Содержание к диссертации
Введение
1 Явные вложения римановых метрик 13
1.1 Мотивация 13
1.2 Симметрийный анализ возможности вложения статических черных дыр
1.2.1 Метод построения вложений симметричных метрик 16
1.2.2 Построение представлений группы SO(3) х Т1
1.3 Возможные вложения метрики Шварцшильда 22
1.4 Вложения метрики Шварцшильда
1.4.1 Эллиптическое вложение 31
1.4.2 Параболическое вложение 32
1.4.3 Гиперболическое вложение 33
1.4.4 Экспоненциальное вложение 35
1.4.5 Спиральное вложение 37
1.4.6 Кубическое вложение
1.5 Вложение метрики Коттлера 40
1.6 Вложения метрики Райсснера-Нордстрема
1.6.1 Общие соображения 44
1.6.2 Классификация известных вложений метрики Райсснера-Нордстрема 45
1.6.3 Новые глобальные минимальные вложения метрики Райсснера-Нордстрема 48
1.6.4 Спиральное вложение 49
1.6.5 Экспоненциальное вложение 52
1.6.6 Кубическое по времени вложение 53
1.7 Заключение 54
2 Теория гравитации на базе вложений и поле точечной массы 56
2.1 Уравнения Редже-Тейтельбойма 56
2.1.1 Канонический формализм 59
2.1.2 Степени свободы 60
2.1.3 Линеаризация уравнений Редже-Тейтельбойма 61
2.1.4 Бескоординатная формулировка 63
2.1.5 Неэнштейновская динамика
2.2 «Лишние решения» уравнений Редже-Тейтельбойма 67
2.3 Уравнения Редже-Тейтельбойма со статическим сферически симметричным источником 69
3 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении 75
3.1 Мотивация 75
3.2 Уравнения Редже-Тейтельбойма во фридмановском приближении 79
3.3 Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена 86
3.4 Динамика лишних решений после инфляции 92
Заключение 97
Литература 101
- Построение представлений группы SO(3) х Т1
- Вложения метрики Райсснера-Нордстрема
- Степени свободы
- Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Общая теория относительности (ОТО) Эйнштейна на сегодняшний день, бесспорно, является наиболее хорошо разработанной теорией гравитационного взаимодействия, дает очень хорошее согласие с экспериментом и позволяет объяснить огромное множество физических явлений при очень небольшом количестве исходных предположений. Однако при попытках ее квантования неизбежно возникновение крайне серьезных технических и методологических трудностей. Многие из них возникают в первую очередь потому, что общая теория относительности является динамической теорией пространства-времени, и по самому ее построению в ней отсутствуют необходимые для квантования объекты, в частности, выделенная ось времени, необходимая для построения гамильтонова формализма. С отсутствием выделенной оси времени связана также проблема энергии гравитационного поля — гамильтониан сводится к связям, а ненулевой вклад дают только поверхностные члены. Отсутствует также фиксированная фоновая метрика, необходимая для записи канонических коммутационных соотношений. С ее отсутствием связана проблемы причинности в квантовой гравитации: мы не можем определить, связаны ли причинно две области пространства-времени, потому что в определение квадрата интервала входит метрика, которая сама является квантовым оператором.
По этим причинам представляется интересным изучение альтернативных формулировок теории гравитации, свободных от вышеперечисленных трудностей. В качестве основного объекта изучения рассматривается теория гравитации на базе изометрических вложений, предложенная Редже и Тейтельбоймом в 1975 году [6]. Успех, достигнутый при использовании вложений для описания физических процессов (релятивистская механика частиц, теория струн, гравитация Арновитта-Дезера-Мизнера), вдохновил их разработать подход к гравитации как к динамике вложенной поверхности.
Этот подход также достоин внимания в связи с экспериментально обнаруженными отклонениями астрофизических и космологических данных от предсказаний ОТО Эйнштейна. Напомним, что в современной космологии существуют две главных проблемы [7]: объяснение скрытой массы во Вселенной и кривых вращения галактик — т.н. проблема темной материи, и объяснение ускоренного расширения Вселенной и параметров этого ускорения — проблема темной энергии. В рамках теории Эйнштейна эти явления пока не находят удовлетворительного описания. Однако множество решений уравнений Редже-Тейтельбойма шире эйнштейновского; это позволяет искать в них объяснение вышеупомянутым феноменам.
Степень разработанности темы исследования. Уравнения Редже-Тей-тельбойма, как и обычные уравнения Эйнштейна, легче всего поддаются решению при наличии достаточной группы симметрии (достаточной для того, чтобы уравнения с частными производными превратились в обыкновенные). Среди решений с высокой симметрией наибольший физический интерес представляют, разумеется, статические сферически-симметричные решения и модель Фридмана. Уравнения Редже-Тейтельбойма анализировались прежде всего в рамках симметрии таких типов. Случай симметрии Фридмана анализировала, в частности научная группа Дэвидсона в [8], [9], [10], и Рохас с сотрудниками (см., напр. [11] и [12]). Сферически-симметричные уравнения изучались в работах Тапиа [13] и Эстабрука [14], но анализ, проведенный в обеих этих работах, не был полным.
Целью данной работы является исследование неэйнштейновских решений уравнений Редже-Тейтельбойма при наличии физически обусловленной симметрии. Изучение структуры этих решений на различных масштабах позволит сделать выводы о степени достоверности, с которой планетарная, галактическая и космологическая динамика может быть описана посредством уравнений Редже-Тейтельбойма. В тех ситуациях, где предсказания эйнштейновской теории совпадают с наблюдениями (к примеру, в планетарной динамике) необходимо найти объяснение отсутствия лишних решений, а в тех, где предсказания расходятся с наблюдениями (темная энергия и темная материя) — изучить возможность объяснения их при помощи теории вложения.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Построение всех явных вложений 5*0(3) х Т1-симметричной метрики в 6-мерное объемлющее пространство, обладающих такой же группой симметрии.
-
Изучение ограничений, налагаемых вакуумными уравнениями Редже-Тейтельбойма на вид индуцируемой такими вложениями метрики.
-
Изучение порождаемой уравнениями Редже-Тейтельбойма динамики масштабного фактора метрики Фридмана, с учетом предположения, что в начальный период развития Вселенной реализовался инфляционный сценарий.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах, и включают следующее:
-
Впервые построена полная классификация симметричных вложений метрик Шварцшильда в объемлющее пространство минимальной размерности, при этом два из шести возможных вложений оказались новыми, не описанными ранее в литературе.
-
Впервые найдено вложение метрики Шварцшильда, являющееся асимптотически плоским, т.е. переходящее во вложение плоскости при г —> оо.
-
Впервые получены минимальные вложения метрик Коттлера и Райс-снера-Нордстрёма, гладко покрывающие оба горизонта.
-
Впервые проведен полный анализ всех допускаемых симметрией минимальных вложений, удовлетворяющих уравнениям Редже-Тейтельбойма для точечного источника, порождающих асимптотически плоскую метрику.
-
Показано, что в модели Фридмана с начальными данными, находящимися в ситуации общего положения, «лишние решения» оказываются экспоненциально подавлены после окончания инфляционного периода.
Научная и практическая значимость. Построенные вложения могут использоваться для изучения различных свойств черных дыр, к примеру, для проверки универсальности обсуждаемого в [15] соответствия между температурой Хокинга и температурой Унру
Асимптотически плоское вложение метрики Шварцшильда может использоваться для решения задачи многих тел в подходе Редже-Тейтельбойма.
Доказанное отсутствие «лишних решений» в нескольких физически интересных случаях говорит о том, что теория вложения, по крайней мере на классическом уровне, согласуется с экспериментальными данными, и позволяет рассматривать ее в качестве возможной основы для поиска удобной для квантования теории гравитации.
Методология и методы исследования. Для получения и исследования вложений конкретных метрик в работе активно используется предложенный С. А. Пастоном метод построения явных вложений, наследующих от метрики имеющуюся у нее симметрию. Данный метод позволяет классифицировать и конструировать все возможные вложения заданной метрики в объемлющее пространство заданной размерности.
Исследование уравнений Редже-Тейтельбойма проводилось в предположении, что вложения, удовлетворяющие этим уравнениям, обладают симметрией рассматриваемой физической задачи.
Достоверность результатов обеспечивается использованием математически корректного метода поиска явных вложений, известных методов исследования дифференциальных уравнений и сравнением с результатами, полученными ранее для различных частных случаев.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Новые глобальные минимальные вложения метрик Шварцшильда, Котт-лера и Райсснера—Нордстрёма, построенные и классифицированные при помощи метода, предложенного в [2].
-
Отсутствие «лишних решений» вакуумных уравнений Редже-Тейтель-бойма, если рассматривается обладающее SO(3) (g) Т1 симметрией вложение четырехмерной поверхности в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика обладает той же симметрией и является асимптотически плоской.
-
Наличие экспоненциального подавления «лишних решений» во фридма-новском приближении теории вложения, если на ранних стадиях развития Вселенной присутствовал инфляционный режим, а состояние Вселенной до начала инфляции описывалось начальными данными общего вида.
Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная студенческая конференция «Science & Progress — 2011» (СПб, 2011); 50th International school of subnuclear physics, (Erice, Italy, 2012); VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 155-летию со дня рождения К. Э. Циолковского «Молодежь и наука» (Красноярск, 2012); IV международная конференция «Модели квантовой теории поля», посвященная А. Н. Васильеву (СПб, 2012); The XXI International Workshop «High Energy Physics and Quantum Field Theory» (SPb, 2013); II Russian-Spanish Congress «Particle and Nuclear Physics at all Scales and Cosmology» (SPb, 2013); Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии «Петровские чтения-2014» (Казань, 2014); а также на научных семинарах Петербургского отделения Математического института, Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга, Московского государственного университета и Высшей школы экономики.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях [1-5], индексируемых базами данных «Web of Science» и/или «SCOPUS» и включенных в перечень ВАК.
Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавтором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц с 9 рисунками. Список литературы содержит 80 наименований.
Построение представлений группы SO(3) х Т1
Чтобы получить вложение псевдориманова многообразия с некоторой симметрией на нем, нужно построить (і-мерную поверхность в плоском пространстве, обладающую симметрией относительно заданной группы этой симметрии G. В общем случае плоское пространство содержит п+ времениподобных и П- пространственноподобных направлений, п+ + п_ = N d, т. е. является пространством Rn+,n-. Под симметричностью поверхности Л4 относительно группы G понимается свойство Л4 переходить в саму себя под действием некоторой подгруппы группы движений V плоского пространства Rn+,n-, изоморфной группе G. Группой движения объемлющего пространства Минковского Rn+ n- является обобщение группы Пуанкаре на многомерие, т. е. V представляет собой полупрямое произведение группы SO(n+,n-) на группу Тп++п- трансляций пространства Rn+,n-. Такое определение симметрии поверхности можно понимать как требование совпадения внутренней и внешней геометрии у областей, которые переходят друг в друга, будучи подвергнуты преобразованию симметрии. Если это требование выполняется, то такие области можно совместить друг с другом при помощи поворотов и сдвигов в объемлющем пространстве.
Таким образом, первым шагом к построению симметричной поверхности является отыскание некоторого гомоморфизма V из группы G в группу V. Как известно, элементы группы Пуанкаре V можно представить в виде блочных матриц размера n+ + n_ + 1, имеющих вид где AGS 0(n+,n_) и a ERn+,n- описывает трансляции (при этом точкам fin+,n- соответствуют П+ + П- + 1-мерные векторы с единицей в качестве последней компоненты). Поэтому V можно считать матричным представ лением группы G, элементы которого имеют вид (1.2), причем представление должно быть однозначным и точным, но приводимым (поскольку матрица (1.2) соответствует приводимому, хотя и не вполне приводимому представлению. Тогда множество точек уєЯп+,п , даваемых формулой V = V{g)y0 (1.3) при произвольных (/еСи фиксированном начальном векторе у о Є Rn+ n-по построению будет образовывать поверхность, обладающую требуемой симметрией. Если у о, кроме этого, непрерывно зависит от некоторых параметров, то множество точек, даваемых формулой (1.3) при всех значениях таких параметров также будет образовывать поверхность, симметричную относительно требуемой группы, причем в этом случае той же симметрией будут обладать и ее сечения, соответствующие фиксированным значениям параметров.
Таким образом в [19] был получен некий конструктивный метод построения симметричных поверхностей, суть которого заключается в отборе таких вещественных представлений V группы G, для которых матрицу представления можно привести к виду (1.2). Размерность полученной поверхности, однако, может различаться для разных представлений и начальных векторов, поэтому не все варианты окажутся подходящими при заданной размерности поверхности d.
Изложенный метод, в зависимости от решаемой задачи, позволяет искать как глобально, так и локально симметричные поверхности. В последнем случае подгруппа группы движений V объемлющего пространства, оставляющая инвариантной поверхность Л4, должна быть лишь локально изоморфна группе G. Тогда представление V уже не обязательно должно быть однозначным и может иметь нетривиальное дискретное ядро. Такая ситуация возникает при поиске вложения для риманова пространства, симметрия которого наблюдается только локально, но не глобально. Например, замкнутая фридмановская Вселенная обладает симметрией SO (А), но мы не можем утверждать этого глобально, поскольку не можем ее обойти по большому кругу. С другой стороны, в некоторых задачах оказывается необходимым не только предполагать наличие глобальной симметрии, но и наложить дополнительные ограничения на топологию искомой поверхности. Например, при поиске вложения для обсуждаемой ниже метрики Шварцшильда, поскольку тяготеющее тело можно обойти по большому кругу, необходимо считать симметрию SO(3) глобальной, а также дополнительно требовать, чтобы топология поверхности, соответствующей постоянным значениям г и t, была топологией сферы.
Рассмотрим сначала возможные типы вложений метрики сферически симметричной невращающейся черной дыры в объемлющее пространство Минковского, классифицируя их по типу реализации симметрии. Размерность объемлющего пространства возьмем равной шести, поскольку класс вложения соответствующей метрики равен двум [27]. Искомая функция вложения может быть представлена в виде y(x) = V(g)yo(r), (1.4) где д — элементы SO(3) (&Т1, уо — начальный вектор, зависящий от г. Нашей задачей является нахождение такого представления V из (1.4), которое бы осуществляло отображение из SO(3) S Т1 в группу движений объемлющего пространства V{n-,n+), где п+ — количество времениподобных направлений объемлющего пространства (не менее одного), П- — количество пространственноподобных (не менее трех), причем п+ + П- = 6. Искомое представление будет представлять собой прямую сумму тензорных произведений V представлений (возможно, не являющихся вполне приводимыми) групп SO(3) и Т1. Как известно, группа SO(3) содержит три генератора. В то же время необходимо, чтобы поверхности, соответствующие постоянным значениям г и t, были двумерными, поэтому необходимо, чтобы вектор уо(г) оставался неизменным под действием одного из генераторов группы. Это требование, равносильное требованию наличия одномерной подгруппы стабильности, ограничивает допустимые представления V\ группы SO(3) тензорными (т.е. с целым спином), причем вида х\...хт — (слагаемые, обеспечивающие неприводимость), где х% - вектор, инвариантный относительно действия инвариантной подгруппы, т — спин. Для совпадения топологии поверхности, соответствующей постоянным значениям г и t, с топологией сферы необходимо и достаточно наличие в прямой сумме хотя бы одного представления с нечетным спином т (для предотвращения появления дополнительных дискретных симметрии типа поворота на 7г в дополнение к повороту на 27г).
Вложения метрики Райсснера-Нордстрема
Случай положительной космологической постоянной оказывается более интересным. Пространство с такой метрикой (называемой также метрикой Шварцшильда-де Ситтера) содержит два горизонта событий: внутренний горизонт, который можно отождествить с горизонтом черной дыры, и внешний, космологический горизонт. По этой причине глобальное вложение гиперболического типа для этой метрики построить невозможно: вложение гиперболического типа содержит только один параметр а, фиксируя который, можно добиться гладкости на одном из горизонтов, но не на обоих. Экспоненциальное вложение также оказывается не глобальным из-за характера нулей goo (по крайней мере в одной точке невозможно достичь гладкости). Оставшиеся два из шести типов вложения, описанных выше — спиральное и кубическое — допускают обобщение на случай Л 0.
Это вложение покрывает ту же часть всего многообразия, что и предыдущее. Успех, достигнутый при вложении метрики с более сложной глобальной структурой, чем шварцшильдовская, позволяет надеяться, что существуют подобные вложения и для заряженных черных дыр. Изучению таких вложений посвящен следующий пункт. 1.6 Вложения метрики Райсснера-Нордстрема
Остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично. Минимальным для метрики Райсснера-Нордстрёма является вложение в шестимерное пространство, поскольку доказано, что класс вложения этой метрики р = 2 [38]. До недавнего времени не было известно ни одного глобального (в указанном смысле) вложения метрики Райсснера-Нордстрёма, даже для большего числа измерений объемлющего пространства. В работе [39] обсуждается продолжение построенного в [40] вложения метрики Райсснера-Нордстрёма в область г г-, однако предлагаемый там для этой области вид функции вложения оказывается не вещественным. Если же его сделать вещественным, то он будет соответствовать метрике Райсснера-Нордстрёма только после изменения сигнатуры объемлющего пространства.
Отметим, что кроме рассматриваемой здесь задачи построения полного вложения метрики также может исследоваться более простая задача построения диаграмм вложения (embedding diagrams), когда находится вложение для некоторых подмногообразий риманова пространства. Для метрики Райсснера-Нордстрёма такое исследование проводилось в работах [41-43].
Хотя явное локальное вложение метрики Шварцшильда было построено спустя всего пять лет после нахождения самой метрики [24], вложение для найденной примерно тогда же метрики Райсснера-Нордстрёма было предложено гораздо позднее. Исторически первым, по-видимому, было опубликовано вложение Розена [28]. Оно полностью аналогично вложению Казнера для метрики Шварцшильда и имеет вид при сигнатуре объемлющего пространства (н ). Это вложение принадлежит к гиперболическому типу. В форме (1.78) данное вложение покрывает только область г г+, однако несложно модифицировать его так (следуя идее статьи [26]), чтобы вложение можно было продолжить и под внешний горизонт (возможно, не для всех значений Q/M). Но сделать его гладким при всех г О, тем не менее, не удается.
В работе [45] было предложено вложение в 8-мерное пространство с сигнатурой (2+6) с такой же реализацией сдвигов по t, как в [26]. Оно является продолжением вложения с такими же компонентами функции вложения 2/0-4 как в формулах (1.78), но с тремя функциями от г вместо у . Формально такое вложение покрывает все значения г 0, однако на обоих горизонтах одна из компонент функции вложения обращается в бесконечность, так что многообразие распадается на три не связанные друг с другом части. Вложение [45], в отличие от вложений (1.77),(1.78), может быть записано в терминах элементарных функций.
Первое вложение, гладко покрывающее внешний горизонт, было предложено в работе [46]. Это вложение в 9-мерное пространство с сигнатурой (3+6). Как и вложение [45], оно является продолжением вложения с такими же компонентами 2/0-4 как в (1.78), снова с тремя функциями от г вместо у . Данное вложение является гладким на внешнем горизонте г = г+, но на внутреннем горизонте г = Г- одна из компонент функции вложения обращается в бесконечность. Это вложение тоже может быть записано в терминах элементарных функций.
Более простое гиперболическое вложение метрики Райсснера-Нордстрёма, продолжающееся под внешний горизонт, было предложено в работе Дезера и Левина [40]
Это вложение в 7-мерное пространство с сигна турой (н h). Оно покрывает область г г_, причем в этой об ласти оно аналогично вложению Фронсдала [26] метрики Шварцшильда, описывает максимальное расширение риманова пространства: два экзем пляра области г г+ и два экземпляра области Г- г г+, относящиеся к черной дыре и белой дыре. При г = г+ данное вложение является глад ким, однако оно не допускает гладкого продолжения в область г Г-. В работе [39] для этой области предлагается использовать тот же вид функции вложения, что и для области г г+, но, как видно из (1.79), в этом случае у оказывается мнимым. Если же поменять знак под корнем так, чтобы у было вещественным, то чтобы получить метри ку Райсснера-Нордстрёма нужно изменить сигнатуру объемлющего про странства на (н Ь +). Таким образом, на этом пути не удается построить единого для всех г 0 вложения, однако тот факт, что оно гладко описывает области с обоих сторон от горизонта г = г+, позволяет использовать его для исследования термодинамических свойств черных дыр, см. [40]. Вложение (1.79) также примечательно тем, что допускает предельный переход Q — - 0, в результате которого у зануляется и вложение переходит во вложение Фронсдала [26].
Степени свободы
Три оставшиеся компоненты ф. вл. для всех типов общие и имеют вид у =r cos 0, у =r sin 0 cos 0, у =r sin 0 sin 0. (2.37) Здесь функции f(r),h(r),w(r) связаны с функциями Р(г) и Q(r) уравнением (2.1), а а и fc - константы. Сигнатура объемлющего пространства для каждого вложения должна быть выбрана так, чтобы вложение могло целиком покрыть область вне возможного горизонта и было симметричным; например, для спирального вложения сигнатура по направлениям у1,2 должна иметь один и тот же знак, а для экспоненциального — разные.
Тензор Эйнштейна, построенный по диагональной метрике (2.29), также диагоналей. Его независимыми компонентами можно считать G00 и G11, остальные либо равны нулю, либо выражаются через перечисленные посредством следствий из тождеств Бьянки DfIG,Il/ = 0. Нам потребуется явный вид только компоненты G11:
Прежде всего заметим, что для любого из рассматриваемых вложений в каждой точке существует по крайней мере одна из компонент у0,1,2, для которой д2уа не равно нулю. Поэтому, если G11 везде равно нулю, то, вследствие (2.39) (в предположении g ф 0), будет равно нулю и G00. А следовательно, вследствие тождества Бьянки, будут равны нулю и все другие компоненты Giiv , т.е. будут выполняться вакуумные уравнения Эйнштейна. Таким образом, для доказательства отсутствия в рассматриваемом случае лишних решений достаточно доказать, что G11 = 0 везде. Теперь воспользуемся тем, что для любого из рассматриваемых вложений существует одна из компонент у0 1 2 (обозначим ее через у ), для которой д2у = 0. Согласно используемым обозначениям для нее д\у = h!. Если положить а = , то из уравнения (2.39) следует, что: где была введена новая координата = In г, и замечено, что rP (r) = Р/(). Возможны два варианта поведения функции Р на бесконечности: либо после некоторого значения (а значит, и г) эта функция монотонна, тогда с учетом (2.30) можно заключить, что lim Pi = 0, либо таких значений не существует и после любого значения величина РІ бесконечное количество раз проходит через ноль. В обоих случаях существует последовательность неограниченно возрастающих значений г, значения величины РІ в которых стремится к нулю. Используя этот факт в (2.43) и снова учитывая (2.30), можно заключить, что величина Ь! должна неограниченно возрастать при г — оо. С другой стороны, подставляя каждую из функции вложения (2.31)-(2.36) в формулу (2.1), можно убедиться, что при выполнении условий (2.30) величина Ь! должна быть по крайней мере ограничена сверху. Таким образом, предположение С Ф" 0 приводит к противоречию.
Мы обнаружили, что С = 0, и это, с учетом невырожденности метрики позволяет переписать уравнение (2.40) в виде h Gn = 0. (2.44) Такое уравнение означает, что либо h! = 0, либо G11 = 0. Если h! = 0, то вакуумные уравнения Редже-Тейтельбойма (2.5) упрощаются и удается показать что в этом случае асимптотическое поведение их лишних решений несовместимо с условиями (2.30). В результате мы приходим к выводу, что G11 = 0, а это, как было сказано выше, приводит к выполнению всех остальных уравнений Эйнштейна.
Таким образом, доказано отсутствие лишних решений вакуумных уравнений Редже-Тейтельбойма при условии, что рассматривается обладающее SO(3) 0Т1 симметрией вложение в плоское шестимерное объемлющее пространство, а индуцированная метрика является асимптотически плоской. Иными словами, единственным решением уравнений Редже-Тейтельбойма при данных ограничениях является внешнее решение Шварцшильда. Оно остается единственным решением уравнений Редже-Тейтельбойма вне произвольной статичной сферически симметрично распределенной материи, выступающей в качестве источника.
Представляет интерес изучение вопроса о совпадении этого результата с результатами, полученными Эстабруком в работе [18]. В ней рассматривались вакуумные решения уравнений Редже-Тейтельбойма для случая, когда вложение имеет вид (1.26). Одним из полученных решений являлось вложение метрики Шварцшильда, чего и следовало ожидать. Однако дальнейшее исследование уравнений Редже-Тейтельбойма показало существование еще двух семейств решений, чья динамика не соответствовала эйнштейновской. Численный анализ, проделанный в этой работе, позволяет заключить, что ни одно из этих двух семейств вложений не соответствует асимптотически плоской метрике, что находится в согласии с полученными в этой части результатами.
Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в статье [23]. Они позволяют предположить, что физически осмысленные лишние решения не вносят заметного вклада в динамику тяготеющих тел для многих важных случаев, самым очевидным из которых является динамика тел в околоземном пространстве. Это находится в согласии с экспериментами по обнаружению отклонений от эйнштейновской теории в масштабах солнечной системы: как известно, данные этих экспериментов находятся в хорошем согласии с ОТО.
Следующим важным шагом в этом направлении может быть построение теории возмущений, аналогичной пост-ньютоновскому формализму ОТО. В Заключении мы обсудим этот вопрос подробнее. Глава З
Эта глава посвящена анализу космологических уравнений Редже-Тейтельбойма. Лишние решения этих уравнений трактуются как дополнительная «материя», дающая вклад в тензор энергии-импульса. Исследуется поведение плотности энергии такой «материи» на протяжении инфляционного периода и после него.
Как показывает проведенный в предыдущей главе анализ сферически-симметричной модели, лишние решения уравнений Редже-Тейтельбойма могут быть полностью устранены из теории при наличии достаточно большой симметрии. С одной стороны, это является несомненным достоинством теории, если трактовать лишние решения как артефакт замены переменных, содержащей дифференцирование. Именно эта точка зрения на лишние решения преобладала среди ее исследователей первоначально, в конце семидесятых годов. С другой стороны, несомненно, стоит отметить, что с открытием темной энергии и темной материи возродился и интерес к расширениям эйнштейновской гравитации, угасший в семидесятых годах. Начиная с этого момента, подход Редже-Тейтельбойма стали рассматривать в том числе как возможное расширение эйнштейновской гравитации, и проблема лишних решений, таким образом, в какой-то мере перестала быть проблемой. Это повлекло за собой попытки объяснения темной материи и темной энергии при помощи лишних решений; они будут обсуждаться подробно далее.
В контексте попыток физической интерпретации лишних решений можно сравнить теорию вложения с недавно появившейся моделью «mimetic dark matter» [70,71]. Эта модель, в отличие от теории вложения, изначально формулировалась как расширение эйнштейновской теории, но механизм появления лишних решений там абсолютно тот же — они возникают в результате содержащей дополнительное дифференцирование замены переменных в действии, аналогичной (2.1):
Динамика лишних решений в эпоху лямбда-члена
В эпоху, к началу которой относится настоящий момент времени, для которой главный вклад в р дает Л-член («темная энергия»), верны те же зависимости, что для эпохи инфляции, т. е. формулы (3.52).
Интересно отметить, что в эпохи как ультрарелятивистской, так и нерелятивистской материи величина (5, показывающая степень отклонения от точного выполнения уравнений Эйнштейна, начинает расти.
Мы уже упоминали, что для решения известных проблемы теории горячего Большого взрыва, необходимо (см., например, [2]), чтобы за время инфляционного периода масштабный фактор вселенной вырос не менее чем в е60 раз. Чтобы это обеспечить, прежде всего предположим, как это обычно делается, что в начальный момент во Вселенной главную роль играет материя, имитирующая Л-член. Как показано выше, для теории вложения даже в этом случае инфляции может не быть: при реализации "ограниченного» сценария расширение сменяется сжатием, причем максимальный размер Вселенной при этом не может сильно превышать /pi (см. оценки (3.44), (3.45)), а при реализации "компенсационного» сценария расширение происходит неограниченно, но идет по степенному закону, без ускорения. Поэтому дополнительно предположим, что для нашей Вселенной начальные данные оказались таковы, что по крайней мере в некоторой области реализовался «инфляционный» сценарий. При этом будем считать, что в рассматриваемой области, которая затем перейдет в ныне видимую область вселенной, достаточно точно выполняется симметрия Фридмана. Отметим, что, как видно из расчетов, вероятность реализации именно «инфляционного» сценария не меньше, чем двух других.
Исходя из того, что за время инфляции Вселенная расширилась не менее чем в е60 раз, и используя (3.37), значение величины /3 к концу инфляции с точностью до нескольких порядков можно оценить как /5 е-240«1(Г104, (3.55) т. е. оно становится очень мало. Однако, согласно (3.52) и (3.53), в эпохи ультрарелятивистской и нерелятивистской материи значение (5 увеличивается. Считая, что к концу инфляции плотность р не должна иметь значение, большее, чем планковское, можно оценить сверху число раз, в которое Вселенная могла увеличиться за время эпохи ультрарелятивистской материи, как 1029. За время же эпохи нерелятивистской материи произошло расширение не более чем в 104 раз. Тогда, используя (3.52),(3.53) к концу эпохи нерелятивистской материи значение величины (5 можно оценить как причем в последующую эпоху темной энергии (5 уже не растет, см. (3.37). Таким образом, несмотря на возможность роста в некоторые эпохи, величина (5 остается чрезвычайно малой во все моменты времени после окончания инфляции. Это означает (см. обсуждение после формулы (3.51)), что в течение всего этого времени величина т у является лишь очень малой поправкой к Tiiv , т. е. в рамках симметрии Фридмана с очень хорошей точностью выполняются уравнения Эйнштейна.
Для того чтобы понять, с какой точностью будут выполняться уравнения Эйнштейна после инфляции в теории вложения вне рамок симметрии Фридмана, необходимо проанализировать поведение флуктуации величины т и. Как упоминалось во Введении, если эйнштейновские связи точно выполняются в некоторый момент времени, то это приводит к точному выполнению всех уравнений Эйнштейна при дальнейшем развитии системы (технические предположения, необходимые для доказательства этого утверждения, указаны в [73]). Это дает основания надеяться, что, поскольку уравнения Эйнштейна (а значит, в частности, эйнштейновские связи) выполняются с очень хорошей точностью (3.55) в моменты времени, когда отклонения от симметрии Фридмана малы, то они будут достаточно точно выполняться и во все последующие моменты времени. Таким образом, кажется наиболее вероятным, что флуктуации величины т у будут всегда оставаться очень малы. Отметим, однако, что если эти флуктуации все-таки окажутся достаточно велики, чтобы их влияние было заметным, введенная формально т-материя, возможно, будет в какой-то степени играть роль темной материи. Но для того, чтобы она могла играть такую роль в масштабах Вселенной, т. е. в рамках симметрии Фридмана, необходимо, чтобы вместо (3.55) было (5 « 1. Это возможно, только если расширение либо за время инфляции было заметно меньше, либо за время ультрарелятивистского вещества было заметно больше. И то, и другое, по-видимому, не согласуется с наблюдениями.
Существует, однако, другой взгляд на возможность имитации темной материи лишними решениями. В статье [12] Дэвидсон и сотрудники рассматривают поздний период существования вселенной и трактуют т-материю как темную материю. Предполагая, что (3 = О,dark 0.3, они изучают динамику рт на протяжении периодов доминирования темной энергии, холодной материи и излучения. В результате они получают решение солитонного вида: стартуя от нуля на стадии радиационного доминирования, рт степенным образом возрастает и достигает максимума непосредственно перед началом лямбда-доминирования. Затем оно начинает экспоненциально убывать, достигая желаемого значения в наше время.
К сожалению, этот анализ не учитывает наличия инфляционной стадии развития вселенной. Наши расчеты, приведенные выше, показывают, что для /3 1 в наше время необходимо, чтобы в начале классического режима вселенной (5 1060, что представляется неестественным в силу случайного характера выхода вселенной из режима квантовой гравитации. Таким образом, без тонкой подстройки не удается интерпретировать «лишние решения» как темную материю, но удается показать, что их вклад при наличии инфляции во все времена после ее окончания пренебрежимо мал.
Среди работ научной группы профессора Дэвидсона стоит также упомянуть статью [13], в которой изучалась возможность имитации темной энергии при помощи точных решений. Поскольку на момент написания этой статьи параметр замедления расширения вселенной q считался по ложительным, выкладки, приведенные в этой статье, нуждаются в пересчете.
Наконец, в статье [14] рассматривалась возможность реализации инфляционного режима на потенциале Хиггса при помощи «лишних решений». Главный результат, полученный в рамках этого исследования — потенциал поля Хиггса, при помощи которого можно реализовать инфляционный режим на базе уравнений Редже-Тейтельбойма, оказывается потенциалом типа А04 с массовым членом.
Как можно видеть из вышеизложенного, оптимистически настроенный исследователь может считать, что теория вложения обладает определенным потенциалом к решению космологических проблем, таких, как проблема инфляции, темной материи или темной энергии. Существует и более реалистичная точка зрения: в силу того, что теория вложения изначально создавалась не для решения космологических задач, она в первую очередь не должна порождать новых проблем на классическом уровне теории гравитации, нежели решать уже имеющиеся. С этих позиций результаты наших расчетов выглядят более удовлетворительно, особенно если воспринимать «лишние решения» как артефакт теории. Эти результаты были опубликованы в статье [20].