Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Влияние взаимодействия на кондактансы контактов квантовых нитей 9
1.1 Представление темы в современной научной литературе 9
1.1.1 Краевые геликоидальные состояния топологических изоляторов 12
1.2 Непертурбативная фермионная ренормгруппа 14
1.2.1 Модель 14
1.2.2 Приведенные кондактансы 15
1.2.3 Ренормгрупповые уравнения 17
ГЛАВА 2 Туннелирование между геликоидальными краевыми состояниями 19
2.1 Устройство контакта 19
2.1.1 Токи и кондактансы 21
2.1.2 -матрица 22
2.2 Туннелирование между геликоидальными состояниями 25
2.2.1 Симметричный случай 26
2.2.2 Асимметричный случай 29
2.3 Выводы 32
ГЛАВА 3 Туннелирование в геликоидальные краевые состояния 34
3.1 Неполяризованный зонд 34
3.1.1 Устройство контакта 34
3.1.2 Учет недиагональности взаимодействия 36
3.1.3 Анализ РГ уравнений 37
3.2 Поляризованный зонд 41
3.2.1 Устройство контакта 42
3.2.2 Анализ РГ уравнения 46
3.3 Выводы 53
ГЛАВА 4 Неоднозначность в определении ренорм- групповых уравнений кондактансов 56
4.1 Устройство контакта 57
4.1.1 Токи и кондактансы 57
4.1.2 -матрица 59
4.2 Явление неопределенности РГ потока 60
4.3 Выводы 64
Заключение 65
Список литературы
- Непертурбативная фермионная ренормгруппа
- Туннелирование между геликоидальными состояниями
- Учет недиагональности взаимодействия
- Явление неопределенности РГ потока
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Изучение низкоразмерных систем является в настоящее время бурно развивающейся областью современной физики конденсированного состояния. Этому способствует активная миниатюризация электроники: дальнейшее уменьшение трехмерных объектов приводит к сильному размерному квантованию движения электронов. Если движение электронов ограничено по двум направлениям, то полученные квазиодномерные объекты называют квантовыми проволоками (quantum wires). Недавние успехи в их практической реализации мотивируют дальнейшее теоретическое исследование таких систем. Среди примеров квантовых нитей можно указать углеродные нанотрубки, цепочки металлических атомов, краевые состояния двухмерного электронного газа и, в том числе, краевые состояния двухмерных топологических изоляторов.
В последние годы большой интерес привлекают топологические изоляторы - новый класс веществ, которые являются диэлектриками внутри, но имеют проводящие состояния на границе. Из-за сильного спин-орбитального взаимодействия эти состояния геликоидальны, то есть спин электрона и направление его движения связаны - электроны с противоположными спинами движутся в противоположные стороны. В контакте с участием геликоидальных состояний (ГС) это может приводить как к асимметрии в транспорте электронов, так и к отсутствию электронов, рассеянных назад.
Квантовые нити могут рассматриваться как самостоятельные элементы и как элементы цепи предполагаемого электронного устройства. Например, стык нитей типа Т схематично можно воспринимать как транзистор: у него есть сток, исток и управляющий затвор. Кроме того, угловой контакт двух топологических изоляторов можно представить как крестообразный стык квантовых нитей. Поэтому важным представляется изучение прозрачности (кон-дактанса) различных контактов квантовых проволок.
Степень разработанности темы исследования.
Существуют два подхода для описания перенормировки кондактансов контакта квантовых нитей. В одном подходе используется техника бозониза-ции, которая учитывает взаимодействие между электронами в объеме проволоки точно, но описывает поведение кондактансов только вблизи их предельных значений - стационарных точек (СТ). В этом подходе были проанализи-
рованы: Т-образный контакт нитей с бесспиновыми фермионами [1], угловой стык двух краевых состояний топологических изоляторов ] и туннелирова-ние в краевое ГС топологического изолятора из нити с поляризованными по спину электронами ].
Другой, фермионный подход к перенормировке кондактанса учитывает электронное взаимодействие вдалеке от контакта по теории возмущений в формализме состояний рассеяния с помощью унитарной ^-матрицы. В этом подходе ренормгрупповые (РГ) уравнения, описывающие перенормировку кондактанса стыка произвольного количества нитей, были получены в первом порядке по величине взаимодействия, изучены контакты типа Т и X ]. Далее были учтены высшие порядки взаимодействия с помощью суммирования определенной последовательности "лестничного" типа ]. Были получены непертурбативные РГ уравнения, решения которых воспроизводят скей-линговые показатели, известные точно из техники бозонизации.
Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы заключается в изучении кондактанса стыков квантовых нитей типа Т и X, как в геликоидальном, так и в бесспиновом случае, методом фермионной ренормгруппы при непертурбативном учете взаимодействия. Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены задачи:
Исследовать туннелирование между ГС в случае, когда они имеют различные величины электронного взаимодействия: получить ренормгрупповые уравнения, изучить их СТ, построить фазовую диаграмму контакта и полные кривые скейлинга кондактансов.
Изучить туннелирование в ГС из неполяризованной нити: модифицировать "лестничное" суммирование на случай взаимодействия между нитями, провести ренормгрупповой анализ. Учесть возможность поляризации нити, рассмотреть асимметрию в транспортных свойствах такого контакта.
Проанализировать крестообразный контакт нитей с бесспиновыми фермионами: изучить возможность выражения ренормгрупповых уравнений через кондактансы, провести ренормгрупповой анализ.
Научная новизна. Впервые в подходе фермионной ренормгруппы с учетом взаимодействия в "лестничном" приближении были изучены кондак-
тансы различных контактов: стык двух ГС, ГС и нити, крестообразного контакта нитей с бесспиновыми фермионами. Получены полные кривые скей-линга кондактансов и фазовая диаграмма контактов. Обнаружено явление неоднозначного определения ренормгрупповых потоков кондактансов.
Теоретическая и практическая значимость. В результате проведённых исследований была показана эффективность применения фермион-ного подхода с учетом взаимодействия в "лестничном" приближении к описанию перенормировки кондактансов контакта ГС и нитей с бесспиновыми фермионами. Показано согласие этого подхода вблизи СТ с известными результатами, полученными в альтернативном методе бозонизации. Полученные результаты могут быть использованы для исследования квантовых нитей различной природы и их стыков с различной топологией.
Методология и методы исследования. Теоретическое исследование, проводимое в диссертации, использует как широко распространенные методы, такие как теория возмущений, формализм состояний рассеяния и ^-матрицы, так и специализированные подходы, применяемые для исследования одномерных систем - бозонизация и фермионная ренормализационная группа.
Положения, выносимые на защиту:
-
Получены уравнения ренормгруппы, описывающие поведение кондак-танса контакта между двумя квантовыми проволоками в ситуации, характерной для геликоидальных краевых состояний топологических изоляторов для случая отличающихся величин взаимодействия в проволоках. Построены полная фазовая диаграмма такого контакта и полные кривые скейлинга кондактансов.
-
Исследовано туннелирование из неполяризованной нити в геликоидальное состояние. Определенное соотношение между кондактансами такого контакта не перенормируется, что приводит к появлению стационарных линий в их ренормгрупповых уравнениях. При туннелировании из поляризованной нити асимметрия тока, втекающего в геликоидальное состояние, изначально задаваемая поляризацией спинов электронов в нити, перенормируется за счет взаимодействия совместно с туннельным кондактансом.
3. Получены ренормгрупповые уравнения кондактансов крестообразного контакта нитей с бесспиновыми фермионами. Показано, что в общем случае эти уравнения не могут быть полностью выражены в терминах кондактанса, но включают дополнительную дискретную фазуб'-матрицы Таким образом, существуют два ренормгрупповых потока для произвольного исходного значения кондактансов. Скейлинговые показатели таких потоков вблизи стационарных точек совпадают.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в работе выводов обеспечивается надежностью применяемых методов и подтверждена результатами апробации работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях по физике «В поисках фундаментальных симметрии» (Санкт-Петербург, 2014), «Quantum transport in one dimension» (Дрезден, Германия, 2015), «Localization Interaction and Superconductivity» (Черноголовка, 2016), на конференциях молодых учёных и специалистов «КМУС», (Гатчина, 2014, 2015), на школах ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния (Зеленогорск, 2015, 2016), на молодежном научном форуме «Open Science 2016» (Гатчина, 2016), а также на научных семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете и Петербургском институте ядерной физики
Публикации. Содержание диссертации полностью отражено в 3 статьях (без учета материалов конференций), опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций и входящих в базы данных Web of Science и Scopus. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Содержание и основные положения диссертации, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов выполнялась самостоятельно и совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены соискателем лично, либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 75 страниц с 15 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 85 наименований.
Непертурбативная фермионная ренормгруппа
Чтобы понять разработанность темы исследования и, соответственно, положение данной диссертации в современной науке приведем краткий обзор научной литературы.
Транспорт электронов, ограниченных в одном пространственном измерении, вблизи энергии Ферми описывается известной моделью жидкости Томонаги-Латтинджера (ЖТЛ). Существует множество обзоров по этой теме [10-18]. В основном они посвящены описанию одномерных электронов в терминах зарядовой и спиновой электронных плотностей - так называемый метод бозониза-ции [19]. Из последних обзоров можно упомянуть обзоры, посвященные изложению эволюции идей бозонизации и появлению модели ЖТЛ в том виде, в котором мы знаем его сейчас [20, 21] и обзор о применении анзаца Бете для точного решения интегрируемых фермионных моделей в одном измерении [22].
Одномерные фермионные системы имеют фундаментальные отличия от систем с большим количеством пространственных измерений, описываемых теорией Ферми жидкости Ландау [23, 24]. Так, поверхность Ферми в ID состоит только из двух точек —крікр, поэтому возбуждения вблизи нее могут иметь энергии только вблизи точек 0 и 2&р, в отличие от больших измерений. Кроме того, в таких системах отсутствуют одночастичные возбуждения совместно с отсутствием разрыва в функции плотности распределения фермионов на поверхности Ферми.
Развитие подхода бозонизации к описанию таких эффектов начинается в 1934, когда Блох при изучении некогерентной дифракции рентгеновских лучей воспользовался тем, что фермионы в ID имеют низкоэнергитичные возбуждения как у гармонической цепочки [25]. Эту идею Томонага использовал для изучения ID взаимодействующих фермионов в 1950 году [26] и заметил, что оператор фермионной плотности разделяется на моды движения направо и налево, удовлетворяя бозонному гамильтониану. Затем Латтинджер в 1963 году показал, что в основном состоянии средняя плотность распределения ферми-онов ведет себя степенным образом с аномальной размерностью зависящей от взаимодействия [27], то есть обнаружил отсутствие разрыва на поверхности Ферми при учете взаимодействия. В 1967 году в работе [28] было отмечено отсутствие одночастичного полюса в функции Грина. В фермионном подходе эти особенности были изучены в знаменитой работе Дзялошинского и Ларкина в 1974 году [29]. К 1981 году подход бозонизации полностью сформировался, появилось точное операторное равенство сопоставляющее фермионам бозонные поля [30].
Далее перешли к изучению контактов между несколькими одномерными фермионными системами. Известно, что прозрачность (кондактанс) контактов (стыков) квантовых нитей по отношению к электрическому току перенормируется из-за взаимодействия между фермионами в проволоке. В физическом случае электронного отталкивания при низких температурах и малых прикладываемых напряжениях кондактанс стремится к нулю по степенному закону, показатель которого определяется величиной взаимодействия. Имеются два подхода, разработанные для описания этой перенормировки кондактанса.
В одном подходе используется упомянутая выше техника бозонизации, в которой берется точное взаимодействие между электронами в объеме проволоки, а контакт рассматривается как граница. Система описывается в терминах киральных фермионных плотностей (токов), и на эти токи налагаются граничные условия. Определяются стационарные точки (СТ) воздействия границ, и возмущения вокруг них классифицируются по их скейлинговым показателям. Таким образом, можно судить о устойчивости различных СТ, т. е. о предельных значениях кондактанса, получаемых в процессе перенормировки.
Другой подход к перенормировке кондактанса был впервые сформулирован в пределе слабого взаимодействия в объеме. В этом подходе произвольный контакт описывается с помощью унитарной б -матрицы, определенной в отсутствие взаимодействия. Для п полупроволок, соединяющихся в одном контакте, эта матрица принадлежит группе U(n). Фермионные волновые функции задаются в формализме состояний рассеяния, и затем вычисляются поправки по взаимодействию к б -матрице. Эти поправки являются логарифмически расходящимися, что в конце концов приводит к уравнению ренормализационной группы (РГ) для -матрицы и кондактанса. Это так называемый фермионный подход.
Какие же контакты квантовых проволок описывались ранее? Начнем с работ, использующих технику бозонизации. Первой была решена задача о квантовой нити с одной примесью [31-33], ее можно воспринимать как простейший контакт двух полунитей. Далее был рассмотрен трех-терминальный контакт (другими словами контакт типа Т или Т-образный контакт) с неразличимыми полунитями [34], затем этот случай был обобщен для неравных величин взаимодействия в разных полунитях [35].
В фермионном подходе задача о нити с примесью была решена в работах [36, 37]. Затем было получено РГ уравнение для -матрицы контакта произвольного количества нитей в первом порядке по взаимодействию [38, 39]. Это уравнение было применено для рассмотрения ограниченного класса стыков типа Т и типа X (крестообразный контакт).
Далее фермионный подход был существенно улучшен в работах [40, 41] с помощью учета высших порядков взаимодействия и субглавных логарифмов в теории возмущений для кондактанса. С помощью суммирования появившегося ряда было получено непертурбативное уравнение РГ для кондактанса, решения которого прекрасно воспроизводят скейлинговые показатели, известные точно из подхода, использующего технику бозонизации. В частности, были рассмотрены перенормировка прозрачности примеси [40] и трех-терминального контакта [41-43].
Использование фермионного подхода для изучения перенормировки прозрачности крестообразного контакта уже в первом порядке по взаимодействию привело к обнаружению нового феномена - неоднозначности в определении РГ потоков кондактансов. Этот результат изложен в Главе 4 настоящей диссертации и опубликован в статье [7]. Это явление не может быть обнаружено в подходе бозонизации, так как скейлинговые показатели вблизи СТ остаются однозначными. Кроме того, его не существует в стыках с количеством нитей N 4. В фермионном подходе этот эффект для крестообразного контакта не был найден ранее, так как рассматривались достаточно узкие классы б -матриц.
Туннелирование между геликоидальными состояниями
Выведем общий вид б -матрицы для контакта краевых геликоидальных состояний в духе работы [68]. Помимо унитарности, S S = 1, необходимой для сохранения тока в контакте, для контакта краевых состояний можно потребовать инвариантность по отношению к обращению времени. Оператор обращения времени, действуя на волновую функцию электрона со спином s, меняет проекцию спина т, а для электрона со спином — 1/2 еще меняет знак перед волновой функцией: Тфа = (-1Га -а. (2.5) Тогда для вектора, составленного из фермионных in- состояний т = ( 1,т, 2,т, 3,т, 4,т), (2-6) (аналогично определяется вектор для out- состояний) мы имеем T in = Eoutl Tout = -Em) 12.7) где E = diag[1, — 1,1, — 1]. Так как б -матрица связывает in-/out- состояния out(x) = S {п(х) при х — 0, то должно выполняться условие S = -ESTE. (2.8)
Это означает антисимметричность матрицы ES. Из симметрии задачи матрица кондактансов не должна изменяться относительно перестановки нитей 1 -о- 2 и 3 -о- 4. Это условие можно выразить через квадраты модулей элементов -матрицы Yj = \S{j\ как где Y = XYX, /о 1 о o\ X = х 1 = 10 0 0 0 0 0 1 0 10/ Эти условия определяют вид -матрицы /О t f r\ S = t 0 -r f -f -r 0 t \r -f t o) 12.9) (2.10) (2.11) с комплекснозначными коэффициентами , /, г, которые удовлетворяют условию \t\ + 1/1 + \г\ = 1. Видно, что рассеяния назад в тот же канал запрещено. Далее, с помощью рефейзинга S — UlSU2, который, как было показано в разделе ?, не влияет на наш дальнейший анализ, мы можем привести б -матрицу к виду / 0 t / г \ (2.12) S t 0 rem -fem -/ reiu 0 em \ г /еш —tem 0 у теперь с вещественными величинами t, /, г, удовлетворяющими условию t2 + / + г = 1 и произвольной фазой и. Для такой б -матрицы перестановка нитей XSX меняет фазу и — 7Г — и в (2.12) с точностью до некоторой смены фазы.
Отметим, что для б -матрицы вида (2.11) всегда возможно выбрать такой частичный рефейзинг, что элемент / будет вещественным. В этом случае, можно показать, что б -матрица принадлежит симплектической группе Sp(2). Это замечание будет важно при обсуждении эффекта неоднозначности в определении ренормгрупповых уравнений для матрицы кондактансов в Главе 4. В итоге, мы можем параметризовать матрицу (2.12) с помощью двух углов t = cos /3 , г = cos 7 sin /3 f = sin7 sin /3, (2.13) что приводит нас к следующей матрице кондактансов: (2.14) G = d mg(GR,GD,Gs) = \{1 - YR) = ±diag[l - а, 1 - 6, 2 + а + &], где а = 2 sin /3cos27 — 1, & = cos 2/3. Область доступных значений кондактансов в плоскости ( 2,6) является треугольником с вершинами ( — 1,-1), (1,-1), ( — 1,1), как показано на Рисунке 2.3. Это утверждение, сделанное без учета электронного взаимодействия, верно и при его учете. Ниже будет показано, что РГ потоки, индуцируемые взаимодействием, никогда не выводят систему вне обсуждаемого треугольника, и кондактансы определяются величинами а и Ь. Это выражается в том, что кондактансы связаны соотношением GS = 2-GR-GD. (2.15)
В отсутствии процессов с переворотом спина, / = 0, появляется связь а = —Ь. Таким образом, область доступных кондактансов уменьшается до прямой между точками (1,-1) и ( — 1,1).
При учете взаимодействия структура б -матрицы (2.12) не изменяется, но элементы начинают перенормироваться в соответствии с формализмом, изложенном в разделе 1.2.3.
Вывод б -матрицы можно провести из более физических соображений. Пусть оси квантования спина в краевых состояниях совпадают. Это соответствует = О на Рисунке 2.1. Тогда спин в контакте сохраняется и б -матрица будет иметь разреженный вид Если же т 0, то одну из осей нужно повернуть, что приведет к изменению б -матрицы. Для этого получаем спиноры в рассеянных состояниях с помощью матрицы которая позволяет переставить out- состояния ф1/3out ф2/4,оы- После такой перестановки можно поворачивать ось квантования, например, в краевом состоянии 3-4, оператором где блок 2x2 справа внизу определяется стандартным выражением для поворота СПИНОРОВ е-шсгз/2е-гег2/2е-гаегз/2 с параметрами и, {;, а - углами Эйлера И а"2,3 матрицами Паули [74]. Итоговая /S-матрица определяется выражением S = US\\FU]F. (2.19) После некоторого рефейзинга она совпадает с видом, полученным ранее (2.12) в параметризации 2.13 при учете равенства = 2 .
Теперь можно перейти к описанию контакта с учетом электрон-электронного взаимодействия. Учета первого порядка по взаимодействию недостаточно. Впервые анализ стыка двух краевых состояний в фермионном подходе во втором порядке по взаимодействию для симметричного случая (константы взаимодействия в краевых состояниях одинаковы) проведен в работе [68]. Мы расширим это рассмотрение в рамках непертурбативной РГ и рассмотрим случай асимметричного стыка.
Учет недиагональности взаимодействия
Стационарная линия с положением Ь = — 1 является устойчивой везде, кроме области (j2 0 (то есть при К 1, коричневая область на Рисунке 3.3). Вторая стационарная линия является неуниверсальной. Ее положение зависит от величины взаимодействия и определяется условием F(po) = О, что дает bo = —(qf — q\ + #2 — 1)/( 7і + 42 — 2). Эта стационарная линия неустойчива. Она изображена черной линией на Рисунке 3.2 (Ь). На фазовой диаграмме 3.3 область ее существования соответствует синей области.
Появление стационарных линий в области физических кондактансов, обсуждалось в контексте стыка типа Y [43] при определенных соотношениях между параметрами взаимодействия. Можно найти скейлинговые показатели вблизи СТ (а, Ь) = ( —1,1): aFP = I (-#! - J-_ + З) , (3.12) и вблизи стационарной линии Ь = — 1 о K j(K2 - 1) ап = -\к1 + щк1 + к2) (злз) Граница между синей и белой областями на Рисунке 3.3 соответствует условию bo = 1, что означает арр = 0. Схожим образом, граница между коричневой и белой областями задается условием bo = —1 и о = 0, то есть К = 1.
Для иллюстрации поведения кондактансов два примера РГ потоков изображены на Рисунке 3.2. Слева константы взаимодействия выбраны из коричневой области рисунка 3.3, справа - из синей области. Если мы зафиксируем К\ и начнем увеличивать К2, то на малых К поведение РГ потоков соответствует Рисунку 3.2 (а). Затем, при К = 1, появится вторая стационарная линия в области физических кондактансов - треугольнике на плоскости (а, Ь). При дальнейшем увеличении К эта линия поднимается, и РГ потоки ведут себя в соответствии с Рисунком 3.2 (Ь). После пересечения неуниверсальной стационарной линией верхней точки треугольника (стационарную точку а = — 1, 6=1), т.е. выхода за физическую область кондактансов, только стационарная линия b = — 1 остается устойчивой. Это белая область фазового портрета на Рисунке 3.3.
Сравним наш результат (3.12) с подходом бозонизации. Скейлинговый показатель кондактансов (2.23) для случая слабого рассеяния назад в контакте двух краевых состояний найден, например, в работе [68]. Его можно интерпретировать как удвоенную скейлинговую размерность туннельного оператора на краю краевого состояния (К — 1) /2К. В рассматриваемом нами случае, одно краевое состояния заменено на полубесконечную нить, в которой учитывался спин электрона. Контакт такой нити и 3D металла был изучен в [76]. Скейлинговый показатель кондактанса в этом случае равен (К +К ) — 1. Для изотропного по спину взаимодействия в нашем случае следует положить Ка = 1 и Кр = К . Объединяя эти два случая, можно получить общий скейлинговый показатель {К\ + 1/К\)/2 + (1 + 1/К2)/2 — 2, что в точности соответствует (3.12).
Итак, мы получили фазовый портрет для случая туннелирования из непо-ляризованной нити в геликоидальное краевое состояние, нашли скейлинговые показатели кондактансов и показали, что скейлинг определяется только одним РГ уравнением, а определенное соотношение кондактансов не перенормируется, соответствуя тому, что ось квантования спина в неполяризованной нити не влияет на наблюдаемые величины. В следующей секции мы рассмотрим контакт поляризованной нити, что приводит нас к рассмотрению контакта типа Y.
Так как направление движения электрона в геликоидальных состояниях связано с направлением его спина, то изучение таких состояний с помощью нити, в которой спин электронов фиксирован, заведомо будет раскрывать асимметричные свойства транспорта в таких стыках.
Ранее такой стык был рассмотрен в формализме бозонизации [58]. В общем случае, поляризации спина в нити и в краевых состояниях отличаются на некоторый угол . В отсутствии взаимодействия этот угол определяет лево-правую асимметрию тока, текущего из зонда в краевое состояние. При учете взаимодействия было показано, что, даже в случае параллельных направлений спина, эта асимметрия зависит от величины взаимодействия в краевом состоянии. В этих расчетах краевые состояния считались бесконечными. Обобщение этой работы на случай входящего импульса, зависящего от тока, сделано в статье [59]. Учет конечности краевых нитей в виде металлических контактов проведен в [61]. Показано, что зависимость от взаимодействия постоянного тока пропадает. В нашем подходе мы используем фермионный формализм рассеянных состояний, что подразумевает наличие металлических контактов. Поэтому в пределе постоянного тока, при параллельной ориентации осей спина, зарядовое разделение отсутствует. В случае неколлинеарности осей мы покажем наличие лево-правой асимметрии постоянного тока, которая не полностью определяется углом поляризации, а ренормируется вместе с полным туннельным кондактан-сом. Перенормировка асимметрии появляется в первом порядке, как по взаимодействию, так и по туннельному кондактансу. Одновременная перенормировка двух величин связана с наличием стационарной точки седлового типа в фазовом портрете рассматриваемой системы [75]. В отсутствии рассеяния назад в краевых состояниях, такая СТ отделяет две одновременно устойчивые СТ. Это, в свою очередь, приводит к качественно различным РГ потокам ассиметрии и полного туннельного кондактанса при разных величинах взаимодействий.
Рассмотрим контакт квантовых нитей типа Y, изображенный на Рисунке 3.4. Квантовые нити j = 1,2 соответствуют геликоидальному состоянию, нить = 3 - зондирующая игла с полностью поляризованными электронами. Мы считаем, что взаимодействием в зонде можно пренебречь, то есть $з = 0, при этом д\ = (j2 = д. Разница между поляризацией электронов в зонде и осью квантования спина в краевом состоянии описывается углом . Угол = 0(7г) описывает поляризацию спина электронов зонда (анти-)параллельно электронам, двигающимися "направо" в краевом состоянии.
б -матрица, которая описывает такой контакт, принадлежит унитарной группе U(3). Кроме того, она должна обладать киральным свойством, 5із = 5з2І5 15 231 = 15 311- В отсутствии зонда рассеяние назад в геликоидальном краевом состоянии запрещено из-за инвариантности по отношению к обращению времени. В том числе это верно при = 0, 7Г.
Явление неопределенности РГ потока
Сначала будем считать, что константы взаимодействия одинаковы для обеих проволок, g = diag(g,g, д,д). Вычисление матрицы приведенных кондактан-сов (1.6) дает Y V R cos/3cosai 0 0 О COS /3 COS «2 О О О cos Ui О (Л О а2 О 0 0 6 / V (4.7) Матричная форма уравнения РГ (1.9) теперь записывается как набор связанных уравнений РГ для компонент матрицы Y в терминах начальных переменных: dYR д1 = д ( sin2 (5 (cos (i\(2 cos (З + cos a ) — 3) (Jjl i. 0 0 10 \ +1 — cos «i cos (3 — sin /3sinai sin«2) , (U dYJ dk dYJ dA dY ai-f- «2 g sin 2 (3 cos (3 ( (cos a\ + cos «2) + cos (3) Естественное желание заключается в том, чтобы записать эти уравнения полностью в терминах кондактансов, как это было успешно сделано в наших предыдущих работах [40, 41, 75] для случая стыка двух и трех полунитей. Впервые это не удалось сделать в работе [7], анализ из которой приведен дальше.
Существуют три независимые компоненты матрицы приведенных кондактансов, которые обозначены как ai, (12 и Ь в формуле (4.7). Попытка записать правую часть уравнений РГ (4.8) в терминах ai, 225 Ь наталкивается на проблему неопределенности в члене ос sinai sin «2- Знак этого члена зависит от диапазона углов: если и oi\ и а принадлежат либо интервалу (0,7г), либо интервалу (— 7Г, 0) , ТО Sin «і Sin «2 ЯВЛЯеТСЯ ПОЛОЖИТеЛЬНОЙ ВеЛИЧИНОЙ, НО ЄСЛИ (1\ И (І2 принадлежат разным интервалам (0,7г) и (—7Г,0), то обсуждаемый член является отрицательным. Заметим, что значения кондактансов а\ и а не зависят от замены знака (Х\ — OL\ И а 2 соответственно. Это изменение знака соответствует комплексному сопряжению некоторых элементов матрицы S (4.5), а именно г, г и U , что не может быть скомпенсировано с помощью операций "изменение фазы". Возникает вопрос, что означает внутренняя дискретная симметрия, проявляющаяся на уровне уравнений РГ? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим две несвязанные (/3 = 0) жидкости Латтиндже-ра с примесями. Стандартные вычисления [40] показывают, что (по крайней мере в низшем борновском приближении) фаза х,- равна Ubs/vp, где Ubs амплитуда рассеяния назад от примеси в j -й проволоке. Знак амплитуды Ubs не имеет значения, так как только ее квадрат \Ubs\ определяет кондактанс [33]. Если допустить перескок между проволоками, то начинает проявляться различие между двумя случаями: когда потенциалы рассеяния в обеих проволоках имеют одинаковые знаки, т. е. в обоих имеется либо горб, либо впадина, или когда потенциалы рассеяния в проволоках имеют разные знаки, т. е. присутствуют горб в одной нити и впадина в другой. Другое объяснение проблемы знака в уравнении (4.8) связано с симметрией гамильтониана (1.1) типа частица-дырка. На уровне несвязанных проволок знак величины Ubs (величины otj) меняется при переходе к дырочному описанию, п — ]п и т. д. Тогда можно считать, что проблема знака возникает из-за того, что возможно произвести преобразование типа частица-дырка в одной проволочке.
Видно, что уравнения РГ нельзя определить в терминах только кондак-тансов. В общем случае мы имеем два разных потока РГ для кондактансов, и выбор между ними должен быть сделан на основе начальных фаз (Х\ и oi\ б -матрицы. Дальнейший анализ уравнений РГ показывает, что эта неопределенность не влияет на положение СТ. У нас есть четыре СТ, задающиеся условиями а\ = =Ы, а.2 = =Ы и b = 1, что отвечает а\ = 0 или а\ = 7Г, и /3 = 0 в терминах углов. Эти стационарные точки соответствуют простым случаям двух отдельных проволок с абсолютным пропусканием или отражением в каждой из них. Пятая СТ определяется равенствами а\ = а2 = b = 0 и обсуждается ниже.
Для выяснения характера различных СТ обобщим наше рассмотрение и рассмотрим различные константы взаимодействия в двух проволоках: g = dmg(ghghg2,g2)- (4.9) Представление уравнений РГ только в терминах кондактансов является гро бі (#i (1 + 3 cos (3) sin«i — #2 sin (3sma2) (4.10) моздким, и мы переписываем их в терминах углов [72] dci\ 1 dA 4 cos (3 dci i d(i\ і dh dh dp 1 sin (3 (gi cos «i + g2 cos a2 + (#i + #2) cos /3) Такая же неопределенность уравнений РГ в терминах кондактансов, что и выше, заметна вновь в (4.10). Можно произвести замену, например а2 — «2, не меняя кондактансы, но изменяя потоки РГ.
Как и прежде, мы наблюдаем четыре универсальные СТ, отвечающие а\ = 0 или скі;2 = 7Г и /3 = 0 (т. е. 2і;2 = ±1 и Ь = 1). Только одна из этих четырех точек является устойчивой и определяется знаком взаимодействия в отдельной проволоке. Согласно обычным представлениям [33, 37] имеем следующее равенство для устойчивых СТ: dj = sign Qj. Кроме того, мы находим пятую не универсальную СТ, которая никогда не бывает устойчивой, и уравнения, задающие ее положение, принимают компактную форму в терминах кондактансов: Ql = -а2 = д2 д\ Ь = а\. (4.11) 9\+92 Эта СТ находится в физической области при 2i 1, то есть при д\д2 0.
Проиллюстрируем наши результаты Рисунком 4.2, где показана совокупность разрешенных значений кондактансов (ai,a2,&) и возможных траекторий РГ, исходящих из одной и той же точки в пространстве кондактансов для различных значений gi-,д2- Видно, что устойчивая СТ зависит от квадранта плоскости {ді-,д2)і что подобно случаю Т-образного контакта [43]. Кроме того видно, что существуют два возможных потока РГ, ведущих к той же устойчивой СТ (более темная траектория РГ на рисунке соответствует знаку плюс в неопределенности, а более светлая - знаку минус). Можно проверить, что на скейлинго-вые показатели вблизи СТ не влияет обсуждавшаяся нами неопределенность в знаке. Два возможных потока РГ приводят только к различным префакторам в скейлинговой зависимости кондактансов.