Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Описание кулоновской системы трёх тел 12
1.1. Введение 12
1.2. Метод сильной связи каналов со сходимостью 14
1.3. J-матричный подход 19
1.4. Метод обобщённых штурмовских функций 24
1.5. Метод внешнего комплексного скейлинга 26
Глава 2. Одночастичные квазиштурмовские функции 28
2.1. Введение 28
2.2. Формулировка проблемы 29
2.3. Квази-штурмовские функции 33
2.4. Пример 38
2.5. Заключение 46
Глава 3. Квазиштурмовский базис в кулоновской задаче трёх тел 47
3.1. Введение 47
3.2. Геометрия эксперимента 49
3.3. Квази-штурмовские базисные функции 51
3.4. Решение уравения 60
3.5. Результаты и обсуждение 63
3.6. Заключение 67
Заключение 76
Список литературы
- Метод сильной связи каналов со сходимостью
- Метод внешнего комплексного скейлинга
- Квази-штурмовские функции
- Квази-штурмовские базисные функции
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Задача рассеяния с участием трёх заряженных частиц является одной из фундаментальных нерешённых проблем теоретической физики атомов и молекул. В атомной физике актуальными c точки зрения изучения корреляции электронов представляются реакции двойной ионизации. Настоящая работа посвящена построению корректной волновой функции двухэлектронного континуума, который возникает как конечное состояние в реакциях (, 3) и (, 2).
Существуют различные методы построения волновой функции состояния непрерывного спектра системы трёх заряженных частиц, которые эффективно работают при низких энергиях. Однако существенна проблема применимости этих методов при высоких энергиях, когда открывается большое число каналов. В таких случаях волновая функция системы трёх тел принадлежит непрерывному спектру, а граничные условия в конфигурационном пространстве имеют очень сложный вид и соответствуют множеству двух- и трёхчастичных каналов. Существенное усложнение картины асимптотического движения частиц происходит из-за наличия в системе дальнодействующих сил.
Несмотря на то, что принципиальные вопросы описания систем двух и трёх тел с кулоновским и сильным взаимодействием на основе уравнений Шре-дингера и Фаддеева-Меркурьева разрешимы [7], очень сложной остаётся вычислительная реализация расчета наблюдаемых рассеяния составных заряженных частиц. Поэтому практическое применение существующих методов невозможно без использования приближений, последствия которых, однако, очень трудно оценить. В связи с этим в настоящее время продолжаются активные поиски новых независимых методов учёта кулоновского взаимодействия в системе нескольких тел.
Стоит отметить, что аналитическое решение удаётся найти лишь в некоторых специальных случаях. Так, например, в результате исследований, проделанных в работах [7,], получено решение для волновой функции трёхчастич-ного кулоновского континуума (в области конфигурационного пространства, где расстояние между частицами значительно превышает характерный размер системы). В работе [] рассмотрен предельный случай, при котором значение одной координаты Якоби значительно превышает значение другой. Существуют также альтернативные подходы. Так, например, авторы работы [10] применяют к трёхчастичному гамильтониану так называемое унитарное кулоновское Фурье-преобразование, что позволяет исключить из него кулоновское взаимодействие. В работе [] по исследованию состояния низкоэнергетической фрагментации атомной системы также производится аппроксимация решения уравнения Шредингера для трёхчастичного континуума. Кроме того, существуют методы теоретического исследования рассеяния без использования волновых функций непрерывного спектра.
Развитию методов описания процессов рассеяния с участием трёх заряженных частиц, основанных на прямом численном решении уравнения Шре-дингера, во многом способствовало возрастание вычислительных возможностей компьютерной техники. Среди таких подходов можно выделить: метод сильной связи со сходимостью (convergent close coupling) (CCC) [], метод внешнего комплексного скейлинга (exterior complex scaling) (ECS) [13], метод -матрицы [], метод -матрицы, прямой метод конечных разностей (direct fnite-diference method) (FDM), метод сильной связи каналов с псевдосостояниями. Общей чертой для всех этих методов является использование поведения волновой функции в состоянии кулоновского континуума в качестве граничных условий задачи. Существенны также значения энергий системы по отношению к пороговой энергии трёхчастичного развала. При значениях ниже этого порога открыты только бинарные каналы, и все вышеперечисленные методы обычно без трудностей применяются в сочетании с некоторыми приближениями. Если же энергия превышает значение порога развала, то решение должно удовлетворять граничным условиям в асимптотической области. Так, например, применение упомянутых подходов к задаче ионизации водородоподобного атома электронным ударом уже ограничено. Во всех этих подходах задаётся корректное поведение волновой функции во “внутренней” области конфигурационного пространства. Информация же об амплитуде ионизации извлекается из условия сшивки решения с граничными условиями в области трёхчастичного континуума. Эти граничные условия задаются с использованием некоторого приближения, отличного для каждого из подходов. В методе сильной связи каналов со сходимостью, например, они определяются путём дискретизации состояний мишени в асимптотической области. Амплитуда перехода процесса ионизации получается перенормировкой псевдосостояний атома по соответствующим состояниям истинного континуума []. Псевдосостояния здесь задаются квадратично интегрируемыми функциями. Однако состояния асимптотической области в этих подходах определяются произведением двух кулоновских волн, которые соответствуют движению электронов в полях с фиксированными зарядами. Другими словами, такая аппроксимация не учитывает межэлектронной корелляции. По этой причине фаза амплитуды перехода реакции как функции радиуса сшивки расходится. Авторы работы [] предлагают так называемую теорию ионизации атомов электронным ударом для того, чтобы обойти данные ограничения и устранить неоднозначное определение фазы амплитуды рассеяния.
Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состояла в формулировке метода описания трёхчастичного кулоновского континуума в процессе двукратной ионизации атома.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
построение базисов для описания непрерывного спектра кулоновской системы трёх тел;
разработка алгоритмов решения неоднородного уравнения Шрёдингера
кулоновской трёхтельной задачи с граничными условиями в виде расходящейся шестимерной сферической волны;
применение предложенного метода к решению задачи двукратной ионизации атома гелия ударом высокоэнергетичного электрона.
Научная новизна.
Предложены квазиштурмовские функции в качестве базисных при описании состояний непрерывного спектра квантовых систем. Получено представление функций в замкнутом аналитическом виде. Преимущества метода проиллюстрированы на примере двухчастичной задачи рассеяния.
Выполнено обобщение одночастичных квазиштурмовских функций на случай трёх заряженных частиц. Двухчастичные базисные функции получены по аналогии с функцией Грина для двух невзаимодействующих во-дородоподобных атомных систем в виде интеграла-свёртки двух одноча-стичных квазиштурмовских функций. Полученные таким образом двухчастичные квазиштурмовские функции (в отличие от простого произведения двух одночастичных) ведут себя асимптотически как шестимерная расходящаяся сферическая волна.
Построенные двухчастичные квазиштурмовские функции применены к описанию (e,3e) процесса на атоме гелия. При этом использовался подход, эквивалентный первому борновскому приближению, основанный на неоднородном уравнении Шрёдингера. Решение этого уравнения получено в виде разложения по базису двухчастичных квазиштурмовских функций. Исследована сходимость разложения. Результаты для дифференциального сечения согласуются с расчётами других авторов.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является теоретическим и прикладным исследованием. Полученная в диссертации в контексте базисов квазиштурмовских функций волновая функция кулоновской системы трёх тел может быть использована, например, при теоретическом описании процессов ионизации атомов электронным ударом ((, 2) и (, 3) реакции) или двойной фотоионизации ((, 2) реакция).
Результаты, представленные в диссертационной работе, могут найти применение в теоретических исследованиях процессов ионизации ударом электрона, двукратной фотоионизации, которые проводятся в российских и зарубежных научных центрах, например, ТОГУ (г. Хабаровск), ОИЯИ (г. Дубна), НИИЯФ МГУ (г. Москва), в Университете Лотарингии (Франция), в Южном Национальном Университете (г. Буэнос-Айрес, Аргентина).
Методология и методы исследования. В работе используются методы квантовой теории столкновений и теории спектрального разложения операторов.
Положения, выносимые на защиту:
Введены новые квазиштурмовские (КШ) функции, получаемые как решение неоднородного уравнения Шредингера двухчастичной задачи рассеяния. Получено аналитическое представление функций в замкнутом виде.
Новые базисные функции применены к задаче потенциального рассеяния. Показано, что эффективность предложенного метода сопоставима или выше по сравнению с существующими подходами.
Сделано обобщение квазиштурмовских функций на случай трёхчастичной кулоновской системы. Предлагаемые функции получены в виде свёртки двух квазиштурмовских (СКШ) функций от относительных координат частиц. При этом выполнено аналитическое продолжение квазиштурмов-ских функций в область комплексных импульсов и найден соответствующий контур интегрирования.
Полученные СКШ функции использованы в качестве базисных при решении неоднородного уравнения Шредингера. Исследована сходимость решения в зависимости от числа используемых базисных функций. Результаты для дифференциального сечения согласуются с экспериментальными данными по форме (но не по амплитуде) и расчётами других авторов.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась сопоставлением полученных данных с результатами теоретических расчетов других авторов и результатами экспериментов.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
Десятая региональная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Владивосток, 2011 г.);
Двенадцатая региональная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Хабаровск, 2013 г.);
XVI краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2014 г.);
Международная конференция «Nuclear Theory in the Supercomputer Era» (Хабаровск, 2014 г.);
Международная конференция «Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces» (Мец, Франция, 2014 г.);
Всероссийская молодежная научная конференция «Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, 2014 г.);
XVII краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2015 г.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1–], один тезис докладов [] и 2 статьи в сборниках трудов конференций [,].
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автор принимал непосредственное участие, как на этапах постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчётов, а также обсуждения полученных результатов, на всех этапах, в работах, сделанных в соавторстве с научным руководителем. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 86 страниц, из них 77 страниц текста, включая 22 рисунка. Библиография включает 93 наименования на 9 страницах.
Метод сильной связи каналов со сходимостью
Большое разнообразие подходов к изучению явлений атомной и молекулярной физики во многом определяется степенью изученности задачи трёх тел. Данная проблема, как и вообще задача нескольких частиц, является одной из фундаментальных проблем физики, явный вид точного решения которой остается неизвестным (несмотря на существование [1–3]). В последние годы в этом направлении проводятся многочисленные теоретические исследования с использованием различных приближенных методов (см., например, [4–12]). В частности развитию методов исследования процессов рассеяния способствовало появление быстродействующих компьютеров (см., например, [19–21,25–29]).
Многие атомные и молекулярные процессы в диапазоне высоких энергий представляют одновременно протекающие процессы возбуждения и ионизации, двойной ионизации или многократной ионизации некоторых электронов в системе. Такие процессы не могут рассматриваться в рамках стандартных ab initio методов, направленных на изучение структуры, поскольку излучаемые электроны разбросаны по всему пространству. Также возникает трудность в описании данных процессов с использованием методов, разработанных для описания атомных столкновений, так как в общем случае связанные электроны обычно рассматриваются в некоторых приближениях. Кроме того, лишь немногие методы позволяют точно описать состояние континуума электронов при одновременном задании корректного связанного состояния процесса столкновения.
Далее мы рассмотрим подробнее некоторые методы исследования процессов рассеяния с участием трех заряженных частиц на основе прямого численного решения уравнения Шредингера. В любом из нижеописанных методов при описании процессов ионизации встаёт вопрос о учёте межэлектронного взаимодействия. Так, например, в приближении независимых электронов, большинство значений энергий налетающих частиц, достигаемых на практике, может передаваться посредством электромагнитного поля только одному электрону. Изменение квантового состояния второго и последующих электронов может происходить только за счёт межэлектронных корреляций. Эта корреляция понимается в широком смысле как способность электронов в отсутствии внешнего поля или взаимодействия изменять определённый набор индивидуальных квантовых чисел. Некоррелированные электроны в основном состоянии характеризуются главным, угловым и магнитным квантовыми числами , , , соответственно. Наличие корелляции в основном состоянии сводит эти числа к приближённым параметрам. Так, пара электронов основного 12 состоянии атома гелия могут находиться с некоторой вероятностью в 22, 22 и более высоких возбужденных состояниях. В состоянии же непрерывного спектра, коррелированный электрон характеризуется его энергией и импульсом k. Однако из-за упругого либо неупругого рассеяния на электронах других атомов, эти квантовые числа могут изменяться.
По описанной выше причине, двукратная и многократная ионизации атома происходят за счёт электронных корреляций, как в основном состоянии так и в состоянии континуума. В работе [37] была произведена оценка степени влияния выбора волновой функции основного состояния атома гелия на величину матричного элемента перехода в реакции (, 2). В частности, при учёте существенности вклада, обусловленного учетом корреляции электронов в волновой функции начального состояния , было показано, что расхождение абсолютных значений матричного элемента, полученных для различных волновых функций начального состояния системы, может достигать пятидесяти процентов, что подтверждают и другие работы [43–45]. При этом не учитывалось взаимодействие электронов в конечном состоянии, т. е. волновая функция конечного состояния была выбрана в виде произведения двух кулоновских волн [46]. Здесь и далее мы используем атомные единицы (h = е = те = 1).
Одним из методов описания волновой функции состояния непрерывного спектра системы на языке квадратично интегрируемых функций, признанных наиболее точным, является метод сильной связи каналов со сходимостью (CCC) [14-17,47,48]. В этом подходе (так же, как и в методе псевдосостояний) непрерывный спектр выделенной двухчастичной подсистемы заменяется конечным набором уровней с положительной энергией.
В методе сильной связи каналов внутренние состояния мишени используются в качестве базиса для разложения полной волновой функции. Базисный набор состояния мишени, очевидно, должен быть ограничен в реальных вычислениях, поэтому изначально применение метода было ограничено использованием нескольких состояний спектра. В конце 1960-х, стало известно [32], что расчётная сходимость сечений процесса может быть ускорена путем включения положительной энергии “псевдосостояний” в разложении, получаемой как правило диагонализацией гамильтониана мишени в базисе квадратично интегрируемых функций. При разложении по методу сильной связи каналов для достижения сходимости для состояний мишени должны выполняться условия полноты в области взаимодействия. Авторы работ [14,15] смогли достичь этого в практических расчетах путем систематического роста псевдосостояний схеме метода CCC, и показали, что нефизические структуры, которые, как правило, появляются в поперечных сечениях вблизи порогов псевдосостояний, в конечном итоге исчезают. Они также показали, что сумма сечений возбуждения в псевдосостояниях с положительной энергией даёт точное представление полного сечения ионизации. Аналогичные результаты были достигнуты и с другими методами сильной связи, таких как метод Л-матрицы [49].
Метод внешнего комплексного скейлинга
Задача рассеяния с участием трех заряженных частиц является одной из фундаментальных нерешённых проблем теоретической атомной и молекулярной физики. Главная сложность в описании состояния континуума трех заряженных частиц заключается в формулировке асимптотических свойств волновой функции системы.
В последнее десятилетие были развиты новые ab initio подходы к построению решений трехчастичной проблемы рассеяния (см., например, обзор [82]). Метод ECS (см. работу [59] и цитируемую в ней литературу) в ряде случаев позволяет решить проблему без явного использования асимптотических граничных условий. В частности, ECS метод преобразует исходную проблему в краевую задачу с нулевыми граничными условиями. Попытка распространить ECS подход на случай дальнодействующих потенциалов была также предпринята в работах [80,83]. В некоторых других подходах для аппроксимации асимптотики состояния трехчастичного континуума используются произведения двух кулоновских волн с фиксированными зарядами. В методе CCC [15, 17, 18] и методе -матрицы [84, 85] проблема решается в представлении базисов лагер-ровских функций. В этих подходах исходная задача формулируется в виде интегрального уравнения типа Липпмана-Швингера, ядро которого, вообще говоря, некомпактно. В свою очередь, метод GSF [86, 87] преобразует задачу в неоднородное уравнение Шредингера с квадратичео интегрируемой правой частью. Одночастичные обобщенные штурмовские функции с заданным асимптотическим поведением получают как результат численного решения проблемы Штурма-Лиувилля. Неоднородное уравнение GSF метода решают путем разложения по базисным функциям, которые представляют собой произведения двух обобщенных штурмовских функций с асимптотикой в виде расходящейся волны каждая [81].
В данной главе мы предлагаем для описания состояния континуума куло-новской системы трех тел использовать набор двухчастичных функций, построенных с применением КШ функций [88]. Соответствующие двухчастичные базисные функции строятся по аналогии с функцией Грина двух невзаимодействующих водородоподобных систем как интеграл-свертка двух одночастичных КШ функций. Аналитическое представление КШ функций позволяет легко найти подходящий контур интегрирования, удобный для численных расчетов. Мы назвали эти базисные функции сверткой квазиштурмовских функций (сonvoluted Quasi Sturmian) (СКШ). Заметим, что своему построению CКШ функция (в отличие от просто произведения двух одночастичных функций) ведет себя асимптотически (при ) как шестимерная расходящаяся сферическая волна.
Мы применили CКШ функции к решению проблемы двойной ионизации атома He. При этом мы воспользовались формализмом [81], эквивалентным первому борновскому приближению, который был недавно разработан для описания процесса двойной ионизации атома гелия в результате столкновения с вы-сокоэнергетичным электроном. Здесь исходная проблема четырёх тел сводится к трёхчастичной, в которой динамика двух выбитых электронов заключена в неоднородном уравнении Шредингера с квадратично интегрируемой правой частью. Мы решаем это уравнение путем разложения по базису CКШ функций и исследуем свойства сходимости такого разложения. Заметим, что асимптотика CКШ функций в так называемой трехчастичной области 0, где все три частицы сильно удалены друг от друга, не является адекватной, поскольку в ней отсутствует фазовый множитель, отвечающий кулоновскому взаимодействию электронов. Следовательно, вопрос эффективности применения такого метода разложения остается открытым. Удивительно, что несмотря на некомпактность уравнения на данном базисе, сходимость результатов была достигнута. Более того, результаты оказались в хорошем согласии по форме (но не по абсолютной величине) с экспериментальными данными [89] и другими ab initio расчетами [48].
Подробное описание методики эксперимента изложено в работах [89, 90]. Существенной особенностью является то, что импульсы регистрируемых частиц лежат в одной плоскости. Данная плоскость рассеяния определяется векторами импульсов налетающего k и рассеянного k электронов (см. рис. 3.1). При этом атому мишени передаётся импульс q = k - k. Выбитые электроны регистрируются с импульсами k1 и k2 с использованием двух идентичных тороидальных анализаторов, оснащенных позиционно-чувствительными детекторами. При наблюдении рассеянного электрона под фиксированным углом, осуществляется так называемый эксперимент на тройное совпадение. То есть определение всех кинематических параметров производится из требования одновременного выполнения законов сохранения импульса и энергии для выбранной тройки детектируемых электронов. Это позволяет измерить пятикратное дифференциальное сечение (fvefold diferential cross section) (FDCS) по отношению к трём телесным углам вылетающих электронов и энергий двух из них (энергия третьего известна из закона сохранения энергии). Компланарная кинематика является естественной, потому что пара векторов (k,k) однозначно задают плоскость, и вектор q лежит в этой плоскости. Таким образом, нет передачи импульса атому мишени вне плоскости. (, 2) эксперименты показали, что некомпланарная геометрия преобладает в эффектах более высоких порядков, и такая кинематика не дает существенного вклада в полное сечение.
Квази-штурмовские функции
Индекс / используется для обозначения быстрого рассеянного электрона. EJJJ -потенциал двойной ионизации атома мишени ( 79 эВ). Быстрые рассеянные электроны с энергией Ef = 5500 эВ проходят через серию прорезей под выбранным углом, а затем детектируются с высокой точностью на сцинтилля-торе-фотоумножителе. Вектор переданного импульса здесь считается фиксированным. Из симметрии относительно 0 из несовпадающих интенсивностей упругого и неупругого рассеяний измеряется значение угла рассеяния. Испущенные электроны с энергиями Ei = Е2 = 10 эВ регистрируются тороидальными анализаторами в плоскости столкновения (kj,k/) внутри полезных угловых диапазонов 20 в\ 160 и 200 02 340. Как уже отмечалось, в данном эксперименте проводятся так называемые измерения на тройное совпадение. То есть, зарегистрированному рассеянному электрону, выбирается такая пара выбитых электронов, достигающих позиционно-чувствительный детектор, параметры которой соответствует выполнению законов сохранения.
В рамках подхода к описанию (е,3е) процесса, изложенного в работе [81], четырёхчастичное уравнение Шредингера сводится к следующему неоднородному уравнению для системы трёх тел (е , е , Hе++) = (1,2,3): Ф )(гі,Г2) — волновая функция основного состояния атома гелия. Оператор возмущения Wfi записывается как WfAri, г2) = т—г -5(—2 + ещ Гі + e q r2), (3.4) где q = k — к/ переданный атому импульс, k и к/- — импульсы налетающего и рассеянного электронов соответственно.
Мы предлагаем искать решение неоднородного уравнения (3.1) в виде разложения искомой функции:
Для того, чтобы получить выражение для Qmn2 , удовлетворяющее граничным условиям в виде расходящейся волны, мы используем функцию Грина ( v(+) (Е) (которая является оператором формально обратным к левой части уравнения (3.8)), представимую в виде интеграла-свертки [91] (W(+) (E) dS 1(+)(v2S) 2(+)(у2(Е — )), (3.12) 2тГІ Сі где контур интегрирования С1 на комплексной плоскости энергии Е проходит выше разреза и соответствующих связанным состояниям полюсов функции Грина l(+) (см. рис. 3.2). Чтобы обойти эти сингулярности мы, следуя методу [91], поворачиваем контур относительно точки Е/2 на некоторый угол —7Г ср 0. При этом часть прямолинейного конура С2 (изображенная на рис. 3.2 штриховой линией) оказывается на нефизическом листе энергии (—2ТТ arg() 0). Re Рис. 3.2. C\ путь интегрирования свёртки (3.12). Полюса, соответствующие собственным энергиям G 1 +\\2Е), отмечены кружками. Серая линия - полоса разреза листов. Повёрнутый контур Сг проникает в область нефизических энергий. В результате для СКШ функций получаем разложение по лагерровским базисным функциям (3.10) в виде п г,п где коэффициенты G \ і (Е) совпадают с элементами функции Грина (3.12) на функциях Фп1{г\) ф 2{г2)/{г\Г2). Напомним, что матричные элементы одноча-стичной функции Грина Gn,n (к) выражаются через два линейно независимых J-матричных решения [23,57]: (3.14)
Для вычислений СКШ на больших расстояниях более удобным представляется применение контурного интеграла (3.16), а не разложения (3.13). Каждая из двух КШ функций может быть представлена в виде интеграла (2.32) [88].
Используя представление (3.12) для функции Грина G 2 +\E) решение уравнения (3.8) относительно Qnin2 ( !rbr2j можно записать в виде:
При выборе контура интегрирования С следует учесть, что в случае С = С2 часть этого прямолинейного контура, которая изображена на рис. 3.2 пунктирной линией, попадает на нефизический лист энергий (—2тт arg() 0). С другой стороны, Qn (V2с; г) экпоненциально растет с ростом Im(t) в нижней полуплоскости комплексной / -плоскости. Для обеспечения сходимости интеграла (3.16) мы деформируем C l таким образом, что результирующий контур Сз, показанный на рис. 3.3, асимптотически приближается к вещественной оси. В частности, энергия Е вдоль контура Сз параметризуется функцией (3.20) Z = t + iD{ f) 1+ 2 где D — положительная константа, а t пробегает от оо до — оо. В общем случае существуют точки на контуре Сз, в которых Re( + if3) — 1 и, таким образом, подынтегральное выражение в (3.19) имеет особенность на границе z = 1. Для исключения этой сингулярности мы применяем следующую процедуру. Пусть М — минимальное положительное целое число, такое что — М Re( + if3). Тогда, интегрируя (3.19) по частям М — 1 раз и полагая, что первообразные обращаются в нуль на границе z = 1, мы получаем интеграл, который уже можно вычислить численно.
В качестве проверки нашего метода аналитического продолжения функций Q„ (к; г) на комплексную / -плоскость, мы вычислили СКШ функцию Q00 {Е]Г\1Г2) с помощью интеграла (3.16) вдоль контура С . Здесь мы положили значение энергии Е равным 0.735, а параметр базиса Ъ выбран совпадающим с Z — 5/16 = 1.6875 (Z = 2). Мы выбрали D = 0.85, для которого М = 3.
Квази-штурмовские базисные функции
Наши численные расчеты показали, что значение интеграла-свертки (3.15) вдоль контура Сз совпадает с результатом вычисления интеграла вдоль прямолинейного контура С2. Заметим, что подынтегральное выражение в (3.15) не содержит экспоненциально расходящихся множителей (в отличие от функции под интегралом (3.12)).
В наших расчетах мы полагали N в уравнении (3.51) равным числу КШ функций (для каждой из координат г\ и TQ). Для проверки применимости нашего подхода в сочетании с приближением (3.51) мы исследовали свойства сходимости разложения с ростом числа N.
Мы применили описанный выше метод к решению проблемы двойной ионизации Не электронным ударом. Измерения соответствующего дифференциального сечения были выполнены Орсе группой [89]. Была выбрана компланарная геометрия the (е, 3е) процесса с энергией налетающего электрона EQ = 5599 эВ и малым переданным импульсом q = 0.24 а.е. При фиксированной величине вылета одного из электронов, скажем, в\ значения FDCS измерялось как функция угла вылета 02 второго электрона.
Энергии двух электронов были равны Е\ = Е2 = 10 эВ, так что Е = 0.737 а.е. Таким образом, при ф = т имеем m = Р2 = к-\ = ко = 0.859. Что касается выбора масштабного параметра А заметим, что синусоподобное J-матричное решение (2.10) зависит от волнового числа к через его зависимость от си (2.11). Таким образом, кажется интуитивно очевидным, что параметр Л должен быть выбран таким образом, чтобы величина си была далека от своих пределов сио = ±1. Другими словами, Л должно быть сравнимым с &і;2. В наших расчетах мы использовали Л = 0.78.
Заметим, что асимптотическое поведение (3.27) двухчастичных КШ функций (3.16) зависит от индексов п\ и щ. Из (2.10) следует, что эту зависимость можно исключить путем деления (3.16) на Afy fa)Aff fa), где Ап{к) = [{п + 1)2 +1] ( и)п 2 i (—ni + 1 + %OL\ 2 + 2; 1 — и ) . (3.53) Тот же результат можно получить, используя модифицированные одночастич-ные КШ функции Q + (k; г) = Q + (k; г)/Ап{к) (3.54) под интегралом (3.16). Чтобы проиллюстрировать применение представления в виде интеграла-свертки (3.16), мы приводим на рис. 3.6-3.9 несколько модифицированных CКШ функций «Йд+ (;п,г2; 27ГІ С3 d8 Q + (v28;ri)Q + (\/2(E — Е)\Г2) (3.55) при 1\ = І2 = 0 на диагонали г\ = г2 = р/л/2. Энергия 8 на контуре Сз параметризуется в соответствии с выражением (3.20).
Вещественная и мнимая части КШ функций Qnir{\ (3.55) для больших р показаны на рис. 3.8 и 3.9. Для сравнения мы также привели вещественную и мнимую части соответствующего асимптотического представления (3.27) Q00 (сплошная черная линия).
Для нахождения волновой функции Ф основного состояния атома гелия мы диагонализировали матрицу гамильтониана (3.2) в базисе
При этом мы ограничились тоаж = 5 и птах = 20. Выбирая значение базисного параметра bo = 1.688, мы получили EQ = -2.903542 а.е. для энергии основного состояния.
Мы также ограничились максимальной величиной полного углового момента Lmax = 2 и положили максимальные значения квантовых чисел 1\ и І2 равными 3 в разложении (3.5). Мы исследовали сходимость дифференциального сечения с ростом числа N одночастичных КШ функций Q„ и Qn2 , Пі,П2 = 0,..., N - 1 (3.17), используемых в расчетах. Очень хорошие свой 66 ства сходимости нашей численно процедуры демонстрируется на рис. 3.10, где показано FDCS (3.36) при в\ = 27, вычисленное с различными N. Этот результат удивляет, учитывая недостаток асимптотического поведения CКШ базисных функций (3.16), которое приводит к некомпактности уравнения (3.1). На рис. 3.11-3.16 мы привели результаты для FDCS (3.36) при различных значениях $і в сравнении с экспериментальными данными [89]. Мы также изобразили здесь результаты CCC расчетов [48]. ССС результаты хорошо согласуются с нашими и с экспериментом по форме, но не по абсолютной величине. CD CD
Итак, мы предложили двухчастичные базисные функции, которые назвали свёрткой квазиштурмовских (СКШ) функций. По аналогии с функцией Грина двух невзаимодействующих водородоподобных атомных систем эти функции представлены в виде интеграла-свертки двух одночастичных КШ функций. Решение приближенного трехчастичного неоднородного уравнения (3.1) основано на разложении по CКШ функциям. Асимптотический предел этих базисных функций в области Qo выражается аналитически в виде шестимерной расходящейся сферической волны. Это позволяет получить выражение для амплитуды 0,01 АСКШ
То же, что на рис. 3.8, но для мнимых частей. перехода через коэффициенты разложения. Была достигнута сходимость дифференциального сечения реакции He(е,Зе)He++. Подобно результатам работы других ah initio методов в нашем подходе форма экспериментальной кривой (но не абсолютная величина сечения) хорошо воспроизводится.
Заметим, что при построении базиса мы не учитывали межэлектронные корреляции, и, следовательно, асимптотическое поведение базисных функций не могло быть корректным. Таким образом, уравнение (3.1), решение которого раскладывается по этим базисным функциям является некомпактным (из-за присутствия кулоновского потенциала I/Y12 в левой части уравнения). 360
Тем удивительнее сходимость разложения (3.5), достигнутая в наших расчетах. Мы полагаем, что компактное уравнения можно получить домножая базисные функции на недостающий фазовый множитель, отвечающий электрон-электронным корреляциям. Использование модифицированных таким образом базисных функций CКШ (3.37) возможно позволит свести задачу к расчету волновой функции в ограниченной области пространства.