Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Поведение газа над поверхностью, колеблющейся в собственной плоскости. Гидродинамическое описание
1.1. Постановка задачи 18
1.2. Об изотермическом скольжении
1.3. Аналитическое решение
Глава 2. Поведение газа над поверхностью, колеблющейся в собственной плоскости. Кинетическое описание (решение методом моментов)
2.1. Нахождение функции распределения 30
2.2. Вычисление скорости газа 39
2.3. Вычисление силы трения при колебательном движении поверхности 42
2.4. Сопоставление и анализ результатов 45
Глава 3. Граничные задачи в газе с использованием уравнения Больцмана —Алексеева
3.1. Об уравнении Больцмана - Алексеева 52
3.2. Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева 53
3.3. Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева 62
Заключение 72
Список литературы 74
Приложения:
- Об изотермическом скольжении
- Вычисление скорости газа
- Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева
- Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева
Введение к работе
Актуальность работы
В последние годы появился ряд публикаций о поведении газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости (т.н. вторая задача Стокса). Подобные потоки имеют место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах. Общим существенным недостатком этих работ является отсутствие учёта характера взаимодействия газа с поверхностью пластины, т.е. рассматривается только случай полной аккомодации тангенциального импульса молекул. Коэффициент аккомодации тангенциального импульса является величиной, зависящей от состояния поверхности. И если в «естественном» состоянии значение этой величины, как правило, близко к единице, то при специальной обработке поверхности её значение можно уменьшить многократно, а значит и существенно изменить характер взаимодействия поверхности с прилегающим газом. В условиях стремительного развития вакуумных технологий и нанотехнологий, совершенствования авиационной и космической техники весьма актуальным и целесообразным является развитие направления исследований, связанного с определением влияния характера взаимодействия молекул с поверхностью на перенос импульса в системе «газ - твёрдое тело» при произвольном разрежении газа и установлением связи физических свойств межфазной границы с макроскопическими газодинамическими параметрами.
В данной диссертации предлагаются два решения второй задачи Стокса, учитывающие весь возможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса. Кроме того, в работе решены задачи о нахождении коэффициентов изотермического и теплового
скольжения с использованием недавно предложенного кинетического уравнения Больцмана - Алексеева. Цель работы Работа посвящена решению различными методами граничных задач с учётом эффекта скольжения. Ставятся следующие цели:
описание средствами гидродинамики взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения
описание средствами молекулярно-кинетической теории взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения
решение задач об изотермическом и тепловом скольжении газа с использованием класса кинетических уравнений Больцмана - Алексеева.
оценка области применимости и точности использованных методов решения
Научная новизна работы
Впервые получено гидродинамическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.
Впервые получено кинетическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.
Впервые рассмотрено влияние коэффициента аккомодации тангенциального импульса на поведение газа вблизи колеблющейся в своей плоскости поверхности.
4. Впервые получено решение задач об изотермическом и тепловом
скольжении с использованием уравнения Больцмана - Алексеева. Практическая значимость
В работе рассматривается поведение газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости в режиме со скольжением. Подобное возникающему при таком движении взаимодействие поверхности с прилегающим газом имеет место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах.
Проводится исследование влияния на взаимодействие газа с поверхностью коэффициента изотермического скольжения. От этой величины зависит сопротивление при обтекании тел, износостойкость материалов, она влияет на технико-эксплуатационные характеристики изделий, приборов и аппаратов.
Особо значимое влияние явление скольжения оказывает в случае разреженных газов, что делает его расчёт особенно важным в таких областях как проектирование авиационной и ракетно-космической техники, вакуумные технологии и нанотехнологии.
Полученные в данной работе результаты показывают диапазон
применимости и результативность использования различных методов
решения граничных задач. Они могут быть использованы при решении
граничных задач газовой динамики, задач математического
моделирования. Кроме того, в работе предложен новый подход к
экспериментальному измерению коэффициента аккомодации
тангенциального импульса.
Достоверность полученных результатов обеспечена использованием в работе апробированных ранее методик исследования и подтверждается совпадением результатов, полученных в диссертации при использовании различных подходов в решении одной задачи, соответствием результатов
результатам других авторов; а также их согласованностью на качественном уровне с результатами близкого по содержанию эксперимента. На защиту выносятся:
гидродинамическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью в режиме со скольжением;
кинематическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью;
расчёт теплового и изотермического скольжение газа на основе модели Больцмана - Алексеева.
Апробация работы
По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведён в конце автореферата.
Материалы диссертации докладывались на XX международной
конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2002 г), XXI
международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса,
2004 г.), XXII международной конференции стран СНГ «Дисперсные
системы» (Одесса, 2006 г.). Основные результаты диссертации
обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры
теоретической физики Московского государственного областного
университета.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав,
заключения, списка литературы и приложений. Диссертация содержит 20
рисунков и 5 таблиц. Общий объём диссертации 107 страниц.
Об изотермическом скольжении
Скорость движения поверхности описывается выражением Up=U0xexp(-icQf). Амплитуда скорости колебания поверхности будет равна коэффициенту перед экспонентой в этом выражении, мгновенная скорость — действительной части выражения, фаза скорости — аргументу выражения. В результате столкновений молекул газа с поверхностью на неё действует сила сопротивления среды R, препятствующая движению поверхности. В свою очередь действующая со стороны поверхности на газ сила будет создавать в газе потоки, параллельные оси Y (поперечные волны). Обозначим возникающую таким образом скорость газа как и(х). Наша цель состоит в том, чтобы описать поведение газа и вычислить силу трения, действующую на поверхность со стороны газа. Другими словами, нам нужно найти функцию и(х), а также определить её зависимость и зависимость модуля и фазы силы R (в безразмерном варианте — F) от коэффициента аккомодации тангенциального импульса и от числа Кнудсена Кп. Для случая малых частот возможно рассмотрение задачи в гидродинамическом приближении. При этом удается получить аналитическое решение. В случае произвольных частот гидродинамическое приближение становится неприменимым и требуется использование кинетического подхода к задаче. При этом удается получить приближенное решение методом моментов. 1.2 Об изотермическом скольжении Предположим, что вдали от стенки вдоль оси X задан градиент массовой скорости газа, величина которого равна g: где и — проекция массовой скорости газа на ось Г.
Задание градиента массовой скорости газа вызывает скольжение газа вдоль стенки. Рассмотрим это течение в отсутствие тангенциального градиента давления и при постоянной температуре. В этих условиях массовая скорость газа будет иметь только одну тангенциальную составляющую, которая вдали от стенки будет меняться по линейному закону. Отклонение от линейного распределения будет происходить вблизи стенки в слое, часто называемом слоем Кнудсена (рис. 2), толщина которого имеет порядок длины свободного пробега Л. Вне слоя Кнудсена течение газа описывается уравнением Навье - Стокса. Явление движения газа вдоль поверхности, вызываемое градиентом массовой скорости, заданным вдали от стенки, называется изотермическим скольжением газа. Для решения уравнения Навье — Стокса требуется поставить граничные условия на стенке. В качестве такого граничного условия принимается экстраполированное значение гидродинамической скорости на поверхности - величина usi (рис. 2). Реальный профиль скорости в слое Кнудсена отличен от гидродинамического. Качественно это поведение изображено на рис. 2. Для получения величины usl требуется решить уравнение Больцмана в слое Кнудсена. При малых градиентах скорости имеем: Задача нахождения скорости изотермического скольжения usi называется задачей Крамерса [7, 80, 93—104].
Определение величины usi позволяет полностью построить функцию распределения газовых молекул в данной задаче. В этом случае используем граничное условие для скорости газа у поверхности ( х - 0 ) [93 ]: где ст — коэффициент изотермического скольжения (безразмерная величина); 1 — средняя длина свободного пробега молекул, определяемая равенством Я = JJE LIL [93]. Здесь 77 — динамическая вязкость газа, р — плотность газа, т \2kT р — масса молекул газа, Т— температура, к — постоянная Больцмана. Уравнение (1.1) верно в случае гидродинамического приближения. Движение газа будет описываться уравнением Навье — Стокса [105]: где v - скорость потока газа, р — давление газа, v =т/р— кинематическая вязкость. Очевидно, что скорость газа v направлена вдоль оси Y и не зависит от у, потому (vV)v = 0, а так как vx=0, то ф/сЬс = 0, а значит, /?=const. Кроме того, процесс изотермический, т.е. T=const, Введём обозначение: vy = и. Тогда уравнение (1.2) примет вид Решение этого уравнения будем искать в виде: Подставляя (1.4) в (1.3) получим: Подставляем решение (1.4) в граничное условие (1.1): и находим величину и0 = —или, учитывая соотношение (1.5), приходим к следующему результату: Введём обозначение: = ,/—; эта величина — глубина проникновения возмущений, вызванных колебанием пластины вглубь газа [105]. Введём обозначение L = cmXIS. Отметим, что отношение / является числом Кнудсена данной задачи: Кп = j . Амплитуду щ можно представить как и0 = —г = и0 Из этого выражения можно найти разность фаз колебаний поверхности и поверхностного слоя газа: Скорость движения газа определяется выражением: Ґ \ ио ( 1-і . . ( L uix,t) = . . ехр х -1 со t +1 a? ctg v / г.— — ч {l + L, (1.7) Vl + 2i + 2Z2 Ч Сила трения, действующая со стороны газа на единицу площади поверхности и направленная вдоль оси Y, будет равна
Вычисление скорости газа
При рассматриваемом колебательном движении стенки, на стенку со стороны газа действует сила сопротивления, которую в безразмерном виде можно представить как Е=—у\схсу рехр(-с2)с13с. Эта сила направлена вдоль я На рис. 12 и 13 представлены зависимости модуля (отнесённого к амплитуде скорости колебаний стенки) и аргумента вьиисленной таким образом силы от частоты для различных коэффициентов аккомодации. Из этих графиков видно, что при больших частотах сила выходит на константу, что совпадает с экспериментальными данными [82]. I I I I I I I 1 [ L -44 Рис. 14 и 15 позволяют сравнить результаты, полученные гидродинамическим и кинетическим методами. На этих рисунках представлены графики зависимости модуля и аргумента силы от коэффициента аккомодации тангенциального импульса для трёх значений частоты колебания поверхности (см. таблицу 1). Рис. 14. Зависимости модуля силы трения F, действующей со стороны газа на поверхность и отнесённой к амплитуде скорости колебания поверхности U, от коэффициента аккомодации тангенциального импульса для трёх значений частоты колебания поверхности при двух способах решения задачи. -46 Как видно из графиков, оба способа решения для низкочастотных колебаний дают одинаковый результат. С увеличением частоты колебаний погрешность аналитического решения на основе уравнений гидродинамики нарастает. Зависимость силы сопротивления от коэффициента аккомодации тангенциального импульса с ростом частоты возрастает.
В таблицах 2—5 сведены результаты вычислений скорости газа у поверхности и силы трения, действующей на поверхность, полученные двумя вышеизложенными способами а также в работе [66]. Поскольку в работе [66] рассматривается только случай полной аккомодации тангенциального импульса (#—1), в таблицах рассматривается именно этот случай. Как видно из таблицы 2, в случае высоких частот колебания стенки значения амплитуды скорости газа у поверхности, полученные моментным методом, совпадают с результатами, полученными в работе [66]. Гидродинамическое решение в этом случае непригодно. В случае низкочастотных колебаний стенки разброс в значениях амплитуды скорости газа у поверхности составляет около 3 %. Для фазы скорости, газа у поверхности результаты, полученные моментным методом и в работе [66], отличаются в пределах 10 %. Несколько большие значения фазы даёт гидродинамическое решение. -49 Для амплитуды силы трения в случае высоких частот кинетическое решение и работа [66] дают одинаковый результат. При других частотах результаты, полученные всеми способами, весьма близки. Для фазы силы трения, за исключением аналитического решения для переходного режима, все результаты отличаются не более чем на 5%.
Приведённые в таблицах 2 — 5 результаты показывают, что результаты выполненного в гл. 1 аналитическое решения хорошо согласуются с результатами других решений в гидродинамическом случае (случае малых значений числа Кнудсена). Вьшолненное во второй главе решение методом моментов даёт хорошо согласующийся с другими решениями результат для любых значений числа Кнудсена. Уравнение Больцмана является основой современной кинетической теории [7, 93, 101, 109] . Имеются его многочисленные обобщения на случай плотных газов, молекулярных газов, плазмы и т.д. [101, 110]. В последние годы приобрел известность вариант обобщенного уравнения Больцмана, предложенный Б. В. Алексеевым [70—77]. При этом из анализа обобщенного уравнения следует, что поправка к уравнению Больцмана существенна, когда времена изменения функции распределения сравнимы со временем свободного пробега молекул, или, что аналогично, пространственный масштаб изменения функции распределения сравним с длиной свободного пробега молекул. Автор обобщенного уравнения Больцмана ограничивается в своих работах объемными эффектами. Однако наиболее ярко отличие нового кинетического уравнения, как следует из выше сказанного, должно проявляться в граничных задачах. Статус кинетического уравнения, предложенного Б. В. Алексеевым, остается спорным. Анализ применения этого уравнения к решению граничных задач позволит более предметно говорить о применимости данного обобщения уравнения Больцмана в целом. В связи с этим ниже рассмотрим решение классической задачи об изотермическом скольжении с использованием уравнения типа Больцмана -Алексеева и проведем анализ зависимости результата от коэффициента в поправочном слагаемом уравнения. Уравнение Больцмана — Алексеева [70-77] было предложено Б. В. Алексеевым в 1987 г. Уравнение имеет вид:
Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева
Для решения уравнения (ЗЛО) воспользуемся моментным методом [6-8, 39-56]. Будем искать функцию распределения в виде суммы моментов: Подставим это выражение, а также выражение для среднемассовой скорости I L в (ЗЛО), поочередно умножим получившееся уравнение на е sign(cx), е с схсу, е с схсу sign(cx) и проинтегрируем полученные уравнения по скорости с. В результате получим следующую систему уравнений: Это уравнение относительно переменной Ъ имеет три положительные, три отрицательные и два нулевые решения. Отрицательные решения дают (р— со при JC — оо, поэтому решения, соответствующие Ъ О отбрасываются. Значения положительных решений Ъ\, hi, b$ в зависимости от параметра П приведены на рис. 16. 57 Искомое решение уравнения (3.10) будет иметь вид: где фх, р2,(Рз соответствуют b\,b2,b3 и находятся из (3.11), (3.12). Решения, соответствующие 6 = 0, имеют вид: При этом g = — Из системы (3.12), отбрасывая последнее уравнение и с учетом (3.13) выразим ах,а2ъ а4 через а3: где q — коэффициент диффузного отражения (коэффициент аккомодации тангенциального импульса молекул). Далее рассмотрим случай полной аккомодации (д=0): су и схсу линейно независимы, поэтому уравнение распадается на два: С учетом (3.13) граничное условие имеет вид: Однако максвелловского граничного условия недостаточно для однозначного решения уравнения Больцмана - Алексеева. Это связано с тем, что Б—А уравнение содержит, в отличие от уравнения Больцмана, вторую производную функции распределения по х.
Отсюда следует, что для получения однозначного решения этого уравнения необходимо наложить некоторые граничные условия на производную функции распределения. К сожалению, в работах Б. В. Алексеева не анализируется постановка граничных условий к предложенному обобщенному уравнению Больцмана. По аналогии с условием на функцию распределения (3.18), наложим условие на ее производную: Поскольку будет иметь вид: находим из системы (3.17, 3.21) с граничными условиями (3.19, 3.20), используя значения Ь, из (3.14). Значения найденного коэффициента в зависимости от параметра П приведены на рис. 17. 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ Коэффициент изотермического скольжения находится из системы уравнений (3.14, 3.17, 3.19, 3.20). Графики зависимости полученных значений от параметра П представлены на рис 17. При значении параметра П=0 мы получаем коэффициент изотермического скольжения, соответствующий уравнению Больцмана ст(0) = 1,0208 , что практически совпадает с точным аналитическим решением ст =1,0162 [93]. используемые в этой главе коэффициенты изотермического скольжения отличаются от приведённых в главе 2 способом обезразмеривания и связаны с ними коэффициентом -=; т.е. сот=1,0208 в главе 3 будет соответствовать ст=1,1518 в главе 2. Из рис. 17 видно, что с увеличением значения параметра П функция ст(П) монотонно убывает. Экспериментальные значения коэффициента изотермического скольжения лежат в области ст 0,9 (даже с учетом экспериментальной погрепшости это соответствует ограничению на параметр П 0,04. При значениях параметра П=0,8 [70], ст=-0,5 Последнее значение не соответствует имеющимся экспериментальным данным [37, 109]. с использованием кинетического уравнения типа Больцмана—Алексеева 1. ТЕПЛОВОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ
Помимо изотермического существует так называемое тепловое скольжение газа вблизи неравномерно нагретой поверхности. При этом поток газа возникает в результате столкновений молекул газа с неравномерно нагретой стенкой в пристеночном слое Кнудсена. Если usi - тангенциальная скорость, приобретаемая в результате теплового скольжения, а —— = G = const — тангенциальная составляющая градиента температуры, то us\ = KvG, где К- коэффициент скорости теплового скольжения, v - кинематическая вязкость. Профиль скорости газа при тепловом скольжении имеет несколько
Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева
Коэффициент изотермического скольжения находится из системы уравнений (3.14, 3.17, 3.19, 3.20). Графики зависимости полученных значений от параметра П представлены на рис 17. При значении параметра П=0 мы получаем коэффициент изотермического скольжения, соответствующий уравнению Больцмана ст(0) = 1,0208 , что практически совпадает с точным аналитическим решением ст =1,0162 [93]. используемые в этой главе коэффициенты изотермического скольжения отличаются от приведённых в главе 2 способом обезразмеривания и связаны с ними коэффициентом -=; т.е. сот=1,0208 в главе 3 будет соответствовать ст=1,1518 в главе 2. Из рис. 17 видно, что с увеличением значения параметра П функция ст(П) монотонно убывает. Экспериментальные значения коэффициента изотермического скольжения лежат в области ст 0,9 (даже с учетом экспериментальной погрепшости это соответствует ограничению на параметр П 0,04.
При значениях параметра П=0,8 [70], ст=-0,5 Последнее значение не соответствует имеющимся экспериментальным данным [37, 109]. с использованием кинетического уравнения типа Больцмана—Алексеева 1. ТЕПЛОВОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ Помимо изотермического существует так называемое тепловое скольжение газа вблизи неравномерно нагретой поверхности. При этом поток газа возникает в результате столкновений молекул газа с неравномерно нагретой стенкой в пристеночном слое Кнудсена. Если usi - тангенциальная скорость, приобретаемая в результате теплового скольжения, а —— = G = const — тангенциальная составляющая градиента температуры, то us\ = KvG, где К- коэффициент скорости теплового скольжения, v - кинематическая вязкость. Профиль скорости газа при тепловом скольжении имеет несколько отличный характер от изотермического (см. рис. 18). Единственным отличием от изотермического скольжения здесь является то обстоятельство, что искомая скорость теплового скольжения теперь находится как предел usl = lim Таким образом, в случае теплового скольжения величина usi имеет прямой физический смысл - это скорость газа на границе слоя Кнудсена, в противоположность изотермическому скольжению, где usi была фиктивной величиной. Тепловое скольжение обусловлено наличием в газе градиента температуры, касательного к поверхности, т.е. первой производной температуры по координате. Тепловому скольжению посвящены многочисленные работы (напр. [32, 33, 36, 37, 48, 50, 65, 95, 97, 98, 111-115]). Наша цель состоит в исследовании применимости уравнения Больцмана - Алексеева и однотипных ему уравнений на примере решения граничных задач. Для этого мы рассмотрим классическую задачу о тепловом скольжении и исследуем зависимость ее решения с помощью уравнения Больцмана - Алексеева от величины предлагаемой поправки. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предполагается, что газ заполняет полупространство JC 0, ограниченное стенкой, расположенной в плоскости JC = 0. Градиент температуры направлен вдоль поверхности стенки (по оси ). Влияние стенки на распределение скоростей молекул имеет конечный радиус, поэтому на больших расстояниях от стенки функция распределения переходит в объемное распределение Чепмена — Энскога [40]. Мы рассматриваем стационарную задачу в отсутствие поля сил, поэтому в левой части уравнения Больцмана остается только одна частная производная.
Для интеграла столкновений используем модель БГК. Тогда кинетическое уравнение будет иметь вид: тде/ея — локально-равновесная функция распределения, Пусть й- среднемассовая скорость потока, тогда выражение для равновесной функции распределения имеет вид: где п — концентрация, m — молекулярная масса, Т — температура, к постоянная Больцмана. Обозначим скорость газа вдали от стенки через usi. Введем безразмерные скорости: Отметим, что вязкость можно представить в виде TJ = рт. Введем безразмерные координаты В дальнейшем символ ( ) у координаты и скорости будем опускать. Сх дх Уравнение Больцмана — Алексеева (3.1—3.4) с учетом постановки задачи и представлением интеграла столкновений в выше рассмотренной форме (3.26) будет иметь вид: -АЛЕКСЕЕВА Для решения уравнения (3.27) воспользуемся моментным методом. Будем искать функцию распределения в виде суммы моментов: р = суах(х)+ cysign(cx)a2(x)+{{ - с2)- суа3(х)+ ( - с2 \ysign(cx)- аА(х) (3.28) где sign(cx) = 1, сх 0 О, сх=0 -1, сх Подставим это выражение, а также выражение для среднемассовой скорости
