
2 3 Алгоритм симулированного медленного охлаждения (simulated annealing) и его применение к фиксации калибровки в решеточных калибровочных теориях 41
2.3.1 Алгоритм симулированного медленного охлаждения . 41
2.3 2 Подбор параметров алгоритма фиксации калибровки . 45
2 4 Погрешности от грибовских копий 50
2.4.1 Детали вычислений 50
2.4.2 Оценка погрешности 51
2 5 Применение к абелевому потенциалу 55
2 6 Выводы 57
3 Абелева и монопольная доминантность в SU(2) решеточной калибровочной теории 59
3.1 Статический потенциал 61
3.1.1 Абелев и неабелев статические потенциалы для фундаментального представления 61
3 1.2 Разложение абелева потенциала, динамика монополей и фотонов 66
3.1.3 Потенциал взаимодействия для источников с зарядом два 73
3.2 Универсальность и непрерывный предел в абелевой проекции SU(2) калибровочной теории 76
3 2.1 Улучшенное решеточное действие 76
3 2 2 Неабелево натяжение струны 78
3 2.3 Универсальность и континуальный предел для абелева натя жения струны 80
3.3 Глюонные пропагаторы в МА-калибровке в SU(2) калибровочной теории 82
3.31 Фиксация калибровки 83
3 3 2 Пропагаторы 85
3 3 3 Результаты вычислений 86
3.4 Выводы 95
4 Свойства монопольных кластеров 97
4.1 Плотность монополей 99
4.2 Анатомия монополей 102
4.2.1 Результаты вычислений 103
4 3 Свойства перколирующих и конечных кластеров 107
4.3 1 Сегменты в перколирующем кластере 107
4.3 2 Спектр длин конечных кластеров 110
4.3.3 Корреляторы монопольных токов ПО
4.4 Монополи и инстантоны 112
4.4.1 Исследование решеточной теории 115
4 5 Проверка универсальности свойств кластеров 122
4 6 Монопольные кластеры при конечной температуре 129
4.6.1 Перколяция монопольных кластеров при ненулевой температуре 129
4.6.2 Параметр беспорядка в SU(2) решеточной калибровочной теории 134
4.6-3 Параметр беспорядка в модели Изинга и в компактной 11(1) 136
4 6.4 SU(2) теория 138
4 7 Выводы 141
5 Применение алгоритма симулированного охлаждения к фиксации центральных калибровок 143
51 Введение 143
5 2 Процедура фиксации калибровки 145
5.2.1 Грибовские копии 145
5.2.2 Реализация SA-алгоритма 147
5 3 Натяжение струны в центральной проеции и плотность Р-вихрей 148
5.3.1 Детали вычислений 148
5 3 2 Максимизируемый функционал и экстраполяция N^ —» оо 150
5.3.3 Плотность Р-вихрей 152
5.3.4 Спроецированное натяжение струны &гг 154
5 3 5 azi в непрямой максимальной центральной калибровке 158
5 4 Профиль струны в центральной проекции 158
5 4.1 Определения 159
5.4.2 Результаты вычислений 160
5.5 Выводы 162
6 Абелева и монопольная доминантность в решеточной SU(3) глюо-динамике и в решеточной КХД 166
6.1 Монопольные кластеры и натяжение струны 166
6.1.1 Параметры вычислений и МА-калибровка 167
6 1.2 Абелевы переменные и монопольные токи 169
6.1.3 Монополи в вакууме КХД 170
6.1.4 Потенциал между тяжелыми кварками 173
6.1.5 Экранировка магнитного заряда 177
6 2 Профиль абелевой струны 178
6.2.1 Наблюдаемые 178
6.2.2 Результаты 180
6.2.3 Длинные струны 190
6 3 Спектр глюболов и глюлампов в абелрвой проекции 191
6.3 1 Глюбольный спектр 192
6 3 2 Спектр глюлампов 194
6 4 Выводы 197
7 Статический потенциал в решеточной КХД при ненулевой температуре и разрыв адронной струны 198
7.1 Критическая температура и статический потенциал в фазе конфайнмента . 198
7.1.1 Критическая температура . 201
7.1.2 Потенциал между тяжелыми кварками при конечной температуре 205
7.1.3 Динамика монополей 211
7.2 Мезонная струна при конечной температуре 213
7.2.1 Детали вычислений 214
7.2 2 Зависимость профиля струны от расстояния между кварком и антикварком 215
7.2.3 Зависимость от температуры в мезонной системе .221
7.3 Выводы 222
8 Структура статического бариона при нулевой и ненулевой температуре 224
8.1 Наблюдаемые 225
8.2 Статический потенциал и структура адронной струны в 3-х кварко-вой системе при нулевой температуре 227
8 3 Структура бариона при ненулевой температуре 238
8 3.1 Статический потенциал 238
8 3 2 Профиль адронной струны 239
8.4 Выводы 242
9 Заключение 244
Литература
- Проблема конфайпмента, дуальный сверхпроводник, монополи, вихри
- Подбор параметров алгоритма фиксации калибровки
- Универсальность и непрерывный предел в абелевой проекции SU(2) калибровочной теории
- Свойства перколирующих и конечных кластеров
Введение к работе
Квантовая хромодинамика (КХД) - это квантовополевая теория, описывающая сильные взаимодействия элементарных частиц [1]. КХД возникла в начале 70-х годов прошлого века в результате синтеза представления о цвете кварков [2], партонной картины глубоко неупругого взаимодействия [3] и аппарата неабелевых калибровочных полей [4]. Многочисленные результаты, полученные в КХД, в основном с помощью методов теории возмущений [5], доказывают, что КХД правильно предсказывает и описывает, многие свойства сильных взаимодействий в области высоких энергий. Однако при низких энергиях сильная константа связи as растет, делая теорию возмущений неприменимой. Таким образом, для вычислений при низких энергиях нужны другие, непертурбативные, методы вычислений в КХД, позволяющие решать такие задачи, как вычисление фундаментальных параметров КХД -as и массы кварков, вычисление спектра масс адронов, разработка теории невылетания цвета и многие другие. Методом, который позволяет решать эти задачи, избегая при этом неконтролируемых приближений, является метод компьютерных вычислений, использующий решеточную формулировку КХД.
В 1974 г. К. Вильсон [6] сформулировал основные идеи решеточного подхода к изучению КХД. Примерно 25 лет назад М. Кройц [7], используя этот подход, сделал первые компьютерные расчеты натя-
жения струны в неабелевой калибровочной модели с группой симметрии SU(2). С тех пор в развитии решеточной КХД (РКХД) пройден большой путь, получено немало результатов, способствовавших развитию нашего понимания ненертурбативных свойств КХД. К наиболее значительным результатам можно отнести вычисление натяжения струны, глюбольного спектра, сильной константы связи, температуры фазового перехода, масс кварков. Перечисленные результаты в основном были получены в приближении, называемом 'квен-чет'(quenched) приближением, которое пренебрегает вкладом кварко-вых петель. Это было обусловлено отсутствием адекватных компьютерных мощностей. Только в последние 5-7 лет началось систематическое изучение РКХД, лишенное этого недостатка. Компьютеры, которые используюіся в современных исследованиях, примерно в 105 раз мощнее тех, которые использовались в самых первых работах. Результаты полученные на решетке (т.е. в решеточном подходе) широко используюіся в феноменологических расчетах. Новый прорыв ожидается в ближайшее время, когда доступными для использования в исследованиях РКХД станут компьютеры с быстродействием 10 Тера-флоп. Задачи, которые ставит перед собой сообщество физиков, занимающихся РКХД, можно сформулировать следующим образом:
Проверка КХД как теории сильных взаимодействий.
Решение проблем конфайнмепта, спонтанного нарушения кираль-ной симметрии.
Вычисление фундаментальных парамегров КХД.
Вычисление других физических величин, важных для понимания сильных взаимодействий.
Поиск отклонения от стандартной модели.
Данная диссертация посвящена изучению проблемы конфайнмента в неабелевых калибровочных теориях как без полей материи, так и с
фермиоиными нолями (КХД). Инструментом для изучения этой проблемы выбраны компьютерные симуляции неабелевых калибровочных теорий в решеточной регуляризации. Ниже делается краткий обзор основных особенностей решеточной регуляризации, для более детального знакомства с РКХД можно порекомендовать обзоры перечисленные в [8].
Введение построено следующим образом. В разделе 1.1 даны основные определения решеточной теории. Раздел 1.2 посвящен описанию погрешностей решеточных вычислений. В разделе 1.3 рассматривается проблема конфайнмента и различные подходы к ее решению. Далее, в разделе 1.4 обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели работы, показаны научная новизна проводимых исследований и их практическая ценность.
Проблема конфайпмента, дуальный сверхпроводник, монополи, вихри
Перечислим стандартные источники погрешности в решеточных вычислениях. Для полноты мы приводим полный перечень, хотя некоторые из них (пункты 5 и б) не имеют отношения к результатам вычислений, представленным в диссертации. Следует также отметить, что перечисленные погрешности являюіся контролируемыми, то есть величина погрешности может быть оценена и, в принципе, уменьшена до нужного значения.
1. Статистическая погрешность. Величина статистической погрешности убывает как fy/N , где а - среднеквадратичное отклонение, NQonf введено в (1.20).
2. Конечность шага решетки а. Для получения физического результата должен быть вычислен предел а —» 0. На практике вычисления делаются при несколь ких значениях а, а затем результаты экстраполируются на а = 0. Типичные значения для а: 0.05 0.15 Фм.
3. Эффекты конечного объема. Вклады этих эффектов убывают экспоненциально как ехр{—тп L} [9]. В настоящее время типичные значения для размера решетки L: 2 3 Фм, а масса 7г-мезона больше его физической массы в 3 4 раза. При этих значениях размера решетки и массы 7г мезона эффекты конечного объема малы.
4. Экстраполяция к физической массе легких кварков (киральная экстраполяция). Вычисления проводятся при нескольких значениях массы легких кварков mu,d в интервале 0.2m5 mq ms, а затем результаты экстраполируются на физическое значение массы легких кварков с помощью киральной теории возмущений. Считается, что экстраполяцию, основанную на киральном эффективном лагранжиане, следует использовать, для значений ти ms/A. Это соответствует значению отношения т /гпр 0.4.
5. Тяжелые кварки. бис кварки очень тяжелые, для них не выполняется необходимое условие rriQa « 1. Поэтому вычисления с тяжелыми кварками не могут проводиться так же, как это делается для легких кварков. Решение состоит в использовании эффективной теории тяжелых кварков (Heavy Quark Effective Theory) или нерелятивистской КХД (NRQCD). Тяжелые кварки рассматриваются как статические или нерелятивистские, и соответствующее действие есть разложение но 1/mg исходного действия. Для с кварка возможно также использование обычного, релятивистского, подхода при условии, что шаг решетки во временном направлении много меньше шага решетки в прстранственных направлениях.
6. Согласование решеточной схемы со схемой MS. Для того, чтобы сравнивать результаты решеточных вычислений для неспектральных величин с экспериментальными значениями, необходимо решеточные значения пересчитывать в обычную схему, например MS. Такой пересчег также является источниеом погрешности.
Успехи КХД при описании сильных взаимодействий, с одной стороны, и отсутствие экспериментального обнаружения свободных кварков, с другой стороны, с необходимостью привело к возникновению гипотезы конфайнмента (удержания) кварков в КХД. Уже самые первые ре шеточные симуляции неабелевых калибровочных теорий в начале 80-х годов подтвердили этот факт. Конфайнмент кварков к настоящему моменту является старой и хорошо знакомой идеей. Однако до сих пор отсутствует строгое доказательство и удовлетворительное объяснение этого явления. Определение механизма конфайнмента в КХД является центральной проблемой физики сильных взаимодействий. Существует несколько теорий, ни одна из которых не стала пока общепринятой. Решеточный метод исследования этой проблемы стал одним из основных.
Общим для многих теорий конфайнмента являеіся объяснение этого явления наличием некоего класса конфигураций калибровочного поля, которые доминируют на больших расстояниях и обеспечивают удержание кварков. В качестве таких конфигураций рассматриваются инстантоны, мероны, абелевы монополи, центральные вихри. Наибольшее внимание в последние годы получили две теории конфайнмента, одна из которых рассматривает в качестве доминирующих конфигураций абелевы монополи, а другая - ZN центральные вихри. Необходимо отметить также, что существуют подходы, не связанные с доминирующими конфигурациями калибровочного поля, например, метод полевых корреляторов [18], метод эффективного инфракрасного лагранжиана [19].
Что такое конфайнмент кварков? Во-первых, это отсутствие свободных кварков в природе. На практике, это означает, что все эксперименты по поиску свободных частиц с дробным зарядом привели к отрицательному результату. Поскольку в эксперименте также не найдены и свободные глюоны, и все обнаруженные экспериментально силыювзаимодействующие частицы являются синглетными но цвету, конфайнмент кварков принято объединять с более общим понятием - конфайнментом цвета - и формулировать как отсутствие частиц с ненулевым цветовым зарядом.
Важным экспериментальным фактом является наличие почти параллельных траекторий Редже в спектре мезонов и барионов. Этот факт привел к появлению гипотезы существования адронной струны: цвето-электрическое поле в системе кварк-антикварк образует трубку . Предполагается, что в КХД цветное электрическое поле, создаваемое кварком, сжимается в трубку с фиксированной площадью поперечного сечения (при достаточном удалении от источников).
Подбор параметров алгоритма фиксации калибровки
На практике часто используется численный алгоритм минимизации функционала F(U), который, вообще говоря, случайным образом, выбирает решеточную грибовскую копию, являющуюся локальным минимумом функционала F(U), то есть лежащую в так называемой области Грибова. Оправданием использования такой процедуры в случае калибровок Ландау и кулоновской служит тот факт, что, как показывают численные расчеты, некоторые вычисляемые в этих калибровках величины - глюонный, кварковый пропагаторы - слабо меняются при использовании разных копий. Считается, что грибовские копии добавляют дополнительный статистический шум, но не влияют на значение среднего. В данной главе с помощью численных расчетов мы покажем, что в МА-калибровке проблема однозначного определения среднего для калибровочно-неинвариантных величин таким способом не решается, и предложим практическое решение этой проблемы.
Как уже сказано, наиболее часто применяемый метод фиксации калибровки при симуляциях решеточных калибровочных теорий основан на выражении (2.15) и игнорирует наличие грибовских копий. Минимумы функционала F(U9) находятся с помощью итерационного алгоритма, минимизирующего F{U9) последовательно в каждом узле решетки. Для ускорения процедуры, то есть для уменьшения необходимого времени счета, используются различные методы: перерелаксация [61], ускорение с помощью преобразования Фурье [62], метод нескольких сеток [63]. Все эти методы не увеличивают вероятность нахождения глобального минимума или минимума, близкого к глобальному, а значит не уменьшают неопределенности, связанной с грибовскими копиями. Тем не менее они широко используются ввиду относительной простоты.
Описанный в предыдущем разделе метод фиксации калибровки, основанный на определении (2.6), был сформулирован для решеточной регуляризации в [64]. В этом случае в (2.6) все величины заменяются на соответствующие решеточные величины:
Это определение среднего от калибровочно-неинвариантной величины в пределе Л — со было использовано впервые в практических вычислениях в нашей работе по фиксации МА-калибровки [65]. Для произвольных значений Л этот метод исследовался в [66] на примере калибровки Ландау и в [67] для МА-калибровки. Подробное описание методов фиксации калибровки в симуляциях решеточных калибровочных теорий можно найти в обзоре [68].
Как уже было сказано, в калибровках Ландау и кулоновской для глюонного пропагатора обнаружена слабая зависимость о г выбора локального минимума, а, следовательно, погрешность, связанная с отклонением от глобального минимума невелика. Для других величин, например, для пропагатора духов [69], в этих же калибровках обнаружена существенная зависимость от выбора локального минимума. Для таких величин эффект грибовских копий может быть значительным. Очевидно, что для получения достоверных результатов в решеточных вычислениях необходимы или точная, в смысле отсутствия неопределенности, связанной с грибовскими копиями, фиксация калибровки или оценка соотвествующей погрешности. Это тем более важно, что результаты, полученные в решеточной регуляризации для пропа-гаторов в калибровке Ландау, используются как ориентир для других методов вычисления этих пропагаторов. Например, качественное согласие результатов, полученных методом приближенного решения уравнения Дайсона-Швингера, с решеточными результатами рассматривается как факт, подтверждающий правильность сделанных приближений.
Как было сказано в разделе 1.3.1, процедура абелевой проекции требует частичной фиксации калибровки. На определенном этапе исследований монопольного сценария конфайнмента в МА-калибровке стала понятна важность перехода от качественных результатов к количественным, то есть к вычислению нужных физических величин с достоверно определенными погрешностями. Это необходимо для правильных выводов об абелевой и монопольной доминантности, для сравнения МА-калибровки с другими калибровками и т.д. Необычной погрешностью, присущей данной задаче, является погрешность, вносимая калибровочными (или грибовскими) копиями [54]. Исследования, результаты которых представлены в данной диссертации, позволили значительно уменьшить эту погрешность и, с точки зрения практических вычислений, решить эту проблему. Предложен новый алгоритм для фиксации калибровки, более эффективный, чем применявшийся до эгого (и все еще применяемый) итеративный алгоритм и его модификации. Важно подчеркнуть, что предлагаемый метод является реализацией обсу-ждавшнгося выше подхода к непертурбативной фиксации калибровки (2.16). Показано, что новый алгоритм значительно уменьшает погрешность, вносимую грибовскими копиями. Кроме того, он работает быстрее, особенно на больших решетках. Проведенные исследования проблемы грибовских копий впервые ясно показали, что существуют калибровки, в которых нельзя пренебречь погрешностью, вызываемую грибовскими копиями, если не использовать предложенный в диссертации метод.
Универсальность и непрерывный предел в абелевой проекции SU(2) калибровочной теории
Как уже обсуждалось, при изучении решеточной глюодинамики были получены многочисленные результаты, подтвеждающие тот факт, что вакуум неабелевой калибровочной теории имеет свойства дуального сверхпроводника. Однако все эти результаты были получены с вильсоновским решеточным действием, а значит универсальность, т.е. независимость от способа дискретизации действия, не были проверены. Этот пробел был восполнен в нашей работе [85]. До нашей работы было только две статьи, в которых для изучения абелевой доминантности ипользовалось решеточное действие, отличное от вильсоновского. В работе [86] использовалось такое же как у нас действие. Однако результаты этой статьи были во многом недостоверными из-за неучеіа эффектов грибовских копий, и/или плохой статистики. В статье [87] использовалось действие Ивасаки (оно отличается от используемого нами действия значениями коэффициентов), фиксация калибровки и статистика были хорошие. Однако вычисления были проделаны только при одном значении шага решетки, что недостаточно для проверки универсальности.
Для проверки универсальности абелевой доминантности в нашей работе использовалось действие, улучшенное на древесном уровне [88] где Spi и Srt обозначают плакетный (используемый в вильсоновском действии) и 1 х 2 прямоуголный члены действия, параметр щ определяется следующим образом:
Такое действие имеет в континуальном пределе лидирующие поправки 0(а$а2),0(а4). Мы не включили в действие однопетлевую поправку в коэффициенты, устраняющую член 0(asa2), т.к. во-первых, его влияние на наблюдаемые мало, и во-вторых, мы хотели иметь возможность сравнивать наши результаты с результатами работы [86]. Компьютерные симуляции с действием (3.38) были выполнены с параметрами, приведенными в Таблице 6. Параметр щ подгонялся итеративно в пр-цессе Монте-Карловских симуляций, с тем чтобы удовлетворять определению (3.40). Соответствующие данные в Таблице (колонки 4 и 5) дают представление о точности выполнения этого соотношения в нашей работе. Для двух значений Дтр для проверки эффектов конеч ного объема использовались решетки двух разных размеров. Натяжение струны аа2 вычисленное на этих решеїках согласуется в пределах ошибок, что указывает на малость эффектов конечного объема.
Для фиксации физического масштаба, вычислялось натяжение струны а. Натяжение струны для действия (3.38) было уже вычислено в [86], но наши вычисления более точные, благодаря использованию новых методов и более высокой статистике. При вычислении вильсоновских петель был использован гиперкубический блокинг (HYP) [89] для ребер во временном направлении. Этот прием позволяет уменьшить статистические ошибки. Он был успешно использован при вычислении статического потенциала в /7(3) глюодинамике [89, 90] и в решеточной КХД при ненулевой температуре [91]. После одного шага HYP процедуры, к пространственным ребрам было применено 20 шагов раз мазывания [92]. Эта процедура была использована, как обычно, для улучшения перекрытия создаваемого состояния с собственным состоянием трансфер матрицы в секторе с двумя статическими источниками. На Рис. 11 сравниваются потенциалы, полученные с использованием и без использования HYP процедуры. Потенциал, вычисленный с HYP процедурой отличается сдвигом на константу, соответствующим уменьшению собственной энергии статического источника. Уменьшение собственной энергии и приводит к улучшению отношения сигнала к шуму. Из Рис. 11 видно, что HYP процедура действительно приводит к уменьшению статистических ошибок, а также к улучшению ротационной инвариантности. Последнее видно из улучшения согласия между значениями потенциала, вычисленными для положений источников на одной из осей решетки и вне осей. Так как HYP процедура заменяет точечные источники на источники размера шаг решетки, HYP потенциал искажается (помимо сдвига на константу) на малых расстояниях, R/a 2.
Свойства перколирующих и конечных кластеров
Интерес к монополям в неабелевых калибровочных теориях вызван привлекательностью дуально сверхпроводящего механизма кон-файнмента [21, 22]. Этот механизм предполагает конденсацию магнитных монополей. Данная идея получила поддержку благодаря решеточным результатам и феноменология решеточных монополей весьма богата. Деіальная теоретическая ин іерпреіация полученных данных затруднена, т.к. моноиоли определяются не прямо в терминах исходных SU(2) полей, а в терминах спроецированных нолей. Использование проекции обусловлено тем фактом, что монополи являются U(l) объектами. Существует бесконечно много способов выбора [/(1) подгруппы для определения монополей, см. раздел 1.3.1 Введения.
Геометрически монополи представлены замкнутыми траекториями (на дуальной решетке) и обычно обсуждаются свойства монопольных кластеров. Под кластером понимается объединение связанных замкнутых петель. В частности, важным является разделение кластеров на перколирующий кластер и кластеры конечной длины. Перколирующий кластер простирается по всему объему решетки. На микро уровне конденсацию монополей можно понимать как перколяцию монопольного кластера. Действительно, как установлено эмпирически, если объем решетки достаточно большой, для каждой конфигурации калибровочного поля есть такой кластер, и только один, и его длина много больше длины любого другого кластера. Этот факт был впервые установлен в наших работах [ПО, 111J при конечной температуре в фазе конфайнмента (см. раздел 4.6) и затем подтвержден с более высокой точностью при нулевой температуре [112,113]. Конечные кластеры характеризуются распределением по длинам Р(1). Введем соответствующие плотности для монополеи в перколирующих и в конечных кластерах: где iVperc, iVfin - число монопольных токов в соответствующих кластерах, V - число узлов решетки, а - шаг решетки. Полная плотность р равна сумме ррегс и рцп.
Важным вопросом является физическая значимость точек пространства, занимаемых монополями. С одной стороны, монопольные траектории определяются сингулярностями проецированного ноля u s), и они являются точечными в терминах этих полей. С другой сюроны, нельзя исключить, что эти сингулярности являются артефактами выбранной проекции. На первый взгляд последняя возможность выглядит предпочтительнее, т.к. определение монополеи производится после фиксации нелокальной калибровки. Однако результаты, полученные на решетке, указывают, что в МА-калибровке монополи, которые по способу их определения имеют размер равным шагу решетки, могут быть физическими. В частности, плотность монополеи в перколирующем кластере Ррегс имеет конечное значение в пределе снятия обрезания. Первый результат для этой величины в континуальном пределе был получен в нашей работе [114]:
В разделе 4.1 будут приведены уточненные данные для рреГс- Подчеркнем, что этот результат указывает на возможность того, что перколирующие монопольные траектории не являются артефактами калибровки или регуляризации даже на масштабе а. Таким образом, возможно существование калибровочно-инвариантных объектов, которые де тектируются посредством проекции. Это интригующая возможность достойная внимательного изучения. К сожалению, это трудно осуществить с помощью аналитических методов, т.к. анатомия решеточных монополей в терминах неабелевых полей практически неизвестна. Но есть возможность изучить эту проблему, используя компьютерные симуляции. В частности, можно измерить изменение неабелева действия, вызванное присутствием монополя. Результаты таких измерений представлены в разделе 4.2. Нами были также детально исследованы различные величины, характеризующие клас і еры и поведение этих величин в континуальном пределе. В разделе 4.3 представлены результаты для следующих величин: средняя длина сегментов между самопересечениями; спектр длин конечных класіеров; корреляции монопольных токов на больших расстояниях. Раздел 4.4 посвящен описанию результатов, указывающих на связь между монополями и инстантонами. В разделе 4.5 приведены результаты проверки универсальности свойств кластеров, а в разделе 4.6 - результаты изучения свойств монопольных кластеров при ненулевой температуре, в том числе конденсации монополей в точке фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент.
Первые результаты для плотности монополей были представлены в работе [60], где измерялась полная плотность монополей. Эги результаты, подтвержденные другими группами, были интерпретированы как обнаружение асимптотического скейлинга у полной плотности монополей. Позднее, когда стали доступны более точные результаты для натяжения струны и массы глюбола, не согласовывавшиеся с наличием асимптотического скейлинга, стало понятно, что такая интерпретация была неверной. Как уже упоминалось, монопольные кластеры делятся на два класса: небольшие кластеры с конечным размером в решеточных единицах и большие кластеры, которые перколируют сквозь решетку. В работе [113] было показано, что перколирующие кластеры ответственны за натяжение струны. В этой работе было так же прдемонстрировано, что в каждой решеточной конфигурации есть только один большой перколирующией кластер, если объем решетки достаточно большой. Авторы работы [113] обнаружили следующую проблему: объем решетки (в физических единицах) необходимый для наблюдения такой картины, растет как 1/а1/2 в континуальном пределе, если же физический объем решетки сохраняется постоянным, то и размер перколирующего кластера, и его вклад в натяжение струны значительно уменьшаются. Эта проблема была нами решена в работе [114]. Оказалось, что на недосіаючно больших решетках перколирующий кластер распадается на один-два больших кластера и несколько небольших кластеров, которые замыкаются через границу и имеют нетривиальную топологию: число намоток , определяемое как не равно нулю. Появление таких кластеров можно объяснить аннигиляцией монопольных токов, входящих в перколирующий кластер, через границу решетки. Кластеры с ненулевой намогкой w и большой кластер, как правило, являются частью границы одной и той же поверхности, образованной дираковскими плакетами, а значит фактически являются одним кластером. Оказалось, что плотность моно-полей в объединении больших перколирующих кластеров и всех кластеров с ненулевой намоткой, измеренная на сравнительно небольшой решетке, равна плотности моноиолей в единственном перколирующем кластере на достаточно большой решетке, на которой кластеры с ненулевым w отсутствуют [114]. В дальнейшем мы будем называть именно такое объединение перколирующим кластером. На Рис. 18 показана плотность монополей ррегс как функция шага решетки а, полученная в работе [115] с более высокой статистикой, чем в работе [114]. При совпадающих значениях (5 результаты согласуются в пределах ошибок. Зависимость от а довольно слабая, поэтому данные подгонялись константой для значений .
