Содержание к диссертации
Введение
1 Универсальный гамильтониан с анизотропным обменным взаимодействием 10
1.1 Введение 10
1.1.1 Гамильтониан 11
1.2 Точное аналитическое выражение для статистической суммы 13
1.3 Точное аналитическое выражение для спиновой восприимчивости
1.3.1 Продольная спиновая восприимчивость 14
1.3.2 Поперечная спиновая восприимчивость 16
1.4 Точное аналитическое выражение для туннельной плотности состояний при
Б = 0 17
1.4.1 Частичное разделение спиновых и зарядовых степеней свободы 17
1.4.2 Метод Вея-Нормана-Колоколова 18
1.5 Заключение 21
2 Анализ для эквидистантного спектра 23
2.1 Введение 23
2.2 Продольная спиновая восприимчивость
.2.1 Случай "легкая ось": Jz J± 24
2.2.2 Случай "легкая плоскость" (Jz J±) 2.3 Поперечная спиновая восприимчивость 29
2.4 Туннельная плотность состояний 2.4.1 Введение 32
2.4.2 Случай нулевой температуры Т = 0 32
2.4.3 Случай высоких температур Т $ 5 35
2.5 Заключение 37
Учет флуктуации одночастинного спектра 39
3.1 Введение 39
3.2 Учет флуктуации для восприимчивости в случае Изинга
3.2.1 Продольная спиновая восприимчивость 40
3.2.2 Поправки по теории возмущений к \zz при слабых флуктуациях 41
3.2.3 Функция распределения \zz 45
3.2.4 Поперечная спиновая восприимчивость 49
3.3 Учет флуктуации для восприимчивости в случае Гейзенберга 52
3.3.1 Продольная спиновая восприимчивость 52
3.4 Заключение 54
4 Динамика спина при туннельной связи с резервуаром 55
4.1 Введение 55
4.2 Случай свободных частиц 55
4.3 Случай кулоновского взаимодействия 57
4.4 Случай гейзенберговского обменного взаимодействия 58
4.5 Мацубаровское действие АЭШ для спина 60
4.6 Заключение 62
Литература
- Точное аналитическое выражение для статистической суммы
- Случай "легкая плоскость" (Jz J±) 2.3 Поперечная спиновая восприимчивость
- Продольная спиновая восприимчивость
- Случай кулоновского взаимодействия
Введение к работе
Актуальность темы.
Данная диссертационная работа представляет собой исследование влияния анизотропии спиновых корреляций на проявления мезоскопической стоунеровской неустойчивости в термодинамических и транспортных свойствах квантовых точек. Особое внимание будет уделено области вблизи стоунеровской неустойчивости, так как в этой области данные проявления выражены особенно ярко и не размываются при высоких температурах.
Квантовые точки представляют собой нульмерные сильно коррелированные электронные системы. Одночастичный спектр квантовой точки можно найти с помощью уравнений Шредингера. Однако, вид этого спектра зависит от формы потенциала задающего квантовую точку, который, в свою очередь, может зависеть, например, от затворного напряжения. Таким образом при вычислении наблюдаемых величин для квантовой точки необходимо учитывать флуктуации одночастичного спектра. Статистику одночастичных уровней можно описать теорией случайных матриц [12]. С уменьшением размеров электронных систем все большее значение имеют корреляции электронов между собой за счет взаимодействия в кулоновском, обменном и куперовском каналах. Наиболее выраженным эффектом является кулоновская блокада - подавление транспорта через квантовую точку при низких температурах. Вызван этот эффект тем, что сильное кулоновское взаимодействие препятствует помещению на квантовую точку дополнительного электрона. Обменное же взаимодействие приводит к спиновым корреляциям. Это более тонкие эффекты, но их проявления наблюдаются на экспериментах. В частности, они проявляются в статистике флуктуации высот и расстояний между кулоновскими пиками [2, 3]. Дальнейшее исследование эффектов обменного взаимодействия показало, что свойства квантовой точки зависят от типа обменного взаимодействия - для изотропного (гейзенберговского) обменного взаимодействия и изинговского обменного взаимодействия поведение квантовой точки различается. В связи с этим возникла необходимость сравнительного анализа. В
частности в работе [1] был проделан соответствующий анализ в рамках теории возмущений по анизотропии и предсказывался дополнительный пик в туннельной плотности состояний.
Данная диссертационая работа посвящена исследованию влияния анизотропного обменного взаимодействия между электронами на термодинамические и транспортные свойства квантовых точек.
Цель работы.
Целью настоящей диссертационной работы является изучение влияния анизотропии обменного взаимодействия в квантовой точке на термодинамические и транспортные свойства электронов в квантовых точках. В центре внимания будут эффекты вызванные ме-зоскопической стоунеровской неустойчивости. Эти эффекты наиболее заметны в области вблизи перехода Стоунера, поэтому этой области будет уделено особой внимание.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Флуктуации одночастинного спектра квантовой точки не вызывают сдвига стоунеровской неустойчивости.
-
Дополнительная немонотонность в туннельной плотности состояний предсказанная в работе [1] отсутствует.
-
Температурная зависимость спиновой восприимчивости подавлена за счет анизотропии обменного взаимодействия.
-
Флуктуации одночастинного спектра приводят к существенному уширению частотной зависимости динамической спиновой восприимчивости вблизи перехода Стоунера.
-
Диссипативное действие для спина, записанное через переменные Вея-Нормана-Колоколова позволяет описывать динамику спина квантовой точки туннельно связанной с резервуаром вне адиабатического приближения.
Научная новизна и достоверность.
Результаты диссертации являются новыми. Достоверность ее выводов обеспечена надежностью применявшихся методов и подтверждается результатами апробации работы.
Научная и практическая ценность.
Диссертация носит теоретический характер. Исследование электронных корреляций важно для дальнейшего уменьшения размеров электронных систем. Выражения для корреляторов гамильтониана с анизотропным обменным взаимодействием могут иметь самостоятельную ценность как аналитически точные результаты.
Апробация диссертации.
Результаты диссертации докладывались: на международном симпозиуме по "Топологии и неравновесности в низкоразмерных электронных системах" (Франция, Лез-Уш, 2013), на XX Уральской международной зимней школе по физике полупроводников (Екатеринбург-Новоуральск, 2014), на международном симпозиуме "Текущие достижения и перспективы в области скейлинга, мультифрактальности, взаимодействий и топологических эффектов вблизи перехода Андерсона" (Германия, Дрезден, 2014), а также на ученом совете в ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН и на семинаре в ИФТТ РАН.
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в 3 статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура диссертации.
Точное аналитическое выражение для статистической суммы
В металлическом режиме, когда энергия Таулесса Етн велика по сравнению со средним расстоянием между одночастичными уровнями энергий 6, квантовая точка хорошо описывается достаточно простым универсальным гамильтонианом: мезоскопические флуктуации около этого универсального гамильтониана подавлены по параметру 6/-E-W Преимущество универсального гамильтониана состоит в том, что межэлектронное взаимодействие вместо полного набора матричных элементов характеризуется всего тремя параметрами: зарядовой энергией Ес, обменной энергией J0 и энергией взаимодействия в куперовском канале Jc. Отметим, что универсальный гамильтониан допускает подход с помощью анза-ца Бете [17].
В нашем исследовании мы будем использовать следующие стандартные допущения. Мы не рассматриваем взаимодействие в куперовском канале, которое приводит сверхпроводящим корреляциям в квантовых точках [39]. Это допустимо при отталкивающем взаимодействии в куперовском канале. Хотя наш точный аналитический результат для туннельной плотности состояний в случае одноосевой анизотропии верен для произвольного одночастичного спектра, при его анализе мы будем исследовать эффекты случайности спектра. Как было отмечено выше в этом случае нужно учитывать поправки к нуль-мерному гамильтониану, которые порождены флуктуациями матричных элементов электрон-электронного взаимодействия, несмотря на металлический режим 5/Еть S 1. В случае изотропного обменного взаимодействия эти поправки пренебрежимо малы [40]. записывается, как обычно, через операторы рождения (а ) и уничтожения (ааа). Он содержит в себе зависящие от спина (а = ±) одночастичные уровни еа (7. В дальнейшем мы будем предполагать что уровни испытывают Зеемановское расщепление магнитным полем , т.е. еа,а = е« + дь вВа/2. Здесь дь и цв g-фактор Ланде и магнетон Бора. Зарядовая часть гамильтониана аа определен через стандартные матрицы Паули ст. В случае изотропного, Гейзенберговского обмена Jj_ = Jz, гамильтониан (1.1) сводится к универсальному гамильтониану, который описывает КТ в пределе Е /5 $ 1. [22] В этом предельном случае одночастичные уровни еа случайны. Их статистика (в отсутствии магнитного поля, В = 0) описывается ортогональным ансамблем Вигнера-Дайсона. Гамильтониан (1.1) с Изинговским обменом, J± = 0, и В = 0 может быть использован для описания двумерных КТ со спин орбитальным взаимодействием, [21, 18] В этом случае статистика еа описывается унитарным ансамблем Вигнера-Дайсона.
Полезно сравнить изотропный (гейзенберговский) и изинговский случаи обменного взаимодействия. Последний, в частности, может быть реализован в двумерной квантовой точке при наличии спин-орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тому, что описание с помощью универсального гамильтониана становится неприменимым. Это происходит из-за того, что в этом случае нельзя пренебречь флукту-ациями матричных элементов взаимодействия даже в металлическом режиме, 6/Е ъ 1 [18, 20]. В двумерных квантовых точках с компонентами орбитального момента смешиваются только компоненты спина, лежащие в плоскости квантовой точки, тогда как перпендикулярная проекция спина коммутирует с гамильтонианом. Если параметры квантовой точки удовлетворяют следующему условию, (Xso/L)2 $ (Етъ/ S)(L/ Xso)4 1, где \so характерная длина спин-орбитального взаимодействия, низкоэнергетическое описание дается универсальным гамильтонианом с изинговским обменным взаимодействием (Jz 0) [18, 21]. В этом случае для эквидистантного спектра мезоскопической стоунеров-ской неустойчивости нет [22]. Так как полный спин в основном состоянии равен нулю для всех Jz 5, туннельная состояний почти не зависит от Jz [23].
Простейший способ изучить переход от гейзенберговского к изинговскому обменному взаимодействию это рассмотреть универсальный гамильтониан с одноосевой анизотропией обменного взаимодействия. Хотя эта модель не имеет полноценного микроскопического обоснования она может быть применима для ферромагнитных частиц нанометрового размера. Заметим, что существенная анизотропия обменного взаимодействия была обнаружена в экспериментах по изучению туннельного спектра таких наночастиц [24]. Модель похожая на гамильтониан с анизотропным обменным взаимодействием позволяет объяснить основные особенности экспериментально измеренного спектра возбуждений [7]. Анизотропия обменного взаимодействия может быть вызвана магнитокристаллической анизотропией в объеме, анизотропией поверхности и формы. Наличие спин-орбитального взаимодействия приводит к большим мезоскопическим флуктуациям в анизотропной части обменного взаимодействия [25, 26]. В квантовых точках анизотропное обменное взаимодействие может быть вызвано ферромагнитными контактами [27].
Случай "легкая плоскость" (Jz J±) 2.3 Поперечная спиновая восприимчивость
Как обсуждалось в разделе 2.2, для 8 .Т статистическая сумма может быть факторизо-вана на спиновый и зарядовый сомножители (см (1.16)). Т.к. множитель Zc не зависит от магнитного поля он не влияет на результаты для х±(ш)? поэтому его можно не учитывать. Это подразумевает замену ZSl Zs(n)1 и Zs(b + іХТ) на Z, Z(n), и Z(b + іХТ) в . (1.24) -(1.25), соответственно. Используя (2.9) для эквидистантного одночастинного спектра мы можем переписать Zs(n) следующим образом Согласно (1-24) Imx±(w)представляется в виде суммы дельта-пиков. Т.к. их положения не зависят от конкретной реализации одночастинного спектра, дельта-пики сохраняются и после усреднения lmx__(u;) по флуктуациям уровней. Поэтому, чтобы обсуждать частотную зависимость поперечной спиновой восприимчивости в виде гладкой кривой мы должны предполагать некое естественное уширение одночастичных уровней Г $ Jz — J± . tDlmzAV
В пределе больших частот или сильных магнитных полей, /3(5 — J±)\zu\ 3 1, мнимая часть поперечной спиновой восприимчивости экспоненциально мала: Зависимость Im j_(a;)/ Ітхх(о;ежі) от а; для Jz = 0.98$ и нескольких значений J_i_: Jj_ = 0.92$ (красная сплошная линия), J± = 0.755 (синяя пунктирная линия) и J± = 0 (зеленая линия из точек). Линия сжимается к ш = 0 при приближению к изотропному случаю. J_i_ = Jz. В интервале Jz J± 5 наклон имеет минимум (см. Рис. 2.3). Мнимая часть поперечной спиновой восприимчивости при нулевом магнитном поле имеет два экстремума (минимум на отрицательных частотах и максимум на положительных частотах). При условиях 5 — Jz, J± С 5 и 5 . Т С 52/(5 — Jz) положения экстремумов могут быть оценены как
Поведение х±(ш) как функиции частоты показана на Рис. 2.4. В присутствии магнитного поля Гтх__(и;) смещается по частоте и становится асимметричной (см Рис. 2.4).
Стоит обсудить случай изинговского обменного взаимодействия (Jj_ = 0) более детально. В режиме малых частот и слабых магнитных полей, М,6 С TJz/5, мнимая часть динамической спиновой восприимчивости дается выражением
Хотя Imx__(a;) асимметрично при наличии магнитного поля она все равно обращается в нуль на нулевой частоте, Imx±(uj = 0) = 0. В обратном пределе \ш\, \b\ $ TJz/8, из (2.23) мы находим
Туннельная плотность состояний для универсального гамильтониана с осевой анизотропией исследовалась в работе [1] с помощью разложения в ряд теории возмущений вблизи случая Изинга. Было обнаружено, что обменное взаимодействие приводит к сильной немонотонной зависимости (с двумя максимумами и одним минимумом) туннельной плотности состояний от энергии. Заметим, что в случае Изинговского обменного взаимодействия [23] туннельная плотность состояний монотонна, а в случае Гейзенберговского обменного взаимодействия имеет лишь один максимум [29]. Таким образом результат работы [1] отражает интересное явление: в случае анизотропного обменного взаимодействия немонотонность туннельной плотности состояний усиливается. Однако, это предсказание находится в противоречии с недавними расчетами спиновой восприимчивости для модели с анизотропным обменным взаимодействием [38]. Спин основного состояния монотонно уменьшается с изменением анизотропии от нуля (случай гейзенберговского обменного взаимодействия) до максимального значения (случай изинговского обменного взаимодействия). В этом разделе мы детально проанализируем выражение (1.44) и покажем, что результаты работы [1] неверны.
Начнем анализ туннельной плотности состояний (1.44) со случая низких температур Т С 6. Для простоты, рассмотрим случай кулоновской долины (Щ близко к целому). Тогда при Т 8 мы можем использовать следующие соотношения: где Еп - это энергия основного состояния п бесспиновых электронов и О (ж) функция Хевисайда. В случае эквидистантного спектра энергия Еп равна 5п(п — 1)/2. Предположим, что основное состояние гамильтониана (1.1) с Jz J соответствует полному спину S. Тогда в (1.44) нужно учесть только вклад с га = S и / = ±S . Другие вклады, например с m = S— 1 и / = ±(Sf— 1), будут экспоненциально подавлены. Следовательно, мы находим
Заметим, что выполнены следующие неравенства: з 1,2,4 и i 4 независимо от величины S. Поэтому,возможны только три различных случая: (а) 2 i 4 з7 (Ь) i 2 4 3, и (с) i 4 2 з- Какой из случаев реализуется зависит от величины полного спина S в основном состоянии с Sz = S. Энергия 8.і (2) это энергия необходимая электрону со спином вверх(вниз) туннелировать на наинизший из доступных уровней (см Рис. 2.5). Энергия 4 и з требуются электрону для туннелирования электрона со спином вниз на наинизший из доступных уровней для электрона со спином вверх. Энергия 3 (4) соответствует возбужденному состоянию с полным спином S — 1/2 (5+1/2).
Как следует из (2.31) туннелирование возможно только если энергия электрона є превышает min{i, 2, 3, 4}. Из-за конечной величины полного спина в основном состоянии туннелирование электрона чувствительно к проекции его спина. При малых энергиях Е3,4 Туннелирование электрона со спином вверх(слева) и электрона со спином вниз (справа) в квантовую точку с конечной величиной спина в основном состоянии только электроны с одной проекцией спина могут туннелировать в квантовую точку Для электронов с очень большими энергиями зависимости туннелирования от проекции спина нет. Характерная энергия, которая разделяет два этих режима это з- Правило сумм (1.45) ограничивает возможное поведение туннельной плотности состояний. Для случая кулоновской долины и при низких температурах правило сумм (1.45) приводит к тому, что интеграл J de и (є) не зависит от обменного взаимодействия. Как мы увидим в дальнейшем, это приводит к наличию максимума в туннельной плотности состояний. В случаях (а) и (Ь) мы получаем из (2.31):
Продольная спиновая восприимчивость
В режиме высоких температур, Т $ 5Jz/(5 — Jz), и для \тп\ С 7У#, все три интеграла в правой части (3.37) одного порядка малости. Используя асимптотическое выражение (3.7) для функции L(h) при \h\ . 1, мы получаем следующий результат для мнимой части средней динамической спиновой восприимчивости на низких частотах 5\UJ\/{2JZ) Ги высоких температурах Т $ 8Jz/(8 — Jz):
Здесь IniXj_ (ш) дается (2.27) при 6 = 0. Заметим, что (3.38) может быть получено из выражения (2.27), если заменить 1/Д вместо 1/8 и усреднить с помощью (3.11). В режиме низких частот и высоких температур флуктуации малы. В случае высоких частот и высоких температур , 8\u\/(2Jz) $ Т $ 8Jz/(8 — Jz), первая и вторая строчки в правой части (3.37) дают основной вклад. Далее с помощью асимптотического выражения (3.7) для L(h) при \h\ $ 1 мы находим, что при \UJ\/(2JZ) $ Т/6 $ Jz/(6 — Jz) мнимая часть средней динамической спиновой восприимчивости может быть записана как Imx±( ) In 2 ш262 Здесь Imx__ (OJ) дается (2.28) при 6 = 0. Заметим что результат (3.39) верен при условии [UJ6 / (Т Jz)]2 С 7г2/3, который оправдывает теорию возмущений по V. Подчеркнем, что хотя (3.39) верно при высоких температурах Т $ 6Jz/(6 — Jz) оно не может быть получено из (2.28) подстановкой 1/Д вместо 1/6 и усреднением с помощью (3.11).
В случае низких температур Т С 6Jz/(6 — Jz), независимые от m вкладов в правой части (3.37) исчезают в главном порядке. Используя асимптотические результаты для L(h) при \h\ $ 1, (см (3.7)) мы получаем
Таким образом, мы получаем следующий результат для мнимой части средней динамической спиновой восприимчивости при низких частотах, \OJ\/JZ С Т/6 . Jz/(6 — Jz): Ьпх±М 6 ( би2 1\ 6JZ ImXfM 2T\ATJ- + 2)m{6-Jz)r [6ЛІ) Здесь, Imx__ (OJ) дается (2.27) при 6 = 0. В интервале температур \OJ\/JZ Т/6 Jz/(6 — Jz) эффект флуктуации одночастичных уровней подавлен дополнительно маленьким фактором 6/Т С 1. Таким образом мы ожидаем, что теория возмущений верна даже приТ 6JZ/[TT2/3(6-JZ)}.
При высоких частотах , 1 С (шб/(JZT))2, и низких температурах Т С 6Jz/(6 — Jz) мы получаем из (3.40) следующий результат для средней динамической спиновой восприимчивости:
Здесь ImxV (OJ) дается выражением (2.28) при 6 = 0. Теория возмущений оправдана при max {[шб / (JZT)]2, 6JZ/[T(6 — Jz)]} 7г2/3. Напомним, что максимум ImxV (OJ) расположен вблизи частоты u;ext \/ J2T/(6 — Jz). Тогда, как следует из (3.42), флуктуации приводят к увеличению максимального значения средней динамической восприимчивости в [(8 Jz / (ж2 (ЗТ (8 — Jz))} раз. Из-за флуктуации есть небольшой сдвиг максимума к нулевой частоте, 8uext/uext 82/{ж2(ЗТ2).
Следовательно Fx{m) остается конечным при Jz 5. Таким образом несмотря на флуктуации уровней стоунеровская неустойчивость проявляется в Im%j_(a;) только при Jz = 8. Согласно (3.43) при усреднении по флуктуациям уровней величина lmx_i_(u;) остается конечным. Однако, форма кривой может существенно измениться в режиме сильных флуктуации. Чтобы оценить hax±(U}) at # С Т С 8JZ/[TT2(3(8 — Jz)] мы подставим вырожденный процесс v(h) для V(h) в (3.36). Тогда, найдем, что
Так как в отсутствии магнитного поля Z возрастает с увеличением J (см (1.9)), можно удостовериться, что и для гейзенберговского обменного взаимодействия Zs 1. Детальное исследование разложения по теории возмущений по V для продольной спиновой восприимчивости можно найти в [29]. Также как для случая изинговского обменного взаимодействия влияние флуктуации существенно при Ь = 0и# сТ С J5/[n2(3(5 — J)]. В этом интервале параметров типичное значение \h\ в интеграле в правой части (3.47) велико , \h\ у J3J 1 где J = 5J/(5 — J). Тогда для 6 = 0 получим где a7 = ехр{(7г2/37)/[8(1 — 7) In 2]}. Из этой оценки следует, что моменты lnZs (и \zz) конечны при J 5. При z $ 1 интеграл в правой части (3.47) может быть вычислен в седловом приближении, что сводит статистику In Zs к статистике максимумов процесса Y{h) = — h 2 + hy/y — zv(h). Далее так же как и в предыдущем разделе используя результаты Хюслера и Питербарга [43], мы находим что хвост функции распределения при W 8J/[T(8 - J)] дается следующим выражением ТШІ{тг2іЗТ(8 - J)W/(8J)) (см (3.32)). Заметим, что для этого хвоста дрейфовый член h /y в процессе Y{h) не важен.
Случай кулоновского взаимодействия
Напомним, что нормировка такова, что Z$ = 1 при Jz = 0. Согласно (1.9) для J± = 6 = 0, статистическая сумма большого канонического ансамбля увеличивается с ростом Jz. Отсюда следует, что Z$ 1. Согласно (3.21), статистика продольной спиновой восприимчивости при нулевом магнитном поле определяется единственным параметром z = [PJZ/(TJ:2/3)]1 2. Случайный гауссов процесс v(h) имеет нулевое среднее и четен по h, v(h) = v(—h). Его двухточечная корреляционная функция такова j=±
Таким образом траектории v(h) непрерывны и его инкременты сильно положительно коррелированы (см Рис. 3.3). На деле процесс v(h) во многих аспектах близок к баллистическому v(h) = \h\, где это гауссова случайная величина (напомним, что v(h) это единственный процесс, удовлетворяющий условию (3.23) при Н = 1). Процесс v(h) известен в математической литературе [5].
Рисунок 3.3: Несколько реализаций процесса v(h); пунктирные линии ±2fa,vln2 приведены для наглядности.
Будем искать функцию распределения T(W), т.е. вероятность для In Z$ превысить W: 9(W) = P{\nZs W}. Она имеет следующие свойства: 9(0) = 1, У(оо) = 0 и 9(W) монотонно убывающая функция. Средние моменты In Zs могут быть просто переписаны как [lnZs]fc = к J dWWk 11)(W). Хотя аналитическое выражение для функции распределения неизвестно мы можем ограничить y(W) сверху чтобы доказать, что все моменты \zz) конечны при Jz 5. Во первых, мы разбиваем гауссов вес ехр(—h2) в интеграле в правой части (3.4) и получаем (0 7 1 это прозвольный параметр разбиения). Тогда,
Неравенство (3.24) позволяет нам свести задачу нахождения верхней границы для y(W) к статистике максимумов гауссового процесса Y1(h) = —h 2 — (z/y/ y)v(h) который локально напоминает дробное броуновское движение с дрейфом. Действительно, из (3.24) мы находим Чтобы найти верхнюю границу к вероятности P{тах17(Л,) w}, мы используем Нера-венства Слепиана. [6] Рассмотрим произвольный гауссов процесс X(h) = —h2 + (2zVln2/\fy)В(h2), где B(h) это стандартное броуновское движение (В(h) = 2h; с экс In
Из (3.29) следует что при JZ/{TT2(3) $ Т $ 5 все моменты lnZs (и следовательно все моменты Xzz) конечны если Jz 5. Поэтому даже в присутствии сильных флуктуации од-ночастичных уровней стоунеровская неустойчивость проявляется только при Jz = 5. Для Jz 5 и для температур Т $ 5 квантовая точка находится в парамагнитном состоянии.
Для z $ 1 седловое приближение в (3.4) становится точным и статистика In Z$ сводится к статистике максимумов процесса Y{h) = — h2 — zv(h). Как видно из перенормировки h, вероятность того что максимум Y{h) превышает w равна вероятности того, что максимум величины Y(s) = v(s)/(l + s2) определенной при s 0 превышает y/w/z. Из результатов Хюслера и Питербарга [43] следует, что асимптотика вероятности P{maxY(h) w} при больших w определяется малой окрестностью точки s = 1, где вариация Y(s) достигает своего максимума, равного In 2. Более того, имеется конечный предел для некоторой функции К{х) регулярно изменяющейся вблизи нуля 0 с индексом а Є (0,1). Тогда точная асимптотика имеет вид
Здесь К 1(х) функциональное обратное от К(х). В нашем случае, (3.23) означает, что К(х) = ху/\п(1/х), которая регулярна с индексом а = 1. Напомним, что функция f(x) регулярна в х = 0 с индексом а если \im f (at) /f (t) = aa для любого a 0. Результат работы [43],строго говоря, не применим напрямую. По аналогии с похожей ситуацией при дробном броуновском движении, мы ожидаем, что асимптотика (3.31) сохранится лишь с изменением независящего от W множителя const(а). Заметим, что экспоненциальная часть напоминает хвост нормального распределения с дисперсией In 2 взятый при yW/z. Этот хвост был верно оценен с помощью неравенства Слепиана. Таким образом мы находим, что с логарифмической точностью хвост функции распределения дается выражением (W » [1п2/(тг2 (3)]5JZ/[T(5 - Jz)])
Чтобы проиллюстрировать результат (3.32) мы приблизим гауссов процесс v(h) вырожденным процессом v(h) = \h\, где это гауссов случайный процесс с нулевым средним ( = 0и дисперсией 2 = 4 In 2. Заменяя процессом v(h) процесс v(h) в правой части уравнения (3.21), мы оцениваем статистическую функцию как Z$ — у Jz/Jz sx$(z2 2/4) 1 — erf (z/2) . Большие значения Zs соответствуют большим отрицательным значениям таким, что In Zs z22/4. Поэтому, хвост распределения In Z$ это простая экспонента. Далее мы находим что для z $ 1 хвост функции распределения СР(И ) дается (3.32) без логарифма в предэкспоненте. Как показано на Рис. 3.4 в целом поведение СР(И ) при z $ 1 хорошо приближается функцией распределения для вырожденного процесса v(h). Также заметим что поведение СР(И ) для z $ 1 сильно отличается от его поведения при z 1. Для последнего, СР(И ) дается функцией распределения нормального распределения (см Рис. 3.4).
Уравнение (3.32) показывает, что средние моменты In Zs масштабируются как {\nZs)k z2k при z $ 1. Следовательно при і Т JZ/(IT2(3) fc-ый момент спиновой восприимчивости дается выражением
Результат (3.33) может быть получен из седлового приближения для интеграла в правой части (3.21), т.е., в сущности, с помощью аргументов типа Ларкина-Имри-Ма. [11, 12] Рисунок 3.4: Зависимость y(W) от W/z2 при Т = 35 полученная с помощью численных расчетов при Jz/5 = 0.94 [z 0.5) (верхняя линия) и Jz/5 = 0.99994 [z 16.8) (нижняя линия). Черная кривая из точек это функция распределения для нормального распределения со средним и дисперсией найденными из теории возмущений низшего порядка по V для Т = 35 и Jz/5 = 0.94. Красная пунктирная линия это функция распределения вырожденного процесса v(h) для Т = 35 и Jz/5 = 0.99994. Вставка: Сравнение хвоста T iW) полученного численно Jz/5 = 0.99994 [z 16.8) и асимптотического результата (3.32).