Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор применения концепции скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации и для описания природы темной материи 15
1.1. Применение скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации 15
1.2. Применение скалярного поля при описании природы темной материи 22
Глава 2. Сферически-симметричное решение со скалярным полем Дирака в пространстве Картана-Вейля 30
2.1. Математический аппарат описания постримановых структур на основе формализма внешних форм 30
2.2. Вариационный принцип и лагранжева плотность гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака 35
2.3. Исследование Г-уравнения 44
2.4. Исследование в -уравнения в сферически-симметричном случае 49
2.5. Исследование /?-уравнения в сферически-симметричном случае 53
2.6. Сферически-симметричное решение для центрального тела в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака .54
2.6.1. Вычисление компонент в -уравнения 58
2.6.2. Вычисление компонент /?-уравнения 62
2.6.3. Получение сферически-симметричного решения вариационных уравнений поля з
Глава 3. Сферически-симметричное решение со скалярным полем Дирака в пространстве Картана-Вейля на основе модифицированного вариационного принципа 68
3.1. Модифицированный вариационный принцип в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака 68
3.2. Вариационные уравнения гравитационного поля в пустоте 70
3.3. Исследование вариационного Г -уравнения 72
3.4. Анализ 6 -уравнения и g -уравнения в сферически-симметричном случае 75
3.5. Сферически-симметричное решение для центрального тела в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
3.5.1. Вычисление компоненте-уравнения 83
3.5.2. Вычисление следа g -уравнения 85
3.5.3. Получение сферически-симметричного решения вариационных уравнений поля 87
3.6 Анализ полученных сферически-симметричных решений 89
Заключение 92
Список литературы
- Применение скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации
- Вариационный принцип и лагранжева плотность гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
- Вариационные уравнения гравитационного поля в пустоте
- Сферически-симметричное решение для центрального тела в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
Введение к работе
Актуальность темы исследования
В истории создания современной теории гравитации прослеживается постепенное усложнение геометрической структуры, которой наделяется пространство-время.
Первые работы, связанные с именем А. Пуанкаре, в которых предпринимались попытки обобщить теорию гравитации Ньютона путем отхода от принципа дальнодействия, основывались на геометрии плоского четырехмерного пространства Минковского. Затем А. Эйнштейн в разработанной им общей теории относительности (ОТО) наделяет четырехмерное пространство-время геометрической структурой искривленного пространства Римана. Теория Эйнштейна в настоящее время представляет собой современную общепризнанную теорию гравитационного поля. На основании ОТО строятся современные космологические модели, описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.
Уже с самого начала создания ОТО известными математиками и физиками-теоретиками Г. Вейлем, Э. Картаном, И. Схоутеном, Э. Шредингером, А. Эддингтоном предпринимаются попытки обобщения ОТО на основе усложнения структуры пространства-времени. Такие попытки предпринимались и позднее, но в то время эти теории не получили должного признания.
Отношение к возможным обобщениям ОТО изменилось в конце XX и начале XXI века в связи с произошедшей научной революции в космологии, в результате которой возникли новые представления о свойствах наблюдаемой части Вселенной. Наблюдательные открытия в космологии привели к гипотезе о существовании темной энергии, ответственной за эволюцию Вселенной. В ряде теорий темная энергия описывается космологической постоянной Эйнштейна и связывается с энергией физического вакуума [1]. Была высказана гипотеза о существовании темной материи, определяющей динамику галактик и скоплений галактик. В представлениях о темной материи нашла подтверждение наблюдательными данными высказанная Цвикки [2J еще в 30-х годах двадцатого века гипотеза о существовании в скоплениях галактик темной материи, плотность которой на порядок по массе превышает
плотность обычной барионной светящейся материи. Сравнительно недавно было высказано предположение о том, что темная материя может быть моделирована некоторым гипотетическим скалярным полем [3], [4].
Многими современными специалистами по гравитации и космологии были высказаны предположения, что открытые явления в космологии и астрофизике могут найти объяснения в обобщении теории гравитации на пространства с более сложными геометрическими структурами, характеризуемыми не только кривизной, как пространство Римана в ОТО, но также кручением и неметричностыо. Такие пространства носят названия постримано-вых пространств. К ним относятся пространство Римана-Картана с кривизной и кручением, пространство Картана-Вейля с кривизной, кручением и частным видом иеметричности вейлевского вида, общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностыо общего вида. Данное направление исследований в космологии некоторыми авторами названо термином «нериманова космология» [5], но с точки зрения других авторов более точно данное направление называть «постриманова космология» [6].
Мы придерживаемся концепции, согласно которой пространство-время наделено геометрической структурой пространства Картана-Вейля, в которой особую роль играет скалярное поле Дирака, определяющее неметрич-ность пространства-времени вейлевского вида [6].
В связи с этим актуальность темы исследования определяется тем, что в настоящее время скалярное поле с успехом используется для объяснения как темной энергии, так и темной материи, существование которых в конце XX века обосновано наблюдательной космологией. С теоретической точки зрения введение скалярного поля Дирака обусловлено калибровочным подходом к теории гравитации, в котором данное скалярное поле представляет собой необходимое геометрическое дополнение метрического тензора пространства-времени.
Степень разработанности темы
В работе [7] была построена калибровочная теория гравитационного поля, исходя из требования локальной инвариантности теории относительно группы Пуанкаре-Вейля и было показано, что из этого требования в пространстве-времени возникает геометрическая структура пространства Картана-Вейля. Кроме того в данной теории возникает требование необходимого существования дополнительного скалярного ноля, имеющего столь же фундаментальный геометрический статус, как и метрика. Дальнейшее развитие
теории показало, что данное скалярное поле по своим свойствам совпадает со скалярным полем, введенным Дираком в широко известной работе [8], и поэтому было названо скалярным полем Дирака [6]. В дальнейшем на основе данного результата была построена конформная теория гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля [6], [9], в которой эффективная космологическая постоянная (энергия вакуума) определялась скалярным полем Дирака. Применение данного подхода к космологии ранней Вселенной [6], [9] позволило наметить путь решения проблемы космологической постоянной, представляющей собой важную проблему современной теоретической физики.
В [6] была высказана гипотеза о том, что скалярное поле Дирака в пространстве Картана-Вейля не только определяет величину эффективной космологической постоянной (темной энергии), но также играет роль основной компоненты темной материи. Развитие данной идеи представляет собой содержание настоящей диссертации.
Цели и задачи
В рамках гипотезы о моделировании темной материи скалярным полем Дирака целью настоящей работы является нахождение сферически симметричного решения для центральной массы в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака, что позволит описать распределение темной материи вблизи тяготеющих масс.
Для реализации сформулированной цели решаются следующие задачи:
в рамках стандартного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля вывести вариационные уравнения поля в сферически-симметричном случае с учетом вида кручения и неметричности;
провести анализ данных уравнений и осуществить их решение в пространстве Картана-Вейля для гравитационного поля и скалярного поля Дирака;
разработать новый вариационный принцип, представляющий собой модификацию стандартного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля и заключающийся в том, что зависимость метрического тензора касательного пространства от скалярного поля Дирака вводится непосредственно в лагранжеву плотность с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа;
в рамках разработанного модифицированного вариационного принципа в пространстве Картана-Вейля вывести вариационные уравнения поля в сферически-симметричном случае и осуществить их решение.
Научная новизна
Научная новизна результатов исследования заключается в том, что:
- в пространстве-времени Картана-Вейля в рамках стандартного вариацион
ного принципа, основанного на подходе Дирака, в формализме внешних
форм выведены для сферически симметричного случая вариационные
уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака;
- в сферически-симметричном случае в пространстве-времени Карта
на-Вейля найдены решения полученных уравнений поля для скалярного
поля Дирака и метрики, которая конформным преобразованием сводится к
метрике Папапетру-Илмаза-Розена;
в пространстве-времени Картана-Вейля сформулирован модифицированный вариационный принцип, согласно которому зависимость метрики от скалярного поля Дирака вводится в лагранжеву плотность теории с помощью неопределенных множителей Лагранжа;
в пространстве-времени Картана-Вейля в рамках модифицированного вариационного принципа выведены в формализме внешних форм вариационные уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака, как в общем виде, так и для сферически-симметричного случая. Найдены решения этих уравнений для скалярного поля Дирака и метрики, совпадающей с метрикой Папапетру-Илмаза-Розена, и проведен анализ полученных решений.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что найденные в диссертации сферически-симметричные решения в постримановом пространстве Картана-Вейля способствуют дальнейшему развитию гипотезы о природе темной материи как реализации возможного существования в природе скалярного поля Дирака.
Практическая значимость результатов исследования определяется их возможными приложениями к исследованиям околосолнечного космического пространства, так как при современной точности измерения координат космических систем актуальным является учет соответствующих релятивистских поправок. Эти поправки связаны с отличием пост-ньютоновых приближений для полученных в диссертации метрик от соответствующих приближений метрики Шварцшильда.
Мстодология и методы исследования
Данная работа осуществлялась на основе методологии современной теоретической физики, основанной на приоритете калибровочных принципов при построении теории поля, в данном случае на приоритете пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации.
В работе были использованы следующие методы исследования:
математический метод внешнего дифференциального исчисления;
вариационный метод современной теории гравитации в формализме внешних форм;
компьютерный метод проведения символьных вычислений в математических задачах, широко применяемый в настоящее время в римановой геометрии и теории гравитации, и который в настоящей работе широко использовался для проверки результатов аналитических вычислений.
Положения, выносимые на защиту
-
В пространстве-времени Картана-Вейля в рамках стандартного вариационного принципа в формализме внешних форм выведены для сферически-симметричного случая вариационные уравнения гравитационного поля и скалярного поля Дирака.
-
В сферически-симметричном случае найдены решения полученных уравнений поля для скалярного поля Дирака и метрики, которая конформным преобразованием сводится к метрике Папапетру-Илмаза-Розена.
-
Сформулирован модифицированный вариационный принцип, согласно которому связь метрики со скалярным полем Дирака вводится в лагранжеву плотность теории как слагаемое с неопределенными множителями Лаграижа.
-
В рамках модифицированного вариационного принципа в пространстве-времени Картана-Вейля выведены уравнения гравитационного поля для сферически-симметричного случая и найдены их решения для скалярного поля Дирака и метрики, совпадающей с метрикой Папапетру-Илмаза-Розена.
Достоверность и апробация полученных результатов
Достоверность результатов проведенных исследований основывается на использовании достоверных математических методов, в том числе методов современной дифференциальной геометрии, методов вариационного исчис-
ления в формализме внешних форм, а также компьютерного метода символьных вычислений.
Апробация исследования, его выводов и результатов осуществлялась на международных и всероссийских конференциях и семинарах:
III Российская школа-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии», Казань, 3-7 сентября, 2012 г.;
Международная научная конференция «Фридмановские чтения», Пермь, ПГНИУ, 24-28 июня 2013 г.;
Международный научный семинар «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» и Российская летняя школа «Математическое моделирование фундаменталышх объектов и явлений в системах компьютерной математики», Казань, КФУ, 21-26 октября 2013 г.;
20th International conference on General Relativity and Gravitation (GR20) and lOthAmaldi Conference on Gravitational waves (Amaldi 10),Warsaw, 7-13 July 2013;
International Scientific Meeting «Physical Interpretations of Relativity Theory (PIRT-2013)», Moscow, 1-4 July, 2013;
XV-я Российская гравитационная конференция - «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике» и Международная школа по гравитации и космологии «GRACOS-2014», Казань, 30 июня—5 июля 2014 г.;
L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 14-17 мая 2014 г.;
International Scientific Meeting «Physical Interpretations of Relativity Theory (PIRT-2015)», Moscow, 29 June - 2 July 2015;
XHth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (ICGAC-12), Moscow, PFUR, 28 June - 5 July 2015.
Данные результаты получили также апробацию в процессе работы над научным Проектом № 2.1.1/11190, который был осуществлен в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)»; над Проектом 533п(9), Государственный контракт П797, который был реализован в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы; а также при выполнении государственного задания (проектная часть №3.1968.2014/К) Министерства образования и науки Российской Федерации.
Личный вклад автора
Основные результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором в совместных исследованиях с научным руководителем, доктором физико-математических наук, профессором Б.Н. Фроловым, которому принадлежат формулировка задачи исследования, контроль аналитических вычислений, анализ и обсуждение полученных результатов.
Публикации
По материалам диссертационной работы имеется 12 публикаций, в том числе 2 работы в журналах из списка рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Применение скалярного поля в римановых и постримановых теориях гравитации
В 1963 году Р. Пенроуз в своих лекциях «Конформная трактовка бесконечности», обобщил уравнения свободного скалярного поля, не меняющего своего вида (инвариант) при конформном преобразовании метрики. В работе [94], рассматривая квантовую теорию скалярного поля в конформ но-инвариантной форме в пространстве де Ситтера, Э.А. Тагиров и Н.А. Черников получают метрический тензор энергии импульса для теории с кон формной связью. Как уже указывалось, исследование влияния скалярного поля на космологическом уровне достаточно полно отражено в монографиях [7-9], [80], [81]. Укажем еще на работу Пиблза и Виленкина [95], которые предложили идею о том, что скалярное поле, обусловленное инфляцией, может вести себя как идеальная жидкость и иметь интересные наблюдательные последствия в формировании структуры Вселенной. Укажем также на работу В.Г. Панова [96], в которой исследовалось влияние скалярного поля на космологическую модель Геделя.
Не менее интенсивно скалярные поля в эйнштейновской теории гравитации исследовались на астрофизическом уровне. В 1969 году Руффини [97] сформировал концепцию бозонных звезд – звезд, сформированных скалярными полями, формирующими звезды, в отличие от обычных барионных (фермионных) звезд.
В работе [98] авторы предполагают, что возникшее из единой теории поля скалярное поле может конденсироваться и сворачиваться, что способствует формированию гало галактик. В статье [99] с помощью скалярного поля объясняется природа кротовых нор, то есть получено точное решение уравнения Эйнштейна, которое описывает внутреннюю область вращающейся кротовой норы. Не вращающийся случай этого решения представляет собой статическое, асимптотически плоское решение червоточин, и исследуются особенности этих решений.
Если мы отходим от эйнштейновской теории гравитации, но остаемся в русле римановой геометрии, то прежде всего нужно указать на особый вид скалярного поля, возникающий в 5-мерной единой теории гравитации и электромагнетизма Калуцы-Клейна (см., например, монографии Ю.С. Владимирова [5], [6], [100]). В оригинальной теории Калуцы на компоненту 5-метрики G55 было наложено условие G55 = 1. Однако, в общем случае данная компонента метрики может рассматриваться как некоторое геометризованное скалярное поле G55 = (р, которое существует дополнительно к гравитационному и электромагнитному полям. Существование скалярного поля в 5-мерной теории Калуцы-Клейна имеет физические следствия и может приводить к нетривиальным структурам в пространстве-времени. В работе В.Г. Кречета и А.С. Киселева [101] рассмотрена обобщенная задача Райсснера-Нордстрема в 5-мерной теории Калуцы-Клейна с учетом геометрического скалярного поля G55(x) и получено общее решение пятимерных уравнений Эйнштейна в пустоте. Показано, что существование данного скалярного поля убирает плоскую асимптотику задачи и приводит к решениям с нетривиальной топологией пространства-времени типа «кротовой норы».
Другой известной неэйнштейновской римановой теорией гравитации является теория Бранса и Дикке, которые предложили в 1961 году [102] модифицировать теорию Эйнштейна путем введения дополнительного скалярного поля ср, источником которого являлся след тензора энергии-импульса материи. Однако эта теория не является полностью оригинальной, а фактически представляет собой переработанную теорию П. Йордана [103-105], в которой теория гравитации Эйнштейна обобщается на теорию с переменной гравитационной постоянной G, что в свою очередь еще ранее было предложено Дираком [106], [107] (в теории Бранса-Дикке положено (p = 1G).
Теория Бранса-Дикке обобщалась в различных направлениях. В рамках римановой геометрии эта теория обобщалась на наличие космологического члена. Например, в работе [108] при подобном обобщении получено несингулярное космологическое решение, однако, только для уравнения состояния пыли, что позволяет применить это решение только для холодной стадии развития Вселенной. Его применимость для горячей ранней Вселенной можно рассматривать только на качественном уровне. Развивая теории Йордана, Бранса-Дикке и свои более ранние идеи, Дирак в своей известной работе 1973 года [49] строит конформно инвариантное обобщение теории гравитации Эйнштейна с помощью введения специального скалярного поля (названного в работах [42-44], [51], [52], скалярным полем Дирака). Впоследствии выяснилось, что близкое по свойствам скалярное поле было ранее введено Дезером [50]. В дальнейшем Дирак вновь вернулся к идее изменения гравитационной константы [109], [110]
В. Первушиным [111-115] с группой сотрудников из ОИЯИ (Дубна) в русле идей теории Дирака 1973 года, была построена конформная теория гравитации с переменным скалярным полем в рамках римановой геометрии и успешно решены некоторые проблемы современной космологии без привлечения космологической константы и понятия темной энергии.
Наибольший интерес для нас представляют теории с более сложной геометрической структурой, чем пространство Римана общей теории относительности, -это так называемые постримановы пространства, характеризуемые наряду с кривизной, еще кручением и неметричностью, а также дополнительной структуры в виде скалярного поля. Поэтому мы перейдем к краткому обзору роли скалярных полей в неэйнштейновских постримановых теориях гравитации.
Прежде всего, отметим обобщение теории Бранса-Дикке на постриманово пространство Римана-Картана с кривизной и кручением [116], [117]. Так, в статье [117] авторы предлагают и подробно описывают способ обнаружения скалярных гравитационных взаимодействий, рассматривая теорию Бранса-Дикке как теорию гравитационного поля, в котором пространство-время представлено как пространство с динамическим кручением, определяемым как градиент скалярного поля.
Вариационный принцип и лагранжева плотность гравитационного поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
В соответствии с идеей Дирака [16], реализованной в монографии [17], построение конформной теории гравитации может быть осуществлено с помощью введения в лагранжеву плотность взаимодействия со скалярным полем Дирака /3. Лагранжева плотность, предложенная в [17], [51], [52], была построена для изучения космологического аспекта теории, и поэтому в нее было включено слагаемое с космологической постоянной. В (2.2.1) это слагаемое исключено, так как здесь мы рассматриваем локальный аспект теории. Как и в [17], [51], [52] мы опустили слагаемые с квадратами тензора кривизны, а также была опущена лагранжева плотность внешних полей, так как будет решаться задача в пустоте. В результате представим 4-форму лагранжевой плотности гравитационного поля в формализме внешних форм в следующем виде: L В (2.2.1) первое слагаемое представляет собой обобщенную на пространство Картана-Вейля 4-форму лагранжевой плотности Гильберта-Эйнштейна. Остальные слагаемые - это инварианты, квадра-тичные по кручению и вектору Вейля. Слагаемые с константами связи /. (/=1,2,3) добавлены для обеспечения динамики скалярного поля /?. Последнее слагаемое в (2.2.1) содержит взятое с 3-формой неопределенных множителей Лагранжа Лй6 условие Вейля Qa -(l/4)gaP =0, (2.2.2) налагаемое на метрику и 1-форму связности. Причем ввиду того, что след выражения Qab -(l/4)ga6Q равен нулю, след неопределенных множителей Л не может содержаться в последнем слагаемом в (2.2.1) и без нарушения общности можно положить Лс с = 0.
По сравнению с лагранжевой плотностью, предложенной в [17], [51], [52], в (2.2.1) слагаемые с константами связи и модифицированы в том смысле, что в них введена 1-форма неметричности Qab , а не ее след Q , как в [17], [51], [52].
То, что неметричность следует выразить через след согласно (2.2.2), и тем самым пространство-время оказывается наделенным геометрической структурой пространства Картана-Вейля, можно утверждать только после проведения вариационной процедуры и варьирования по Л . Поэтому в (2.2.1) следует варьировать полную 1-форму неметричности, так как заранее неизвестно, каковы будут уравнения поля в результате этого варьирования. Наличие скалярного поля /? позволяет осуществить инвариантность этой лагранжевой плотности относительно конформных преобразований, которые в формализме внешних форм имеют вид [17]:
В качестве независимых переменных выбираем кобазисные 1-формы в", 1 форму связности Гаь, и скалярное поле Р. Будет использоваться вариационная техника в формализме внешних форм, основанная на доказанной в [53], [17] лемме Бабуровой-Климовой-Фролова о правиле коммутирования операций варьирования и дуализации Ходжа.
Здесь п = А - размерности пространства-времени, а s =3 - индекс метрической формы пространства Минковского. Для осуществления варьирования полезны следующие соотношения (Фа, ФаЬ - произвольные 1- и 2-формы, соответственно) [17]: ST а л (Д/?)Фа) = d(S9a л Д/?)Фа) + + 56а л D( Д/?)Фа) + STab л 8вь л Д/?)Фа, SQab л {f{PWb) = d(-Sgabf(j3Wb) + + SgabD(f(J3) ab) + ST\ л 2/(/3)Ф(аЬ). В [17] при вычислении этих формул были использованы правила вычислений
Приравнивая нулю множитель при произвольной вариации Лab, получаем условие Вейля (2.2.2). Приравнивая нулю множители при призвольных вариациях STab, два и 8Р, получаем 3 уравнения поля: Г-уравнение, в -уравнение и /?-уравнение. Эти уравнения будут отличаться от соответствующих вариационных уравнений, в полученных в [17], [51], [52], выражениями при константах связи с, и , которые были нами получены из формул (2.2.5) и (2.2.6). Однако, если в эти уравнения подставить условие Вейля (2.2.2), то полученные нами уравнения совпадут (после некоторых преобразований) с уравнениями, приведенными в [17], если в последних обратить в нуль слагаемые с квадратами тензора кривизны и слагаемое с космологической константой. Как уже указывалось, мы изучаем локальную задачу и поэтому не учитываем наличие космологической константы.
Вариационные уравнения гравитационного поля в пустоте
Как уже указывалось во Введении, в работах [46-48] была построена калибровочная теория группы Пуанкаре-Вейля, в которой группа Пуанкаре была дополнена группой расширений и сжатий (дилатаций) пространства-времени. В математическом смысле группа дилатаций эквивалентна группе масштабных преобразований Вейля. Как следствие данной теории пространство-время оказывается наделенным геометрическими свойствами пространства Картана-Вейля, а в касательных пространствах может быть выбрана такая ориентация базисов, при которых компоненты метрического тензора касательного пространства приобретают вид gah=p2(x)gM , (3.1.1) где g b - постоянные компоненты метрического тензора пространства Минковско-го, а величина 0(х) (произвольная функция точек пространства-времени) описывает некоторое геометризованное скалярное поле.
Данное утверждение представляет собой частный случай для пространства Картана-Вейля следующего утверждения, доказанному в монографии [54] для общего аффинно-метрического пространства.
Лемма (Б.Н.Фролов, 2003) Базис касательного пространства общего аффинно-метрического пространства L4(g,Y) не может быть выбран калибровочно ко-вариантным образом в виде «жесткого» базиса, в котором все компоненты метри 69 ческого тензора представляют собой набор одних и тех же чисел в каждой точке пространства-времени.
На основе указанных результатов в работах [46-48] был сформулирован вариационный принцип, обсуждаемый в Главе 2. На основании данного вариационного принципа была развита конформная теория гравитации в пространстве Кар-тана-Вейля, применение которого для космологии сверхранней эволюции Вселенной позволило получить результаты, которые позволили разработать подход к преодолению важной «проблемы космологической постоянной» (см. Введение).
В [75] был сформулирован новый вариационный принцип в пространстве Картана-Вейля CW4, представляющий собой модификацию вариационного принципа в этом пространстве, развитого в [42-45], [51], [52]. Новый модифицированный вариационный принцип имеет ряд преимуществ по сравнению с принятым ранее.
Предложенная модификация вариационного формализма сводится к тому, что скалярное поле Р не вводится «руками» независимо от метрического тензора, как это осуществлялось в [51], [52], а вводится в лагранжеву плотность как представление метрического тензора касательного пространства в виде (3.1) с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. В этом случае свойства поля Р в значительной степени определяются идеями калибровочной теории Вейля [10], и это поле целесообразно назвать скалярным полем Вейля-Дирака. 4-форму лагранжевой плотности теории представим в виде Aab - неопределенные множители Лагранжа, причем имеем gab Аа = 0 как следствие условия Вейля (1.1). По сравнению с [51], [52] здесь опущено слагаемое с космологической постоянной Л, так как будет рассматриваться локальная задача, а также опущена лагранжева плотность внешних полей, так как далее будет решаться задача в пустоте. Последнее слагаемое в (3.2) добавлено для обеспечения динамики скалярного поля Р.
Для получения уравнений гравитационного поля в пустоте нужно независимо проварьировать (3.1.2) и (3.1.3) по 1-форме связности Г\ (Г -уравнение), базисным формам ва (в -уравнение), компонентам метрического тензора касательного пространства gab (g -уравнение), полю Р и множителям Лагранжа с использованием леммы о результате коммутации операторов варьирования и дуального сопряжения Ходжа [53].
Результаты варьирования отдельных слагаемых лагранжевой плотности (3.1.3) получаются аналогично п. 2.2 Главы 2 на основании соответствующих выписанных там формул. Г-уравнение для плотности (3.1.2) будет иметь вид:
Варьирование (3.1.2) по Aab дает условие Вейля (1.1). Это означает, что пространство-время имеет геометрическую структуру пространства Карта на-Вейля. Варьирование (3.1.2) по АаЬ дает структуру метрического тензора касательного пространства (3.1.1), которая реализуется при определенном наиболее удобном выборе базиса в каждой точке пространства-времени. Вычислим внешний ковариантный дифференциал от выражения (3.1.1):
Из уравнения (3.2.1) путем симметризации определяются неопределенные множители Лагранжа АаЬ, которые следует подставить в уравнение (3.2.3), что позволяет затем определить неопределенные множители Лагранжа ЛаЬ. Представление (3.1.1) вместе с (3.2.5) следует подставить в вариационные полевые уравнения (3.2.1)-(3.2.3), что приводит к проявлению в этих уравнениях взаимодействия гравитационного поля со скалярным полем Р в пространстве Карта-на-Вейля.
Сферически-симметричное решение для центрального тела в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака
Главная особенность найденных сферически-симметричных решений в пространстве Картана-Вейля, а именно, полученного в Главе 2 решения (2.6.37), (2.6.38), (2.6.40) и полученного в Главе 3 решения (3.5.33), (3.5.34), является то, что в этих решениях возникает известная метрика Папапетру-Илмаза-Розена (ПИР) [55-57]. Интерес к этой метрике [58-60] основан на том, что она не содержит особенностей на гравитационном радиусе. Вместе с тем, не исключено существование модифицированного решения типа черной дыры, связанного с возможным наличием такой огромной величины гравитационного поля на малом расстоянии от центра, при котором вылет фотонов был бы невозможен.
Метрика Папапетру-Илмаза-Розена при больших значениях г приводит к тем же самым экспериментальным результатам, как и метрика Шварцшильда, если константу интегрирования выбрать равной r0=rg= 2Gm I с2 0. Чтобы этот факт выполнялся также и для метрики (2.6.37), необходимо, чтобы константа 1Х в (2.6.40) (а тем самым и масса покоя квантов скалярного поля Дирака) была достаточно велика. Вместе тем для больших расстояний, например, в пределах Солнечной системы или на галактических расстояниях, PPN-приближение для метрик (2.6.37) и (3.5.34) будет существенно отличаться от PPN- приближения метрики Шварц-шильда. Это будет приводить к тому, что траектории движения космических аппаратов в Солнечной системе и движение звезд в галактиках будут отличаться от тех, которые определяются метрикой Шварцшильда, причем в большей степени для метрики (2.6.37). Этот факт определяет возможное практическое значение полученных сферически-симметричных решений.
Что касается выбора верхнего или нижнего знаков в решении (2.6.37), (3.3.34), то в конечном итоге выбор этих знаков также определяется возможными экспериментальными приложениями найденных решений.
Выяснилось, что в сферически-симметричном случае уравнения поля в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака не определяют величины кручения. Это связано с тем, что согласно современной точке зрения кручение связано со спиновыми свойствами материи, а спин квантов скалярного поля равен нулю. Кручение будет определяться в том случае, если центральное тело будет окружено наряду со скалярным полем также спинирующей материей, которую можно моделировать с помощью идеальной спиновой жидкости типа Вейссен-хоффа-Раабе.
В Главе 2 при получении решения было указано на выделенное значение следа кручения S = -3. Данное значение выделено тем, что в сферически-симметричном случае при S = — 3, q = — 8 кручение и неметричность компенсируют друг друга. Так, например, компонента (t, t) тензора Риччи пространства Картана-Вейля имеет вид на основании которых заключаем, что данная компонента совпадает с аналогичной компонентой тензора Риччи (2.6.6) пространства Римана. Аналогичные вычисления справедливы для остальных компонент тензора Риччи пространства Картана-Вейля и всех компонент тензора кривизны. Таким образом, при значениях S = -3, # = - 8 кручение и неметричность выступают как малые добавки при незначительном отклонении от сферической симметрии.
Плотность скалярного поля Вейля-Дирака возрастает внутри скоплений масс. На этом основании в монографии [17] высказана гипотеза о том, что скалярное поле Дирака представляет собой наряду с «темной энергией» также основную компоненту «темной материи».
В связи с этим можно высказать предположение, что найденные в диссертации сферически-симметричные решения в пространстве Картана-Вейля со скалярным полем Дирака могут способствовать решению проблемы темной материи, которая представляет собой одну из важных проблем современной фундаментальной физики.