Введение к работе
Актуальность темы работы. По-видимому, не будет преувеличением сказать, что современная физика становится все более и более "математизированной". Можно по-разному относиться к этому обстоятельству, однако его нельзя не принимать во внимание. Анализируя причины такой "математизации" физики, я бы выделил две основные тенденции:
(а) Становится все труднее и труднее сформулировать принципиально повую
физическую проблему, для решения которой потребовалось бы выйти за рамки
уже существующих теорий. С моей точки зрения, это ведет к тому, что постепенно
реальных физических проблем становится меньше, чем математических методов,
предназначенных для их описания.
(б) Математическая физика, впитывая новые идеи из различных областей ма
тематики, пытается "перевести" абстрактные математические представления на
физический язык. Это, порой, приводит к созданию новой системы понятий, что,
в свою очередь, стимулирует поиск повых физических приложений.
Разумеется, было бы весьма самонадеянно претендовать на то, что перечисленными тенденденциями исчерпываются все причины упомянутой математизации современной физики. Более того, многие мои коллеги—физики не согласятся с моей точкой зрения. Я думаю, однако, что никто из них не будет отрицать сам факт математизации.
Проникновение новых математических идей в физику бывает довольно парадоксальным. Не секрет, что различие языков и целей физиков и математиков приводит иногда к непреодолимым коммуникационным проблемам в отношении, как самого предмета исследования, так и того, что именно следует считать результатом. Сказанное можно пояснить яа конкретном примере^—статистике случайных блужданий с зацеплениями—постоянном объекте изучения статистической физики полимеров. Начиная с 70-ых годов, после классических работ Конвея, первый алгебраический инвариант—полином Александера—стал очень популярен в математической литературе, и, казалось бы, физики, работающие в области статистической топологии, получили гораздо более мощный топологический инвариант, чем простой ипвариант Гаусса. Тем не менее, до сих нор, в подавляющем большинстве работ по топологии полимеров, при микроскопических расчетах, авторы используют инвариант Гаусса (или его различные абелевы модификации), лишь кратко отмечая его неполноту.
Одна из причин такой инертности заключается, по-моему, в том, что математические идеи часто формулируются как "теоремы существования" и требуются значительные взаимные усилия физиков и математиков, чтобы выработать общую точку зрения и превратить "теорему существования" в реальное вычислительное средство, необходимое для решения конкретной физической задачи.
Цель, поставленная в данной работе, заключается в попытке использовать современные достижения в области алгебраической топологии и теории случайных блужданий на некоммутативных группах для последовательного и, по возможности, полного, решения старой проблемы: вычисления энтропии случайно генерированного узла и/или нефантомной ("телесной") Марковской цепи в заданном гомотопическом состоянии. Следует отметить, что изложение не является математически строгим и там, где это возможно, строгие утверждения заменены физически обоснованными соображениями. В целом, работа посвященя анализу вероятностных проблем в топологии (задачам об "энтропии случайного узла") и их приложению в статистической физике полимерных систем с топологическими ограничениями.
Научной новизной работы можно считать развитие "термодинамического формализма" в топологии, позволяющего связать построение топологических инвариантов узлов с вычислением обычных термодинамических величин (например, свободной энергии) в некоторых статистических моделях.
На защиту в качестве основных положений выносятся следующие проблемы, обсужденные и решенные в работе:
1. Вычислена вероятность того, что длинная случайная траектория, полно
стью заполняющая решетку, образует узел в заданном наперед топологическом
состоянии.
Данная проблема рассмотрена с помощью алгебраических.инвариантов Кауф-
фмана, и показана непосредственная связь топологической задачи с термодинами
ческими свойствами двумерной модели Поттса с "замороженным" или "динами
ческим" беспорядком в константе взаимодействия. ..../.-.
2. Исследовано предельное поведение случайных блужданий на простейших не
коммутативных группах, имеющих отношение к топологии; в контексте топологи
ческих проблем изучены также некоторые статистические свойства определенных
в работе "локально свободных групп".
В частности, показана связь предельного распределения показателей Ляпунова произведения случайных матриц—генераторов "группы кос"—с асимптотикой распределения "сложности узла" (степени полиномиального инварианта узла). Установленная связь использована для вычисления энтропии узла, образованного "косой". Показано также, что "сложность" узла соответствует хорошо известному феноменологическому топопогическому инварианту, "примитивному пути", часто используемому в статистике полимерных цепей с зацеплениями.
3. Изучена задача о статистике случайного блуждания в регулярной решетке
топологических препятствий.
С помощью конформных методов построен полный пеабелев топологический инвариант и показано, что многие нетривиальные свойства предельного поведения броуновских траекторий с топологическими ограничениями следуют из предельных теорем для случайного блуждания па гиперболических группах.
Практическая ценность работы. Методы решения перечисленных выше модельных задачи применены при рассмотрении следующих реальных физических проблем:
- термодинамических свойств ансамблей полимерных цепей с топологическими
ограничениями, а также расплавов кольцевых и линейных полимеров;
статистических свойств так называемой "складчатой (фрактальной) глобулы", представляющей собой незаузленную кольцевую полимерпуто молекулу с объемными взаимодействиями;
влиянию топологических ограничений на свойства фазовых переходов в полимерных гелях (сетках) и в пучках перепутанных "направленных полимеров".
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конгрессах по статистической физике STATPHYS-18 (Berlin, 1992) и STATPHYS-19 (Xiamen, 1995); на различных международных конференциях по физике неупорядоченных систем и теоретической физике полимеров (Marseille, 1992; Les Houches, 1993; Torino, 1995); на научных семинарах в Институте теоретической физики (1991-1996), на физическом и механико-математическом факультетах МГУ (1985-1996), в ОИЯИ (Дубна, 1995-1996), в Ленинградском Отделении Математического Института и Институте Высокомолекулярных Соединений (Ленинград, 1994-1996), в центрах теоретической физики и физики полимеров Франции, Италии, Израиля, Швейцарии, Германии, Мексики и США.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 научных статей и одна книга.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 86 пазваний и содержит 200 страниц (включая 35 рисупков).