Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы: реджезация глюона, померон в КХД и эффективное действие Липатова 11
1.1 Померон и трехпомеронная вершина в КХД 11
1.2 Эффективное действие Липатова 13
1.3 Приближение Глаубера 15
1.4 Принятые упрощения и обозначения 17
2 Амплитуда рождения глюона в процессах с трёхреджеонным обменом с мишенью 19
2.1 Общие замечания 19
2.2 Эффективная R— RRRP вершина
2.2.1 Диаграмма 1 20
2.2.2 Диаграммы 2 и 3 22
2.2.3 Диаграмма 4 22
2.2.4 Диаграмма 5 23
2.2.5 Полная вершина R— RRRP 23
2.2.6 Поперечность вершины VR RRRP 24
2.2.7 Полная эффективная R— RRRP вершина в аксиальной калибровке 25
2.3 Двукратное взаимодействие со снарядом 26
2.3.1 Испускание глюона из вершины R— RRP 26
2.3.2 Испускание глюона из вершины R— RP
2.4 Трехкратное взаимодействие со снарядом 29
2.5 Восстановление пропагаторов Фейнмана 30
2.6 Выводы
Инклюзивное сечение рождения глюона на двух нуклонах 34
3.1 Общие замечания 34
3.2 Вклад от одиночного разреза
3.2.1 Вклад от диаграмм без взаимодействия рожденного глюона с мишенями 37
3.2.2 Вклад от диаграмм с однократным взаимодействием рожденного глюона с мишенями 40
3.2.3 Вклад от диаграмм с двукратным взаимодействием рожденного глюона с мишенями
3.3 Вклад от дифракционного разреза 45
3.4 Инклюзивные сечения
3.4.1 Полная высокоэнергетическая функция F 47
3.4.2 Импульсное приближение 48
3.4.3 Вклад двукратного рассеяния 49
3.4.4 Сравнение с дипольной картиной 49
3.5 Выводы 50
4 Предписание полюса 51
4.1 Общие замечания 51
4.2 Упругое рассеяние на двух центрах
4.2.1 КХД 52
4.2.2 Эффективное действие 52
4.3 Излучение глюона на двух центрах 53
4.3.1 КХД 53
4.3.2 Эффективное действие 54
4.3.3 Метод сокращеных вычислений 55
4.4 Упргое рассеяние на трех центрах 56
4.4.1 КХД 56
4.4.2 Эффективное действие 58
4.5 Излучение глюона на трех центрах 60
4.5.1 КХД 60
4.5.2 Излучение глюонов на трех центрах по вершинам Липатова и Бар-тельса 63
4.5.3 Результаты эффективного действия
5 Вершина два реджеона в два реджеона с излучением глюона 68
5.1 Получение вершины с виртуалвным излучаемым глюоном 68
5.1.1 Рис. 5.1,а 68
5.1.2 Рис. 5.1,6 70
5.1.3 Рис. 5.1,в 71
5.1.4 Рис. 5.1,г 72
5.1.5 Вкладві, получаемвіе перестановкой реджеонов 72
5.2 Трансверсальность 74
5.2.1 Амплитуды ЛІ, І = 1,...5 74
5.2.2 Zi + Zi-Zs 76
5.2.3 Z2-Z3-Z5
5.3 Амплитуда на массовой поверхности 78
5.4 Поведение амплитуды при больших продольных импульсах
5.4.1 qi+ — оо, р фиксировано 80
5.4.2 fci — оо, р фиксировано
5.5 Полюса по продольным импульсам в нулевых значениях 86
5.6 Выводы
- Приближение Глаубера
- Полная эффективная R— RRRP вершина в аксиальной калибровке
- Вклад от диаграмм с однократным взаимодействием рожденного глюона с мишенями
- Упругое рассеяние на двух центрах
Введение к работе
Актуальность работы
В квантовой хромодинамике (КХД) при высоких энергиях в кинематике Ре-дже, когда передаваемые поперечные импульсы гораздо меньше, чем энергии, адронные взаимодействия могут быть описаны посредством взаимодействия нормальных глюонов с реджеизованными ("реджеоны"). Последние комбинируются в помероны, связанные с бесцветными участниками взаимодействия снарядов и мишеней. В главном логарифмическом приближении взаимодействие двух адронов путем обмена помероном было рассмотрено давно в подходе Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) [1, 2], где построено уравнение, описывающее померон в КХД. Позднее это уравнение, дополненное нелинейными членами, было выведено для взаимодействия точечного снаряда с тяжелым ядром (уравнение Балицкого-Ковчегова [3, 4]).
Для эксперимента большое значение имеют инклюзивные сечения рождения частиц при высокоэнергетических столкновениях. В рамках описанного подхода инклюзивные сечения рождения глюонов были выведены Ковче-говым и Тучиным для рассеяния виртуального глюона на тяжелом ядре в дипольном подходе [5].
Однако целый ряд проблем в этой области остался нерешенным. Сюда относятся процессы с участием легких ядер и, в особенности, столкновения двух легких или тяжелых ядер. Для столкновений двух тяжелых ядер полные сечения рассеяния могут быть рассмотрены в рамках эффективного взаимодействия померонов [6]. Для инклюзивных сечений общий формализм был разработан в [7-9] в рамках подхода конденсата цветового стекла (CGC), но для данного формализма необходимо использование численных методов.
Подход БФКЛ представляет альтернативный способ изучения этой проблемы, который позволяет получать аналитические формулы для сечений, а также позволяет изучить случай легких ядер [10], где прямое примене-
Рис. 1. Рождение глюона при рассеянии нуклона на дейтроне. Жирные линии соответ-свуют нуклонам (в вычислениях - кваркам), волнистые линии - реджеонам. Рожденный глюон - на разрезе.
Рис. 2. Рождение глюона при рассеянии нуклона на дейтроне в области дифракции. Ведущие поправки к вкладу от трехпомероной вершины,
ние подхода CGC не представляется возможным. В подходе БФКЛ проблема сводится к построению амплитуд рождения глюона при взаимодействии нескольких реджеонов, соединенных со снарядом, и нескольких реджеонов, соединенных с мишенью.
Простейшим случаем, конечно, является рождение глюона в взаимодействии двух реджеонов, связанных со снарядом, с двумя реджеонами, связанных с мишенью. Этот случай был рассмотрен давно, практически сразу вслед за построением уравнения БФКЛ, и решается фиксированием одного из реальных глюонов среди прочих в промежуточных состояниях в соотношении унитарности. В этом случае нужная амплитуда рождения глюона есть известная вершина Липатова ([1], краткое описание приведено в обзоре литературы).
Однако включение в рассмотрение легких ядер требует знания более сложных вершин взаимодействия. Инклюзивное сечение рождения глюона на дейтроне описывается диаграммами, изображенными на Рис. 1. Видно,
что оно выражается через вершины излучения глюона при расщеплении входящего реджеона на два и три реджеона (R—> RRP и R—»RRRP, где R и Р обозначают реджеон и глюон соответственно). Еще более сложные вершины требуются для описания инклюзивного сечения рождения глюона при столкновении двух дейтронов в следующим за главным приближении. В дифракционной области оно описывается диаграммами, изображенными на Рис. 2. Их вычисление требует знания нетривиальной вершины рождения глюона при взаимодейстии двух реджеонов RR—> RRP (связная часть диаграммы на
С учетом того, что вершина R—>RRP была построена и исследована ранее в работах других авторов [11, 12], в настоящей работе строятся вершины излучения глюона R—>RRRP и RR—> RRP с использованием формализма эффективного дейстия. Изучается вопрос об обходе полюсов при обращении продольных импульсов в ноль. Показано, что как и в случае вершины R—)-RRP, полная амплитда рождения глюона при взаимодействии снаряда с двумя центрами, включающая как вершину R—)-RRRP, так и вклад от перерассеяния
снаряда, оказывается соответствующей правилам КХД при интерпретации полюсов по продольному импульсу в смысле главного значения. При этом окончательный результат отвечает правилам БФКЛ в чисто поперечной картине с использованием стандартных пропагаторов Фейнмана.
Этот вывод существенно облегчает проведенное в работе вычисление сечения рождения глюона при столкновении с дейтроном. Найденные явные окончательные выражения могут составлять основу для будущего численного расчета.
Построенная весьма громоздкая вершина RR—»RRP по всей видимости не соответствует указанному правилу. Как оказалось, она имеет полюса при нулевых продольных импульсах. В соответствии с требованием эрмитовости действия, разумно с самого начала постулировать правило обхода полюсов в смысле главного значения. Показано, как фунция продольных импульсов вершины убывает досточно быстро, чтобы интегрирование стало конечным и ультрафиолетовые расходимости отсутствовали. Полученная в явном виде вершина RR—7-RRP может быть в дальнейшем использована для численного вычисления поправок к дифракционному рождению протонов на дейтроне, как описано во введении (Рис. 2). Научная новизна и практическая значимость
1. Найденные аналитические выражения для вершин R—>RRRP и RR—>RRP
могут быть использованы для расчетов инклюзивных сечений рождения глюонной струи в столкновениях одного или двух нуклонов снаряда с двумя нуклонами мишени.
2. Сформулированные правила обхода полюсов дополняют эффективное
действие, делая его пригодным для вычисления амплитуд с взаимодей
ствием на различных быстротах.
3. Установленная связь между описанием амплитуд в рамках эффективного действия и чисто поперечной картины, следующей из дисперсионного
подхода БФКЛ-Бартельса, позволяет упростить вычисление сечений, обосновать ряд результатов, ранее полученных в поперечной картине, и, как следствие, правил АГК в ней.
-
Найденное аналитическое выражение для инклюзивного сечения рождения глюонных струй при столкновении точечного снаряда с дейтроном после численного расчета может быть сравнено с экспериментальными данными и, тем самым, пролить свет на механизм восстановления унитарности при сверхвысоких энергиях.
-
Полученное выражение вершины RR^RRP не может быть простым образом восстановлено из чисто поперечной картины. Представляет интерес дальнейшее его сравнение с вершинами для перехода между произвольными числами реджеонов, построенными в дисперсионном подходе [13]. Это может дать ключ к обобщению на случай столкновений ядро-ядро.
Апробация работы
Результаты данной работы докладывались на научной школе в Тренто (ЕСТ* Doctoral Training Program, 2014, Italy) и на международных конференциях "Nucleus 2015"и "MQFT-2015". Публикации
Основные результаты работы опубликованы в четырех статьях [1-4] в журналах, входящих в базы данных Web of Science и Scopus. Личный вклад автора
Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все основные результаты получены диссертантом либо лично, либо в неразделимом соавторстве.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав, и библиогра-
Приближение Глаубера
Приближение Глаубера соответствует вкладу, который возникает, когда F(z) не зависит от z. Это качественно изменяет возможность расчетов, предоставляя путь для получения аналитического результата. Типичным образом это происходит потому, что мнимая часть Н содержит вклад, пропорциональный 5(к+), так называемый, стандартный Глауберов-ский вклад, отвечающий за многократное столкновение налетающих частиц с нуклоном. Однако это не единственная возможность.
В нашем исследовании основное внимание будет уделено формированию вершин взаимодействия реджеонов с глюонами при заданной быстроте. При этом предполагается, что входящие реждеоны во взаимодействии со снарядом (снарядами ) объединяются во входящий померон (помероны), а выходящие реджеоны во взаимодействии с мишенью (мишенями) объединяются в выходящий померон (помероны). Конкретный вид импакт-факторов для померонов для нас несущественен. Это позволяет для анализа конкретных вкладов упростить снаряды и мишени до простых кварков, наложив условие бесцветности их взаимодействия. Мы предполагаем, что кварки-снаряды имеют импульс К, а кварки мишени имеют импульс г, причем К_ = г+ = К± = г± = 0 и в системе центра масс К+ = г_. Полюс при нулевых значениях продольного импульса в конкретных вычислениях будет пониматься в смысле главного значения.
Индуцированные вершины будут обозначены серыми кругами, полные вершины жин-рыми точками. Сплошные ненаправленные линии обозначают глюоны, направленные -кварки, волнистые соответствуют реджеонам. Направления вниз и влево для всех пропо-гаторов изображенных здесь фейманских диаграмм соответствуют положительным значениям импульсов в наших обозначениях. Обозначим импульсы и цвета верхних реджеонов справа налево, как qi, а\ и q2, a2l а реджеонов снизу, как к\, Ь\,к2, Ь2 и к2, Ь2. В случаях, когда верхний реджеон будет всего один индексы будет удобно сокращать до к, а. Для экономии обозначений, мы будем обозначатьпроизведение матрицы цвета tbltb2tb:i просто как (123), а след по ним, как [123]. Также продольные импульсы fci_, к2_ и кз- будем обозначать, как 1,2 и 3, когда это не приводит к путанице. Излучаемый глюон имеет импульс, поляризацию и цвет р,ц,с. Реджеоны обладают вектором поляризации п 1 с п\_ = п]_ = nZ = nZ_ = О, nZ = п 1 = 1. Если в вершину входит реджеон А" , то на диаграмме он будет входить в вершину со стороны снаряда(сверху) и в обозначении R— ЯР мы подразумеваем реджеон(Ы) слева.
В данной главе рассматривается амплитуда рождения типа, изображенного на рисунке 2.2. Её знание необходимо для вычисления второй части вклада в инволютивное сечение рождения глюона. Здесь по аналогии с главой 1 будут рассмотрены вершины эффективного действия и пропагаторы кварка-снаряда, доказано их восстановление при условии отбрасывания полюсных слагаемых вершин.
В этой главе вычисляется амплитуда рождения реального глюона с импульсом р при столкновении кварка с импульсом К посредством обмена тремя реджеонами с импульсами кі, і = 1,2,3, взаимодействующими с кварками-мишенями. В мультиреджевской кинематике для реального глюона в центральной области выполняется
Амплитуда рож;дения глюона из вершины R— RRRP с однократным взаимодействием кварка-снаряда соответствует диаграмме, изображенной на Рис. 2.1. Полная эффектив -20 К К Диаграмма с одинарным взаимодействием со снарядом ная вершина R— RRRP есть сумма нескольких вкладов, показанных на Рис. 2.2. Кварки и реальный глюон изображены прямыми линиями, а реджеоны - волнистыми линиями. Вершина должна быть симметризованной по отношению к трем выходящим реджеонам. Все диаграммы в этом и последующих разделах содержат общий множитель, происходящий от трех реджеонных пропагаторов. Этот множитель S/(kf±k2±k 1) в дальнейшем будет опускаться.
Диаграмма 1 на рис. 2.2 есть свертка двух вершин Р— ЯР вершин с вершиной Липатова 1.2 и двумя пропагаторами виртуальных глюонов. Вершина Р— RP была найдена ранее в работе [15]. Для нашего случая VP RP = У-1—- - 2р+д а + (р + 2fc3)X + {jp - h)an+ + - п+п+ , (2.2) z \ р+ / Здесь г = к — к\ — fc2 = р + к3. Так что г+ = р+ = к+ и г_ = — к\_ — fc2_. Для глюонных пропагаторов выбираем фейнмановскую калибровку. Таким образом, диаграмма оказывается
Полная эффективная R— RRRP вершина в аксиальной калибровке
В качестве приложения построенной в предыдущей главе амплитуды рождения глюона на трех центрах мы рассмотрим инклюзивное сечение рождения глюона на двух бесцветных мишенях (нуклонах). Инклюзивное сечение рождения глюона на составных объектах, ядре или дейтроне, получится сверткой с ядерным или дейтронным фактором, как указано в третьем разделе Главы 1. При этом, в глауберовком приближении, нужно оставить только члены, содержащие S(q-), где д_ есть импульс, переданный одной из мишеней с q+ = q± = 0 Инклюзивное сечение рождения глюона получается фиксацией одного из глюонов в промежуточном состоянии в условии унитарности для упругой амплитуды. Нас будет интересовать нетривиальная часть сечения, когда обе мишени участвуют во взаимодействии. В этом случае упругое сечение дается диаграммой трехпомеронного взаимодействия Рис. 3.1, а инклюзивное сечение представляется двумя вкладами, показанными на Рис. 3.2 и соответствующими фиксациями промежуточного глюона внутри входящего померона (Рис. 3.2,А) или в самой трехпомеронной вершине (Рис. 3.2,В). Рождение глюона из выходящих померонов запрещено правилами АГК [29]. Инклюзивное сечение рождения глюона из померона было изучено давно и хорошо известно. В связи с этим, нас в первую очередь интересует только рождение глюона из трехпомеронной вершины. Поскольку эта вершина относится к фиксированной быстроте и не включает эволюцию по ней, вклад от нее может изучаться в низшем порядке теории возмущений. Более того, по этой же причине можно в качестве мишеней выбрать просто кварки, наложив условие бесцветности для их перехода при взаимодействии. Именно такая упрощенная картина будет изучаться в этой главе.
В рамках этого приближения инклюзивное сечение может быть разделено на три части в зависимости от того, какие кварки мишеней населяют промежуточные состояния (Рис. 3.3). Обычным образом обозначим промежуточные состояния в соотношении унитарности разрезом в s-канале. Тогда разрез может вообще не проходить через мишени ("дифракционный разрез", Рис. 3.3,А) может проходить только через одну из мишеней ("одиночный разрез", Рис. 3.3,В) или может проходить через обе мишени ("двойной разрез", Рис. 3.3,С). Вклад от двойного разреза требует знания только вершины VR RRP и был уже вычислен ранее в работе [30]. Поэтому предметом нашего рассмотрения прежде всего станет одиночный разрез, который использует вершину VR RRRP, построенную в предыдущей главе.
Заметим, что в ней показано, что при рассеянии на трех центрах с учетом перерассеяния снаряда можно не учитывать индуцированные вклады, а вместо этого использовать фейнмановские пропагаторы в оставшихся диаграммах, включая диаграммы с перерас -36 I
Дифракционный (А),одиночный (В) и двойной (С) разрезы амплитуды, дающие вклад в инклюзивное сечение рождения глюона сеянием. Именно эта техника будет использована нами при вычислениях. Она позволяет избежать неудобных интегрирований в смысле главного значения по продольным и импульсам.
В этой главе мы обозначаем импульс рожденного глюона р, импульс налетающего снаряда К, его импульс в промежуточном состоянии К = К — к. Начальные импульсы кварков-мишеней обозначаем г\ и r2l их конечные импульсы г[ и г2, причем r[ — ri = r2 — r 2 = q1 где q есть импульс, переданный мишеням. К вкладу, соответствующему диаграмме Рис. 3.3,В, нужно добавить сопряженный вклад и еще вклады, отвечающие перестановке мишеней 1 и 2, что соответствует замене q — —q. Следует иметь в виду, что по физическому смыслу в центральной области р_ « q_, поскольку рожденный глюон в системе покоя ядра движется быстро. Поэтому при вычислениях мы пренебрегаем р_ по сравнению с q_.
Как видно из Рис. 3.3,В, он дается произведением тривиальной левой амплитуды рождения глюона на мишени 2 вершиной Липатова на нетривиальную правую амплитуду рождения глюона с обменом тремя реджеонами с мишенями 1 и 2. В ней родившийся глюон может взаимодействовать один раз или дважды с мишенями или не взаимодействовать вовсе. В последнем случае его испусканию будет соответствовать тоже вершина Липатова, в первых двух случаях - вершина Бартельса. Мы рассмотрим последовательно диаграммы без взаимодействия испущенного глюона с мишенями, с однократным и двукратным взаимодействиями.
Примеры таких диаграмм приведены на Рис. 3.4. Все они различаются номером реджео-на, из которого в правой части испускается наблюдаемый глюон, и видом взаимодействия правых реджеонов с мишенями. Перенумеруем правые реджеоны 1,2 и 3 в порядке их взаимодействия со снарядом справа налево. Эти реджеоны могут по-разному взаимодействовать с мишенями 1 и 2. Перенумеруем точки взаимодействия с мишенью 1 как 1 и 2 справа налево, а взаимодействию с мишенью 2 (рассеченной) сопоставим точку 3. Тогда всевозможные схемы взаимодействия реджеонов можно описать всеми перестановками 1,2,3: ikl будет соответствовать случаю, когда 1-ый реджеон взаимодействует с мишенями в точке г, второй - в точке к , а третий в точке / (6 вариантов). При этом любой из реджеонов т = 1,2,3 может испускать наблюдаемый глюон. Такую диаграмму мы обозначим как (m\ikl) и ясно, что диаграмм будет 18. Диаграммы, изображенные на Рис. 3.4 в этих обозначениях запишутся как (3 123) и (3213).
Все диаграммы содержат два четырехмерных интегрирования. Условия массовой поверхности кварков снимают два продольных интегрирования. Таким образом, остаются два поперечных и два продольных интегрирования.
Рассмотрим более подробно продольные интегрирования. С самого начала ясно, что диаграммы вида (m\i3j) не дают вклада, поскольку в них появляются два пропагато-ра кварка-снаряда с полюсами по fcj_, лежащие по одну сторону от вещественной оси. Оставшиеся диаграммы удобно рассматривать попарно, суммируя два вклада с прямым и обратным порядками точек взаимодействия с кварком мишени 1. Возьмем для примера диаграммы (3 123) и (3213) (Рис. 3.4). Они различаются только пропагаторами кварка -38 мишени 1, которые суммируются в 1111 = 2тгг8(2г1-к1+). (3.1) (г! + fci)2 + гО (ri-fci)2 + «0 2n_fci+-H0 -2n_fci++ г"0 Здесь использовано, что г[_ т\-. Заметим, что результат (4.1) означает, что для каждой из диаграмм по-отдельности мы можем оставить только -функциональные вклады в пропагаторах перерассеивающихся кварков-мишени. Это уменьшает число продольных интегрирований до одного.
Вклад от диаграмм с однократным взаимодействием рожденного глюона с мишенями
Суммируя все диаграммы и переобозначая импульс выходящего реджеона, из которого испущен наблюдаемый глюон, как к2, мы находим суммарный вклад всех диаграмм Собирая все факторы, мы находим вклад, происходящий от рассмотренных диаграмм, в множитель F, определяющий вклад от высокоэнергетического взаимодействия в глау-беровское сечение: который должен быть еще должным образом проинтегрирован по поперечным импульсам с учетом законов сохранения.
Примеры таких диаграмм приведены на Рис. 3.5. Все они содержат вершину Бартельса В(р, к, к ), описывающую ак и в предыдущем разделе, они различаются номером реджеона, из которого в правой части испускается наблюдаемый глюон, и видом взаимодействия правых реджео-нов с мишенями. Перенумеруем правые реджеоны, взаимодействующие со снарядом 1 и в порядке их взаимодействия со снарядом справа налево, а реджеоном 3 обозначим тот, который взаимодействует рождение глюона с его последующим взаимодействием с мишенью. К с испущенным глюоном. Точки взаимодействия с мишенями перенормируем как и ранее: с мишенвю 1 сопоставим 1 и 2 справа налево, а взаимодействию с мишенвю 2 (рассеченной) сопоставим точку 3. Тогда всевозможные схемы взаимодействия реджеонов опять можно описать всеми перестановками 1, 2, 3: ikl будет соответствовать случаю, когда первый реджеон взаимодействует с мишенями в точке г, второй - в точке к , а третий - в точке / (6 вариантов). При этом любой из реджеонов га = 1,2 может испускать наблюдаемый глюон. Такую диаграмму мы обозначим как (m\ikl) и ясно, что диаграмм будет
Рассмотрим продольные интегрирования. Из всех диаграмм две (2132) и (2231) не дают вклада, поскольку в них появляются два пропагатора кварка-снаряда с полюсами по кг-, лежащие по одну сторону от вещественной оси. Оставшиеся диаграммы, как и прежде, удобно рассматривать попарно, суммируя два вклада с прямым и обратным порядками точек взаимодействия с кварком мишени 1. Тогда опять мы обнаруживаем, что для каждой из диаграмм по-отдельности мы можем оставить только -функциональный вклад в пропагатор перерассеивающегося кварка-мишени, и число продольных интегрирований уменьшается до одного. Во всех диаграммах, дающих ненулевой вклад, кроме пары (11312) и (11321) возникает интеграл типа (3.13). В паре (11312) и (11321) возникает интеграл, в котором в подынтегральное выражение входят два пропагатора, вида
Переобозначив импульсы реджеонов так, чтобы реджеон, взаимодействующий с мишенью 2 имел импульс к2, а, реджеоны, взаимодействующие с мишенью 1 в точках 1 и 2 имели импульсы к\ и к3 соответственно, мы находим сумму всех вкладов как {- fc3 fc2) + fcl fc2) +P K,fc3,fc2) + fcbfc2))- (3.31) После суммирования с комплексно сопряженным выражением получается N2 - 1 / \ шГп6{д-) (Б(Мз fca) + Б(р fcl fca)) (3 32) В результате находим вклад в множитель F, определяющий вклад от высокоэнергетического взаимодействия в глауберовское сечение, происходящий от рассмотренных диаграмм, как
Примеры таких диаграмм приведены на Рис. 3.6. Все они также содержат вершину Бар-тельса В(р, к, к ), описывающую рождение глюона с его последующим взаимодействием с мишенью. Теперь номер реджеона, из которого в правой части испускается наблюдаемый глюон, фиксирован и мы назовем его 1. Правые реджеоны, взаимодействующие с испущенным глюоном, нумеруем 2 и 3 в порядке испускания справа налево. Точки взаимодействия с мишенями перенормируем как и ранее: с мишенью 1 сопоставим 1 и 2 справа налево, а взаимодействию с мишенью 2 (рассеченной) сопоставим точку 3. Тогда всевозможные схемы взаимодействия реджеонов можно полностью описать всеми перестановками 1, 2, 3: ikl будет соответствовать случаю, когда первый реджеон взаимодействует с мишенями в точке г, второй - в точке к , а третий - в точке / (6 вариантов). Ясно, что диаграмм будет 6. Диаграммы, изображенные на Рис. 3.6 в этих обозначениях запишутся как (123) (213).
Рассмотрим продольные интегрирования. Из всех диаграмм две (132) и (231) не дают вклада поскольку в них появляются два пропагатора кварка-снаряда с полюсами по fcj_, лежащие по одну сторону от вещественной оси. Оставшиеся диаграммы, как и прежде, удобно рассматривать попарно, суммируя два вклада, с прямым и обратным порядками точек, взаимодействия с кварком мишени 1. Тогда опять мы обнаруживаем, что для каждой из диаграмм по-отдельности мы можем оставить только -функциональный вклад в пропагатор перерассеивающегося кварка-мишени, и число продольных интегрирований уменьшается до одного. Во всех диаграммах, дающих ненулевой вклад, возникает инте -44 грал типа (3.13).
Как и ранее в сумме прямой и скрещенной диаграмм часть пропагатора кварка мишени, содержащая главное значение, сокращается и в каждой из этой пары можно в пропагаторе оставить только -функциональный член. Тогда во всех диаграммах от кварка-мишени вместе реджеонными пропагаторами возникает выражение (3.41) 2тг і+)7 (fc?)2 Возникающая 6 функция, как и ранее, снимает одно из продольных интегрирований. Остающееся интегрирование по к\- приводит во всех выражениях к интегралам типа (3.13)
Рассмотрим вначале диаграммы 1 и 2 вместе с диаграммами со скрещенными реджеонами. Во всех случаях от кварка-снаряда возникает множитель —К+гу+. Импульсный множитель для всех диаграмм одинаков и равен
Упругое рассеяние на двух центрах
Отметим, что в пределе к\- — оо ключевой вклад исходит от минусовых компонент вершины. По этой причине, можно ожидать еще более надежную сходимость для амплитуды на массовой поверхности, умноженной на вектор поляризации є с нулевой плюсовой компонентой. Численные расчеты показывают, что это действительно так в конфигурации D-ND из-за сокращения в сумме с вкладом с переставлеными fci_ и к2-- В этом случае вершина ведет себя как 1/к\_ на к\- — оо. Тем не менее, те же численные расчеты показывают, что этот результат для конфигурации ND-ND не аналогичный. В ней амплитуда ведет себя как 1/к\-.
Здесь мы выделяем вклады с полюсами в g1+, g2+, &i-, к2- = 0, появляющиеся из индуцированных вершин в эффективном формализме действия. В случае рождения глюона в столкновении одного снаряда с несколькими целями эти полюса сокращаются с особенностями, приходящими из вкладов перерассеяния [16, 18, 20]. В нашем случае нет перерассеяния, и можно подумать, что эти полюса сокращаются в полной амплитуде после учета всех перестановок взаимодействующих реджеонов. Эта возможность была предложена в [32] для оддеронного ядра второго порядка. Тем не менее, мы увидим, что в нашем случае полюсные особенности не сокращаются и остаются в полной амплитуде рождения. Для приложений это означает, что необходимо исправить способ интегрирования по продольным координатам в присутствии этих полюсов. Требование эрмитовости эффективного действия и структура простого обмена реджеоном подсказывает нам применять интегрирование в смысле главного значения.
Из-за сложной формы амплитуды рождения самый простой способ увидеть наличие полюсных особенностей в qi+,q2+,k\-k2- = 0 это численные расчеты. Действительно, и для N-ND, и для ND-ND конфигураций амплитуда рождения содержит полюсовые особенности при каждом qi+, q2+, к\_ и к2_ равным нулю, а также двойные полюсные особенности, например в случае q\+ = к\_ = 0.
Далее приводиться аналитическое подтверждение этого. Вновь рассмотрим все вклады в амплитуду ЛІ І = 1, ...5. 1. Лі Коэффециенты а, ...е не содержат сингулярностей,в отличии от А, ...Е, где выделяются следующие особенности Qi+ Qi+ Qi+ Qi+h -87 Здесь t = q\ + q2 — k\. Для компактности будем представлять полюсную часть от Лі, как мы используем уравнение (5.18). Отбрасывая громоздкое выражение, сразу приведем расчет для Аъ на массовой поверхности после умножения на вектор поляризации е. Сингулярность содержится в А г\ і = 1, 2, 3, 5 (вклад А можно исключить из рассмотрения в условиях нашей калибровки). Мы получаем A = l\p + t2) + + 2 k 2- k 2- k 2 ggigi+fca- + fcgi+ + 3 qfq 2±k 2- + gfcfg2+ fci- g2+ fci- qi+h Как мы видим, каждая из амплитуд ЛІ, г = 1,..., 5 содержит и одиночные, и двойные полюса по продольным импульсам входящих(верхних) и выходящих (нижних) реджеонов. Их сокращение вместе с членами, получеными перестановкой реджеонов, не представляется возможным, ввиду различных знаменателей у разных амплитуд. Перестановка реджеонов дает нам вклады с иными знаменателями по поперечным импульсам. Таким образом, по крайней мере, при фиксированных поперечных импульсах полюсные особенности в амплитудах ЛІ, і = 1,..., 5 и амплитуды, полученные от них перестановкой реджеонов, содержат различные коэффициенты. Таким оброзом, в отличие от одного снаряда, в амплитудах рождения с двумя снарядами и мишенями полюса в продольных импульсах остаются непогашенными, что требует разработки пути, чтобы сделать интегрирование по продольным импульсам. Интегрирование в смысле главного значения является очевидным выбором.
Мы получили выражение для вершины RR— RRP, описывающей рождение глюона в взаимодействии двух входящих и двух исходящих реджеонов. Вершина может быть использована для расчетов инклюзивных сечений глюонной струи в столкновениях пары нуклонов снаряда с парой нуклонов мишени, а также дифракционной глюонной струи в дейтрон-протонных столкновениях. Вершина оказывается довольно сложной, но поддается дальнейшим аналитическим и численным расчетам, которые мы отложим для будущих публикаций. Следует также отметить, что для численных расчетов с использованием FORM удобно использовать результат из [33].
Несколько важных свойств полученной вершины были продемонстрированы. Вершина трансверсальна в соответствии с калибровочной инвариантностью. При стремлении одного из продольных импульсов к бесконечности, вершина быстро стремится к нулю, что позволяет впоследствии сделать интегрирование по продольным импульсам в приложениях.
Вершина содержит полюсные особенности при нулевых значениях продольного импульса, появление которых связано с промежуточными индуцированными вершинами в рамках эффективного действий. Сформулирован рецепт обхода полюсов по продольным импульсам в амплитудах R— RRP и R— RRRP. В соотвествтвии с этим результатом, мы считаем, полюса RR— RRP, аналогично полюсам индуцированых вершин, при интегрировании также стоит рассматривать в смысле главного значения. Отметим, что в отличие от амплитуды рождения глюона на нескольких мишенях одиночного снаряда, где эффекты перерассеяния сокращают эти полюса, в амплитуде, содержащей вершину RR— RRP, нет дополнительных взносов перерассеяния, так что упомянутые полюсные особенности сохраняются в амплитуде и должны быть приняты во внимание при интегрировании по продольным импульсам.
Кроме того, в отличие от случая одного снаряда, расмотренного здесь, мы находим, что структура на массовой оболочке вершины RR— RRP остается достаточно сложной и не может быть восстановлена из чисто поперечной картины, которая получается, если взять несколько разрезов амплитуды [17]. Мы считаем, что это связано с тем, что амплитуда обладает дополнительными особенностями, кроме стандартных, соответствующих физическим промежуточным глюонам.