Содержание к диссертации
Введение
1 Формулировка струнной теории поля 22
1.1 Первично квантование струны 23
1.2 Кубическая полевая теория струн 32
2 Вертексы и струнное умножение 38
2.1 Необходимые сведения о группе 5L(2, R) 39
2.1.1 Различные базисы в 7is 40
2.1.2 Вычисление нормировки AS(K) 42
2.2 Определение вертексов 46
2.2.1 Обозначения 46
2.2.2 Склеивающий вертекс 49
2.2.3 Диагонализация струнных вертексов 51
2.2.4 Результаты 54
2.2.5 Добавление нулевых мод 55
2.3 Неймановские матрицы соответствующие s = 0 57
2.4 Неймановские матрицы для бозонизовапных духов 60
2.4.1 Бозонизация духов 60
2.4.2 Вертекс в непрерывном базисе 64
2.4.3 Унитарное преобразование 65
2.5 Объединенный вертекс: материя + духи 66
3 Ассоциативность струнного умножения 67
3.1 Спектральная плотность 68
3.2 Доказательство соотношений спуска 71
3.3 Ассоциативность 74
3.4 Отсутствие аномалии в ассоциативности 75
3.4.1 Что такое аномалия в ассоциативности? 75
3.4.2 Доказательство отсутствия аномалии 77
4 Структура струнной алгебры 79
4.1 Состояния, представляющие поверхность 80
4.1.1 Неймановские матрицы для состояний-поверхностей 80
4.1.2 Неймановские матрицы для ЛГ-клинов 81
4.2 Скалярное произведение iV-клинов 84
4.3 Произведение iV-клинов 87
Заключение 89
А Свойства полиномов Vm \к) 92
Литература
- Кубическая полевая теория струн
- Определение вертексов
- Доказательство соотношений спуска
- Неймановские матрицы для состояний-поверхностей
Введение к работе
Бурное развитие теоретической физики элементарных частиц в значительной мере обязано созданию квантовой теории поля [1], которая вначале с успехом объяснила электромагнитное взаимодействие, а дальнейшее обобщение на случай взаимодействия Янга-Миллса привело к созданию последовательной квантовой теории калибровочных полей. Однако, теория не давала хорошего объяснения некоторых вопросов, возникающих при изучении сильных взаимодействий. В качестве нового подхода была предложена теория струн. Замечательным оказалось то, что теория струн (и ее суперсимметричное расширение — теория суперструн) значительно сблизила теорию Янга-Миллса и квантово-нолевую теорию гравитации. На сегодняшний день теория суперструн является наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий. Элементарная частица в теории струн рассматривается как возбуждение струны, а не как точечная частица [2, 3, 4]. Струна имеет много частот колебаний, и в связи с этим различные элементарные частицы интерпретируются как различные гармоники струны. В фейнмановские диаграммы обычной квантовой теории поля входят вершины взаимодействия, в которых частицы взаимодействуют точечным образом (см. Рис. 1а). В отличии от этого, взаимодействие струп (см. Рис. 16) не яв-
Введение .
' ^ время
а) 6}
Рис. 1: Вершина взаимодействия в квантовой теории поля а), и в теории струн б)
ляется локальным.
Квантование релятивистской струны является нетривиальной задачей. Когда это было сделано в 70х годах, обнаружилось, что основное состояние замкнутой струны соответствует безмассовой частице спина 2, т.е. гравитону. Взаимодействие этих частиц (в длинноволновом режиме) в точности соответствовало предсказаниям общей теории относительности. Таким образом теория струн оказалась квантовой теорией гравитации! Напомним, что стандартный подход к квантованию не работает для общей теории относительности из-за ультрафиолетовых расходимостей. Ультрафиолетовые расходимости общей теории относительности исчезают если мы заменим частицу струной. Замена частицы струной приводит к размыванию вершины взаимодействия (см. Рис. 1), и благодаря этому исчезает сингулярность содержащаяся в вершине. Теория струн также содержит калибровочную симметрию: безмассовое состояние открытой струны является калибровочным полем.
К 1984 году было известно пять теорий струн, в которых струны обладают различными свойствами:
Введение. 5
Туре НА и Type IIB теория суперструны; в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
Туре I теория суперструн; в этой теории струны являются открытыми или замкнутыми. Открытые струны несут электрический заряд на концах.
гетеротическая струна 0(32)/ и^х Е%\ в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
Другим важным отличием теории струн от локальной теории поля является следующее. Обычно в квантовой теории поля у нас есть свободные безразмерные параметры, такие как константа тонкой структуры е2/47гНс ~ 1/137, или отношение массы мюона к массе электрона тц/те ~ 206.8, которые определяются из эксперимента. В основном эти параметры появляются в вершине взаимодействия (см. Рис 1), однако они исчезают при переходе к теории струн. В теории струн нет свободных параметров, вместо этого есть много скалярных полей фі (модулей), среднее которых и определяет значения е2/4тгНс, тц/тє и др. Это означает, что, в принципе, постоянная тонкой структуры, отношение массы мюона к массе электрона и др. параметры могут быть вычислены путем минимизации энергии как функции от ф$. Другими словами, феноменологические параметры могут быть определены из теории.
Пять теорий суперструн упомянутых выше связаны между собой преобразованиями дуальности (см. Рис 2). На Рисунке 2 изображено пространство модулей теории струн. Преобразования дуальности действуют на этом пространстве, отображая одну теорию струн в другую. Дуальности в теории струн являются обобщением дуальности Montonen-Olive
Введение .
Type IIB
о Гуре ЯА
Яеґ 50(32)
Туре I
М Theory
F Theory Рис. 2: Пространство модулей теории струн.
в калибровочной теории. Изучение преобразований дуальности привело к открытию новых непертурбативных объектов в теории струн, D-бран. В простейших случаях D-брана является геометрическим объектом. Например, рассмотрим конформную замкнутую струнную сг-модель с пространством-временем М, дилатоном Ф, метрикой д^ и "gerbe" связность Ъ^. D-брану в такой ст-модели можно представить как подмногообразие г :W <—» М пространства-времени М на котором заканчивается открытая струна (на самом деле это только часть условий, дополнительные условия будут приведены ниже). Обозначим через X : S —> М вложение мирового листа струны в М, тогда
г*Х(д) Є W.
Таким образом D-браны связаны с граничными условиями. Условие отсутствия аномалий в струнной <т-модели требует, чтобы квантовая теория имела конформную симметрию. Понятно, что не все граничные условия сохраняют конформную симметрию. Граничные условия, сохраня-
Введение .
ющие конформную симметрию, называются конформными граничными условиями. Не всегда существует хорошее геометрическое .D-браны, поэтому обычно под ">-браной" понимают локальное конформное граничное условие.
Более подробное описание граничного условия в струнной <т-модели определяется заданием топологического if-гомологического цикла [5], который состоит из вложения г : W <-^ М мирового объема D-брапы W в пространство время М, выбора Spinc структуры па W (электромагнитов поле на бране), а также выбора комплексного векторного расслоения Е —> W по-модулю некоторых соотношений эквивалентности. На физическом языке это означает, что задана ">-брана, которая намотана на цикл W с расслоением Чана-Патона "'. К сожалению данное описание не является точным, потому что я не определил какая именно ііГ-теория должна использоваться. Тем не мене имеется довольно много "экспериментальных фактов", говорящих что в тех случаях, в которых мы можем классифицировать конформные граничные условия, они классифицируются с помощью некоторой /С-теории (смотри параграфы 1,2 в обзоре
М).
Один из возможных подходов к классификации граничных условий в наиболее общей струнной ст-модели заключается в том, что мы должны построить некоторую алгебраическую if-теорию вертексной алгебры открытой струны. Надежда построения такой теории [6] связана в первую очередь с недавним прогрессом в понимании структуры Витен-новской кубической полевой теории открытых струн [7, 8]. Кубическая полевая теория открытых бозонных струн была сформулирована Эдвардом Виттеным в 1987 году [9], Характерным свойством этой теории яв-
Введение .
ляется то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа Черна-Саймонса на некоторой бесконечно мерной ассоциативной некоммутативной алгебре. Непосредственное обобщение этого действия на случай суперструны имеет трудности, так как неправильно воспроизводятся амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены, и было построено кубическое действие полевой теории суперструн, независимо И. Я. Арефьевой, А. Зубаревым, П. Б. Медведевым [10] и С. Preitschopf, С. Thorn, S. Yost [11].
Решения классического уравнения движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями. Недавно A. Sen [12] предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной >-браны, к которой прикреплены концы струны. В рамках этого предположения вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном вакууме, должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны: разность энергий в непертурбативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной D-браны. Подтверждением этой гипотезы являются произведенные A. Sen, L, Rastelli и В. Zwiebach [7] для бозонной струны и И.Я. Арефьевой, Д.М. Беловым, А.С. Кошелевым и П.Б. Медведевым [13] для фермионной струны численные расчеты, а также последние работы A.Sen о скатывающемся тахионе [14]. Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн.
Диссертационная работа имеет следующую структуру. Глава 1 посвящена формулировке полевой теории открытых струн и
Введение .
постановки задачи.
В параграфе 1 дается краткое введение в теорию открытой бозошгой струны. Вводятся понятия конформного тензора энергии-импульса, конформных духов и БРСТ заряда. В теории открытой струны необходимо накладывать граничные условия на поле материи XM(z, z) при z = ~z. В дальнейшем мы будем считать, что z, z принадлежат верхней полуплоскости, а вещественная ось — является границей. Требование сохранения конформной инвариантности накладывает следующую связь между компонентами конформного тензора энергии-импульса Т(х) — Т(х) для х Є Е. Граничные условия на X**, которые удовлетворяют этому соотношению, называются конформными граничными условиями. Спектр теории описывается в терминах когомологии H^Qb^x) БРСТ заряда в пространстве Фока Т\ с духовым числом +1. Особое внимание обращается на универсальность данной конструкции, а именно, на то что конструкция БРСТ заряда не зависит от выбора конформного граничного условия. Однако пространство Т\ зависит от выбора граничных условий.
В параграфе 2 формулируется кубическая полевая теория открытых струн. Эта теория задается следующим действием
5(Л) = ~Г| IA*QA+X- jА*А*А
(1)
Здесь А является элементов ассоциативной некоммутативной Z-градуирован ной алгебры srf с умножением *, Q является оператором дифференцирования на этой алгебре, и J* определяется как С-линейное отображение из j/bC. Действие (1-21) является обобщением действия Черна-Саймонса на трехмерном многообразии.
Элементы я?, *, J*, определяющие действие, должны удовлетворять
Введение .
свойствам:
ассоциативность: а* (Ь* с) = (а* Ь) * с.
Z-градуировка gh (духовое число):
sf — ф sg and ^4 * л^ С j/g+f.
В частности, srfQ является подалгеброй, a stfg для jeZ являются левыми (правыми) модулями алгебры л/0.
3. Оператором дифференцирования называется отображение Q : л/д —
^5+1, имеющее духовое число +1, обладающее свойством нильпо
тентности Q2 — 0, и удовлетворяющее правилу Лейбница
Q(a * b) - (Qa) * Ь + (-l)gh(a>a * (Qb).
4. Интеграл J является линейным отображением л/ to С, таким что
J а = 0 если а имеет духовое число отличное от +3. Кроме того
мы должны потребовать, что для всех а и Ь из &4 выполняются
соотношения
/*Qa = 0 и fа*Ъ= (-!)&№№ fb*a.
Действие (1.21) инвариантно относительно малых калибровочных преобразований A I-+ A + V^A, где V^A = QA + Л*А-А*у1иЛє^о-Вариация действия по А дает следующие уравнения движения
QA + А * А = 0. (2)
Введение .
Заметим, что линеаризованное уравнение движения Qa — О вместе с линеаризованными калибровочными преобразованиями а н-» о + QA эквивалентно утверждению, что [а] Є Hl(Q). Это означает, что решения линеаризованных уравнений движения описывают спектр физических состояний струны.
Эти абстрактные аксиомы могут реализованы в теории струн. Естественным кандидатом на Q является БРСТ заряд Q&.
Струнное умножение
Теперь мы должны построить ассоциативное умножение открытых струн. Это совсем нетривиальная задача. Она была решена Витенном в 1986. Для начала необходимо забыть про репараметризационную инвариантность струны (точнее заменить ее на требование БРСТ инвариантности), и выбрать на открытой струне точку — центр струны М:
лишь заполнить былые области на рисунке струнным мировым листом и
Теперь каждая струна S имеет левую половину Sl и правую половину Sr. Будем обозначать струну 3 парой (Sl,Sr). Грубо говоря, искомое умножение определяется как {Sl,Sr) * (Tl,Tr) = {Sl,Tr)5(Sr - TL). Особенностью данного умножение является то, что оно по-крайней мере наивно ассоциативно: Не сложно сделать эту идею точной. Надо всего
Введение .
интерпретировать этот рисунок как iV-точечную корреляционную функцию на поверхности Ejy с границей. В дальнейшем поверхность Едг мы
будем называть iV-клином:
-м
Из этого рисунка легко видеть, что поверхность Sjv может быть получена склейкой N карт (с углом) {Ui}i=i,...,n- Каждая карта Uf представляет собой бесконечную полосу [0,7г] хМс удаленной полуосью{тг/2} х R+:
а=л/2 ст=0
С помощью конформного преобразования z — eT+tff мы можем отобразить полосу в верхнюю полуплоскость с разрезом [г, гоо):
w^nu
w,n«„
Функции склейки на пересечениях UiC\Ui+\ — {Rezj > 0} = {Rez/+i < 0} задаются соотношением zjzr+i = -1.
Теперь нам необходимо найти корреляционную функцию скалярного поля на Sjv- Для этого необходимо ввести метрику на Едг. В каждой карте lAj можно выбрать плоскую метрику ds] = dzjdzi. Метрика на Едг получается стандартным образом из метрик на картах. Из рисунка на
Введение. 13
предыдущей странице очевидно, что метрика на Sjv не является плоской, в точке М имеется коническая сингулярность с избытком угла tt(N — 2). Двух точечная корреляционная функция скалярных полей
{X{z,z)X{w,w))vN
на Едг является решением уравнения Лапласа с Неймановскими граничными условиями на 9Едг. Есть хорошо известный трюк решения уравнения Лапласа на сложной области: нужно найти (сингулярное) отображение hrf(z), которое переведет Едг в верхнюю полуплоскость. Это отображение сингулярно, потому что оно меняет угол 7tN в точке М в угол 27г. Таким образом нормированная двухточечная корреляционная функция задается
{XfazjXjV,*))^ = -^loglhfM - hj{z>)\\ (3)
где Х{ := X\uj обозначает ограничение скалярного поля X определенного на Т>н на карту Ы[. Отображения {hi} определяется как hj(z) = Po{etlprh^)(z), (pi = ^(ajv —/), и число ам выбрано так чтобы все углы (рм лежали в интервале (—тг,7г],
**« = ()"" и р(г)=ітт? (4)
Теперь мы можем дать точное определение струнного умножения. Для этого удобно ввести ЛГ-струнные вертексы (Улг| и дуальные вертексы ]Улг). ЛГ-вертекс является мультилинейным отображением из №А степени пространства Фока состояний струны в комплексные числа
i...n(Vw| : ^влг - С and \Ум)г..м : (J?*fN - С (5)
Введение .
Напомним, что в двумерной квантовой теории поля имеется очень специальное соответствие между состояниями и операторами: каждому оператору 0(z, z) можно поставить в соответствие состояние \0) := \lmz-,oQ(z,z)\Q). Обратное тоже верно: для каждого состояния \0) существует оператор Q{z,z), который порождает это состояние как описано выше. Таким образом мы можем однозначно определить
i..jv(V1v| (Id) - - \On)) :- ZN{Oi{P!).. - On(Pn))xn (6)
где Zn является стат. суммой конформной теории поля на Едг, (... )%N обозначает нормированную iV-точечную корреляционную функцию операторов вставленных в точки {Pi} на границе Едг. Точки {Pi} соответствуют началу координат в картах (}. До недавнего времени предполагалось, что Zn = 1. Ниже я покажу, что Z^ является нетривиальной функцией N, (4.21), и более того она совпадает с граничной энтропией конформной теории поля на Sjv.
Вертексы и дуальные вертексы не являются независимыми, а связаны соотношениями
\V^)i...n = v...N'(Vn\{\V2)vi \V2}n'n) i...n(Vn\ = (ii'{V| --- nn'(V2\)\Vn)i'...n>
Струнное умножение * теперь можно определить как
(\а) * \b))v := 123(](|о)2 |6)3 !^)u')- 7)
Кроме умножения вертекс 1) определяет также и коумножение.
Ассоциативность струнного умножение * означает, что вертексы долж-
Введение. 15
ны удовлетворять бесконечному числу уравнений типа:
(l23
Несмотря на то, что струнная теория поля была сформулирована в 1986, до 2003г. не существовало аналитического доказательства ассоциативности струнного умножения [15]. Более того имелись утверждения, что ассоциативность нарушается аномалиями. В работе [15] я доказал, что все соотношения типа (1.28) выполняются. Доказательство ассоциативности является главным результатом диссертации.
Кубическая полевая теория струн
В предыдущей секции мы напомнили квантование бозопной струны. В принципе, этого достаточно, чтобы посчитать любую амплитуду на массовой поверхности. Однако существуют физические вопросы, требующие формулировки теории вне массовой поверхности.
Одна из таких теорий — кубическая струнная теория поля — была предложена в 1986 году Эдвардом Виттеным [9]. Она определяется действием типа Черна-Саймонса на некоммутативной ассоциативной алгебре я/: - A QA + - J A A A (1.21) CSW(A) = -±
Уо 1 Здесь А является элементов ассоциативной некоммутативной Z-градуированной алгебры JZ/ с умножением , Q является оператором дифференцирования на этой алгебре, и / определяется как С-линейное отображение из JZ/BC. Очень интересным и не решенным вопросом, является вопрос о геометрическом смысле действия (1.21) [18, 6]. Элементы srfь , J, определяющие действие, должны удовлетворять свойствам: 1. ассоциативность: а (6 с) = (а Ь) с. 2. Z-градуировка gh (духовое число): s& ф si/g and srfg s fg С si/g+gf. g =Z В частности, ja?p является подалгеброй, a s$g для д Є Z являются левыми (правыми) модулями алгебры JZ/Q. 3. Оператором дифференцирования называется отображение Q : sfg — +ij имеющее духовое число +1, обладающее свойством нильпо тентности Q2 = 0, и удовлетворяющее правилу Лейбница Q(a Ь) = (Qa) 6 + (-l)gh a (Qb). 4. Интеграл J является линейным отображением «е to С, таким что J a — 0 если а имеет духовое число отличное от +3. Кроме того мы должны потребовать, что для всех а и Ъ из &/ выполняются соотношения [Qa = 0 И fa b={-l) gh fb a. Действие (1.21) инвариантно относительно малых калибровочных преобразований Аи Л + V A, где VAA = QA + А Л-Л АиЛе4-Вариация действия по А дает следующие уравнения движения QA + A A = 0. 1.22)
Заметим, что линеаризованное уравнение движения Qa = 0 вместе с линеаризованными калибровочными преобразованиями ано + QA эквивалентно утверждению, что [а] Є H1(Q). Это означает, что решения линеаризованных уравнений движения описывают спектр физических состояний струны.
Эти абстрактные аксиомы могут реализованы в теории струн. Естественным кандидатом на Q является БРСТ заряд QB
Теперь мы должны построить ассоциативное умножение открытых струн Это совсем нетривиальная задача. Она была решена Витенном в 1986. Для начала необходимо забыть про репараметризационную инвариантность струны (точнее заменить ее на требование БРСТ инвариантности), и выбрать на открытой струне точку — центр струны М:
Теперь каждая струна S имеет левую половину SL И правую половину SR. Будем обозначать струну S парой (5/,,). Грубо говоря, искомое умножение определяется как (SL,SR) {TL,TR) = (SL,TR)5(SR Т). Особенностью данного умножение является то, что оно по-крайней мере наивно ассоциативно: Не сложно сделать эту идею точной. Надо всего лишь заполнить былые области на рисунке струнным мировым листом и интерпретировать этот рисунок как iV-точечную корреляционную функцию на поверхности дг с границей. В дальнейшем поверхность Т,м мы будем называть JV-клином:
Из этого рисунка легко видеть, что поверхность SJV может быть получена склейкой N карт (с углом) {W/}/=I,...,JV- Каждая карта Ui представляет собой бесконечную полосу [0,7г] х Ш с удаленной полуосыо{7г/2} х К+: а=0 С помощью конформного преобразования z — eT+ia мы можем отобразить полосу в верхнюю полуплоскость с разрезом [,гоо): и.,пц и,пи, u,nu. Функции склейки на пересечениях UjC\Ui+\ = {ReJZ/ 0} = {Re j+i 0} задаются соотношением
Теперь нам необходимо найти корреляционную функцию скалярного поля на JV- Для этого необходимо ввести метрику на Sjy. В каждой карте // можно выбрать плоскую метрику dsf = dzjdzj. Метрика на EJV получается стандартным образом из метрик на картах. Из рисунка на предыдущей странице очевидно, что метрика на Т, не является плоской, в точке М имеется коническая сингулярность с избытком угла 7r(iV — 2).
Определение вертексов
Отображения определяющие склеивающий вертекс проще всего записать в координатах w, z = itanhw: /і _ \2/N А/й = eiw ( - ) - e " eAwfN, (2.39a) \ -L r 1Z / И / ) = cosh2whr(z). (2.39b) Как мы видели в (2.11) отображение z — w отображает единичный диск в полосу —7г/4 Imw 7г/4. Отображения w — hj переводят полосу в N 360/N-клипов, которые склеиваются вместе при помощи матриц Неймана [24].
Для диагонализации iV-струнной матрицы Неймана, мы поступим так же как в (2.14) — сначала разложим (2.38) в степенной ряд, представим его в виде контурного интеграла, затем применим трюк Ватсона-Зоммерфельда. Предположим, что Re(w — w) 0, тогда dj Г(2з + j) c2isin(7rj) ГУ + 1) {(й н 1 s+j M fN(z,z ) = cosh w cosh uf\ ж — L J JQ 2,1 si 1S+3 IJ n2s _e2[w -w) -5,J2 , (2.40) x J [ —1 l-jivj-vrttAW-wW где ipj — pi = jf(I--J). Контор С обходит вокруг положительной вещественной оси против часовой стрелки (смотри Рисунок 2.1). Перед тем как деформировать контур как на Рисунке 2.1 мы должны позаботиться 0 сходимости на бесконечности. Удобно рассмотреть два случая I ф J vi 1 = J по-отдельности. Глава 2. Вертексы и струнное умножение 52 Матрицы М/дг для І ф J. Используя (анти)симметрию матриц Неймана, мы можем предполагать, что I J В этом случае мы можем интерпретировать ( 1) — ег7Г и поэтому Это гарантирует, что для 1 I J . N - тг arg(-eiCvj" ) тг. (2.41) После деления на sin(Trj) мы получим следующее асимптотическое поведение интеграла при Ira j — ±оо
Таким образом для М (J ф Г) итегрант зануляется на бесконечности. Полюса [sin(Trj)] при отрицательных целых j сокращаются с нулями [r(j + 1)] , следовательно для s 0 мы можем деформировать контур С в Re j — — s как показано на Рисунке 2.1 записав ,- = -.- if. (2.42) Выражение для М/ принимает вид dK е W+V-W BS N(K) е «"-#) (cosh w cosh )2s, -оо (2.43) где Д к) = і г 4-,2S-1 1-(. + (-. fr«) Таким образом мы получили представление матриц Неймана через собственные функции (2.8) оператора К\. Отметим также, что нормировка Ая(/с) определенная в (2.18) совпадает с Ва ъ(к). Глава 2. Вертексы и струнное умножение 53 Матрица M N. Если / — J, то первое слагаемое в (2.40) содержит множитель
Любое аналитическое представление (—1) сократит спад функции [sin(7rjf)l на бесконечности в (2,40) и следовательно мы не можем деформировать контур. Однако в этом случае второе слагаемое в (2.40) играет существенную роль. Плохое асимптотическое поведение при Imj ±оо связано с сингулярностью при w — w появляющуюся в знаменателе в (2.38). Поэтому / too djfs-i j -)jJ „ (ш -w )-2s, где р — 4/N для первого слагаемого в (2.40) и р = 2 для второго. Следовательно сингулярность при Imj = ±оо сокращается между двумя слагаемыми, и поэтому мы можем деформировать контур как на Рисунке 2.1.
Второе слагаемое в (2.40) отличается от ядра Коши (2.15) фактором (—1)S+J . Следовательно, деформируя j как в (2.42) для первого слагаемого и как в (2.16) для второго, получим dKeiK(w W) (cosh COSte )25 -оо х {е Х Ы-е Ч )}, (2.45) где J55,jv(rc) определено в (2.44), a AS(K) В (2.18). Асимптотическое поведение имеет вид е±ЛГтгя/4 е±тгк/2 е№гк/4 етгк/2 (2.46) и таким образом интегрант обнуляется на бесконечности если выбрать одинаковый знак в обоих слагаемых.
Собственные значения ЛГ-струнных матриц Неймана. Собственные функции должны быть нормированы путем деления на AS(K) определенного в (2.18), таким образом собственные значения равны
Доказательство соотношений спуска
Простое вычисление показывает, что слагаемое в фигурных скобках {} равно д (к). Таким образом соотношения спуска удовлетворяются с точностью до числового коэффициента i...Ar, +i{V}v+iVi)jv+i = 02tf+i,i;jv) i.„jv (Vjvl, (3.14) где D + 1 logZjv+ jv = 2— 1gdet(1 A$+i) + JV+M + i,s - FN,S (3.15) и FJV,S определен в (2.94). Используя регуляризованную спектральную плотность получаем что \ogZN+ N = +—]og- — / rfKlog(l-/iJJ+1(«))pi (K) где рі,д(к) определена в (3.9), и (,)д в (3.11). Из этого выражения непосредственно следует, что д;! = 1. Если бы соотношения спуска (3.12) были верны, то все -3jv+i,i;JV ciV 1 были бы равны 1. Как мы сейчас увидим -ЕЛГ+ІД;ЛГ являются нетривиальными функциями от N, и поэтому вертексы должны содержать дополнительные нормировочные факторы. ДЛЯ КрИТИЧеСКОЙ боЗОННОЙ СТруНЫ (D — 26, Є = 1 И Q = —3) -2jV+l,l;JV является хорошо определенной функцией от N 9 V—v 27 у \og ZN+itUff = -- 2jsQloga + — 22saD0(a)} (3.17) где множества А = {2, N,N + 1,1}, {sQa Є A} = {1,1,-1,-1} и Функция Do (а), по-видимому, может быть выражена через дигамма функцию Барнса. Из представления (3.17) следует, что v+i,i;Ar может быть записана в виде ZN+I,I-,N = -=-$ (3.19) Логарифм ZM задан выражением logZ = -Н logy + у [DQ(N) - D0(2)]. (3.20) Заметим, что Z не может быть определена однозначно из соотношения (3.19). Она определена с точностью до умножения ZN {const)N-2ZN. (3.21) Функция ZN определенная в (4.21) монотонно идет к нулю на интервале [1, со), и ее асимптотика на бесконечности равна Теперь очевидно, что для выполнения соотношения спуска (3.12) вертексы надо нормировать ((VN\=ZN(VN\ for N l. (3.22)
Нормировка ZN задана формулой (4.21) или любой из (3.21). Заметим, что Z-i — \ вне зависимости от выбора множителя в (3.21). Неоднозначность .21) в определении ZN тесно связана с возможностью перерастягивать струнное поле. Действительно, фактор (const) -2 в вертексе может быть сокращен путем умножения струнного поля на(const)-1 Л и переопределения константы связи д0 \— (const)_1(/o- Из Главы 2 следует, что фактор 2дг имеет естественную интерпретацию стат. суммы конформной теории поля, состоящей из бозонной материи и конформных духов, на поверхности Едг с Неймановскими граничными условиями. В силу того, что центральный заряд равен 0, мы можем утверждать, что ZN это g-функция [Aflek, Ludwig].
Отметим, сто для N = 3 нормированный как в (3.22) Зх струнный вертекс согласован с исходным определением Е. Witten [9]. В этой работе он определил его как интеграл Полякова по склеивающей поверхности, который, конечно же, включает стат. сумму в свое определение.
Ассоциативность струнного умножения накладывает множество соотношений между склеивающими вертексами, например, (m(Vb 45б( з) \У2)м = і25в№ (3-la) Удовлетворяют ли этому соотношению нормированные вертексы (3.22)? На самом деле вопрос заключается лишь в нормировочных факторах, так как экспоненты были проверены в [24, 46].
Мы утве). Например, докажем первое соотношение в (3.1). Допустим, что оно неверно, и в левой части стоит константа А 1: (l23«V& g 456((]) 2»34 рждаем, что нормированные вертексы (3.22) удовлетворяют соотношениям типа (3.1= A 1256WI.
Свернем это выражение с единичным состоянием V"i))6 по 6-ому тензорному пространству. Используя соотношения спуска (3.12) получим (l23« 45« 2) V&»34 = A 125«V&. Замечая, что 45(( ))34 — 53 находим, что константа А равна 1. Таким образом первое соотношение в (3.1) верно. Все соотношения типа (3.1) могут быть доказаны таким образом. Следовательно нормированные вертексы (3.22) удовлетворяют ассоциативности. Под аномалией в ассоциативности обычно понимают следующие два противоречащих друг другу соотношения: [1Л]. = ! и PL\VN) = О, i\VN)=0. (3.2) Глава 3. Ассоциативность струпного умножения 76 Л Л
Оба оператора и Р& являются сингулярными, а следовательно выражения (3.2) нуждаются в регуляризации. Отметим, что с точки зрения конформной теории поля ни оператор ни PL не сохраняются во времени, и поэтому не могут быть определены как локальные операторы, действующие в пространстве Фока J-.
В работе [25] Manes заметил, что аномалия в ассоциативности тесно связана с нарушением унитарности оператора Up. Дело в том, что для того чтобы подействовать Up на вертекс его необходимо сначала регу-ляризовать. Вообще говоря не очевидно, что регуляризация не нарушит свойства унитарности. Утверждения Manes формулируется следующим образом (без ограничения общности мы можем рассматривать только духи).
Неймановские матрицы для состояний-поверхностей
Вертекс в материальном секторе может быть представлен в виде (М С)тп = (т,з\М С\п,з), (M/J)mn = {m,SAf n,S), где состояния определены в (2.5). Выражение для производящей функции оператора (M JNC)(z,z ) легко следует из определения вертекса и двухточечной корреляционной функции (1.23), [24]: и (2.36) 25 {z - z ) 2s {M NC){z,z ) = T{2s) hX{z) - hj(z ) где I, J = 1,...,N обозначают номера склеиваимых струн, а отображения hj(z) определены в (1.24). Когда s дробное мы предполагаем, что степенная функция имеет разрез по отрицательной вещественной оси. Г-функция необходима, чтобы существовал нетривиальный предел s — 0. Для того чтобы обозначения были согласованы со скалярным произведением (2.2), мы положим z как второй аргумент вместо z . Слагаемое пропорциональное (z — z ) 23 появляется из-за нормального упорядочения когда два оператора действуют в одно и том же пространстве Фока. Чтобы получить выражение для ядра оператора M JN достаточно заметить, что оператор твиста С действует на вектора \п, s) (z) изменением знака у аргумента z: (C\n,s))(z) = \niS)(-z). (2.37)
Другими словами, чтобы получить выражение для М/ 7 нужно поменять знак у z в выражении (2.36): . 4 Ws M$(zt ) = r{2s) s г SIJ h r(z) h j{-z ) [hi(z) - hj(-z )]2S ( + z (2.38) Глава 2. Вертексы и струнное умножение 51 2.2.3 Диагонализация струнных вертексов Отображения определяющие склеивающий вертекс проще всего записать в координатах w, z = itanhw: /і _ \2/N А/й = eiw ( - ) - e " eAwfN, (2.39a) \ -L r 1Z / И / ) = cosh2whr(z). (2.39b) Как мы видели в (2.11) отображение z — w отображает единичный диск в полосу —7г/4 Imw 7г/4. Отображения w — hj переводят полосу в N 360/N-клипов, которые склеиваются вместе при помощи матриц Неймана [24].
Для диагонализации iV-струнной матрицы Неймана, мы поступим так же как в (2.14) — сначала разложим (2.38) в степенной ряд, представим его в виде контурного интеграла, затем применим трюк Ватсона-Зоммерфельда. Предположим, что Re(w — w) 0, тогда dj Г(2з + j) c2isin(7rj) ГУ + 1) {(й н 1 s+j M fN(z,z ) = cosh w cosh uf\ ж — L J JQ 2,1 si 1S+3 IJ n2s _e2[w -w) -5,J2 , (2.40) x J [ —1 l-jivj-vrttAW-wW где ipj — pi = jf(I--J). Контор С обходит вокруг положительной вещественной оси против часовой стрелки (смотри Рисунок 2.1). Перед тем как деформировать контур как на Рисунке 2.1 мы должны позаботиться 0 сходимости на бесконечности. Удобно рассмотреть два случая I ф J vi 1 = J по-отдельности. Глава 2. Вертексы и струнное умножение 52 Матрицы М/дг для І ф J. Используя (анти)симметрию матриц Неймана, мы можем предполагать, что I J В этом случае мы можем интерпретировать ( 1) — ег7Г и поэтому Это гарантирует, что для 1 I J . N - тг arg(-eiCvj" ) тг. (2.41) После деления на sin(Trj) мы получим следующее асимптотическое поведение интеграла при Ira j — ±оо
Таким образом для М (J ф Г) итегрант зануляется на бесконечности. Полюса [sin(Trj)] при отрицательных целых j сокращаются с нулями [r(j + 1)] , следовательно для s 0 мы можем деформировать контур С в Re j — — s как показано на Рисунке 2.1 записав ,- = -.- if. (2.42) Выражение для М/ принимает вид dK е W+V-W BS N(K) е «"-#) (cosh w cosh )2s, -оо (2.43) где Д к) = і г 4-,2S-1 1-(. + (-. fr«) Таким образом мы получили представление матриц Неймана через собственные функции (2.8) оператора К\. Отметим также, что нормировка Ая(/с) определенная в (2.18) совпадает с Ва ъ(к).
Любое аналитическое представление (—1) сократит спад функции [sin(7rjf)l на бесконечности в (2,40) и следовательно мы не можем деформировать контур. Однако в этом случае второе слагаемое в (2.40) играет существенную роль. Плохое асимптотическое поведение при Imj — ±оо связано с сингулярностью при w — w появляющуюся в знаменателе в (2.38). Поэтому / too djfs-i j -)jJ „ (ш -w )-2s, где р — 4/N для первого слагаемого в (2.40) и р = 2 для второго. Следовательно сингулярность при Imj = ±оо сокращается между двумя слагаемыми, и поэтому мы можем деформировать контур как на Рисунке 2.1. Второе слагаемое в (2.40) отличается от ядра Коши (2.15) фактором (—1)S+J . Следовательно, деформируя j как в (2.42) для первого слагаемого и как в (2.16) для второго, получим dKeiK(w W) (cosh COSte )25 -оо х {е Х Ы-е Ч )}, (2.45) где J55,jv(rc) определено в (2.44), a AS(K) В (2.18). Асимптотическое поведение имеет вид е±ЛГтгя/4 е±тгк/2 е№гк/4 етгк/2 (2.46) и таким образом интегрант обнуляется на бесконечности если выбрать одинаковый знак в обоих слагаемых.
