Введение к работе
Актуальность проблемы.
Изучение представлений квантовых групп (квантовых универсальных обвертывающих алгебр) и их сплетающих операторов (Л-матриц) представляет интерес в виду приложений в ряде областей теоретической физики и математики. В числе этих приложений можно упомянуть следующие:
-
Двумерные точно решаемые модели статистической физики. Матричные элементы сплетающего оператора квантовой группы в конкретном представлении (при выполнении некоторых дополнительных условий) являются Больпмановскими весами некоторой интегрируемой вершинной статистической модели. Таким образом, квантовые группы и их представления классифицируют известные точно решаемые модели и дают возможность определять новые.
-
Двумерная конформная теории поля и ее интегрируемые возбуждения (модели WZWN, SG, Тирринга, Тоды), а также топологические теории поля (теория Черна-Саймона). Так, конформные блоке теории WZWN имеют монодромию, которая характеризуется Я-матрицами. Оказалось также, что эти теории имеют скрытую квантово-групповую симметрию. В случае возмущенной конфорной теории эта симметрия образуется нелокальными токами.
3. Теория узлов, недавний прогресс в котором связаі также с кван-
-товыми группами. К извесным с начала века полиномам Алексан-
дера, которые характеризуют узлы, добавились другие полиномь узлов (полиномы Джонса, HOMLEY, ...). Они строятся с помощьк Я-матриц квантовой группы в конкретном представлении.
4. Некоммутативная геометрия и (/-анализ. Квантовую группу мож
но также определить как преобразование, сохраняющее структу
ру пространства с связь квантовых групп с «/-деформированными осцилляторами і
спинорами, а также с q-деформацией некоторых специальных функ
ций.
5. Квантовый эффект Холла. Недавно обнаружилась квантево-груп
" . повая симметрия в задаче свободных электронов во внешнем одно
родном магнитном поле. Гамильтониан модели Хофштадера (мо дель свободных электронов на квадратной решетке в постоянно} однородном магнитном поле) был выражен через генераторы кван товой группы. В результате для определения энергии при среднеї значении импульса (midband) получились уравнения Бете.
Эти соображения определяют интерес, который представляет иссле дование Я-матриц квантовых групп в различных представлениях.
Цель работы. Целью диссертационной работы является:
1. Построение «/-деформированных фермионных представлений неко торых квантовых групп через гомоморфизм складывания (folding)
Объединение й-матриц квантовой группы U,,sl-2 для обычных спин-j и полуциклических представлений.
Исследование поведения универсальной Я-матрицы этой алгебры при сингулярных значениях параметра деформации q а также возможности получения из нее сплетающих операторов для полуциклических и циклических представлений.
Обобщение процедуры квантового дубля на случай супералгебр Хопфа. Построение универсальной Я-матрицы квантовых суперал-гребр Uqslntm методом квантового дубля.
Вывод явных функциональных уравнений для задачи Хофштадера при произвольных значениях импульса электрона.
аучная новизна работы заключается в следующем:
Найдены новые представления квантовых групп UgBn, f/,Cn и'с/,(?2 через «/-деформированные спиноры.
Выведена общая формула для зависящих от спектрального пара
метра Я-матриц квантовых алгебр Uqsl-2 и Uqosp(l,2) для предста
влений со старшим весом. Я-махрица для полуциклйческих пред
ставлений получается ограничением из Я-матрицы для модулей
Верма. При этом показано, что условие, что спектральный пара
метр этой У?-матрицы лежит на алгебраической кривой, высшего
рода, выводится естественным образом как условие і >ррекности
этой факторизации, .,, . ,
Г)
-
Найдены новые решения уравнения Янга-Бакстера со спектральным параметром, соответствующие смешанным представлениям.
-
Впервые построен базис Пуанкаре-Биркгофф-Витта для квантовых супералгебр Uqsln>rn. Для генераторов корней с чередующей четностью в схеме Дынкина найдены нового типа четырехлинейные соотношения.
-
Впервые метод квантового дубля применен для построения универсальной й-матрицы квантовых супералгебр Uqsln;m.
-
Впервые доказана, что афинная квантовая алгебра Uqsl2 при значениях параметра деформации q, равным корню из еддницы> является автоквазитриангулярной алгеброй Хопфа, введенной недавно Реше-тихиным.
-
Показано, что универсальную ^-матрицу афинной 1/яз1з при значениях параметра деформации
-
Показано, что полученные таким образом бесконечномерные сплетающие операторы можно ограничить на полуциклические представления при некотором условии на параметры этих представле-йий. Эти сплетающие операторы совпадают с Больцмановскими весами киральной м'одели Потса, а условия на параметры определяют алгебраическую кривую, на которой лежит спектральный параметр этой модели.
9. [выведены функциональные уравнения н терминах тета-функцип для определения энергетического спектра в модели Хофштадера (модель свободных электронов на квадратной решетке в постоянном однородном магнитном поле).
Практическая ценность. Результаты работы могут (її,і ті; применены в теории точно решаемых моделей статистической фишки.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах теоретического отдела Кр-ФИ, "Saclay (Париж) и на международной кондеренции "Симметрии в Физике" в Дубне.
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть статен [1. 2, 3, 4, 5, 6].
Структура и обьем диссертации. Диссертация изложена на Ш страницах машинописного текста, состоят-.т введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы (111 наименований).
