Новые космологические следствия, вносимые модифицированными теориями гравитации Николаев Алексей Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Краткий обзор рассматриваемых модифицированных теорий гравитации 10

1.1. f(R) теория гравитации 10

1.2. f(R) теория гравитации со скалярным полем 18

1.3. D-мерная f(R) 20

1.4. Теория гравитации, учитывающая квантовые поправки 23

1.5. Выводы к первой главе 25

Глава 2. Космологическое угловое расстояние в неоднородной

2.1. Общий подход 30

2.2. Вывод уравнения через уравнение фокусировки 35

2.3. Общие анзацы и частные решения в CDM модели 38

2.4. Численное решение CDM 41

2.5. Измерение космологического углового расстояния в обобщённой гравитации 42

2.6. Выход на наблюдательные данные 45

2.7. Выводы ко второй главе 50

Глава 3. Наблюдаемые эффекты в обобщённых теориях гравита

3.1. Расчёт угла отклонения света в поле массивного тела в пределе слабого поля 51

3.2. Класс точных решений в f(R) гравитации с R = 0 57

3.3. Микролинзирование в PPN формализме 71

3.4. Выводы к третьей главе 74 Заключение 77

Список сокращений и условных обозначений 79

Список литературы

• f(R) теория гравитации со скалярным полем
• Вывод уравнения через уравнение фокусировки
• Измерение космологического углового расстояния в обобщённой гравитации
• Класс точных решений в f(R) гравитации с R = 0

Введение к работе

Актуальность темы исследования. На сегодняшний день стало ясно, что Общая Теория Относительности (ОТО) не может естественным образом объяснить ряд наблюдательных данных: данные Сверхновых типа Ia [, ], измерения флуктуаций реликтового излучения [–], определение крупномасштабной структуры Вселенной [, ], кривые вращения галактик [, ] и ряд других.

Широко применяемая модель позволяет использовать ОТО для того, чтобы согласовать теорию гравитации с выше обозначенными наблюдательными данными. Несмотря на то, что хорошо отвечает наблюдательным данным, эта модель не является теорией, которая проливала бы свет на физику гравитации []. Это происходит потому, что модель требует наличия Тёмной Энергии (или члена) и Холодной Тёмной Материи, физическая природа которых остаётся необъяснённой.

Таким образом, становятся актуальными теории гравитации, обобщающие ОТО []. Общая цель различных подходов заключается в том, чтобы найти теорию гравитации, включающую в себя в качестве предела ОТО. Но вместе с тем естественно объясняющую ускоренное расширение Вселенной. Успех моделей, построенных с помощью обобщенных теорий гравитации (например [22]), в которых естественно решается проблема тёмной энергии, привлекает к себе внимание теоретиков и экспериментаторов.

Так как за последние годы появилось множество модифицированных теорий гравитации (см. обзор []), решающих проблему соответствия вышеозначенным наблюдательных данных новой теории, возник вопрос о дальнейшей проверке этих теорий. Одним из таких тестов стал тест компактных астрофизических объектов (КАО) [], которые позволяют из множества моделей, которые хорошо описывают космологические эффекты, отсечь те, которые не могут разумно описать КАО, с физической точки зрения. Например, модель А. Ста-

робинского 1980 года [] отлично описывает раннюю космологическую инфляцию, но не может естественным образом описать существование КАО [, .

Следовательно, поиск дополнительных методов для проверки модифицированных теорий гравитации является актуальной темой.

Степень разработанности темы исследования. Простым и, вместе с тем, естественным обобщением ОТО является f(R) теория гравитации. Она позволяет решить проблему тёмной энергии, что является одним из главных преимуществ данной теории. Эффективный параметр уравнения состояния

Peff
UJ_eff = . (1)

Peff

Рассмотрим простой пример f(R) функции f(R) ос Л^п, и предположим ан-

зац для масштабного фактора в виде степенной функции а = clq (t/to) . Можно

получить []

бп² — 7п — 1

^Ueff = — 7Г^> 7 —^, (2)

Ьпґ — Уп + 6

и

—2п² + Зп — 1

а = . (3)

п — 2

Если мы положим п = 2 то () даст cu_eff = —1, а () даст а = оо, что представляет собой хорошо известную модель ак. Старобинского [], которая хорошо отвечает последним астрофизическим наблюдениям [].

Первым вопрос об измерении космологического углового расстояния (КУР) с учётом неоднородности Вселенной поставил ак. Я. Б. Зельдович. Он предложил модель «однородной в среднем Вселенной» [] и проанализировал эффект пустого светового конуса (СК) в плоской Вселенной Фридмана для КУР и космологического фотометрического расстояния (КФР). Решения для измерения КУР в неоднородной вселенной произвольной кривизны были найдены в работе В. Дашевского и Я. Зельдовича []. В этой работе учёные также представили метод для выражения фокусировки Риччи через отношение моментов импульса фотона. В соответствующем разделе будет показано, как можно применить

этот метод для получения наиболее общего дифференциального уравнения на КУР. В работе В. Дашевского и В. Слыша [] было предложено аналитическое решение для закрытой, наполненной материей Вселенной в случае частично заполненного СК. Они также получили дифференциальное уравнение для КУР в частном случае. Это уравнение было получено в предположении, что вселенная не содержит тёмной энергии. Идеи Я. Б. Зельдовича были использованы в работах С. Даера и Р. Роедера [–]. В 1976 С. Вайнберг [34] показал, что сумма гравитационных отклонений, вызванных индивидуальными скоплениями материи, эквивалентна эффекту, даваемому однородным распределением той же массы. После этой работы интерес к расчёту КУР в неоднородных моделях вселенной упал, так как изложенные факты стали серьёзной критикой модели «Швейцарского Сыра». Тем не менее, результаты С. Вайнберга находятся в согласии с моделью «Однородной в среднем вселенной», так как материя, заключённая внутри СК имеет однородное распределении меньшей плотности в этой модели. Идеи С. Даера и Р. Роедера получили развитие в работах Р. Кан-товски [], в которых были получены уравнения и произведён анализ различных решений для модели «Швейцарского сыра». В работе [] были найдены работы для различных неоднородных космологических моделей. Также следует отметить вклад П. Шнайдера и А. Вейсса [], С. Зейтц и др. [] в разработку идей С. Даера и Р. Роедера. В работе K. Болежко и П. Феррейра [] вновь подчёркивается важность эффектов неоднородности в космологии.

Многомерность Вселенной - одно из самых интригующих предположений в современной физике. Это естественно следует из теорий, объединяющих разные фундаментальные взаимодействия с гравитацией. Например, теория струн []. Эта идея в последнее время получила новый толчок с развитием идеи «мира на бране» []. В этой модели стандартная модель фундаментальных взаимодействий локализована на трёхмерной гиперповерхности, в то время как гравитационное поле пронизывает всё пространство-время. Концепция «мира на бране» предоставляет возможное решение так называемой проблемы калибро-

вочной иерархии []. В работе [] было показано, что стабилизация дополнительных измерений приводит к условию ф —> фо с и(фо) < 0. Следовательно, D-мерное пространство время может асимптотически становиться пространством (анти) де Ситтера. В работе [44] получен предел слабого поля для f(R) D-мерной гравитации.

Разработка квантовой теории гравитации имеет важное значение в современной теоретической физике, так как задача согласования теории гравитации с принципами квантовой механики до сих пор не решена. В квантовой теории поля параметры действия вакуума являются объектом для применения ренор-мализационной группы [. В этом случае «космологическая постоянная» не является константой в контексте квантовой теории поля. На энергиях, меньших масштаба Ферми /і < Мр, члены с высокими производными в действии не важны для обсуждения космологии. Следовательно ренормализованное эффективное действие вакуума на этих малых энергиях является действием Эйнштейна-Гильберта с меняющимися космологической и гравитационной константой G_vac(fi), _vac(fi), где зависимость от /і управляется посредством ренормали-зационной группы []. Для космологии Фридмана, выбрав масштаб РГ /і ~ ії", можно получить уравнения, в которых G(t) и (t) - функции времени [, а следовательно - исследовать астрофизические и космологические эффекты.

Гравитационное микролинзирование представляет собой наблюдательный эффект, проявляющийся как временное сильное увеличение яркости источника. Исчерпывающую информацию о теории гравитационного линзирования можно найти в книгах [-]. Гравитационное микролинзирование успешно применялось для поиска скрытой массы []. С помощью компьютерного моделирования микролинзирования было показано, что объекты типа MACHO не могут объяснить эффекты скрытой массы [.

Цели и задачи диссертационной работы: Настоящая диссертация посвящена поиску дополнительных способов проверки модифицированных теорий гравитации с помощью наблюдательных данных космологических и астрофизи-

ческих эффектов.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

Разработать метод измерения космологических расстояний в модифицированной теории гравитации с учётом неоднородности распределения вещества.

Получить решения для угла гравитационного отклонения света массивным телом в пределе слабого поля в f(R) D-мерной теории гравитации; для теории гравитации, учитывающей квантовые поправки.

Получить точные решения на масштабный фактор а для пространств с постоянной скоростью эволюции скалярной кривизны R = const в f(R) гравитации со скалярным полем и исследовать их.

Предложить новые методы для проверки модифицированных теорий гравитации с помощью наблюдательных данных.

Исследовать возможные эффекты модифицированных теорий гравитации в микролинзировании с помощью компьютерного моделирования.

Научная новизна. В настоящей работе впервые были получены следующие результаты:

1. Обобщённое уравнение для расчёта космологического углового расстояния в модифицированных теориях гравитации, допускающих метрику Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ) с учётом неоднородностей; решения этого уравнения в модели ACDM для разных случаев наполненности материей конгруэнции нулевых геодезических; установлено, что тёмная энергия не участвует в фокусировке в ACDM модели .

¹ Имеются в виду изотропные геодезические, для которых ds² = 0. Далее по тексту используется терминология курса теоретической физики Ландау и Лифшица.

1. Новые подходы для проверки методов измерения космологического углового расстояния и, как следствие, теорий гравитации, лежащих в их основе.

2. Новое решение для угла гравитационного отклонения света в пределе слабого поля в f(R) D-мерной теории гравитации.

3. Новое решение для угла гравитационного отклонения света в пределе слабого поля в теории гравитации, учитывающей квантовые поправки [.

4. Новые точные решения в f(R) теории гравитации со скалярным полем для пространств с постоянной скоростью эволюции скалярной кривизны R = const.

5. Компьютерное моделирование эффектов микролинзирования в параметризованном постньютоновском формализме, которое позволило оценить вклад от модифицированной гравитации в эффекты гравитационного микролинзирования.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для уточнения ряда астрофизических наблюдений, в которых применяются формулы для расчёта космологического углового расстояния. Например, при исследовании сверхновых звёзд и исследованиях, в основе которых лежит гравитационное линзирование и эффект Сюня-ева-Зельдовича []. Кроме того, полученное общее дифференциальное уравнение на космологическое угловое расстояние позволит проводить теоретический анализ эффектов фокусировки конгруэнции нулевых геодезических в обобщённых теориях гравитации с учётом неоднородностей.

Предложенные методы для проверки справедливости подходов к измерению углового космологического расстояния, основанные на вычислении постоянной Хаббла и тождестве двойственности космологических расстояний, могут стать основой для экспериментального астрономического исследования.

Полученные решения для угла гравитационного отклонения света позволят получить дополнительные ограничения на свободные параметры рассмотренных теорий гравитации.

Точные решения, полученные для f(R) теории гравитации со скалярным полем для класса пространств с R = const позволят продолжить исследование решений, относящихся к современной стадии эволюции Вселенной.

Результаты моделирования микролинзирования в обобщённых теориях гравитации позволят оценить возможный вклад эффектов модифицированных теорий в наблюдаемые эффекты микролинзирования.

Методология и методы исследования. В работе использовались численные методы решения дифференциальных уравнений, численное интегрирование, методы теории дифференциальных уравнений, методы компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

Обобщённое дифференциальное уравнение на космологическое угловое расстояние в модифицированной теории гравитации с учётом неоднородности распределения вещества.

Методы для проверки способов измерения космологического углового расстояния, основанные на данных эффекта Сюняева-Зельдовича для галактик и, как следствие, теорий гравитации, лежащих в их основе.

Решение для угла гравитационного отклонения света в пределе слабого поля в f(R) D-мерной теории гравитации.

Решение для угла гравитационного отклонения света в пределе слабого поля в теории гравитации, учитывающей квантовые поправки.

Точные решения в f(R) теории гравитации со скалярным полем для пространств с постоянной скоростью эволюции скалярной кривизны R = const.

Результаты компьютерного моделирования гравитационного микролинзи-рования в модифицированных теориях гравитации.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается их согласованностью с исследованиями, полученными другими авторами в более частных случаях.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2013» (Москва, 2013).

Международная научная конференция «Фридмановские чтения» (Пермь, 2013).

Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии "Петровские чтения - 2014"(Казань, 2014)

ZAH microlensing group seminar (Heidelberg, 2014).

9th Alexander Friedmann International Seminar (St. Petersburg, 2015).

XIIth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (Moscow, 2015).

Семинар им. А.Л. Зельманова (Москва, 2015).

ACRU/Mathematics seminar (Durban, 2016).

Семинар по гравитации и космологии УНИГК—РГО (Москва, 2016).

South Africa Gravity Society Meeting - 2016 (Solt Rock, 2016).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в журналах из списка ВАК, которые входят в список Web of Science [], [], [], 1 учебное пособие и 6 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 90 страницы, из них 79 страницы текста, включая 16 рисунков. Библиография включает 81 наименований на 9 страницах.

f(R) теория гравитации со скалярным полем

Как известно, полное действие для гравитационного поля, порожденного материальным источником, записывается следующим образом: S = (SEH) + SM + SQYH, (1.1) где SEH - действие Эйнштейна-Гильберта. Стандартное действие Эйнштейна-Гильберта записывается следующим образом: ЕН = d X\/—gR, (1.2) где R - скалярная кривизна пространства-времени. Этот интеграл действия в f(R) теории гравитации обобщают следующим образом: скалярную кривизну R заменяют на некоторую функцию от нее - f(R) [22]. SQYH - граничный член Гиббонса - Йорка - Хоукинга [23], SM - действие материи. Таким образом, f(R) гравитация представляет собой обобщение ОТО, в котором модификации подвергается метрическая часть действия. В результате обобщенное действие Эйнштейна - Гильберта принимает вид: bEH = a X\/—gj(R). (1.3)

Теперь для того, чтобы получить обобщённые уравнения Эйнштейна, мы должны подставить действие S EH (1.3) в (1.1) вместо SEH и выполнить варьирование по гравитационному полю.

Существуют 3 способа варьирования: 1) по метрике д ; 2) по связности (вариация Палатини); 3) по метрике и связности. Рассмотрим варьирование действия (1.1) по метрике. С детальным выводом полевых уравнений можно ознакомиться в пособии [24], поэтому приведём только основные моменты. Вариция тензора Риччи: 8 Яри = V T — \/v5I . (1.4) Вариация символов Кристоффеля второго рода oi?, = — 9u,\vvog + g ynog — guxgnvv og ) , (1.5) соотвественно свёртка fll" = 9r}V цУ (1.6) Тогда, подставив (1.5) и (1.6) в (1.4), получим: д111 bR v = g\v\35g ц — VMV g , П := v V . (1.7) Вариация действия (1.3) представляется в виде d x[5(\/—g)f(R) + \/—gf (R)5(R)}. (1.8) В дальнейшем будем опускать аргумент функции f(R). Используя (1.7) и выполнив простые преобразования, получаем S EH = d XV 9 9 1 —5v/ + f R v + + d xV 9f 9mq fig v — d xл/—gf VM\/ 5g . (1.9) Последние два интеграла сводим к интегралам от дивергенции. И, с помощью теоремы Гаусса-Стокса, выносим g v из под знаков дифференцирования: d xV gffg\rj g v = d X\/—g\7TNT + d xyJ—ggxrfAf dg v, (1.10) где \7TNT = fgxjf Sg — gx dg df; d X\J —g / VMV 6g = d x\/—g\/ M + d xyj—gV V / g , (1.11) где Мг = fV Sg — V f Sg . Таким образом, мы можем переписать (1.9) следующим образом: - - -J Л І - till і - Ґ Ґ / - І І Л / _ _ _ _ s f \ ОЬЕН = d Х\/—ддд —5V/ + J Rav + Swl—I/ V V / + + d X\/—g\7TNT — d X\/—g\7 M , (1.12) где выделены слагаемые, к которым можно применить теорему Гаусса - Стокса. С помощью теоремы Гаусса - Стокса переведем интегралы от 4-диверген-ции к интегралам по гиперповерхности. В результате вариация действия Эйнштейна - Гильберта принимает вид: $SEH = d X\J—gbg v I — jw/ + f Rav + SW / V V / ) + J + NTdY7 — MM iM. (1.13) Введем некоторые обозначения, стандартные для теории гиперповерхностей [25]. Ограничимся рассмотрением четырехмерного пространства-времени и трехмерными ненулевыми гиперповерхностями. Гиперповерхность может задаваться как уравнение зависимости между 4-координатами (хи) = 0. (1.14) В этом случае ;М будет нормальным вектором к гиперповерхности , так как на ней = 0, а значит, значение меняется только в направлении, перпендикулярном . Ортонормальный вектор можно определить так: пи = — , (1.15) уд где n nf = є = =p1 и верхний знак соответствует пространственноподобной гиперповерхности , а нижний - времениподобной. При этом добавляется требование, чтобы rif указывало направление возрастания : пм;М 0.

Другой способ задания гиперповерхности заключается в указании явной зависимости 4-координат х/ от координат на гиперповерхности уа,(а,6,... = 1, 2,3) хи = хи(уа). (1.16) Построим базис касательных векторов к гиперповерхности Эх/ Єа := о . (1.17) оуа Тогда для нормального вектора можно записать: еапм = 0. (1.18) Индуцированную метрику на поверхности найдем, используя способ задания внутренней метрики и условие ортогональности, о {дх \ {dxv\ і i aov = gaydx dx W = g v т;— dy тгт dy = habdy dy , (1.19) 7?/а ду где /габ = 5V (- г) (jfb ) = 9ціУеаеь - индуцированная метрика на или ее первая фундаментальная форма. Рассмотрим поверхностные интегралы более подробно. В координатах на гиперповерхности можно записать NTdY1T = eNTnT\/\h\d у, (1.20) где у - координаты на граничной гиперповерхности, є = n rif = ±1, h -метрика на гиперповерхности, причем g v = hfv + enfnv.

Вывод уравнения через уравнение фокусировки

Уравнение для теорий гравитации, допускающих метрику ФРУ, если известно решение полевых уравнений на масштабный фактор a(t) da da + аа —RJi как da = 0 (2.70) а 2 р или а fa а2 к\ (jL — —ft — (У — — — = (1 а а а2 а2 Форма этих уравнений не меняется в зависимости от выбранной теории гравитации в силу того, что КУР является геометрическим понятием. Уравнение для теорий, полевые уравнения которых приводимы к Эйнштейновскому виду da da + АттаСа Т о как da = 0. (2.71) а В частном случае для KCDM а /4 \ da da + AnaG -рд + рм da = 0. (2.72) а 3 В приведённой форме уравнения фокусировка Ричи выражена через значение тензора-энергии импульса Вселенной. Уравнение (2.72) полезно в случае, если необходимо исследовать КУР для теории в общем. Например, в случае KCDM это позволило нам показать, что ТЭ не принимает участия в фокусировке.

Когда мы рассматриваем раннюю инфляцию, мы предполагаем экспоненциальный или степенной закон эволюции масштабного фактора a(t) ос tm с m 10. Такие модели могут быть построены с помощью скалярного поля в качестве источника. Выберем решение для масштабного фактора, которое возникает в теории со скалярным полем [65] Мы оценим параметр , используя данные суперновых типа Ia [2], с помощью минимизации параметра 2. Известно, что фотометрическое расстояние \ в единицах Мпк можно перевести в модуль расстояния [66]

На рис. 2.4 показана разница между распределением суперновых типа Ia, стандартной модели и модели с решением () = (o)m. Из приведённых графиков можно сделать вывод о том, что решение (2.73) слабо применимо к современной стадии инфляции. 4000 ACDM a = 0 ACDM a = 0.5 ACDM a = 1 a(t) = a.fHot)"1 3500 3000 25 20 1500 1000 500 о о 0.5 1.5 redshift 2.5 Рис. 2.3. Космологическое угловое расстояние для ACDM и (2.73)

Теперь обсудим ряд тестов для подхода к вычислению углового расстояния, которые возникают из данных по эффекту Сюняева–Зельдовича (ЭСЗ) для кластеров галактик [67–69], и оценим перспективность проведения полноценного экспериментального исследования на базе изложенных идей. Угловое расстояние можно выразить через данные эффекта Сюняева–Зельдовича [67]: где Г (ж) - гамма функция, Sxo - поверхностная яркость в рентгене центра кластера, z - красное смещение, Лея - функция охлаждения центра кластера, (Тт -полное сечение рассеяния, кв - постоянная Больцмана, АТо - разница температуры ЭСЗ, 9С - угловой размер ядра галактики, те - масса электрона, f(x,Te) - частотная зависимость ЭСЗ, Тсмв - температура фонового микроволнового излучения.

Это позволяет нам сравнить значения постоянной Хаббла, предсказываемых стандартным решением (2.82) и новой формулой (2.81). Величина космологического углового расстояния подсчитана непосредственно из ЭСЗ, а значит, приравняв mpty и [ul1 к saZE , можем выразить . Следовательно, для пустого светового конуса получаем: pi dx і Пд empty О (2.83) ZSE и для полного светового конуса ZS S і tfe = sin J1 дД П і \rl74F—f7 ДШ 1 /Г Г+7 = І = 1, (l+zja 0- A/SZfc 1+ a2v s 1 Г 1 2 % = О, (l+z)d SE 1+1 i2 /Og (2.84) ,, , игяд гг sh 1 лД4 г й= : = —1. {L+z)a J V"fc 1+z a2V"S Вычисление простых средних для данных кластеров галактик [67] позволяет сделать вывод, что более согласованные значения для постоянной Хаббла дают формулы (2.83), нежели (2.84). Детальный анализ данных кластеров галактик, в разрезе применения уравнений (2.83), может послужить материалом для дополнительного экспериментального исследования.

Измерение космологического углового расстояния в обобщённой гравитации

Рассмотрим физический смысл скалярной кривизны, которая определена как свёртка тензора Ричи R = g R . (3.19) Физический смысл скалярной кривизны очень похож на физический смысл гауссовой кривизны. Если мы выберем начальную точку в двумерном пространстве и рассмотрим множество точек, лежащих на расстоянии є от выбранной точки, то получим 2-сферу в этом пространстве. Тогда гауссова кривизна измеряет, как сильно длина окружности С малого круга отличается от своего значения в плоском пространстве [61] (для плоского пространства длинна окружности С = 2тте):

В случае, если мы вместо 2-сферы рассматриваем обобщение на D — 1 сферу, точки сферы лежат на геодезическом расстоянии є от центра сферы, мы обсуждаем площадь поверхности сферы вместо длины окружности. Скаляр Риччи показывает, как площадь поверхности сферы Acurv отличается от площади поверхности Afiat этой же сферы в плоском пространстве [77].

Представляется вполне разумным с физической точки зрения рассматривать пространства с R = 0, потому что они представляют пространство-время, которое в результате расширения незначительно расходится с эволюцией плоского пространства-времени. Это интересно потому, что отвечает принципу простоты, а также соответствует наблюдательным данным для современной стадии эволюции Вселенной [3]. Для демонстрации последнего факта выполним расчёт R для решения, хорошо описывающего современную стадию вселенной, т.е для ACDM модели, где мы рассматриваем пространство, содержащее только ТЭ Г2д и барионную материю

Подставляя значения констант, полученные в результате анализа наблюдательных данных, Но = 69 (км/с)/Мпк и Г2д = 0.72, мы можем оценить современное значение ускорения скалярной кривизны — = Н + 2із = В, В = const. (3.30) Отметим, что решение (3.30) означает что R = 6В = const, что отвечает вселенной де Ситтера. С помощью (3.30) можно получить упрощённые выражения для кинетической энергии (1.58) и потенциала (1.59):

Можно заметить, что это решение отвечает стадии радиационного доминирования. Подчеркнём, что полученный режим справедлив для произвольной функции /. Форма / будет влиять на кинетическую и потенциальную энергию скалярного поля. Кинетическую энергию можно определить с помощью

Дальнейшее интегрирование может быть произведено в случае, если будет известна форма /, которая является функцией Л, т.е. функцией t. По аналогии можно получить выражение для потенциала В случае стандартной космологии Фридмана (f(R) = R) мы получаем экспоненциальный потенциал 7-7-2 1 V(ф) = Н = — ехр(=р2(0 — 0 ), (3.38) скалярное поле тогда ф = =Ыпт + ф , ф = const. (3.39) Из уравнения (3.30) ясно, что - = Н + Н2 = —Н2 0. Таким образом, (3.33) отвечает замедляющейся вселенной. Рассмотрим случай В 0 . Положим В = —/J2, /І = /І. Интегрирование даёт решение Н = —= tan(V 2[i{t — t)), (3.40) JL v2 a = a \cos(v2fi(t — t))\ , (3.41) с ограничением на космологическое время 7Г 1 \t — t\ —-i= (3.42) 2 V 2/i Это решение не представляет интереса, потому что не содержит инфляционной стадии. Рассмотрим случай В 0. Положим В = z/2, v = \v\. В первом случае Н2 \ уравнение (3.30) даёт - = Н + Н = —Н + v (3.43) а с ограничением 2 2 , получаем решение v н = coth(v2z/( + tpi)), a = a (smh(v2v(t+ tpi))) . (3.44) (3.45) График решения (3.45) показан на рисунке 3.4 a 0 t Рис. 3.4. График решения (3.45) Рассмотрим решение (3.45). Используя начальное условие (0) = , т.е. вселенная имела планковский размер при = 0, выберем нормировку масштабного фактора (0) = 0 = 1. Тогда (3.45) преобразуется в Подставляя сірі = a (smh(y/2i (tpi))) , 2o = CL sinh (л/ о) = 1 H = —v sinh- [y2v{t + tpi)) (3.46) (3.47) (3.48) в (3.32), получим: К = fv sinh {y2v{t + tpi)), (3.49) V = —f — f\—2v sinh (y2iy(t + tpi))+3—coth (y2v(t + »/))) (3.50) 2 2 Можно заметить, что ускорение - = Н2 + Н = —Н2 + v2 = 0 может изменить решения (3.45) в момент времени coth {\[2v{t + tpi)) = 2, а значит, замедленное расширение сменится ускоренным. Таким образом, это решение может отвечать постинфляционной стадии вселенной.

Класс точных решений в f(R) гравитации с R = 0

Уравнения (3.90) и (3.89) позволяют нам исследовать поведение скалярного поля. На графиках мы сравниваем кинетическую и потенциальную энергию для ОТО с выбранной моделью (3.88). Для того, чтобы получить графики для ОТО, мы просто полагаем, что Л = 0 в (3.90) и (3.89).

Чтобы выбрать параметры модели (3.88), будем следовать логике, приведённой в [12]. Для того, чтобы спектральный индекс ns первичного энергетического спектра соответствовал индексу, определённому по каталогам галактик с одной стороны, и космическому микроволновому излучению с другой, мы устанавливаем параметр модели п = 2. Тогда, чтобы модель оставалась стабильной, мы можем рассчитать нижний предел для параметра Л, который определяется следующим образом:

В этом разделе мы рассматриваем применение Параметризованного Постньютоновского формализма (ППН) [78, 79] к микролинзированию. И для оценки эффекта, который может дать модификация теории гравитации в наблюдаемые данные микролинзирования, мы воспользуемся методом численного компьютерного моделирования, предложенным И. Вамбсгансом [80], обобщив его с помощью ППН.

Так как мы рассматриваем микролинзирование, то имеем множество эффектов линзирования, в которых вполне применим предел слабого поля для гравитации, а следовательно - ППН.

ППН - широко применяемый инструмент для проверки теорий гравитации, и параметры ППН уже рассчитаны для множества моделей гравитации [78]. В ППН угол отклонения для гравитационного линзирования выражается следующим образом [79]: \ 0 1 + 7 / І=\ х х где у - координата в плоскости источника, х координата в плоскости линзы, 7 сплющивание, тс - поверхностная плотность массы, ті - масса г-ой линзы. Это уравнение записано в единицах радиуса Эйнштейна, т.е. в качестве масштаба для измерения длины в плоскости линзы выбран радиус Эйнштейна

Таким образом, мы можем использовать = 1.00028 как максимальное значение для оценки влияния модифицированных теорий гравитации. Изменив в параметрах компьютерного моделирования , получаем следующий образец увеличения 3.10. Таблица 3.1. Параметры компьютерного моделирования

Также мы можем построить разницу между образцами увеличения для 7ррп = 1 и Тррп = 1.00028, и также смоделировать, как будет выглядеть кривая светимости звезды. Как видно из графика 3.11, разница в моделировании микролинзирования в ППН и ОТО заметна только в местах высокой плотности распределения массы в плоскости линзы. Как видно из кривой светимости, демонстрирующей разницу между моделированием в ОТО и в ППН, разница эффектов микролинзирования в ОТО и ППН мала и не может быть детектирована в ближайшем будущем.

Получен и исследован класс точных решений в f(R) гравитации для пространств с постоянной скоростью эволюции скалярной кривизны R = const. Показано, что с помощью начальных условий, отвечающих современной вселенной, можно получить константы интегрирования.

С помощью компьютерного моделирования показано, что эффекты модифицированных теорий гравитации вносят незначительный вклад в наблюдаемые эффекты микролинзирования, а следовательно - не могут быть детектированы в ближайшем будущем.