Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретическое и экспериментальное исследование явлений переноса, вязкоупругих и акустических свойств жидкостей 13
1.1. Обзор экспериментальных исследований вязкоупругих и акустических свойств жидкостей 13
1.2. Краткий обзор теоретических исследований вязкоупругих и акустических свойств жидкостей 29
2. Молекулярная теория релаксационных процессов в магнитных жидкостях 42
2.1. Описание системы и исходные кинетические уравнения для одночастичной и двухчастичной функций распределения 44
2.2. Уравнения обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей 50
2.3. Уравнение для бинарной плотности частиц магнитных жидкостей 58
3. Структурная релаксация и вязкоупругие свойства магнитных жидкостей 65
3.1. Выражения для коэффициентов вязкости и модулей упругости магнитных жидкостей 67
3.2. Частотная зависимость коэффициентов вязкости магнитных жидкостей 72
3.3. Частотная зависимость модулей упругости магнитных жидкостей 82
3.4. Зависимость коэффициентов вязкости магнитных жидкостей от параметров состояния и напряженности магнитного поля 85
3.5. Зависимость модулей упругости магнитных жидкостей от параметров состояния и напряженности магнитного поля 92
4. Структурная релаксация и акустические свойства магнитных жидкостей 97
4.1. Исследование дисперсии скорости и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях 97
4.2. Зависимость скорости и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях от параметров состояния 103
Заключение и основные выводы 111
- Краткий обзор теоретических исследований вязкоупругих и акустических свойств жидкостей
- Уравнения обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей
- Частотная зависимость коэффициентов вязкости магнитных жидкостей
- Зависимость модулей упругости магнитных жидкостей от параметров состояния и напряженности магнитного поля
Введение к работе
Актуальность темы. Магнитная жидкость представляет собой коллоидный раствор - устойчивую взвесь мельчайших частиц твердого ферромагнетика в жидкости-носителе. Основным механизмом, обеспечивающим устойчивость взвеси, является броуновское движение частиц. Броуновскому движению подвержены только частицы достаточно малых размеров. Магнитные частицы притягиваются друг к другу и, сливаясь, могут оседать в поле сил тяжести и в неоднородном магнитном поле. Для предотвращения оседания твердых частиц, их покрывают слоем поверхностно-активного вещества, которое препятствует их сближению и слипанию. Таким образом, магнитной жидкостью является устойчивая коллоидная система, состоящая из частиц достаточно малых размеров (0.3-10 нм) твердого ферромагнетика, покрытого слоем поверхностно-активного вещества, распределенных в жидкости-носителе. Концентрация твердых частиц порядка 1016-1018 в1 см3.
Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц, можно рассматривать как однородную сплошную среду, если исследуются явления, характеризирующиеся расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Следует отметить, что характерные времена рассматриваемых процессов должны быть значительно меньше времени оседания частиц в поле сил тяжести и в неоднородном магнитном поле.
Так как твердые частицы магнитной жидкости являются ферромагнитными, соответственно возникает вопрос об их поведении под действием магнитного поля. Если размеры частиц достаточно малы, тогда практически все частицы можно рассматривать как однодоменные. С каждой такой частицей жестко связан некоторый магнитный момент, обусловленный обменным взаимодействием атомов внутри нее. При изменении направления внешнего магнитного поля твердые частицы стремятся повернуться таким
образом, чтобы их магнитный момент стало параллельным магнитному полю. В настоящее время на основе уравнений магнитной гидродинамики считаются хорошо изученными магнитное, реологические, оптические и другие свойства магнитных жидкостей с макроскопической точки зрения. Однако проблема построения единой микроскопической теории, способной количественно описать свойства магнитных жидкостей, во многих аспектах остается открытой. Особенно это относится к теории неравновесного состояния магнитных жидкостей. Очевидно, что неравновесные процессы в магнитных жидкостях сопровождаются различными внутренними релаксационными процессами, в частности структурной релаксацией. Неравновесные свойства магнитных жидкостей в значительной степени зависят от характера этих релаксационных процессов. Следует отметить, что до настоящего времени не разработано последовательной статистической теории магнитных жидкостей с подробным анализом механизма релаксационных процессов и определением их вклада в динамические характеристики магнитных жидкостей для широкого диапазона изменения частоты внешнего возмущения при воздействии неоднородного
ПОЛЯ.
Построение количественной теории магнитных жидкостей связано с определенными трудностями: имеется проблема в строгом и последовательном учете взаимодействия всех частиц магнитных жидкостей; отсутствует ясность в структуре и характере теплового движения частиц магнитной жидкости; не выявлена природа релаксационных процессов в магнитных жидкостях; отсутствует определенное кинетическое уравнение, пригодное для описания неравновесных процессов в магнитных жидкостях.
Физические свойства магнитных жидкостей во многом определяются взаимодействием частиц между собой, а также при их взаимодействии с внешним магнитным полем и происходящими в результате этого структурными изменениями. Вместе с тем исследование особенностей взаимодействия частиц с магнитным полем и связанны с этим взаимодействием структурных изменений в магнитных жидкостях требует дальнейшего развития. В реальных
условиях при применении магнитных жидкостей в технике их структурное состояние, обусловленное действием магнитного поля, может претерпеть существенные изменения за счет действия сдвиговых деформаций и течений.
При деформации магнитной жидкости нарушается термодинамическое равновесие, и процесс восстановления равновесия складывается из нескольких налагающихся друг на друга процессов, протекающих с различными скоростями и характеризующиеся различными временами релаксации. Релаксационные процессы, особенно структурная релаксация, имеют особое значение в магнитных жидкостях. Они позволяют более детально исследовать вязкоупругие свойства магнитных жидкостей, которые в настоящее время изучены не достаточно.
Все это позволяет заключить, что в настоящее время актуальными являются исследования вкладов различных релаксационных процессов, особенно структурной релаксации, на основе молекулярно-кинетической теории в различных по свойствам магнитных жидкостях, при, наличии внешнего неоднородного магнитного поля и её влияние на реологические свойства магнитных жидкостей.
Цель работы заключается в исследовании вязкоупругих свойств магнитных жидкостей с учетом вклада различных релаксационных процессов и внешнего неоднородного магнитного поля. В связи с этим решались следующие задачи:
выбор и обобщение исходных кинетических уравнений, получение уравнения для бинарной плотности частиц магнитных жидкостей в конфигурационном пространстве и его общее решение;
вывод уравнений обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей при наличии неоднородного магнитного поля, коэффициенты переноса которых определены микроскопически на основе молекулярно-кинетической теории;
- получение аналитических выражений для динамических коэффициентов
вязкости и модулей упругости в магнитных жидкостях;
- проведение численных расчетов зависимости коэффициентов вязкости и
модулей упругости от изменения частоты в широком диапазоне, а также от
термодинамических параметров системы;
изучение механизма процесса структурной релаксации в магнитных жидкостях и его влияния на динамические коэффициенты вязкости и модули упругости;
исследование процессов распространения и поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях в широком интервале изменения термодинамических параметров и частот внешнего возмущения.
Научная новизна работы:
- получены обобщенные уравнения гидродинамики магнитных жидкостей
с учетом вклада внешнего неоднородного магнитного поля на основе
молекулярно-кинетической теории;
получено уравнение Смолуховского для бинарной плотности частиц магнитной жидкости и найдено его общее решение;
получены динамические выражения для коэффициентов вязкости, а также модулей упругости, которые выражаются через молекулярные параметры магнитных жидкостей. Эти выражения являются более общими и учитывают вклад процесса перестройки структуры магнитной жидкости в широком диапазоне частот;
установлено, что при низких частотах объемный модуль упругости стремится к статическому значению адиабатического объемного модуля
<- 3/2
расширения, а сдвиговый модуль упругости к нулю по закону со , когда коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости стремятся к статическим значениям как линейные функции сош. В высокочастотном пределе модули упругости не зависят от частоты, а коэффициенты вязкости затухают по закону со'1;
- показано, что с ростом параметров состояния коэффициенты объемной
и сдвиговой вязкости и соответствующие их модули упругости нелинейно
возрастают. С ростом температуры коэффициенты вязкости и модули
упругости линейно уменьшаются. С изменением величины неоднородного магнитного поля наблюдается линейный рост коэффициентов вязкости и модулей упругости;
- установлено, что частотные зависимости скорости и коэффициента
поглощения звука в магнитных жидкостях в основном обусловлены вкладами
трансляционных и структурных релаксаций.
Практическая ценность. Полученные выражения для динамических коэффициентов объемной и сдвиговой вязкости и соответствующие их модулей упругости позволяют выявить природу теплового движения частиц и изучить изменение структуры магнитных жидкостей; использовать эти коэффициенты и модули упругости для интерпретации экспериментальных результатов по вязкоупругим свойствам магнитных жидкостей, а также численного расчета последних в широком интервале изменения концентрации, плотности, намагниченности насыщения твердых частиц, температуры и частоты под воздействием внешнего неоднородного магнитного поля. Эти выражения можно использовать для описания дисперсии скорости и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях в широком диапазоне изменения частоты внешнего воздействия. Результаты исследования можно использовать для объяснения причин расхождения теорий с экспериментом.
Положения, выносимые на защиту:
- вывод системы уравнений обобщенной гидродинамики, которые
описывают неравновесные процессы в магнитных жидкостях с учетом вклада
неоднородного магнитного поля;
вывод уравнение Смолуховского для бинарной плотности частиц в магнитных жидкостях в конфигурационном пространстве и его общее решение;
полученные выражения для динамических коэффициентов объемной и сдвиговой вязкости и соответствующих им модулей упругости с учетом вклада структурной релаксации, а также их асимптотические поведение при низких и высоких частотах;
зависимость коэффициентов вязкости и модулей упругости от термодинамических параметров и частот с учетом вклада внешнего неоднородного магнитного поля;
исследование частотные дисперсии скорости и коэффициента поглощения акустических волн в магнитных жидкостях.
Апробация работы: Основные результаты исследований по теме диссертации были представлены и доложены, на: 3 International conference «Physics of liquid matter: modern problems», Kiev 2005 и 4th International conference «Physics of liquid matter: modern problems», Kiev 2008; Международной конференции по «Физике конденсированного состояния и экологических систем», Душанбе 2004, 2006 г.г.; III Международной конференции по «Молекулярной спектроскопии», Самарканд 2006 г.; Республиканской научно-методической конференции «Современные проблемы физики», Душанбе 2007 г.; Ежегодные научно-практические конференции профессорско-преподавательского состава ТГНУ, Душанбе 2005-2008 г.г.: Научном семинаре Института физики конденсированного состояния НАН Украины, г. Львов 2006 г., а также научных семинарах физического факультета Таджикского национального университета.
Работа выполнена в соответствии с планом НИР, проводимых на физическом факультете ТГНУ и зарегистрированных в Министерстве образования Республики Таджикистан за номером Государственной регистрации 01.07. ТД 668.
Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертации результаты получены при непосредственном участии автора. Автору принадлежит вывод уравнения Смолуховского для бинарной плотности частиц магнитных жидкостей и его общее решение. Непосредственно принимал участие при выводах уравнений гидродинамики магнитных жидкостей на основе молекулярно-кинетических представлений. Автором получены аналитические выражения для динамических коэффициентов вязкости, модулей упругости, скорости и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных
жидкостях. Автор также принимал непосредственное участие при проведении численных расчетов и их интерпретации.
Публикация. По результатам работы опубликовано 4 статьи и 6 тезиса докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 125 страницах, включая 54 рисунка, 6 таблицы и списка литературы из 131 наименований.
Основное содержание работы. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные задачи работы, отражена научная новизна и перечислены основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе приведен обзор экспериментальных и теоретических исследований вязкоупругих и акустических свойств жидкостей, включая магнитные жидкости. Анализированы работы по исследованию коэффициентов вязкости, модулей упругости и акустических параметров классических, ионных, магнитных жидкостей и растворов электролитов. Рассматриваются причины расхождения экспериментальных результатов с теорией. Выявлено, что существующие теории полностью не описывают динамическую картину вязкоупругих и акустических свойств жидкостей, не учитывают в полной мере вклад различных релаксационных процессов, в особенности структурной.
Во второй главе приведено описание системы и исходные кинетические уравнения для одночастичной и двухчастичной функции распределения при учете внешнего неоднородного магнитного поля. Выведены уравнения обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей, учитывающие вклады трансляционной и структурной релаксации. Эти уравнения имеют такой же вид, как и макроскопические законы сохранения массы, импульса и энергии.
Однако, входящие в них тензор потока импульса и вектор потока тепла
/
определяются микроскопически с помощью одночастичной и двухчастичной функции распределения, а также молекулярных параметров магнитных жидкостей. Получены уравнение для бинарной плотности частиц магнитных
жидкостей и найдено их общее решение. Уравнения обобщенной гидродинамики и уравнения для бинарной плотности частиц магнитных жидкостей представляют собой замкнутую систему уравнений, которые позволяют исследовать явления переноса, вязкоупругие и акустические свойства магнитных жидкостей.
В третьей главе на основе кинетических уравнений для одночастичных и двухчастичных функций распределения, учитывающие вклады пространственной корреляции плотности и скоростей исследованы вязкоупругие свойства магнитных жидкостей. Получены частотно-зависящие коэффициенты вязкости и модули упругости, которые содержат вклады как трансляционной, так и структурной релаксации. Рассмотрены асимптотические поведение коэффициентов вязкости и модулей упругости при низких и высоких частотах. Показано, что при низких частотах коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости стремятся к статическим значениям, как линейные функции сот. Установлено, что при низких частотах объемный модуль . упругости стремится к адиабатическому значению Ks, а сдвиговый модуль упругости к
нулю по закону согп. Обнаружено, что в высокочастотном пределе модули упругости не зависят от частоты, а коэффициенты вязкости уменьшаются по закону а)'1. Обоснованны оптимальный выбор модели магнитной жидкости, потенциала межчастичного взаимодействия с учетом вклада внешнего неоднородного магнитного поля и радиальной функции распределения частиц. Получены приведенные выражения для коэффициентов вязкости и модулей упругости. При их помощи проведен численный расчет зависимости коэффициентов вязкости и модулей упругости от изменения частоты на примерах магнитных жидкостей на основе керосина, а также воды и твердых частиц магнетита Fe304 под воздействием неоднородного магнитного поля.
Численно исследовано зависимость коэффициентов вязкости и модулей упругости от плотности, концентрации, намагниченности насыщения частиц магнетита, температуры и изменения значения неоднородного магнитного поля
в магнитных жидкостях на основе керосина и воды. Полученные результаты представлены в виде таблиц и графиков.
В четвертой главе на основе системы уравнений обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей, учитывающих вклады как структурной, так и трансляционной релаксационных процессов, определены явные аналитические выражения для скорости и коэффициента поглощения звуковых волн, а также исследован спектр коллективных акустических мод в магнитных жидкостях. Выражения для скорости и коэффициента поглощения звуковых волн описывают частотную дисперсию в широком диапазоне изменения частоты. При со-» 0 скорость С и коэффициент поглощения а/со2 содержат
частотно-зависящие члены, пропорциональные со3/2, а при со—»оо стремятся к постоянным значениям. Проведен численный расчет зависимости скорости и коэффициента поглощения звуковых волн на примерах магнитной жидкости на основе керосина и воды в широком интервале изменения термодинамических параметров, а также частоты, которые представлены в виде таблиц и графиков.
Краткий обзор теоретических исследований вязкоупругих и акустических свойств жидкостей
Вязкость и упругость жидкостей, растворов, а также магнитных жидкостей имеет большое значение, как для теории, так и для практических приложений. Вязкоупругие свойства тесно связаны со структурой жидкости и ее изменением. Исследование вязкоупругих свойств жидкостей, в частности магнитных жидкостей, связанных с изменениями структуры, является актуальной задачей теории жидкого состояния. Теоретические исследования вязкоупругих свойств жидкостей в основном ведутся в двух направлениях: 1) строгими статистическими методами; 2) численными методами и модельными теориями. Дж. Кирквуд с сотрудниками [52], используя метод коррелятивных функций распределения и считая жидкость набором сферически-симметричных молекул, получили выражения для коэффициентов сдвиговой и объемной вязкости. Полученные коэффициенты вязкости выражены через молекулярно-структурные функции, которые можно определить с помощью уравнений для бинарной функции распределения. Не было найдено общее решение этого уравнения и, следовательно, релаксационный процесс не рассматривался. Данная работа не дает ответа на существенный вопрос о характере процесса релаксации в жидкостей: описывается ли процесс релаксаций одним или несколькими временами релаксаций; какова ширина и форма релаксационного спектра. В этой работе используется уравнение для скорости изменения радиальной функции распределения во времени. Однако не выполнены расчеты зависимости напряжений от времени при быстрой деформации. Дж. Кирквудом получены уравнения для приведенных функций распределения, где взаимодействия частиц учтены непоследовательно. Дальнодействующие слабые взаимодействия учитываются посредством столкновительного члена типа Фоккера-Планка. Вклад более сильных короткодействующих отталкиваний в процессе формирования необратимости уравнений Лиувилля не учтены. В [53] найдены выражения для мгновенного модуля сдвига и мгновенного адиабатного модуля сжатия жидкости. Посредством этих выражений можно найти средние времена релаксации сдвиговой и объемной вязкости. Установлено, что упругость жидкостей зависит от скорости деформации. В [54,55] методом коррелятивных функций и вариационным методом исследованы упругие свойства жидкостей.
Доказано, что при медленной деформации жидкости имеет место только объемная упругость, а модуль сдвига равен нулю. При быстрых деформациях упругие свойства жидкостей характеризуются как объемными, так и сдвиговыми модулями. Модули упругости выражены через потенциал межмолекулярного взаимодействия, радиальную функцию распределения и молекулярные функции распределения, которые характеризуют пространственное распределение молекул жидкости при быстрых деформациях. В [56] найдена связь между средней квадратичной флуктуацией вириала, которая выражена через давление и время релаксации этой флуктуации. Здесь рассмотрены только такие флуктуации, при которых общая масса и общая энергия в объеме остаются неизменными. Вводимое время релаксации флуктуации является несколько неопределенным. Это время определено как некоторое корреляционное, в течение которого сохраняется память о флуктуации, или то же самое, время существования данного мгновенного молекулярного распределения. Каждое такое распределение имеет свое время релаксации, так что необходимо вводить сплошной спектр этих времен. По- видимому, введение только одного времени релаксации в данном случае может служить лишь первым приближением. В [57,58] найдены коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости жидкостей на основе кинетических уравнений для одночастичнои и двухчастичной функций распределения с интегралами столкновения, состоящими из членов типа Чепмена-Энскога и типа Фоккера-Планка. Кинетические уравнения для одночастичнои и двухчастичной функций распределения получены на основе уравнения Лиувилля. Средняя сила, действующая на данную молекулу со стороны окружающих, содержащаяся в левых частях этих уравнений, относится только к равновесному состоянию жидкости. Коэффициенты вязкости состоят из кинетических и потенциальных частей, которые содержат члены, обусловленные короткодействующими и дальнодействующими взаимодействиями молекул. Проведены численные расчеты кинетических коэффициентов для простых жидкостей в широком интервале изменения температур и давлений. Установлено, что. по мере --.г -возрастания температуры и давления возрастают вклад короткодействующих сил в коэффициенты переноса. Однако, в [57,58] радиальная функция распределения и межмолекулярный потенциал выбраны приближенно, а полученные выражения для коэффициентов переноса являются статическими. Ю.Л. Климонтовичем [59] в уравнениях гидродинамики найдены интенсивности случайных сил и нелинейные кинетические коэффициенты. Найдены два типа нелинейных кинетических коэффициентов: эффективные 77эф и турбулентные г}т. Исходными при определении 77эф являются формулы, связывающие кинетические коэффициенты с корреляторами ланжевеновских источников.
В исследованиях явлений переноса и упругих свойств жидкостей также применяется метод временных корреляционных функций (ВКФ). Наиболее систематическое и строгое обоснование метода ВКФ и его применение для исследования неравновесных процессов предложил Р. Кубо [60]. Были получены выражения для коэффициентов переноса посредством интегралов по времени от ВКФ соответствующих потоков. Методом неравновесного статистического оператора (НСО) в [61] изучены коэффициенты переноса и упругих свойств жидкостей. Получены общие выражения для коэффициентов переноса и модулей упругости, а также микроскопические выражения для соответствующих потоков в простых жидкостях. На основе методов НСО и проекционных операторов (ПО) в [62] исследованы явления переноса и упругие свойства жидкостей. Исходя из уравнений для запаздывающих функций Грина локальных переменных, в [63] построены уравнения нелокальной гидродинамики с частотой (со) и пространственной (к) дисперсией коэффициентов переноса. Рассчитана дальновременная асимптотика коэффициентов переноса при конечных волновых числах. И.З. Фишером [64] исследована гидродинамическая асимптотика автокорреляционной функции скорости молекулы &(t) в классической жидкости. Найдена низкочастотная асимптотика частотного спектра жидкости. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными. В адиабатическом приближении в [65] получены уравнения для плотности, импульса и потока импульса. Получены строгие микроскопические выражения для времен сдвиговой релаксации и релаксации давления, а также выражения для модулей сдвига и сжатия жидкостей. В [66] построена статистическая теория вязкоупругой релаксации вандерваальсовской жидкости, межмолекулярный потенциал которой, наряду с вкладом типа твердой сердцевины, содержит дальнодействующее притяжение. Найденные коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости распадаются на два слагаемых, одно из них определяется затуханием короткоживущих корреляций, а второе длительностью процесса релаксации дальнодействующих сил. На основе представления коэффициентов переноса через временную коррелятивную функцию в [67] рассчитаны эффективные времена релаксации для приведенной объемной вязкости жидкости при плотностях порядка плотных газов и одной температуре.
Уравнения обобщенной гидродинамики магнитных жидкостей
Известно, что законы сохранения массы, импульса и энергии служат основой для изучения различных физических процессов, протекающих в конденсированных средах. Эти законы в общем виде не являются замкнутыми, и следовательно, потоки входящие в них являются неизвестными. Поэтому их невозможно применять непосредственно для исследования конкретных, физических процессов. В обычной гидродинамике жидкость представляется как сплошная среда и формулируются феноменологические материальные уравнения. Эти материальные уравнения связывают потоки с градиентами термодинамических величин и на основе законов сохранения обычная гидродинамика описывает неравновесные процессы в жидкостях. В обобщенной гидродинамике законы сохранения и материальные уравнения по внешней форме соответствуют законам сохранения и материальным уравнениям обычной гидродинамики. Однако коэффициенты переноса зависят от радиуса действия градиентов термодинамических величин и долготы их действия. В обычной гидродинамике включаются масштабные факторы пространства и времени. Это обстоятельства позволяет выйти за пределы сплошной среды и учесть вклад молекулярной структуры жидкостей. Таким образом, целью обобщенной гидродинамики является расширение области приложения обычной гидродинамики от макроскопических до микроскопических масштабов [105]. Необходимо отметить, что в обычной гидродинамике имеют места два ограничения: первое - размеры системы должны быть гораздо больше длины свободного пробега, а время больше нескольких столкновений частиц; второе -градиенты термодинамических параметров не должны быть большими, чтобы не нарушались линейные соотношения между потоками и градиентами соответствующих величин. Эти ограничения присущи и обобщенной гидродинамике. Согласно [106], неравновесные процессы, протекающие в жидкостях, обычно разделяют на три группы: медленные гидродинамические, стохастические (умерено быстрые) с характерным временем гст и быстрые с характерным временем гк. Ясно, что в молекулярном масштабе невозможны процессы, происходящие за время более короткое, чем длительность элементарного столкновения, например для жидкого аргона это время порядка 5-Ю-14 с. Длительность столкновения зависит от потенциала межчастичных взаимодействий.
Другим характерным временем является время между последовательными столкновениями молекул, для обычных жидкостей оно составляет 10-14 с [106]. Для установления условия молекулярного хаоса необходимо несколько столкновений, то есть необходим промежуток времени порядка 10чзс. Для установления равновесия, например, по структуре необходимо время в сотни раз больше, чем тс. Они и составляют те масштабы времени, с которыми имеет дело кинетическая теория. Существовало мнение, что гидродинамические масштабы времени намного больше, чем кинетические и не связаны с ними. Однако, на основе результатов машинного моделирования [105], было доказано, что гидродинамический подход можно применять к масштабам пространства порядка трех диаметров молекул и масштабам времени порядка тридцати времен столкновений. Это свидетельствует о том, что в жидкостях, кроме индивидуального движения молекул, имеет место и коллективное движение молекул, то есть выделенная молекула в промежутках между столкновениями вовлекает с собой большую группу молекул. Следовательно, для исследования неравновесных процессов в жидкостях вообще, а в магнитных жидкостях в частности, как в гидродинамическом, так и в кинетическом режиме необходимо получить уравнения обобщенной гидродинамики, коэффициенты переноса которых определяются микроскопически и зависят от пространственных и временных переменных. Решать данную задачу можно на основе строгого метода кинетических уравнений. Для решения поставленной задачи предположим, что неравновесное состояние магнитной жидкости характеризуется объемной плотностью числа частиц — Умножая уравнения (2.1) на единицу и интегрируя по /?, с учетом определения импульсных моментов функции распределения /(3:,,0І то есть выражения (2.9)-(2.11) и суперпозиционного приближения Кирквуда (2.8), получим уравнение непрерывности [102]: Используя определение полной производной — = —\-&a(qxt) и плотности массы р = тп, уравнение (2.12) запишем в следующем виде: Это уравнение представляет собой закон сохранения массы единицы объема магнитной жидкости.
Для определения изменения плотности p(qx, /) со временем необходимо получить уравнения, описывающие пространственно-временное поведение средней скорости частиц магнитной жидкости &(qx,t). Для этой цели, умножая уравнение (2.1) на р" 1т и интегрируя по /?,, а также используя импульсные моменты функции распределения f2(xx,x2,t): n2{qx,q2,t) = \f2{xx,x2,t)dp dp2, Подчеркнем, что здесь и в дальнейшем г = rl2/ а - безразмерное взаимное расстояние, Р - локально-равновесное значение давления, ЗСр{дх,і)=Рк{ Хіі)3 р+ + Kafi(qx,t) - кинетическая часть тензора плотности потока импульса, а РкЩ\ Ч \ / \ чФ\ кинетическая часть неравновесного давления, 3 m напряжения Уравнение (2.15) является наиболее общим уравнением движения магнитной жидкости и описывает закон сохранения импульса. Это уравнение не замкнуто. Для обеспечения замкнутости уравнения (2.15) необходимо иметь уравнение для n2(qx,q2,t), а также уравнение, описывающее изменения кинетической части вязкого тензора напряжений Kafl(qx,t). При непостоянности температуры магнитной жидкости в заданном объеме происходит молекулярный перенос энергии из областей более высокой температуры в области с более низкой температурой. В этом случае перенос энергии наряду с потоками, связанными с переносом массы магнитной жидкости при ее движении и с процессами внутреннего трения, осуществляется также потоком тепла. Поэтому для более детального исследования этих явлений, кроме уравнения непрерывности и движения, необходимо иметь уравнение закона сохранения энергии магнитной жидкости. Для вывода уравнения закона сохранения энергии используем определение полной энергии единицы объема среды [94]: Дифференцируя это выражения по времени, получим: Используя (2.1) и (2.2), с учетом импульсных моментов двухчастичной функции распределения исключаем " , " 2 в уравнении (2.17) и, переходя от координат qx, q2 к средним q = (qx+q2)/2 и взаимным rn =q2-qy координатам, разлагая r\2(qx,rX2,t) в ряд Тейлора около qx, после несложных преобразований будем иметь.
Частотная зависимость коэффициентов вязкости магнитных жидкостей
Выражения (3.4) и (3.5) для коэффициентов вязкости являются очень сложными функциями потенциальной энергии взаимодействия частиц Ф(г ,Q) и бинарной коррелятивной функции распределения n]2(r,Q,n,T) или в частном случае однородной среды - радиальной функцией распределения g(r,n,T). Поэтому использование этих выражений для количественного исследования вязкоупругих свойств магнитных жидкостей будет трудной математической задачей, так как явный вид функций Ф(г,П) и пп{г,0.,п,Т) не известны. Для исследования вязкоупругих свойств магнитных жидкостей и сравнения полученных результатов с экспериментальными данными необходимо проведение численных расчетов. Проведение численных расчетов связано с выбором статистической модели и структуры магнитных жидкостей, которые описываются посредством потенциала взаимодействия Ф(г,2) и nl2(r,Q,n,T). Теории межмолекулярных взаимодействий посвящено большое количество монографий и статьей [116-120]. Проблему выбора потенциала межчастичных взаимодействий решают различными способами. Например, для моделирования воды и водных систем предложено множество потенциалов, один из которых основан на использовании уравнения Шредингера [120]. Однако нужно отметить, что аналитическим способом решение уравнения Шредингера найдено только для ограниченного круга простейших атомно-молекулярных систем [120]. Межчастичные взаимодействия в ионно-молекулярных системах не могут быть сведены к одним лишь электростатическим. Квантовое усреднение по состояниям электронов в молекулах, ионах, атомах приводит к понятию классических частиц, взаимодействующих как посредством электрических, так и неэлектрических сил. Неэлектрические силы имеют короткодействующий характер и представляются в виде различных аналитических форм. Характерные особенности этих взаимодействий заключается в том, что на «больших» расстояниях они соответствуют межчастичному притяжению Ф(,)(г), а на очень близких - сильному отталкиванию Ф (г) [П6] Дальнодействующая составляющая Ф(,)(г) описывает электростатические межчастичные взаимодействия, и их механизм является ориентационным, индукционным и дисперсионным взаимодействием, которые известны под названием Ван-дер-Ваальсовских взаимодействий: Относительный вклад различных типов взаимодействий зависит от расстояний, относительной ориентации частиц и их микроскопической природы.
При решении практических задач задается функциональная форма для потенциала межчастичных взаимодействий с использованием ряда параметров, которые находятся путем обработки экспериментальных результатов, их называют модельными. Требования, предъявляемые к модельным потенциалам, сводятся к тому, чтобы они основывались на теоретических представлениях о наиболее важных вкладах определенных типов взаимодействий и вместе с тем были удобны для проведения расчетов. Самой простой моделью короткодействующей составляющей межчастичного потенциала Ф (У) является потенциал упругих шаров с диаметром а Другой широко известной и удобной при расчетах моделью служит потенциал Леннард-Джонса Второе слагаемое (3.14) описывает притяжение, соответствующее Ван-дер-Ваальсовому взаимодействию. При выборе потенциала межчастичных взаимодействий магнитных жидкостей будем исходить из соображений того, что устойчивость магнитной жидкости определяется тепловым движением частиц. Для обеспечения устойчивости магнитной жидкости энергия теплового движения должна превышать энергию сил взаимного притяжения частиц. В этом случае магнитная жидкость остается однородной во всем объеме, свойства ее не меняются во времени. Молекулы жидкости-носителя взаимодействуют с магнитными частицами, участвуя в тепловом движении. Энергия этого взаимодействия порядка U кТ. Благодаря тепловому движению возможен перенос энергии от частиц к жидкости-носителю и обратно, если величина энергии U меньше кТ. В результате этого энергия внешнего магнитного поля, полученная магнитными частицами, передается жидкости-носителю и магнитная жидкость ведет себя как сплошная однородная среда, реагируя на внешнее магнитное поле как единое целое. Природа сил взаимного притяжения частиц магнитной жидкости такая же, как у межмолекулярных сил. При сближении частиц друг с другом на них индуцируются заряды, что приводит к появлению сил притяжения Ван-дер-Ваальса, Uv - -со. Однако с удалением частиц Ван-дер-Ваальсовы силы притяжения резко уменьшаются. Силы взаимодействия магнитного поля с магнитными частицами убивают намного медленнее вандерваальсовых.
Так как магнитные частицы магнитной жидкости в основном однодоменные, они полностью намагничены в одном направлении, и их взаимодействие можно описывать как взаимодействие точечных диполей. Энергия взаимодействия двух однонаправленных диполей, при наложении внешнего ориентирующего поля порядка Um G3. Если внешнее магнитное поле невелико, то вследствие теплового движения направления магнитных моментов частиц не совпадают и средняя энергия взаимодействия частиц меньше, чем Uт. В предельном случае отсутствия внешнего поля средняя энергия взаимодействия частиц определяется выражением [24] Из проведенного анализа следует, что энергия магнитного взаимодействия с увеличением расстояния падает медленнее, чем энергия сил Ван-дер-Ваальса, то есть магнитные силы являются дальнодействующими. При сближении магнитных частиц, покрытых слоем длинноцепных молекул поверхностно-активного вещества (ПАВ), возникает сила отталкивания. С уменьшением расстояния между частицами значение энергии стерического отталкивания Us возрастает быстрее, чем убывает энергия сил Ван-дер-Ваальса и магнитного взаимодействия. Таким образом, характер взаимодействия частиц определяется суммарной потенциальной энергией сил притяжения и отталкивания. Считая эти силы основными, в [121] построили кривые, характеризующие зависимость энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними, при значении намагниченности М = 480 кА/м и 8 = 2 нм (где S - толщина ПАВ). Согласно результатам работы [121], для малых частиц силы притяжения падают слишком быстро, и силы отталкивания являются преобладающими. Основываясь на анализе, проведенном выше, будем следовать модели, предложенной в [83]. Согласно [83], магнитную жидкость представим состоящей из N одинаковых сферических частиц диаметром ст. Каждая частица обладает точечным магнитным дипольным моментом величины т. Положение частицы і и ориентации ее магнитного момента описываем посредством Г; и йі соответственно. Энергию взаимодействия магнитной частицы і с магнитным полем описываем функцией Ф 7 =фи(П.). Энергию взаимодействия частиц / и j выражаем через функцию диполь-дипольного взаимодействия Ф =Фм{гі],йі,й]) и стерическое взаимодействие частиц описываем функцией Ф {г ).
Зависимость модулей упругости магнитных жидкостей от параметров состояния и напряженности магнитного поля
К настоящему времени нет достаточного количества данных по систематическому исследованию зависимостей модулей упругости от параметров состояния [95]. Не существует микроскопической теории, предсказывающей характер зависимости модулей упругости от параметров состояния и внешнего магнитного поля. Однако в различных приборах и механизмах магнитные жидкости выступают как вязкоупругие среды, работающие в условиях повышенных давлений и температур [128]. Для проведения анализа зависимости модулей упругости от параметров состояния магнитных жидкостей и внешнего неоднородного магнитного поля, используя выражения (3.21) и (3.22), проведем численный расчет [129, 130]. При проведении численных расчетов используем магнитные жидкости на основе керосина и воды с частицами Fe304. Результаты численного расчета зависимости изочастотного (со = 10шГц) релаксационного объемного /СДсо) и сдвигового JLI(CO) модулей упругости магнитной жидкости на основе керосина от плотности, концентрации и намагниченности насыщения при Т = 298 К и V#=102A/M2 приведены в таблице 3. Как видно из данных таблиц 3 и 4, при фиксированных значениях частоты, температуры и величины Vi/ модули Кг(а ) и /л(со) возрастают с увеличением плотности, концентрации и намагниченности насыщения в обеих магнитных жидкостей, а отношение Кг//и&2. Эти результаты подтверждают правильность учета влияния структурной релаксации на вязкоупругие свойства магнитных жидкостей, так как они находятся в удовлетворительном согласии с результатами экспериментальных работ [95, 126]. Следовательно, характер зависимости релаксационного объемного Кг и сдвигового /л модулей упругости магнитных жидкостей на основе керосина и воды от плотности, концентрации и намагниченности насыщения одинаков. На рис. 11 (а, б) приведены плотностные зависимости динамического релаксационного объемного Кг и сдвигового // модулей упругости магнитных жидкостей на основе керосина и воды при Г = 298 К, у = 1010Гц, V#=102 А/м2. Видно, что с увеличением значения градиента напряженности магнитного поля релаксационный объемный Кг(й)) и сдвиговый іл{со) модули упругости линейно возрастают.
Таким образом, вышеприведенные результаты численных расчетов зависимости Кг(а ) и //(# ) от параметров состояния и внешнего неоднородного магнитного поля, а также их сравнение с существующими экспериментальными . данными показывают правильность учета вклада различных внутренних релаксационных процессов, протекающих в магнитных жидкостях в частности структурной релаксации. Скорость и коэффициент поглощения звуковых волн непосредственно связаны со строением жидкости. Их исследуют в зависимости от различных физических условий: плотности, давления, температуры, частоты, влияния внешнего поля и т.д. В предыдущих главах были получены молекулярные выражения для коэффициентов объемной и сдвиговой вязкости, а также соответствующих им объемного и сдвигового модулей упругости магнитных жидкостей с учетом вклада внешнего неоднородного магнитного поля. В настоящей главе на основе полученных результатов будут исследованы частотные зависимости скорости и коэффициента поглощения звуковых волн. Будет анализировано их асимптотическое поведение, как при высоких, так и при низких частотах. Также численно будут исследованы зависимости скорости и коэффициента поглощения звуковых волн от термодинамических параметров и внешнего неоднородного магнитного поля. Частотные зависимости скорости и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях являются важнейшим средством изучения быстрых молекулярных процессов и выражаются посредством динамических модулей упругости, а также кинетических коэффициентов, которые являются откликом магнитной жидкости на внешнее воздействие. Хотя исследованию скорости распространения и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях посвящено большое количество работ [41,48,96,131], однако вопрос о зависимости скорости и коэффициента поглощения звука от внешнего магнитного поля остается не совсем ясным. Несмотря на имеющиеся экспериментальные материалы, все еще недостаточно данных по исследованию динамических акустических характеристик магнитной жидкости при наличии внешнего магнитного поля. Поэтому представляет интерес исследовать частотную зависимость скорости распространения и коэффициента поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях под воздействием внешнего неоднородного магнитного поля с единой микроскопической точки зрения, с учетом вклада различных релаксационных процессов, в частности структурной релаксации.
Для исследования частотной зависимости акустических свойств магнитных жидкостей исходим из системы линеаризованных уравнений обобщенной гидродинамики при наличии внешнего неоднородного магнитного поля [102], которые были получены на основе молекулярно-кинетической теории. В представлении Фурье эти уравнения имеют вид: + 2ф(а )усриа(й),к)\ - тензор напряжения, Sa(co,k) = — Z(o))kaT(co;,k)x - вектор потока тепла, р(со,к), Т(со,к), й(со,к) -со Фурье-компоненты флуктуации плотности, температуры и вектора смещения, К(а ), ]й(со) и Z{co) - комплексные динамические объемные, сдвиговые и термические модули упругости, которые определяются выражениями: где К{со), /LI{CQ) и Z{co) представляют собой динамические объемные, сдвиговые и термические модули упругости; Л{со) - динамический коэффициент теплопроводности магнитной жидкости, к - волновой вектор. Аналитические выражения для модулей упругости и кинетических коэффициентов вязкости, полученные в [102], приведены в главе 3. Уравнения (4.1) совместно с выражениями (4.2) и (3.2)-(3.5) образуют замкнутую систему уравнений обобщенной гидродинамики и позволяют исследовать коллективные колебания в магнитных жидкостях, как в высокочастотном, так и в гидродинамическом режиме. Решая эти уравнения относительно Фурье-образа вектора смещения м(шД), в случае независимости потоков, для продольных акустических волн получим следующее дисперсионное соотношение: где Кг((й) = K(cd)-Ks - комплексный релаксационный объемный модуль упругости. Это соотношение полностью описывает спектр коллективных звуковых колебаний в магнитной жидкости в широком диапазоне частот. Решая уравнение (4.3) относительно а), получим для продольных акустических колебаний следующее выражение: Подставляя выражения (4.2) в уравнение (4.4), учитывая k = k0-ia и решая это уравнение относительно реальной и мнимой части к для скорости С(со) и коэффициента поглощения а(со) продольных волн в магнитных жидкостях, получим следующие выражения: 2р0С0ЧЗ где С0 - адиабатическая скорость звука. Эти соотношения полностью описывают частотную зависимость скорости и коэффициента поглощения звука в широком диапазоне частот. Следует отметить, что частотные зависимости динамических коэффициентов и модулей упругости, входящих в выражения (4.5) и (4.6), определяются с помощью Фурье-образа фундаментального решения уравнения Смолуховского для бинарной плотности частиц в конфигурационном пространстве, которое в основном обусловлен вкладами структурных релаксационных процессов.
