Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определения 11
1.1. Алгебры Каца-Муди 11
1.2. Квантовые группы 16
Глава 2. Литературный обзор 18
2.1. Алгебраические методы 18
2.2. Методы теории интегрируемых систем 32
Глава 3. Антиинвариантная функция кратности для фундаментальных модулей наименьшей размерности 60
3.1. Общие замечания относительно предлагаемого метода 60
3.2. Построение функции кратности для степеней фундаментальных модулей наименьшей размерности 64
3.3. Свойства антиинвариантной функции кратности 71
3.4. Доказательство для алгебры 81
3.5. Доказательство для алгебры 84
3.6. Область применимости алгоритма 94
Глава 4. Антиинвариантная функция кратности для модулей произвольной размерности 96
4.1. Граф сингулярного элемента модуля и обобщенная (g,) пирамида 97
4.2. Алгебра 1 101
4.3. Алгебра 2 104
4.4. Алгебра 2 106
4.5. Tензорное произведение фундаментальных и векторных модулей алгебры 1 110
4.6. Тензорная степень произвольного модуля и мультиномиальные коэффициенты 114
4.7. Связь обобщенных (g,) - пирамид с путями Литтельманна и кристаллическими графами 116
Глава 5. Антиинвариантная функция кратности для градуированных тензорных произведений 127
5.1. Гипотеза о градуированной антиинвариантной функции кратности 127
5.2. Произведение Фейгина-Локтева для фундаментальньного модуля алгебры 2 137
5.3. Произведение Фейгина-Локтева для векторного модуля алгебры 2 141
Заключение 146
Список литературы
- Квантовые группы
- Методы теории интегрируемых систем
- Построение функции кратности для степеней фундаментальных модулей наименьшей размерности
- Tензорное произведение фундаментальных и векторных модулей алгебры 1
Квантовые группы
Модуль V алгебры д называется весовым модулем, если он допускает разложение У = / У/л (1.5) /j,etj где Vfj, = {v Є V\hv = fi(h)v} для всех /г Є f). Вектор v Є У называется весовым вектором соответствующим весу /І. Если ЄІУ = 0 для всех і Є /, то он называется максимальным вектором веса /І. Если V = 0, то /І называется весом У, а Уц - весовым подпространством. Его размерность dimV называется кратностью веса /І. Набор весов 0-модуля обозначается ги(У). Если dimVfj, оо для всех весов /І, то характер модуля У определятся как сЬУ = У dimV e 1 (1.6) где ем - базисный элемент алгебры формальных экспонент с умножением ( ( = ( . Для А Є [) положим -D(A) = {/І Є f) /i А}. Опишем модули категории О. Она состоит из весовых модулей V над Q с конечномерными весовыми подпространствами для которых существует конечный набор элементов Аі, А2,.. , As Є f) таких, что wt(V) С -D(Ai) U U D(XS) (1.7) категория О замкнута относительно взятия конечной суммы модулей или их конечного тензорного произведения. Одним из наиболее важных примеров модулей категории О являются модули старшего веса.
Весовой модуль V называется модулем старшего веса со старшим весом А Є [) , если существует ненулевой вектор v\eV, называемый вектором старшего веса, такой что e v\ = 0 для всех і Є /, hv\ = \(h)v\ для всех h Є fy, У = U(Q)V\
Пусть - симметризуемая обощенная матрица Картана, с симметричной матрицей D = diag{,Si\i Є /}. Определим симметричную билинейную форму ( I ) на f), принимающую значения в F соотношениями: (hi\h) = ai(h)/si для /г Є f), и (ds\dt) = 0 для s,t = 1... / — rcm&A. Эта симметричная билинейная форма невырождена на fy. Если определить отображение v : \) — fy как v[h)\h ) = {h\h ) то полученное отображение будет изоморфизмом векторных пространств.
Симметричную билинейную форму на fy можно обобщить на симметричную инвариантную билинейную форму на 0, которую мы также будем обозначать ( ). Она удовлетворяет следующим свойствам:
Для каждого положительного корня а зафиксируем базисы {еа } из да и {/а } из 0_а. Будем говорить, что элемент х Є 0 локально нильпотентен на У если для каждого v Е V существует положительное целое число N такое, что xNv = 0. Модуль V называется интегрируемым, если все ЄІ,/І локально нильпо-тентны на V. Категория Oint состоит из интегрируемых 0-модулей категории (9, таких, что wt(V) Є Р. Определим набор доминантных целых весов Р+ = {А є P\X(hi) Є Z o} (1.8) Верны следующие утверждения [1]: Пусть V\ неприводимый 0-модуль со старшим весом А Є f) . Тогда V (А) принадлежит категории Oint тогда и только тогда, когда А Є Р+
Всякий неприводимый 0-модуль из категории Oint изоморфен V(X) для А Є Р По теореме Вейля-Каца [1] характер для модуля V старшего веса А Є Р+ задается формулой V"4 f (а/Л pwo( +p)—p ch(V) = e— г. (1.9) П є/\ (1 — Q-a\d%mQa Каждый 0 -модуль из категории Oint изоморфен прямой сумме неприводимых модулей старшего веса с А Є Р+. Тензорное произведение конечного числа 0 -модулей вполне приводимо.
Введем квантовые деформации универсальных обертывающих алгебр, или квантовые группы Uq(Q)[11, 12, 13, 14]. В дальнейшем для модулей квантовых групп будут построены кристаллические базисы, которые представляют собой удобный аппарат для разложения тензорных произведений. Теория представлений алгебр Каца-Муди может быть продеформирована в теорию представлений квантовых групп, вследствие чего разложение тензорного произведение модулей на неприводимые подмодули будет совпадать в обоих случаях[36].
Методы теории интегрируемых систем
Пусть В U 0 стабилен под действием корневых операторов, тогда Ch B стабилен под действием группы Вейля, где sa7T = f Tr при к О и Sa7T = е ктт при к U, где /с = ,\2 и5д = ш, sa7r(lj = W7v{l), где if - элемент группы Вейля, соответствуюший а. Тогда Ch%$ = 2_] ChV71 где UQ - подмножество элементов из П, образы которых содержатся внутри главной камеры Вейля, Vn 1 обозначает неприводимое представление д со старшим весом 7г(1), ар- полусумма положительных корней. Символ -к обозначает сцепление путей. Для двух путей 7Гі, 7Г2 их сцепление 7Г = 7Гі 7Г2 опре деляется как ir(t) = 7Гі (2t) при 0 t к и 7г() = 7Гі (1) + 7Г9(2/: — 1) при к t 1.
Рассмотрим путь 7Г Є П. Для него рассмотрим наименьший набор из В єП, такой что 7Г Є 23 и 23U0 стабилен под действием корневых операторов. Обозначим такой набор ЯЗ . Если для 7Г выполняется условие р -к тт Є П тогда {77 Є ЯЗ р ? Пд"} = {7г}. Если скомбинировать это утверждение с формулой для характера, то получим основную теорему модели путей Литтельманна: ChV71 = Ch 3n Из этой формулы видно, что если мы захотим найти значение характера в весе /3, то будем иметь ряд CM87r(f3) := X „«g п(і)=в 1 который не является знакопеременным, что упрощает расчеты. Граф Литтельманна G пути 7Г для которого р -к їх Є UQ строится следующим образом (см. Рис 2.2):
Фoрмула для тензорных произведений в терминах модели путей На языке модели путей Литтельманна можно обобщить правило Литтл-вуда-Ричардсона: где А,/І - старшие веса перемножаемых модулей и 7Гі 7Г2 - пути, такие что Р к7Г\} р к7Г2 Є Пд" и 7Гі(1) = А, 7Г2(1) = /І. Рис. 2.2. Пути Литтельманна для присоединенного представления алгебры 3 Связь между путями Литтельманна и диаграммами Юнга. Если рассмотреть разбиение р = ( 2i,..., ап) и таблицу Юнга То формы р у которой в первом ряду только единицы, во втором только двойки и т.д. Тогда 7Гт0 удовлетворяет р-кттт0 Є Пд и поэтому СЬ тггг = СЬУ Кт = ChVp и вообще 93 = WT І Т — полустандартные таблицы Юнга формы р\ Это соответствие проиллюстрировано на Рис. 2.2. Связь между путями Литтельманна и кристаллическими базисами Хотя модель путей разрабатывалась отдельно от теории кристаллических базисов для квантовых групп в работах [46, 47] было доказано что Граф G для 7Г Є П+,7г(1) = А изоморфен кристаллическому графу неприводимого представления Vх для Uq(g). 2.1.10. P-R-V гипотеза
P-R-V (Parthasarathi-Ranga-Rao-Varadarajan) гипотеза позволяет определить, будет ли содержаться модуль старшего веса полупростой алгебры Ли в тензорном произведении двух интегрируемых модулей со старшими весами и . P-R-V гипотеза утверждает, что если есть элементы группы Вейля , такие, что := () + () является доминантным, тогда модуль входит в . Ее доказательство приведено в [45]. Осуществить разложение тензорного произведения при помощи P-R-V гипотезы трудно, но можно быстро понять, будет ли в разложении модуль определенного вида.
Параллельно с развитием алгебраических методов разложения тензорного произведения представлений в общем виде, задача нахождения кратностей в разложении тензорной степени представлений возникла при подсчете собственных функций интегрируемой спиновой цепочки. Впервые линейная цепочка была рассмотрена в работе [68] Х. Бете в 1931 году. Бете заметил, что во всех имеющихся на тот момент работах по этой тематике рассматривалось движение свободных электронов в поле атомов, без учета взаимодействия между электронами. Данное приближение подходило для только для изучения проводимости металлов. Для изучение ферромагнитных свойств металла задачу нужно было формулировать следующим образом:
Дана цепочка из большого количества одинаковых атомов. Допустим, что у каждого из этих атомов все оболочки заполнены, кроме последней, на которой имеется один электрон в состоянии. Подразумевается, что известны собственные функции для свободных атомов. Как будут выглядеть собственные функции и собственные значения данной системы? Для решения этой задачи Бете использовал модель Гейзенберга для системы взаимодействующих частиц со спином 12 (1/2-модель Гейзенбер-га) [69]. Бете предложил явный вид собственных функций и собственных значений этого "одномерного металла"(анзац Бете). В этой работе также была получена формула подсчета числа собственных значений этой системы с заданным спином, которая, как было отмечено позже Л.Фаддеевым и Л.Тахтаджяном [70], представляла собой функцию кратности в разложении тензорной степени фундаментальных представлений алгебры 2. Одновременно с дальнейшим обобщением этих моделей на алгебры более высокого ранга [73, 74], обобщалась и формула для подсчета числа собственных функций [78, 79, 77], которая в самом общем виде была получена А. Кирилловым и Н. Решетихиным в [76]. С точки зрения модели спиновой цепочки эта формула представляла собой выражение для числа собственных векторов и имела вид суммирования по различным конфигурациям, с математической точки зрения она описывала кратность в разложени тензорной степени представления алгебры наблюдаемых, определенного в каждом узле цепочки, на неприводимые.
Построение функции кратности для степеней фундаментальных модулей наименьшей размерности
Струны будем нумеровать с использованием индекса j и введем обозначение \,м для вещественной части А cтруны с номером j.
Набор (Z,g, {ъ м}) называется конфигурацией и характеризует бетевский вектор с точностью до задания q чисел \J,M. М.Такахаши и М.Годен [80, 81] получили уравнения на числа \J,M. Было установлено, что решения этих уравнений однозначно параметризуются числами {QJ,M}, которые могут быть целыми или полуцелыми. Для заданной конфигурации {1,Ц-,\ум}) эти числа расположены симметрично относительно ноля: м где максимальное значение определяется как N s— А 1 2 2 м QM = 2 у J (М, М ) VM (2.62) J а (,) имеет вид: / 2min (М, М ) + 1, М ф М J (М, М ) := (2.63) 2М + , М = М Каждому допустимому набору {QJ:M} соответствует единственное {AJ;M}. Будем называть допустимые значения для чисел {QJ:M} вакансиями. Число вакасий для каждого М обозначим через Рм:
В конфигурации {1,Ц-,\ум}) состояния заданы для каждого М конкретным выбором VM чисел QJ:M среди Рм допустимых для них значений. Следовательно, число состояний Z{N\{VM}), соответствующих каждой конфигурации (/, q, {VM}): Z(7V{Z/M}) = I I CpM (2.65) M Подсчет числа бетевских векторов длины / эквивалентен подсчету числа состояний для всех конфигураций с фиксированным /: Z(N,l) = У Z(7V{Z/M}) (2.66) Бете [68] удалось решить данную задачу. Полученное им выражение имеет вполне простой вид: N — 21 + 1 і Z(N,l) =—— CN (2.67) N — I + 1
Несмотря на простоту конечного результата, вывод является достаточно громоздким. В нем производится подсчет числа бетевских векторов, в терминах естественной для спиновой цепочки струнной параметризации решений. С другой стороны, как уже отмечалось выше, она представляет собой кратность в разложении тензорной степени фундаментального модуля алгебры s/2 на неприводимые. XXX анзац Бете стал составной частью иерархии подстановок Бете, которые применялись в моделях квантовой теории поля с цветовыми степенями свободы [73],[74], что, в свою очередь, привело к необходимости обобщения формулы кратностей на другие алгебры.
Развитие теории квантовых интегрируемых систем привело к возникновению новых математических конструкций. Было установлено [11], что интегрируемые системы, к которым применим квантовый метод обратной задачи, находятся во взаимнооднозначном соответствии с представлениями неко 46 торой алгебры Хопфа (g), называемой Янгианом. Матрицу монодромии, которая играет центральную роль в квантовом методе обратной задачи, естественно рассматривать как представление (g). Такая алгебра Хопфа может быть построена для любой простой алгебры Ли g. Кириллов и Решетихин [77] показали, что теорию представлений алгебры (g) можно использовать для получения новых результатов для теории представлений g. Комбинаторная формула для кратностей (2.66) была обобщена Кирилловым в [75] на случай тензорного произведения представлений +1, а затем в [76] она была обобщена далее на серии специальных представлений () простых алгебр Ли, получаемых ограничением представлений (g) на g. Гипотеза Кирил-лова-Решетихина состояла в полноте состояний анзаца Бете для обобщенной неоднородной цепочки Гейзенберга с представлением Янгиана (g) в -м узле цепочки. Если анзац Бете дает полный набор решений, тогда состояния Бете должны находиться во взаимнооднозначном соответствии с g-старшими векторами в гильбертовом пространстве гамильтониана, которое представляет собой тензорное произведение модулей (). Таким образом, подсчитав число решений уравнений Бете, можно написать гипотетические формулы для кратностей. Ниже мы опустим подробности вычислений, и изложим результат согласно [75].
Рассмотрим алгебру g с фундаментальными весами {}=1, корнями {}=1 и матрицей Картана {} := 2(( ,, )). Рассмотрим пространство пред- ставления () Оно является пространством представления спиновой це почки с N узлами, в і -м узле которого задано специальное представление тт Л ГПЛ ИЛ. алгебры а. Для полупростых алгебр а это представления вида: 0 = gl(r + 1) ТТг(ті) хл П 7 1
Формула Кириллова-Решетихина (2.71), является частным случаем обобщенной фермионной формулы. Самым первым примером фермионной формулы (при q = 1) является формула Бете. В последние годы изучение данного вопроса было расширено на квантовые деформации кратностей в разложении тензорного произведения [59, 60, 61, 62, 63, 64]. Термин фермионная формула был введен группой из университета Stony Brook, где она возникала в модели конформной теории поля для квазичастиц, подчиняющихся принципу Паули[52]. Поясним ниже, согласно [51, 50] понятие обобщенной фермион-ной формулы. Известно, что собственные функции гамильтониана спиновой цепочки находятся во взаимноодозначном соотвествии с решениями набора алгебраических уравнений(уравнений Бете). Решения задаются набором целых чисел, выбираемых на определенном конечном интервале. Выбор одного числа интрепретируется как одна квазичастица - магнон, а выбор чисел как квазичастиц. Эти числа пропорциональны импульсу частиц, одной из сохраняющихся величин. Тот факт, что эти числа не могут совпадать, наделяет их фермионными свойствами.
Tензорное произведение фундаментальных и векторных модулей алгебры 1
В формуле (3.14) можно заменить факториалы гамма-функциями, и тогда мы получим выражение, определенное на а Є (—оо -+оо). При сужении М(а,р) на главную камеру Вейля мы получим функцию т(а,р), определенную на а = (1... оо). Напомним, что функция кратности для этой задачи должна быть равна числу бетевских векторов с третьей проекцией спина s = д в спиновой цепочке длины р. Нетрудно заметить, что полученное вышеописанным алгоритмом выражение для т(а,р) совпадает с фермионной формулой Бете (2.67). Нормировав т(а,р) на общее число частиц, получим функцию распределения по cостояниям с фиксированным спином для данной цепочки. Отметим некоторые свойства функции М(а,р) (и формулы Бете), важных для модели интегрируемых спиновых цепочек. 1. Наличие максимума
Функция М(а,р) имеет максимум maxM(a,p) = M(sm,p) внутри главной камеры Вейля. Обозначим sm - координату максимума в переменных s = д . Соответствующая т(а,р), рассматриваемая на решетке весов, имеет один или два максимума. Наличие максисума у М(а,р) внутри главной камеры Вейля свидетельствует о том, что в спиновой цепочке наибольшее число бетевских векторов Рис. 3.4. Функция (,) для алгебры \ для = 10 имеет один максимум, лежащий внутри главной камеры Вейля. На отрицательной полуоси наблюдается минимум, наличие которого обусловлено вейлевской антисимметрией. отвечает состоянию не с минимальным спином. Под действием возбуждений в спиновой цепочке возникает больше частиц со спином TO, нежели со спином 0.
Исследуем зависимость положения m от длины цепочки . Вначале изучим поведение (,), т.е рассмотрим (,) на дискретном множестве спинов = 0, 2,1, . . . . Из рис 3.5 видно, что с ростом положение максимума m отдаляется от нуля, однако не так быстро, как растет длина цепочки . Положение m на решетке локализуется в некотором промежутке спинов 2 — 1 для некоторого интервала изменения . Длина этого промежутка равна шагу решетки фундаментальных весов. Для некоторого значения возникает ситуация, когда два веса имеют максимальную кратность. Это обусловлено тем, что мы рассматриваем задачу функцию кратности на одномерной решетке. С Рис. 3.5. Диаграмма Браттели для алгебры А\. По горизонтали отложены координаты а веса ( и спины s = - соответствующих состояний), по вертикали - длина цепочки р. Жирными точками отмечены веса с максимальной кратностью
ростом р максимум опять будет иметь тенденцию к локализации на решетке, однако уже в интервале спинов 2 — Si, который сдвинут относительно S2 — S\ на . В первый раз двойной максимум возникает при р = 2, а потом через нечетное количество шагов 5, 7,9.... После двойного максимума при р = 2 возникает область локализации одного максимума при р = 3,4,5,6, cледующая за ней будет при р = 8,... , 13 и так далее. Общая длина такой области всякий раз увеличивается на 2(См Рис 3.5).
В результате при удлинении цепочки максимум sm будет находиться намного ближе к минимальному спину 0, нежели чем к максимальному , но при этом sm не стремится к нулю при р — оо.
Если в выражении (3.14) зафиксировать координату а и рассмотреть термодинамический предел р — оо, то мы получим скорость роста числа частиц со спином s = - 1 при увеличении длины цепочки. Оказывается, что асимптотика одинакова для всех фиксированных спинов и пропорциональна выражению 2рр 2. Для примера приведем асимпотики М для состояний c фиксированными значениями спинов:
Эти асимптотики можно получить и из формулы Бете (2.67), перейдя к соответствующим координатам. 3. Асимптотика для бетевских векторов длины /
Вакуумное состояние цепочки cоответствует конфигурации, когда все спины направлены вверх. Создадим внешнее возмущение: развернем спины / частиц в другую сторону. Какой будет реакция системы? В ней возникнет отклик, который будет описываться собственной функцией цепочки, называемой бе-тевским вектором длины /. Как будет изменяться число таких векторов при
Таким образом, при увеличении длины цепочки количество бетевских векторов длины / растет как р1. Если увеличивать возмущение (т.е разворачивать больше спинов в положение, отличное от вакуумного), то число соответствующих бетевских векторов растет быстрее при р —У оо, чем число бетевских векторов, отвечающих меньшему количеству перевернутых спинов.
Cвойства антиинвариантной функции кратности тензорной степени фундаментального модуля алгебры А\, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно было получить также из первоначальной формулы Бете для ХХХі спиновой цепочки, однако, последующие ее обобщения в виде фермионных формул не указывали ни на одно из вышеупомянутых свойств. Антиинвариантная функция кратности (3.11), (3.13) является более удачным обобщением формулы Бете (2.67) с той точки зрения, что демонстрирует все вышеупомянутые свойства, которые важны для анализа спектра спиновых цепочек, в том числе и в термодинамическом пределе. Они будут универсальны для бетевских векторов спиновой цепочки, гамильтониан которой дейтвует на тензорной степени фундаментального модуля алгебр АП)Вп. Проиллюстрируем эти свойства на примере алгебр 0 = 2, -Е 2.